ESTUDO COMPARATIVO DO CÁLCULO NUMÉRICO DAS FUNÇÕES DE GREEN DE ANTENAS DE MICROFITA MOLDADAS SOBRE SUPERFICIES CILÍNDRICAS

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1 Anais do 13 O Encontro de Iniciação ientífica e Pós-Graduação do ITA XIII ENITA / 7 Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos ampos, SP, Brasil, Outubro, 1 a 4, 7. ESTUDO OMPARATIVO DO ÁLULO NUMÉRIO DAS FUNÇÕES DE GREEN DE ANTENAS DE MIROFITA MOLDADAS SOBRE SUPERFIIES ILÍNDRIAS Alexis F. Tinoco S. Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA, Laboratório de Antenas e Propagação LAP 18-9 São José dos ampos SP. atinoco@ita.br José arlos da Silva Lacava Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA, Laboratório de Antenas e Propagação LAP 18-9 São José dos ampos SP. lacava@ita.br Resumo. Neste trabalho é apresentado um estudo comparativo do cálculo numérico das funções de Green espectrais para antenas de microfita moldadas sobre superfícies cilíndricas, visando seu emprego no formalismo característico do método dos momentos. Três procedimentos para a obtenção das funções de Green espectrais são analisados. O critério escolhido para a comparação é o de menor tempo computacional despendido em cada procedimento. Palavras chave: Antenas de microfita, antenas conformadas, estruturas cilíndricas, método dos momentos. 1. Introdução A evolução da tecnologia para navegação bem como a dos sistemas aeronáuticos fez de estruturas cilíndricas um importante tópico de estudo e pesquisa. Em várias aplicações destes sistemas é necessário que o elemento irradiador tenha bom perfil aerodinâmico e possa ser montado sobre as estruturas de aeronaves e mísseis. Sabe-se também que redes de antenas montadas sobre superfícies cilíndricas têm potencial de cobertura de 36 graus, com aplicação típica no rastreamento de satélites do sistema GPS. A pesquisa, projeto e construção de antenas e redes de antenas do tipo microfita moldadas sobre estruturas cilíndricas é uma das áreas atuantes do Laboratório de Antenas e Propagação LAP [Silva, 199; Heckler, 3]. Redes cilíndricas de antenas de microfita, projetadas para operarem nos canais de telemetria dos foguetes SONDA IV e VLS, são exemplos típicos desta linha de pesquisa [Splitt, 1989; Lumini, 1991]. Os métodos de análise de antenas de microfita podem ser classificados como empíricos, semi-empíricos e de onda completa. O modelo empírico é restrito a antenas com elementos irradiadores de geometrias simples e se baseia em observações também simplificadas de seus mecanismos de operação. O semi-empírico é um modelo híbrido do empírico com a formulação de onda completa. Já o modelo de onda completa, por ser mais completo que o híbrido, leva em conta importantes fenômenos que ocorrem na antena, como a excitação de ondas de superfície no substrato. Utiliza a função de Green exata da estrutura e o método dos momentos (MoM) na solução das equações integrais para as densidades de corrente localizadas sobre o elemento irradiador. Portanto, a análise rigorosa de antenas de microfita a partir de métodos numéricos como o MoM necessita do conhecimento das respectivas funções de Green. Tais funções têm sido calculadas no domínio espectral que, em certas situações, possibilita apresentá-las na forma fechada. Entretanto o cálculo dessas funções é geralmente trabalhoso, principalmente em estruturas cilíndricas com múltiplas camadas [Bianchi, 6]. Neste trabalho é realizado um estudo comparativo do cálculo das funções de Green espectrais para estruturas multicamadas cilíndricas. Uma vez que a complexidade do MoM exige agilidade no cálculo numérico das funções de Green, três propostas para a determinação destas funções serão consideradas. Estas propostas diferem, basicamente, na técnica utilizada para a obtenção das amplitudes dos campos transformados e na escolha da combinação das funções de Bessel e de Hankel, que estabelecem as soluções para as componentes dos campos espectrais segundo o eixo z. Na validação destas propostas será utilizado o programa Mathematica TM, em sua versão 5., principalmente pela sua conhecida capacidade de computação simbólica. O critério escolhido para a comparação será o menor tempo computacional despendido em cada um dos procedimentos utilizados.. Análise Teórica Na Fig. 1 é apresentada a geometria da antena em consideração. É constituída por um cilindro condutor perfeito de raio a e duas camadas dielétricas, também cilíndricas, de raios b e c. A primeira destas camadas, denominada substrato, possui h 1 = b-a de espessura e ε r1 de permissividade relativa. A segunda, a camada de cobertura, tem h = c-b de espessura e ε r de permissividade relativa. Na interface = b encontra-se localizado o elemento irradiador quasequadrado, de dimensões b e, caracterizado por uma superfície condutora perfeita de espessura infinitesimal. Perdas

2 Anais do XIII ENITA 7, ITA, Outubro, 1-4, 7 dielétricas, se ocorrerem, serão levadas em conta com auxílio da permissividade complexa ε i, através da tangente de perdas tg (δ i ), com i = 1 ou. Após a camada de cobertura tem-se a região do espaço livre, caracterizada por uma permissividade elétrica ε igual a do vácuo. Todas as regiões possuem µ como permeabilidade magnética. Figura 1. Geometria da antena de microfita quase-quadrada com cobertura dielétrica, moldada sobre um cilindro condutor perfeito de raio a. Os campos eletromagnéticos irradiados pela antena da Fig. 1 são determinados considerando-se a densidade de corrente elétrica sobre o elemento irradiador como a fonte virtual destes campos [Silva, 199]. Operando no domínio de Fourier, inicialmente são determinadas as soluções para as equações de onda transformadas em cada uma das camadas que constituem a antena. Em seguida são aplicadas as condições de contorno pertinentes ao problema. Isto feito, os campos do domínio espacial são estabelecidos via transformada inversa de Fourier. Para a m-ésima camada, onde m designa a camada em consideração, são obtidas as seguintes equações diferenciais no domínio de Fourier, 1 n 1 n k (,, ) (,, ) m kz Em n kz i E mφ n kz = (1) 1 n 1 n k (,, ) (,, ) m kz Emφ n kz i E m n kz = () E (,, ) = (3) 1 n k m kz mz n kz onde, n e k z são as variáveis espectrais e km = ωµε m. O índice m pode assumir valores iguais a 1, ou 3, designando o substrato, a cobertura e a região de espaço livre, respectivamente. Procedimento análogo permite mostrar que as componentes do campo magnético transformado satisfazem equações duais às acima apresentadas. Ressalta-se que a transformada dupla de Fourier estabelece a existência da transformação f ( φ,, z) F (, n, k z ). Transformando também as expressões para os rotacionais dos campos elétricos e magnéticos, as seguintes relações entre as componentes dos campos transformados são estabelecidas: 1 nωµ E m (, nk, z ) = Hmz (, nk, z ) ikz E mz (, nk, z ) (4) km

3 Anais do XIII ENITA 7, ITA, Outubro, 1-4, 7 1 kn z E mφ (, nk, z) = E mz (, nk, z) iωµ Hmz (, nk, z) (5) km 1 nωε m Hm (, nk, z) = E mz (, nk, z) ikz Hmz (, nk, z) (6) km 1 nkz Hm φ (, nk, z) = Hmz (, nk, z) iωεm Emz (, nk, z) (7) km onde, k m =k m - k z. Do sistema acima nota-se que é suficiente a solução das equações diferenciais para as componentes E mz (,n,k z ) e H mz (,n,k z ) dos campos transformados. Sendo estas equações de Bessel de ordem n, suas soluções gerais podem ser escritas como: (, nk, ) = e 1f1( k ) e f( k ) E (8) mz z m m m m mz (, nk, z ) = hm 1f1( km) hm f( km ) H (9) onde e m-1, e m, h m-1 e h m são funções a serem determinadas. Possíveis combinações para o par de funções f 1 (k m ) e f (k m ) são: 1 - f 1 (k m ) = H n (1) (k m ) e f (k m ) = H n () (k m ), onde H n (1) (k m ) é a função de Hankel de primeira espécie e H n () (k m ) a de segunda, - f 1 (k m ) = J n (k m ) e f (k m ) = H n () (k m ), onde J n (k m ) é a função de Bessel de primeira espécie, 3 - f 1 (k m ) = J n (k m ) e f (k m ) = H n (1) (k m ). Do ponto de vista analítico, qualquer das combinações acima satisfaz a equação de Bessel em consideração. Entretanto, não se sabe qual destas combinações apresenta o melhor desempenho numérico. O conhecimento deste fato contribuirá significativamente para a implementação eficiente do MoM aplicado à estrutura em análise. Prosseguindo com o desenvolvimento analítico do cálculo das funções de Green espectrais, com auxílio de (8) e (9), as componentes dos campos transformados para a m -ésima camada podem ser escritas como: nkz ωµ E (, nk, ) = e 1f1( k ) e f( k ) i h 1f1( k ) h f( k ) (1) m φ z m m m m m m m m k m k m ωµ n kz E (, nk, ) = h 1f1( k ) h f( k ) i e 1f1( k ) e f( k ) (11) m z m m m m m m m m k m k m nkz ωε m H (, nk, ) = h 1f1( k ) h f( k ) i e 1f1( k ) e f( k ) (1) m φ z m m m m m m m m k m k m nωε m kz H (, nk, ) = e 1f1( k ) e f( k ) i h 1f1( k ) h f( k ) (13) m z m m m m m m m m k m k m onde, f υ (k m ) =d f υ (k m ) / d e υ é igual a 1 ou. Isto é, as equações Eq. (8) Eq. (13) podem ser aplicadas tanto ao substrato como à camada de cobertura. Já na região de espaço livre, onde o meio é ilimitado na direção, somente a função que descreve uma onda que se afasta da fonte dever ser utilizada, de acordo com a condição de irradiação de Sommerfeld. Estabelecidas as expressões para os campos transformados, o próximo passo é a determinação das amplitudes dos campos transformados nas três camadas. Isto é feito aplicando-se as condições de contorno às interfaces localizadas em = a, = b e = c. Este procedimento dá origem a um sistema de dez equações a dez incógnitas.

4 Anais do XIII ENITA 7, ITA, Outubro, 1-4, 7 Simplificações no sistema de dez equações acima mencionado permitiram reduzi-lo a um sistema de seis equações a seis incógnitas. Na forma matricial, este sistema é escrito como: nk nk nk ωµ ωµ ωµ i i i z z z bk1 bk bk k1 k k 1 3 e ωε1 ωε ωε nkz nkz nkz i 9 i 5 i 6 1 e 3 4 k1 k k bk1 bk bk e5 J z nk z 1 1 ωµ = h A 9 i 7 i 8 c k3 k k h 4 J φ 1 h 3 5 ωε nk z 1 1 i 7 i11 A 9 k c k3 k onde, e AA = A, A1 BA = B, A7 B A B 3 9 = 4, A1 A A 5 8 = A6, A7 BA =, A7 A B A A =, A7 BA 3 1 = A4, B 11 = 1 k3 ka7 BB 3 4 = B4, B1 BA B ωµ, = B8, A 8 = 7 ka7 k3 ε B ω ε A B. = ( ), A = f( ak1 ), A3 = f1( bk1 ), A4 = f( bk1 ), A5 f1( bk ) A1 f1 ak1 = ( ), A7 = f1( ck ), A8 = f( ck ), A9 f( ck3 ) A6 f bk =, =, (14) os coeficientes B l, onde l = 1,,..., 9, são calculados utilizando-se as mesmas expressões para A l acima, pela simples substituição das funções f 1, (ξ) por suas derivadas f 1, (ξ). Observe também que j z J z e j φ J φ. As amplitudes e 1, e 3, h 1 e h 3 dos campos transformados são calculadas por: A e = e, 1 A1 A A e = e e 4 (15) A7 A7 B h = h, 1 B1 A A h = h h 4 (16) A7 A7 A solução literal do sistema de equações (14), em conjunto com as Eqs. (15) e (16), é tediosa e muito trabalhosa quando realizada manualmente. Na atualidade, esta solução tem sido realizada com auxílio de computação simbólica, através do programa Mathematica. Após esta solução, as amplitudes dos campos transformados são determinadas. Introduzindo-as nas Eq. (8) Eq. (13) e colocando em evidencia os termos J z e J φ, as componentes dos campos transformados na m-ésima camada da estrutura podem ser assim escritas: (,, ) E G J G J (17) mz nkz = mzz z mzφ φ (, nk, ) E = G J G J φ (18) mφ z mφz z mφφ (, nk, ) E = G J G J m z mz z mφ φ (,, ) H M J M J () mz nkz = mzz z mzφ φ (, nk, ) H = M J M J φ (1) mφ z mφz z mφφ (, nk, ) H = M J M m z mz z mφ J φ (19) ()

5 Anais do XIII ENITA 7, ITA, Outubro, 1-4, 7 onde G mξz e G mξφ são as funções de Green elétricas espectrais da m-ésima camada que constitui a estrutura em questão, responsáveis pelo acoplamento entre a componente do campo elétrico transformado E mξ (,n,k z ) e as densidades superficiais de corrente elétrica espectrais J z e J φ, localizadas sobre o elemento irradiador. M mξz e M mξφ são as funções de Green magnéticas espectrais relacionadas à mesma camada m. Estritamente falando, as funções de Green na forma analítica, independem do procedimento utilizado para resolver o sistema de equações (14) e da escolha das funções f 1 (k m ) e f (k m ). Entretanto, do ponto de vista computacional, esta afirmação deixa de ter validade. Este fato será o foco da seção que se segue. 3. álculo Numérico das Funções de Green O MoM é um método numérico poderoso que pode ser empregado para analisar a estrutura mostrada na Fig. 1 de forma rigorosa. O desempenho computacional deste método é função de vários fatores. Um deles é o tempo necessário para realizar o cálculo numérico das funções de Green. om o objetivo de avaliar este parâmetro, as seguintes características foram estabelecidas para a estrutura apresentada na Fig. 1. omo dielétrico das camadas de substrato e de cobertura foi utilizado o ulad TM 5GX, fabricado pela Arlon, cujas características elétricas são: ε r =,55, tg(δ i ) =, e espessura h =3,48 mm. O raio do cilindro condutor foi estabelecido ser igual mm e a freqüência de operação fixada em,5 GHz. Três diferentes propostas foram analisadas. P 1 - as amplitudes dos campos transformados foram determinadas com auxílio da técnica de substituição de variáveis e as soluções da equação de Bessel combinadas segundo, P - as amplitudes dos campos transformados foram determinadas aplicando-se a regra de ramer, sendo as expressões simplificadas ao máximo, e as soluções da equação de Bessel combinadas segundo 1, P 3 - as amplitudes dos campos transformados foram determinadas aplicando-se a regra de ramer, mas desta vez nenhuma simplificação adicional foi realizada, e as soluções da equação de Bessel combinadas segundo 1. A ferramenta computacional utilizada para implementar e simular cada uma das propostas foi o Mathematica, na versão 5., e o computador foi um Pentium IV TM HT de 3 GHz de clock, com 1 GB de memória RAM. O procedimento seguido foi o seguinte: inicialmente, de forma analítica, foram calculadas as amplitudes dos campos transformados (resolução do sistema de equações através dos métodos acima mencionados). Em seguida, as condições de contorno nas interfaces = a, = b e = c foram verificadas. Esta verificação foi realizada de forma analítica nas propostas P e P 3 e de forma numérica em P 1. O último passo deste procedimento foi montar as expressões dos campos transformados nas três regiões e determinar todas as funções de Green. omo exemplo ilustrativo apresenta-se na Fig. o comportamento das partes real e imaginária da componente do campo elétrico transformado E φ (, n,k z ), quando somente a densidade de corrente J φ está presente. Para as três propostas considerou-se um raio máximo máx = 4 mm, n = 3 e k z = (,1i1,5)R{k máx }, onde R{k máx } é a parte real do máximo valor de k m. Dos gráficos da Fig. pode-se observar que, independentemente do procedimento utilizado, os valores numéricos obtidos para a componente E φ (,n,k z ) foram substancialmente os mesmos. Esta característica repetiu-se nos gráficos das componentes de todos os campos transformados que, por limitação de espaço, não foram apresentados neste trabalho. Neste ponto deve-se ressaltar que a quantidade de cálculo necessário para cada simulação é significativa. Embora tenhamos simplificado o problema ao considerar somente um único exemplar das funções de Green, com n = 3 e k z constante, o fato é que em cada camada devem ser calculadas seis funções de Green elétricas e/ou seis funções de Green magnéticas para todos os valores de n e k z. Observe-se também que, durante as simulações, cada procedimento analisado gerou carga computacional diferente. Desconsiderando fatores externos às simulações, tais como tarefas agendadas pelo sistema operacional ou aplicativos residentes no computador, pode-se inferir que esta carga computacional irá se refletir diretamente no tempo de cada implementação. Este tempo foi determinado através de um conjunto de simulações implementadas com a ajuda do Mathematica e configuradas da seguinte forma: a) o computador de teste foi desconectado da rede interna e todas as tarefas agendadas foram suspensas, b) para minimizar a influência do sistema operacional foram realizadas dez iterações em cada simulação e determinou-se o valor médio do tempo de cálculo, e c) reduziu-se a complexidade da estrutura da Fig. 1, eliminando a camada de cobertura e alterando as características elétricas do substrato, por considerar que desta forma as simulações refletirão o tempo computacional utilizado pelo núcleo de cada implementação. Elementos ou parâmetros adicionais somente produzirão tempos maiores e não terão efeitos significativos na avaliação do tempo computacional despendido em cada procedimento. As características dos elementos da nova estrutura analisada foram as seguintes: o raio do cilindro condutor perfeito

6 Anais do XIII ENITA 7, ITA, Outubro, 1-4, 7 foi mantido igual a mm, porém foi utilizado um substrato sem perdas, com espessura b igual a mm e ε r = 5. A freqüência de operação foi mantida em,5 GHz, o raio máximo considerado na simulação foi igual a máx = 6 mm e as funções de Green foram calculadas no ponto n = 3 e k z = (,1i1,5)R{k máx }. Os resultados obtidos para os procedimentos analisados são apresentados na Fig. 3 e Fig. 4. (a) (c) (e) (b) (d) (f) Figura. omportamento da componente E φ (, n, k z ) do campo elétrico transformado. Em (a) e (b) são mostrados os resultados obtidos com o procedimen to P 1. Os gráficos (c) e (d) foram gerados com a proposta P e os apresentados em (e) e (f) com a proposta P 3. Nestes gráficos, a região em vermelho designa o substrato (, m,3 m), a região marrom a cobertura (,3 m,6 m) e a região em azul o espaço livre (,6 m,4 m). Figura 3. Apresenta-se o tempo computacional, em segundos, que cada uma das propostas implementadas leva para calcular a parte real e imaginária de um único ponto das funções de Green. Nesta simulação foi considerada somente a presencia da densidade de corrente J φ..

7 Anais do XIII ENITA 7, ITA, Outubro, 1-4, 7 A partir dos histogramas das Figs. (3) e (4) pode-se observar claramente que a proposta P 1 teve o pior desempenho. Já as implementações P e P 3 tiveram resultados próximos. Para efeito de comparação tomar-se-á como base os resultados obtidos com a implementação P. Assim, pode-se afirmar que o tempo computacional necessário para se calcular a função de Green, de acordo com a proposta P 1, é da ordem de 1,37 a,93 acima do despendido no procedimento P. Já entre P 3 e P, a maior diferença foi de 48%, sendo que em alguns casos, o procedimento P 3 foi 43% melhor que o P. Figura 4. Apresenta-se o tempo computacional, em segundos, que cada uma das propostas implementadas leva para calcular a parte real e imaginária de um único ponto das funções de Green. Nesta simulação foi considerada somente a presencia da densidade de corrente J z. O baixo desempenho da implementação P 1 pode ser explicado da seguinte forma. Primeiramente, comparando-se os procedimentos P 1 e P 3 observa-se que ambos possuem as mesmas funções J n (k m ) e H () n (k m ) como soluções das Eq. (8) e Eq. (9). A única diferença entre as duas implementações é a técnica utilizada para se determinar as amplitudes dos campos transformados. Portanto, pode-se afirmar que o fator preponderante para o fraco desempenho da proposta P 1 foi a técnica utilizada na determinação das amplitudes dos campos transformados, neste caso, substituição de variáveis. Antes de comparar os resultados obtidos através das implementações P e P 3 é necessário mencionar os seguintes (1) aspectos. Em primeiro lugar, as funções escolhidas para constituir as Eqs. (8) e (9), em P, foram H n (k m ) e H () n (km), enquanto que em P 3, J n(km) e Hn () (km). Uma vez que as funções de Hankel são obtidas pela combinação linear das funções de Bessel e de Neumann, é de se esperar que o procedimento P 3 consuma menos tempo computacional. Em segundo lugar, basicamente os dois procedimentos empregaram a regra de ramer para encontrar as amplitudes dos campos transformados. Um detalhe adicional é que na proposta P, além da regra de ramer, aplicou-se uma simplificação no cálculo das amplitudes dos campos transformados. Assim, como o tempo computacional despendido em P foi equivalente ao de P 3, a esperada redução no volume de cálculo de P 3, pela escolha adequada das funções base, foi menor que a obtida em P com as simplificações apropriadas das expressões para as amplitudes dos campos transformados. 4. onclusões Neste trabalho realizou-se um estudo comparativo do cálculo numérico das funções de Green espectrais para antenas de microfita moldadas sobre superfícies cilíndricas. Três possíveis procedimentos para determinar o valor numérico destas funções foram analisados. Estes procedimentos foram estabelecidos através da seleção da técnica de resolução utilizada no cálculo das amplitudes dos campos transformados e da escolha apropriada das funções que compõem as soluções das componentes do campo transformado ao longo do eixo z. O critério escolhido na validação destes procedimentos foi o da minimização do tempo computacional despendido em cada proposta. Dos resultados obtidos nota-se que a técnica de substituição de variáveis apresentou um desempenho inferior aos obtidos através da aplicação da regra de ramer. Os menores tempos computacionais foram alcançados quando se aplicou uma minimização nas expressões estabelecidas com a regra de ramer. Desempenhos semelhantes também podem ser alcançados se o conjunto de funções, Bessel Hankel, forem empregados diretamente nas expressões

8 Anais do XIII ENITA 7, ITA, Outubro, 1-4, 7 obtidas sem simplificações. À luz destes resultados sugere-se, como procedimento de menor tempo computacional, aquele que utiliza o conjunto de funções, i.e.: J n (k m ) e H n () (k m ), como soluções das componentes dos campos E m (,n,k z ) e H m (,n,k z ), em conjunto com a regra de ramer minimizada para determinação das amplitudes dos campos transformados. 5. Referências Bianchi, I., 6, Análise de antenas de microfita com substratos anisotrópicos usando computação simbólica e métodos dos momentos, Tese de Doutorado, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, S. J. dos ampos SP, Brasil. Heckler, M. V. T., 3, Redes de antenas de microfita circularmente polarizadas moldadas sobre superfícies cilíndricas, Tese de Mestrado, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, S. J. dos ampos SP, Brasil. Lumini, F., 1991, Análise e projeto de antenas de microlinha retangulares moldadas sobre superfícies cilíndricas, Tese de Mestrado, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, S. J. dos ampos SP, Brasil. Silva,. M. da, 199, Redes de antenas de microlinha moldadas sobre superfícies cilíndricas com interface optoeletrônica, Tese de Doutorado, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, S. J. dos ampos SP, Brasil. Splitt, G., Rodrigues,. R. P., Lacava, J.. S., 1989, ylindrical array of conformal antennas, Proc. of SBMO 89 International Microwave Symposium, São Paulo, Brasil, pp