Solução O valor mínimo necessário para manter o bloco deslizando com velocidade constante é Fcos c P Fsen, de onde se obtém

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1 Problemas Resolvidos do Capítulo 7 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA NO MOVIMENTO GERAL Atenção Leia o assunto no livro-texto e nas notas de aula e reproduza os problemas resolvidos aqui. Outros são deixados para v. treinar PROBLEMA No Exemplo da Seç. 5.3, considere a situação em que F tem o valor mínimo necessário para manter o bloco deslizando sobre o plano horizontal com velocidade constante. Para um deslocamento l do bloco, exprima o trabalho W realizado pela força F em função de P,, l e do coeficiente c. Que acontece com esse trabalho? Solução O valor mínimo necessário para manter o bloco deslizando com velocidade constante é Fcos c P Fsen, de onde se obtém Fcos c sen c P F c P cos c sen Assim, o trabalho realizado pela força F é dado por W Flcos c Plcos. Como não há variação da energia cos c sen cinética do bloco, este trabalho está sendo dissipado pela força de atrito, convertendo-se em calor. PROBLEMA Uma partícula carregada penetra num campo magnético uniforme com velocidade inicial perpendicu!ar à direçâo do campo magnético. Calcule o trabalho realizado pela força magnética sobre a particula ao longo de sua trajetória. Solução Como a partícula descreve sua trajetória no plano perpendicular ao campo magnéticow Flcos e 9º W. PROBLEMA 3 Dois vetores a e b são tais que a b a b. Qual é o ângulo entre a e b? Solução Sejam os vetores a b e a b. Seus módulos são dados por a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Como a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b. Logo, o ângulo entre a e b é 9º. PROBLEMA 4 Calcu!e o ânguìo entre duas diagonais internas (que passam por dentro) de um cubo, utilizando o produto escalar de vetores. Solução Sejam as diagonais d e d mostradas na figura. Em termos das componentes cartesianas, estes vetores podem ser escritos como d ai aj ak d ai aj ak Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-7.

2 z d a d θ a y x a Assim, d d d d cos a a a a Como d d 3 a, então 3 a 3 acos a cos 3 cos 3 7, 5º PROBLEMA 5 Umacontademassam, enfiada num aro circular de raio R que está num plano vertical, desliza sem atrito da posição A, no topo do aro, para a posição B, descrevendo um ângulo (Fig.). (a) Qual é o trabalho realizado pela força de reação do aro sobre a conta? (b) Qual é a velocidade da conta em B? Solução (a) A força de reação do aro sobre a conta é sempre perpendicular ao deslocamento desta. Por isso, o trabalho realizado por essa força é nulo. N mg (b) O trabalho da força peso, e portanto, o trabalho total sobre a conta é W A B F l, onde F mgk e l Rcos Rk R cosk. Logo, W A B mgr cosk k. Portanto, W A B mgr cos, que é igual à NotasdeAuladeFísicaI ConservaçãodaEnergiano Movimento Geral - Problemas Resolvidos PR-7.

3 variação da energia cinética entre os pontos A e B. Logo, supondo que a conta tenha energia cinética nula em A, ou seja, T A, então T B T A mgr cos mv B mgr cos v B gr cos PROBLEMA 6 Um corpo de massa m 3 g, enfiado num aro circular de raio R m situado num plano vertical, está preso por uma mola de constante k N/m ao ponto C, no topo do aro (Fig.). Na posiçâo relaxada da mola, o corpo está em B, no ponto mais baixo do aro. Se soltarmos o corpo em repouso a partir do ponto A indicado na figura, com que velocidade ele chegará a B? Solução A força da mola é dada por F kδs, onde Δs s s. O comprimento relaxado s R e s R Rcos R sen R R R R 3 4 R 3 R. Assim, Δs A 3 R R. Como só temos forças conservativas, ΔT ΔU, logo T A, T B mv U A mgz A kx A, U B mgz B kx B Tomando o nível de referência z no ponto B, isto é, z B, e sabendo que em B a mola está relaxada x B e x A Δs R, e z A R Rcos6º R, então T A, T B mv U A mg R kδs A mg R k 3 R R, U B mgz B kx B Assim, T B T A U B U A mv mg R k 3 R R v gr kr 3 ou seja, para os valores dados, a velocidade no ponto B vale v 7, 59 m/s. PROBLEMA 7 Uma partícula se move no plano xy sobaaçäodaforçaf yi xj, onde F é medido em N, e x e y em m. (a) Calcule o trabalho realizado por F ao longo do quadrado indicado na figura. (b) Faça o mesmo para F yi xj. (c) O que você pode concluir a partir de (a) e (b) sobre o caráter conservativo ou não de F e F? (d) Se uma das duas forças parece ser conservativa, procure obter a energia potencial U associada, tal que F grad U. Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-7.3 m

4 P 3 P P Solução Usando a definição de trabalho, temos para o da força F : W P O C F dl P P C F dl P 3 P C 3 F dl 3 P3 O F dl 4 onde O O,, P P,, P P, e P 3 P 3,. Também, dl i dx, dl j dy, dl 3 i dx e dl 4 j dy. Logo, (a) Portanto, W y y dx x x dy C 4 F dl yi xj i dx y dx F dl yi xj j dy x dy F dl 3 yi xj i dx y dx F dl 4 yi xj j dy x dy y y dx x x dy xy,, xy,, xy,,, xy, J (b) Fazendo o mesmo com F F dl yi xj i dx y dx F dl yi xj j dy x dy F dl 3 yi xj i dx y dx F dl 4 yi xj j dy x dy W y y dx x x dy y y dx x x dy xy,, xy,, xy,,, xy, (c) F não é conservativa, mas F pode ser. (d) Vamos admitir que F seja conservativa; logo, considerando P P, e P Px, y encontra-se Ux, y P P C F dl P P C yi xj idx jdy Como é uma força conservativa, o esta integral não deve depender do caminho C escolhido. Para facilitar, vamos considerar que C seja:, x, x, y. Assim NotasdeAuladeFísicaI ConservaçãodaEnergiano Movimento Geral - Problemas Resolvidos PR-7.4

5 Ux, y P P C yi xj idx jdy x y ydx y xx xdy xy PROBLEMA 8 Uma particula está confinada a mover-se no semi-espaço z, sob a ação de forças conservativas, de energia potencial Ux, y, z F z kx y, onde F e k são positivas. (a) Calcule as componentes da força que atua sobre a partícula. (b) Que tipo de força atua ao longo do eixo Oz? (c)quetipode forças atuam no plano xy? (d) Qual é a forma das superffcies equipotenciais? Solução (a) De acordo com a definição F U, temos F x d dx F z kx y kx F y d dy F z kx y ky F z d dz F z kx y F (b) Constante na direção negativa do eixo. (c) Lei de Hooke; (d) Ux, y, z constante Parabolóides de revolução com eixo ao longo de z. PROBLEMA 9 Um oscilador harmônico tridimensional isotrópico é defínido como uma particula que se move sob a ação de forças associadas à energia potencial Ux, y, z kx y z onde k é uma constante positiva. Mostre que a força correspondente é uma força central, e calcule-a. De que tipo é a força obtida? Solução de onde se obtém Da definição F U, temos queéaleidehookedirigidaparaaorigem. F x d dx F y d dy F z d dz kx y z kx kx y z ky kx y z kz F F x i F y j F z k kxi yj zk kr kr r. PROBLEMA Uma estrutura rígida triangular é construída com três hastes iguais e seu plano é vertical, com a base na horizontal. Nos dois outros lados estão enfiadas duas bolinhas idênticas de massa m, atravessadas por um arame rígido e leve AB, de modo que podem deslizar sobre as hastes com atrito desprezível, mantendo sempre o arame na horizontal. As duas bolinhas também estão ligadas por uma mola leve de constante elástica k e comprimento relaxado l. (a) Mostre que uma expressão para a energia potencial do sistema em função do comprimenlo l da mola é Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-7.5

6 Ul kl l mg 3 l. (b) Para que valor de l o sistema está em equilíbrio? (c) Se soltamos o sistema na situação em que a mola está relaxada, qual é o menor e qual é o maior valor de l no movimento subseqüente? (d) Que tipo de movimentoosistemarealizanocaso(c)? Solução A energia potencial do sistema é devida às forças gravitacional e elástica. Assim, como l l é a deformação da mola, U kl l mgz onde o nível zero é tomado no vértice O do triângulo (figura). z O 3º z 6º 6º Aalturaz pode ser calculada em função de l, através das relações geométricas num triângulo retângulo (ver figura). Ou seja, Assim, ztg3º l z 3 l. U kl l mgz Ul kl l mg 3 l (b) O sistema estará em equilíbrio para o valor de l que corresponde a um extremo de Ul. Assim, derivando Ul em relação a l e igualando o resultado a zero, obtém-se para l o valor: d dl kl l mg 3 l kl kl mg 3 l k mg 3 k (c) Na situação inicial o sistema só tem energia potencial gravitacional, E mgz mg 3 l NotasdeAuladeFísicaI ConservaçãodaEnergiano Movimento Geral - Problemas Resolvidos PR-7.6

7 e numa situação arbitrária z, l, E mv mgz kl l mv mg 3 l kl l Da conservação de energia mg 3 l mv mg 3 l kl l Fazendo x l l kl l mg 3 l l mv kx mg 3 x mv Os valores máximo e mínimo de l se obtém para v (energia total igual à soma das energias potenciais) Logo, Portanto, kx mg 3 x x, x mg 3 k l l x l min l, l max l 3mg k PROBLEMA Mostre que o trabalho necessário para remover um objeto da atração gravitacional da Terra é o mesmo que seria necessário para elevá-lo ao topo de uma montanha de altura igual ao raio da Terra, caso a força gravitacional permanecesse constante e igual ao seu valor na superfície da Terra, durante a escalada da montanha. Solução De acordo com a Eq. (7.5.7) ΔU mgr e portanto W R ΔU mgr Considerando que força gravitacional seja constante no trajeto até o topo da montanha, este trabalho, realizado por uma força externa para elevar o corpo até um altura R, pode ser calculado, fazendo F mg e W Fz z mgz z Tomando o nível de referência z na superfície da Terra e z R, encontra-se PROBLEMA W mgr Calcule a velocidade de escape de um corpo a partir da superfície da Lua. Solução De acordo com a Eq. (7.5.8) Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-7.7

8 T e mg L R L onde g L M LG R L Assim, como mv e mg L R L v e,l M LG R L Usando os valores L 3, 34 g/cm 3 R L. 738 km, m M L 4 3 R L 3 L 4 3, , , 3 kg G 6, 67 N m /kg Logo, v e,l M LG R L v e,l 7, 3 6, 67, m/s ou seja, v e,l, 4 km/s. PROBLEMA 3 Um satélite síncrono da Terra é um satélite cujo período de revolução em torno da Terra é de 4 h, de modo que permanece sempre acima do mesmo ponto da superfície da Terra. (a) Para uma órbita circular, a que distância do centro da Terra (em km e em raios da Terra) precisa ser colocado um satélite para que seja síncrono? (b) Que velocidade mínima seria preciso comunicar a um corpo na superficie da Terra para que atingisse essa órbita (desprezando os efeitos da atmosfera)? Solução (a) Para que o período seja T 4 h implica T v S R s onde R s é o raio da órbita circular. De acordo com a segunda lei de Newton, GMm R s mv s R s GMm R s m R s R R S GMm s m /3 GM Assim, para M 5, 97 4 kg e T rad/s e G 6, 67 Nm /kg Ou seja, R S GM /3 RS R S 4, 4 km. /3 / m Em termos de raios da Terra, será R T 6, 37 3 km NotasdeAuladeFísicaI ConservaçãodaEnergiano Movimento Geral - Problemas Resolvidos PR-7.8

9 R s R T 6, 6R T (b) Como a velocidade na órbita é v S R S m/s e sua energia potencial é dada por Ur GmM r então, a energia mecânica total do satélite nesta órbita é A energia total na superfície da Terra é E mv S UR S E mv T UR T Da conservação da energia mecânica, tem-se mv T UR T mv S UR S mv T GmM R T ou seja, mv S GmM R S v T v S GM R T R S v T v S GM R T R S ou v T m/s v T, 8 km/s. PROBLEMA 4 Utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais enunciado na Seç. 7.3 para obter as condições de equilíbrio da alavanca [Fig. (a)] e do plano inclinado [Fig. (b)]. Para isto, imagine que um pequeno deslocamento, compatível com os vínculos a que estão sujeitas, é dado às massas, e imponha a condição de que o trabalho realizado nesse deslocamento (trabalho virtual) deve ser nulo. Solução De acordo com a definição, para o caso (a) tem-se para o trabalho realizado m gδz m gδz Para deslocamentos infinitésimos Δz, este se confunde com o arco descrito por l e l, sendo proporcionais ao ângulo Δ. Assim, Δz l Δ e Δz l Δ e então Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-7.9

10 m gl Δ m gl Δ m l m l. Para o caso (b), o trabalho realizado pelos blocos e são m gsen Δl m gsen Δl Como Δl Δl, m sen m sen PROBLEMA 5 Um vagão de massa m 4 toneladas está sobre um plano inclinado de inclinação 45, ligado a uma massa suspensa m 5 kg pelo sistema de cabo e polias ilustrado na Fig. Supõe-se que o cabo é inextensivel e que a massa do cabo e das polias é desprezível em confronto com as demais. O coeflciente de atrito cinéticoentreovagãoeoplanoinclinado é c, 5 e o sistema é solto do repouso. (a) Determine as relaçöes entre os deslocamentos s e s e as velocìdades v e v das massas m e m, respectivamente. (b) Utilizando a conservação da energia, calcule de que distância o vagão se terá deslocado ao longo do plano inclinado quando sua velocidade atingir 4, 5 km/h l l. Solução (a) A condição de fio inextensível é dada por l l constante. Disto resulta que os deslocamentos e velocidades das massas estão relacionadas de acordo com Δl Δl Δl Δl, ou seja, s s e v v. (b) seja, Como há atrito, a energia mecânica não se conserva. Mas sua variação é igual ao trabalho da força de atrito, ou W a E f E i ΔE Supondo que as coordenadas das massas sejam Assim, e z i l sen, z f l s sen, v, v f v z i l, z f l s sen, v, v f v E i m v i m gz i mv i m gz i E i m gl sen m gl E f m v f m gz f mv f m gz f E f m v m gl s sen m v m gl s NotasdeAuladeFísicaI ConservaçãodaEnergianoMovimento Geral - Problemas Resolvidos PR-7.

11 Como v v v e s s s, encontra-se E f m v m gl s sen m v m gl s E f m v m gsinl m gsins m v m gl m gs Logo, ΔE E f E i m v m gsinl m gsins m v m gl m gs m gl sin m gl ΔE m m v m gsins m gs Mas o trabalho realizado pela força de atrito é s s W a F c s m m v m gsins m gs onde F c c m gcos ou seja, c m gcos s m m v m gsins m gs Resolvendo para s, m gsin c m gcos m g s m m v s m 4m v m gsin c m gcos m g Logo, para v 4, 5 km/h, 5m/s s , , 8sin45º, , 8 cos45º s, 5 m que é o deslocamento da massa m. PROBLEMA 6 Um automável de massa m e velocidade iniciai v é acelerado utilizando a potência máxima P M do motor durante um intervalo de tempo T. Calcule a velocidade do automóvel ao fim desse intervalo. Solução Como potência é defininida como trabalho por unidade de tempo, então W P M T mv mv P M T v v m P MT onde usamos o teorema W T. PROBLEMA 7 Um bloco de massa m kg é solto em repouso do alto de um plano inclinado de 45 em relação ao plano horizontal, com coeficiente de atrito cinético c, 5. Depois de percorrer uma dislância d mao longo do plano, o bloco colide com uma mola de constante k 8 N/m, de massa desprezível, que se encontrava relaxada. (a) Qual é a compressão sofrida pela mola? (b) Qual é a energia dissipada pelo atrito durante o trajeto do bloco desde o alto do plano até a compressão máxima da mola? Que fração representa da variação total de energia potencial durante o trajeto? (c) Se o coeficientedeatritoestáticocomoplanoé e, 8, que acontece com o bloco logo após colidir com a mola? Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-7.

12 Solução (a) Tomando o nível zero na posição final da mola comprimida de s, podemos encontrar esta compressão usando a conservação da energia, onde ΔE é a variação da energia mecânica. Sabendo que encontra-se Logo, W a ΔE s i, s f s, z i d s sen45º, z f, v i v f E i mv i mgz i mgd s sen45º E f mv f mgz f ks ks W a c mgcos45º s c mgcos45ºd s ks mgd s sen45º ks mgsen45º s c mgcos45º s c mgdcos45º mg ks mg cs mgd c s mg k cs Substituindo os valores numéricos, encontra-se ou cujas soluções são s s s s. 734 s. 38 e s. 46 mg k d c. 5 A solução negativa pode ser descartada, uma vez que s, como foi definida, é uma grandeza positiva. Logo, a compressãomáximadamolaé (b) A energia dissipada pelo atrito é s. 46 m. ou seja, ΔE W a c mgcos45ºd s ΔE 85 J.. 46 NotasdeAuladeFísicaI ConservaçãodaEnergianoMovimento Geral - Problemas Resolvidos PR-7.

13 Durante o trajeto, a variação total da energia potencial gravitacional é dada por ΔU mgd s sin45º J Assim f 85 7, 5 (c) Após o bloco parar, a força elástica da mola na compressão máxima se contrapôe à força de atrito e a resultante será F ks e mgsen45º N para cima ao longo do plano. Portanto, o bloco volta a subir. PROBLEMA 8 Uma bolinha amarrada a um fio de comprimento l m gira num plano vertical. (a) Qual deve ser a velocidade da bolinha no ponto mais baixo B (Fig.) para que ela descreva o círculo completo? (b) A velocidade satisfazendo a esta condiçâo, veriflca-se que a tensão do fio quando a bolinha passa por B difere por 4, 4 N da tensão quando ela passa pela posição horizontal A. Qual é a massa da bolinha? Solução (a) Tomando o nível zero no ponto B, a conservação da energia mecânica fornece Da segunda lei de Newton, no ponto mais alto mgz l mv l mv B mg T l mv l O menor valor de v B para que a bolinha descreva uma volta completa, deve ser aquele que torne T l no ponto mais alto. Assim, mg mv l v l l gl Assim, substituindo na conservação da energia, l mgl mgl mv B v B 5gl v B 7 m/s. (b) No ponto mais baixo B a tensão do fio vale T B mg mv B l T B mv B l mg 5mg mg 6mg A velocidade no ponto A, pode ser obtida pela conservação da energia energia mecânica. Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-7.3

14 Então, a tensão do fio no ponto A vale Sabendo-se que T B T A 4, 4, então ou seja, ou seja, m 5 g. mv A mgz A mv B mgz B v A gl 5 gl v A 5gl gl 3gl T A mv A l 3mgl l 3mg 6mg 3mg 4, 4 3mg 4, 4 m m m. 5 kg PROBLEMA 9 Um garotinho esquimó desastrado escorrega do alto do seu iglu, um domo hemisférico de gelo de 3 m de altura. (a) De que altura acima do solo ele cai? (b) A que distância da parede do iglu ele cai? 4, 4 3g N(θ ) θ θ r v y mg O x x Solução (a) Numa posição qualquer, temos mgcos N mv r N mgcos mv r Tomando o nível zero no solo, por conservação da energia mecânica obtém-se ou seja mgr mgrcos mv v gr cos Então mgr cos N mgcos r mgcos mg mgcos 3mgcos mg O garoto perde o contato com o domo numa posição para a qual N. Logo, 3mgcos mg cos 3 ou seja, para cos 3. Também sen cos y igual a 5 3. Isto corresponde a uma altura NotasdeAuladeFísicaI ConservaçãodaEnergianoMovimento Geral - Problemas Resolvidos PR-7.4

15 y rcos 3 3 m. Ou seja, o garoto cai de uma altura y m. A distância da origem x que ele abandona o iglu é dada por x rsen r m, m (b) Ao abandonar o domo, o garoto o faz com uma velocidade v v gr cos g g 4, 43 m/s que faz um ângulo abaixo da horizontal. A partir deste ponto o garoto descreve uma trajetória parabólica (movimento de projétil), cujas equações são (considerando a origem do sistema de coordenadas no ponto O) x x v cos t, y y v sen t gt Assim, quando y 3 g 5 3 t gt gt 7 g t ou t 7g t 4 g ou ainda t t t. 39 t. 4 t, 47; et, 86 Ou seja, a solução é t, 47 s,queéotempoqueogarotolevaparaatingirosolo.substituindoestevalordet na expressão de x, encontra-se x x v cos t x x 3, 37 m Em relação à parede do iglu, a distância que o garoto atinge o solo é d x r, 37 m PROBLEMA Num parque de diversões, um carrinho desce de uma altura h para dar a volta no loop de raio R indicado na figura. (a) Desprezando o atrito do carrinho com o trilho, qual é o menor valor h de h para permitir ao carrinho dar a volta toda? (b) Se R h h, o carrinho cai do trilho num ponto B, quando ainda falta percorrer mais um ângulo para chegar até o topo A (Fig). Calcule. (c) Que acontece com o carrinho para h R? Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-7.5

16 Solução (a) Tomando o nível zero de referência no solo, a conservação de energia fornece onde h A R. Da ª lei de Newton no ponto A obtém-se mgh mv A mgh A mg N mv A R mv A mgr N. Então, a menor velocidade para que o carrinho possa fazer o loop é aquela para a qual N. Assim, mv A mgr v A gr Substituindo na equação de conservação da energia, encontra-se a menor altura h h para a qual é possível o carrinho dar uma volta completa, mgh mgr mgr h R R h 5 R. (b) Num ponto B qualquer, onde R h h, a segunda lei de Newton fornece N mgcos mv R N mv R mgcos O carrinho cai do trilho num ponto onde ele perde o contato, ou seja, onde N. Assim mv mgcos Rgcos v R Mas, da conservação da energia mecânica sabe-se que onde z R Rcos. Logo, Portanto, ou mgh mv mgz mgh mv mgr mgrcos v gh gr grcos Rgcos v Rgcos gh gr grcos 3Rcos h R 3Rcos h R de onde se obtém cos 3 h R (c) Para h R, a conservação da energia mecânica fornece mgh mv mgr mgrcos onde é o ângulo medido com a vertical a partir do ponto mais baixo. Como por hipótese v, então mgh mgr mgrcos Rcos R h ou seja, cos R h Assim, o carrinho sobe um ângulo depois de ultrapassar o ponto mais baixo, volta a descer e continua oscilando. NotasdeAuladeFísicaI ConservaçãodaEnergianoMovimento Geral - Problemas Resolvidos PR-7.6

17 PROBLEMA Uma escada rolante liga um andar de uma loja com outro situado a 7, 5 m acima. O comprimentodaescadaéde meelasemovea, 6 m/s. (a) Qual deve ser a potência mínima do motor para transportar até pessoas por minuto, sendo a massa média de 7 kg? (b) Um homem de 7 kg sobe a escada em s. Que trabalho o motor realiza sobre ele? (c) Se o homem, chegando ao meio, põe-se a descer a escada, de tal forma a permanecer sempre no meio deìa, isto requer que o motor realize trabalho? Em caso afirmativo, com que potência? Solução dado por (a) O trabalho realizado pelo motor da escada para transportar uma única pessoa de massa m 7 kg é W Fd onde, para uma velocidade constante, F mg sen, sendo sen h d. Assim ou seja, W mg h d d W mgh W , 45 kj A potência para transportar pessoas por minuto, que corresponde a N 6 pessoas/s será P NW 5, 45 8, 575 kw 6 F d mg h θ (b) O tempo que o motor gasta para transportar uma pessoa de um andar para o outro é d vt t. 6 s A potência gasta para transportar uma pessoa será então P W t , 5 W Se um homem sobe a escada em t s, o motor realiza um trabalho sobre ele dado por W P t 57, 5 ou seja, W. 57, 5 J Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-7.7