On the Calculation of Spectral Green s Functions of Cylindrical Multilayer Structures

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1 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS VOL. 13 NO. 4 APRIL On the Calculation of Spectral Green s Functions of Cylindrical Multilayer Structures A. F. Tinoco J. C. da S. Lacava and O. M. C. Pereira Filho 1 Abstract An efficient procedure for calculating the electromagnetic fields in multilayered cylindrical structures is reported in this paper. Using symbolic computation spectral Green s functions suitable for numerical implementations are determined in compact and closed forms. Applications are presented for structures with two dielectric layers. Keywords Spectral fields Symbolic Computation Cylindrical multilayer structures Green s functions. E I. INTRODUÇÃO XPRESSÕES analíticas fechadas para funções de Green espectrais de estruturas com até duas camadas dielétricas cilíndricas (substrato e cobertura) têm sido estabelecidas de diferentes formas por diversos pesquisadores [1-7]. Entretanto devido ao grande número de parâmetros envolvidos estas expressões são em geral constituídas por blocos de funções que refletem a técnica utilizada na solução do sistema de equações estabelecido pela imposição das condições de contorno pertinentes à estrutura em consideração. Esses blocos formados por combinações de funções de Bessel e/ou de Hankel estabelecem funções que em geral não são otimizadas para cálculos numéricos tornando lenta a avaliação dos campos espectrais. Além disso como o número de funções e de blocos de funções que descrevem uma determinada função de Green é elevado não é raro encontrar expressões com erros tipográficos e até mesmo com equívocos provenientes da solução do sistema de equações [8]. Objetivando desenvolver um procedimento que minimize esses erros e produza expressões algebricamente simples e por conseguinte avaliadas numericamente com rapidez neste trabalho é discutida a aplicação de computação simbólica na obtenção de funções de Green de estruturas com múltiplas camadas dielétricas cilíndricas. Realizando os cálculos no domínio de Fourier e utilizando o programa Mathematica [9] expressões fechadas para os campos eletromagnéticos transformados são obtidas livres de erros atribuíveis ao fator humano. Como aplicação funções de Green espectrais para estruturas com duas camadas dielétricas são determinadas de forma compacta e num tempo consideravelmente menor quando comparado com procedimentos adotados por outros pesquisadores [1-3]. Utilizando a capacidade gráfica do 1 A. F. Tinoco Instituto Tecnológico de Aeronáutica - ITA S.J. dos Campos SP atinoco@ita.br J. C. da S. Lacava Instituto Tecnológico de Aeronáutica - ITA S.J. dos Campos SP lacava@ita.br O. M. C. Pereira Filho Universidade Federal de Pernambuco - UFPE Recife - PE odilon.pereira@ufpe.br Este trabalho foi realizado com apoio da FINEP (projeto SINAV) e do CNPq (processo 417/13-7). Mathematica representações 3D dessas funções são apresentadas. Além disso diagramas de irradiação de patches retangulares são discutidos em termos das combinações de funções de Bessel e de Hankel empregadas. Finalizando o trabalho o desempenho do cálculo numérico de funções de Green espectrais é analisado. II. FORMULAÇÃO TEÓRICA A estrutura cilíndrica em consideração ilustrada na Fig. 1 é constituída por M camadas dielétricas homogêneas isotrópicas e concêntricas a um cilindro condutor perfeito de raio ρ e comprimento infinito. Figura 1. Estrutura com M camadas dielétricas cilíndricas concêntricas a um cilindro condutor perfeito de raio ρ e comprimento infinito. A m-ésima camada de espessura h m = ρ m ρ m-1 onde ρ m-1 e ρ m são respectivamente os raios interno e externo é caracterizada pela permissividade relativa ε rm pela tangente de perdas tg δ m e pela permeabilidade magnética μ. Impresso sobre a p- ésima camada tem-se um patch metálico de espessura infinitesimal e superfície S p. Além disso admite-se que a região após a M-ésima camada dielétrica é a de espaço livre caracterizada pela permissividade elétrica ε e pela permeabilidade magnética μ. Adicionalmente supõe-se que a superfície metálica S p suporta uma densidade de corrente elétrica superficial J ( ρ φ z). p

2 936 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS VOL. 13 NO. 4 APRIL 15 A determinação dos campos eletromagnéticos nas diversas camadas que compõem a estrutura incluindo a região de espaço livre é realizada através da solução no domínio de Fourier das equações de onda dessas camadas. Para tanto emprega-se o formalismo matemático no qual a estrutura multicamadas é considerada como um problema de contorno. Detalhes dessa abordagem estão disponíveis em [8] e [1]. Sob a forma de um diagrama de blocos esse formalismo é apresentado na Fig.. Sim Componentes espectrais dos campos magnéticos H mρ( ρ nk z) = MmρφJφ( nk z) + MmρzJz( nk z) H mφ( ρ nk z) = Mm φφjφ( nk z) + Mm φzjz( nk z) H ρ( ρ nk z = MmρφJφ nk z + MmρzJz( nk ( ) ( ) ( ) z) mρ ρ z = mρφ φ z + mρz z z φ( ρ ) = φφ φ( ) + φ ( ) ( ρ ) = ( ) + ( ) Componentes espectrais dos campos elétricos E n k G J n k G J n k Em n kz Gm J n kz Gm zjz n kz E n k G J n k G J n k mz z mzφ φ z mzz z z Equações de onda para a camada m Em ρφ z = iωμ Hm ρ φ z H ρφ z = iωε E ρφ z ( ) ( ) ( ) ( ) m m m Transformada dupla de Fourier π 1 inφ z E( ρ n k ) { ( ) ik z z = E ρ φ z e e } dφ dz π Soluções para as componentes axiais E ρ n k = e f k ρ + e g k ρ ( ) 1 ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) = 1 ( ρ + ( ρ mz z m n m m n m H n k h f k h g k mz z m n m m n m Componentes espectrais E ρ n k E ρ n k E ρ n k ( ) φ( ) ( ) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) mρ z m z mz z H nk H nk H nk mρ z mφ z mz z Resolve-se o sistema Não Condições de contorno nas interfaces Sistema de 4M+ equações onde as incógnitas são as amplitudes e h com = 1... M. Figura. Diagrama de blocos do procedimento utilizado na determinação das funções de Green elétrica e magnética da estrutura ilustrada na Fig. 1. Na seção que se segue esse procedimento é aplicado a uma estrutura com duas camadas dielétricas. A. Estrutura com duas camadas dielétricas Objetivando simplificar a notação empregada na seção anterior considerar-se-á que o raio do cilindro condutor é a o do substrato é b e o da cobertura é c. Neste caso a superfície metálica S 1 está localizada em ρ = b e suporta a densidade de corrente elétrica superficial J () b φ z. Seguindo o procedimento ilustrado na Fig. propõe-se que a solução das componentes espectrais dos campos eletromagnéticos na direção z seja escrita como a combinação linearmente independente de funções f n (k mρ e g n (k mρ o que permitirá generalizar o cálculo das funções de Green em termos de combinações das funções de Bessel/Hankel. Isto feito são obtidas as seguintes expressões para as componentes E m z (ρnk z ) e H m z (ρnk z ) no substrato (m = 1) E1z ( ρ n k z ) = e1 f n ( k1ρ + e gn ( k1ρ (1) H1z ( ρ n k z ) = h1 fn ( k1ρ + h g n ( k1ρ () na cobertura (m = ) E H ( ρ n k z ) = e3 fn ( kρ e4 g n ( kρ ) (3) ( ρ n k z ) = h3 f n ( kρ h4 gn ( kρ ) (4) z + ρ z + ρ e no espaço livre (m = ) E( ρ n kz ) = egn ( kρ (5) H ( ρ n k z ) = h gn ( kρ (6) onde e 1 e e 3 e 4 e h 1 h h 3 h 4 e h são funções nas variáveis espectrais n e k z a serem determinadas. Neste trabalho f n (k mρ e g n (k mρ em (1) - (6) representam funções de Bessel ou de Hankel de ordem n com n inteiro de acordo com as combinações U1 U e U3 definidas na Tabela I. TABELA I. POSSÍVEIS COMBINAÇÕES DAS FUNÇÕES f n (k mρ e g n (k mρ. COMBINAÇÕES FUNÇÕES f n ( k mρ g n ( k mρ (1) U1 H n ( k mρ H n ( k mρ U J n ( k mρ () H n ( k mρ U3 J n ( k mρ (1) H n ( k mρ Em seguida são determinadas as componentes espectrais dos campos eletromagnéticos nas direções ρ e φ. As amplitudes e 1 e e 3 e 4 e h 1 h h 3 h 4 e h são calculadas neste caso resolvendo-se um sistema de dez equações obtido da aplicação das condições de contorno para os campos eletromagnéticos nas interfaces da estrutura. Neste trabalho optou-se por resolver esse sistema com auxílio da regra de Cramer implementada via computação simbólica no Mathematica. Consequentemente as simplificações das expressões obtidas foram gerenciadas por rotinas internas deste software. A título de ilustração a função de Green espectral G zz (ρnk z ) que relaciona a componente E z (ρn k z ) com a densidade de corrente J z (nk z ) é apresentada em (7). G zz ( ρ n k z ) = i C1{ [ A8 ( A9 ξ 4 )[ C3 C1 ( ξ ξ1) ϕ + A 9 ξ 4 )( C ϕ1 + C5 C1ϕ )] + C11[ C ϕ1 + ϕ ( C 5 C1 ϕ1 + C6 C1ϕ )]) A 9 ( A9 C C1 ( ξ1 ξ ) ξ 4 ) ϕ + ( C ϕ1 + ϕ ( C5 C1 ϕ1 + C6 C1ϕ )) χ )] f n ( kρ + A 7[ A9 ξ 4 )[ C3 C1 ( ξ ξ1) ϕ + A9 ξ 4 ) ( C ϕ 1 + C5 C1ϕ )] + C11[ C ϕ1 + ϕ ( C5 C1 C3 ϕ + C 1 6 C1ϕ )]] g n ( kρ }/ A7 Δ (7) com Δ = C 9 χ1{ A9 C ξ 4 ) ( C ϕ1 + C5 C1ϕ ) + C C [ C C C ϕ + ϕ C C C C C C ϕ + C ( C1ϕ )] + C3 χ [ C ϕ1 + ϕ ( C5 C1 3 ϕ1 + C6 C1ϕ C1{ ϕ1 χ [ C5 C11( C3 C )]} + C ϕ ϕ C C ) A C C ( ξ ξ ) + C6 χ ( C )] () 7

3 TINOCO S. et al.: ON THE CALCULATION OF SPECTRAL [ C C11( ξ 1 ξ ) ( C ) A9 ( C3 C5 C6 ) ( ξ1 ξ ) ξ 4 ) ϕ χ C5 C11ϕ ( C5 + C ϕ + + C + C6 ϕ ) χ + A9 ξ4 ) ( C ( ξ1 ξ ) C5 ϕ χ + χ ( C3 ( ξ1 ξ ) ( C ϕ ) + C6ϕ ( C5 + C6 ϕ ) χ )]} (8) onde A 1 = fn ( k 1 ρ a) A = gn ( k 1 ρ a) A 3 = fn ( k 1 ρ b) A 4 = gn ( k 1 ρ b) A 5 = fn ( k ρ b) A 6 = gn ( k ρ b) A 7 = fn ( k ρ c) A 8 = gn ( k ρ c) A 9 = gn ( k ρ c) B 1 = fn ( k 1 ρ a) B = gn ( k 1 ρ a) B 3 = fn ( k 1 ρ b) B 4 = gn ( k 1 ρ b) B 5 = fn ( k ρ b) B 6 = gn ( k ρ b) B 7 = fn ( k ρ c) B 8 = gn ( k ρ c) B 9 = gn ( k ρ c) ξ /( 1 = nk z k1 ρ b) ξ /( = nk z k ρ b) ξ /( 3 = nk z k ρ c) ξ /( 4 = nk z k ρ c) ϕ1 = ωμ / k1ρ ϕ = ωμ / kρ ϕ3 = ωμ / kρ χ1 = ωε 1 / k1ρ χ = ωε / kρ χ3 = ωε / kρ C 1 = ( A A3 A1 A4 ) / A1 C = ( A6 A7 A5 A8 ) / A7 3 A5 A9 / A7 = ( B B3 B1 B4 ) / B 5 = ( A7 B6 A8 B5 ) / A7 C 6 = A9 B5 / A7 7 ( A7 B8 A8 B7 ) / A7 ϕ A9 B7 ϕ3 A7 B9 ) / 9 ( A B3 A1 B4) / A1 C1 ( A3 B A4 B1 ) / B 11 = ( χ3 A7 B9 χ A9 B7 ) / A7 C = 1 C C = = ( A7 C = = 1 C com f n (x) e g n (x) denotando derivadas em relação ao argumento. III. VALIDAÇÃO DAS FUNÇÕES DE GREEN Na literatura funções de Green espectrais para duas camadas encontram-se disponíveis em [1-3]. Tais trabalhos diferem em detalhes que do ponto de vista analítico não comprometem a integridade de seus resultados. Por exemplo Silva [1] utiliza as funções de Hankel de primeira e de segunda espécie (conjunto U1 da Tabela I) como soluções para as componentes espectrais E m z (ρnk z ) e H m z (ρnk z ). Oliveira [3] por outro lado emprega como soluções destas componentes a combinação formada pelas funções de Bessel e de Hankel de segunda espécie (conjunto U). Ressalta-se que esta também foi a combinação utilizada neste trabalho. Já Wong [] utiliza as funções de Bessel e de Hankel de primeira espécie (conjunto U3). Além disso estes autores também empregam técnicas diferentes na solução do sistema de equações. Por exemplo em [] e [3] foi utilizado o método de substituição de variáveis e em [1] foi empregada a regra de Cramer. Se do ponto de vista analítico estas propostas conduzem a resultados equivalentes do ponto de vista numérica esta questão não se encontra adequadamente documentada até o presente momento. Vários autores estudaram o desempenho numérico dos algoritmos disponíveis para calcular as funções de Bessel e de Hankel de ordem inteira e argumento complexo [11-13]. Dentre estes Nakatani [11] abordou o problema da estabilidade numérica das funções de Bessel e de Hankel sua influência na determinação das funções de Green e como uma ordenação conveniente dos termos destas funções pode evitar problemas de overflow ou underflow no decorrer de seu cálculo numérico. Para verificar a consistência das expressões obtidas realizou-se um estudo comparativo entre as funções de Green estabelecidas seguindo o procedimento adotado neste trabalho e as disponíveis em [1-3]. Também neste estudo o programa Mathematica com sua grande capacidade de realizar cálculos simbólicos foi de grande valia. O conjunto de scripts escritos (disponíveis em: softwares aplicativos em possibilitou validar (ou não) as expressões apresentadas em [1-3] calcular numericamente as funções de Green e representá-las graficamente de modo a visualizar seus desempenhos. Nas primeiras análises diferenças foram encontradas entre os resultados numéricos das expressões estabelecidas neste trabalho e os obtidos dos cálculos das expressões disponíveis em [1-3]. Este fato nos levou a recalcular as expressões das funções de Green apresentadas em [1] [3] e no capítulo de []. Isto feito notou-se que algumas das expressões em [1] e em [3] possuem erros tipográficos e que varias das equações apresentadas na página de [] estão equivocadas (apêndice A em [8]). Superada esta dificuldade inicial optou-se por realizar a simulação descrita em [3] com a finalidade de comparar os resultados numéricos das funções de Green. Essa simulação supõe a existência de uma única camada dielétrica isto é ε r = 1 com as seguintes características: tg δ 1 = ε r1 = 5 e h 1 = mm. Os cálculos foram realizados para um cilindro com raio igual a mm na frequência de 5 GHz com as variáveis espectrais em n = 3 e k z = i rad/m. Gráficos para as partes reais e imaginárias das funções de Green elétricas (Gρ φ Gφ φ G z φ Gρ z Gφ z e G z z ) e magnéticas (Mρ φ Mφ φ M z φ Mρ z Mφ z e M z z ) no intervalo mm ρ 6 mm são apresentados nas Figs. 3 e 4. Nota-se haver perfeita concordância entre as curvas obtidas para as funções Gρ φ Mφ φ M z φ Gρ z Mφ z e M z z. Entretanto as funções Gφ φ G z φ Mρ φ Gφ z G z z e Mρ z calculadas seguindo o procedimento descrito em [] estão espelhadas em relação às simuladas com as outras abordagens. Esse efeito está relacionado com a utilização por Wong da forma temporal exp ( iω t ) em []. Estabelecidas as expressões dos campos espectrais e suas respectivas funções de Green parâmetros a campo distante como os diagramas de irradiação podem ser determinados. Para tanto expressões assintóticas foram estabelecidas com auxílio do método da fase estacionária [14]. Objetivando comparar mais uma vez o desempenho das expressões obtidas neste trabalho com as estabelecidas em [1-3] implementou-se o método das correntes elétricas superficiais (MCES) para o cálculo de diagramas de irradiação de antenas de microfita cilíndricas com patches retangulares linearmente polarizadas que por serem muito utilizadas estão bem documentadas [1-4] e [15-17]. As geometrias dos irradiadores em consideração são ilustradas na Fig. 5 onde se nota que a dimensão do lado reto é B e a do curvo é L e que os centros dos patches retangulares localizados em (ρ p φ p θ p ) coincidem com o ponto (bπ/π/).

4 938 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS VOL. 13 NO. 4 APRIL G ρφ 1 G φφ 15 1 G ρz G φz (a) (b) (a) (b) G zφ 8 4 M ρφ G zz 6 4 M ρz (c) M φφ (e) Im { [8] } M zφ (d) Figura 3. Comportamento radial das funções de Green espectrais estabelecidas pela densidade superficial de corrente elétrica Jφ(nk z ) e calculadas com as combinações U1 U e U3 para k z = i rad/m e n = 3. A curva {&} denota resultados obtidos com [1] [] [3] e este trabalho. Já a curva {#} denota resultados obtidos com [1] [3] e este trabalho. (f) (c) M φz (d) M zz Im { & } (e) (f) Figura 4. Comportamento radial das funções de Green espectrais estabelecidas pela densidade superficial de corrente elétrica J z (nk z ) e calculadas com as combinações U1 U e U3 para k z = i rad/m e n = 3. A curva {&} denota resultados obtidos com [1] [] [3] e este trabalho. Já a curva {#} denota resultados obtidos com [1] [3] e este trabalho. Supõe-se ainda que essas antenas sejam eletricamente finas. Por serem linearmente polarizadas ora a densidade de corrente elétrica superficial será circunferencial Fig. 5(a) ora será axial Fig. 5(b). π λeff π λeff ˆ Icir φ + φ cos ( keff bφ) 4b 4b J( φ z) = B z B outro caso π L π L I φ + axi zˆ cos ( keff z) b b J( φ z) = L z λeff /4 outro caso (9) (1) (a) (b) Figura5. Geometrias para o estudo do elemento irradiador retangular linearmente polarizado na direção: (a) - circunferencial e (b) - axial. As expressões aproximadas para modelar essas correntes obtidas com auxilio do método da cavidade ressonante são bem conhecidas [3] [15] e [16]. Para a densidade de corrente elétrica circunferencial usar-se-á a expressão apresentada em (9) enquanto que para a axial a estabelecida em (1) onde k eff = k (ε eff ) 1/ é a constante de propagação efetiva da estrutura em consideração [15]. Todas as simulações foram realizadas na frequência de GHz para um cilindro de 5 mm de raio e um substrato de micro-ondas com 348 mm de espessura ε r1 = 55 e tg δ 1 =. Inicialmente utilizou-se a combinação U na qual as funções f n (k mρ e g n (k mρ são substituídas respectivamente por J n (k mρ e H n () (k mρ. As dimensões dos elementos irradiadores foram estabelecidas com auxílio do programa Cylindrical [19]. Este programa utiliza o método da cavidade ressonante para projetar e analisar antenas de microfita cilíndricas com patches retangulares (linearmente ou circularmente polarizadas). Para o patch retangular operando no modo axial (TM 1 ) o Cylindrical estabeleceu as

5 TINOCO S. et al.: ON THE CALCULATION OF SPECTRAL 939 seguintes dimensões: B = 5653 mm e L = 7751 mm. Já para o patch operando no modo circunferencial (TM 1 ) obteve-se: B = 7751 mm e L = 5676 mm. Diagramas de irradiação das componentes de campo Eφ e Eθ nos planos xy e yz são apresentados nas Figs. 6 e 7. Nota-se destas figuras que os diagramas traçados empregando as expressões estabelecidas com a presente abordagem e as corrigidas de [1-3] estão em excelente concordância. O mesmo comportamento é obtido quando estes resultados são comparados com os de Lumini [17] Ashkenazy [15] e Cooray [16]. Do ponto de vista numérico um problema pouco abordado na literatura é a possibilidade de ocorrerem indeterminações no cálculo das funções de Green inviabilizando-o para determinados valores do argumento k mρ ρ. Observando os resultados apresentados nas Figs. 6 e 7 sem entrar no mérito de como o código escrito em FORTRAN através do pacote IMSL avalia as funções de Bessel e de Neumann nota-se que a combinação U não potencializou o aparecimento de indeterminações numéricas. Resultados semelhantes foram encontrados utilizando-se a combinação U3. Por outro lado quando a combinação U1 foi empregada este problema apareceu como ilustrado nas Figs. 8 e 9. Assim a combinação formada pelas funções H n (1) (k mρ e H n () (k mρ em todos os testes realizados potencializa a ocorrência de indeterminações numéricas quando a função e (nk ze ) onde k ze é o ponto de fase estacionária é calculada no ambiente do FORTRAN através do pacote IMSL. Estes resultados evidenciam a importância de se examinar do ponto de vista numérico o comportamento das funções de Green pois problemas de indeterminações podem agravar ainda mais a já complexa aplicação de métodos numéricos como o método dos momentos. Finalizada a etapa de validação das funções de Green analisase o lugar geométrico de seus pólos. Para tanto foram utilizadas funções de Green de uma estrutura com duas camadas dielétricas cobertura e substrato com o raio do cilindro condutor fixado em mm. As camadas dielétricas ambas com espessuras iguais a 6 mm e tangentes de perda da ordem de possuem permissividades relativas iguais a 355 e 55 sendo a primeira a do substrato e segunda a da cobertura. No âmbito desta análise foram utilizadas as expressões obtidas com o procedimento proposto neste trabalho e as funções de Bessel e Hankel da combinação U. Como exemplo nas Figs. 1 e 11 são apresentados gráficos 3D calculados no Mathematica das partes real e imaginária das funções G z z e G ρ φ. Tais gráficos foram obtidos para valores de n e k z contidos nos intervalos n e 14 k k z 14 k com k igual a 4716 rad/m. Nos gráficos 3D das Figs. 1 e 11 é possível observar claramente o lugar geométrico dos pólos das funções G z z e G ρ φ. Nota-se dos gráficos referentes às partes imaginárias dessas funções que a posição dos pólos em relação à variável k z migra em função da variável espectral n. Constatou-se também que esse comportamento depende do raio do cilindro metálico da espessura e das características elétricas do substrato analisado. Esse comportamento é coincidente com o observado por Gottwald em [] Este trabalho Wong Oliveira Silva 7 Figura 6. Diagramas de irradiação do elemento retangular operando no modo TM 1 (componente Eφ) traçados no plano xy Este trabalho Wong Oliveira Silva 1 Figura 7. Diagramas de irradiação do elemento retangular operando no modo TM 1 (componente Eθ) traçados no plano yz Este trabalho Figura 8. A linha continua denota os valores da componente Eθ no plano yz que foram calculados. As falhas indicam os pontos que não puderam ser avaliados em virtude de indeterminações numéricas no cálculo de e (nk ze ) Oliveira Wong Silva Figura 9. A linha continua denota os valores da componente Eθ no plano yz que foram calculados. As falhas indicam os pontos que não puderam ser avaliados em virtude de indeterminações numéricas no cálculo de e (nk ze ). IV. DESEMPENHO DO CÁLCULO NUMÉRICO DAS FUNÇÕES DE GREEN ESPECTRAIS O método dos momentos é um método numérico poderoso que permite analisar estruturas como a da Fig. 1 de forma rigorosa [1]. O desempenho computacional desse método é função de vários fatores. Um deles é o tempo necessário para realizar o cálculo numérico das funções de Green

6 94 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS VOL. 13 NO. 4 APRIL 15 P1 P P3 Re[G zz] Im[G zz] Figura 1. Gráficos 3D da função de Green G zz calculada na interface ρ = b. Valores normalizados [ % ] Re[G ρ z] Im[G ρ z] Figura 11. Gráficos 3D da função de Green G ρ z calculada na interface ρ = b. Com o objetivo de avaliar esse parâmetro simulações foram realizadas no Mathematica na frequência de 5 GHz para uma estrutura com uma camada dielétrica (ε r = 5 tg δ = e mm de espessura) concêntrica a um cilindro de mm de raio. Quatro cenários foram considerados sendo as funções de Green calculadas em n = 3 e k z = i rad/m. P1 - neste cenário utilizou-se a abordagem descrita em [3] e a combinação U da Tabela I. P - neste caso utilizou-se a abordagem descrita em [1] e a combinação U1 da Tabela I. P3 - utiliza as expressões estabelecidas neste trabalho e a combinação U da Tabela I. P4 - neste cenário são utilizadas as expressões corrigidas de Wong [] e a combinação U3 da Tabela I. Desconsiderando fatores externos às simulações tais como tarefas agendadas pelo sistema operacional ou aplicativos residentes no computador pode-se inferir que a carga computacional necessária para o cálculo de cada ponto das funções de Green se reflete diretamente no tempo computacional. Portanto os resultados gerados foram os tempos médios despendidos para calcular quinze pontos de cada uma dessas funções. Esses resultados normalizados para os respectivos tempos produzidos pelo cenário P3 são apresentados nas Figs. 1 e 13 em forma de histograma. Observando-os pode-se concluir que os piores resultados foram obtidos com os cenários P1 e P4 e que o desempenho numérico de P e P3 é equivalente. Confrontando os resultados dos cenários P1 e P4 com as simulações realizadas com P e P3 verifica-se que no pior dos casos o tempo despendido no cálculo dos quinze pontos das funções de Green em P1 e P4 foi aproximadamente 7 vezes maior do que em P e P3. Já a máxima diferença entre P e P3 é da ordem de 4%. O fraco desempenho de P1 e P4 é atribuído principalmente à técnica utilizada para resolver o sistema de equações que calcula as amplitudes dos campos transformados. Esta conclusão é apoiada no fato do tempo necessário para calcular as combinações Re[G_1ρz ] Re[G_ρz ] Re[G_1φz ] Re[G_φz ] Re[G_1zz ] Re[G_zz ] Re[M_1ρz ] Re[M_ρz ] Re[M_1φz ] Re[M_φz ] Re[M_1zz ] Re[M_zz ] Im[G_1ρz ] Im[G_ρz ] Im[G_1φz ] Im[G_φz ] Im[G_1zz ] Im[G_zz ] Im[M_1ρz ] Im[M_ρz ] Im[M_1φz ] Im[M_φz ] Im[M_1zz ] Im[M_zz ] Figura 1. Histogramas relativos ao tempo computacional necessário para calcular 15 pontos de funções de Green elétricas e magnéticas estabelecidas pela densidade superficial de corrente elétrica J z (nk z ) para os cenários P1 P e P3. Os cálculos foram realizados com n = 3 e k z = 1544+i rad/m. Valores normalizados [ % ] Re[G_1ρz ] Re[G_ρz ] Re[G_1φz ] Re[G_φz ] Re[G_1zz ] Re[G_zz ] Re[M_1ρz ] Re[M_ρz ] Re[M_1φz ] Re[M_φz ] Re[M_1zz ] Re[M_zz ] P P3 P4 Im[G_1ρz ] Im[G_ρz ] Im[G_1φz ] Im[G_φz ] Im[G_1zz ] Im[G_zz ] Im[M_1ρz ] Im[M_ρz ] Im[M_1φz ] Im[M_φz ] Im[M_1zz ] Im[M_zz ] Figura 13. Histogramas relativos ao tempo computacional necessário para calcular 15 pontos de funções de Green elétricas e magnéticas estabelecidas pela densidade superficial de corrente elétrica J z (nk z ) para os cenários P P3 e P4. Os cálculos foram realizados com n = 3 e k z = 1544+i rad/m. U e U3 para um valor fixo do argumento k mρ ρ ser equivalente ou menor que o tempo gasto para se computar U1. Dessa forma os altos tempos computacionais em P1 e P4 são produzidos exclusivamente pela dificuldade em avaliar as funções e n e h n. Em última análise pode-se inferir que a técnica de substituição de variáveis empregada em P1 e P4 é a responsável por este comportamento. A partir da análise anterior era de se esperar que a combinação U1 em princípio apresentasse um desempenho computacional inferior ao produzido com a combinação U. Comparando os histogramas dos cenários que empregam a regra de Cramer simulações P e P3 observa-se entretanto que este fato foi compensado por simplificações realizadas ao longo do cálculo das funções de Green em P. Conclui-se portanto que as expressões simplificadas das funções de Green de P apresentaram um bom desempenho computacional às custas de intensa manipulação algébrica.

7 TINOCO S. et al.: ON THE CALCULATION OF SPECTRAL 941 V. COMENTÁRIOS FINAIS Buscando estabelecer expressões computacionalmente eficien tes neste trabalho propôs-se a utilização de computação simbólica na determinação das funções de Green espectrais de estruturas cilíndricas com múltiplas camadas dielétricas. Esta abordagem além de minimizar erros atribuíveis ao fator humano possibilitou a obtenção de funções compactas para estruturas com duas camadas em um tempo significantemente menor quando comparado com procedimentos tradicionais. Possibilitou também a análise de expressões disponíveis na literatura verificando haver diferenças numéricas significativas entre expressões deste trabalho e as equivalentes estabelecidas em [1-3]. Objetivando corrigi-las tais funções foram recalculadas e validadas numericamente. De posse das funções de Green corrigidas o método da corrente elétrica superficial foi implementado em FORTRAN com pacote IMSL incorporado objetivando avaliar o cálculo numérico dos diagramas de irradiação de antenas de microfita retangulares operando nos modos axial e circunferencial. Mostrou-se que no ambiente deste software a combinação U1 potencializa o aparecimento de indeterminações numéricas no traçado destes diagramas. Verificou-se também que o cenário P é numerica mente equivalente ao P3 em termos do tempo despendido no cálculo numérico das funções de Green espectrais e que ambos apresentam desempenhos numéricos melhores que os cenários P1 e P4. Logo o emprego da regra de Cramer na solução dos campos espectrais propiciou a obtenção de funções de Green analíticas com melhores desempenhos numéricos. Aplicada em conjunto com computação simbólica é uma técnica poderosa capaz de determinar funções de Green adequadas a soluções numéricas. REFERÊNCIAS [1] C. M. Silva "Redes de antenas de microlinha moldadas sobre superfícies cilíndricas com interface optoeletrônica" Tese de Doutorado Div. Eng. Eletrônica Instituto Tecnológico de Aeronáutica 199. [] K. L. Wong Design of nonplanar microstrip antennas and transmission lines. New York: John Wiley [3] F. S. Oliveira "Antenas de microfita conformais cilíndricas com superestrato" Dissertação de Mestrado Universidade Federal de Minais Gerais 6. [4] S. Karan V. B. Ertük and A. Altintas "Closed-form Green's function representations in cylindrically stratified media for Method of Moments applications" IEEE Trans. Antennas Propagat. vol. 57 pp Abr. 9. [5] L. F. Ye F. Zhao K. Xiao and S. L. Chai "A robust method for the computation of Green's functions in cylindrically stratified media" IEEE Trans. Antennas Propagat. vol. 6 pp Jun. 1. [6] L. F. Ye S. L. Chai H. S. Zhang D. Peng and K. 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Harrington Field computation by moment method New York: MacMillian Alexis Fabricio Tinoco Salazar nasceu em Quito Equador em Graduou-se em Engenharia Eletrônica (opção Telecomunicações) pela "Facultad de Ingeniería Electrónica Escuela Politécnica del Ejército" em Quito - Equador (1994). Obteve os títulos de Mestre em Ciências (1999) e Doutor em Ciências (11) pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Atualmente é professor adjunto da Divisão de Engenharia Eletrônica e integrante do Laboratório de Antenas e Propagação - LAP ( do Departamento de Telecomunicações do ITA. Tem experiência na área de Engenharia Eletrônica com ênfase em Sistemas de Telecomunicações. Antenas de microfita redes de antenas circuitos de micro-ondas e processamento digital de sinais são suas áreas de interesse. José Carlos da Silva Lacava nasceu em Caçapava SP em Graduou-se em Engenharia Elétrica (opção Eletrônica) pela Faculdade de Engenharia de São José dos Campos (FESJC) em Obteve os títulos de Mestre em Engenharia Eletrônica (1979) e Doutor em Ciências (1985) pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) São José dos Campos. Na administração do ITA atuou como Chefe do Departamento de Circuitos e Microondas Vice-chefe da Divisão de Engenharia Eletrônica e Coordenador de Área (Micro-ondas e Eletro-óptica) do Curso de Pós-graduação em Engenharia Eletrônica e Computação. É Professor Associado da Divisão de Engenharia Eletrônica e Coordenador do Laboratório de Antenas e Propagação LAP ( do Departamento de Telecomunicações do ITA. Foi Auxiliar de Ensino na FESJC em 1975 e ingressou no ITA em De 1986 a 1987 foi Pesquisador Adjunto do Instituto de Atividades Espaciais desenvolvendo pesquisa em redes cilíndricas de antenas de microfita para os canais de telemetria dos foguetes Sonda IV e VLS. De 199 a 1993 foi Professor Associado Convidado da Universidade da Beira Interior Covilhã Portugal. De 1993 a 1994 foi Professor Assistente Doutor da Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá. Teoria eletromagnética dispositivos passivos em micro-ondas e antenas são suas áreas de interesse.

8 94 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS VOL. 13 NO. 4 APRIL 15 Odilon Maroja da Costa Pereira Filho nasceu em Recife - PE em Graduou-se em Engenharia Eletrônica pela Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) em Obteve os títulos de Mestre em Engenharia Elétrica (1991) pela Pontifícia Universidade Católica de Rio de Janeiro e seu PhD em Engenharia Elétrica (1997) pela Universidade Syracuse - USA. Trabalhou na EMBRATEL (Companhia Brasileira de Telecomunicações) de 1998 a Na IBM ( ) East Fishkill - USA trabalhou no modelamento electromagnético de encapsulamentos microeletrônicos e na Ericsson (1- ) em São Paulo trabalhou no planejamento de redes celulares. Foi professor visitante no departamento de Eletrônica na UFPE de 1999 a 1 e professor adjunto na Universidade Federal de Minas Gerais de a 8. Atualmente é professor adjunto no Centro de Informática na UFPE. Tem experiência na área teoria eletromagnética microondas propagação de ondas antenas atuando principalmente nos seguintes temas: métodos numéricos aplicados a problemas electromagnéticos especialmente em antenas conformadas. É editor associado do Journal of Microwave Optoelectronics and Electromagnetic Applications.