1 INTRODUÇÃO. 1.1 HISTÓRICO DAS REDES GRAVIMÉTRICAS Redes Mundiais

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1 1 1 INTRODUÇÃO A gravimetria tem se constituído em uma das principais áreas de interface entre a Geodésia e outras ciências, tais como Geologia, Geofísica, Oceanografia e os diversos campos de atividades aplicadas, onde é fundamental o conhecimento do campo de gravidade. A observação gravimétrica nos continentes, associada a redes mundiais, é a injunção mais importante para o melhor conhecimento do geopotencial. Esta melhoria é fundamental para as técnicas de posicionamento global preciso, devido as suas implicações diretas para a Dinâmica Orbital e correta orientação de referenciais globais, entre outros aspectos. Para tal, é necessário o conhecimento da gravidade com adequada distribuição global ou geográfica de estações. Enquanto nas regiões oceânicas este problema foi em grande parte resolvido satisfatoriamente pelas técnicas espaciais de altimetria e gravimetria por satélites, nas regiões continentais ele permanece condicionado à existência de redes gravimétricas de alta precisão. 1.1 HISTÓRICO DAS REDES GRAVIMÉTRICAS Redes Mundiais Os levantamentos gravimétricos relativos clássicos realizados em diferentes partes do mundo só têm significado geodésico se forem compatíveis, ou seja, se estiverem referenciados ao mesmo datum. Com base nesta idéia, visa-se um sistema de referência mundial e homogêneo para a gravidade, que padronize as medidas gravimétricas. O primeiro sistema de referência para a gravidade internacionalmente aceito, é conhecido como Vienna Gravity System. Este, com precisão relativa em torno de 10mGal, foi adotado em O Sistema Potsdam, cujo datum era a estação pendular da Pendelsaal no observatório de Potsdam, introduzido logo depois, foi internacionalmente aceito em Este datum foi definido apenas por uma determinação gravimétrica absoluta em um ponto. Os valores da gravidade neste sistema foram determinados pelo ajuste de uma rede de diferenças absolutas, medidas com pêndulos, e referenciadas a este ponto. A precisão relativa deste sistema foi estimada em 3mGal, e corrigiu o sistema de Viena em 16 mgal. Décadas depois, objetivando avaliar o datum

2 gravimétrico de Potsdam, realizaram-se determinações absolutas com certa distribuição global e concluiu-se que havia um erro de 1 a 16 mgal neste sistema. No fim da década de 40, foram publicados dois ajustamentos que demonstravam precisão e distribuição insuficientes, levando G. P. Woolard a empreender seu trabalho pioneiro promovendo o uso geodésico de novos instrumentos (gravímetros Worden e LaCoste&Romberg), que levaram a novas e mais precisas medidas relativas da gravidade em todo o mundo. Assim, depois da instituição de um grupo especial de estudos em 1954, para organizar as atividades de gravimetria que vinham sendo desenvolvidas, foram escolhidos 34 pontos distribuídos pelo globo que formaram a FOWGN (First Order World Gravity Net). Foi então desenvolvida a interligação desses pontos, durante quase uma década de observações, envolvendo medidas absolutas, pendulares e relativas com a cooperação de muitos países. Após o ajustamento, chegou-se à The International Gravity Standardization Net 1971 (IGSN-71), aprovada na XV Assembléia Geral da IUGG em Moscou em agosto de 1971, e adotado como o padrão internacional para a gravidade, substituindo o Sistema Potsdam. A escala da IGSN-71 foi determinada pelo efeito combinado de 10 medidas absolutas utilizando gravímetros e aproximadamente 100 medidas absolutas pendulares, enquanto que a rigidez relativa da rede foi provida por aproximadamente 4000 medidas gravimétricas relativas com gravímetros. Na ocasião, foi detectado um desvio sistemático da antiga rede com a nova da ordem de 14 µ Gal, demonstrando a necessidade do estabelecimento de controles absolutos distribuídos pelo mundo. No Brasil, existem 0 localidades que abrigam estações fundamentais da IGSN-71, a partir das quais foi estabelecida a Rede Gravimétrica Nacional Redes Nacionais A Universidade Federal do Paraná, de forma pioneira, através de seu Curso de Pós-graduação em Ciências Geodésicas, posteriormente com a participação do Observatório Nacional (ON), da Universidade de São Paulo e mais recentemente o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), realizaram trabalhos que conduziriam ao estabelecimento da Rede Gravimétrica Nacional vinculada às estações fundamentais da IGSN-71. Em tais trabalhos, que se caracterizaram por

3 elevada precisão para a época de realização, a UFPR utilizou um conjunto de gravímetros LaCoste & Romberg sobre linhas medidas duplamente (em ida e volta) em intervalos de tempo não superiores a 36 horas. Na época os equipamentos disponíveis para determinações absolutas, não alcançavam precisões melhores que 50 µ Gal. Já na década de 80 (FALLER, 1983), com o desenvolvimento de novos equipamentos para este fim, foi possível chegar à ordem de 10 µ Gal, permitindo o estabelecimento de estações gravimétricas absolutas de alta precisão, com distribuição adequada, de modo a formar apoio às redes fundamentais, servindo para controle de estações já existentes, implantadas com diversas metodologias, de diferentes propósitos, entre eles, servir de base para calibração periódica de gravímetros. Com este intuito, a Rede Nacional de Estações Gravimétricas Absolutas RENEGA (GEMAEL et al., 1990), foi estabelecida no Brasil pela Universidade Federal do Paraná, com a colaboração do Institut für Erdmessung, da Universidade de Hannover, proprietária do gravímetro absoluto JILAG-3, usado na implementação da rede. Com este equipamento foram implantadas sete estações absolutas (Tabela 1.1). A precisão desta rede é melhor que 10 µ Gal (TORGE et al., p. 10, 1994). 3 TABELA ESTAÇÕES DA RENEGA Estações ϕ λ h (m) gravidade Teresina (PI) ,343 Brasília (DF) ,798 Viçosa (RJ) ,30 Vassouras (MG) ,581 Valinhos (SP) ,778 Curitiba (PR) ,387 Santa Maria (RS) ,636 FONTE: (GEMAEL et al., 00) Tem-se que 1 mgal equivale a 10-5 m/s e que 1µ Gal equivale a 10-8 m/s.

4 4 1. COOPERAÇÃO E SUPORTE PARA A SUA REALIZAÇÃO a) Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas, do Departamento de Geomática, Setor Ciências da Terra, da Universidade Federal do Paraná, mediante a linha de pesquisa em Geodésia, sub-área de Otimização de Levantamentos Geodésicos; b) orientação do Prof. Dr. Sílvio Rogério Correia de Freitas e co-orientação dos professores Dr. Camil Gemael e Dr. Pedro Luis Faggion; c) Laboratório de Instrumentação Geodésica (LAIG), da Universidade Federal do Paraná (UFPR), com sua infra-estrutura a disposição, incluindo um gravímetro tipo LaCoste&Romberg, modelo G-37; d) colaboração de Jair Silveira da Silva Junior e Kauem Simões, enquanto alunos do Curso de Graduação de Engenharia Cartográfica da Universidade Federal do Paraná e bolsistas(cnpq) de iniciação científica com atuação no LAIG. e) Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), com empréstimo de dois gravímetros tipo LaCoste&Romberg, modelos G-114 e G-143; f) Ao projeto de pesquisa do Prof. Dr. Sílvio Rogério Correia de Freitas, o qual proporcionou o desenvolvimento deste trabalho; g) Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), com apoio financeiro a este trabalho; h) colaboração do Prof. Dr. Francisco Ferreira, responsável pelo Laboratório de Pesquisas em Geofísica Aplicada da Universidade Federal do Paraná, com o empréstimo de um gravímetro digital Scintrex, modelo CG3; i) biblioteca do Setor de Ciências da Terra, Tecnologia e Ciências Exatas da UFPR;

5 5 j) o Serviço de Comutação Bibliográfica (COMUT) que providencia referências bibliográficas brasileiras e na The british Library Documment Supply Centre. 1.3 OBJETIVOS Objetivo Geral Implantar uma rede gravimétrica científica no Estado do Paraná, aplicando critérios de otimização dos levantamentos e processamentos dos dados, integrando observações oriundos dos gravímetros LaCoste & Romberg modelo G, e Scintrex modelo CG3, com técnicas de redes neurais artificiais, e aplicando os critérios para análise de qualidade de uma rede geodésica Objetivos Específicos a) apresentar a metodologia de levantamento para a implantação de uma rede gravimétrica ; b) analisar os aspectos relacionados à calibração dos gravímetros quando se consideram duas estações absolutas, como parte integrante da rede, e se utiliza às tabelas mais recentes de calibração para cálculo dos desníveis gravimétricos; c) analisar os aspectos relacionados à calibração dos gravímetros quando se consideram duas estações absolutas para determinar um fator de escala para os gravímetros, gerando tabelas de calibração corrigidas na época do levantamento para cálculo dos desníveis gravimétricos; d) apresentar estratégias de ajustamento para uma rede gravimétrica, com discussões em torno da matriz dos pesos e de forma de entrada das observações, considerando observação média e observação independente;

6 6 e) aplicar estratégias para tratamento das observações, considerando aspectos de otimização em ajustamento: critérios de precisão e confiabilidade, aplicando a decomposição espectral da matriz variânciacovariância dos parâmetros ajustados, o conceito de número de redundância, confiabilidade interna e confiabilidade externa; f) integrar dados gravimétricos utilizando, como critério, uma rede neural artificial: discussão Scintrex modelo CG3 e LaCoste & Romberg modelo G; 1.4 CONTRIBUIÇÃO E ESTRUTURAÇÃO DA PESQUISA As redes gravimétricas nacionais fundamentais e derivadas têm sido usualmente estabelecidas por observações relativas com gravímetros de mola, tomando como ponto de controle estações vinculadas à IGSN71. Isso vem ocorrendo na América do Sul, especialmente no Equador, Paraguai e Chile. Deste modo este tema é retomado com destaque no continente americano. O gravímetro de mola convencional, modelo G, pode interpolar valores de gravidade com precisão de 10 a 0 µ Gal (LACOSTE & ROMBERG, 003). Experimentos sobre pontos da rede gravimétrica fundamental do Brasil, onde a ocupação de duas estações de referência pode ser efetivada em até 36h, mostram que os valores determinados para a gravidade têm precisões entre 50 e 100 µ Gal (FAGGION et al. 00). Cabe ressaltar que a forma de levantamento gravimétrico relativo com gravímetros de mola é limitada em precisão principalmente por causa da mudança da função de transferência do gravímetro. Esta variação, deve-se em grande parte à deriva instrumental, a qual é conseqüência da variação do arranjo geométrico dos componentes mecânicos do instrumento e da constante elástica da mola. São causas externas, as condições ambientais, transporte, e forma de utilização. No entanto existem também características próprias de resposta ao longo do tempo de cada instrumento. Os efeitos da deriva, podem ser modelados satisfatoriamente somente para intervalos pequenos de tempo. Atualmente, dispõe-se no Brasil da linha de Itatiaia (base relativa) e da Rede Nacional de Estações Gravimétricas Absolutas - RENEGA (GEMAEL et al., 1990). No entanto, as estações absolutas podem ser utilizadas à parte de um procedimento

7 7 específico de calibração, se aplicadas como controle dos fatores de escala para todos os instrumentos utilizados no levantamento. Para isso, no mínimo duas estações absolutas devem ser usadas como integrante da rede que está sendo levantada (FAGGION et al. 00). Com base nestes aspectos e devido à necessidade de se implantar uma rede gravimétrica precisa, foi proposta a realização da Rede Gravimétrica Científica do Estado do Paraná, cujo objetivo principal é constituir uma rede de referência gravimétrica com precisão superior às demais redes relativas brasileiras, com confiabilidade satisfatória. Inicialmente, os dados foram tratados de forma tradicional. Foram obtidas soluções ajustadas para cada um dos gravímetros envolvidos, de forma individual e soluções globais, combinando os desníveis gravimétricos medidos e, obtendo desníveis gravimétricos médios (FREITAS et al., 00(a)) e (FREITAS et al., 00(b)). No prosseguimento do estudo, outras soluções foram surgindo, principalmente com a utilização de diversas estratégias de entrada das observações no ajustamento, combinadas com as concepções de matriz dos pesos utilizadas. Destaca-se que a matriz dos pesos foi outro ponto importante de discussão. Devido ao grande número de soluções obtidas para a rede, foram inevitáveis os questionamentos: quais são as soluções mais precisas? Que critérios utilizar para diferenciar as soluções quanto à precisão? Dentre as soluções mais precisas, qual a mais confiável? Que critério utilizar para mensurar a confiabilidade das soluções? Resultados obtidos até então, mostram que é possível obter respostas para estes questionamentos. Para tanto, na implantação de uma rede gravimétrica, não se pode analisar a qualidade considerando apenas a precisão obtida da diagonal principal da matriz variância-covariância dos parâmetros ajustados. É imprescindível à utilização de critérios adicionais. Neste trabalho, sugere-se a integração dos critérios de precisão com o critério de confiabilidade para redes geodésicas para que se possa tomar a decisão por uma solução ótima. Outro desafio diz respeito à integração de dados oriundos do gravímetro Scintrex e dos LaCoste & Romberg. Neste trabalho, propõe-se uma integração, utilizando rede neural artificial, mais especificamente a arquitetura de uma rede neural artificial probabilística. A pesquisa está estruturada em 4 seções, além da introdutória.

8 8 Na segunda seção, são apresentados os conceitos fundamentais para análise de redes geodésicas. São expostos: uma noção de pré-análise, uma síntese do ajustamento de observações pelo método dos mínimos quadrados na forma paramétrica, os critérios para análise de qualidade de redes geodésicas no que diz respeito à precisão e confiabilidade. Na confiabilidade, estão reunidos os conceitos de confiabilidade interna e confiabilidade externa. Ainda nesta seção, é exposto o conceito de inversa generalizada, bem como conceitos básicos sobre rede neural artificial. A terceira seção, trata do projeto, suas características, metodologia de levantamento das observações e cálculo dos desníveis gravimétricos. A quarta seção, trata das estratégias aplicadas do ajustamento da rede gravimétrica, com análise de precisão e confiabilidade das soluções obtidas. Nas soluções obtidas, aplicaram-se o teste para igualdade de valores próprios, critérios de precisão e o teste global. Este último com a finalidade de detectar erros grosseiros. Além disso, para as respectivas soluções foram calculados: as redundâncias parciais; a estimativa do erro mínimo que é sensível ao teste data snooping; a estatística que define o teste data snooping com objetivo de localizar possíveis erros grosseiros nas observações; a estimativa de possíveis erros grosseiros não detectados nas observações e a influência de tais erros nos parâmetros ajustados. Na quinta seção, conclui-se o trabalho analisando as soluções obtidas para a rede gravimétrica, tomando a decisão de qual dessas soluções preliminares melhor concebe a rede gravimétrica considerando os critérios de precisão e confiabilidade expostos neste trabalho. Nesta seção, os valores da gravidade referente às estações pertencentes à rede serão devidamente informados ao leitor interessado, bem como as respectivas precisões obtidas e medida de confiabilidade externa.

9 9 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.1 NOCÕES DE PRÉ-ANÁLISE DE REDES GEODÉSICAS Uma rede geodésica é constituída por um conjunto de pontos materializados no terreno, posicionados num sistema de referência geodésico. É realizada por meio das medições: de ângulos, direções, distâncias, desníveis altimétricos ou gravimétricos; e dados fornecidos por técnicas espaciais, tais como o GPS (Global Positioning System). O projeto de uma rede tem sua importância vinculada à precisão das posições obtidas mediante medições realizadas. A partir dos valores observados realiza-se o cálculo das posições, através do ajustamento pelo Método dos Mínimos Quadrados. Com a rede estabelecida, realiza-se a análise de qualidade, com a qual, podem ser encontradas falhas ou fragilidades na rede. Com a detecção de falhas, surgem os questionamentos a respeito do trabalho realizado: como essas falhas podem ser removidas? Deve-se efetuar um novo levantamento de campo? O plano de observações foi adequado? A instrumentação utilizada foi coerente? Quais observações cooperam para tais falhas? A precisão final é aceitável? Melhorar o conhecimento da rede na fase de planejamento e minimizar tais falhas antes de qualquer campanha de medição, é parte da otimização do projeto de redes geodésicas, que fornece as informações a respeito do trabalho a ser realizado, de tal forma que seja possível projetar e aprimorar a rede. A otimização de projeto de redes geodésicas também é denominada pré-análise, uma vez que é realizada sem que se efetue qualquer operação de medição, nem o conseqüente ajustamento (OLIVEIRA, 003). Em vista da complexidade de abordagem, o problema é dividido em quatro classes (KALTENBACH, 199, p. 40): a) projeto de ordem zero, que trata da seleção de um sistema de referência; b) projeto de primeira ordem, que trata da obtenção da melhor configuração para a rede; c) projeto de segunda ordem, que trata da escolha dos pesos das observações;

10 10 d) projeto de terceira ordem, que trata do melhoramento de uma rede já existente por meio da introdução de novos pontos ou de novas observações. O planejamento otimizado de uma rede geodésica é compreendido em termos gerais como o planejamento da configuração e do plano de observações, os quais devem satisfazer um conjunto de critérios. As técnicas de otimização servem para ajudar a tomar decisões como, por exemplo, instrumentos que podem ser selecionados dentre os modelos disponíveis, onde eles podem ser posicionados e como a rede pode ser concebida como o intuito de estimar os parâmetros e ainda apresentar a qualidade desejada. A otimização de pesos é importante para o alcance da maior precisão possível para redes geodésicas. Uma possibilidade de se obter pesos otimizados, é o uso dos valores próprios associados à matriz dos cofatores das variânciascovariâncias dos parâmetros ajustados, em termos de componentes principais, os quais possuem informações sobre a qualidade da rede. A idéia é estabelecer valores próprios que conduzam à matriz variância-covariância para apresentação de uma estrutura ideal e de forma que possua os valores próprios requeridos. Mais informações a respeito da otimização de pesos, pode ser obtido em OLIVEIRA (003). Outro ponto importante, que pode afetar a qualidade da rede geodésica, está relacionado com a redundância do sistema. O número de equações superabundantes r do sistema de equações normais é a diferença entre o número de observações n, que é igual ao número de equações de observação, e o número de parâmetros u, a serem estimados. Ao número r = n u, dá-se o nome de redundância do sistema ou número de grau de liberdade. A contribuição de cada observação l i à redundância r, recebe o nome de redundância parcial r i. Se a rede não é corretamente projetada, o número de redundância parcial pode variar significativamente e não permanece próximo do valor médio, que seria o ideal. Se o número de redundância parcial não é o mesmo para todas as observações, significa que a controlabilidade não é a mesma para todas as observações. Os números de redundância refletem a consistência geométrica (rigidez) da rede. Na prática, é desejável ter uma rede com redundância relativamente grande e uniforme, de forma

11 que a habilidade para detectar erros grosseiros será a mesma em todas partes da rede. A redundância de um sistema será melhor discutido na subseção AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NA FORMA PARAMÉTRICA Um dos objetivos das medições geodésicas é a determinação de parâmetros como, por exemplo, as coordenadas de pontos sobre a superfície da Terra. A aplicação do ajustamento pelo método dos mínimos quadrados na forma paramétrica possibilita calcular quantidades indiretamente, se estas se vinculam matematicamente a outras medidas as quais são obtidas de forma direta. Em geral, os parâmetros têm valores aproximados no início do ajustamento, e obtêm-se melhores estimativas ao final do procedimento. Estes parâmetros representam incógnitas funcionais e são tratados como variáveis aleatórias. De acordo com GEMAEL (1994), o modelo funcional que representa a ligação entre as observações e as incógnitas ou parâmetros é: l = a f(x a ) (.1) No modelo (.1), o vetor dos valores observados ajustados l a são expressos explicitamente como função do vetor dos parâmetros estimados x a, constituindo a forma paramétrica do método dos mínimos quadrados. Designando por v, o vetor dos resíduos que expressam a diferença dos valores ajustados l a, com os valores observados l b, reescreve-se a (.1) como: l + v f(x ). (.) b = a A função do segundo membro em (.) normalmente é não-linear, podendo, neste caso, ser linearizada em algum ponto x o pelo desenvolvimento da função em série de Taylor. Desprezando os termos de ordem igual e superior a dois, a equação (.) é reescrita como: l b f + v = f(x0 + x) = f(x0) + x, (.3) x a x a = x 0 onde x 0 representa o vetor dos valores aproximados e x vetor das correções, que transformam os parâmetros aproximados em ajustados. Designando a função dos parâmetros aproximados por

12 f (x ) = (.4) 0 l 0 e por A, a matriz dos coeficientes, cujos elementos são as derivadas parciais, f A =, (.5) x a x a = x 0 pode-se reescrever a (.3) como: v = Ax + l 0 l b. (.6) Fazendo l l L, (.7) 0 b = a equação (.6) torna-se v = Ax + L. (.8) Impondo a condição de mínimos quadrados ponderado, v t Pv = mínimo (.9) ao sistema (.8), sendo P a matriz dos pesos, obtém-se t 1 t ( A PA) A PL x = (.10) como solução geral da equação (.8). Os parâmetros aproximados são convertidos em ajustados por xa 0 + = x x. (.11) Após a aplicação do método paramétrico e a obtenção das estimativas destes parâmetros, resta calcular a matriz variância-covariância (MVC) destas estimativas a fim de analisar os resultados do ajustamento. Obtém-se pela lei de propagação de covariâncias, a MVC dos valores observados ajustados, das estimativas dos parâmetros (parâmetros ajustados) e do vetor dos resíduos: La ^ 0 t 1 t ( PA) A Σ = σ A A, (.1) ^ t ( ) 1 ^ t 1 t 1 Σ x = σ0 A PA e = σ0[ A( A PA) A + P ] a Σ (.13) V O valor estimado da variância da observação de peso ˆσ 0 é obtida após ajustamento pela expressão: ^ v t Pv σ 0 =. (.14) n u 1

13 13.3 CRITÉRIOS PARA ANÁLISE DE QUALIDADE DE REDES GEODÉSICAS De acordo com MORAES (001), a qualidade de um ajustamento de rede é caracterizada pelos critérios de precisão e de confiabilidade. Os critérios de precisão definem a região em que o valor verdadeiro ou valor de referência se situa com uma probabilidade pretendida. O conceito de confiabilidade vincula a detecção dos erros grosseiros que podem prejudicar os resultados das observações geodésicas. Temse ainda o critério de sensibilidade de rede geodésica, o qual possui como habilidade a detecção de variações com probabilidades dadas a partir de observações em duas épocas. Neste trabalho utilizar-se-á apenas os critérios de precisão e de confiabilidade..3.1 Critérios de Precisão para Redes Geodésicas As informações a respeito da precisão de uma rede geodésica estão contidas na MVC dos parâmetros ajustados. Qualquer matriz simétrica, o que é o caso da MVC dos parâmetros ajustados, pode ser decomposta em valores próprios λ e vetores próprios m. Esta decomposição é chamada decomposição espectral. A decomposição espectral da MVC dos parâmetros ajustados é representada por (OLIVEIRA, 003): xa t = MΛM (.15) onde M é a matriz ortogonal cujas colunas são vetores próprios de matriz diagonal formada pelos valores próprios de xa. xa e Λ é a Então, xa m m = M m 11 1 u1 m m m 1 M u L L L L m m M m 1u u uu λ 1 λ λ u m m M m existindo entre os valores próprios a seguinte condição: O u m m m 1 M u M M M M m m m u1 u M uu λ L. 1 λ λ u, (.16) A análise da MVC dos parâmetros ajustados divide-se em medida de precisão local e global. O critério de precisão local é dependente das submatrizes da MVC e

14 descreve a situação de precisão de um ponto ou de dois pontos. Uma representante de medida local é a elípse de erros. O critério de precisão global é dependente da MVC completa e apresenta o comportamento estocástico da rede geodésica como um todo. Como representante das medidas globais, pode-se citar: hiperelipsóide de erros. A precisão de uma rede é tanto melhor quanto menor for o valor próprio máximo ( λ máx ) obtido da MVC dos parâmetros ajustados. Alguns dos mais importantes critérios de precisão e exigências para a rede geodésica são (DUPRAZ e NIEMEIER, 1981, p. 387; WELSH et al., 000, p. 133):! xa 1 u = det( ) = λ x λ x...x λ mín (.17) é a medida denominada variância generalizada que deve ser mínima. Fornece o volume do elipsóide de confiança, o qual é proporcional ao produto dos seus semieixos;! xa 1 u = tr( ) = λ + λ + L + λ mín (.18) é a medida denominada variância total. Significa que a soma dos quadrados dos semi-eixos deve ser mínima;! max = λ mín (.19) significa que o quadrado do semi-eixo maior deve ser mínimo, indicando que a precisão de uma rede será tanto melhor quanto menor for o valor próprio máximo da MVC do vetor dos parâmetros ajustados; λ λ máx! = mín 1 14 (.0) é conhecida como a condição de isotropia, ou seja, a medida de precisão do ponto é a mesma em todas as direções;! máx mín = λ λ mín (.1) é a condição de homogeneidade, ou seja, as elípses de erros se degeneram em uma circunferência e p = λ (.) 1 m máx

15 onde m é o vetor próprio associado ao λ máx 15, que fornece a direção e o comprimento do eixo principal do hiperelipsóide de erros em termos da primeira componente principal. CROSSILLA e MARCHESI (1983, p. 308) escreve: dentre as possíveis configurações de uma rede geodésica, a melhor quanto a precisão é aquela que satisfaz as condições (.17), (.18), (.19) e (.0). Uma rede que é somente homogênea (figura.1 (a)), as elipses (ou elipsóides) de erro locais são os mesmos em todos os pontos. Uma rede que é apenas isotrópica (figura.1 (b)), as elipses (ou elipsóides) de erro locais variam de ponto para ponto, embora sejam todas reduzidas a círculos (redes bi-dimensionais) ou esferas (redes tridimensionais). Assumindo-se uma rede geodésica bidimensional como sendo homogênea e isotrópica (figura.1 (c)), então as elipses de erro locais reduzem-se a círculos de mesmo raio (OLIVEIRA, 003, p. 37). FIGURA.1 REDE HOMOGÊNEA E ISOTRÓPICA (a) (b) (c) FONTE: JÄGER (1988) Teste para igualdade de valores próprios É improvável que na análise da MVC das estimativas dos parâmetros ajustados se obtenha valores próprios associados à mesma, estritamente iguais. Pode-se usar um teste estatístico, no entanto, para verificar a igualdade desses valores próprios com um determinado nível de significância α. Então, a fim de

16 16 verificar, sob um nível de significância α, se existe um conjunto de valores próprios iguais entre si, utiliza-se do teste da igualdade de valores próprios. Este teste pode ser usado para qualquer subconjunto consecutivo de valores próprios. Sendo dado um subconjunto de b valores próprios associados à MVC dos parâmetros ajustados λ, (.3) k + 1 λk+... λk+ b então, em JACKSON (1991, p. 86), tem-se o teste de hipóteses: hipótese nula (H0 ) : λ k+ 1 = λk+ =... = λb. hipótese alternativa (H 1):pelo menos um é diferente dos demais. A estatística de teste desta hipótese é. (.4) r k+ b j= k+ 1 ln( λ k+ b j j ) + b ln ~ j k 1 b = + λ χ t (.5) onde r denota o número de graus de liberdade associado à MVC dos parâmetros ajustados e a distribuição qui-quadrado ( χ ) tem ( b 1)( b + ) t = (.6) graus de liberdade. Fixado o nível de significância α, se a estatística calculada for maior que a estatística de teste ( ) χt 1 α, (.7) dada pela equação (.6), rejeita-se a hipótese nula. Para o caso em que b =, caso bivariado, formula-se o teste de hipóteses: hipótese nula (H0 ) : λ1 = λ. hipótese altenativa (H1): λ1 λ. onde a estatística de teste é: F = ( n )( λ λ ) 1 1 8λ λ (.8). (.9) A estatística F do teste tem distribuição F de Snedecor (GEMAEL, 1994, p. 33), com número de graus de liberdade no numerador igual a e o número e graus de liberdade no denominador (n - ), ou seja, F ~ F, ( n ) e n é o número de observações.

17 17.3. Critérios de Confiabilidade para Redes Geodésicas A teoria da confiabilidade serve para a decisão se um erro é detectável e que influência tem o erro não detectável no ajustamento. Portanto, é parte de um conceito para avaliação da qualidade do resultado do ajustamento. BAARDA (1968) propôs o uso do teste global (seção.3..1) para detecção de erros grosseiros e do teste data snooping (seção.3..5) para localização destes erros. Os erros que não foram eliminados das observações ocasionam alteração nos parâmetros ajustados. Por isso, são necessárias medidas que representem o quanto são confiáveis as observações. A essas medidas dá-se o nome de medidas de confiabilidade. O conceito de confiabilidade, introduzido por BAARDA (1968), se subdivide em confiabilidade interna e confiabilidade externa. A primeira quantifica a menor porção do erro existente na observação, que pode ser localizado com uma dada probabilidade. A segunda quantifica a influência dos erros não detectáveis nos parâmetros ajustados Teste global Com o objetivo de inspecionar o modelo estocástico empregado, calcula-se a estatística t * V PV σˆ 0 χ = = r. (.30) σ σ 0 0 A estatística dada pela equação (.30) segue distribuição qui-quadrado com r graus de liberdade. Isto é feito para a detecção de erros grosseiros. A variância de uma observação de peso unitário a priori σ 0, ao nível de significância α, deve ser comparada estatisticamente com a variância de uma observação de peso unitário a posteriori ˆσ 0 mediante as hipóteses: ( H ) hipótese nula 0 : σ hipótese alternativa 0 ( H ) = σˆ : σ.. σˆ. A rejeição da hipótese nula é indicativa da presença de erros grosseiros nas observações, ou que a matriz dos pesos está mal estimada, ou ainda, tem-se problema no modelo matemático utilizado. 0

18 Redundância Parcial A contribuição de cada observação l i à redundância r recebe o nome de redundância parcial r i (FÖRSTNER, 1979, p.64). Estas são obtidas da diagonal principal da matriz R expressa pela relação: 1 = ( v)p, (.31) σˆ R 0 onde ˆσ 0, Σ v e P são respectivamente, a variância da unidade de peso a posteriori, a MVC dos resíduos e a matriz dos pesos. As redundâncias parciais ( r i ), calculadas a partir da equação (.31), são benéficas ao controle das observações. Estas grandezas pertencem ao intervalo fechado [0 ; 1] (LEICK, 1995, p. 16). De acordo com KAVOURAS(198, p. 3), temse dois casos extremos para o número de redundância r i. O primeiro caso é o ideal, no qual o número de redundância r i = 1. Porém, isto acontece quando uma medida é feita de uma quantidade conhecida; por exemplo; uma distância medida entre dois pontos conhecidos. Neste caso serão revelados 100% de qualquer erro grosseiro no resíduo v i, e não terá efeito na determinação dos parâmetros desconhecidos. O segundo caso é o do número de redundância r i = 0. Neste caso, o suposto erro grosseiro presente na observação não afeta em nada os resíduos e então não pode ser descoberto e será transferido diretamente nos parâmetros desconhecidos calculados. Supõe-se duas observações, l 1 e l, com redundâncias parciais r 1 = 0, 0 e r = 0, 65. Portanto, um erro grosseiro presente na observação l tem uma probabilidade maior de ser localizado que um erro grosseiro presente na l 1, simplesmente porque 65% dos erros grosseiros v e em contra partida, 0% dos erros grosseiros li é refletido no respectivo resíduo li é revelado no resíduo v 1 referente a observação l 1. No quadro.1 estão os intervalos recomendados para a orientação da decisão sobre a controlabilidade de observações mediante as redundâncias parciais.

19 QUADRO.1 CONTROLE DE OBSERVAÇÕES POR MEIO DE REDUNDÂNCIAS PARCIAIS Intervalo Controlabilidade 0 ri < 0,01 Não Há 0,01 ri < 0,1 Ruim 0,1 ri < 0,3 Suficiente 0,3 ri 1 Boa FONTE: MÜRLE e BILL (1984, p. 48) Medida de confiabilidade interna Sob o conceito de confiabilidade interna de uma rede geodésica são reunidos todos os critérios que servem para a detecção de erros grosseiros (MORAES, 001). A confiabilidade interna quantifica a menor porção do erro existente na observação, que pode ser localizado com uma dada probabilidade, ou seja, indica o erro mínimo que se encontra em uma observação, que é sensível ao teste (FÖRSTNER, 1979; BENNING, 1983; GRIMM-PITZINGER e HANKE, 1988, KUANG, 1996). Estima-se estatisticamente o valor mínimo do erro detectável na observação l i, pela equação (MORAES, 001, p. 199): δ0 l0 = σ i l r i, (i = 1,..., n) (.3) i em que: δ o, σ l i e r i são respectivamente, o parâmetro de não-centralidade, o desvio-padrão da i-ésima observação não ajustada e a respectiva redundância parcial. O parâmetro de não-centralidade ( δ 0 ) é obtido por meio da distribuição normal reduzida (KUANG, 1996, p. 138). O parâmetro de não-centralidade representa a diferença entre as esperanças matemáticas obtidas na hipótese nula e na hipótese alternativa, ou seja, a distância mínima detectável entre os valores da hipótese nula e da hipótese alternativa. Os valores de δ 0, para r = 10 (para 10 graus de liberdade) se encontram tabelados em KUANG (1996, p. 140), os quais são apresentados no quadro..

20 Os valores de δ 0 e α 0, para ( 1 β0 ) = 80% e diferentes graus de liberdade r, podem ser obtidos no apêndice 3 de KAVOURAS (198). 0 QUADRO. PARÂMETRO DE NÃO-CENTRALIDADE EM FUNÇÃO DO PODER DE TESTE ( 1 β0 ) E NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA ( α 0 ) Poder de Teste Nível de Significância (α 0 ) (1-β 0 ) α 0 = 0,01% α 0 = 0,10% α 0 = 1% α 0 = 5% 50% 3,7 3,9,58 1,96 70% 4,41 3,8 3,10,48 80% 4,73 4,13 3,4,80 90% 5,17 4,57 3,86 3,4 95% 5,54 4,94 4, 3,61 99% 6, 5,6 4,90 4,9 99,90% 6,98 6,38 5,67 5,05 FONTE: KUANG (1996, p. 140) Pode-se observar pela equação (.3) que l 0 i depende (FÖRSTNER, 1979, p. 66; BENNING, 1983, p. 1): a) da precisão das observações, a qual é descrita pelo desvio - padrão σ l i ; b) da geometria da rede, caracterizada pela redundância parcial r i ; c) do nível de significância α ; d) da qualidade ou poder de teste como, por exemplo, a probabilidade para detectar a observação com erro grosseiro; e) do parâmetro de não-centralidade. Observe que na (.3), o coeficiente δ 0 r i representa a sensibilidade do teste. É desejável que se tenha valores pequenos de δ 0 r i em uma rede geodésica. Um pequeno δ 0 r i implica em um grande número para r i. Um grande valor de r i, implica que um erro grosseiro li presente em uma observação l i, será mais claramente refletido no correspondente resíduo v i e, por isso, facilmente revelado no teste

21 estatístico utilizado para localizar erros grosseiros (seção.3..5). Em outras palavras, o teste torna-se mais sensível, e o número de erros grosseiros não detectáveis é reduzido para um mínimo. De acordo com KAVOURAS (198, p. 75), se a redundância do sistema é uniformemente distribuída na rede, todos os números de redundância parcial e os valores obtidos para a (.3) são quase iguais. Em geral isto não acorre. Diferenças grandes entre os r i podem ser encontradas em diferentes partes da rede, especialmente no caso de diferentes tipos de observações. Por esta razão, em vez de calcular todos os valores da (.3) para diferentes valores de r i, uma medida de confiabilidade interna global pode ser utilizada. Utiliza-se uma redundância parcial média ( r i ), chamada também de relativa, para toda a rede, dada por tr(r) r r i = = (.33) n n para calcular a (.3), resultando δ l = σ. (.34) 0 0i l r i i grosseiro KAVOURAS (198, p. 94), mostra através de um exemplo que o erro li menor que data snooping. O mesmo pode ser dito para 1 l 0 não será localizado examinando os resíduos pelo teste i l 0. i.3..4 Medida de confiabilidade externa A confiabilidade externa trata do efeito de possíveis erros grosseiros li não detectados e não localizados, sobre os parâmetros incógnitos. No ajustamento de observações pelo método dos mínimos quadrados na forma paramétrica, o vetor das correções x, que é a solução das equações normais no ajustamento de observações geodésicas, na presença de um erro grosseiro expresso por (MORAES, 001, p. 01): xˆ = N onde 1 t A P L 1 t 1 t ( e l ) = N A PL + N A Pe l = x + x i i i i li é (.35)

22 N é a matriz dos coeficientes das equações normais ( A t PA) ; A é a matriz das derivadas das equações de observação em relação às incógnitas; P é a matriz dos pesos das observações; L é o vetor diferença ( l0 l b ), conforme equação (.7); e i é a i-ésima coluna da matriz identidade n x n. Conforme LEICK (1995, p.168) e KUANG (1996, p.15), uma estimativa para um erro grosseiro pode ser dada por: v i i =. (.36) ri Portanto, o efeito do erro grosseiro não detectado e estimado por (.36), sobre o vetor solução dos parâmetros ajustados é dado por: -1 T x = N A Pei i. (.37) A expressão (.37) às vezes, é chamada de confiabilidade externa local. O impacto do erro mínimo que pode ser detectável sobre os parâmetros, dado por (.3), é: x. (.38) -1 T 0 = N A Pe i i l0 i De forma similar à confiabilidade interna, obtida pela (.34), pode-se ter uma medida de confiabilidade externa global, dada por: u x = 0. δ σu r i, (.39) em que u representa o número de parâmetros envolvidos no ajustamento. Neste caso, o efeito do erro grosseiro li não detectado nos parâmetros ajustados,pode ser até u δ 0 vezes a precisão obtida para os parâmetros ajustados σ u. Aqui i r é desejável que se tenha um valor pequeno para quociente r u, ou seja, quanto maior o valor de r melhor. KAVOURAS (198, p. 81) explica que um critério usado com experiência prática, é que o valor obtido na (.39) seja menor ou igual a 10, ou seja, é suficiente que: x 10. (.40) Isto significa que o intervalo máximo dado para a variação dos parâmetros pode ser de até 10 vezes a precisão dos parâmetros obtida no ajustamento.

23 Teste data snooping O teste data snooping pode ser definido como a investigação em relação à observação na qual um erro grosseiro foi cometido durante a medição (MORAES, p. 78, 1998). O teste data snooping é usado freqüentemente para analisar dados obtidos após o ajustamento de uma rede geodésica. BAARDA (1968) propôs o teste data snooping para localização de erros grosseiros examinando os resíduos obtidos do ajustamento. Para observações não correlacionadas, o teste data snooping é avaliado pela estatística (KUANG, 1996, p. 13) n v i i = ( 0,1) σv i onde v i e ~ Ν, (.41) σ v i são, respectivamente, o resíduo e o desvio padrão do resíduo referente a i-ésima observação. LEICK(1995, p. 163) mostra que se pode representar r r σ σˆ σ vi como: i i i 0 σ v = σˆ 0 qi = σˆ 0 = σˆ 0 = σ i r i i. (.4) pi σ0 σ0 Isto mostra que a estatística (.41) é função do número de redundância parcial r i. Para um dado nível de significância α 0, a estatística (.40) é comparada com o valor crítico k a um nível de significância específico. Faz-se o seguinte teste de hipótese: ( H ) hipótese nula 0 : nenhum erro grosseiro existe na observação. hipótese alternativa ( H1) : existe erro grosseiro na observação. A hipótese nula é rejeitada se: n i > k, (.43) ou seja, é localizado um erro grosseiro na i-ésima observação. Para o teste data snooping, a suposição fundamental é que as observações contaminadas por erros grosseiros resultam em resíduos padronizados de magnitudes significativamente altas (MARQUES, 1994, p.1).

24 4.4 MATRIZ INVERSA GENERALIZADA Em 190, Moore-Penrose já chamava atenção para o caso geral de inversas de matrizes retangulares e de matrizes quadradas singulares. Hoje, tais inversas são denominadas inversas generalizadas. Existem infinitas inversas generalizadas de uma matriz retangular ou de uma matriz quadrada singular, mas somente uma satisfaz a unicidade, a chamada pseudo-inversa. Do ponto de vista geodésico, a pseudo-inversa é a mais importante por ser única. Uma matriz, denotada pelo símbolo A +, é chamada de pseudo-inversa ou de inversa generalizada de Moore-Penrose de uma matriz A, se satisfaz as quatro condições seguintes: + AA A = A, (.44) A + AA + + = A, (.45) + ( AA ) + AA, + t ( A A) + A A. = (.46) = (.47) A pseudo-inversa ou inversa generalizada da matriz A existe para qualquer matriz e é única. Propriedades da pseudo-inversa: A + 1 =, se A é não singular; (.48) A + ( A ) + = A ( A t ) ( A + ) t t ; (.49) + = ; (.50) + t t = A + AA A ; (.51) A AA = t + t t t + A ( A ) A = A ( A ) A = A t + + ( A A) A ( A ) t + t ( ) + t t t = A A A = A ( AA ) + + t -1 t a = ( a a) a ; (.5) + = ; (.53) A ; (.54), se a é um vetor não nulo. (.55)

25 A matriz A + é uma das infinitas inversas generalizadas da matriz A, é a que tem norma euclidiana mínima. Para uma matriz C [ c ], n x n norma de Frobenius é definida como: 1 ij 5 =, a norma euclidiana ou n n C = Σ Σ c ij. (.56) i= 1 j= 1 Uma das aplicações da pseudo-inversa é a resolução de sistemas de equações lineares. Uma solução pelo método dos mínimos quadrados de um sistema de equações lineares AX = B é o vetor com a menor norma euclidiana que minimiza + AX - B. Esse vetor é: X = A B. (.57) Quando a matriz A possui inversa ordinária ( A é não singular), a equação (.57) 1 reduz-se a X = A B, que é a única solução. Para sistemas possíveis e indeterminados, os quais admitem infinitas soluções, a equação (.57) identifica a solução que tem a norma euclidiana menor. A equação (.57) identifica, também, uma solução para sistemas impossíveis, a melhor solução em termos de mínimos quadrados. Neste caso têm-se infinitas soluções aproximadas, e a equação (.57) identifica a solução de norma euclidiana mínima. Existem vários métodos para o cálculo de inversas generalizadas. Alguns destes, bem como exemplos resolvidos, podem ser consultados em BRONSON (1993, p. 54) e GEMAEL (1994, p.50)..5 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE REDES NEURAIS Um dos objetivos desse trabalho é a integração de observações Scintrex e LaCoste & Romberg. Objetiva-se inicialmente obter uma solução ótima para a rede gravimétrica com observações LaCoste & Romberg, e incorporar novas observações (projeto de terceira ordem). Podem-se utilizar vários critérios para avaliar se uma determinada observação pode ou não fazer parte de um rol de observações previamente estabelecido. Neste caso, visa-se incorporar observações Scintrex utilizando como ferramenta de classificação, uma rede neural artificial. Então, nesta seção faz-se uma introdução à técnica de redes neurais artificiais.

26 6.5.1 Neurônio Biológico Conforme AZEVEDO et al. (000), a construção de redes neurais artificiais tem inspiração nos neurônios biológicos e nos sistemas nervosos. Cabe ressaltar que atualmente, as redes neurais artificiais estão muito distantes das redes neurais naturais e tais semelhanças são mínimas. Existem diversos tipos de neurônios biológicos, com diferentes funções. O tipo de neurônio biológico depende da sua localização e estrutura morfológica, mas em geral se constitui dos mesmos componentes básicos descritos na figura.. O corpo do neurônio ou soma, constituído do núcleo e pericário, dá o suporte metabólico a toda célula; a fibra nervosa ou axônio, que é o prolongamento único e grande que aparece no soma, é responsável pela condução do impulso nervoso para o próximo neurônio; os dendritos que são prolongamentos menores em forma de ramificações que emergem do pericário e do final do axônio, são, na maioria das vezes, responsáveis pela comunicação entre os neurônios através das sinapses. A sinapse é a estrutura dos neurônios através da qual ocorrem os processos de comunicação entre eles, ou seja, onde ocorre a passagem do sinal neural através de processos eletroquímicos específicos. Os dendritos atuam como entradas, recebendo a informação que depois é processada no soma. O resultado é transmitido através de seu axônio para os dendritos de outros neurônios, formando uma rede neural. FIGURA. NEURÔNIO BIOLÓGICO FONTE: (FAUSETT, 1994, p.6)

27 7.5. Rede Neural Artificial As redes neurais artificiais tiveram seu desenvolvimento por volta da década de 40 pelo neurofisiologista Warren McCulloch e pelo matemático Walter Pittes, que fizeram uma analogia entre células nervosas vivas e o processo eletrônico. Desde então, vários estudos foram feitos a respeito. Por volta da década de 70 houve um desinteresse dos pesquisadores sobre este assunto. Novamente, na década de 80, novas pesquisas foram surgindo e desde então, diversos modelos de redes neurais artificiais têm surgido com o objetivo de aplicação nas diversas áreas do conhecimento. Pode-se conceituar redes neurais artificiais como sistemas computacionais de implementação em software, que imitam as habilidades do sistema nervoso biológico, usando para isso um grande número de neurônios artificiais interconectados (LOESCH; SARI, 1996, p. 5). Na forma mais geral, uma rede neural é uma máquina que é projetada para modelar a maneira como o cérebro realiza uma tarefa particular ou função de interesse HAYKIN (001, p. 7). Do ponto de vista de uma máquina adaptativa, uma rede neural é um processador paralelamente distribuído, constituído de unidades de processamento simples, que têm a propensão natural para armazenar conhecimento experimental e torná-lo disponível para o uso. Ela se assemelha ao cérebro em dois aspectos: a) o conhecimento é adquirido pela rede a partir de seu ambiente através de um processo de aprendizagem; b) forças de conexão entre neurônios, conhecidas como pesos sinápticos, são utilizados para armazenar o conhecimento adquirido. O procedimento utilizado para realizar o processo de aprendizagem é chamado de algoritmo de aprendizagem, cuja função é modificar os pesos sinápticos da rede, de forma ordenada para alcançar um objetivo de projeto desejado. A modificação de pesos sinápticos é o método tradicional para o projeto de redes neurais. Duas capacidades de processamento de informação tornam possível para redes neurais resolver problemas complexos. Essas duas capacidades são: a sua

28 8 estrutura paralelamente distribuída e sua habilidade de aprender e, portanto, generalizar. A generalização se refere ao fato da rede neural produzir saídas adequadas para entradas que não estavam presentes durante o treinamento..5.3 Modelo de um Neurônio Artificial Um neurônio é uma unidade de processamento de informação que é fundamental para as operações de uma rede neural. A figura.3 mostra o modelo de um neurônio que forma a base para o projeto de redes neurais artificiais. FIGURA.3 MODELO DE UM NEURÔNIO ARTIFICIAL FONTE: (HAYKIN, 001, p.36) A figura.3 identifica os seguintes elementos básicos em um modelo de neurônio artificial: (WANDRESEN, 004, p. ). a) elos de conexão (sinapses), cada um caracterizado por um peso. O sinal x j na entrada da sinapse j, conectada ao neurônio k é multiplicado pelo peso sináptico w kj. O primeiro índice subscrito (k) se refere ao neurônio k e o segundo (j) ao sinal de entrada relativo ao respectivo peso (w kj); b) uma somatória, v k, caracterizada por uma combinação linear entre os sinais de entrada e os seus respectivos pesos; c) uma função de ativação, ϕ ( v k ), cuja finalidade é restringir a amplitude de saída (y k) do neurônio; d) uma perturbação (bias), aplicada externamente, representada por b k, tendo o efeito de aumentar ou diminuir a entrada líquida da função de ativação, dependendo de ser positiva ou negativa, respectivamente.

29 9 Portanto, pode-se expressar um neurônio k pelas equações: u k m = w x, (.58) j= 1 kj j v = u + b (.59) e y k k ( ) k v k k = ϕ. (.60) Na equação (.58), x 1, x, x 3,..., x m são os dados de entrada e w k1, w k, w k3,..., w km são os pesos sinápticos do neurônio k. A função de ativação ou de transferência, representada na figura.3 por ϕ ( ), define a saída do neurônio. Existem várias funções de transferências utilizadas nas redes neurais artificiais. Por exemplo, tem-se a linear, sinal, sigmóide, base radial, competitiva, entre outras (CRIOLLO, 003, p. 31)..5.4 Rede Neural de Funções de Base Radial No contexto de uma rede neural, as unidades ocultas fornecem um conjunto de funções que consistem uma base arbitrária para os padrões (vetores) de entrada, quando eles são expandidos sobre o espaço oculto. Estas funções são chamadas de funções de base radial (HAYKIN, 001, p. 83). Uma rede de funções de base radial, na sua forma mais simples, envolve três camadas com papéis totalmente diferentes. A primeira camada, a camada de entrada, é a conexão do modelo com o ambiente externo, à qual são apresentados os vetores de entrada x m. A segunda camada (intermediária), é composta de k neurônios totalmente conectados aos vetores de entrada. Esta camada tem a tarefa de realizar uma transformação não-linear do espaço n-dimensional da entrada em outro espaço k-dimensional. Os neurônios dessa camada são um conjunto de funções de base radial, que constitui uma base arbitrária no espaço por ele formado. As funções de base radial produzem uma resposta diferente de zero somente quando o padrão de entrada está dentro de uma região pequena, localizada no espaço de entrada. Cada função requer um centro e um parâmetro escalar denominado raio, na qual calcula a distância entre o vetor de entrada e o centro da

30 função de base radial associada. A função de base radial, que é mais utilizada na camada oculta é a função de Gauss, na forma: ( x) 1 x c σ G = e, (.61) onde c representa o vetor centro da k-ésima função de base radial, e σ é a variância associada a cada uma das funções. A última camada, a camada de saída, transforma o espaço vetorial interno em uma saída, através de um processo linear na qual realiza a soma ponderada das saídas das unidades radiais. A saída y k da rede função de base radial é, portanto, a soma das saídas de cada Gaussiana, ponderadas pelos respectivos pesos sinápticos w km. 30

31 31 3 REDE GRAVIMÉTRICA CIENTÍFICA DO ESTADO DO PARANÁ 3.1 PROJETO DA REDE GRAVIMÉTRICA Uma discussão inicial envolveu os equipamentos a serem utilizados no levantamento. Há necessidade, respeitando a precisão que se deseja obter os resultados, definir quantos e quais gravímetros serão utilizados. No planejamento de implantação de uma rede gravimétrica, é imprescindível a utilização das classes de projeto de redes geodésicas discutidos por KALTENBACH (199, p. 40). No projeto de ordem zero, a primeira preocupação foi definir quais estações gravimétricas serviriam como referência para esta rede. Precisa-se de no mínimo duas estações de referência para a área a ser levantada. Pelo menos uma dessas estações de referência, servirá como datum e se deve utilizar as duas simultaneamente para que se possa gerar um fator de escala para correção da tabela calibração dos gravímetros que serão envolvidos no levantamento. Neste projeto, foram utilizadas duas estações de referência pertencentes à Rede Nacional de Estações Gravimétricas Absolutas (RENEGA). Uma estação está localizada na cidade de Curitiba, nas dependências da Universidade Federal do Paraná, no LAIG, e outra na cidade de Valinhos no Estado de São Paulo. Outro passo envolvido no planejamento da rede gravimétrica, e no conceito de projeto de primeira ordem, foi à discussão em torno da obtenção da melhor configuração que se podia realizar, considerando o tempo e o custo do projeto para implantação da rede. Buscou-se o maior número de circuitos gravimétricos que pudessem ser realizados, objetivando maior rigidez geométrica para a rede. Neste caso, também se discutiu quais estações seriam levantadas e a metodologia de levantamento. Procurou-se uma distribuição tão homogênea quanto possível para as estações a serem implantadas. A próxima etapa do planejamento foi à discussão preliminar a respeito do processamento das observações que seriam coletadas. Neste caso, discutiu-se de que forma seriam tratados os dados. Quais métodos e técnicas seriam utilizados no ajustamento das observações, com discussões principalmente da ponderação das observações: projeto de segunda ordem. O projeto de terceira ordem será discutido

32 3 na subseção 4.4 a fim de avaliar a influência de observações oriundas do gravímetro digital Scintrex, modelo CG3, em uma rede previamente ajustada utilizando unicamente observações LaCoste & Romberg. 3. CARACTERÍSTICAS DA REDE Os pontos ocupados na implantação da rede gravimétrica científica foram às estações da Rede GPS de Alta Precisão do Estado do Paraná, bem distribuídas no estado, conforme mostrado na figura 3.1. Todos os marcos dessa rede estão implantados em locais protegidos, o que diminui o risco de perda da sinalização do ponto. A exceção foi a não ocupação da estação localizada nas instalações da Companhia Paranaense de Energia Elétrica - COPEL Curitiba, pois nesta cidade encontra-se a estação de gravidade absoluta implantada na UFPR. FIGURA 3.1 DISTRIBUIÇÃO DAS ESTAÇÕES GRAVIMÉTRICAS QUERENCIA DO NORTE PARANAVAÍ MARINGÁ LONDRINA JOAQUIM TÁVORA GUAÍRA ORTIGUEIRA GOIO-ERÊ IRETAMA JAGUARIAÍVA TOLEDO PONTA GROSSA FOZ DO IGUAÇU LARANJEIRAS DO SUL FRANCISCO BELTRÃO GUARAPUAVA BITURUNA SÃO MATEUS DO SUL CURITIBA PONTAL DO PARANÁ CLEVELÂNDIA FONTE: GEMAEL et al. (00) Tendo em vista a sensibilidade dos equipamentos utilizados na medição da rede, observou-se que os marcos de São Mateus do Sul, localizado nas dependências da refinaria de xisto da Petrobrás, Clevelândia, no Colégio Estadual

33 33 Agrícola Assis Brasil, Francisco Beltrão, nas dependências do aeroporto municipal Abdala, Guaíra, nas dependências da Guarda Municipal e Londrina, na Universidade Estadual próximo à rodovia PR-445, apresentaram alguma instabilidade, dificultando as leituras nos gravímetros analógicos LaCoste & Romberg. No gravímetro digital, percebeu-se um alto desvio padrão das observações. No entanto, a metodologia de observação garantiu resultados satisfatórios para todas as estações. As estações de Foz do Iguaçu, localizada na barragem da Usina Hidrelétrica de Itaipu, estação considerada uma das mais estáveis, e Querência do Norte, no Centro de Produção Municipal, ficaram excêntricas à rede. A primeira, devido à dificuldade de ocupação do ponto em função das restrições impostas pela equipe de segurança da Usina, tal que a reocupação em múltiplos trajetos seria difícil. A segunda, pelas dificuldades de acesso em virtude das péssimas condições de tráfego das rodovias. Em função da configuração dos marcos e para maior segurança dos equipamentos, na maioria dos casos, as observações foram realizadas sobre a sapata triangular, base de sustentação do pilar, impondo a necessidade da determinação da altura do pilar para as devidas reduções como mostra a figura 3..

34 34 FIGURA 3. - LEITURA EFETUADA NA BASE INFERIOR DO PILAR Somente nas observações realizadas nas dependências da Universidade Estadual de Ponta Grossa, da Universidade Estadual de Maringá e do Centro Agropecuário Municipal, localizado na cidade de Laranjeiras do Sul, ocupou-se a parte superior do marco onde está colocado o sistema de centragem forçada (figura 3.3). Na segunda fase da campanha realizou-se a ligação de uma estação da RENEGA com o Centro de Estudos do Mar, localizado no município de Pontal do Paraná, litoral do Estado, tendo em vista a existência de uma estação GPS de alta precisão, porém não vinculada à rede estadual. Com o objetivo de impor uma escala à rede foi ocupada a estação de Valinhos, Estado de São Paulo pertencente à RENEGA, objetivando também a calibração dos gravímetros utilizados no levantamento.

35 35 FIGURA 3.3 LEITURA EFETUADA NA BASE SUPERIOR DO PILAR 3.3 METODOLOGIA APLICADA NO ESTABELECIMENTO DA REDE Buscou-se o estabelecimento de uma metodologia de levantamento, ainda que com base clássica, que permitisse a eliminação dos principais inconvenientes decorrentes da limitação do tempo entre a ocupação de dois pontos de controle conhecidos, para fechamento de circuitos gravimétricos. Foram formados microcircuitos (linhas de desnível gravimétrico entre duas estações), macro-circuitos e testadas injunções de pontos de controle via a RENEGA. O levantamento, de forma geral, teve desenvolvimento por caminhamento conforme o esquema do tipo A B A B C B C D......J A. Este esquema permite a manutenção do controle de fechamento e determinação de dois valores da deriva dinâmica em cada trecho AB, BC,..., com possibilidade de obtenção da variância em cada micro-circuito; no entanto, com economia nos deslocamentos e tempo em campo, uma vez que só é exigido um retorno à estação conhecida (ou inicial), após serem ocupadas seqüencialmente as estações da rede. Na realidade, foram definidos 8 macro-circuitos (com três a sete estações), conforme a figura 3.4, visando-se a obtenção de uma solução mais rígida para toda a rede. Um destes