Material de Apoio - Física Primeiro Ano. Rafael Frank de Rodrigues

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1 Material de Apoio - Física Primeiro Ano Rafael Frank de Rodrigues

2 Revisão Desde os primórdios, o ser humano se preocupou em entender e dominar o Universo que o cerca. Interessou-se em explicar, por exemplo, o som de um trovão, a luz de um relâmpago, por que os corpos têm cores diferentes, como é o movimento da Lua em relação à Terra, como a Terra e os demais planetas se movem em relação ao Sol ou como são os movimentos dos objetos nas proximidades da superfície terrestre. Todas essas questões, por diferentes que sejam, são estudadas em Física, uma ciência tão presente em nossa vida que não podemos menosprezá-la. O que é Física: A palavra física tem origem grega e significa natureza. Assim, a física é a ciência que estuda a Natureza; daí o nome ciência natural. Em qualquer ciência, acontecimentos ou ocorrências são chamados fenômenos, ainda que não sejam extraordinários ou excepcionais. A física é o campo da ciência que estuda os fenômenos naturais. 1 Sistema Internacional de Unidades (SI) Foi criado para evitar divergências quanto ao uso das unidades entre pesquisadores e profissionais. O sistema de Unidades adotado oficialmente no Brasil é o Sistema Internacional De Unidades, ratificado pela 11 a Conferência Geral de Pesos e Medidas de 1960 e atualizado nas seguintes até a 21 a Conferência, de Unidades Símbolo Grandeza metro m comprimento quilograma kg massa segundo s tempo ampère A intensidade de corrente elétrica kelvin K temperatura termodinâmica mol mol quantidade de matéria candela cd intensidade luminosa 1

3 De acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI) existem sete unidades fundamentais, cada uma delas correspondendo a uma grandeza: As unidades derivadas são as que podem ser deduzidas, direta ou indiretamente, das fundamentais. Dado o seu grande número, não as reproduziremos aqui. Não se devem misturas unidades por extenso com símbolos. Assim, é errado escrever quilômetro/h ou km/hora. O certo é quilômetro por hora ou km/h. Todas as unidades, derivadas ou fundamentais, admitem múltiplos e submúltiplos, que são obtidos pela adição de um prefixo anteposto à unidade. Por razões históricas, a unidade fundamental de massa é o quilograma, obtido pelo acréscimo do prefixo quilo à unidade grama. Por isso, as unidades de massa múltiplas e submúltiplos são obtidos pelo acréscimo do prefixo ao grama e não ao quilograma. Os prefixos usados, seus símbolos e os fatores pelos quais a unidades fica multiplicada são os seguintes: Nome Símbolo Fator multiplicador tera T giga G 10 9 mega M 10 6 quilo k 10 3 hecto h 10 2 deca da 10 1 deci d 10-1 centi c 10-2 mili m 10-3 micro µ 10-6 nano n 10-9 pico p Os prefixos não devem ser misturados. Assim, para indicar m deve-se escrever 8 nanometros ou 8 nm e não 8 milimicrometros ou 8 mµm. Há unidades que não pertencem ao SI mas são aceitas para uso conjunto, sem restrições de prazo. São elas: o minuto(min), a hora(h), o dia(d), o grau( o ), o litro(l) e a tonelada(t). 2

4 Estudo do Movimento Tópico 01 1 Referencial Referencial ou sistema referencial é o corpo em relação ao qual identificamos o estado de repouso ou movimento de um móvel. Dizemos que um corpo está em repouso quando a distância entre este corpo e o referencial não varia com o tempo. Um corpo está em movimento quando a distância entre este corpo e o referencial varia com o tempo. Exercícios 1. Um ônibus está andando à velocidade de 40 km/h. Seus passageiros estão em movimento ou repouso? Por quê? 2. Uma pessoa, em um carro, observa um poste na calçada de uma rua, ao passar por ele. O poste está em repouso ou em movimento? Explique. 3. Considere o livro que você está lendo. a)ele está em repouso em relação a você? b) em relação a um observador na Lua? 4. Enquanto o professor escreve na lousa. a) O giz está em repouso ou em movimento em relação à lousa? b) A lousa está em repouso ou em movimento em relação ao chão? c) A lousa está em repouso ou em movimento em relação ao giz? 5. Quando escrevemos no caderno, a caneta que usamos está em: a) Movimento em relação a que? b) Repouso em relação a que? 6. Se dois carros movem-se sempre um ao lado do outro, pode-se afirmar que um está parado em relação ao outro? 2 Trajetória Trajetória é a linha determinada pelas diversas posições que um corpo ocupa no decorrer do tempo. Exercícios 7. Sobre o chão de um elevador coloca-se um trenzinho de brinquedo, em movimento circular. O elevador sobe com velocidade constante. Que tipo de trajetória descreve o trenzinho, em relação: 3

5 a) Ao elevador? a) Ao solo? 8. Um avião em vôo horizontal abandona um objeto. Desenhe a trajetória que o objeto descreve nos seguintes casos: a) Tomando como referencial uma casa fixa à Terra. b) Tomando como referencial o avião? 3 Espaço e Deslocamento Deslocamento x é a diferença entre o espaço final e espaço inicial do móvel. x x x 0 x = deslocamento (m, km) x = posição final (m, km) x 0 = posição inicial (m, km) Espaço é a medida algébrica, ao longo de uma determinada trajetória, da distância do ponto onde se encontra o móvel ao ponto de referência adotado como origem. Exercícios 9. Um carro parte do km 12 de uma rodovia e desloca-se sempre no mesmo sentido até o km 90. Determine o deslocamento do carro. 10. Um automóvel deslocou-se do km 20 até o km 65 de uma rodovia, sempre no mesmo sentido. Determine o deslocamento do automóvel. 11. Um caminhão fez uma viagem a partir do km 120 de uma rodovia até o km 30 da mesma. Qual foi o deslocamento do caminhão? 12. Um carro vai do km 40 ao km 70. Determine: a) a posição inicial e a posição final. b) O deslocamento entre as duas posições. 13. Um carro retorna do km 100 ao km 85. Determine: a) a posição inicial e a posição final. b) O deslocamento entre as duas posições. 14. Um carro percorre uma rodovia passando pelo km 20 às 9 horas e pelo km 45 às 10 horas. Determine: a) as posições nos instantes dados. b) O deslocamento entre os instantes dados. 4

6 3 Velocidade Média A velocidade média de um móvel representa a rapidez com que ele muda de posição num intervalo de tempo. v m x t x x t t t 0 x x x 0 t t 0 0 A velocidade média (V m) é a razão entre os deslocamentos ( x ) e o correspondente intervalo de tempo ( t ). V m = velocidade média (unidade: m/s, km/h) s = deslocamento (m, km) t = tempo (s, h) Exercícios 15. Quando o brasileiro Joaquim Cruz ganhou a medalha de ouro nas Olimpíadas de Los Angeles, correu 800m em 100s. Qual foi sua velocidade média? 16. Um nadador percorre uma piscina de 50m de comprimento em 25s. Determine a velocidade média desse nadador. 17. Suponha que um trem-bala, gaste 3 horas para percorrer a distância de 750km. Qual a velocidade média deste trem? 18. Um automóvel passou pelo marco 30km de uma estrada às 12 horas. A seguir, passou pelo marco 150km da mesma estrada às 14 horas. Qual a velocidade média desse automóvel entre as passagens pelos dois marcos? 19. Um motorista de uma transportadora recebeu seu caminhão e sua respectiva carga no km 340 de uma rodovia às 13 horas, entrou a carga no km 120 da mesma rodovia às 16 horas. Qual foi a velocidade média desenvolvida pelo caminhão? 5

7 20. No verão brasileiro, andorinhas migram do hemisfério norte para o hemisfério sul numa velocidade média de 25km/h. Se elas voam 12 horas por dia, qual a distância percorrida por elas num dia? 21. Uma pessoa, andando normalmente, desenvolve uma velocidade média da ordem de 1 m/s. Que distância, aproximadamente, essa pessoa percorrerá, andando durante 120 segundos? 22. Um foguete é lançado à Lua com velocidade média de 17500km/h, gastando 22 horas na viagem. Calcule, com esses dados, a distância da Terra à Lua em quilômetros. 23. Um trem viaja com velocidade média de 50km/h. Quantas horas ele gasta para percorrer 200km? 24. Uma motocicleta percorre uma distância de 150m com velocidade média de 25 m/s. Qual o tempo gasto para percorrer essa distância? 25. Se um ônibus andar à velocidade de 50km/h e percorrer 100km, qual será o tempo gasto no percurso? 26. Uma tartaruga consegue percorrer a distância de 4m em 200s. Qual sua velocidade média em m/s? 27. Um atleta percorre uma pista passando pelo ponto de posição 20m no instante 7s e pelo ponto de posição 12m no instante 9s. Calcule a velocidade média do atleta no intervalo de tempo dado. 28. Se você pegasse carona em um foguete, que viaja com velocidade média de aproximadamente km/s, quanto tempo você gastaria para chegar à Lua? (A distância da Terra à Lua é de km, aproximadamente). 29. Um navio está em alto-mar e navega com velocidade constante de 35km/h entre 8h e 18h. Qual a distância que ele percorre nesse intervalo de tempo? 30. A velocidade média de um homem andando normalmente é de 4km/h. Em quanto tempo ele anda do km 12 ao km 18 de uma estrada? 31. Viajando em um carro, como você determinaria o comprimento de certo trecho de uma estrada baseando-se no velocímetro e usando um cronômetro? 6

8 Vetores Tópico 02 Existem grandezas que ficam perfeitamente caracterizadas quando delas se conhece o valor numérico e a correspondente unidade. Por exemplo, a massa de uma pessoa é m = 80 kg. Tais grandezas são ditas grandezas escalares. Além da massa, são grandezas escalares: tempo, volume, densidade, energia, etc. No entanto, há grandezas que, para sua perfeita caracterização, exigem que se determine sua direção e seu sentido, além do módulo que corresponde ao valor numérico acompanhado da unidade, essas grandezas são as grandezas vetoriais. 1 Vetor A fim de que as operações envolvendo grandezas vetoriais se tornem mais simples, utilizamos a entidade matemática denominada vetor. O vetor se caracteriza por possuir módulo, direção e sentido. Graficamente o vetor é representado por um segmento de reta orientado, indicado por uma letra sobre a qual colocamos uma seta. direção b a sentido módulo O módulo do vetor é indicado da seguinte forma: a ; b. No exemplo anterior, o módulo da grandeza vetorial vale: a = 10 N b = 6 m/s 2 7

9 Na representação gráfica, o comprimento do segmento orientado numa certa escala corresponde ao módulo do vetor, a orientação da reta nos dá a direção (horizontal, vertical, etc.) e a seta o sentido (direita, esquerda, etc.). 2 Adição de Vetores. Dados os vetores x e y vamos obter o vetor soma R, tal que R = x + y y O x O vetor soma ou resultante R tem origem no ponto O e extremidade no ponto de cruzamento das duas paralelas traçadas. Este método é chamado de método do paralelogramo. P P y y R O x O x O vetor soma R tem módulo igual a: R x 2 y 2 2xycos 3 Casos Particulares de Adição de Vetores Vetores de mesma direção e sentido ( = 0 o ): x y R = x + y R Vetores de mesma direção e opostos ( = 180 o ): x y R = x - y R 8

10 Vetores de direção ortogonais ( = 90 o ): R = 2 x y 2 x y x R y Exercícios: 1. Determine o vetor resultante em cada um dos casos: a) b) 6u 4u 5u 3u c) d) 2u 2u 2u 4u e) f) 7u 3u 2u 2u 3u 6u 2. Determine o vetor resultante graficamente nos casos seguintes e calcule seu módulo: a) b) 10u a a b b cos 60 o =0,5 a = b = 3 unidades a = 6 unidades cos 60 o =0,5 b = 8 unidades 3. Um jogador se desloca 5 metros para o sul e, a seguir, 12 metros para o leste. Determine o módulo do deslocamento resultante. 9

11 4. Aline anda 40m para o leste e certa distância x para o norte, de tal forma que fica afastada 50m do ponto de partida. Qual foi a distância percorrida para o norte? 5. Uma pessoa se desloca sucessivamente: 5 metros de norte para o sul, 12 metros de leste para oeste e 10 metros de sul para norte. Qual é o módulo do vetor deslocamento resultante? 6. Dois vetores, A e B, tem módulos A= 100 e B= 40. Determine o módulo do vetor S A B nos seguintes casos: a) A e B com a mesma direção e o mesmo sentido; b) A e B com a mesma direção e sentido opostos. 7. Considere dois vetores: um de módulo 30 e outro de módulo 40. Mostre como devem ser os vetores para que sua soma tenha módulo: a) 70 b) 10 c)50 8. Determine o módulo da soma de dois vetores perpendiculares, A e B, de módulos A= 12 e B= Dois vetores de módulos 100 e 10 tem mesma direção e sentidos opostos. Qual o módulo da soma vetorial desses dois vetores? 4 Decomposição de Vetores Todo o vetor pode ser decomposto em duas componentes, uma na horizontal e outra na vertical, para isso é preciso utilizar regras da trigonometria no triângulo retângulo. a e b: catetos c: hipotenusa : ângulo formado entre a hipotenusa e um cateto c a b Pode-se calcular os valores das componentes utilizando o ângulo de inclinação do vetor em relação ao eixo OX. y A y A A x x sem = C.O H cos = C.A H tg = C.O C.A C.O = Cateto oposto pelo ângulo C.A = Cateto adjacente pelo ângulo H = Hipotenusa 10

12 Exercícios: 10. Um gancho é puxado pela força F, conforme a figura abaixo:ao lado. Determine a componente no eixo x da força F. Dados: sem = 0,80 ; cós = 0,60 ) 11. Uma bola está parada sobre o gramado de um campo horizontal, na posição A. Um jogador chuta a bola para cima, imprimindo-lhe velocidade v 0 de modulo 8m/s, fazendo com a horizontal um ângulo de 60º, qual e o valo da componente da velocidade nos eixos x e y? 12. Em um jogo de basquete, uma bola é arremessada por um atleta em direção a cesta, distante 10m, a uma velocidade de 20m/s e fazendo ângulo de 45º com a horizontal. Com que velocidade a bola chega no alvo, considerando que, na hora do arremesso, a mão do atleta está no mesmo nível horizontal que a cesta? Adote g = 10m/s 2 e despreze os efeitos do ar. (Dado: sen 45º = cos 45º = 2/2). 11

13 Cinemática Tópico 03 1 Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U) v t Um movimento uniforme é caracterizado pela função horária x = x 0 + vt, sendo as grandezas medidas em unidades do Sistema Internacional (SI). x 0 x x = x 0 + vt x = posição em um instante qualquer (m) x 0 = posição inicial (m) v = velocidade (m/s) t = tempo (s) Exercícios OBS: Se a velocidade for positiva, o movimento é progressivo, se negativa o movimento é retrógrado. 1. Uma bicicleta movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a função horária x=10+2t (no SI). Pede-se: A) sua posição inicial; B) sua velocidade. 2. A posição de um móvel varia com o tempo, obedecendo à função horária x = t, no S.I. Determine a posição inicial e a velocidade do móvel. 3. Uma partícula move-se em linha reta, obedecendo à função horária x = t, no S.I. Determine: A) a posição inicial da partícula; B) a velocidade da partícula; C) a posição da partícula no instante t = 5 s. 4. Um móvel movimenta-se de acordo com a função horária x = t, sendo a posição medida em metros e o tempo, em segundos. Determine sua posição depois de 10 segundos. 5. Um ponto material movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a função horária x = t (no SI). Determine o instante em que o ponto material passa pela posição 36 m? 12

14 6. Um ponto material movimenta-se segundo a função horária x = 8 + 3t (no SI). Determine o instante em que o ponto material passa pela posição 35 m. 7. Um móvel obedece a função horária x = 5 + 2t (no S.I). A) Determine a posição do móvel quando t = 7 s. B) Em que instante o móvel passa pela posição s = 25 m? 8. A função horária x = 50-10t (no S.I) é válida para o movimento de um ponto material. A) Determine em que instante o ponto material passa pela origem da trajetória. B) Determine a posição quando t = 10 s. 9. Um móvel passa pela posição 10 m no instante zero (t 0 = 0) com a velocidade de +5 m/s. Escreva a função horária desse movimento. 10. Um móvel movimenta-se sobre uma trajetória retilínea, no sentido da trajetória, com velocidade constante de 2 m/s. Sabe-se que no instante inicial o móvel se encontra numa posição a 40 m do lado positivo da origem. Determine a função horária das posições para este móvel. 2 Encontro de móveis em M.R.U "Para determinar o instante em que dois móveis se encontram devemos igualar as posições dos móveis. Substituindo o instante encontrado, numa das funções horárias, determinaremos a posição onde o encontro ocorreu." A B A B 11. Dois móveis, A e B, movimentam-se de acordo com as equações horárias x A = t e x B = t, no S.I. Determine o instante e a posição de encontro dos móveis. 12. Dois móveis, A e B, movimentam-se de acordo com as equações horárias x A = t e x B = 50-3t, no S.I. Determine o instante e a posição de encontro dos móveis. 13. Dois móveis percorrem a mesma trajetória e suas posições em função do tempo são dadas pelas equações: x A = 30-80t e x B = t (no SI). Determine o instante e a posição de encontro dos móveis. 13

15 14. Dois móveis A e B caminham na mesma trajetória e no instante em que se dispara o cronômetro, suas posições são indicadas na figura abaixo. As velocidades valem, respectivamente, 20 m/s e -10 m/s, determine o instante e a posição de encontro dos móveis x(m) A B 15. Numa noite de neblina, um carro, sem nenhuma sinalização, percorre um trecho retilíneo de uma estrada com velocidade constante de 6 m/s. Em um certo instante, uma moto com velocidade constante de 8 m/s está 12 m atrás do carro. Quanto tempo após esse instante a moto poderá chocar-se com o carro? 16. Num dado instante, dois ciclistas estão percorrendo a mesma trajetória, obedecendo às funções horárias x 1 = t e x 2 = t (SI). Determine o instante e a posição do encontro. 17. Dois corpos se deslocam sobre a mesma trajetória, obedecendo às funções horárias x 1 = 3-8t e x 2 = 1 + 2t (SI). Determine o instante e a posição do encontro. 18. Dois ônibus com velocidade constante de 15 m/s e 20 m/s percorrem a mesma estrada retilínea, um indo ao encontro do outro. Em um determinado instante, a distância que os separa é de 700 m. Calcule, a partir desse instante, o tempo gasto até o encontro. 19. A distância entre dois automóveis num dado instante é 450 km. Admita que eles se deslocam ao longo de uma mesma estrada, um de encontro ao outro, com movimentos uniformes de velocidades de valores absolutos 60 km/h e 90 km/h. Determine ao fim de quanto tempo irá ocorrer o encontro e a distância que cada um percorre até esse instante. Propriedades do gráfico da velocidade e função do tempo ( v t ) No gráfico da velocidade em função do tempo, a área A da figura representa numericamente o espaço percorrido pelo móvel. 14

16 3 Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V) Aceleração: Em movimentos nos quais as velocidades dos móveis variam com o decurso do tempo, introduz-se o conceito de uma grandeza cinemática denominada aceleração. Aceleração (a): variação da velocidade escalar numa unidade de tempo, é definida por: a v t Quando o intervalo de tempo t é infinitamente pequeno, a aceleração escalar média passa a se chamar aceleração instantânea. v = v v o t = t t o a= aceleração (m/s 2 ) v = variação da velocidade (m/s) t = variação do tempo (s) A classificação de um movimento com variação de velocidade escalar, num determinado instante, é feita deste modo: Movimento progressivo Movimento Retrógrado Acelerado: v > 0 e a > 0 Retardado: v > 0 e a < 0 Exercícios Acelerado: v < 0 e a < 0 Retardado: v < 0 e a > Entre 0 e 3s, a velocidade de um helicóptero em MUV varia de 4 m/s para 21 m/s. Qual a sua aceleração? 21. Durante as experiências no laboratório, um grupo de alunos verificou que, entre os instantes 2s e 10s, a velocidade de um carrinho varia de 3 m/s a 19 m/s. Calcule o valor da aceleração desse movimento. 22. Em 4s, a velocidade de um carro passa de 8 m/s para 18 m/s. Qual a sua aceleração? 23. Em 2 horas, a velocidade de um carro aumenta de 20 km/h a 120 km/h. Qual a aceleração nesse intervalo de tempo? 24. Um rapaz estava dirigindo uma motocicleta a uma velocidade de 20 m/s quando acionou os freios e parou em 4s. Determine a aceleração imprimida pelos freios à motocicleta. 25. O que significa dizer que um corpo tem aceleração de 10 m/s 2? 26. Qual a diferença entre o movimento uniforme e o movimento uniformemente variado? 15

17 4 Função Horária da Velocidade do M.R.U.V v = v o + a.t v = velocidade em um instante qualquer ( m/s) v o = velocidade inicial (m/s) a = aceleração (m/s 2 ) t = tempo (s) Exercícios 27. Um carro em movimento adquire velocidade que obedece à expressão v=10-2t (no SI). Pede-se: a) a velocidade inicial; b) a aceleração; c) a velocidade no instante 6s. 28. Um automóvel em movimento retilíneo adquire velocidade que obedece à função v=15-3t (no SI). Determine: a) a velocidade inicial; b) a aceleração; c) a velocidade no instante 4s. 29. É dada a seguinte função horária da velocidade de uma partícula em movimento uniformemente variado: v=15+20t (no SI). Determine o instante em que a velocidade vale 215 m/s. 30. Um automóvel parte do estacionamento e é acelerado à razão de 5m/s 2. Calcule a sua velocidade 30s após a sua partida. 31. Um automóvel parte do repouso com aceleração constante de 2 m/s 2. Depois de quanto ele atinge a velocidade de 40 m/s? 32. Um trem de carga viaja com velocidade de 20 m/s quando, repentinamente, é freado e só consegue parar 70s depois. Calcular a aceleração. 33. Um automóvel tem velocidade de 25 m/s e freia com aceleração de - 5m/s 2. Depois de quanto tempo ele pára? 34. Um veículo parte do repouso e adquire aceleração de 2 m/s 2. Calcule a sua velocidade no instante t = 5s. 35. Um carro parte do repouso com aceleração de 6 m/s 2. Quanto tempo ele gasta para atingir 30 m/s? 5 Função Horária das Posições M.R.U.V x = x o + v o t + 2 at 2 2 at ou x = v o t

18 x = posição em um instante qualquer (m) x o = posição no instante inicial (m) v o = velocidade inicial (m/s) t = tempo (s) a = aceleração (m/s 2 ) s = distância percorrida (m) Exercícios 36. Um móvel descreve um MUV numa trajetória retilínea e sua posição varia no tempo de acordo com a expressão : x = 9 + 3t - 2t 2. (SI) Determine: a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração. 37. É dado um movimento cuja função horária é: x = 13-2t + 4t 2. (SI) Determine: a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração. 38. A função horária de um móvel que se desloca numa trajetória retilínea é x=20+4t+5t 2, onde s é medido em metros e t em segundos. Determine a posição do móvel no instante t=5s. 39. Um móvel parte do repouso da origem das posições com movimento uniformemente variado e aceleração igual a 2 m/s 2. Determine sua posição após 6 s. 40. Um móvel parte com velocidade de 10 m/s e aceleração de 6 m/s 2 da posição 20 metros de uma trajetória retilínea. Determine sua posição no instante 12 segundos. 41. Um ponto material parte do repouso com aceleração constante e 10 s após encontra-se a 40 m da posição inicial. Determine a aceleração do ponto material. 42. É dada a função horária do M.U.V de uma partícula, x = t - t 2. Determine (no S.I): a) o espaço inicial, a velocidade inicial e a aceleração da partícula; b) a posição da partícula no instante t = 5s. 43. Ao deixar o ponto de parada, o ônibus percorre uma reta com aceleração de 2 m/s 2. Qual a distância percorrida em 5s? 6 Equação de Torricelli v 2 = v o a. x v = velocidade em um instante qualquer (m/s) v o = velocidade inicial (m/s) a = aceleração (m/s 2 ) x = distância percorrida(m) 17

19 Exercícios 44. Um automóvel possui num certo instante velocidade de 10 m/s. A partir desse instante o motorista imprime ao veículo uma aceleração de 3 m/s 2. Qual a velocidade que o automóvel adquire após percorrer 50 m? 45. Um automóvel parte do repouso e percorre 256 m de uma rodovia com uma aceleração igual a 8 m/s e. Determine sua velocidade no final do percurso. 46. Um veículo tem velocidade inicial de 4 m/s, variando uniformemente para 10 m/s após um percurso de 7m. Determine a aceleração do veículo. 47. A velocidade de um corpo em MUV varia de 6 m/s a 9 m/s, num trajeto de 3 m. Calcule a aceleração do corpo. 48. Um carro de corrida inicialmente em repouso é sujeito a aceleração de 5 m/s 2. Determine a distância percorrida pelo carro até atingir a velocidade de 10 m/s. 49. Um trem trafega com velocidade de 15 m/s. Em determinado instante, os freios produzem um retardamento de -1,5 m/s 2. Quantos metros o trem percorre durante a freagem, até parar? 50. Uma composição do metrô parte de uma estação, onde estava em repouso e percorre 100m, atingindo a velocidade de 20 m/s. Determine a aceleração durante o processo. 51. Um carro está se movendo com uma velocidade de 16 m/s. Em um certo instante, o motorista aciona o freio, fazendo com que o carro adquira um movimento uniformemente variado, com aceleração de -0,8 m/s 2. Calcule a velocidade desse automóvel após percorrer uma distância de 70 m a partir do início da freada. EXERCÍCIOS ENVOLVENDO AS EQUAÇÕES DO M.R.U.V v = v o + a.t 1 x = x o + v o t + a.t 2 2 v 2 = v 2 o + 2.a. x 52. Um carro de corrida, que estava parado, arranca com movimento retilíneo uniformemente acelerado. O valor da sua aceleração é de 4 m/s 2. Quanto tempo o carro gasta para atingir a velocidade de 12 m/s? 53. Ao pousar, um avião toca a pista de aterrissagem com uma velocidade de 70 m/s. Suponha que seu movimento, a partir desse instante, seja retilíneo uniformemente retardado, com aceleração a = - 5 m/s 2. Qual será a velocidade do avião 10 s após ele tocar o solo? 18

20 54. Um carro, com movimento retilíneo uniformemente acelerado, de aceleração a = 1,5 m/s 2, partiu do repouso. Qual a distância que o carro percorre em 4 s? 55. Uma moto com velocidade inicial de 20 m/s freia com aceleração igual a - 2 m/s 2. Escreva a função horária da velocidade para esta moto. 56. Uma ave voa, a partir do repouso, com aceleração de 8 m/s 2. Qual é a velocidade atingida em 20 s? 57. Para decolar numa pista de 2 km, a partir do repouso, um avião precisa atingir a velocidade de 360 km/h. Qual a aceleração do avião? 58. O tempo de reação de um motorista é de aproximadamente 1s (intervalo de tempo decorrido entre a percepção de um sinal para parar e a efetiva aplicação dos freios). Se os freios de um automóvel podem garantir uma aceleração de retardamento de -5m/s 2, calcule a distância percorrida por ele até parar, supondo que sua velocidade era de 20 m/s ao perceber o sinal para parar. Propriedades do gráfico da velocidade e função do tempo ( v t ) A tangente do ângulo representa numericamente a aceleração. tg v t tg a Gráfico da posição em função do tempo ( x t ) M.R.U. M.R.U.V. 19

21 7 Movimento de Queda Livre (M.Q.L.) Queda livre é o movimento dos corpos ( para cima ou para baixo) sem sofrer a ação do ar ou qualquer outra interferência. A única força atuante é a gravidade ou força gravitacional (peso do corpo). A causa da gravidade é o campo gravitacional que existe em torno de qualquer massa, cujos estudos, por Newton, resultou na Lei da Gravitação Universal. Todos os corpos independentes de suas massas, num mesmo lugar, caem com a mesma aceleração. Para propósitos práticos, qualquer corpo independente de sua massa cai em direção ao centro da terra com uma aceleração que pode ser considerada constante. Quando existe a influência do ar, a velocidade de queda pode depender do peso e da forma do corpo.. Mas se a queda for no vácuo a pena e a esfera de aço atingem o solo ao mesmo tempo ou caem com a mesma aceleração. Esta aceleração recebe o nome de aceleração da gravidade e é representada pela letra (g). ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE Quando um corpo é lançado nas proximidades da superfície da terra fica sujeito a uma aceleração constante, orientada sempre para baixo, na direção vertical. O valor da aceleração da gravidade (g) varia de acordo com a altitude e a latitude do local, mas para nossos fins, vamos tomá-la como constante, cujo valor arredondado é: g Terra 10 m/s 2 g = aceleração da gravidade no local (m/s 2 ) O movimento de queda livre é um caso particular de MRUV onde a aceleração vale sempre 10 m/s 2. Assim podemos usar as equações do MRUV, fazendo apenas algumas mudanças de letras. No MRUV usamos (x) para posição, no lançamento vertical usamos (y) para altura e onde usávamos aceleração (a) agora usamos aceleração da gravidade (g). Como nosso referencial vai ser a superfície da terra, adotamos uma velocidade positiva para subida e uma velocidade negativa para decida. Por isso nas formula abaixa aparece um sinal de menos na frente da aceleração gravitacional (g), já que seu sentido é para baixo. 20 v = v o -gt y = y o + v o t - 2 g.t 2 v 2 = v o 2-2.g. y Exemplo: Uma pedra foi solta do alto de um prédio de 20m de altura. Calcular, assumindo queda livre (g = 10m/s 2 ): a) tempo para atingir o solo; b) a velocidade com que a pedra atinge o solo.

22 Exercícios 59. Dois objetos, uma pedra e uma pena, são abandonados simultaneamente da mesma altura. Determine qual deles chega primeiro ao chão, admitindo que a experiência se realize: a) no ar; b) no vácuo. 60. Se não existisse a aceleração da gravidade, qual seria a trajetória para um tiro de canhão? 61. Um objeto cai do alto de um edifício, gastando 7s na queda. Calcular com que velocidade atinge o solo (g=10 m/s 2 ). 62. De uma ponte deixa-se cair uma pedra que demora 2s para chegar à superfície da água. Sendo a aceleração local da gravidade igual a g=10 m/s 2, determine a altura da ponte. 63. Num planeta fictício, a aceleração da gravidade vale g=25 m/s 2. Um corpo é abandonado de certa altura e leva 7s para chegar ao solo. Qual sua velocidade no instante que chega ao solo? 64. Um gato consegue sair ileso de muitas quedas. Suponha que a maior velocidade com a qual ele possa atingir o solo sem se machucar seja 8 m/s. Então, desprezando a resistência do ar, qual a altura máxima de queda para que o gato nada sofra? ( g=10 m/s 2 ). 65. Um objeto é lançado verticalmente para baixo com uma velocidade de 20m/s, levando 4s para atingir o solo. Assumir movimento de queda livre MQL, g = 10 m/s 2 : a) qual a altura de que foi lançado? b) qual a velocidade ao atingir o solo? 52. Uma pedra de 20 kg é lançada verticalmente para cima a 80 m/s. Supor MQL e g = 10 m/s 2 : a) qual a altura máxima atingida pela pedra? b) qual o tempo para voltar ao ponto de lançamento? c) qual a velocidade de retorno ao ponto de lançamento? 53. Um pára-quedista desce com velocidade constante, quando a 120m do solo, deixa cair uma bomba em queda livre. Esta leva 4s para atingir o solo. Qual a velocidade de descida do pára-quedista? Adote g = 10m/s². 54. Um balão tripulado se move verticalmente com velocidade constante. Num dado instante um passageiro do balão abandona uma pedra quando ele está a uma altura de 90m do solo. A pedra gasta 3s para atingir o solo. Despreze, no movimento da pedra, o efeito do ar e adote g = 10m/s². Determine, justificando: a)o módulo da velocidade do balão. b)o sentido do movimento do balão (subindo ou descendo). 52. Maria abandona do alto de uma torre, um corpo a partir do repouso.durante a queda livre, com g=10m/s² e constante, ela observa que nos dois primeiros segundos o corpo percorre uma distância de 20m. À distância percorrida pelo corpo nos 4s segundos seguintes será de: 53. Um pequeno objeto é largado do 15º andar de um edifício, passando, 1 segundo após o lançamento, pela janela do 14º andar. Por qual andar ele passará 2 segundos após o lançamento? Admita g =10m/s² e despreze o atrito com o ar. 54. Um foguete é lançado verticalmente de uma base. Ao atingir uma altura de 480 m, o combustível do primeiro estágio acaba e ele é desacoplado do foguete. Nesse instante sua velocidade é de 100m/s. Usando g = 10 m/s², calcule o módulo da velocidade com que o primeiro estágio atingirá o solo. 21

23 Dinâmica Tópico 04 Força (F) é o resultado da interação entre corpos. A força provoca uma deformação ou uma variação no estado de movimento de um corpo, isto é: põe em movimento um corpo que está em repouso pára um corpo em movimento muda a direção de um corpo. Tipos de Força: Forças de Contato: são aquelas aplicadas através do contato entre os corpos, por exemplo, um empurrão que damos em uma mesa. Forças de Campo: são as que atuam nos corpos ainda que separados por uma certa distância. Não precisamos estar em contato com o chão para que sejamos puxados contra ele, tanto que se jogarmos uma pedra para cima ela voltará a cair. Da mesma forma, podemos notar que ao aproximarmos um ímã de um prego, este será atraído pelo ímã. Massa (m) é a quantidade de matéria contida em um corpo e é uma propriedade que não varia de um lugar para outro. Peso (Fp) é a força com que os planetas puxam a matéria dos corpos para si. Na Terra esta força é maior do que na Lua, logo pode variar de um local para outro. Por exemplo, no Pólo Sul e no Equador 1kg de ouro, não pesa a mesma coisa, apesar de possuir a mesma massa, aceleração gravitacional (g) do equador e menor do que nos pólos. Inércia: Se um corpo estiver em repouso, é necessária a ação de uma força sobre ele para coloca-lo em movimento. Uma vez iniciado o movimento, cessando a ação das forças, o corpo continuará a se mover indefinidamente em linha reta, com velocidade constante. F=0 Movimento retilíneo uniforme 22

24 1 Leis de Newton Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia): Qualquer corpo em repouso ou em MRU tende a permanecer nesse estado, a menos que seja obrigado a alterálo por aplicação de uma força externa. Segunda Lei de Newton: A aceleração que um corpo adquire é diretamente proporcional à força que atua sobre ele e tem a mesma direção e o mesmo sentido desta força. F m a A resultante das forças que agem sobre um corpo é igual ao produto de sua massa pela aceleração adquirida. Terceira Lei de Newton (Ação e Reação): Quando um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, o corpo B reage sobre A, exercendo nele uma força de mesmo módulo, de mesma direção e sentido contrário. Observação Força resultante: É a soma de todas as forças que atuam no corpo. Corpo em e equilíbrio: A condição para que um corpo esteja em equilíbrio é que seja nula a resultante das forças que atuam sobre ele. Exercícios 1. Calcule o valor da aceleração: a) b) 6Kg 6N 10N 4Kg 26N c) 2Kg 10Kg 10N 30N 10N 6N 4N 23

25 e) f) 8N 8Kg 3N 2N 5Kg 6N 2. Um corpo tem massa de 5 kg e adquire uma aceleração de 3 m/s 2. Determine o valor da força aplicada. 3. Uma força de 20N aplicada em um corpo provoca uma aceleração de 5 m/s 2. Determine a massa do corpo. 4. Determine a aceleração adquirida por um corpo de massa de 2000g, sabendo que sobre ele atua uma força resultante de intensidade 8N. 5. Calcule a força com que a Terra puxa um corpo de 20g de massa quando ele está em sua superfície. (Dado: g=10 m/s 2 ) 6. Na Terra, a aceleração da gravidade é em média 9,8 m/s 2, e na Lua 1,6 m/s 2. Para um corpo de massa 5kg, determine: a) o peso desse corpo na Terra. b) a massa e o peso desse corpo na Lua. 7. Um astronauta com o traje completo tem uma massa de 120kg. Determine a sua massa e o seu peso quando for levado para a Lua, onde a gravidade é aproximadamente 1,6m/s Na Terra, num local em que a aceleração da gravidade vale 9,8 m/s 2, um corpo pesa 98N. Esse corpo é, então levado para a Lua, onde a aceleração da gravidade vale 1,6m/s 2?. Determine sua massa e o seu peso na Lua. 9. Em Júpiter, a aceleração da gravidade vale 26 m/s 2, enquanto na Terra é de 10 m/s 2. Qual seria, em Júpiter, o peso de um astronauta que na Terra corresponde a 800 N? 10. Qual é o peso, na Lua, de um astronauta que na Terra tem peso 784N? Considere g T =9,8 m/s 2 e g L = 1,6 m/s Um corpo com massa de 0,6kg foi empurrado por uma força que lhe comunicou uma aceleração de 3 m/s 2. Qual o valor da força? 12. Um caminhão com massa de 4000kg está parado diante de um sinal luminoso. Quando o sinal fica verde, o caminhão parte em movimento acelerado e sua aceleração é de 2 m/s 2. Qual o valor da força aplicada pelo motor? 13. Sobre um corpo de 2kg atua uma força horizontal de 8 N. Qual a aceleração que ele adquire? 24

26 14. Uma força horizontal de 200 N age corpo que adquire a aceleração de 2 m/s 2. Qual é a sua massa? 15. Partindo do repouso, um corpo de massa 3kg atinge a velocidade de 20 m/s em 5s. Descubra a força que agiu sobre ele nesse tempo. 16. A velocidade de um corpo de massa 1kg aumentou de 20 m/s para 40 m/s em 5s. Qual a força que atuou sobre esse corpo? 17. Uma força de12n é aplicada em um corpo de massa 2kg. a) Qual é a aceleração produzida por essa força? b) Se a velocidade do corpo era 3 m/s quando se iniciou a ação da força, qual será o seu valor 5 s depois? 18. Sobre um plano horizontal perfeitamente polido está apoiado, em repouso, um corpo de massa m=2 kg. Uma força horizontal de 20N, passa a agir sobre o corpo. Qual a velocidade desse corpo após 10s? 19. Um corpo de massa 2kg passa da velocidade de 7 m/s à velocidade de 13m/s num percurso de 52m. Calcule a força que foi aplicada sobre o corpo nesse percurso. 20. Um automóvel, a 20 m/s, percorre 50m até parar, quando freado. Qual a força que age no automóvel durante a frenagem? Considere a massa do automóvel igual a 1000kg. 21. Sob a ação de uma força constante, um corpo de massa 7kg percorre 32m em 4 s, a partir do repouso. Determine o valor da força aplicada no corpo. 22. Um corpo de 3,0 kg está se movendo sobre uma superfície horizontal sem atrito com velocidade v 0. Em um determinado instante (t = 0) uma força de 9,0 N é aplicada no sentido contrário ao movimento. Sabendo-se que o corpo atinge o repouso no instante t = 9,0 s, qual a velocidade inicial v 0, em m/s, do corpo? 23. Uma partícula de massa igual a 0,5 kg teve sua velocidade aumentada linearmente de 4,0 m/s para 8,0 m/s durante 2,0 segundos. Nesse caso, a força resultante que atuou sobre ela foi de: 2 Lei de Hoock A lei de Hooke consiste basicamente na consideração de que uma mola possui uma constante elástica k. Esta constante é obedecida até um certo limite, onde a deformação da mola em questão se torna permanente. Dentro do limite onde a lei de Hooke é válida, a mola pode ser comprimida ou elongada, retornando a uma mesma posição de equilíbrio. 25

27 Analiticamente, a lei de Hooke é dada pela equação: F = -k.x Neste caso, temos uma constante de proporcionalidade k (N/m) e a variável independente x (m). A partir da equação pode se concluir que a força da mola tem sentido contrario a da força aplicada. Exercícios: 24. Uma mola tem constante elástica de 10 N/cm. Determine a força que deve ser aplicada para que a mola sofra uma deformação de 5cm. 25. A constante elástica de uma mola é de 30 N/cm. Determine a deformação sofrida pela mola ao se aplicar nela uma força de 120 N. 26. Uma mola de suspensão de carro sofre deformação de 5 cm sob ação de uma força de 2000 N. Qual a constante elástica dessa mola? 27. Uma mola é submetida à ação de uma força de tração. O gráfico abaixo indica a intensidade da força tensora em função da deformação x. Determine: a) a constante elástica da mola; b) a deformação x quando F=60N. 28. Aplicando-se uma força de 100 N numa mola ela sofre uma deformação de 2 cm. Qual a força que deforma a mola de 10 cm? 3 Força de Atrito Força Normal: Força de reação da superfície de contato com o corpo. Fn (Normal) Fp (Peso) 26

28 Obs.: Força Normal como o próprio nome diz é normal (perpendicular) à superfície. E está uniformemente distribuída num corpo com massa uniformemente distribuída e portanto deve estar localizada, exatamente, no centro deste corpo. Para o plano horizontal podemos sempre considerar, força peso igual a força normal. Fn = Fp Força de Atrito: o fato de tentarmos fazer um corpo deslizar sobre um superfície sem consegui-lo é justificado pelo aparecimento de uma força entre as superfícies de contato, o que impede o movimento deste corpo é a força de atrito estático. Uma vez iniciado o movimento, a força de atrito estático deixa de existir, passando a atuar a força de atrito cinético de valor sempre inferior ao da força de atrito estático. A força de atrito depende da Normal (N) e independe da área de contato entre os corpos. Fa e = e.n, onde e é o coeficiente de atrito estático (quando é estática). Fa c = c. N, onde c é o coeficiente de atrito cinético (quando é cinética). Fn F at =.F N F F at Fp F at = força de atrito (N) = coeficiente de atrito Fn= normal (N) Exercícios 29. Um bloco de massa 8 kg é puxado por uma força horizontal de 20N. Sabendo que a força de atrito entre o bloco e a superfície é de 2N, calcule a aceleração a que fica sujeito o bloco. Dado: g = 10 m/s Um bloco de massa 10 kg movimenta-se numa mesa horizontal sob a ação de uma força horizontal de 30 N. A força de atrito entre o bloco e a mesa vale 20 N. Determine a aceleração do corpo. 31. Um corpo de massa m = 5 kg é puxado horizontalmente sobre uma mesa por uma força F = 15 N. O coeficiente de atrito entre o corpo e a mesa é = 0,2. Determine a aceleração do corpo. Considere g = 10 m/s Um bloco de massa 2 kg é deslocado horizontalmente por uma força F = 10 N, sobre um plano horizontal. A aceleração do bloco é 0,5 m/s 2. Calcule a força de atrito. 33. Um sólido de massa 5 kg é puxado sobre um plano horizontal por uma força horizontal de 25 N. O coeficiente de atrito entre o sólido e o plano é 0,2. A) Qual a força de atrito? B) Qual é a aceleração do corpo? Dado: g = 10 m/s Um corpo de massa igual a 5 kg, repousa sobre um plano horizontal. O coeficiente de atrito entre o corpo e o plano é 0,1. Que força horizontal deve ser aplicada para se obter uma aceleração de 3 m/s 2? 27

29 35. Um corpo de massa 6 kg é lançado com velocidade inicial de 8 m/s. Determine a distância que o corpo percorrerá até parar, sabendo que o coeficiente de atrito entre o corpo e a superfície é 0,1. Adote g = 10 m/s Um pequeno bloco de massa 20 kg, em movimento com a velocidade de 20 m/s, atinge uma superfície áspera onde a força de atrito vale 8 N. Determine a distância percorrida pelo bloco até parar. 37. Um carro de massa 900 kg e velocidade de 30 m/s freia bruscamente e pára em 3 s. Calcule a força de atrito. 38. Uma força horizontal de 10 N arrasta um corpo de massa 2,5 kg, que estava inicialmente em repouso, deslocando-o 3 m, em uma superfície horizontal. A velocidade final do corpo é 2 m/s. Qual a força de atrito entre o corpo e a superfície? 4 Aplicações das Leis de Newton 39. Dois blocos de massas m A = 2 kg e m B = 3 kg, apoiados sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa, são empurrados por uma força F de 20 N, conforme indica a figura abaixo. Determine: a) a aceleração do conjunto; b) a força que o corpo A exerce no corpo B. 40. Os corpos A e B encontram-se apoiados sobre uma superfície horizontal plana perfeitamente lisa. Uma força F de 40 N é aplicada em A conforme indica a figura. Dados: m A = 2kg e m B = 8kg. Determine: a) aceleração dos corpos A e B; b) a força que A exerce em B. 41. Dois corpos A e B, de massas m A = 10 kg e m B = 5 kg estão interligados por um fio ideal. A superfície de apoio é horizontal e perfeitamente lisa. Aplicase em B uma força horizontal de 30 N, conforme indica a figura abaixo. Determine: a) a aceleração do conjunto; b) a força de tração no fio. 28

30 42. Dois corpos A e B de massas respectivamente iguais à 5kg e 3kg, interligados por um fio de massa desprezível, são puxadas sobre um plano horizontal liso por uma força horizontal F. A aceleração do conjunto é de 6 m/s 2. Determine: a) a força F; b) a força de tração no fio. 43. Na situação do esquema abaixo, não há atrito entre os blocos e o plano, m A =2kg e m B =8kg. Sabe-se que o fio que une A com B suporta, sem romper-se uma tração de 32N. Calcule a força admissível à força F, para que o fio não se rompa. 44. No salvamento de um homem em alto mar, uma bóia é largada de um helicóptero e leva 2,0 s para atingir a superfície da água. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e desprezando o atrito com o ar, determine: a) a velocidade da bóia ao atingir a superfície da água; b) a tração sobre o cabo usado para içar o homem, sabendo que a massa deste é igual a 120 kg e que a aceleração do conjunto é 0,5 m/s Determine a aceleração do conjunto da figura e a intensidade de tração na corda, supondo que não há atritos. Despreze a massa da corda e considere g=10m/s Na figura temos três corpos A, B e C interligados e suspensos através de fios ideais. Se suas massas são, respectivamente, iguais a 1,0 kg, 1,5 kg e 29

31 0,80 kg e a aceleração da gravidade no local vale 10 m/s 2, o módulo da tração no fio que liga os corpos A e B é de: 47. O dispositivo representado na figura é denominado máquina de Atwood. A polia tem inércia de rotação desprezível e os atritos não devem ser considerados. O fio é inextensível e de massa desprezível e, no local, a aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s 2. A massa do corpo A é 100 g e a massa do corpo B é 50 g. Se, em determinado instante, a máquina é destravada, o módulo da aceleração de cada bloco é: 48. No esquema da figura, despreza-se qualquer forma de atrito. Tomando g = 10 m/s 2, calcule: a) a intensidade da força de tração na corda, antes de se retirar o pino; b) a aceleração do sistema em conseqüência da retirada do pino; c) o tempo gasto pelo bloco até atingir a polia. 30

32 49. O bloco A da figura tem massa m a = 80kg e o bloco B tem massa m b = 20 kg. A força F tem intensidade de 600N. Os atritos e a inércia do fio e da polia são desprezíveis. Admitindo g=10m/s 2, determine: a) a aceleração do bloco B; b) a intensidade da força que traciona o fio. 50. Considere o esquema representado na figura abaixo. As roldanas e a corda são ideais. O corpo suspenso da roldana móvel tem peso P = 500N. a) Qual o módulo da força vertical (para baixo) que o homem deve exercer sobre a corda para equilibrar o sistema? b) Para cada 1 metro de corda que o homem puxa, de quanto se eleva o corpo suspenso? 51. Na figura abaixo, os corpos A, B e C têm massas respectivamente iguais a 2 kg, 5 kg e 3 kg. a) Com os dados acima diga qual é a aceleração do sistema; b) O valor da tração T 1, no cabo que liga C a B, vale; c) O valor da tração T 2 vale. 31

33 Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) Tópico 05 O Movimento Circular Uniforme (MCU) consiste num tipo de movimento de trajetória circular em que o módulo da velocidade é constante, variando apenas a direção do vetor velocidade uma vez que o somatório das forças no corpo é não nulo apenas na componente normal. Período: "É o tempo gasto por um corpo para efetuar uma volta completa no circulo." Freqüência: "'É o número de voltas efetuadas no circulo na unidade de tempo." Relação entre período e freqüência f = freqüência (Hz) T = período (s) Exercícios f = T 1 1. Qual o período do ponteiro das horas de um relógio? 2. Qual o período de rotação da Terra? 3. Qual o período de translação da Terra ao redor do Sol? 4. Um garoto num gira-gira descreve um movimento circular uniforme executando 5 voltas em 20 s. Determine o período e a freqüência do movimento. 5. Um carrinho de um autorama realiza um movimento circular uniforme completando 10 voltas em 5 s. Determine seu período e sua freqüência. 6. Um corpo em movimento circular uniforme completa 20 voltas em 10 segundos. Determine o período e a freqüência do corpo. 7. Um carrossel gira uniformemente, efetuando uma rotação completa a cada 4 s. Determine a freqüência com que cada cavalo executa o movimento circular uniforme. 1 Velocidade Angular É a razão entre o ângulo descrito em relação ao centro da circunferência e o intervalo de tempo gasto em descrevê-lo. Ela indica a rapidez com que o móvel descreve ângulos. 32

34 t 2. T = velocidade angular (rad/s) = ângulo percorrido (rad) t = tempo (s) Exercícios 8. Um ponto percorre uma circunferência e descreve um ângulo central de 2 rad em 5 s. Determine a velocidade angular nesse intervalo de tempo. 9. Uma partícula percorre uma circunferência, descrevendo um ângulo central de 3 rad em 2 s. Determine a velocidade angular neste intervalo de tempo. Relação entre a velocidade escalar e a velocidade angular É a razão entre a variação de posição ( arco percorrido, distância percorrida ) e o intervalo de tempo em que esta variação ocorreu. Ela indica a rapidez com que o móvel percorre a circunferência. v = velocidade escalar (m/s) = velocidade angular (rad/s) R = raio (m) Exercícios v =. R v 2.. R T 10. Um ponto percorre uma circunferência com velocidade angular = 10 rad/s. Sendo R = 2 m o raio da circunferência, determine a velocidade escalar v. 11. Uma partícula descreve um movimento circular uniforme com velocidade escalar v = 5 m/s. Sendo R = 2 m o raio da circunferência, determine a velocidade angular. 12. Uma partícula descreve uma trajetória circular de raio 5 m. Ao percorrer o arco de circunferência, ela desenvolve uma velocidade escalar de 10 m/s, gastando 0,5 segundo nesse percurso. Determine o ângulo descrito. 13. Uma partícula percorre uma circunferência de raio 10 m, com velocidade escalar de 20 m/s. Quanto tempo a partícula demora para percorrer um arco de circunferência de 1 rad? 33

35 2 Aceleração Centrípeta A aceleração centrípeta, também chamada de aceleração normal ou radial, é a aceleração originada pela variação da direção do vetor velocidade de um móvel, característico de movimentos curvilíneos ou circulares. Ela é perpendicular à velocidade e aponta para o centro da curvatura da trajetória. A aceleração centrípeta pode ser calculada como: a = aceleração centrípeta (m/s 2 ) v = velocidade escalar (m/s) r = raio da circunferência (m) Exercícios 2 v a c R 14. Um móvel realiza um movimento circular e uniforme, com velocidade de 5 m/s. Sendo a aceleração centrípeta igual a 10 m/s 2, determine o raio de sua trajetória. 15. Uma pedra amarrada em um barbante realiza um movimento circular e uniforme, em um plano horizontal, com velocidade de 3 m/s. Sendo o raio da circunferência igual a 0,5 m, determine o valor da aceleração centrípeta. 16. Um corpo realiza um movimento circular e uniforme, em uma circunferência com raio de 2 metros. Determine a velocidade do corpo, sabendo que sua aceleração centrípeta é igual a 8 m/s A Lua realiza, ao redor da Terra, um movimento aproximadamente circular e uniforme, com velocidade de 1000 m/s. Sendo o raio de sua órbita igual a quilômetros, determine sua aceleração centrípeta. 3 Força Centrípeta É a força resultante que puxa o corpo para o centro da trajetória em um movimento curvilíneo ou circular. Objetos que se deslocam em movimento retilíneo uniforme possuem velocidade modular constante. Entretanto, um objeto que se desloca em arco, com o valor da velocidade constante, possui uma variação na direção do movimento; como a velocidade é um vetor de módulo, direção e sentido, uma alteração na direção implica uma mudança no vetor velocidade. A razão dessa mudança na velocidade é a aceleração centrípeta. Como força é dada pela fórmula: F ma e a aceleração, neste caso particular, corresponde à aceleração centrípeta dada pela fórmula: 34

36 2 v a c R temos a força centrípeta que pode ser calculada como: 2 v F m R Exercícios 18. Considere um corpo de massa 3 kg descrevendo uma trajetória circular de raio 2 m, com velocidade escalar constante de 10 m/s. Calcule a força centrípeta que atua no corpo. 19. Determine a intensidade da força centrípeta necessária para manter um automóvel de massa 1000 kg numa trajetória circular de raio 100 m, à velocidade de 10 m/s. 20. Se num movimento circular reduzirmos o raio e a velocidade à metade, a força centrípeta será: a) igual à anterior; b) o quádruplo da anterior; c) a metade da anterior; d) a quarta parte da anterior; e) n.d.a. 21. A força centrípeta que age numa partícula de massa 4 kg num movimento circular uniforme tem intensidade de 32 N. Se o raio da trajetória for 200 cm, determine a velocidade adquirida pela partícula. 22. Um corpo de massa igual a 1,0 kg descreve, sobre uma mesa bem polida, uma circunferência horizontal de raio 1,0 m, quando preso mediante um fio a um ponto fixo na mesa. O corpo efetua 60 rpm. Qual a intensidade da força tensora no fio (força tração)? Adote π² =