(cap. 3. Relatividade) José Pinto da Cunha. universidade de coimbra 2016

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1 Mecânica Clássica II (cap. 3. Relatividade) José Pinto da Cunha universidade de coimbra 2016

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3 Conteúdo 3 Teoria da Relatividade As transformações de Lorentz Lei de transformação de velocidades Contração de Lorentz e dilatação do tempo Simultaneidade e causalidade O espaço-tempo quadrimensional A métrica do espaço de Minkowski O tensor métrico Os quadrivectores velocidade e momento Mecânica relativista Massa invariante e centro de massa Decaimento de partículas Energia de limiar de uma reação Colisões do tipo Colisão elástica A precessão de Thomas A precessão de um spin O efeito Doppler Formulação covariante das leis físicas As equações de Maxwell Forma covariante das equações do campo O tensor eletromagnético Lagrangeano de uma partícula relativista Densidade Lagrangeana do campo electromagnético Bibliografia

4 4 CONTEU DO

5 Capítulo 3 Teoria da Relatividade Este texto foi escrito para a cadeira de Mecânica Clássica II do Departamento de Física da Universidade de Coimbra. Não dispensa a leitura da bibliografia de referência. A teoria do campo electromagnético publicada por Maxwell em 1864 reinava triunfal naquele final de século. Era o culminar de uma grande síntese unificadora que juntava os fenómenos da eletricidade, magnetismo e óptica e previa a existência de ondas electromagnéticas. A observação experimental destas ondas, feita por Hertz em 1888, confirmando que a sua velocidade de propagação igual à da luz, tal como previra Maxwell, estabeleceu-a definitivamente. Havia contudo um senão. As equações de Maxwell não eram covariantes (invariantes) a transformações de Galileu. Foi este problema que haveria de conduzir, primeiro às transformações de Lorentz, e logo depois à teoria da relatividade. Em 1904 Lorentz verificou que as equações de Maxwell eram invariantes a uma certa transformação de coordenadas (que ficaram com o seu nome), desde que as amplitudes dos campos se transformassem de certa maneira. Em 1905 Poincaré estendeu as ideias de Lorentz; Einstein publicou a teoria da relatividade. O problema subjacente não se limitava apenas à c j. pinto da cunha, Mecânica Clássica II /Relatividade, Universidade de Coimbra,

6 6 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE teoria electromagnética, era muito mais geral. E a física mudou. A teoria da relatividade de Einstein baseia-se em apenas dois postulados fundamentais: i) as leis físicas são as mesmas em todos os observadores inerciais; ii) a luz propaga-se no vazio com velocidade constante, c, relativamente a qualquer referencial. As observações experimentais confirmaram esta teoria em detrimento de outras hipóteses que na altura foram propostas (vide J. D. Jackson). 3.1 As transformações de Lorentz Sejam S e S dois referenciais inerciais, sendo v = v x a velocidade de S em relação a S, no vazio. Por hipótese, no instante em que as origens coincidem, t = 0, ocorre nesse ponto uma perturbação electromagnética. A frente de onda esférica subsequente tem equação { c 2 t 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) = 0, em S c 2 t 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) = 0, em S (3.1) sendo t o tempo medido em S por S. Visto que S e S vêm ambos uma frente de ondas esféricas, então c 2 t 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) = λ 2 ( c 2 t 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) ) (3.2) sendo λ um fator de escala. O sistema de eixos pode ser sempre rodado de modo a que a velocidade entre S e S seja ao longo do eixo de x. Como x = vt corresponde sempre a x = 0, independentemente de y e z, então x não depende deles. Além disso, y = λ = constante, tal que, se y = constante, então também y y = constante, pois S move-se segundo x. Porém, visto a partir de S y, = λ = λ, pois y o fator de escala não pode depender do sentido da velocidade (o espaço é isotrópico). Consequentemente, portanto, λ = 1. Os mesmos argumentos se aplicam entre z e z. Conclui-se que c 2 t 2 x 2 = c 2 t 2 x 2 (3.3)

7 3.1. AS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ 7 A cada ponto (x,t) de S deve corresponder um ponto (x,t ) em S, além disso, δx e δt devem depender de δx e δt (mas não de x ou t), o que significa que a relação entre as variáveis deve ser linear. Assim, por hipótese, { x = γ(x+at) t = ζ(t+bx) (3.4) Sabemos também que a origem O (x = 0) se move com velocidade v e que a sua coordenada em S é x = vt; esta restrição implica que a = v. Substituindo as equações anteriores na equação 3.2, obtém-se a relação (c 2 ζ 2 γ 2 v 2 )t 2 +(c 2 ζ 2 b 2 γ 2 )x+2(c 2 ζ 2 +vγ 2 )xt = c 2 t 2 x 2 (3.5) que deve ser válida para quaisquer (x,t). Ou seja, c 2 ζ 2 v 2 γ 2 = c 2 c 2 ζ 2 b+vγ 2 = 0 c 2 ζ 2 b 2 γ 2 = 1 (3.6) Da primeira equação tem-se ζ 2 = 1+β 2 γ 2 ; e da segunda equação b = vγ2 c 2 ζ 2 ; com β = v c. Da última equação resulta assim que γ2 = (1 β 2 ) 1 e consequentemente que ζ = γ. Estas soluções constituem as transformações de Lorentz, quando v = vˆx, t = γ(t β c x) x = γ(x βct) y = y z = z (3.7) com β = v c e γ2 = (1 β 2 ) 1. O tempo já não é mais considerado absoluto, o tempo é relativo ao referencial. As transformações inversas são evidentemente as que correspondem a fazer β β nas expressões anteriores. No limite em que v 1, então β 0 e γ 1 e as transformações de Lorentz convertem-se nas transformações de Galileu. AstransformaçõesdeLorentzpressupõemquev c,poisdecontráriox e t são números imaginários. A velocidade relativa entre quaisquer referenciais (ou corpos) é pois sempre menor do que a velocidade da luz no vazio, β 1. Portanto, a restrição de que nada se pode deslocar com velocidade superior a c está já embutida nas próprias transformações de Lorentz!

8 8 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE Lei de transformação de velocidades Um objecto com velocidade u = ẋ no referencial S terá velocidade u relativamente a S. Supondo que S tem velocidade v relativa a S, ao longo do eixo x, então, visto que dx = γ(u x v)dt e dt = γ(1 βu x /c)dt, u x = dx = dx dt dt dt dt ; u x = u x v 1 βu x /c u y = dy = dy dt dt dt dt ; u y = u y γ(1 βu x /c) (3.8) (3.9) e analogamente para u z. No limite em que v 0, recupera-se a lei de transformação de velocidades de Galileu. Conclui-se portanto das equações anteriores que a velocidade da luz nunca é superior a c em nenhum referencial, pese embora haver adição de velocidades. Por exemplo, se no referencial S a luz tiver velocidade u x = c, ela será observada num referencial S que se movimente em sentido contrário, com v > 0, com velocidade u x = c 1+β 1+β = c. 3.2 Contração de Lorentz e dilatação do tempo Suponha-se, por hipótese, que uma régua está em repouso no sistema S e tem comprimento l 0 = x 2 x 1. No referencial S esta mesma régua apresenta um comprimento l = x 2 x 1, o qual é medido a partir de coordenadas tiradas num certo instante, t, (pois com a régua a mover-se as coordenadas x 1 = x 0 +vt e x 2 = x 0 +vt devem ser medidas no mesmo instante - é como se se lhe tirasse uma foto). Conclui-se pois (eqs. 3.7) que l 0 = (x 2 x 1) = γ(x 2 x 1 ) = γl, i.e., l = l 0 (3.10) γ Ou seja, observa-se uma contração da régua na direção de movimento, que é tanto maior quanto mais elevada for a velocidade relativa entre os referenciais. Esta é a chamada contração de Lorentz. A contração não é um encolhimento mas sim uma consequência de as variáveis tempo e espaço dependerem do observador. Por outro lado, podemos relacionar o tempo medido por um relógio em repouso em S, t = t 2 t 1, com o tempo observado em S, t = t 2 t 1.

9 3.3. SIMULTANEIDADE E CAUSALIDADE 9 Em S este relógio tem posição bem definida (está em repouso); mas move-se relativamente a S. Das eqs. 3.7 conclui-se assim que t = γ( t +β x ) = γ t, já que x = 0, pois em S ele está parado (mas funciona;). 1 Por conseguinte, o intervalo de tempo medido em repouso, t = t 0 = τ (por vezes chama-se-lhe também τ 0 ) é t = γ t 0 (3.11) Esta é a chamada dilatação do tempo: t t 0. O tempo τ = t 0 é o chamado tempo próprio. A conclusão anterior é consequência das transformações de Lorentz, 3.7:- os intervalos de tempo não são os mesmos em todos os referenciais; um fenómeno é sempre mais longo se for observado a partir de um referencial em movimento. A dilatação do tempo é facilmente observável na natureza, nomeadamente no decaimento de partículas em voo. Por exemplo, um mesão π + tem um tempo tempo médio de vida de τ ns se estiver em repouso no laboratório. Todavia, se estas partículas decaírem em voo, com velocidade v =.75c, o seu tempo médio de vida é τ 1.51τ 0. Outro exemplo clássico é o decaimento de muões. A dilatação do tempo está na origem de vários paradoxos, nomeadamente o paradoxo dos gémeos, cuja discussão se recomenda Simultaneidade e causalidade VistoqueemSeemS seobservamtemposdiferentesimportaaveriguaroque acontece à causalidade. Se em S o acontecimento a preceder e for a causa do acontecimento b, poderá S observar alguma vez estes acontecimento pela ordem inversa, violando o nexo de causalidade?! Se o acontecimento a ocorrer primeiro então t = t b t a > 0. Por outro 1 Pode-se imaginar a situação em que em S há dois relógios sincronizados, em posições fixas distintas, x 1 e x 2, e em que em S há um relógio, fixo em x = 0. Quando S passa por x 1 com um raio de luz sincroniza os relógios; quando passa em x 2 lê o relógio de S. O observador S tem o tempo medido pelo seu relógio, t, e o tempo que ele observou em S, t, e verifica que esses tempos não são iguais, pois t = γ( t +β x ) e x = 0. 2 Ver Marion ou French, op., cit.

10 10 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE lado, (de 3.7), [ t = t b t a = γ (t b t a ) β ] c (x b x a ) Visto que v c, então necessariamente a distância entre as coordenadas dos acontecimentos, x b x a c(t b t a ), (i.e., nada pode ir de x a a x b mais depressa que a luz), pelo que t γ(1 β) t (3.12) Ou seja, t e t têm ambos sempre o mesmo sinal! Isto significa que a ordem temporal das coisas é preservada e que a causalidade é a mesma em todos os referenciais (uff!). Se um acontecimento for causa de outro, esta relação causa-efeito não pode ser nunca invertida, apesar dos tempos serem relativos a cada observador. O antes e o depois são invariantes a quaisquer transformações de Lorentz. Se dois acontecimentos distarem entre si mais do que a luz pode vencer, i.e. se x b x a > c(t b t a ), então não pode haver relação causal entre eles; i.e., não há forma de um influenciar o outro. Por exemplo, nada do que façamos hoje pode influenciar o que se passará nos próximos 4 anos noutro planeta à distância de 4 anos-luz da terra. Resulta evidente destas considerações que a simultaneidade é relativa: dois acontecimentos que são simultâneos num referencial S, em geral só são simultâneos noutro se ocorrerem num mesmo ponto em S (embora nesse caso sejam um só um acontecimento!) 34! Todavia a causalidade é absoluta. 3.4 O espaço-tempo quadrimensional As transformações de Lorentz mostram que há simetria entre as variáveis espaço e tempo. Essa simetria fica mais evidente num espaço quadrimensional, no qual cada ponto x = (x 0,x 1,x 2,x 3 ), é caracterizado por 4 variáveis identificadas pelo índice x µ : µ = 0,1,2,3; sendo x 0 = ct e x = (x 1,x 2,x 3 ) as três variáveis espaciais, respectivamente. 5 As transformações de Lorentz 3 Na produção de pares: γ e + e ; há criação simultânea de e e e + em todos os referenciais; seria deveras estranho se fosse doutro modo (não se conservava a carga!). 4 Comentar o problema do entanglement. 5 Ver-se-á a seguir a razão de ser de se usarem os índices em cima.

11 3.4. O ESPAÇO-TEMPO QUADRIMENSIONAL 11 têm assim a forma, x 0 = γ(x 0 βx 1 ) x 1 = γ(x 1 βx 0 ) x 2 = x 2 (3.13) x 3 = x 3 com β = v/c e γ 2 = 1 β 2 e a transformação inversa (com β β) é, x 0 = γ(x 0 +βx 1 ) x 1 = γ(x 1 +βx 0 ) x 2 = x 2 x 3 = x 3 (3.14) A transformação de Lorentz de um quadrivector é pois uma transformação linear das suas componentes, em 4 dimensões, da forma x µ = L µ ν x ν, com µ,ν = 0,1,2,3 (3.15) ondeasomaéimplícitanosíndicesrepetidos 6. OscoeficientesL µ ν constituem a matriz de Lorentz, (L µ ν) = γ βγ 0 0 βγ γ (3.16) Esta é a transformação entre referenciais com velocidade relativa v = βc, na direção do eixo x 1. Um ponto do espaço-tempo define um acontecimento, i.e. um lugar e um instante. Se um sinal luminoso for enviado do ponto P : x = (x 0,x 1,x 2,x 3 ) para o ponto, Q : y = (y 0,y 1,y 2,y 3 ), então a quantidade (ver eq. 3.2) δs 2 = (x 0 y 0 ) 2 [ (x 1 y 1 ) 2 +(x 2 y 2 ) 2 +(x 3 y 3 ) 2] = 0 (3.17) 6 Por norma há sempre soma implícita sobre os índices repetidos de qualquer expressão, excepto se for dito o contrário ou um somatório indicar em quais dos índices é a soma. Neste capítulo convenciona-se também, como é norma, que os índices gregos têm valores µ = 0,1,2,3 e os índices latinos, i = 1,2,3. Na designação da matriz de transformação o índice linha identifica que esse índice se refere à componente expressa no referencial S (vide cap. 4).

12 12 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE Como a velocidade da luz é invariante, então em qualquer referencial δs 2 = 0 = δs 2. Isto é, se δs 2 = 0 num referencial, será também zero em qualquer outro. Se mudarmos Q para um ponto da vizinhança de Q, então δs 2 0, mas mesmo assim a igualdade mantém-se, pois, para o observador S, δs 2 = δs 2 (3.18) δs 2 = (δx 0 ) 2 (δx ) 2 = γ 2 (δx 0 βδx 1 ) 2 γ 2 (δx 1 βδx 0 ) 2 δ(x 2 ) 2 δ(x 3 ) 2 = δs 2 Isto significa que as transformações de Lorentz deixam invariante a quantidade δs 2 = δx 0 δx 0 δx i δx i. A quantidade δs 2 é o chamado intervalo entre dois acontecimentos do espaço-tempo de Minkowski. O espaço-tempo quadrimensional é pois um espaço com uma estrutura geométrica especial, não-euclidiana. 7 Bem-vindo ao maravilhoso espaço-tempo quadrimensional! No que concerne a δs 2 há três casos distintos a considerar, dependendo de v/c. Como, δs 2 = (δx 0 ) 2 (δx) 2 = (cδt) 2 (vδt) 2, então: δs 2 > 0, se v < c; intervalo tipo-tempo δs 2 = 0, se v = c; intervalo tipo-luz δs 2 < 0, se v > c; intervalo tipo-espaço (3.20) 7 No espaço euclidiano, o módulo de um vector é igual à soma dos quadrados das componentes, em consequência do teorema de Pitágoras, que se traduz na relação trigonométrica cos 2 θ + sin 2 θ = 1. Porém, o intervalo do espaço-tempo de Minkowski é ds 2 = (dx 0 ) 2 ( (dx 1 ) 2 +(dx 2 ) 2 +(dx 3) 2 ); tem portanto uma estrutura hiperbólica, expressa na relação cosh 2 θ sinh 2 θ = 1. Com efeito, fazendo γ = coshζ e γβ = sinhζ, a matriz de Lorentz assume a forma de uma rotação hiperbólica, L = coshζ sinhζ 0 sinhζ coshζ (3.19) O ângulo de rotação ζ é a chamada rapidez, por ser proporcional à velocidade, β = tanhζ. É fácil concluir que L( ζ)l(ζ) = 1 e que duas rotações sucessivas, com ângulos hiperbólicos, ζ 1 e ζ 2, equivalem a uma rotação com ζ = ζ 1 +ζ 2. Trata-se afinal da lei de transformação de velocidades, β = tanh(ζ 1 +ζ 2 ) = tanhζ 1 +tanhζ 2 1+tanhζ 1 tanhζ 2 = β 1 +β 2 1+β 1 β 2 Ou seja as rapidezes somam-se, mas as velocidades não! (cf. eq. 3.8) A rapidez é por isso uma quantidade muito utilizada, especialmente na física das altas energias.

13 3.4. O ESPAÇO-TEMPO QUADRIMENSIONAL 13 futuro ct x<ct, ds>0 x=ct, ds=0 x>ct, ds<0 nenhures nenhures x (absolutamente remoto) y passado Figura 3.1: As coordenadas de um ponto do espaço-tempo representam um acontecimento, i.e. um certo lugar num certo instante. Apenas os acontecimento dentro do cone de luz têm relação de causa-efeito; fora do cone a velocidade é superior a c. A interpretação da geometria não é trivial: os pontos sobre a superfície do cone estão todos em contacto no espaço-tempo, i.e. é nula a separação entre eles. Os acontecimentos que podem estar ligados entre si por relações de causaefeito estão todos dentro do chamado cone de luz, em que δs 2 0 (ver fig. 3.1). Visto que todas as interações físicas se propagam entre dois pontos com velocidade v c, então não há relação causal possível entre quaisquer acontecimentos fora do cone de luz, onde δs 2 < 0. Dentro do cone, apenas os acontecimentos do passado podem influenciar os do futuro, qualquer que seja o referencial que se adote, sem qualquer ambiguidade, como vimos pela eq Um acontecimento que ocorra em repouso em S (dx = 0), e aí tenha duração dτ = dx0 c, é visto noutro referencial, S, com duração dt. Ora, dado que ds 2 = ds 2, então (dx 0 ) 2 0 = (dx 0 ) 2 v 2 dt 2 pois durante esse tempo dt a posição do acontecimento registado em S variou de dx = vdt. Ou seja, ds 2 = c 2 dτ 2 = c 2 dt 2 v 2 dt 2 e, portanto, dτ 2 =

14 14 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE (1 β 2 )dt 2. Isto é, dt = γdτ (3.21) A invariância do intervalo ds 2, implica portanto que o tempo próprio, dτ, é sempre menor que o correspondente tempo medido em qualquer outro referencial - é afinal da dilatação do tempo! A métrica do espaço contém portanto os ingredientes fundamentais da física relativista. Fica também aqui claro que o tempo próprio é uma quantidade invariante, pois dτ 2 = ds2 c 2 (3.22) Por isso dτ é usado comummente em vez de ds 2, já que, cdτ = ds A métrica do espaço de Minkowski A quantidade ds representa um intervalo infinitesimal, ou elemento de linha, do espaço quadrimensional de Minkowski. O quadrado, ds 2, é uma quantidade escalar, invariante a transformações de Lorentz desse espaço, (tal como dx é um vector infinitesimal do espaço euclidiano e dx 2 é invariante às rotações em R 3 ). Todavia, é evidente que o espaço-tempo não é um espaço euclidiano, pois ds 2 (dx 0 ) 2 + (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2. Isto sugere que se defina o produto escalar entre dois quadrivectores, A e B, do espaço de Minkowski como: A B def = A 0 B 0 A B, definição (3.23) de forma a que A 2 = A A = (A 0 ) 2 A 2 e seja ds 2 = (dx 0 ) 2 dx 2 ). Esta definição de produto escalar decorre da própria estrutura (métrica) do espaço-tempo de Minkowski e deve-se portanto aplicar a quaisquer quadrivectores desse espaço. 8 De facto, se e µ representar a base dos vectores doespaçoquadrimensional,umvectortemcomponentes: x = x µ e µ = x ν e ν, em S e em S, respectivamente. Dada a transformação x µ = a µ ν x ν, então, x = x µ e µ = a µ ν x ν e µ (3.24) 8 O produto escalar definido desta forma é invariante às transformações de Lorentz, as quais são, como vimos atrás, uma espécie de rotação hiperbólica nas variáveis do espaçotempo.

15 3.4. O ESPAÇO-TEMPO QUADRIMENSIONAL 15 ondea µ ν representaamatrizdetransformação(nocasodatransf. delorentz, a µ ν = L µ ν). Portanto, conclui-se que os vectores da base têm a transformação inversa das componentes x ν, pois e ν = a µ νe µ (3.25) A transformação é pois a mesma quaisquer que sejam os vectores deste espaço:- dado um 4-vector A, temos onde A = A ν e ν = A ν a µ ν e µ = A µ e µ (3.26) A µ = a µ ν A ν (3.27) tal e qual como se tem x µ = a µ ν x ν. O produto escalar do espaço-tempo quadrimensional sugere que se definam dois tipos de componentes- componentes contravariantes e componentes covariantes, de tal modo que x µ def = (x 0,x 1,x 2,x 3 ) = (x 0,x) contravariante (3.28) x µ def = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = (x 0, x) covariante (3.29) (x) 2 x x def = x µ x µ = x 0 x 0 x x = (x 0 ) 2 x 2 (3.30) Ou seja, nos termos anteriores, o produto escalar de dois quadrivectores, A e B, é dado pela soma dos produtos das componentes contravariantes pelas componentes covariantes 9 A B = A µ B µ = A 0 B 0 A i B i = A 0 B 0 A B, com i = 1,2,3. (3.31) Se U e V forem dois quadrivectores quaisquer é fácil verificar explicitamente que, de facto, o produto escalar definido acima é um invariante de Lorentz, pois U V = U α V α = U 0 V 0 U V = γ 2 (U 0 βu 1 )(V 0 βv 1 )+ γ 2 (U 1 βu 0 )(V 1 βv 0 ) U 2 V 2 U 3 V 3 =... = U V 9 No espaço cartesiano, R 3 : A B = A i B i = A 1 B 1 +A 2 B 2 +A 3 B 3. Note que em geral os quadrivectores não se representam a bold/negrito, nem é às vezes evidente se x 2 é a componente 2 de x ou se é o quadrado de x - depreende-se pelo contexto.

16 16 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE As componentes contravariantes são as componentes ordinárias normais, que se transformam ao contrário dos vetores da base, cf. eqs e 3.27, (tal como numa rotação em R 3 ), e representam-se com os índices em cima; as componentes covariantes são componentes duais (ou 1 forms ), que se transformam como os vectores da base e que, por esta razão, se representam, tal como os vectores da base, com os índices em baixo (ver cap. 4). Com efeito, se A µ = a µ ν A ν, então como A µ A µ = A ν A ν é um invariante, tem-se e, portanto, A µ A µ = A µ a µ ν A ν = A ν A ν }{{} A ν A ν = a µ ν A µ (3.32) Ou seja, as componentes covariantes, A ν, transformam-se de facto como a base de vectores (eq. 3.25) e, portanto, ao contrário das componentes contravariantes, A ν, (eq. 3.27). 10 No caso concreto da matriz de Lorentz, A µ = L µ ν A ν ; A µ = L ν µ Aν onde L ν µ = Lν µ (β) = Lµ ν( β), designa a matriz da transformação inversa, de S β S O tensor métrico Do ponto de vista formal, o intervalo infinitesimal ds tem a forma métrica fundamental (ver cap. 4) 12, ds 2 = g µν dx µ dx ν (3.33) 10 Se A α = (A 0,A), então A α = (A 0, A), e A α A α = escalar, de acordo com a definição. Do ponto de vista operativo as componentes covariantes, A α, são apenas isso - auxiliares. 11 Nota: L = L µ ν é a transformação de S S, enquanto que L = L ν µ representa a transformação de S S. 12 No espaço R 3, x = x i ê i. Um intervalo entre dois pontos é portanto, ds 2 = dx dx = x i x k ê i ê }{{ k = g } ik x i x k g ik Por outro lado, dx dx = x i x i e, portanto, x i = g ik x k, o tensor métrico converte umas componentes nas outras. Ora, num espaço de coordenadas cartesianas métricas, g ik = δ ik e portanto x i = x i. Isto é, num sistema de métrico cartesiano não é necessário distinguir as componentes contravariantes das covariantes - são sempre iguais (cf. cap. 4).

17 3.5. OS QUADRIVECTORES VELOCIDADE E MOMENTO 17 onde g µν é o tensor métrico do espaço quadrimensional de Minkowski, (g µν ) = (3.34) Por conseguinte, as componentes covariantes são Reciprocamente, devemos ter também x µ = g µν x ν (3.35) x ν = g νσ x σ (3.36) onde g νσ é um tensor contravariante, tal que x µ = g µν g νσ x σ, para qualquer µ. Isto é, g µν g νσ = δµ σ (3.37) { 1 se µ = σ onde δµ σ é o símbolo de Kronecker em 4 dimensões, δµ σ = 0 se µ = σ, (e constitui um tensor misto, (cap. 4).Ou seja, o tensor métrico do espaçotempo de Minkowski é tal que (g 1 ) µν = g µν = g µν (3.38) Os tensores e as transformações gerais de coordenadas são discutidas no capítulo cap. 4. A notação, associada à posição dos índices, ficará então mais clara. 3.5 Os quadrivectores velocidade e momento Comecemos por considerar a trajetória de uma partícula através do espaço tridimensional cartesiano. A posição sobre a trajetória é uma função do tempo, com coordenadas x k (t) = φ k (t) = φ k (s), k = 1,2,3 onde φ k são funções paramétricas que descrevem a cinemática da partícula e s é o comprimento ao longo da trajetória. 13 A velocidade, v, é tangente 13 por exemplo numa trajetória circular, x = φ 1 (s) = Rcos(s/R) y = φ 2 (s) = Rsin(s/R)

18 18 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE s ds dx x Figura 3.2: A velocidade de uma partícula é tangente à trajetória em cada ponto. à curva trajetória em cada ponto e ds = vdt. Como é evidente, dx = dφ e ds 2 = dx 2 (ver fig. 3.2). Assim, dφ k ds = dxk ds = dxk dx = αk = tangente à curva (3.39) isto é, α = dφ ds é um vector tangente à curva em cada ponto (note que α = 1). 14 Por conseguinte, como φ k (s) = φ k (t), a velocidade da partícula 14 Ademais, como α = 1, então, fazendo o produto escalar, e portanto dα ds α dα ds = 1 d 2ds (α α) = 1 d 2ds (1) = 0 = κn, onde n é um vector normal à curva em cada ponto. n = κ 1dα ds = φ κ 1d2 d 2 s (3.40) define a normal à curva em cada ponto, sendo κ a curvatura da trajetória nesse ponto (a curvaturaéoinversodoraiodecurvaturalocal,κ = 1 r. Defacto, δα ds = δα ˆn rδϕ, δα = α δϕ e α = 1). Os vectores α, n e m = α n formam assim um sistema ortogonal (direito) de vectores em cada ponto da linha trajetória. Fazendo como acima conclui-se que também dn ds n, pelo que este tem que ser necessariamente uma combinação linear dos outros dois vectores do trio: dn ds = θα τm.

19 3.5. OS QUADRIVECTORES VELOCIDADE E MOMENTO 19 tem componentes v k = dφk (s) dt = dφk (s) ds ds dt = vαk = dxk dt (3.42) Os argumentos anteriores podem ser estendidos à trajetória de uma partícula através do espaço-tempo a 4-dimensões. O comprimento ao longo da curva quadrimensional é s, sendo ds = dx = dx µ e µ, (onde s = s 2 = cτ é invariante). O movimento é descrito por funções φ µ (s), mas visto que s = cτ, então φ µ (s) = φ µ (cτ). Assim, a 4-velocidade é naturalmente u µ = dφµ dτ = dφµ ds ds dτ = ds dτ αµ = cα µ = dxµ dτ (3.43) onde α µ = dφµ ds são as componentes da tangente em cada ponto da curva quadrimensional, dτ é o tempo medido pela partícula, no referencial próprio da partícula e u µ = cα µ são as componentes do 4-vector velocidade. 15 O facto de u 2 = c ser constante implica per se que, existindo aceleração, ela é sempre normal à velocidade 16 - i.e., no espaço quadrimensional as acelerações são centrípetas e estão associadas à curvatura das trajetórias no espaço-tempo. Este facto é revelador da estreita relação entre a aceleração e a curvatura do espaço-tempo no contexto da relatividade geral. Com efeito, na relatividade geral a gravitação está incorporada na curvatura da métrica do espaço-tempo e as acelerações que se observam são mero reflexo dessa curvatura. Ora, visto que θ = α dn ds = d(α n) ds n dα ds = κ, então θ = κ. Por outro lado, τ = m dn ds = 0 n dm ds, e portanto dm ds = τn. Temos assim, em cada ponto da curva, as chamadas equações de Frenet: dα ds = κn; dn ds = κα τm; dm ds = τn (3.41) onde α, n, κ e τ são a tangente, a normal, a curvatura e a torção da curva em cada ponto, respectivamente. 15 Note-se que sendo dτ uma quantidade invariante, então u µ = dxµ dτ são componentes de um 4-vector. Mas, como é evidente, dxµ dt não é um quadrivector porque quer o numerador quer o denominador ambos se transformam. 16 Por exemplo, diferenciando u ν u ν = c 2, 0 = δ(u ν u ν ) = δu ν u ν +u ν δu ν = 2δu ν u ν = 0 ou ր δuν = 0 ց δu u

20 20 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE As componentes do quadrivector velocidade são pois u µ = dxµ dτ (3.44) com µ = 0,...,3. Visto que x 0 = ct e dt = γdτ, estas componentes têm a expressão u µ = (u 0,u) = (γc,γẋ) (3.45) com u µ u µ = c 2 γ 2 γ 2 ẋ 2 = c 2. O quadrivector momento deve estar associado ao 4-vector velocidade, u µ, pelo que deve ter componentes, p µ = mu µ = (mγc,mγẋ) (3.46) A grandeza p 2 é também uma quantidade invariante de Lorentz, pois p 2 = p p = p µ p µ = m 2 u µ u µ = m 2 c 2 = invariante (3.47) A equação 3.46 é extremamente importante porque nos diz que a quantidade de movimento deve ser p = γmẋ (3.48) e que portanto a inércia de um corpo cresce com a sua velocidade. Ou seja, apenas no limite de pequenas velocidades, quando β 0 (e γ 1) é que a inércia igual à massa! Decorre também da equação 3.46 (e da eq. 3.48) que p 2 = m 2 γ 2 β 2 c 2. Ora, como γ 2 = 1 β 2, então γ 2 β 2 = γ 2 1 e, portanto, 17 p 2 = γ 2 m 2 c 2 m 2 c 2 (3.50) Mas que interpretação tem esta equação; e o termo m 2 c 2? Como se verá, esta equação tem efetivamente um significado tremendo. Importa a este propósito revisitar o teorema da energia cinética e ver como surge a energia cinética de uma partícula. O incremento de energia 17 Chega-se à mesma conclusão a partir do invariante p 2 = p µ p µ = (p 0 ) 2 p 2 = m 2 γ 2 c 2 m 2 γ 2 ẋ 2 = m 2 c 2 (3.49)

21 3.5. OS QUADRIVECTORES VELOCIDADE E MOMENTO 21 cinética de um corpo é dado pelo trabalho que uma força, F = ṗ, sobre ele se exerce ao longo de um percurso dl = dx. Isto é, dt = F dl = ṗ dl = dp ẋ (3.51) Usando o facto de que p = γmẋ, podemos assim escrever que p dp = γmdt (3.52) Diferenciando a equação 3.50 ficamos a saber que p dp = m 2 c 2 γdγ. Por conseguinte, dt = mc 2 dγ (3.53) e portanto T = γ 1 mc 2 dγ = γmc 2 mc 2 = E E 0 (3.54) Esta expressão significa que a energia cinética tem a forma de um incremento de energia relativamente a um valor de base, constante, E 0 = mc 2. Esta equação é pois fundamentalmente revolucionária, porque nos está a dizer a energia cinética de um corpo é a diferença entre duas energias: uma energia constante independente da velocidade e outra que aumenta com a velocidade. Ou seja, a equação diz-nos: i) que um corpo tem energia de repouso; ii) que pelo facto de ter massa tem energia própria, E 0 = mc 2 ; iii) que à massa corresponde energia. 18 Nesta ordem de ideias, massa e energia são basicamente a mesma coisa (à parte uma constante universal, c). Esta é sem dúvida uma conclusão importantíssima! No limite de baixas velocidades, β 1, e então γ 1+ β β4 +, (série de Taylor) e fica T mv mv 4 + (3.55) 8 c 4 Isto significa que a expressão da energia cinética, T = mv2, não é exata, (pois 2 não considera a variação da inércia com a velocidade). Podemos inverter os termos da equação 3.54 (e os argumentos), e chegamos à conclusão de que a energia de um corpo em movimento é igual à sua energia de repouso mais a energia cinética, E = E 0 +T, onde E = γmc 2 (3.56) 18 Mas à energia não corresponde necessariamente massa, como acontece no caso da energia de uma onda electromagnética um fotão tem determinada energia mas tem massa nula.

22 22 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE que é a famosa equação de Einstein. 19 Em geral a equação 3.50 usa-se na forma mais habitual, E 2 = c 2 p 2 +m 2 c 4 (3.57) trata-se de uma equação importante porque relaciona diretamente a energia com a quantidade de movimento linear. É interessante observar que quando a velocidade se aproxima de c, temse γ e portanto quer p, quer E tendem ambos para infinito, porque a inércia do corpo diverge quando v c. Nenhum corpo pode pois ter velocidade superior à da luz no vazio (como já tínhamos visto). 20 O quadrivector momento (3.46) contém afinal a energia e a quantidade de movimento de uma partícula, p µ = (γmc,γmv) = ( E,p) (3.58) c As leis de conservação da energia e de quantidade de movimento estão pois contidas na lei de conservação do momento quadrimensional. O momento transforma-se entre os referenciais S e S como qualquer outro quadrivector, através das transformações de Lorentz, p 0 = γ(p 0 βp 1 ) p 1 = γ(p 1 βp 0 ) p 2 = p 2 p 3 = p 3 (3.59) A energia e a quantidade de movimento conservam-se num processo físico mas não são todavia quantidades invariantes; apenas p 2 é invariante. São conceitos diferentes os de conservação e invariância. Importa pois distinguir claramente a diferença entre estes dois conceitos. Assim, por exemplo, numa interação a energia conserva-se é a mesma antes e depois da interação, mas não é invariante. A massa é invariante é a mesma para todos os observadores, mas não se conserva necessariamente numa 19 A forma popular é E = mc 2, porque se incorpora o fator gama na próxima massa, fazendo m = γm 0, onde m 0 é a massa em repouso. Esta notação caiu entretanto em desuso. 20 Estaéporventuraadiferençafundamentalentreenergiaemassa. Umcorpocommassa tem necessariamente velocidade inferior a c, mas uma quantidade de energia equivalente pode ser transportada à velocidade da luz por um campo imaterial.

23 3.6. MECÂNICA RELATIVISTA 23 interação. Todavia, o quadrado do quadrimomento é uma quantidade que é ambas as coisas:- é invariante e é constante. É invariante porque é escalar e é constante porque há conservação de energia e de momento. Consequentemente, o quadrivector momento é uma quantidade com grande relevância na análise da dinâmica de sistemas de partículas relativistas. 3.6 Mecânica relativista A análise da dinâmica de sistemas de partículas relativistas permite consolidar os conceitos atrás discutidos e tem além disso grande interesse prático. Como é prática comum, usaremos mais adiante unidades em que c = 1. As equações ficam muito mais simples se c = 1, sem que disso resultem ambiguidades ou perdas de generalidade. Nas unidades em que c = 1 a massa e a energia são numericamente a mesma coisa, o que é particularmente conveniente. Esta é a prática corrente, usada nomeadamente na física de altas energias, na física de partículas, na cosmologia, etc. As equações finais são regra geral fáceis de converter para o sistema de unidades SI por mera inspeção dimensional desses resultados Massa invariante e centro de massa O quadrivector momento de um sistema de N partículas obtém-se por adição dos 4-momentos de cada uma das partículas que o constituem. As suas componentes hão de ser dadas pela soma das respectivas componentes dos quadrivectores de cada partícula 21, ( N p µ = p µ i = p 0 i, i=1 i i p i ) (3.60) onde ip 0 i = E total /c E/c e ip i = p total p são a energia e o momento linear (ou quantidade de movimento) do sistema de partículas, respetivamente. Por conseguinte, a quantidade p 2 é (ver eq. 3.47) ( 2 ( ) 2 p 2 = p µ p µ = pi) 0 p i = M 2 c 2 = invariante (3.61) i i 21 Tal como com qualquer vector, se a = a i e i e b = b i e i, então c = a+b = (a i +b i )e i. Por vezes usa-se a letra P para designar o quadrimomento total do sistema.

24 24 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE AquantidadeM = p 2 /c,definidapelaequaçãoanterior,éachamadamassa invariante do sistema de partículas. Para todos os efeitos práticos é como se o conjunto das partículas tivesse uma inércia M e uma energia própria E 0 = Mc 2. A massa invariante, M = p 2 /c, é uma quantidade física bem definida qualquer que seja o sistema de partículas, já que p 2 0. Isso pode-se demonstrar notando que p µ p µ = ij p µ ip jµ = ij ( p 0 i p 0 j p i p j ) (3.62) = ij γ i γ j m i m j c 2 (1 β i β j cosθ ij ) (3.63) Visto que β i 1 e que cosθ ij 1, então p 2 0 e, portanto, M é uma quantidade com significado físico bem definido em todas as circunstancias. O referencial centro de massa Os argumentos anteriores conduzem-nos ao conceito do referencial centro de momento nulo, que habitualmente se designa como centro de momento, c.m. ou CM, (também chamado centro de massa pela força do hábito). O referencial CM é por definição aquele em que o momento linear total é nulo, ip i = 0. Isto significa, por consequência, que nesse referencial a energia do sistema é E = Mc 2 (ver eq. 3.61) e que o CM é também aquele no qual a massa invariante do sistema de partículas, M, está repouso. Porém, o facto de o referencial CM ter quantidade de movimento nula não significa que as partículas tenham momento nulo, apenas que a soma do conjunto é zero! Ora, no referencial CM a massa invariante está em repouso e a energia do sistema de partículas é E = Mc 2. Quando este referencial é observado a partir do laboratório (ou de outro referencial), a energia desta massa é E = γ cm Mc 2 e a quantidade de movimento é p = γ cm Mv cm, onde γ cm e β cm são os factores correspondentes à velocidade do CM, v cm, em relação ao laboratório (ou ao ref. que estiver em causa). Por conseguinte, se E e p forem a energia e o momento do sistema de partículas, ambos medidos no laboratório, então γ cm = E Mc 2 = ie i Mc 2 (3.64)

25 3.6. MECÂNICA RELATIVISTA 25 onde M = p 2 /c, e p é o quadrimomento do sistema de partículas. Para além disso, podemos também escrever que β cm = cp E = c ip i ie i (3.65) As expressões anteriores caracterizam o movimento do CM e são portanto muito úteis. A última equação, posta em termos mais explícitos, diz-nos que β cm = iγ i m i β i c 2 iγ i m i c 2 1 (3.66) pois β i 1. Esta conclusão é muito importante: - demonstra que a velocidade do CM é sempre v cm c e que, portanto, o referencial CM tem sempre existência física, qualquer que seja o sistema de partículas. 22 A velocidade do CM também se pode obter diretamente a partir da transformação de Lorentz das componentes do momento. Se S for o referencial do laboratório (LAB) e designarmos por S o referencial CM, então no CM o sistema de partículas tem momento p. Nesse caso, por definição do CM, p = ip i = 0 e por consequência, p 0 = 0 ip i = E /c = Mc. A relação entre as componentes de p e de p é estabelecida pela transformação de Lorentz entre S e S, sendo ( p 0 = γ cm p 0 +β cm p 1 ) ( p 1 = γ cm p 1 +β cm p 0 ) (3.67) Visto que p = 0, e que portanto p 1 = 0, conclui-se de imediato que e, da 2 a eq., que γ cm = E Mc 2 = ie i Mc 2 (3.68) β cm = c p γ cm Mc = c ip i (3.69) ie 2 i Estas são exatamente as eqs e 3.65, respectivamente. 22 Note-se que v cm = c apenas se o sistema for um gás de fotões no mesmo sentido - mas nesse caso não importa o CM. No lado posto temos o caso do decaimento em repouso de π 0 γ 1 +γ 2, em que γ 1 e γ 2 são fotões; apesar do estado final só ter fotões, o seu CM está em repouso: tem β cm = 0 e massa invariante não nula, M = E1+E2 c 2 = m π 0 0.

26 26 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE Caracterizamos portanto completamente o referencial centro de momento nulo ou de massa (CM). Pode ser sempre definido para qualquer sistema de partículas; qualquer observador pode calcular a respectiva velocidade, e transferir para ele a análise do sistema de partículas e vice-versa. A partir daqui usam-se unidades em que c = 1. Exemplo: Seja uma partícula de energia E 1 e massa m 1 que colide com outra de massa m 2 em repouso no laboratório. A massa invariante do sistema constituído pelas duas partículas, ao quadrado, é M 2 = p 2 = (E 1 +m 2 ) 2 p 1 2 = m 2 1 +m E 1 m 2 (3.70) Portanto a velocidade do CM é neste caso e β cm = p 1 E 1 +m 2 = E 2 1 m2 1 E 1 +m 2 γ cm = E 1 +m 2 M Caracterizada a velocidade do CM podemos agora transformar qualquer quadrivector do referencial do laboratório para o CM e vice-versa. Os conceitos anteriores têm ampla aplicação na análise da dinâmica de sistemas de partículas, análise essa que faremos sobretudo através do estudo de casos notáveis. Esse estudo põe em evidência a diferença entre os conceitos de invariância e conservação, mostra como se pode tirar partido dos invariantes de Lorentz, e tem iminente interesse prático, na física nuclear, física de altas energias, astrofísica, análise da interação da radiação com a matéria, etc Decaimento de partículas Seja uma partícula de massa M, instável, com determinado tempo de vida média, que está por hipótese em repouso no laboratório, no instante em que

27 3.6. MECÂNICA RELATIVISTA 27 decai em duas partículas com massas m a e m b. Para que a partícula possa decair espontaneamente deve ter massa superior à soma das massas em que decai, i.e., M m a +m b. 23 A energia das partículas do estado final obtémse a partir do princípio da conservação do quadrimomento entre os estados inicial e final (o que engloba a conservação da energia e da quantidade de movimento). Isto é, M a+b p = p a +p b, { M = Ea +E b 0 = p a +p b As quantidades escalares são invariantes e neste contexto é particularmente útil o quadrimomento ao quadrado, p 2 = M 2. A energia da partícula a pode-se obter a partir de p a = p p b, pois O que dá portanto, p 2 b = p 2 +p 2 a 2p p a (3.71) m 2 b = M 2 +m 2 a 2(E a +E b ) E a +2p p }{{}}{{ a } M =0 E a = M2 +m 2 a m 2 b 2M (3.72) (3.73) Do mesmo modo se pode obter a energia da outra partícula, vista no laboratório, E b. O decaimento de M em n > 2 partículas é de análise mais difícil, pois nesse caso as energias das partículas do estado final não assumem sempre o mesmo valor, distribuindo-se consoante a configuração do estado final nos graus de liberdade do sistema. Não cabe aqui calcular essas configurações. Contudo, o valor máximo da energia de uma das partículas do estado final ainda se reduz ao caso anterior, sendo E (max) a = M2 +m 2 a (m b +m c + ) 2 2M (3.74) Isto ocorre na configuração de CM em que a partícula a é emitida para um lado e todas as outras para o lado oposto. 23 Por exemplo o deutério não decai espontaneamente em p + n, pois m D GeV enquanto que m p +m n GeV. A diferença E B = m D (m p +m n ) = 2.3 MeV é a energia de ligação. Se a energia de ligação for negativa a partícula é estável.

28 28 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE Energia de limiar de uma reação A colisão inelástica de partículas (relativistas) é um problema comum, em particular nas experiências com aceleradores de partículas. Da colisão resultam por vezes outras partículas, eventualmente instáveis as quais dão origem a decaimentos em cascata que se pretendem estudar. A colisão elástica entre duas partículas não requer energia mínima. Todavia, para que numa colisão inelástica se produzam novas partículas é necessário (nomeadamente) que a energia disponível seja suficiente e esteja acima de um certo limiar o chamado limiar da reação. É conveniente pensar nesta questão a dois tempos: i) as duas partículas iniciais colidem e aniquilam-se mutuamente; e ii) o produto da aniquilação materializa-se nas partículas do estado final. Percebe-se desde logo que o melhor é analisar a criação de novas partículas no referencial CM, por ser nesse referencial que esse estado intermédio está em repouso. É assim claro que no CM a energia de limiar da reação é a energia mínima para materializar, num ninho, todas as partículas do estado final; em que elas ficam sem qualquer energia cinética relativa, portanto todas em repouso no CM. O exemplo clássico é o da colisão de partículas subatómicas contra um alvo fixo, em que uma partícula a, com energia E a, colide contra outra partícula, b, que está em repouso no laboratório, e se dá a reação: a+b c+d+ A questão é pois saber qual é a energia mínima de a para que determinada reação ocorra, originando novas partículas. A conservação de momento impõe que Usando a invariância de p 2, e portanto p = p a +p b = p c +p d + (3.75) p 2 = p 2 a +p 2 b +2p a p b (3.76) M 2 = m 2 a +m 2 b +2E a m b 0 (3.77) E a = M2 m 2 a m 2 b 2m b (3.78)

29 3.6. MECÂNICA RELATIVISTA 29 O limiar da reação corresponde à situação em que toda a massa invariante, M, é convertida na massa das partículas do estado final, i.e. M = k m k (3.79) (a soma k é sobre todas as partículas do estado final). Então a energia mínima de a correspondente ao limiar da reação é E (min) a = ( km k ) 2 m 2 a m 2 b 2m b (3.80) Não passa despercebida alguma similitude entre as equações 3.73 e De facto, a criação de novas partículas pode ser interpretada como o decaimento de um estado intermédio transiente, que medeia entre o estado inicial e o estado final (esse estado pode assemelhar-se a uma flutuação quântica ou ser mesmo um estado físico real, e.g., e + +e Z 0 ν + ν). Suponha-se a reação a + b c + d em que o estado final tem duas partículas, de massas m c e m d. No referencial CM (ref. S ) o momento é p = p c + p d e portanto (p p c) 2 = p d2 e, visto que p = 0, M 2 +m 2 c 2ME c = m 2 d, donde E c = M2 +m 2 c m 2 d 2M (3.81) Esta equação representa pois formalmente o decaimento do estado intermédio em m c +m d e é por isso natural que coincida com a equação 3.73, como seria de esperar. 24 Exemplo: O antiprotão foi descoberto numa experiência histórica, que consistiu em fazer colidir um feixe de protões contra um alvo em repouso, dando origem, nomeadamente, à reação p+n p+n+p+ p As massas m p m n GeV, pelo que da eq se obtém E p (min) 7 GeV, correspondente a uma energia cinética T p (min) 6 GeV. Isto é, os protões têm que 24 Pela mesma razão, com relação ao estado inicial, E a = M2 +m 2 a m2 b 2M.

30 30 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE ser acelerados até terem energia cinética de pelo menos 6 GeV antes que possam ser criados quaisquer antiprotões. No exemplo anterior é notória a diferença entre a massa das partículas criadas e a energia cinética mínima da partícula incidente para que a reação aconteça. Essa diferença tem que ver com a energia cinética do próprio CM, a qual evidentemente não é útil para criar as novas partículas. Se o CM estivesse em repouso no laboratório seria mais fácil criar novas partículas. Na verdade, o que releva para produzir novas partículas é a massa invariante do sistema (i.e. a massa do estado intermédio, ou massa do CM e não a velocidade deste último). Deste ponto de vista é pois mais eficiente colidir partículas com momentos opostos. Para melhor se compreender o que está em causa, suponhamos que m a = m b = m, e comparemos a eficácia de ambos os métodos de colisão, nas condições em que se transfere a mesma energia para as partículas que colidem: Colisão com alvo fixo ( ): A partícula a adquire energia cinética T e colide com a partícula b, que está parada. Como vimos (eq. 3.70), M 2 = 2m 2 +2E a m = 4m 2 +2mT ou seja, M = 2m 1+T/2m (3.82) Colisões com CM fixo ( ): Nas mesmas condições, transfere-se a mesma energia, T, para cada uma dasduaspartículas, indot/2paraapartícula a et/2paraapartícula b. As partículas colidem vindo de direções opostas, e por isso neste caso os referenciais CM e LAB coincidem. Ou seja, p a + p b = 0, e portanto, ( p 2 = E a +E b = 2E a ), M = 2E a = 2(m+T/2) = 2m(1+T/2m) (3.83) As massas disponíveis no CM, são num caso M e no outro M, respectivamente, e estão representadas na fig. 3.3 em função da energia cinética transferida para as partículas iniciais. Como é evidente, o método de colisão

31 3.6. MECÂNICA RELATIVISTA 31 Figura 3.3: Massa invariante de duas partículas em colisão, em função da energia cinética (total) dada às partículas incidentes: para colisões em alvo fixo (tracejado) e para colisões simétricas no ref. LAB (aceleradores colisionadores). em alvo fixo é progressivamente mais ineficaz à medida que a energia do CM cresce. Por esta razão, a generalidade dos aceleradores atuais são de facto colisionadores/colisores (colliders). Isto é, são sistemas em que se aceleram ambas as partículas que entram na colisão, as quais são depois guiadas de modo a colidirem no laboratório com quantidades de movimento exatamente opostas, tal que os referenciais CM e LAB coincidam Colisões do tipo Esta secção refere-se a colisões elásticas e inelásticas. Na fig. 3.4 representa-se a colisão , estando a partícula 2 em repouso no laboratório. Do choque resultam, por hipótese, partículas novas com massas m 3 e m 4. A conservação de momento escreve-se como p = p 1 +p 2 = p 3 +p 4 (3.84) p = p 1 +p 2 = p 3 +p 4 (3.85) nos referenciais LAB e CM, respectivamente (no CM designamos as quantidades com linha). Usando a invariância concluímos que a massa invariante do sistema de partículas é M = p 2 = m 2 1 +m E 1 m 2.

32 32 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE p 1 θ 3 p 3 p p 3 p 1 θ 3 2 p 4 θ 4 p 4 a) b) Figura 3.4: Colisão entre duas partículas, estando uma delas em repouso no laboratório, vistas: a) no LAB e b) no CM. Está representado o choque elástico; se o choque for inelástico, p 3 = p 4 p 1. Antes da colisão as energias das partículas no CM podem-se calcular a partir de p. Assim, p 2 = p p 1, donde m 2 2 = M 2 +m 2 1 2p p 1 = M 2 +m 2 1 2ME 1 e portanto De p 1 = p p 2 vem Do mesmo modo se obtém E 1 = M2 +m 2 1 m 2 2 2M E 2 = M2 +m 2 2 m 2 1 2M (3.86) (3.87) E 3 = M2 +m 2 3 m 2 4 2M E 4 = M2 +m 2 4 m 2 3 2M (3.88) (3.89) Como é evidente, E 1 +E 2 = M = E 3 +E 4. A quantidade de movimento das partículas no CM pode-se obter igualmente à custa da invariância dos quadrivectores momento. Por exemplo,

33 3.6. MECÂNICA RELATIVISTA 33 dado que p = p 3 +p 4, então p 2 = p 32 +p 42 +2p 3 p 4, e portanto (visto que p 3 = p 4) M 2 = m 2 3 +m (E 3E 4 +p 32 ) ou seja, p 2 3 = M2 m 2 3 m 2 4 E 2 3E 4 (3.90) Se inserirmos as expressões de E 3 e E 4 ficamos com p 2 3 = p 2 4 = M2 m 2 3 m 2 4 (M2 +m 2 3 m 2 4)(M 2 +m 2 4 m 2 3) (3.91) 2 4M 2 e analogamente para p 2 1 = p 2 2. As energias das partículas do estado final que se medem no laboratório podem-se agora obter a partir das correspondentes quantidades calculadas no CM, por transformação de Lorentz de E 3 (e E 4), E 3 = γ cm (E 3 +β cm p 3 cosθ 3) (3.92) Esta é certamente a maneira mais rápida de calcular E 3 e E 4, visto que γ cm e β cm se calculam facilmente pelas eqs e Mas E 3 e E 4 também se podem calcular diretamente a partir da invariância do produto escalar, como a seguir se exemplifica. Assim, querendo calcular E 3, podemos partir da conservação do momento e escrever p 4 = p 1 +p 2 p 3 = (p 1 p 3 )+p 2 O segredo está na forma como se associam os momentos, dependendo do que se pretenda calcular. Neste caso queremos calcular E 3 e interessa-nos juntar p 1 e p 3 para que o resultado venha expresso em função de θ 3; interessa-nos isolar p 4 para o transformar num invariante; e temos interesse em misturar p 2 o mais possível para explorar o facto de p 2 = 0. Vejamos, então como fica: p 2 4 = p 2 1 +p 2 3 2p 1 p 3 +p p 2 p 1 p 2 p 3 (3.93) m 2 4 = m 2 1 +m 2 3 2p 1 p 3 +m E 1 m 2 2E 3 m 2 (3.94) O produto escalar é invariante, p 1 p 3 = p 1 p 3, pelo que e portanto p 1 p 3 = p 1 p 3 = E 1E 3 p 1 p 3 cosθ 3 (3.95) E 3 (θ 3) = E 1 + m2 1 +m 2 2 +m 2 3 m 2 4 2m 2 1 m 2 (E 1E 3 p 1 p 3 cosθ 3) (3.96)

34 34 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE esta expressão dá-nos a energia das partículas do estado final em função do ângulo no CM (ver fig. 3.4). As quantidades E 1, E 3, p 1 e p 3 são dadas pelas eqs a Dopontodevistaestritamentecinemáticoθ 3 podeassumirqualquervalor entre zero e π, pois as energia no CM não têm qualquer dependência angular. Esta é de resto a razão principal para se estudar a colisão a partir do ref. CM. De modo inteiramente análogo se obtém a energia E 4. Neste caso é conveniente partir de p 1 p 3 = p 4 p 2. O quadrado dá p 2 1 +p 2 3 2p 1 p 3 = p 2 4 +p 2 2 2p 2 p 4 e portanto (dado que p 1 p 3 = p 1 p 3) 2m 2 E 4 = m 2 4 +m 2 2 (m 2 1 +m 2 3)+p 1 p 3 (3.97) Ou seja, usando 3.95, obtém-se E 4 (θ 3) = m2 4 +m 2 2 m 2 1 m 2 3 2m m 2 (E 1E 3 p 1 p 3 cosθ 3) (3.98) Colisão elástica Esta secção refere-se apenas a colisões elásticas. Supomos agora que a colisão da fig. 3.4 é elástica, i.e., que não há partículas novas, e que m 1 = m 3 e m 2 = m 4. No CM p 1 = p 3 e a eq dá E 3 (θ 3) = E [ 2m 2 2m 1 2 ( E 2 1 (E 2 )] 1 m 2 1)cosθ 3 2 (3.99) = E 1 1 m 2 ( E 1 2 m 2 1) (1 cosθ 3 ) (3.100) E 3 (θ 3) = E 1 p 2 1 (1 cosθ m 3) (3.101) 2 Da eq. 3.98, E 4 (θ 3) = m 2 + p 1 2 m 2 (1 cosθ 3) (3.102)

35 3.6. MECÂNICA RELATIVISTA 35 Por outro lado, a eq fica, p 2 1 = p 2 3 = M2 m 2 1 m 2 2 (M2 +m 2 1 m 2 2)(M 2 +m 2 2 m 2 (3.103) 1) 2 4M 2 = (M2 +m 2 1 m 2 2) 2 m 2 4M 2 1 (3.104) Transferência de energia A energia transferida é um parâmetro importante de uma colisão. A energia transferida da partícula incidente para a outra partícula é evidentemente uma função dos ângulos de dispersão, sendo E(θ 3) = (E 1 E 3 ) = (E 4 m 2 ) (3.105) A transferência máxima de energia ocorre para θ 3 = π, e é portanto (eqs e 3.104) E (max) = 2 [ (M 2 +m 2 1 m 2 2) 2 ] m 2 m 2 4M 2 1 (3.106) = 2m 2(E 2 1 m 2 1) M 2 (3.107) Chegaríamos a este mesmo resultado a partir de 3.102, quando θ 3 = π, como é evidente. Importa analisar em particular dois casos com interesse prático: m 1 = m 2 = m Se as partículas tiverem a mesma massa, m 1 = m 2 = m, então E (max) = E2 1 m 2 = (T +m)2 m 2 m+e 1 T +2m = T (3.108) Ou seja, numa colisão elástica estritamente frontal de duas partículas com a mesma massa, a partícula incidente transfere toda a sua energia cinética para a outra partícula. Este é um resultado muito importante, com aplicação na interação de radiações com a matéria. m 1 m 2 Se a partícula incidente tiver massa m 1 m 2, então (note que E 2 1 m 2 1 = p 2 1) E (max) 2m 2 γ 2 β 2 m 2 1 = 2m m 2 1 +m 2 2 γ 2 β 2 (3.109) 2 +2m 2 E 1

36 36 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE Caso a velocidade seja relativamente baixa, tal que γ 1, e sendo T a energia cinética da partícula incidente, chega-se a 25 E (max) 4(γ 1)m 2 4 m 2 m 1 T T (3.110) Conclui-se pois que se uma partícula de massa elevada colidir com outra muito mais leve, apenas uma pequena fracção da sua energia cinética pode ser transferida na colisão. Serão necessárias muitas colisões para a conseguir parar. De facto é isso que se observa p.ex. quando um protão energético atravessa a matéria:- ele perde a sua energia colidindo sucessivamente com os electrões das nuvens atómicas que encontra no caminho e vai assim perdendo energia 26. Note-se porém que, se a partícula tiver γ 1, a transferência de energia pode ser significativa. m 1 m 2 Este caso tem naturalmente semelhanças com o anterior, E (max) = 2m 2 γ 2 β 2 m 2 1 m 2 1 +m m 2 E 1 2m 1(γ 1)T m 2 ( 1+2 m 1 m 2 γ ) (3.111) Para energias relativamente baixas, tais que γ 1, então E max 4 m 1 m 2 T T (3.112) i.e., pouca energia é transferida de uma partícula para a outra. Concluímos assim que, no limite das baixas velocidades, se as massas das partículas forem muito diferentes, pouca energia é transferida, E (max) T. Porém no limite extremo, ultra-relativista, quando v c, γ 1, isso já não é assim, pois E (max) cresce com γ. 25 Note que γ 2 β 2 = (γ 2 1); e que a energia cinética da partícula incidente é (em unidades c = 1) T = (γ 1)m 1 ) 26 Repare que se m 1 m 2 é como se m 2 batesse contra uma parede, fazendo ricochete; nessa circunstância a variação máxima da energia de m 2 é T = 2m 2 γ 2 β 2.

37 3.6. MECÂNICA RELATIVISTA 37 θ 3 p 3 θ 3 max p 3 θ 3 p 4 Figura 3.5: Colisão de partículas relativistas: : a) no CM e b) no LAB. No CM a interação é a priori isotrópica e os vectores momento descrevem uma esfera; no LAB descrevem uma elipse e o ângulo de abertura entre eles é função disso. No caso da partícula 3 tem-se: p 3 = p 3 ; p 3 = γ(p 3 +βe 3 ), ou seja, p 3 = γ 1 p 3 βe 3. Assim: p 2 3 +p 3 2 p 2 = 1 p p 2 + (p 3 ξ) 2 3 γ 2 p 2 = 1, com 3 ξ = γβe 3, (aqui p 3 = p 3, etc...). Estas equações descrevem uma circunferência no CM e uma elipse no LAB. Ângulos de dispersão Esta secção refere-se a colisões elásticas. Os ângulos de dispersão das partículas observadas no laboratório devem também ser calculados a partir dos ângulos medidos no CM. Do ponto de vista estritamente cinemático, as partículas são emitidas após o choque em direções arbitrárias do referencial CM, sem qualquer relação com as direções iniciais das partículas. Contudo, a física do fenómeno subjacente à interação não é em geral isotrópica, porque há outros graus de liberdade do sistema, e.g., o spin. que introduzem uma dependência angular na secção eficaz correspondente. 27 Esta é, de resto, a vantagem insofismável de se analisar o problema físico no referencial CM qualquer dependência angular é pura física!; noutro qualquer referencial os ângulos têm também que ver com a própria cinemática. Assumindo que a colisão é isotrópica no CM, então, estatisticamente, as pontas dos vectores quantidade de movimento formam uma esfera no CM, a 27 Por exemplo, no ref. CM a secção eficaz da interação e + e e + e tem a forma, ς(θ) = dσ dω = α2 1 4M 2 c 4 2 (1 + cos2 θ) + (1 + cos 4 θ 2 )sin 4 θ 2 2cos4 θ 2 sin 1 θ e2 2, com α = 4π hc (secção eficaz de Bhabha). Como se vê, este processo não é isotrópico nem mesmo no ref. CM, devido à rotação dos spins das partículas entre os estados inicial e final. No CM a anisotropia não decorre da cinemática, é intrínseca à interação.

38 38 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE qual será observada no laboratório como um elipsoide (i.e. no LAB não são igualmente prováveis todas as direções, ainda que o sejam no CM, ver fig. 3.5). De qualquer modo, importa relacionar os ângulos observados no LAB com os ângulos no CM. Da fig. 3.4 conclui-se imediatamente que tanθ 3 = p 3 p 3 = p 3 sinθ 3 γ cm ( p 3 cosθ 3 +β cm E 3) (3.113) onde p 3 e p 3 são as componentes normal ( ) e paralela ( ) à direção inicial da partícula 1. Todas estas quantidades já foram calculadas acima. Além disso, como o choque é elástico, p 1 = p 3, e portanto com γ cm = E 1 +m 2 M tanθ 3 = e β cm = p 1 E 1 +m 2 sinθ 3 γ cm (cosθ 3 +ζ) ζ = β cm E 3 p 3 = β cm β 3 (3.114) (3.115) onde β 3 é a velocidade da partícula 3 no referencial CM. Na fig. 3.6 representa-se a função θ 3 = f(θ 3) para diferentes valores de ζ. Como se vê, para ζ > 1, θ 3 tem valor máximo para cosθ 3 = 1, ao qual ζ corresponde ( ) } 1 θ (max) 3 = atan{ γ cm ζ 2 1 Isto é, θ (max) 3 decresce com a energia. Para energias muito elevadas (ultrarelativistas) os ângulos de separação entre as partículas pós-colisão tendem pois a ser pequenos no LAB. As quantidades referentes à partícula 4 são as mesmas anteriores com a permutação dos índices 3 4. Visto que θ 4 = θ 3 +π, então tanθ 4 = sinθ 3 γ cm ( cosθ 3 +ζ) (3.116) (o sinal negativo indica que se, θ 3 > 0, então θ 4 < 0).

39 3.6. MECÂNICA RELATIVISTA 39 π θ 3 π /2 ζ <1 ζ =1 θ 3 max ζ >1 0 0 π /2 θ 3 π Figura 3.6: Choque elástico entre partículas relativistas: Representação do ângulo de desvio da partícula 3, θ 3, medido no LAB, após choque elástico com uma partícula que estava em repouso no laboratório, em função do respectivo ângulo no referencial CM, θ 3. O ângulo de separação (ou abertura) entre as partículas do estado final, Θ, pode-se obter a partir da relação trigonométrica (ou diretamente a partir da análise dos momentos das partículas sugere-se como exercício), tanθ = tan(θ 3 θ 4 ) = tanθ 3 tanθ 4 1+tanθ 3 tanθ 4 (3.117) (note que sinal(θ 4 )=-sinal(θ 3 )). No caso particular em que o choque elástico é entre partículas iguais, m 1 = m 2 = m e então ζ = βcm β = 1. Nesse caso, e portanto, tanθ 3 = 1 sinθ 3 ; tanθ γ cm 1+cosθ 3 4 = 1 sinθ 3 γ cm 1 cosθ 3 tanθ = 2 γ cm β 2 cmsinθ 3 (3.118) É um facto conhecido que após o choque elástico de duas partículas iguais não relativistas o ângulo de separação é sempre π (deixa-se como exercício 2 prová-lo). De facto, se tomarmos o limite das baixas velocidades, fazendo

40 40 CAPÍTULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE β 0 na eq , tem-se tanθ e, portanto, lim β 0 Θ = π 2. Todavia, como se vê, exceptuando o caso limite não relativista, o ângulo Θ tende a ser muito menor que π/2, e tão mais pequeno quão mais elevada for a energia da partícula incidente. Isso mesmo se depreende da fig. 3.6, pois θ 3 é a priori igualmente provável no intervalo [0,π], mas a ordenada θ 3, tende a ser menor que π 2. O valor mínimo do ângulo Θ ocorre para θ 3 = π/2, e tem valor tal que tanθ min = 2 γ cm β 2 cm = 2M E 1 m (3.119) Ou seja, o ângulo Θ está no intervalo Θ [Θ min,π/2]. Este é mais um exemplo em que se verifica que a física não relativista é um caso limite. As fotografias da colisão de partículas de alta energia em câmaras de bolhas constituem por isso prova eloquente da física relativista (ver fig. 3.7). Figura 3.7: Colisões elásticas entre partículas fotografadas em câmaras de bolhas. a) Colisão protão-protão a baixa energia: um protão de baixa energia, com T = 5 MeV e β 0.1, colide com outro em repouso; o ângulo de separação é π 2, como previsto classicamente. b) Colisão relativista eletrão-eletrão: um electrão de alta energia (com T 3m e c 2 ; β 0.97) colide com um eletrão atómico em repouso; o choque é relativista e observa-se um ângulo de separação muito menor que π 2. A energia das partículas é medida a partir da curvatura dos respectivos rastos num campo magnético. [fotos: a) Powell e Occhialini, Nucl. Phys. in Photo., 1947; b) Hermann Publ., Paris].