Simulações Computacionais de Sistemas Complexos

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Mikaela Caldeira Arruda
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1 I Instituto de Física Universidade Federal Fluminense V Escola do CBPF, 2004

2 I II 1

3 I II 1 2 I

4 I II 1 2 I 3 Integração Rejeição Método da Transformação

5 I II 1 2 I 3 Integração Rejeição Método da Transformação 4

6 I II 1 2 I 3 Integração Rejeição Método da Transformação 4 5 Definições Burning

7 I Tabela Verdade Operações Booleanas AND OR XOR

8 LCG Outline I Operações Booleanas

9 LCG Outline I Operações Booleanas Da forma x(n) = (a x(n 1) + b) mod M

10 LCG Outline I Operações Booleanas Da forma x(n) = (a x(n 1) + b) com valores especiais para a e M mod M

11 LCG Outline I Operações Booleanas Da forma x(n) = (a x(n 1) + b) mod M com valores especiais para a e M Exemplos: a = (Park e Muller),65539 (IBM RANDU), 69621, e M =

12 LCG Outline I Operações Booleanas Da forma x(n) = (a x(n 1) + b) mod M com valores especiais para a e M Exemplos: a = (Park e Muller),65539 (IBM RANDU), 69621, e M = Para 64 bits a = 13 13,

13 LCG Outline I Operações Booleanas Da forma x(n) = (a x(n 1) + b) mod M com valores especiais para a e M Exemplos: a = (Park e Muller),65539 (IBM RANDU), 69621, e M = Para 64 bits a = 13 13, Rápidos e gastam pouca memória

14 I Outros Geradores Outros Geradores Recursivos Múltiplos x n = (a 1 x n 1 + a 2 x n 2 ) mod m com a 1 = , a 2 = e m =

15 I Outros Geradores Outros Geradores Recursivos Múltiplos x n = (a 1 x n 1 + a 2 x n 2 ) mod m com a 1 = , a 2 = e m = Kirkpatrick and Stoll x n = x n 103 x n 250

16 I Outros Geradores Outros Geradores Recursivos Múltiplos x n = (a 1 x n 1 + a 2 x n 2 ) mod m com a 1 = , a 2 = e m = Kirkpatrick and Stoll x n = x n 103 x n 250 RANLUX (período de )

17 I Outros Geradores Outros Geradores Recursivos Múltiplos x n = (a 1 x n 1 + a 2 x n 2 ) mod m com a 1 = , a 2 = e m = Kirkpatrick and Stoll x n = x n 103 x n 250 RANLUX (período de ) Tausworthe x n = (s1 n s2 n s3 n ), com três números embaralhados com.

18 I Outros Geradores Outros Geradores Recursivos Múltiplos x n = (a 1 x n 1 + a 2 x n 2 ) mod m com a 1 = , a 2 = e m = Kirkpatrick and Stoll x n = x n 103 x n 250 RANLUX (período de ) Tausworthe x n = (s1 n s2 n s3 n ), com três números embaralhados com. Lagged Fibonacci r n = r n A r n B r n C r n D com A = 471, B = 1586, C = 6988, D = 9689.

19 I Método de Monte Carlo Integração Rejeição Método da Transformação

20 Cálculo de Pi Outline I Integração Rejeição Método da Transformação Prob: Calcule o volume de uma esfera de raio unitário para d = dimensões.

21 I Volume do Torus Cortado Integração Rejeição Método da Transformação

22 I Rejeição por von Neumann Integração Rejeição Método da Transformação

23 I Rejeição por von Neumann Integração Rejeição Método da Transformação

24 Método da Rejeição Outline I Integração Rejeição Método da Transformação

25 I Método da Rejeição Otimizado Integração Rejeição Método da Transformação

26 Definição Outline I Integração Rejeição Método da Transformação Transformação Seja p(x) a distribuição desejada, com y = P(x) = p(x )dx. P 1 (y) é conhecida. Se y é aleatório (uniforme), então x = P 1 (y) é distribuida segundo p(x). Exemplos: p(x) = e x, y = e x, x = ln(y)

27 Definição Outline I Integração Rejeição Método da Transformação Transformação Seja p(x) a distribuição desejada, com y = P(x) = p(x )dx. P 1 (y) é conhecida. Se y é aleatório (uniforme), então x = P 1 (y) é distribuida segundo p(x). Exemplos: p(x) = e x, y = e x, x = ln(y) Prob: Adapte o método da transformação para a Lorentziana. Teste-o.

28 Box-Muller Outline I Integração Rejeição Método da Transformação Gerando Gaussianas z 1 = 2 ln x 1 cos(2πx 2 ) z 2 = 2 ln x 1 sin(2πx 2 )

29 Box-Muller Outline I Integração Rejeição Método da Transformação Gerando Gaussianas z 1 = 2 ln x 1 cos(2πx 2 ) z 2 = 2 ln x 1 sin(2πx 2 ) Prob: Implemente o método de Box-Muller e compare-o com o método da rejeição (tempo e convergência)

30 I Caminhada Aleatória A cada intervalo de tempo, o caminhante dá um passo de tamanho unitário. 4 direções possíveis: N, S, L, O

31 I Caminhada Aleatória A cada intervalo de tempo, o caminhante dá um passo de tamanho unitário. 4 direções possíveis: N, S, L, O Caminhada aleatória em duas dimensões

32 I Caminhada Aleatória A cada intervalo de tempo, o caminhante dá um passo de tamanho unitário. 4 direções possíveis: N, S, L, O Caminhada aleatória em duas dimensões Podemos calcular médias em diversas configurações. Podemos dividir o espaço em blocos e verificar a ocupação. Difusão de 10 caminhantes

33 I Caminhada Aleatória A cada intervalo de tempo, o caminhante dá um passo de tamanho unitário. 4 direções possíveis: N, S, L, O Caminhada aleatória em duas dimensões Podemos calcular médias em diversas configurações. Podemos dividir o espaço em blocos e verificar a ocupação. Difusão de 10 caminhantes Microesferas de poliestireno em suspensão: 2,1 e 0.5 mícrons. Sistema Real 10s

34 I Caminhada Aleatória A cada intervalo de tempo, o caminhante dá um passo de tamanho unitário. 4 direções possíveis: N, S, L, O Caminhada aleatória em duas dimensões Podemos calcular médias em diversas configurações. Podemos dividir o espaço em blocos e verificar a ocupação. Difusão de 10 caminhantes Microesferas de poliestireno em suspensão: 2,1 e 0.5 mícrons. Sistema Real 10s Comportamento do < R > e < R 2 > Lei de Einstein

35 I Definições Burning Rede L L

36 I Definições Burning Rede L L Sítios ocupados com probabilidade p

37 I Definições Burning Rede L L Sítios ocupados com probabilidade p p c : Qual o menor p tal que a informação percorra a rede?

38 I Definições Burning Rede L L Sítios ocupados com probabilidade p p c : Qual o menor p tal que a informação percorra a rede? Gerando a configuração inicial

39 I Definições Burning Rede L L Sítios ocupados com probabilidade p p c : Qual o menor p tal que a informação percorra a rede? Checando a configuração

40 I Definições Burning Rede L L Sítios ocupados com probabilidade p p c : Qual o menor p tal que a informação percorra a rede?

41 I Definições Burning Burning Verdes: nunca queimaram

42 I Definições Burning Burning Verdes: nunca queimaram Vermelhas: estão queimando (sítios ativos)

43 I Definições Burning Burning Verdes: nunca queimaram Vermelhas: estão queimando (sítios ativos) Pretas: queimaram em algum instante anterior

44 I Definições Burning Burning Verdes: nunca queimaram Vermelhas: estão queimando (sítios ativos) Pretas: queimaram em algum instante anterior Queimarão no passo seguinte

45 I Definições Burning Burning Verdes: nunca queimaram Vermelhas: estão queimando (sítios ativos) Pretas: queimaram em algum instante anterior Queimarão no passo seguinte Burning em ação

46 I Definições Burning Burning Verdes: nunca queimaram Vermelhas: estão queimando (sítios ativos) Pretas: queimaram em algum instante anterior Queimarão no passo seguinte Identificando o cluster percolante

47 I Definições Burning Burning Verdes: nunca queimaram Vermelhas: estão queimando (sítios ativos) Pretas: queimaram em algum instante anterior Queimarão no passo seguinte

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