Planejamento de Trajetórias de Soldagem para Robôs Redundantes Operando em Ambientes Confinados

Transcrição

1 Planejamento de Trajetórias de para Operando em Ambientes Confinados Simas Laboratório de Robótica Departamento de Automação e Sistemas - DAS Departamento de Engenharia Mecânica - EMC Universidade Federal de Santa Catarina Exame de Qualificação - de

2 Sumário 1 2 paralelas 3 Cinemática inversa de robôs 4 Cinemática inversa diferencial utilizando restrições 5 O estendido a partir das restrições 6

3 A robotização está vinculada aos seguintes fatores: 1 Confiabilidade; 2 Flexibilização da produção; 3 Qualidade do produto desejada; 4 Produtividade; 5 Mão de obra técnica especializada para operação do robô; 6 Custos de investimento e instalação.

4 Elementos para especificações de robôs de soldagem: 1 A concepção cinemática; 2 O número de juntas; 3 O volume de trabalho; 4 A repetitividade; 5 A exatidão de movimentos; 6 A velocidade de deslocamento.

5 Elementos para especificações de robôs de soldagem: Os robôs para soldagem precisam um sistema de geração de Um exemplo é o sistema de geração de de preenchimento de cavidades do projeto ROBOTURB

6 As Uma tarefa pode ser realizada ponto a ponto ou de maneira contínua através de um caminho. A trajetória é descrita por um conjunto de dados de: 1 Posição; 2 Velocidade; 3 Aceleração. Dados estes definidos no espaço cartesiano.

7 e a geometria diferencial A geração de é feita através da modelagem de curvas e superfícies; A geometria diferencial é uma ferramenta matemática que auxilia no cálculo de sobre curvas ou superfícies Os algoritmos de modelagem de curvas e superfícies parametrizadas possuem propriedades que auxiliam no tratamento da geometria diferencial e portanto na geração de

8 Geometria diferencial de curvas Para descrição das propriedades locais de uma curva parametrizada podem ser utilizados: Sistema de coordenadas de Frenet; Fórmulas de Frenet-Serret.

9 Sistema de Frenet Vetores: T Tangente N Normal B Binormal Ḃ k T τ. N B T N N r(s) τb k T. N

10 Fórmulas de Frenet-Serret ṙ(s) Ṫ(s) Ṅ(s) Ḃ(s) = T(s) = k(s)n(s) = τ(s)b(s) k(s)t(s) = τ(s)n(s) k é a curvatura τ é a torção da curva Fórmulas de Frenet-Serret

11 Geometria diferencial de superfícies Duas propriedades são essenciais para descrição de caminhos sobre as superfícies: 1 A primeira forma fundamental Descreve o comprimento da tangente de uma curva parametrizada sobre a superfície. 2 A segunda forma fundamental Descreve o raio de curvatura local de uma superfície.

12 1 a forma fundamental r(u,v) ṙ(u,v) z y v u v(t) x u(t)

13 2 a forma fundamental T Centro de curvatura n k z y v u x

14 Cálculo de paralelas Com esta metodologia é possível desenvolver um algoritmo de geração de paralelas para o recobrimento de superfícies pelo processo de soldagem. Baseado em algoritmos de geração de caminhos paralelos para máquinas ferramenta (5 GDL) uma adaptação foi realizada para aplicação em robôs de soldagem (6 GDL) ROBOTURB Seja uma superfície parametrizada r(u, v) onde, sobre esta superfície, existe uma trajetória r(u(t), v(t)) definida pela parametrização de u e v por t.

15 Cálculo de paralelas r(u,v) r(u(t),v(t)) v u(t),v(t) v u u

16 Descrição do procedimento Para obtenção de um caminho paralelo, são calculados pontos sobre o caminho inicial; Obtém-se as propriedades locais do ponto sobre o caminho; Caminho paralelo v u centro de curvatura k* r du u + r dv v dt dt Distancia g

17 Descrição do procedimento Dependendo da curvatura é obtida a distância geodésica g Bocal dc w C g C i i+1 w Superficie k θ O

18 Descrição do procedimento Calcula-se passo u e v de maneira a encontrar o ponto pertencente ao caminho paralelo referente ao ponto r(u, v) Definidos os passos um experimento foi realizado.

19 Execução do algoritmo e o efeito de laço Ao ser realizado os experimentos foi observado o aparecimento de um laço nas paralelas.

20 Execução do algoritmo e o efeito de laço

21 Execução do algoritmo e o efeito de laço Duas propostas foram analisadas e uma foi implementada O teste de paralelismo; Os resultados obtidos foram satisfatórios.

22 Trajetórias paralelas sem a presença do laço

23 Trajetórias paralelas Espaço de juntas Concluida a análise do problema de geração de no espaço cartesiano, é preciso tratar o problema da cinemática inversa para analisar as no espaço de juntas.

24 Um robô é dito redundante se o seu número de juntas n é maior do que o número de coordenadas do espaço operacional r o grau de redundância é medido por n r A solução da cinemática inversa pode ser: 1 Analítica - solução precisa e obtida de numa única sequência de operações; 2 Integração da cinemática diferencial - requer algoritmos numéricos - pode ser sistematizada - a imprecisão numérica depende basicamente do número de iterações e do método de integração.

25 A cinemática inversa diferencial e o Na cinemática diferencial o mapeia o espaço diferencial de juntas no espaço diferencial cartesiano. v = J(q) q A cinemática inversa é obtida pela inversão do : q = J 1 (q)v não possuem o quadrado, portanto a cinemática inversa possui infinitas soluções A questão é determinar um método adequado para solução da cinemática inversa.

26 Métodos baseados na cinemática diferencial A seguir são apresentados os métodos mais utilizados para resolução da cinemática inversa para robôs.

27 A pseudo-inversa Métodos baseados na cinemática diferencial q = W 1 J T (JW 1 J T ) 1 v q = J v Pode ser obtida por funcionais do tipo energia A estabilidade numérica depende da trajetória No caso de W ser diferente da identidade, são necessárias ajustar n variáveis pertencentes à diagonal principal de W Possui problemas dimensionais para robôs com juntas rotativas e prismáticas

28 Métodos baseados na cinemática diferencial Task priority q = J pv p,d + (J s (I n J pj p )) (v s,d J s J p) Neste método são definidas tarefas primárias e secundárias; Método baseado na pseudo-inversa - sensível as mesmas limitações;

29 Métodos baseados na cinemática diferencial O estendido [ ṗ(t) 0 ] = [ J(q) h(q) q ] q O método apresenta o problema das singularidades algorítmicas; Inconsistência dimensional para o caso de diferentes tipos de juntas

30 Representação helicoidal de um movimento Um deslocamento helicoidal é a combinação de um deslocamento rotativo com um de translação $ si s o i t Deslocamento translacional Deslocamento rotacional Deslocamento helicoidal s o i

31 Representação helicoidal de um movimento Um helicóide é decomposto em: $ = (ω; Vp) T =(L, M, N ; P, Q, R ) T, De maneira normalizada. $ = ˆ$Ψ, ou seja ˆ$ = (L, M, N, P, Q, R ) T e magnitude Ψ: Para uma cadeia composta por n juntas, o helicóide resultante pode ser obtido pela soma linear dos helicóides de cada junta: B $ E = n Bˆ$i Ψ i i=1

32 Representação helicoidal de um movimento Matricialmente tem-se [ ] B $ E = Bˆ$1 Bˆ$2 Bˆ$n Ψ 1 Ψ 2. Ψ n A representação helicoidal de um movimento permite o desenvolvimento de um método de obtenção da cinemática inversa baseado em restrições. O método das restrições utiliza-se de cadeias virtuais para seu desenvolvimento (1)

33 As cadeias virtuais A cadeia virtual, é uma ferramenta para obter informações ou restringir movimentos de uma cadeia cinemática. Satisfaz as seguintes propriedades: A cadeia virtual é aberta Possui juntas as quais os helicóides normalizados sejam linearmente independentes Não interfere na mobilidade da cadeia cinemática real A seguir são apresentadas as cadeias virtuais mais utilizadas obter e impor movimetos sobre um plano:

34 Cadeia PPR y x $ rz $ py $ px

35 Cadeia RPR y $ rz 2 $ pr $ rz 1 x

36 Lei da Circulação de Davies Davies adaptou a lei de Kirchhoff para resolver a cinemática diferencial de mecanismos de cadeia fechada. A lei de circulação de Kirchhoff-Davies estabelece que A soma algébrica das velocidades relativas de pares cinemáticos ao longo de alguma cadeia cinemática fechada é zero. Usando esta lei, a relação entre as velocidades de um cadeia cinemática fechada pode ser obtida pela resolução da cinemática diferencial. Para o fechamento de cadeias abertas são utilizadas as cadeias virtuais.

37 Lei da Circulação de Davies Em geral, a equação de restrição de um mecanismo representado por um sistema helicoidal de movimentos de ordem d é dada por: N (d Fb )Ψ (Fb 1) = 0 (d 1) Rearranjando Ψ em duas partes Magnitudes conhecidas pertencentes a juntas definidas como primárias Ψ p Magnitudes desconhecidas pertencentes a juntas definidas como secundárias Ψ s O objetivo é obter as magnitudes desconhecidas (Ψ s ).

38 Lei da Circulação de Davies Rearranjando a matriz N de helicóides normalizados obtem-se Ψ s por: Ψ s = N s 1 N p Ψ p

39 A solução da cinemática diferencial Um exemplo foi desenvolvido considerando a seguinte situação: $ C 3 Obstáculo $ $ rz D 2 4 $ rz Rob ô 6 5 y $ A 1 Base 2 x $ B

40 A solução da cinemática diferencial Para a solução da trajetória uma cadeia PPR é acoplada ao robô y $ C 3 Rob ô Circuito 1 4 $ D Base $ A 2 x $ B $ rz $ py $ px Cadeia virtual PPR C1

41 A solução da cinemática diferencial A mudança da cadeia virtual PPR não altera o resultado e torna menos complexo o dsenvolvimento y 1 Base $ A 2 x 7 $ D 4 $ C Rob ô 6 3 Circuito 1 $ py $ B Cadeia virtual PPR C2 $ rz 5 $ rz $ py $ px Cadeia virtual PPR C1 $ px

42 A solução da cinemática diferencial Assim a trajetória é definida por uma cadeia virtual PPR como segue: $ C 3 Rob ô 4 $ D 6 $ rz 5 y 1 Base $ A 2 x 7 Circuito 1 $ py $ B Cadeia virtual PPR C2 $ px

43 A solução da cinemática diferencial Para evitar a colisão da junta C uma cadeia RPR é acoplada ao robô y 1 Base xo $ A 1 $ rz 1 9 Cadeia virtual RPR $ y pr 8 o $ $ rz D 2 4 $ $ C rz Rob ô Circuito x 7 $ B Circuito 1 $ py Cadeia virtual PPR C2 $ px

44 A solução da cinemática diferencial Para este exemplo é obtida a equação de restrição pelo método de Kirchhoff-Davies [ ˆ$A ˆ$B ˆ$C ˆ$D ˆ$ rz ˆ$ px ˆ$ py ˆ$ A ˆ$B 0 0 ˆ$ rz1 ˆ$ pr ˆ$ rz ] Ψ A Ψ B Ψ C Ψ D Ψ rz1 Ψ pr Ψ rz2 Ψ rz Ψ px Ψ py = NΨ = 0

45 A solução da cinemática diferencial Selecionando as magnitudes da matriz primária e secundária tem-se: Ψ A [ ] Ψ B ˆ$A ˆ$B ˆ$C ˆ$D 0 0 NΨ = Ψ C ˆ$ A ˆ$B 0 0 ˆ$ rz1 ˆ$ rz2 Ψ D Ψ rz1 Ψ rz2 [ 0 ˆ$ rz ˆ$ px ˆ$ py ˆ$ pr ] Ψ pr Ψ rz Ψ px Ψ py + = NsΨs + NpΨp = 0 É possível notar que as velocidades das juntas r z1 e r z2 serão calculadas mas não serão utilizadas no cálculo das posições de junta é interessante eliminá-las...

46 A metodologia de eliminação das juntas passivas A discussão inicial mostrou que o estendido possibilita a solução da cinemática inversa mediante o acréscimo de restrições adicionais ao - Ocorrem problemas de singularidades algorítmicas; O método de introdução das restrições impõe o cálculo de velocidades das juntas passivas da cadeia virtual, que não são utilizadas no cálculo da posição do robô; Uma nova metodologia é proposta e está baseada no conceito da matriz aniquiladora.

47 Eliminação das juntas passivas Considerando o exemplo apresentado tem-se que: O robô tem quatro juntas, A, B, C e D As velocidades Ψ rz1 e Ψ rz2, que fazem parte das juntas secundárias, não são necessárias para calcular a posição do robô É útil eliminá-las

48 Eliminação das juntas passivas Inicialmente a matriz secundária é particionada: [ N s Ψ s = 0 0 ˆ$ rz1 ˆ$ rz2 [ ˆ$A ˆ$B ˆ$C ˆ$D ˆ$ A ˆ$B 0 0 ] [ Ψrz1 Ψ rz2 ] Ψ A Ψ B Ψ C Ψ D + ] = N sa Ψ sa + N sp Ψ sp

49 Eliminação das juntas passivas As juntas passivas são eliminadas utilizando a matriz aniquiladora K [ ] Id d 0 K = 0 ref W Nsp ref W Nsp é um conjunto de helicóides recíprocos da matriz secundária passiva Assim: KN sp = 0

50 Eliminação das juntas passivas Para manter a igualdade é necessário que: KN p Ψ p + KN sa Ψ sa + KN sp Ψ sp = 0 (3) }{{} =0 Tem-se então que : KN p Ψ p + KN sa Ψ sa = 0 (4)

51 Eliminação das juntas passivas As matrizes KN p e KN s resultantes possuem um número de linhas linearmente dependentes igual ao número de juntas secundárias passivas. Estas linhas podem ser eliminadas através da pré-multiplicação por uma matriz G que tem sua estrutura dada pela equação: G = [ I r r 0 r sp ] As velocidades das juntas primárias são obtidas por: Ψ p = (GKN p ) 1 GKN sa Ψ sa

52 Eliminação das juntas passivas Empregando a definição usual do resulta: J = (GKN p ) 1 GKN sa

53 Aplicando a metodologia ao exemplo Aplicando a metodologia desenvolvida ao exemplo tem-se a seguinte matriz Jacobiana: J = P a L 1 s 2 L 2 s 23 L 2 s 23 0 Q a L 1 c 2 + L 2 c 23 L 2 c 23 0 P a c rz1 + Q a s rz1 L 1 s rz

54 Estudo das singularidades Uma questão fundamental é verificar e discutir as singularidades introduzidas por esse procedimento. Foram analisadas as condições singulares do robô redundante [Nokleby] Foram analisadas as condições singulares com a restrição cinemática de colisão Determinante do

55 Singularidade do robô redundante θ a $ B θ 2 π 2 $ C $ rz $ D $ A $ px $ py

56 Singularidade do robô redundante com restrição $ rz1 $ pr θ p $ C y $ B $ rz2 $ D (θ 2 +θ 3) $ rz $ A $ py x $ px

57 Singularidade do robô redundante com restrição $ rz1 y θ a π 2 $ B θ 2 $ pr $ C $ D $ rz2 $ rz $ A x $ py $ px

58 Discussão dos resultados Os resultados mostram que ocorre introdução de duas singularidades adicionais. Assim, o método do estendido a partir de restrições também introduz singularidades algorítmicas. As singularidades algorítmicas ocorrem quando existem incompatibilidades entre os movimentos impostos ao efetuador e as outras restrições. No exemplo, esta incompatibilidade ocorre em situações nas quais a trajetória imposta ao efetuador não pode ser realizada sem que haja colisão. Cabe ressaltar que as singularidades tem significado físico claro que pode ser utilizado no desenvolvimento de métodos para evitá-las.

59 Objetivo da São objetivos do trabalho de : Concluir a sistematização e implementação da metodologia de obtenção do estendido obtido pelas restrições Validar a solução do evitamento de colisão no protótipo do projeto ROBOTURB

60 Tarefas a serem executadas 1 Conclusão e validação da metodologia de geração de paralelas para soldagem 2 Complementação da revisão bibliográfica sobre as estratégias para resolução da cinemática inversa de robôs ; 3 Sistematização do método para a obtenção da matriz aniquiladora; 4 Sistematização do método de obtenção do estendido obtido pelas restrições ; 5 Aplicação dos resultados no protótipo do ROBOTURB;

61 Tarefas a serem executadas 1 Conclusão e validação da metodologia de geração de paralelas para soldagem 2 Complementação da revisão bibliográfica sobre as estratégias para resolução da cinemática inversa de robôs ; 3 Sistematização do método para a obtenção da matriz aniquiladora; 4 Sistematização do método de obtenção do estendido obtido pelas restrições ; 5 Aplicação dos resultados no protótipo do ROBOTURB;

62 Tarefas a serem executadas 1 Conclusão e validação da metodologia de geração de paralelas para soldagem 2 Complementação da revisão bibliográfica sobre as estratégias para resolução da cinemática inversa de robôs ; 3 Sistematização do método para a obtenção da matriz aniquiladora; 4 Sistematização do método de obtenção do estendido obtido pelas restrições ; 5 Aplicação dos resultados no protótipo do ROBOTURB;

63 Tarefas a serem executadas 1 Conclusão e validação da metodologia de geração de paralelas para soldagem 2 Complementação da revisão bibliográfica sobre as estratégias para resolução da cinemática inversa de robôs ; 3 Sistematização do método para a obtenção da matriz aniquiladora; 4 Sistematização do método de obtenção do estendido obtido pelas restrições ; 5 Aplicação dos resultados no protótipo do ROBOTURB;

64 Tarefas a serem executadas 1 Conclusão e validação da metodologia de geração de paralelas para soldagem 2 Complementação da revisão bibliográfica sobre as estratégias para resolução da cinemática inversa de robôs ; 3 Sistematização do método para a obtenção da matriz aniquiladora; 4 Sistematização do método de obtenção do estendido obtido pelas restrições ; 5 Aplicação dos resultados no protótipo do ROBOTURB;

65 Simulação MatLab

66 Laboratório de Robótica DAS-EMC-UFSC HENRIQUE SIMAS