Propriedades assintóticas de modelos de misturas e sistemas hibridos

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1 Propriedades assintóticas de modelos de misturas e sistemas hibridos Francis Félix Córdova Puma Tese de doutorado apresentada ao Programa de Pós-graduação do Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Matemática. Orientador: Jaime E. Muñoz Rivera Rio de Janeiro Abril de 214

2 Ficha Catalográfica C796p Cordova Puma, Francis Felix Propriedades assintóticas de modelos de misturas e sistemas hibridos / Francis Felix Cordova Puma. Rio de Janeiro, f. : il.; 3 cm. Orientador: Jaime E. Muñoz Rivera Tese (doutorado) UFRJ / Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação em Matemática, 214. Referências: f Termoelasticidade - Modelos Matemáticos - Tese. 2. Teoria assintótica 3. Sistemas híbridos I. Muñoz Rivera, Jaime E.(Orient.). II.Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática,Programa de Pós-graduação em Matemática. III. Título. CDD 531

3 Propriedades assintóticas de modelos de misturas e sistemas hibridos Francis Félix Córdova Puma Orientador: Jaime E. Muñoz Rivera (Folha de aprovação)

4 Agradecimentos Antes de tudo, agradeço a Deus por tantas oportunidades felizes e de viver esta etapa. Agradeço a todos os professores do IM-UFRJ dos quais recebi aula pelos ensinamentos dados e pelo exemplo. Em especial, aos professores Jaime E. M. Rivera pela orientação e paciência que sempre teve para entender e atender aos meus questionamentos, e Hugo Fernandez Sare pelas sugestões e contribuição, e aos membros da banca pelos seus comentários e sugestões que ajudaram a diminuir os erros presentes nesta tese. Agradeço ao CNPq pelo apoio financieiro ao longo do meu doutorado. A toda minha família e amigos que torceram por mim, muito obrigado. Em especial agradeço a minha Mãe, Viviana Puma, meu Pai, Felipe Cordova, os meus irmãos Antonio, Maykol e Henry pelo amor e apoio intenso de família e por estarem sempre unidos a mim apesar da distância. Conheci pessoas maravilhosas aqui no Rio de Janeiro, que me brindarom seu apoio e amistade, brasileiros e estrangeiros, amigos e colegas de estudos que compartilharom comigo esta etapa de formação, Por isso lhes agradeço muito.

5 Resumo Propriedades assintóticas de modelos de misturas e sistemas hibridos Resumo da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-graduação em Matemática do Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências. Neste trabalho investigamos o comportamento assintótico das soluções dos problemas de valor inicial e fronteira da teoria unidimensional para mistura de sólidos termoelástica. Também consideramos a mistura de n sólidos com dissipação friccional em domínios limitados e não limitados (R). Finalmente, estudamos um problema de contacto constituído por um material com duas partes, sendo a primeira parte viscoelástico e a segunda parte possui uma extremidade livre ligada a um corpo rígido, o modelo matemático é uma equação diferencial parcial acoplado com uma equação diferencial ordinária, tais sistemas são chamados de híbridos. Em cada caso, mostramos a existência e unicidade de soluções globais fortes. Nosso principal objetivo é apresentar as condições que asseguram a estabilidade exponencial do semigrupo correspondente aos modelos de mistura. Para o modelo híbrido mostramos a estabilidade polinomial. Os resultados que consideramos relevantes para a teoria de mistura de sólidos está na caracterização da estabilidade exponencial que apresentamos nos capítulos 2 e 3, tais resultados são novos e descrevem de forma completa o comportamento assintótico das soluções destes modelos. A ferramenta utilizada é a teoria de semigrupos e operadores dissipativos em espaços de Hilbert. Especificamente o resultado de Pruss [33] sobre estabilidade exponencial de um semigrupo e o Teorema de Borichev e Tomilov para o decaimento polinomial [9]. palavras-chave:semigrupo C ; Estabilidade linear; Estabilidade Exponencial; Misturas termoelástica e com dissipação friccional; sistemas híbridos.

6 Abstract Asymptotic properties of models for mixture and hybrid systems In this work we investigate the asymptotic behaviour of solutions to the initial boundary value problem for a one-dimensional theory of mixtures of thermoelastic materials. We also consider the mixture of n materials in the presence of a frictional damping in bounded and unbounded domains (R). Finally we study hybrid systems, which consists of a compost material with a tip load. In each case, we show the existence and uniqueness of global strong solutions. Our main goal is to present conditions which insure the exponential stability and Polynomial stability of the corresponding semigroup. The main result about the solids mixture is the characterization of exponential stability presented in Chapters 2 and 3, these results are new and fully describe the asymptotic behaviour of the solutions. The tool used is the theory of semigroups and dissipative operators in Hilbert spaces. Specifically the result of Pruss [33] on exponential stability of a semigroup and the Borichev-Tomilov theorem on polynomial stability [9]. keywords: C -semigroup; Linear stability; Exponential stability; frictional and thermoelastic mixtures; hybrid systems.

7 Notações C ( [, [, H ) é o espaço das funções continuas de [, [ em um espaço de Banach H. L(H) é o espaço dos operadores lineares e contínuos em H e K(H) denota o subespaço dos operadores compactos. ϱ(a) = {λ C; (λi A) 1 L(H)} é o conjunto resolvente do operador fechado A. σ(a) = C\ϱ(A) é o espectro de A. R(λ; A) = (λi A) 1 é o operador resolvente. w = w, w = (w 1, w 2,..., w n ) C n. Transposta do conjugado. n z w = w z = z i w i é o produto interno em C n. i=1 A denota a propriedade de A ser uma matriz definida positiva. A denota a propriedade de A ser uma matriz semidefinida positiva. 7

8 Sumário 1 Preliminares Matrizes Espaços de Sobolev Transformada de Fourier Desigualdades e resultados importantes Teoria de Semigrupos e algumas definições Semigrupos C gerados por operadores dissipativos não limitados Modelos matemáticos para mistura de sólidos Mistura de sólidos com dissipação friccional Existência e Unicidade Estabilidade Exponencial Exemplo: Matrizes Observáveis Mistura de sólidos termoelásticos Existência e Unicidade Estabilidade Exponencial Exemplos:

9 4 Mistura de sólidos com dissipação friccional em R Existência e Unicidade Estabilidade exponencial Um Sistema Hibrido Existência e Unicidade Estabilidade Polinomial Considerações finais Conclusões Perspectivas e trabalhos futuros Referências 12 9

10 Capítulo 1 Preliminares Neste Capítulo estabeleceremos alguns resultados e notações que utilizaremos no decorrer deste trabalho. Os detalhes podem ser encontrados em Roger A. Horn [36], Bernstein [7], Brezis [8], Adams [1], Yosida[38], Rudin [37], Pazy[32], Prüss [33], Renardy [35], Huang [13], Borichev e Tomilov [9], Liu e Zheng [22]. 1.1 Matrizes Definição Uma matriz A = (a ij ) C n n é chamada hermitiana se A = A. Usaremos a notação A = A. Desta forma vemos que, se A é uma matriz real hermitiana é equivalente a que A seja uma matriz simétrica. Lembremos que as matrizes hermitianas possuem autovalores reais A = A = σ(a) R. A continuação apresentamos algumas propriedades que são relevantes para o desenvolvimento de este trabalho. Teorema Seja A C n n, então as seguintes afirmações são verdadeiras (i) z Az R para todo z C n se, e somente se A = A. (ii) z Az ir para todo z C n se, e somente se A = A. 1

11 (iii) z Az = para todo z C n se, e somente se A =. Teorema Seja B R n n. Então são equivalentes as seguintes afirmações (i) B é simétrica, (ii) z Bz é real para todo z C n, (iii) B é normal (BB = B B) e todos seus autovalores são numeros reais, (iv) existe uma matriz ortogonal P R n n e uma matriz diagonal D R n n tal que B = PDP. Definição Seja A = (a ij ) C n n uma matriz hermitiana. (i) Definimos a forma complexa associada, sendo como n z Aw = a ij z i w j ; z, w C n i,j=1 que se reduz ao produto interno de C n se A = I. (ii) A é chamada definida positiva (A ), se z Az >, z C n \{}. (iii) A é chamada semidefinida positiva (A ), se z Az, z C n. Teorema (Caracterização) Seja A C n n uma matriz hermitiana. A é semidefinida positiva se, e somente se todos seus autovalores são não negativos. A é definida positiva se, e somente se todos seus autovalores são positivos. Teorema (Rayleigh-Ritz) Seja A C n n uma matriz hermitiana e λ min = λ 1 λ 2... λ n = λmax seus autovalores. então λ min z 2 z Az λmax z 2 ; z C n. 11

12 Demonstração. Ver Roger A. Horn [36]. Uma conseqüência do Teorema acima é o fato de que a forma complexa U AV dx, U, V [L 2 (, l)] n é um produto interno que induz uma norma equivalente à norma de [L 2 (, l)] n se A. Teorema Sejam A, B C n n positivas semidefinidas, então todos os autovalores de AB são não negativos. Se A e B são positivas definidas, então todo autovalor de AB é positivo. Demonstração. Ver Corolário Bernstein [7]. Teorema (Diagonalização simultánea) Seja F F n n, suponhamos que todo elemento de F é uma matriz normal (A A = AA ). Então, existe uma matriz unitária U F n n tal que UAU é diagonal para todo A F se, e somente se F satisfaz AB = BA, A, B F. Onde F = R ou C. Demonstração. Ver Bernstein [7]. Teorema Sejam A, B F n n matrizes hermitianas e A. Então, existe uma matriz não singular S F n n tal que SAS = I e SBS é diagonal. Demonstração. Ver Bernstein [7]. 12

13 1.2 Espaços de Sobolev Seja Ω um aberto de R n dotado da medida de Lebesgue com fronteira Ω. Suponhamos conhecidos os conceitos de função integrável, mensurável, conjunto de medida nula, etc.; ver, por exemplo, [37]. Definimos, para 1 p <, o espaço L p (Ω) como o espaço das funções reais u, mensuráveis em Ω, tais que u p é integrável a Lebesgue em Ω, isto é, { } L p (Ω) = u : Ω R ; u(x) p dx < +. Ω Em L p (Ω) definimos a norma u p L p (Ω) = u(x) p dx ; Ω 1 p < com a qual L p (Ω) resulta ser um espaço de Banach. No caso p =, L p (Ω) representa o espaço de todas as funções essencialmente limitadas em Ω com a norma u L (Ω) = supess u(x). x Ω Também neste caso L (Ω) é um espaço de Banach. Quando p = 2, L 2 (Ω) é um espaço de Hilbert com produto interno (u, v) L 2 (Ω) = e norma induzida u 2 L 2 (Ω) = Ω Ω u(x)v(x)dx u(x) 2 dx. Teorema (Desigualdade de Hölder) Sejam f L p (Ω) e g L q (Ω) com p e q satisfazendo 1 p, q e 1 p + 1 q = 1. Então fg L1 (Ω) e Demonstração. Ver [8]. Ω f(x)g(x) dx f L p (Ω) g L q (Ω). Lema Seja Ω um subconjunto aberto do R n. (i) (ii) Se 1 < p <, então L p (Ω) é um espaço de Banach reflexivo. Entretanto, L 1 (Ω) e L (Ω) são espaços de Banach não reflexivos. Se 1 p <, então L p (Ω) é separável. Entretanto, L (Ω) não é separável. 13

14 Demonstração. Ver [8]. Seja α = (α 1, α 2,..., α n ) N n, x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, α = n i=1 α i. Denotamos por D α o operador derivação de ordem α definido por D α = α x α 1 1 x α x αn n. Quando α = (,..., ), definimos D α u = u. Com estas notações definimos o espaço de Sobolev W m,p (Ω) como o espaço de todas as funções reais u L p (Ω) tais que a derivada D α u L p (Ω) para todo α m, isto é, W m,p (Ω) = {u L p (Ω) ; D α u L p (Ω), α m}. A derivada é considerada no sentido das distribuições definidas sobre o espaço C (Ω). Definimos, em W m,p (Ω), a norma u p W m,p (Ω) = D α u(x) p dx α m Ω com a qual W m,p (Ω) é um espaço de Banach. O espaço W m,p (Ω) é chamado espaço de Sobolev de ordem m. Teorema W m,p (Ω) é um espaço de Banach separável se 1 p < +, e reflexivo e uniformemente convexo se 1 < p < +. é, Definimos o espaço de Banach W m,p (Ω) como o fecho do espaço C em W m,p (Ω), isto W m,p (Ω) = C (Ω) W m,p (Ω). Quando p = 2, W m,2 (Ω) é denotado por H m (Ω) e este espaço é um espaço de Hilbert com produto interno definido por (u, v) H m (Ω) = D α u(x)d α v(x)dx α m Ω e norma dada por u 2 H m (Ω) = D α u(x) 2 dx. α m Ω 14

15 No caso particular em que m = 1, tem-se o espaço H 1 (Ω) definido por H 1 (Ω) := { u L 2 (Ω) ; u x i L 2 (Ω) ; i = 1, 2,...n } também é possível identificar via teorema do traço, os espaços Ver [8]. H 1 (Ω) := { u H 1 (Ω) ; u = em Ω }. Em H 1 (Ω) temos o seguinte produto interno: ((u, v)) H 1 (Ω) = u(x)v(x)dx + e a norma induzida u 2 H 1 (Ω) = Ω Ω u(x) 2 dx + Ω Ω u(x) v(x)dx u(x) 2 dx. Teorema (Imersões de Sobolev) Seja Ω R n um aberto limitado com fronteira Ω de classe C m. (i) Se mp < n, então a seguinte inclusão é contínua W m,p (Ω) L q (Ω), onde 1 q = 1 p m n. Além disso, a inclusão é compacta para qualquer q, com 1 q < q. (ii) Se mp = n, então a seguinte inclusão é contínua e compacta W m,p (Ω) L q (Ω), para todo 1 q <. Além disso, se p = 1 e m = n, então vale a mesma relação acima para q =. (iii) Se k + 1 > m n p > k, k N, então escrevendo m n p temos que a seguinte inclusão é contínua = k + α, com < α < 1, W m,p (Ω) C k,α (Ω), onde C k,α (Ω) representa o espaço das funções em C k (Ω) cujas derivadas de ordem menor ou igual a k são α Hölder contínuas, isto é, D γ u(x) D γ u(y) L(u) x y α ; x, y Ω e γ N n, γ k. Além disso, se n = m k 1, α = 1 e p = 1, então a inclusão vale também para α = 1, e a inclusão W m,p (Ω) C k,β (Ω), é compacta para todo β < α. 15

16 Demonstração. Ver [1]. Teorema (Desigualdade de Poincaré) Seja Ω um aberto limitado do R n. Então existe uma constante positiva c p que depende univocamente de Ω e n tal que u L p (Ω) c p u L p (Ω), u W 1,p (Ω) (1.1) onde c p é a constante de Poincaré. Seja Ω R n um aberto limitado com fronteira de classe C 1. Então existe uma constante positiva c p que depende univocamente de Ω e n tal que ) u L 2 (Ω) c p ( u L 2 (Ω) + u dx, u H 1 (Ω). (1.2) (1.1) e (1.2) são conhecidas como desigualdade de Poincaré. Ω Demonstração. Ver [1], [8]. Observação Se u = em Γ Ω uma parte aberta de Ω, então a desigualdade de Poincaré também é válida. Em particular, ( ) L p (Ω) é uma norma em W 1,p (Ω), equivalente à norma W 1,p (Ω); em H 1 (Ω) a expressão ( ) L 2 (Ω) é uma norma equivalente à norma H 1 (Ω). No Capítulo 5 usamos um tipo de desigualdade de Poincaré, que enunciamos a continuação: Lema Seja (a, b) R um intervalo aberto limitado. Então existe uma constante positiva c tal que u L 2 (a,b) c u x L 2 (a,b), u H 1 (a, b), u(a) =. (1.3) 1.3 Transformada de Fourier A transformada de Fourier fornece um útil instrumento no estudo das equações diferenciais parciais. Definição (Espaço de Schwartz S) Ou espaço das funções rapidamente decrescentes, é o subespaço vetorial formado pelas funções ϕ C (R n ) tais que: 16

17 para todo k N e α N n. lim x x k D α ϕ(x) = Introduzimos em S(R n ) uma topologia localmente convexa, considerando a familia enumerável de seminormas {p m,k ( )} definida por p m,k (ϕ) = sup α m sup (1 + x 2 ) k D α ϕ(x) (1.4) x R n Definimos a seguinte noção de convergência: uma sucessão {ϕ ν } de funções de S(R n ) converge para zero, quando para todo k, m N a sucessão {p m,k (ϕ ν )} converge para zero. A sucessão {ϕ ν } converge para ϕ em S(R n ) se {p m,k (ϕ ν ϕ)} converge para zero para todo k, m N. As formas lineares definidas em S(R n ), contínuas no sentido da convergência definida em S(R n ), são denominadas Distribuições temperadas. O espaço vetorial de todas as Distribuições temperadas com a convergência pontual de sucessões será representado por S (R n ). Assim lim T ν = T em S (R n ) se lim T ν, ϕ = T, ϕ, ϕ S(R n ). ν ν Qualquer função L p (R n ), 1 p + define uma distribuição temperada. Além disso, L p (R n ) S é uma inclusão contínua. Para ϕ S a transformada de Fourier ϕ é definida por Teorema Seja ϕ S. Então ( ) Dα x ϕ (ξ) = (iξ) α ϕ(ξ), α N n lim ϕ(ξ) =. x ϕ(ξ) = 1 n 2π R n e ix ξ ϕ(x)dx O Teorema anterior diagonaliza o operador diferencial D α x agindo em S no operador de multiplicação por (iξ) α no espaço { ϕ; ϕ S}. Isso nos permite transformar equações 17

18 diferenciais ordinárias em equações algébricas e nos permitirá mais tarde, reduzir EDP s a equações diferenciais ordinárias. Teorema Seja ϕ S. Então ϕ S e a aplicação F : S S ϕ ϕ é um isomorfismo. O seguinte Teorema é uma extensão (por continuidade) da transformada de Fourier para o espaço L 2 (R n ) Teorema (Plancherel) Existe uma única bijeção isométrica F : L 2 (R n ) L 2 (R n ) tal que F(f) = f, para todo f S. 1.4 Desigualdades e resultados importantes Lema (Desigualdade de Young) Sejam 1 < p, q < + com 1 p + 1 q = 1. Então ab ap p + bq q, a, b Lema (Desigualdade de Young com ɛ) Sejam 1 < p, q < + com 1 p + 1 q = 1 e ɛ >. Então onde C ɛ = (ɛp) q p q 1. ab ɛa p + C ɛ b q, a, b No caso particular em que p = q = 2, a desigualdade de Young com ɛ se resume em ab ɛa ɛ b2, a, b, esta desigualdade será utilizada em todos os capítulos seguintes da tese. O próximo resultado também é de fundamental importância no análise dos seguintes capítulos. Definição Seja H um espaço normado com norma. A aplicação denotada por a(, ) : H H C é chamada 18

19 (i) Sesquilinear se, para todo α 1, α 2, β 1, β 2 C e para todo u, v, w H, se verifica a(α 1 u + α 2 v, w) = α 1 a(u, w) + α 2 a(v, w) e a(u, β 1 v + β 2 w) = β 1 a(u, v) + β 2 a(u, w). (ii) Contínua se existe uma constante c tal que a(u, v) c u v, para todo u, v H. (iii) Positiva ou coerciva se existe uma constante α > tal que a(v, v) α v 2, para todo v H. Observação Se a(, ) : H H R, então o conceito de sesquilinearidade é equivalente a bilinearidade. Além disso, dizemos que a aplicação denotada por ϕ( ) : H C é Anti-linear, se ϕ(αu) = αϕ(u), para todo α C e para todo u H. Lema (Lax-Milgran) Seja a(, ) uma forma sesquilinear, contínua e positiva. Então, para toda aplicação anti-linear ϕ : H C, existe uma única u H tal que a(u, v) = ϕ, v, v H Demonstração. Ver [38]. 19

20 1.5 Teoria de Semigrupos e algumas definições De modo geral, um sistema dinâmico é uma família {T (t)} t de mapeamentos sobre um espaço de fase H satisfazendo T (t + s) = T (t)t (s) t, s, T () = I. Aqui H é o conjunto de todos os estados de um sistema, t R + representa o tempo e T (t) representa o mapeamento que descreve a mudança de um estado u H para o estado T (t)u no tempo t. No contexto linear o espaço de fase H é um espaço vetorial e cada T (t) é um operador linear em H, logo {T (t)} t é chamado um semigrupo de operadores. A situação em que tais semigrupos de operadores aparecem são os chamados problemas de Cauchy abstrato, du (t) = Au(t) t >, dt u() = u, onde A é um operador linear em um espaço de Banach H. Em geral a relação entre T (t) e A é dada pelas fórmulas T (t) = e At A = d dt T (t) t=. Definição (Semigrupo fortemente contínuo) Uma família parametrizada T (t) ( t < ) de operadores lineares limitados num espaço de Banach H, é chamado semigrupo fortemente contínuo se (i) T () = I, (I é o operador identidade em H), (ii) T (s + t) = T (s)t (t) para todo t, s (propriedade de semigrupos), (iii) Para cada u H, t T (t)u C([, + [; H). Chamaremos de semigrupo de classe C ou simplesmente semigrupo C a um semigrupo fortemente contínuo. Algumas vezes denotaremos T (t) por e At. 2

21 Definição Um semigrupo C, T (t), de operadores lineares limitados em H é dito semigrupo C de contrações se T (t) L(H) 1 para todo t. Conhecido o semigrupo C, T (t), definimos Definição Diz-se que A é o gerador infinitesimal de um semigrupo C, T (t), se T (t)x x Ax = lim = d+ T (t)x para todo x D(A), t + t dt t= em que é o domínio de A. D(A) = { x H : T (t)x x lim t + t existe } Definição Um operador linear A definido em um espaço de Hilbert H, é dito dissipativo se, para todo x D(A), onde (.,.) H denota o produto interno de H. Re(Ax, x) H, (1.5) Apresentamos a seguir as condições necessárias e suficientes para que um dado operador A seja gerador infinitesimal de algum semigrupo C. Isto é, o Teorema de Hille-Yosida. Teorema (Hille-Yosida) Um operador linear (não limitado) A é o gerador infinitesimal de um semigrupo C de contrações T (t), t se, e somente se, (i) A é um operador fechado e D(A) H = H. (ii) O conjunto resolvente ρ(a) de A contém R + e, para todo λ >, R(λ; A) L(H) 1 λ. Demonstração. Ver [32]. Corolário Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C, T (t), de contrações. Então o conjunto resolvente de A contém o semiplano positivo, isto é, C + := { λ : Reλ > } ρ(a). Além disso, para todo Reλ >, temos que (λi A) 1 L(H) 1 Reλ. 21

22 Demonstração. Ver [32]. Teorema Um operador linear A é o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C, T (t), satisfazendo T (t) L(H) Me ωt se, e somente se, (i) A é fechado e D(A) = H. (ii) O conjunto resolvente ρ(a) de A contém o semiplano Reλ > ω e Demonstração. Ver [32]. R(λ; A) n L(H) M, Reλ > ω, n = 1, 2,... (Reλ ω) n Teorema (Lumer-Phillips) Seja A um operador linear com domínio denso D(A) em H. (i) Se A é dissipativo e existe um λ > tal que a imagem de λ I A é todo o espaço H, isto é, R(λ I A) = H, então A é o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C de contrações em H. (ii) Se A é gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C de contrações em H, então R(λI A) = H para todo λ > e A é dissipativo. Demonstração. Ver [32]. Um gerador infinitesimal de um semigrupo C, é dissipativo se, e somente se, o semigrupo e At é de contrações. Como corolário do teorema acima, obtemos o seguinte resultado que será freqüentemente usado neste trabalho para mostrar a existência e unicidade de soluções. Corolário Seja A um operador linear (não limitado) densamente definido em H espaço de Hilbert. Se A é dissipativo e ϱ(a), então A é o gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações T (t), t em H. Demonstração. Ver [32]. Teorema Seja T (t) um Semigrupo C em um espaço de Banach H e seja A seu gerador. Então a aplicação u := T (t)x é a única solução para o problema de Cauchy 22

23 abstrato Satisfazendo du = Au dt (1.6) u() = x. u C([, ); H), x H (1.7) u C([, ); D(A)) C 1 ([, ); H), x D(A). (1.8) Teorema Seja T (t) um semigrupo de classe C. Então existem constantes ω e M 1 tais que T (t) L(H) Me ωt para todo t. Demonstração. Ver [32]. Definição Dizemos que um semigrupo C, T (t), é exponencialmente estável se existe uma constante positiva ω e M 1 tal que T (t) L(H) Me ωt, t. (1.9) Definição Seja e At um semigrupo de classe C gerado por A. Diz-se que ω (A) é o tipo do semigrupo gerado por A se ω (A) = lim t t 1 ln e At L(H) = inf t> t 1 ln e At L(H). Observação É importante notar que ω (A) é o ínfimo das constantes ω R que satisfazem T (t) L(H) M ω e ωt para todo t <. Portanto proporciona informação sobre o crescimento de e ta. Se ω (A) <, então o semigrupo e At é exponencialmente estável com uma taxa de decaimento determinada por ω (A). De fato, aplicando a definição para < ɛ < ω (A), obtemos ω (A) + ɛ > ln eat L(H) t e (ω (A)+ɛ)t e At L(H), t > N ɛ, logo, usando a continuidade do operador e At sobre o intervalo compacto [, N ɛ ], concluímos que existe uma constante M ɛ > tal que e At L(H) M ɛ e (ω(a)+ɛ)t, t 23

24 escolhendo µ = ω (A) + ɛ <, da definição , obtemos a estabilidade exponencial do semigrupo e At. Definição Seja A um operador linear em H. Definimos, e denotamos por ω σ, a cota superior do espectro de A, isto é, ω σ (A) = sup { Re(λ) : λ σ(a) }. Observação Se A é um operador não limitado com resolvente compacto, isto é, R(λ ; A) K(H) para algum λ, então σ(a) está composto só por autovalores (com multiplicidade finita)de A (σ(a) = σ p (A)). Definição Seja T (t) um semigrupo de classe C gerado pelo operador A. Então dizemos que T (t) satisfaz o princípio de estabilidade linear, se ω (A) = ω σ (A). Em geral, sabemos que a desigualdade ω (A) ω σ (A) se verifica para todo gerador A (ver [12],[28], [33] ), mas tal desigualdade pode ser estrita. No entanto, existem várias classes de geradores A para os quais e At satisfaz o principio da estabilidade linear. Por exemplo, se (i) A é limitado, (ii) H é um espaço de Hilbert e A é um operador normal, isto é, A e seu operador adjunto comutam, (iii) e At é contínuo em L(H) para todo t > t. (e At é uniformemente continuo) Em (iii) estão incluídos os semigrupos que possuem extensões analíticas (Semigrupos analíticos). O próximo resultado nos dá uma condição necessária e suficiente para determinar quando a taxa de crescimento do semigrupo (ω ) é determinada pela cota superior do espectro (ω σ ). Corolário Seja H espaço de Hilbert e seja e At um semigrupo de classe C em H gerado por A. Então e At satisfaz o princípio de estabilidade linear se, e somente se, ɛ > : M ɛ 1 tal que (λi A) 1 L(H) M ɛ Re(λ) ω σ (A) + ɛ 24

25 Demonstração. Ver [33]. Como conseqüência do resultados acima, Renardy [35] estabeleceu condições suficientes para que o semigrupo, T (t), gerado pela perturbação contínua de um operador normal, A, satisfaça o principio de estabilidade linear. Este resultado será aplicado no estudo do sistema de mistura de sólidos. Enunciamos a seguir o resultado de Renardy. Teorema Sejam H um espaço de Hilbert e A := A + B gerador infinitesimal de um semigrupo C em H. Supomos que A é um operador normal e B é limitado. Se existem M > e n N satisfazendo as seguintes propriedades: (a) Se λ σ(a ) e λ > M 1, então λ é um autovalor isolado com multiplicidade finita. (b) Se z > M, então o número de autovalores de A no disco D(z, 1), com suas multiplicidades, não excede n. Então e At satisfaz o princípio de estabilidade linear, isto é, ω (A) = ω σ (A). Demonstração. Ver [35]. Observação Os corolarios (1.5.18) e (1.5.19), nos dizem que basta determinar a cota superior do espectro para encontrar a melhor taxa de decaimento. Quando esta propriedade é válida, diz-se também que o semigrupo possui a propriedade do crescimento determinada pelo espectro (PCDE). 25

26 1.6 Semigrupos C gerados por operadores dissipativos não limitados Para continuar com o estudo da estabilidade de sistemas dissipativos consideramos a equação de evolução linear (1.6) com dado inicial u() = u no espaço de Hilbert H. Suponha que A gera o semigrupo C de contrações T (t). Agora apresentamos definições relevantes à estabilidade de tais sistemas. Definição Dizemos que o semigrupo C, T (t), é fortemente estável se para cada u H. lim T (t)u H = (1.1) t Definição Dizemos que o sistema (1.6) é uniforme exponencialmente estável se o semigrupo T (t) for um semigrupo exponencialmente estável. Observamos que Exponencialmente estável = Fortemente estável Existem muitos semigrupos C que são fortemente estáveis mas não de forma uniforme exponencial. Nesse caso, outros tipos de decaimento foram introduzidas. Definição Dizemos que a solução de (1.6) decai a uma taxa de f(t), se f(t) é uma função positiva com tal que para todos os u D(A). lim f(t) = t u(t) H f(t) u D(A), t >, (1.11) Observação A norma sobre o lado direito de (1.11) não pode ser a norma de H. Caso contrário, temos decaimento uniforme com taxa f(t) e por propriedades de semigrupo, (1.11) implica que o sistema (1.6) seja uniforme exponencialmente estável. decaimento uniforme para zero = uniforme exponencialmente estável 26

27 De fato, por hipótese temos que lim T (t) L(H) = = t R + ; T (t ) L(H) < 1. t Denotemos por α a constante definida como α = T (t ) L(H) < 1. Pelo algoritmo da divisão, todo número t pode ser escrito na forma t = mt + r onde m N e r t. Como T (t) é um operador contínuo, encontramos que existe M >, tal que T (t) L(H) M, t [, t ]. Seja t R +, usando as propriedades de semigrupos, obtemos T (t) L(H) = T (t ) m T (r) L(H). De onde temos T (t) L(H) Mα m. Lembrando a definição de m, encontramos T (t) L(H) M 1 α γt, onde M 1 = Mα r t e γ = 1 t. Lembremos também que α γ = e γln(α) = e β, β > pois α < 1, assim, T (t) L(H) M 1 e βt. Isto é, T (t) é exponencialmente estável. Teorema (Huang) Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo C de operadores T (t). Se ir ϱ(a), então T (t) é Fortemente estável. Demonstração. Ver [13]. Tais definições e resultados são importantes para o estudo do comportamento assintótico das soluções do problema (1.6) e serão aplicados no estudo da estabilidade de 27

28 sistemas relacionados à mistura de sólidos e o problema de transmissão viscoelastica com tip load (Sistema híbrido). Em particular se f(t) é a inversa de un polinômio em t, a Definição é conhecida na literatura como Decaimento Polinomial (ou semigrupo Polinomialmente estável). O seguinte teorema é uma ferramenta eficiente para a determinação da taxa polinomial do sistema (1.6). Teorema ( Borichev - Tomilov ) Seja e At um semigrupo C de contrações em H Hilbert tal que ir ϱ(a). Então para todo α > fixado: (iλi A) 1 L(H) = O( λ α ), λ e At A 1 L(H) = O(t 1/α ), t. Demonstração. Ver [9]. O decaimento exponencial é o decaimento mais rápido de todos os apresentados até agora, a continuação segue uma caracterização dos semigrupos exponencialmente estáveis em espaços de Hilbert. Teorema ( Prüss ) Seja e At um semigrupo de classe C de contrações num espaço de Hilbert. Então e At é exponencialmente estável se, e somente se, (i) ir ρ(a). são verdadeiras. (ii) lim sup (iβi A) 1 L(H) <. β + Demonstração. Ver [22] ou [33]. 28

29 1.7 Modelos matemáticos para mistura de sólidos Os sistemas de mistura de sólidos é um assunto que tem recebido muita atenção nos últimos anos. Os primeiros trabalhos sobre este tema foram as contribuições de Truesdell e Toupin (196), Green e Naghdi (1965,1968) ou Bowen e Wiese (1969). Apresentações dessas teorias podem ser encontradas nos artigos de Atkin e Craine [2] ou Iesan D. [7]. Nos últimos anos, um crescente interesse tem sido dirigido para o estudo das propriedades qualitativas das soluções de este tipo de modelos. Em particular, podemos encontrar vários resultados sobre a existência, unicidade, dependência contínua e estabilidade assintótica, ver [8],[9],[2] ou [21]. Queremos enfatizar o estudo do comportamento das soluções para o caso de uma viga unidimensional composta por uma mistura de n sólidos elástica e queremos saber que tipo de dissipação podemos dotar ao sistema para obter estabilidade exponencial das soluções. No contexto mecânico o decaimento exponencial significa que depois de um certo período de tempo os deslocamentos mecânicos são muito pequenos e podem ser desprezados; em caso contrário os deslocamentos podem ser apreciados no sistema após algum tempo, portanto, a natureza das soluções determina o comportamento temporal do sistema e é importante ser capaz de classificá-los. Consideremos uma viga configurada no intervalo Ω = ], l[, conformada pela mistura de n sólidos. Os deslocamentos verticais das partículas no tempo t serão denotados por (u 1, u 2,..., u n ) = U, onde u j = u j (x, t), x Ω e seja θ = θ(x, t) a diferença de temperatura em cada ponto x Ω e no tempo t. Denotamos por ρ j a densidade de massa de cada material constituinte no tempo t =, seja σ = (σ j ) a tensão do material associado com os constituintes, seja Ξ a densidade de entropia e por Q denotamos o vetor fluxo do calor. Na presença de forças externas e aplicando as leis de Newton, a equação do movimento é dada pela seguinte expresão RU tt σ x = F (1.12) onde R = diag(ρ 1, ρ 2,..., ρ n ). Pela lei de Hooke a tensão do material (σ e ) é dado por σ e = AU x sendo A = (a ij ) a matriz de coeficientes de elasticidade do material e por condições de simetria temos que A = A. 29

30 Definimos a continuação diferentes tipos de dissipação para o material Ω Dissipação friccional. Considera-se uma força externa F, F = BU t, σ = σ e e substituindo em (1.12) obtemos o modelo matemático para a mistura de n sólidos com dissipação friccional RU tt = AU xx BU t (1.13) Dissipação Termoelástica A tensão do material é dada pela expresão considerando a equação de energia σ = σ e θβ, Θ ( n j= ρ j ) Ξ t = Q x, leis constitutivas Ξ = β U x + ςθ Q = Kθ x, onde β = (β 1, β 2,..., β n ) é um vetor coluna não nulo de R n. Assim, obtemos o sistema acoplado para a mistura de n sólidos termoelásticos ( n 1. onde κ = KΘ 1 j=1 j) ρ RU tt = AU xx θ x β (1.14) ςθ t = κθ xx β U xt Assumimos que as constantes ς e κ são positivas, que as matrizes R, A = (a ij ) são definida positivas e a matriz B semidefinida positiva. Estudaremos os problemas (1.13)-(1.14) com condições iniciais e condições de fronteira U(x, ) = U (x), U t (x, ) = U 1 (x), x Ω (1.15) θ(x, ) = θ (x), x Ω (1.16) U(, t) = U(l, t) = (1.17) θ(, t) = θ(l, t) =. (1.18) 3

31 Capítulo 2 Mistura de sólidos com dissipação friccional Estudaremos o sistema (1.13) que modela uma mistura de n sólidos unidimensional configurada no intervalo (, l) com dissipação friccional. Neste capítulo assumimos que: R, A e B para caracterizar as propriedades asimptóticas das soluções. 2.1 Existência e Unicidade Nesta seção mostraremos a boa colocação do problema RU tt = AU xx BU t (2.1) com condições iniciais U(x, ) = U o (x), U t (x, ) = U 1 (x), x (, l) (2.2) e condições de fronteira U(, t) = U(l, t) =. (2.3) Consideremos o espaço vetorial H = [H 1 (, l)] n [L 2 (, l)] n 31

32 que, munido com o produto interno ((Ũ, ) Ṽ ), (U, V ) H = U xaũxdx + é um espaço de Hilbert com a seguinte norma induzida (U, V ) 2 H = U xau x dx + V RṼ dx V RV dx, onde U = (u 1,, u n ) e V = (v 1,, v n ). Desde que R, A obtemos (U, V ) 2 H n i=1 u i x 2 + v i 2 dx, a notação a b significa que existem constantes positivas c e c 1 satisfazendo c b a c 1 b, logo tal norma induzida é equivalente à norma usual de H. Introduzimos o operador A, dado por A U V = + V R 1 AU xx R 1 BV }{{}}{{} :=A U :=BU (2.4) com domínio D(A) = [H 1 (, l) H 2 (, l)] n [H 1 (, l)] n. Usando as notações acima o problema de valor inicial e fronteira (2.1), (2.2), (2.3) pode ser reescrito como d dt U = AU, U() = U onde U(t) = (U(t), V (t)) e U = (U, U 1 ). Teorema O operador A é gerador infinitesimal de um semigrupo C de contrações, denotado por S A (t) = e At. Demonstração. Usando as imersões dos espaços de Sobolev, temos que D(A) é um subespaço denso de H. Como B o operador A é dissipativo, isto é (AU, U) H = V R 1 [AU xx BV ], U V H 32

33 = UxAV x dx + V AU xx V BV dx = U xav x dx Vx AU x dx V AV dx = U xav x (U xav x ) dx Como Re (U xav x (U xav x ) ) =, temos que V AV dx. Re (AU, U) H = V BV dx. (2.5) Agora provaremos que ρ(a) e a conclusão segue usando o Lema Com efeito, dado F = (F, G) H, mostraremos que existe um único U = (U, V ) em D(A) tal que AU = F. Em termos das componentes temos V = F in [H 1 (, l)] n (2.6) AU xx BV = RG in [L 2 (, l)] n (2.7) logo o problema acima se reduz a encontrar U [H 2 H 1 ] n tal que AU xx = BF + RG. Consideremos a forma sesquilinear B positiva e continua definida por B(U, Φ) = Φ xau x dx ; (U, Φ) [H 1 (, l)] n [H 1 (, l)] n Definimos a aplicação anti-linear J : [H 1 (, l)] n C, que J(Φ) = Φ BF dx Φ RGdx Aplicando o Lema de Lax-Milgran obtemos a existência de U em [H 1 (, l)] n tal B(U, Φ) = J(Φ) Φ H 1. 33

34 Então Φ xau x dx = Φ [BF + RG]dx. Consideremos a base canônica de R n, {e j } j=1,2,...,n, logo definimos Φ = ϕe j onde ϕ D(, l) para obter ou ϕ x e j AU x dx = ϕe j [BF + RG]dx ϕ, e j AU xx D D = ϕe j [BF + RG]dx. Onde e j AU xx representa a j ésima linha de AU xx e e j [BF + RG] representa a j ésima linha de [BF + RG]. Então AU xx [L 2 (, l)] n e AU xx = BF + RG. Como A temos U [H 2 (, l) H 1 (, l)] n e as equações (2.6) e (2.7) são verificadas. Por outro lado, multiplicando as equações (2.6) e (2.7) por V e U respectivamente, integrando em (, l) e somando obtemos U 2 H V V + U xau x dx = V F U BV U RG e como V F + U BV + U RG dx C U H F H concluímos que A 1 F H = U H C F H, para uma constante positiva C. Por tanto A 1 L(H) ou equivalentemente ϱ(a). 2.2 Estabilidade Exponencial Primeiro vejamos que S A (t) satisfaz o princípio da estabilidade linear. Lema Seja S A (t) = e At dado pelo Teorema (2.1.1), então o semigrupo verifica ω σ (A) = ω (A). 34

35 Demonstração. De (2.4) observamos que A pode ser reescrito como A = A + B. Onde B L(H). Para obter o resultado verificamos a hipótese do Teorema de Renardy. Da demonstração do Teorema temos que A 1 L(H), agora mostraremos que A 1 K(H). Como A é fechado e densamente definido com ϱ(a), vemos que A 1 K(H) se, e somente se a injeção canônica é compacta. Υ : (D(A), D(A) ) (H, H ) Suponha que {U ν } ν N é uma sequência limitada em D(A), então AU ν 2 H C e em termos das componentes implica que V νx 2 AU νxx BV ν 2 = U νxx 2 V νxav νx dx C, AU νxx BV ν 2 dx C, AU νxx 2 dx 2 AU νxx BV ν 2 + BV ν 2 dx C, como as imersões H 1 (, l) H 2 (, l) H 1 (, l) L 2 (, l) são densas e compactas, existe uma subsequência que ainda denotaremos por U ν = (U ν, V ν ) que converge em H. Portanto Υ é compacta e A 1 possui resolvente compacto (σ p (A) = σ(a)). Para verificar as hipóteses de Renardy, denotamos por λ um autovalor de A e por U D(A) = D(A ) o correspondente autovetor (U ) A U λu =. (2.8) Em termos das componentes obtemos λu V = λrv AU xx = 35

36 eliminamos V para obter λ 2 RU AU xx =. Por outro lado todo autovetor pode ser escrito como U = Y sen (µx), onde Y C n é um vetor coluna, µ = πm e m N. Usando estas notações em (2.8) obtemos l [λ 2 R + µ 2 A]Y = e q µ (λ) = det[λ 2 R + µ 2 A] = então σ(a ) = µ {λ C ; q µ (λ) = } (2.9) Como R e A são positiva definidas, aplicando o Teorema 1.1.7, obtemos que R 1 A possui autovalores positivos. De (2.9) obtemos σ(a ) = { ± mπ } τ i ; τ σ(r 1 A). l m N Por tanto σ(a ) ir. Por outro lado, para todo U = (U, V ) D(A), temos que iv (ia U, U) H =, U ir 1 AU xx V H = i UxAV x dx + i V AU xx dx = i = i = i = = V V U xav x dx i x AU x dx + i x AU x dx i V x AU x dx U xav x dx U xxav dx (iv ) xau x dx + (ir 1 AU xx ) RV dx U iv, V ir 1 AU xx = (U, ia U) H H 36

37 então ia é um operador simêtrico em H. Além disso, como ϱ(ia ) e ϱ(ia ) é um conjunto aberto, existe λ > tal que (±iλi ia ) 1 L(H). Em particular, temos Im(iA ± iλ) = H. (2.1) Um resultado do analise Funcional diz que todo operador simétrico satisfazendo (2.1) é auto-adjunto (ver por exemplo [2], Capitulo IV), logo ia é um operador auto-adjunto, portanto A é um operador normal. Logo A = A + B satisfaz as condições do Teorema Portanto obtemos o resultado. Observação Sem perda de generalidade podemos assumir que B é uma matriz diagonal. Pois do contrario fazemos a substituição S 1 U = Ũ, onde S é uma matriz não singular dada pelo Teorema 1.1.9, que diagonaliza R e B simultaneamente. Denotamos por Rank(B) = J o posto da matriz B, isto é B = diag (b 1,, b J,,, ) Para uma matriz A = (a ij ) n n estabelecemos a seguinte notação A J = (a ij ) J J logo definimos A S e A k tais que A = A J A S A S A k Seja U um vetor coluna de ordem n. Definimos U J e U k tais que U = (u 1,, u }{{ J, u } J+1,, u }{{ n } :=U J :=U k usando as notações acima estabelecemos a equação resolvente. Seja U = (U, V ) D(A) a solução de onde F = (F, G) H e λ R. Então, iλu = V + F e ) iλu AU = F (2.11) 37

38 iλρ 1 v 1 = a 11 u 1 xx a 1J u J xx + a 1(J+1) u J+1 xx a 1n u n xx b 1 v 1 + ρ 1 g 1 iλρ 2 v 2 = a 21 u 1 xx a 2J u J xx + a 2(J+1) u J+1 xx a 2n u n xx b 2 v 2 + ρ 2 g 2. iλρ J v J = a J1 u 1 xx a JJ u J xx + a J(J+1) u J+1 xx a Jn u n xx b J v J + ρ J g J iλρ J+1 v J+1 = a (J+1)1 u 1 xx a (J+1)J u J xx + a (J+1)(J+1) u J+1 xx a (J+1)n u n xx + ρ J+1 g J+1. iλρ n v n = a n1 u 1 xx a nj u J xx + a n(j+1) u J+1 xx a nn u n xx + ρ n g n usando a notação estabelecida temos n = J + k, a 11 a 12 a 1J a 1(J+1) a 1(J+2) a 1n a A J = 21 a 22 a 2J a, A S = 2(J+1) a 2(J+2) a 2n a J1 a J2 a JJ a J(J+1) a J(J+2) a Jn J J a (J+1)(J+1) a (J+1)(J+2) a (J+1)n a A k = (J+2)(J+1) a (J+2)(J+2) a (J+2)n a n(j+1) a n(j+2) a nn R J = diag(ρ 1, ρ 2,..., ρ J ), R k = diag(ρ J+1, ρ J+2,..., ρ n ) e B J = diag(b 1, b 2,..., b J ). Logo iλu = V + F (2.12) iλ R JV J = A J A S U J B J V J + RG (2.13) R k V k U k V k A S A k xx k k, J k, definimos as Matrizes M = R 1 k A 1 k e N = R 1 J A S, N = a 1(J+1) ρ 1 a 2(J+1) ρ 2 a 1(J+2) ρ 1 a 2(J+2) ρ 2 a 1n ρ 1 a 2n ρ 2 a J(J+1) ρ J a J(J+2) ρ J a Jn ρ J J k 38

39 O seguinte Lema caracteriza a condição necessária para a estabilidade do semigrupo gerado por A. Lema ir σ(a) se, e somente se dim Span { N j, N j M, N j M 2,, N j M k 1 ; j = 1, 2,, J } < k (2.14) onde N j é a j-ésima linha de N, N = R 1 J A S, M = R 1 k A k e k = n J. Demonstração. Suponhamos que existe U λ no domínio de A satisfazendo (2.11) com F =. De (2.5) obtemos que V J 2 dx V BV dx =. (2.15) e substituindo em (2.12) obtemos U J =. Logo (2.12)-(2.13) se reduz à seguinte equação λ 2 U k = MU k xx (2.16) N U k = (2.17) Das equações acima e as condições de fronteira tipo Dirichlet obtemos N MU k xx = N MU k =. multiplicando por N M na equação (2.16) concluímos que N M 2 U k =. Logo N M m U k = para todo m {, 1,, k}. Se dim Span { N j, N j M, N j M 2,, N j M k 1 ; j = 1, 2,, J } k então concluímos que U k =, isto contradiz nossa hipótese, portanto (2.14) é verdadeiro. Reciprocamente, suponha que (2.14) é verdadeiro. Então, existe um vetor não nulo Y C k tal que N M m Y =, m =, 1, 2,, k 1. (2.18) Agora, seja p C[z] o polinômio de menor grau tal que p (M)Y =. (2.19) Observe que p não é um polinômio constante e detm, então 1 deg p deg p M k 39

40 onde p M é o polinômio minimal de M. Por outro lado, sejam τ C tal que p (τ) = e q C[z] tal que p (z) = (τ z)q(z) para todo z C. Desde que deg q < deg p obtemos Ỹ := q(m)y. Além disso, aplicando (2.18) e (2.19) obtemos τi M Ỹ = (2.2) N A hipótese A, R e o Teorema implica que σ(m) (, ), logo da equação acima concluímos que τ >. Para cada ν N definimos U J ν = V J ν = Uν k = Ỹsen ( νπx ) l Vν k = iλ ν Ỹ sen ( νπx ) l λ ν = νπ τ l Então U ν := (U ν, V ν ) D(A)\{} e de (2.2) obtemos iλ ν U ν AU ν =. Portanto iλ ν ir σ(a), logo obtemos o resultado. O resultado principal do trabalho é obter a estabilidade exponencial do semigrupo associado quando o eixo imaginário esta contido no conjunto resolvente. Primeiro vejamos as desigualdades que podem ser obtidas com os multiplicadores usuais. Multiplicando a equação (2.13) por U e aplicando integração por partes, obtemos UxAU x dx + iλ U BUdx = V RV dx + R, onde R satisfaz R C U H F H, para alguma constante positiva C. Considerando a parte real obtemos U xau x dx V RV dx + C U H F H. (2.21) 4

41 Por outro lado, multiplicando a equação (2.13) por V obtemos iλ V RV dx = iλ U xau x dx Tomando a parte imaginaria da identidade acima, obtemos V RV dx = V BV dx + R. U xau x dx + ImR λ. (2.22) Observação Se det B então V BV v v n 2 = V 2. Aplicando (2.5) e (2.21) obtemos U x 2 dx U xau x dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H, (2.23) devido à desigualdade acima concluímos que U H C ɛ F H para ɛ > suficientemente pequeno. Logo aplicando o Teorema obtemos a estabilidade exponencial de S A (t). A metodologia neste trabalho consiste em obter uma desigualdade do tipo (2.23). Os seguintes lemas são essenciais no caso B seja singular. Devido à desigualdade (2.5) temos V J 2 dx Lema Para cada ɛ > existe c ɛ > tal que V BV dx U H F H (2.24) V J 2 + U J x 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H. (2.25) Demonstração. De (2.11) temos que ir J λv J = A J Uxx J + A S Uxx k BV J + R J G J (2.26) ir k λv k = A S Uxx J + A k Uxx k + R k G k (2.27) Multiplicando (2.27) por A S A 1 k obtemos ia S A 1 k R kλv k = A S A 1 A S Uxx J + A S Uxx k + A S A 1 R kg k k k Subtraindo a equação acima com a equação (2.26) obtemos ir J λv J ia S A 1 k R kλv k = C J Uxx J B J V J A S A 1 k R kg k + R J G J (2.28) onde C J = A J A S A 1 k A S é uma matriz não singular, pois o posto da matriz A é igual ao posto da matriz obtida pela multiplicação da segunda linha de A por A S A 1 k 41

42 e logo somando-la à primeira linha. Isto é Rank A J A S A S A k = Rank A J A S A 1 k A S A S A k Logo o posto da matriz C J é J. Pois em caso contrario A resulta ser matriz singular, que é contrario à hipótese. Multiplicando a equação (2.28) por (U J ) C 1 J e aplicando (2.12) obtemos (V J ) C 1 J R JV J + (V J ) C 1 J A SA 1 k R kv k = (U J ) Uxx J (U J ) C 1 B JV J + R onde R satisfaz R C U H F H e integrando por partes obtemos U J x 2 dx C U H V J + C U H F H usando (2.24) e a desigualdade de Young obtemos logo obtemos o resultado. U J x 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H. J Lema Para todo ɛ > existe um número positivo c ɛ com a seguinte propriedade m < k. N M m V k 2 + N M m U k x 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H, (2.29) Demonstração. Da equação (2.26) obtemos iλv J = R 1 J A JUxx J + R 1 J A S }{{} :=N U k xx R 1 J B JV J + G J. Observe que N U k é um vetor coluna de C J, multiplicando a equação acima por N U k obtemos (iλn U k ) V J = (N U k ) (R 1 J A JU J ) xx +(N U k ) (N U k ) xx (N U k ) (R 1 B JV J )+(N U k ) G J logo, usando a integração por partes e a desigualdade de Poincare concluímos que N U k x 2 dx = (N V k ) V J (N U k ) x(r 1 J A JU J ) x dx (N U k ) (R 1 J B JV J ) dx + R C U H V J + C U J x N U k x + C V J N U k x + R 42 J

43 onde R satisfaz R C U H F H. Aplicando o Lema obtemos N U k x 2 dx C U H V J + C U J x 2 + C V J 2 + C U H F H Isto é, N U k x 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H. (2.3) Por outro lado, multiplicando a equação (2.27) por N R 1 k obtemos iλn V k = N R 1 k A S U J xx + N MU k xx + N G k (2.31) onde M = R 1 k A k. Multiplicando a equação acima por N U k temos (iλn U k ) N V k = (N U k ) (N R 1 k A S U J ) xx + (N U k ) (N MU k ) xx + (N U k ) (N G k ) N V k 2 dx = (N Ux k ) (N R 1 k A S Ux J ) + (N Ux k ) (N MUx k ) dx (N U k ) (N G k ) + (N F k ) (N V k ) dx C U J x N U k x + C U H N U k x + C U H F H ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H, Logo concluimos que N V k 2 + N U k x 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H. (2.32) Portanto o Lema é verdadeiro para m =. Vejamos que o Lema é verdadeiro para m = 1. De fato, multiplicando a equação (2.31) por N MU k obtemos (iλn MU k ) (N V k ) = (N MU k ) (N R 1 k A S U J ) xx + (N MU k ) (N MU k ) xx + (N MU k ) (N G k ) então 43

44 isto é, N MU k x 2 dx C U H N V k + C U J x 2 + +C U H F H Multiplicando a equação (2.27) por N MR 1 k N MU k x 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H. (2.33) obtemos iλn MV k = N MR 1 k A S U J xx + N M 2 U k xx + N MG k (2.34) logo, multiplicamos (2.34) por N MU k para obter (iλn MU k ) (N MV k ) = (N MU k ) (N MR 1 k A S U J ) xx + (N MU k ) (N M 2 U k ) xx + (N MU k ) (N MG k ), integrando por partes N MV k 2 dx = (N MUx k ) (N MR 1 k A S Ux J ) + (N MUx k ) (N M 2 Ux k ) dx e usando (2.33) concluimos que (N MU k ) (N MG k ) + (N MF k ) (N MV k ) dx N MV k 2 + N MU k x 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H. (2.35) Portanto o Lema é verdadeiro para m = 1. Agora seguiremos um processo indutivo, suponhamos que (2.29) é verdadeiro para as potências, 1,..., m 1 de M e m < k. Multiplicamos N M m 1 R 1 k à equação (2.27) para obter iλn M m 1 V k = N M m 1 R 1 k A S Uxx J + N M m Uxx k + N M m 1 G k e multiplicando por N M m U k temos (iλn M m U k ) (N M m 1 V k ) = (N M m U k ) (N M m 1 R 1 k A S U J ) xx + (N M m U k ) (N M m U k ) xx + (N M m U k ) (N M m 1 G k ) 44

45 integrando por partes e usando a desigualdade de Young obtemos N M m U k x 2 dx = + (N M m Ux k ) (N M m 1 R 1 k A S Ux J )dx (N M m V k ) (N M m 1 V k )dx + R C N M m U k x U J x + C U N M m 1 V k + R C ɛ U J x 2 + ɛ U 2 + C ɛ N M m 1 V k 2 + R, onde R satisfaz R C U H F H. Aplicando a hipôtese indutiva concluímos que N M m U k x 2 dx ɛ U 2 H + C ɛ F 2 H (2.36) Multiplicamos N M m R 1 k à equação (2.27) para obter iλn M m V k = N M m R 1 k A S Uxx J + N M m+1 Uxx k + N M m G k e multiplicando por N M m U k temos (N M m V k + N M m F k ) (N M m V k ) = (N M m U k ) (N M m R 1 k A S U J ) xx + (N M m U k ) (N M m+1 U k ) xx + (N M m U k ) (N M m G k ) integrando por partes e usando a desigualdade de Young obtemos N M m V k 2 dx = + (N M m Ux k ) (N M m R 1 k A S Ux J )dx (N M m U k x ) (N M m+1 U k x )dx + R C N M m U k x U J x + C U N M m U k x + R C U J x 2 + ɛ U 2 + C ɛ N M m U k x 2 + R, Aplicando a hipôtese indutiva e a equação (2.36) concluimos que N M m V k 2 + N M m U k x 2 dx ɛ U 2 H + C ɛ F 2 H, m < k. 45

46 Teorema S A (t) é exponencialmente estável se, e somente se ir ρ(a). Caso contrario o operador A possui infinitos autovalores imaginários. Demonstração. Do Lema ir ρ(a) se, e somente se dim Span { N j, N j M, N j M 2,, N j M k 1 ; j = 1, 2,, J } k Nesse caso, a seguinte matriz N N M N M 2. N M k 1 J(k) k tem posto k. Logo existem k linhas linearmente independentes as quais denotamos por L = {N j1 M m 1, N j2 M m 2,..., N jk M m k } agora definimos os vetores coluna W = (w 1, w 2,..., w k ) e Z = (z 1, z 2,..., z k ). w 1 = N j1 M m 1 U k x, w 2 = N j2 M m 2 U k x,..., w k = N jk M m k U k x. z 1 = N j1 M m 1 V k, z 2 = N j2 M m 2 V k,..., z k = N jk M m k V k. Do Lema obtemos W 2 + Z 2 dx ɛ U H + C ɛ F H pela independência linear de L podemos escrever U k x = M 1 W e V k = M 1 Z onde M é a matriz formada pelos vetores linha L. U k x 2 + V k 2 dx ɛ U 2 H + C ɛ F 2 H e aplicando o Lema concluímos U x 2 + V 2 dx ɛ U 2 H + C ɛ F 2 H. Então existe uma constante positiva C tal que U H C F H 46

47 logo aplicamos o Teorema para obter a estabilidade exponencial do Semigrupo. Em caso contrario, (2.14) é verdadeiro, pela demonstração do Lema 2.2.3, existe uma sequência de autovalores imaginários determinados por τ σ(m) (2.2). iλ ν = i νπ τ l, ν N assim, obtemos uma seqüencia infinita de autovalores imaginários do operador A. 2.3 Exemplo: Matrizes Observáveis Nesta seção veremos que existe uma familia de matrizes que satisfazem nossas hipóteses sobre estabilidade exponencial. Definição Um par de matrizes (M, N) R k k R J k são chamados observáveis se o posto da matriz O, definida como N NM O = NM 2. é k =número de colunas de O. NM k 1 (2.37) Jk k As definições e propriedades associadas com matrizes observáveis podem ser encontradas no Capítulo 12, D. Bernstein [7]. (Ver Lemas e Corolário ) Exemplo 1. Consideremos o seguinte sistema de equações 1 4 u1 tt = u 1 xx u 1 t u 2 t 1 9 u2 tt = u 2 xx u 1 t u 2 t (x, t) (, π) (, + ) com condições de contorno Logo as matrizes são: u i (, t) = = u i (π, t) ; i = 1, 2. 47

48 R = , A = , B = Podemos diagonalizar simultaneamente R e B usando a transformação S = isto é, SRS = , SAS = , SBS = Note que R = SRS, à = SAS e B = SBS. e o sistema transformado é da forma ũ 1 tt = 97 13ũ1 xx 3 13ũ2 xx 13ũ 1 t ũ 2 tt = 3 13ũ1 xx ũ2 xx onde S (ũ 1, ũ 2 ) = (u 1, u 2 ) Usando a notação estabelecida na seção anterior, temos J = k = 1, ÃJ à S = , R J = Rk à S à k Logo, Neste caso M = R 1 k Ãk = [ O = N, N = R 1 J ÃS = 3 13 e aplicando o Teorema 2.2.7, obtemos que o Semigrupo associado ao sistema é exponencialmente estável. Como S é não singular, temos a estabilidade exponencial do sistema inicial. 48 ] 1 1

49 Exemplo 2. Por outro lado, Consideremos o seguinte sistema 2u 1 tt = 8u 1 xx + 3u 2 xx + u 4 xx u 1 t u 2 tt = 3u 1 xx + 1u 2 xx + 7u 3 xx + u 4 xx u 3 tt = 7u 2 xx + 8u 3 xx u 4 tt = u 1 xx + u 2 xx + u 4 xx (x, t) (, π) (, + ) com condições de contorno u i (, t) = = u i (π, t) ; i = 1, 2, 3, 4. Usando a notação estabelecida na seção anterior, temos A = , B = 1 4 4, R = , logo, J = 1, k = 3, A J = (8), R J = (2) A k = 7 8, R k = (, A S = 3 1 ) 1 3. Então M = R 1 k A k = (, N = R 1 J A S = )

50 = O = N N M N M 2 = Como deto = 2.125, (M, N ) são observáveis e aplicando o Teorema 2.2.7, obtemos que o Semigrupo associado ao sistema é exponencialmente estável. Exemplo 3. Consideremos o sistema: 2u 1 tt = 8u 1 xx + 7u 2 xx 2u 1 t u 2 tt = 7u 1 xx + 1u 2 xx + u 3 xx + u 4 xx u 2 t 3u 3 tt = u 2 xx + 3u 3 xx u 4 tt = u 2 xx + u 4 xx (x, t) (, π) (, + ) com condições de contorno u i (, t) = = u i (π, t) ; i = 1, 2, 3, 4. Usando a notação estabelecida na seção anterior, temos A = , B = , R = , logo, J = k = 2, A J = , A k = , A S =

51 Então R J = , R k = M = R 1 k A k = , N = R 1 J A S = = O = N N M = Como o posto de O é 1, (M, N ) não são observáveis e aplicando o Teorema 2.2.7, obtemos que o Semigrupo associado ao sistema não é exponencialmente estável. Como σ(m) = {1} temos que {iν ; ν N} σ(a) e os autovetores correspondentes são U ν = (U ν, V ν ), definidos por U ν = sen νx sen νx, V ν = iνsen νx iνsen νx e vemos que iνu ν AU ν =. 51

52 Capítulo 3 Mistura de sólidos termoelásticos Estudaremos o sistema (1.14) que modela uma mistura de n sólidos termoelásticos unidimensional configurada no intervalo (, l). Neste capítulo assumimos que: R, A e β R n \{} para caracterizar as propriedades asimptóticas das soluções. 3.1 Existência e Unicidade Nesta seção mostraremos a boa colocação do problema para os modelos de mistura de sólidos termoelásticos. com condições iniciais RU tt = AU xx θ x β (3.1) ςθ t = κθ xx β U xt U(x, ) = U (x), U t (x, ) = U 1 (x), x (, l) (3.2) θ(x, ) = θ (x), x (, l) (3.3) e condições de fronteira U(, t) = U(l, t) = (3.4) θ(, t) = θ(l, t) =. (3.5) 52

53 Assumimos que as constantes ς e κ são positivas e as matrizes R = diag(ρ j ) e A = (a ij ) são definida positivas. Consideremos o espaço vetorial H = [H 1 (, l)] n [L 2 (, l)] n [L 2 (, l)] que, munido com o produto interno ( (Ũ, Ṽ, θ), ) (U, V, θ) = UxAŨx dx + V RṼ dx + ς θ θ dx H é um espaço de Hilbert, com a seguinte norma induzida (U, V, θ) 2 H = U xau x dx + V RV dx + ς θ 2 dx, onde U = (u 1,, u n ) e V = (v 1,, v n ). Desde que R, A temos (U, V, θ) 2 H n u i x 2 + v i 2 dx + i=1 θ 2 dx Agora introduzimos o operator A dado por U V A V = R 1 AU xx R 1 βθ x θ ς 1 κθ xx ς 1 β V x (3.6) com domínio D(A) = [H 1 (, l) H 2 (, l)] n [H 1 (, l)] n [H 1 (, l) H 2 (, l)]. Sob estas condições o problema de valor inicial e fronteira (3.1)-(3.5) pode ser reescrito como d dt U = AU, U() = U where U(t) = (U(t), V (t), θ(t)) and U = (U, U 1, θ ). Teorema O operador A é gerador infinitesimal de um Semigrupo C de contrações, denotado por S A (t) = e At. 53

54 Demonstração. Devido aos teoremas de imersão de Sobolev temos que D(A) é denso em H. Vejamos agora que o operador A é dissipativo, (AU, U) H = V R 1 [AU xx βθ x ] ς 1 [κθ xx β V x ], U V θ H = U xav x dx + V AU xx (V β)θ x dx + κθθ xx θ(β V ) x dx = U xav x dx Vx AU x dx θ x (V β) dx κ θ x 2 dx + θ x (β V ) dx = U xav x (U xav x ) dx θ x V β (θ x V β) dx κ θ x 2 dx Desde que Re ((U xav x ) (U xav x ) ) = e Re ((θ x V β) (θ x V β) ) =, temos que Re AU, U H = κ θ x 2 dx. (3.7) Agora mostraremos que ρ(a) e nossa conclusão seguirá por uma aplicação do Lema Com efeito, dado F = (F, G, h) H, mostraremos que existe um único vetor U = (U, V, θ) em D(A) tal que AU = F que em termos das componentes se escreve V = F in [H 1 (, l)] n (3.8) AU xx βθ x = RG in [L 2 (, l)] n (3.9) κθ xx β V x = ςh in L 2 (, l) (3.1) logo o problema se reduz a encontrar θ H 2 H 1 e U [H 2 H 1 ] n tal que κθ xx = ςh + β F x e AU xx = RG + βθ x. 54

55 Consideremos o seguinte problema Seja b a forma sesquilinear definida por κθ xx = ςh + β F x L 2 (, l) θ() = θ(l) =. b(θ, φ) = κ φ xθ x dx ; (θ, φ) H(, 1 l) H(, 1 l) a qual é positiva e continua. Definimos a aplicação antilinear j : H 1 (, l) C, j(φ) = ς φ h dx φ (β F ) x dx. Aplicando o Teorema de Lax-Milgran obtemos a existência e unicidade de θ em H(, 1 l) tal que Então Em particular para φ D(, l) temos, b(θ, φ) = j(φ) φ H 1 (, l). κ φ xθ x dx = ς hφ dx φ (β F x ) dx. φ x (κθ) x dx = φ[ςh + β F x ] dx. ou Então θ xx L 2 (, l) e φ, κθ xx D D = φ[ςh + β F x ] dx. κθ xx = ςh + β F x. e concluímos que θ H 2 (, l) H 1 (, l). Logo estabelecemos o seguinte problema: AU xx = RG + βθ x [L 2 (, l)] n U() = U(l) =. 55

56 Neste caso consideramos a forma sesquilinear B positiva e continua definida por B(U, Φ) = Φ xau x dx ; (U, Φ) [H 1 (, l)] n [H 1 (, l)] n e definimos a aplicação antilinear J : [H 1 (, l)] n C, J(Φ) = Φ βθ x dx Φ RGdx Aplicando o Teorema de Lax-Milgran obtemos a existência de U em [H 1 (, l)] n tal que Então B(U, Φ) = J(Φ) Φ [H 1 (, l)] n. Φ xau x dx = Φ [βθ x + RG]dx. Consideremos a base canônica de R n, {e j } j=1,2,...,n, logo definimos Φ = ϕe j onde ϕ D(, l) para obter ou ϕ x e j AU x dx = ϕe j [βθ x + RG]dx ϕ, e j AU xx D D = ϕe j [βθ x + RG]dx. Onde e j AU xx representa a j ésima componente de AU xx e e j [βθ x + RG] representa a j ésima componente de [βθ x + RG]. Então AU xx [L 2 (, l)] n e AU xx = βθ x + RG. Desde que A temos U [H 2 (, l) H 1 (, l)] n. Portanto, existe um único vetor U = (U, V, θ) D(A) satisfazendo AU = F. Agora mostraremos que A 1 L(H). Usando a dissipação (3.7) e a desigualdade de Poincaré temos θ 2 c θ x 2 C U H F H (3.11) 56

57 multiplicando as equações (3.8) e (3.9) por V e U respectivamente obtemos V 2 = V V dx = V F dx C U H F H U x 2 U xau x dx e aplicando (3.11) concluímos que U RG + U β θ x dx C U H F H + C U H θ x U x + v + θ U H C F H isto é, A 1 F H C F H Por tanto A 1 L(H) ou equivalentemente ϱ(a) obtendo o resultado. 57

58 3.2 Estabilidade Exponencial Consideremos a equação resolvente que em termos das componentes se escreve iλu AU = F (3.12) iλu = V + F (3.13) iλv = R 1 AU xx R 1 βθ x + G (3.14) iλθ = ς 1 κθ xx ς 1 β V x + h (3.15) O primeiro resultado para o operador termoelástico afirma que o espectro correspondente esta composto só por autovalores, a seguir enunciamos tal propriedade na forma equivalente, Lema A 1 K(H) Demonstração. Da demonstração do Teorema temos que A 1 L(H), agora mostraremos que tal operador possui resolvente compacto, isto é, A 1 K(H). Desde que A é fechado e densamente definido com ϱ(a), vemos que A 1 K(H) se, e somente se a injeção canônica é compacta. Υ : (D(A), D(A) ) (H, H ) Suponha que {U ν } ν N é uma seqüência limitada em D(A), então AU 2 H C 58

59 e em termos das componentes implica que então θ νxx 2 c U νxx 2 V νx 2 AU νxx βθ νx 2 = κθ νxx β V x 2 = V νxav νx dx C, AU νxx βθ νx 2 dx C, κθ νxx β V x 2 dx C, κθ νxx β V νx 2 + β V νx 2 dx C, AU νxx 2 dx c AU νxx βθ νx 2 + βθ νx 2 dx C, como as imersões H 1 (, l) H 2 (, l) H 1 (, l) L 2 (, l) são densas e compactas, concluímos que existe uma subsequência que ainda denotaremos por U ν = (U ν, V ν, θ ν ) D(A) que converge em H. Portanto Υ é compacta e A 1 possui resolvente compacto (σ p (A) = σ(a)). O seguinte Lema caracteriza a primeira condição necessária para la estabilidade exponencial do semigrupo gerado por A. Lema ir σ(a) se, e somente se onde M = R 1 A. dim Span { β, β M, β M 2,, β M n 1} < n (3.16) Demonstração. Suponhamos que existe U D(A)\{} tal que (3.12) é verdadeiro com F =. De (3.7) temos que θ x 2 dx = (3.17) então θ =, portanto (3.13)-(3.15) é reduzido às seguintes equações λ 2 U = MU xx (3.18) β U =. (3.19) De tais equações e as condições de Dirichlet associadas ao problema obtemos β MU xx = β MU =. 59

60 multiplicando por β M à equação (3.18) concluímos que β M 2 U =. Portanto β M m U = para todo m {, 1,, n 1}. Isto é Se β β M β M 2 U =.. β M n 1 dim Span { β, β M, β M 2,, β M n 1} n então U =, e isto e contrario a nossa hipótese, portanto (3.16) é verdadeiro. Reciprocamente, suponhamos que (3.16) é verdadeiro. Então, existe um vetor não nulo Y C n tal que Seja p C[z] o polinômio de menor grau tal que β M m Y =, m =, 1, 2,, n. (3.2) p (M)Y =. (3.21) Note que p não é o polinômio constante, então 1 degp degp M n onde p M é o polinômio minimal de M. Seja τ C tal que p (τ) =. Definimos q C[z] tal que p (z) = (τ z)q(z) for all z C. Desde que degq < degp, segue que Ỹ := q(m)y. Além disso, aplicando (3.2) e (3.21) obtemos τi M Ỹ = (3.22) logo τ σ(m) e aplicando o Teorema obtemos que τ >. β 6

61 Para cada ν N definimos U ν = Ỹsen ( νπx ) l V ν = iλ ν Ỹ sen ( νπx ) l θ ν = λ ν = νπ τ l logo U ν := (U ν, V ν, θ ν ) D(A)\{}. Devido a (3.22) obtemos iλ ν U ν AU ν =. Portanto iλ ν ir σ(a). Mostraremos que existe estabilidade exponencial do semigrupo se, e somente se o eixo imaginario esta contido no resolvente. Aplicando a propriedade (3.7) obtemos Lema Para cada ɛ > existe c ɛ > tal que β U x 2 dx + θ x 2 dx U H F H (3.23) Demonstração. Definimos ϕ satisfazendo β V 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H. (3.24) ϕ xx = β V, ϕ() = ϕ(l) =. (3.25) Multiplicando a equação (3.15) por ϕ x obtemos logo iλς portanto obtemos ϕ xθdx β V 2 dx = κϕ xθ x l + iλς κϕ xθ xx dx + ϕ xβ V x dx = ς ϕ xhdx ϕ xθdx + κ β V θ x dx ς ϕ xhdx β V 2 dx κϕ xθ x l + iλς ϕ }{{} xθdx + c θ x 2 + c U H F H (3.26) :=I 1 }{{} :=I 2 61

62 usando (3.25) e interpolação entre espaços de Sobolev vemos que I 1 κ θ x (l) 2 + θ x () 2 ϕ x (l) 2 + ϕ x () 2 c θ H 3 2 ϕ H 3 2 então c θ x 1 2 θxx 1 2 ϕxx H 1 2 Usando (3.13) na equação (3.15) obtemos Por outro lado, da equação (3.14) temos c θ x 1 2 θxx 1 2 β V 1 2 β V 1 2 H 1 I 1 c ( θ x β V ) 1 ( ) 2 θ xx β 1 V 2 H 1. (3.27) θ xx c λ θ + c λ β U x + c F H. (3.28) iλv = R} 1 {{ A} U xx R 1 βθ x + G (3.29) =M multiplicando por β e usando a norma de H 1 (, l) vemos que De (3.28) e (3.3) obtemos λ β V H 1 β MU x + c θ + c F H. (3.3) θ xx β V H 1 c β U x 2 + c β MU x 2 + c U H F H + c F 2 H logo substituindo em (3.27) obtemos ou Similarmente I 1 ɛ β U x 2 + ɛ β V 2 + ɛ β MU x 2 + c ɛ U H F H + c F 2 H κϕ xθ x l ɛ β U x 2 dx + ɛ β V 2 dx + ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H. I 2 = iλς ϕ xθdx ɛ β MU x 2 dx + ɛ U 2 H + c F 2 H aplicando as desigualdades acima em (3.26) obtemos β V 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H (3.31) 62

63 Multiplicando (3.29) por β Uβ M 1 temos β U x 2 dx β M 1 V β V + c θ x β U + c U H F H (3.32) usando a desigualdade de Poincaré e (3.31) obtemos β U x 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H. Lema Para todo ɛ > existe uma constante positiva c ɛ com a seguinte propriedade m < n. β M m U x 2 + β M m V 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H, (3.33) Demonstração. Multiplicando a equação (3.29) por β MUβ vemos que β MU x 2 dx β MV β V + c θ x β MU + c U H F H usando a desigualdade de Poincaré e (3.31) obtemos β MU x 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H. (3.34) Similarmente, multiplicando a equação (3.29) por β MUβ M obtemos β MV 2 dx β MU x β M 2 U x + c θ x β MU + c U H F H aplicando desigualdade de Poincaré e (3.34) vemos que β MU x 2 + β MV 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H. (3.35) seguindo um processo indutivo, repetindo o procedimento acima, obtemos β M m U x 2 + β M m V 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H, (3.36) para m =,, n 1. Teorema S A (t) é exponencialmente estável se, e somente se ir ρ(a). Caso contrario, O operador A possui infinitos autovalores imaginarios. 63

64 Demonstração. Do Lema ir ρ(a) se, e somente se dim Span { β, β M, β M 2,, β M n 1} n Nesse caso, a seguinte matriz M = β β M β M 2. β M n 1 n n tem posto n. Logo existem n linhas linearmente independentes, definimos os vetores coluna W = (w 1, w 2,..., w n ) e Z = (z 1, z 2,..., z n ). w 1 = β U x, w 2 = β MU x,..., w n = β M n 1 U x. z 1 = β V, z 2 = β MV,..., z n = β M n 1 V. Do Lema obtemos W 2 + Z 2 dx ɛ U H + C ɛ F H desde que detm podemos escrever U x = M 1 W e V = M 1 Z. U x 2 + V 2 dx ɛ U 2 H + C ɛ F 2 H Então existe uma constante positiva C tal que U H C F H logo aplicamos o Teorema para obter a estabilidade exponencial do Semigrupo. Caso contrario, (3.16) é verdadeiro, pela demonstração do Lema 3.2.2, existe uma sequência de autovalores imaginários determinados por τ σ(m) (, + ) (3.22). iλ ν = i νπ τ l, ν N assim, obtemos uma seqüencia infinita de autovalores imaginários do operador A. 64

65 3.3 Exemplos: Nesta seção veremos alguns exemplos de matrizes que satisfazem nossas hipóteses sobre estabilidade exponencial. Exemplo 1. Consideremos o seguinte sistema de equações 1 2 u1 tt = 5u 1 xx + 6u 2 xx θ x 1 3 u2 tt = 6u 1 xx + 1u 2 xx θ t = θ xx u 1 xt (x, t) (, π) (, + ) com condições de contorno Logo as matrizes são: u i (, t) = u i (π, t) =, θ(, t) = θ(π, t) = ; i = 1, 2. R = , A = , β = (1, ). Usando a notação estabelecida na seção anterior, temos 1 M = R 1 A = Neste caso O = β β M 2 2 = o posto da matriz O é 2, e aplicando o Teorema 2.2.7, obtemos que o Semigrupo associado ao sistema é exponencialmente estável. Exemplo 2. Por outro lado, consideremos o seguinte sistema 4u 1 tt = 8u 1 xx + 4u 4 xx u 2 tt = 1u 2 xx + u 3 xx + 2u 4 xx u 3 tt = u 2 xx + 3u 3 xx 2u 4 tt = 4u 1 xx + 2u 2 xx + 6u 4 xx.1θ x θ t = θ xx.1u 4 xt 65

66 (x, t) (, π) (, + ) com condições de contorno u i (, t) = = u i (π, t), θ(, t) = θ(π, t) = ; i = 1, 2, 3, 4. Usando a notação estabelecida na seção anterior, temos A = , β =.1 4 1, R = , Então M = R 1 A = β β = O = M β M 2 = β M , 4 4 Como deto =.14, (M, β ) são observáveis e aplicando o Teorema 3.2.5, obtemos que o Semigrupo associado ao sistema é exponencialmente estável. Exemplo 3. Consideremos o sistema de equações 66

67 u 1 tt =.2u 1 xx +.1u 4 xx aθ x u 2 tt =.2u 2 xx +.1u 4 xx 3u 3 tt =.9u 3 xx bθ x u 4 tt =.1u 1 xx +.1u 2 xx +.3u 4 xx θ t = θ xx au 1 xt bu 3 xt (x, t) (, π) (, + ), onde (a, b) = (1, 1) ou (, 1). Com condições de contorno u i (, t) = = u i (π, t), θ(, t) = θ(π, t) = ; i = 1, 2, 3, 4. Usando a notação estabelecida na seção anterior, temos A = , β = a b 4 1, R = , Então Se (a, b) = (1, 1), M = R 1 A =

68 β = (1,, 1, ) = β β M β M 2 β M 3 = e a determinante da matriz acima é diferente de zero, logo os vetores linha formam um conjunto Linearmente independente e aplicando o Teorema 3.2.5, obtemos que o Semigrupo associado ao sistema é exponencialmente estável. Se (a, b) = (, 1) β 1. β β = (,, 1, ) = M.3 β M 2 =.9 β M 3.27 e a determinante da matriz acima é zero, logo os vetores linha formam um conjunto Linearmente dependente e aplicando o Teorema 3.2.5, obtemos que o Semigrupo associado ao sistema não é exponencialmente estável

69 Capítulo 4 Mistura de sólidos com dissipação friccional em R Estudaremos a seguinte equação hiperbólica de segunda ordem: RU tt AU xx + BU t + DU = ; x (, + ). (4.1) Assumimos que: R, A e B para caracterizar as propriedades asimptóticas das soluções. Consideramos estudaremos o problema dado acima com condições iniciais U(x, ) = U (x), U t (x, ) = U 1 (x). (4.2) Consideramos A, D, R = diag(ρ 1, ρ 2,..., ρ n ) e B = diag(b 1, b 2,..., b J,,..., ). Nosso principal resultado é mostrar que o semigrupo associado é exponencialmente estável se os coeficientes satisfazem a relação (4.14) 69

70 4.1 Existência e Unicidade Consideremos o espaço de Hilbert H H = H 1 L 2, onde H s = [H s (R)] n = H s (R) H s (R) H s (R), com produto interno (U, V ), (Ũ, Ṽ ) H = ŨxAU x + Ũ DU + Ṽ RV dx e norma induzida H, (U, V ) 2 H = UxAU x + U DU + V RV dx R onde U = (u 1,, u n ) e V = (v 1,, v n ). Desde que A, D, R temos (U, V ) 2 H U x 2 + U 2 + V 2 dx. R R Definimos o operador A, A U V = V R 1 [AU xx DU BV ] (4.3) com domínio D(A) = H 2 H 1. Sob estas condições o problema de valor inicial e fronteira (4.1)-(4.2) pode ser reescrito como d dt U = AU, U() = U onde U(t) = (U(t), V (t)) and U = (U, U 1 ). Teorema O operador A é gerador infinitesimal de um semigrupo C de contrações, denotado por S A (t) = e At. Demonstração. Pelas imersões dos espaços de Sobolev é fácil ver que D(A) é denso em H. Agora vejamos que o operator A é dissipativo, isto é (AU, U) H = V R 1 [AU xx DU BV ], U V H 7

71 = UxAV x dx + U DV dx + V AU xx V DU dx V BV dx = UxAV x dx + U DV dx Vx AU x V DU dx V BV dx = UxAV x Vx AU x dx + U DV V DU dx V BV dx Desde que Re (U xav x V x AU x ) =, e Re (U DV V DU) = temos que Re AU, U H = V BV dx. (4.4) R Agora mostraremos que ϱ(a) nossa conclusão segue do Lema Com efeito, dado F = (F, G) H, mostraremos que existe um único vetor U = (U, V ) em D(A) tal que AU = F, que em termos das componentes se escreve V = F in H 1 (4.5) AU xx DU BV = RG in L 2 (4.6) portanto o problema se reduz a encontrar U H 1 tal que AU xx DU = BF + RG. Consideremos a forma sesquilinear B coerciva e continua definida por B(U, Φ) = Φ xau x + Φ DU dx ; (U, Φ) H 1 H 1 Definimos a aplicação antilinear J : H 1 C, R J(Φ) = Φ BF dx Φ RGdx R R Aplicando o Teorema de Lax-Milgran obtemos a existência de U em H 1 tal que B(U, Φ) = J(Φ) Φ H 1. 71

72 Então R Φ xau x + Φ DU dx = Φ [BF + RG]dx. R consideremos a base canônica de R n, {e j } n j=1, e definimos Φ = e j ϕ onde ϕ S(R) para obter ou Então AU xx L 2 e R ϕ x e p AU x + R ϕe j DU dx = ϕe j [BF + RG]dx R ϕ, e j AU xx S S ϕ, e j DU S S = ϕ, e j [AU xx DU] S S = R R ϕe j [BF + RG]dx ϕe j [BF + RG]dx. AU xx DU = BF + RG. Desde que A temos U H 2 e as equações (4.5) e (4.6) são verificadas. Por outro lado, multiplicando as equações (4.5) e (4.6) por V e U respectivamente, integrando em R e somando obtemos U 2 H V V + UxAU x + U DU dx = V F U BV U RG R R e desde que R V F + U BV + U RG dx C U H F H concluímos que A 1 F H = U H C F H, para uma constante positiva C. Por tanto A 1 L(H) ou equivalentemente ϱ(a). 72

73 4.2 Estabilidade exponencial Para o estudo da estabilidade do Sistema, consideramos as Matrizes R = I, D = I identidade e B uma matriz diagonal de posto J. Seja U = (U, V ) D(A) a solução da equação resolvente iλu AU = F (4.7) onde F = (F, G) H e λ R. Então iλu = V + F (4.8) iλv J = A J U J xx + A S U k xx U J B J V J + G J (4.9) iλv k = A S U J xx + A k U k xx U k + G k (4.1) Devido a (4.4) temos V J 2 dx V BV dx U H F H (4.11) Agora estabelecemos uma desigualdade que será usada quando o sistema (4.8)-(4.1) seja bem colocado. Lema Suponha que a equação espectral (4.8)-(4.1) esta bem colocado. Para cada ɛ > existe C ɛ > tal que V J 2 + U J 2 + U J x 2 dx ɛ U 2 H + C ɛ F 2 H. (4.12) Demonstração. Multiplicando (4.1) por A S A 1 k obtemos iλa S A 1 k V k = A S A 1 A S Uxx J + A S Uxx k A S A 1 k k U k + A S A 1 k Gk Tomando a diferença destas equações e (4.9) vemos que iλv J + iλ [ ] A S A 1 k V }{{} :=Q S k = C J Uxx J U J + A S A 1 k U k B J V J + G J A S A 1 k Gk 73

74 ou iλv J + iλq S V k = C J Uxx J U J + A S A 1 k U k B J V J A S A 1 k Gk + G J (4.13) onde C J = A J A S A 1 k A S é uma matriz não singular, pois o posto de A e o posto da matriz obtida pela multiplicação da segunda linha de A por A S A 1 k linha são iguais. Isto é Rank A J A S A S A k = Rank A J A S A 1 k A S A S A k somada à primeira Logo o posto de C J é J, pois do contrario a matriz A resulta singular contradizendo nossa hipótese. Multiplicando a equação (4.13) por U J C 1 J Ux J 2 dx ɛ U k 2 dx + ɛ e integrando obtemos V k 2 dx + C ɛ U J 2 dx + C U H F H. O seguinte Lema proporciona a primeira condição necessária para a estabilidade exponencial de A. Lema Se dim Span { N j, N j M, N j M 2,, N j M k 1 ; j = 1, 2,, J } k, (4.14) então ir ϱ(a). (4.15) Onde M = A k e N = A S Demonstração. Para a demonstração do Lema seguimos os seguintes passos: I. Desde que ϱ(a) e do Teorema das aplicações de contração seque que para λ com λ < A 1 1 L(H), o operador iλi A = A ( iλa 1 I ) 74

75 é invertível. Além disso, (iλi A) 1 L(H) é uma função continua de λ no intervalo II. ( ) A 1 1 L(H), A 1 1 L(H). { } Se sup (iλi A) 1 L(H) ; λ < A 1 1 L(H) = M <, aplicando novamente o Teorema das aplicações de contração, temos que o operador iλi A = (iλ I A) ( I + i (λ λ ) (iλ I A) 1) com λ < A 1 1 L(H) é invertível para λ λ < 1. Logo concluímos que M { λ ; λ < A 1 1 L(H) + 1 } ϱ(a) M e (iλi A) 1 L(H) é uma função continua de λ no intervalo ( A 1 1 L(H) 1 M, A 1 1 L(H) + 1 M ). III. Então, segue do argumento II, que se (4.15) não é verdadeiro, existe ω R com A 1 1 L(H) ω < tal que {iλ ; λ < ω } ϱ(a) e sup { (iλi A) 1 L(H) ; λ < ω } =. Logo existe uma seqüência λ ν R com λ ν ω, λ ν < ω e uma seqüência de vetores U ν D(A) com U ν H = 1 tal que iλ ν U ν AU ν H quando ν. IV. Denotamos U n = (U ν, V ν ) e F ν = iλ ν U ν AU ν, aplicando o argumento III, obtemos iλ ν V J ν iλu J ν V J ν em [H 1 (R)] J (4.16) iλu k ν V k ν em [H 1 (R)] k (4.17) A J U J νxx N U k νxx + U J ν + B J V J ν em [L 2 (R)] J (4.18) iλ ν V k ν N U J νxx MU k νxx + U k ν em [L 2 (R)] k (4.19) 75

76 e usando a dissipação do sistema, (4.11), temos Re (iλ ν A)U ν, U ν H = Vν B J Vν J dx V J ν dx. Das equações (4.16)-(4.19) e (4.12) temos V J ν 2 + U J ν 2 + U J νx 2 (4.2) Observação Sejam {φ n } L 2 (R) uma seqüência limitada e {f n } uma seqüência convergente a zero em L 2 (R), f n em L 2 (R), logo uma aplicação direta da desigualdade de Hölder implica a seguinte convergência f n φ n dx. Como {N U k ν } é uma seqüência limitada em [L 2 (R)] J, podemos multiplicar com (4.18) e aplicar a observação anterior, para obter a seguinte convergência iλ ν (N Uν k ) Vν J dx + (N Uνx) k A J Uνx J dx + N Uνx k 2 dx + (N U k ν ) U J ν dx e usando (4.2) obtemos N U k νx 2 dx Aplicando N a (4.19), obtemos iλ ν N V k ν N N U J νxx N MU k νxx + N U k ν em [L 2 (R)] J (4.21) agora multiplicamos por N U k ν para obter (iλ ν N Uν k ) N Vν k dx + (N U k ν ) (N U k ν ) dx 76

77 ou (iλ ν N Uν k N Vν k ) N Vν k dx N Vν k λ 2 ν (iλ ν N U k ν ) (iλ ν N U k ν ) dx então ( 1 λ 2 ν 1) N V k ν 2 dx Como λ ν é uma sequência convergente concluimos que N Vν k 2 dx + N Uνx k 2 dx (4.22) Como {N MU k ν } é uma seqüência limitada em [L 2 (R)] J, podemos multiplicar com (4.24) e uma aplicação direta da desigualdade de Hölder implica que (iλ ν N MU k ν ) N V k ν + (N MU k νx) N N U J νx + N MU k νx 2 + (N MU k ν ) N U k ν usamos as convergências (4.2) e (4.22) para obter N MU k νx 2 dx (4.23) Aplicando N M a (4.19), obtemos iλ ν N MV k ν N MN U J νxx N M 2 U k νxx + N MU k ν em [L 2 (R)] J (4.24) agora multiplicamos por N MU k ν para obter (iλ ν N MUν k ) N MVν k dx + (N MU k ν ) (N MU k ν ) dx ou (iλ ν N MUν k N MVν k ) N MVν k dx N MVν k λ 2 ν (iλ ν N MU k ν ) (iλ ν N MU k ν ) dx então ( 1 λ 2 ν 1) N MV k ν 2 dx 77

78 Como λ ν é uma sequência convergente concluimos que N MVν k 2 dx + N MUνx k 2 dx (4.25) realizando um processo análogo, indutivamente, podemos obter j = 1, 2,, J } k, concluimos k 1 p= N M p V k ν 2 dx + N M p U k νx 2 dx. Desde quedim Span { N j, N j M, N j M 2,, N j M k 1 ; 1 = U ν 2 H que é uma contradição. Portanto ir ϱ(a). V ν 2 + U ν 2 + U νx 2 dx Antes de enunciar a condição suficiente para a estabilidade exponencial calcularemos as estimativas correspondentes usando multiplicadores usuais. Multiplicando (4.9)-(4.1) por U e aplicando integração por partes obtemos UxAU x dx + U 2 dx + iλ U BUdx = V 2 dx + R, onde R satisfaz R C U H F H. Usando a parte real temos UxAU x dx + U 2 dx V 2 dx + C U H F H. (4.26) Por outro lado, multiplicando a equação (4.9)-(4.1) por V temos iλ V 2 dx = iλ UxAU x dx + iλ U 2 dx V BV dx + R usando a parte imaginaria temos V 2 dx = UxAU x dx + U 2 dx + ImR λ. (4.27) Observação Se det B então J = n e V BV v v n 2 = V 2, usando (4.4) e (4.26) obtemos U x 2 + U 2 dx UxAU x dx + U 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H, (4.28) devido à equação acima obtemos que U H c ɛ F H para ɛ > suficientemente pequeno. Aplicando Teorema obtemos a estabilidade exponencial S A (t). 78

79 Nossa metodologia consiste em obter uma desigualdade do tipo (4.28). O seguinte Lema ajuda a esse propósito quando B é uma matriz singular ( rank B = J < n). Lema Para cada ɛ > existe uma constante positiva C ɛ com a seguinte propriedade N M m V k 2 + N M m Ux k 2 dx ɛ U 2 H + C ɛ F 2 H + C ɛ λ 2 para todo m < k. m j= N M j V k 2 dx, Demonstração. Multiplicando a equação (4.9) por N U k e integrando en R obtemos N Ux K 2 dx = V J N V k A J Ux J N Ux K dx B J V J N U k + V J iλ N U k dx + R C U H V J + C Ux J N Ux k + C V J N U k + R onde R satisfaz R C U H F H, e usando o Lema vemos que N U k x 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H. (4.29) Por outro lado, multiplicamos N a (4.1) depois por N U k para obter N V k 2 dx = N A S U x J N Ux k + N MUx k N Ux k + N U k 2 dx N G k N U k dx N V k N F k dx C Ux J N Ux k + C U H N Ux k + N U k 2 + C U H F H ɛ U 2 H + C ɛ F 2 H + N U k 2 dx, onde M = A k. Portanto obtemos N V k 2 + N Ux k 2 dx ɛ U 2 H + C ɛ F 2 H + N U k 2 dx. (4.3) Agora, aplicamos N a (4.1) e multiplicando por N MU k obtemos 79

80 N MUx k 2 dx C U H N V k + C Ux J U H + C U H N U k + R ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H + C ɛ N U k 2 dx. Multiplicamos a equação (4.1) por N M para obter iλn MV k = N MA S U J xx + N M 2 U k xx N MU k + N MG k (4.31) logo multiplicamos (4.31) por N MU k e obtemos N MV k 2 + N MU k x 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H + C ɛ N U k 2 + N MU k 2 dx. (4.32) Com um procedimento indutivo, aplicamos N M m 1 a (4.1) e multiplicamos por N M m U k, obtemos m 1 N M m Ux k 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H + C ɛ j= N M j U k 2 dx, (4.33) e aplicando N M m a (2.27), multiplicando por N M m U k obtemos m N M m V k 2 + N M m Ux K 2 dx ɛ U 2 H + c ɛ F 2 H + C ɛ N M j U k 2 dx. (4.34) Portanto N M m V k 2 + N M m Ux k 2 dx ɛ U 2 H + C ɛ F 2 H + C ɛ λ 2 j= m j= N M j V k 2 dx, (4.35) para m =,, k 1. Teorema Se dim Span { N j, N j M, N j M 2,, N j M k 1 ; j = 1, 2,, J } k. então S A (t) é exponencialmente estável. Demonstração. Do Lema obtemos a existência de uma constante C > tal que U H C F H Portanto o semigrupo é exponencialmente estável. 8

81 Capítulo 5 Um Sistema Hibrido Uma das primeiras contribuições na área da estabilização de sistemas elásticos híbridos pode ser encontrada em Littman and Markus [2]. Da mesma forma, a interação de um meio elástico com uma massa rígida (sistema híbrido) tem sido estudada na literatura matemática por vários autores. Na área de controle do sistema, por exemplo, pode ser encontrada em C.M. Castro e E. Zuazua [1]. Além disso, modelos de equações de onda, com dissipação fraca (ou Maxwell), em vez de dissipação de tipo Kelvin-Voigt, têm sido considerados por A. Freiria Neves, H. de Souza Ribeiro e O. Lopes [11], principalmente com o objetivo de estudar o decaimento das soluções. Por outro lado, é conhecido que a dissipação viscoelástica de tipo Kelvin Voigt é eficaz quando está presente em todo o domínio. Este mecanismo de amortecimento não só implica estabilidade exponencial, mas também transforma o correspondente semigrupo em um semigrupo analítico, que, em particular, implica que o sistema seja exponencialmente estável entre outras propriedades importantes, ver o livro de Zheng-Liu [22]. Mas quando a dissipação esta localizada é mais fraco do que a dissipação friccional, no sentido de que o semigrupo correspondente não é exponencialmente estável como demonstrado no [21]. Um resultado recente de J. E. M. Rivera e outros [3] mostram que o semigrupo correspondente do problema de transmissão da equação de onda com viscoelasticidade localizada do tipo kelvin Voigt não é exponencialmente estável, mas a solução decai polinomialmente para zero 1/(1 + t) 2 e que tal taxa é ótima. Neste capitulo consideraremos o problema de transmissão localizada viscoelástica de tipo 81

82 Kevin Voigt híbrido. ρ 1 u tt α 1 u xx α 2 u txx = in ], l [ ], [ (5.1) ρ 2 v tt α 3 v xx = in ]l, l[ ], [ (5.2) ρ 3 w tt + δw t + µw + α 3 v x (l) = in ], [ (5.3) onde u = u(x, t) e v = v(x, t) representam as duas partes do corpo. constantes positivas e δ. ρ 1, ρ 2 e ρ 3 são as densidades de massa. As condições fronteira u(, t) =, v(l, t) = w(t) u(l, t) = v(l, t), t α 1 u x (l, t) + α 2 u tx (l, t) = α 3 v x (l, t) α 1, α 2 e α 3 são (5.4) e dados iniciais u(x, ) = u (x), u t (x, ) = u 1 (x) in ], l [ v(x, ) = v (x), v t (x, ) = v 1 (x) in ]l, l[ w() = w C, w t () = w 1 C (5.5) Denotamos por E a energia logo, não é difícil ver que [ E(t) = 1 ( ρ1 u t 2 + α 1 u x 2) dx 2 ( + ρ2 v t 2 + α 3 v x 2) ] dx + ρ 3 w t 2 + µ w 2. d l dt E(t) = α 2 u tx 2 dx δ w t 2. Aqui mostraremos que as soluções decaem polinomialmente a zero com uma taxa t 2. 82

83 5.1 Existência e Unicidade Em esta seção mostraremos a boa colocação do problema. Para a formulação do problema (5.1)-(5.5) em uma equação de evolução, consideramos H m = H m (, l ) H m (l, l), L 2 = L 2 (, l ) L 2 (l, l) H 1 = { (u, v) H 1 ; u() =, u(l ) = v(l ) } Usando tais espaços vemos que o espaço da energia (espaço de fase) esta dada por aqui consideramos a norma H = {(u, v, U, V, w, W ) H 1 L 2 C 2, v(l) = w} (u, v, U, V, w, W ) 2 H = α 1 u x 2 + ρ 1 U 2 dx + + µ w 2 + ρ 3 W 2. l α 3 v x 2 + ρ 2 V 2 dx Agora, definimos o operador A : D(A) H H como u U v V 1 U A = ρ 1 (α 1 u xx + α 2 U xx ) α V 3 ρ 2 v xx w W W (µw + δw + α 3 v x (l)) com dominio 1 ρ 3 (5.6) D(A) = { U = (u, v, U, V, w, W ) H ; (U, V ) H 1, V (l) = W, (α 1 u + α 2 U, v) H 2, α 1 u x (l ) + α 2 U x (l ) = α 3 v x (l ) }. usando as notações acima, reescrevemos (5.1)-(5.5) no seguinte problema abstrato d dt U = AU, U() = U onde U(t) = (u(t), v(t), U(t), V (t), w(t), W (t)) and U = (u, v, u 1, v 1, w, w 1 ). 83

84 Teorema O operador A é gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C de contrações em H. Demonstração. Vejamos primeiro que D(A) é denso em H. De fato, é conhecido que H = D(A) D(A), seja f D(A) e pela representação de Riesz, existe (f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 ) H tal que f, φ H H = ( (f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 ), (φ 1, φ 2, φ 3, φ 4, φ 5, φ 6 ) ) =, H para todo φ = (φ 1, φ 2, φ 3, φ 4, φ 5, φ 6 ) D(A). Então α 1 f 1 xφ 1 x + ρ 1 f 3 φ 3 dx + para todo (φ 1, φ 2, φ 3, φ 4, φ 5, φ 6 ) D(A). l α 3 f 2 xφ 2 x + ρ 2 f 4 φ 4 dx + µf 5 φ 5 + ρ 3 f 6 φ 6 = (5.7) Em particular, para os vetores (φ 1,,,,, ), (, φ 2,,,, ) D(A), onde φ 1 D(, l ) e φ 2 D(l, l), obtemos (f 1, f 2 ) H 2 e as derivadas distribucionais satisfazem (fxx, 1 fxx) 2 = (, ). (5.8) Analogamente, tomando os vetores (,, φ 3,,, ), (,,, φ 4,, ) D(A), onde φ 3 D(, l ) e φ 4 D(l, l), obtemos (f 3, f 4 ) = (, ). (5.9) Considerando (, φ 2,,, φ 2 (l), ) D(A), onde φ 2 quase sempre tal que φ 2 (l ) = e φ 2 (l), em (5.7) para obter f 5 = f 2 (l) = (5.1) analogamente, usamos (,,, φ 4,, φ 4 (l)) D(A), onde φ 4 quase sempre tal que φ 4 (l ) = e φ 4 (l), de (5.7) obtemos que f 6 = (5.11) Logo podemos realizar integração por partes em (5.7) para obter [α 1 f 1 x(l ) α 3 f 2 x(l )]φ 1 (l ) + [α 3 f 2 x(l)]φ 2 (l) =. (5.12) 84

85 (l l ) 2 Agora tomamos (, φ 2,,, 1, ) D(A), onde φ 2 (x) = (x l ) 2, assim de (5.12) obtemos que fx(l) 2 =. (5.13) Do fato (f 1, f 2 ) H 2 Poincaré temos: C 1 ([, l ]) C 1 ([l, l]), (5.8), (5.13) e pela desigualdade de f 2 x =, portanto f 2 x(l ) = f 2 x(l) = Aplicamos tais resultados em (5.12) para obter f 1 x(l ) = Usando novamente a desigualdade de Poincaré obtemos f 1 c f 1 x c f 1 xx = Finalmente concluímos que (f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 ) =. D(A) = {}, portanto H = D(A). Desta forma concluímos que verificamos que o operador é dissipativo Re AU, U H = α 2 U x 2 dx δ W 2. (5.14) Agora mostraremos que ρ(a) e nossa conclusão segue do teorema De fato, seja F = (f, g, F, G, h, H) H, mostraremos que existe um único vetor U = (u, v, U, V, w, W ) in D(A) tal que AU = F. Que em termos das componentes se escreve U = f H 1 (, l ) (5.15) V = g H 1 (l, l) (5.16) W = h = g(l) C (5.17) α 1 u xx + α 2 U xx = ρ 1 F L 2 (, l ) (5.18) α 3 v xx = ρ 2 G L 2 (l, l) (5.19) µw + δw + α 3 v x (l) = ρ 3 H C (5.2) usando (5.15) nas outras equações, temos 85

86 α 1 u xx = ρ 1 F α 2 f xx em H 1 (, l ) α 3 v xx = ρ 2 G em L 2 (l, l) α 3 v x (l) µv(l) = ρ 3 H + δg(l) u() =, u(l ) = v(l ) condição de D(A) α 1 u x (l ) α 3 v x (l ) = α 2 f x (l ) condição de D(A) (5.21) Seja o espaço H 1 = { (u, v, w) H 1 C, w = v(l) } com norma (u, v, w) 2 = α 1 u x 2 dx + l α 3 v x 2 dx + µ v(l) 2 então é claro que a forma sesquilinear B em H 1 H 1 definida por B((u, v, v(l)), (ψ, ϕ, ϕ(l))) = α 1 u x ψ x dx + l α 3 v x ϕ x dx + µv(l)ϕ(l) é positiva e continua. Definimos a aplicação antilinear J em H 1 como J (ψ, ϕ, ϕ(l)) = ρ 1 F ψ + α 2 f x ψ x dx ρ 2 Gϕ dx (ρ 3 H + δg(l))ϕ(l) l Aplicando o Lema de Lax Milgram, obtemos a existência e unicidade de (u, v) H 1 tal que para todo (ψ, ϕ) H 1. Isto é, α 1 u x ψ x dx + B((u, v, v(l)), (ψ, ϕ, ϕ(l)) = J (ψ, ϕ, ϕ(l)) l α 3 v x ϕ x dx + µv(l)ϕ(l) = ρ 1 F ψ dx α 2 f x ψ x dx l ρ 2 Gϕ dx (ρ 3 H + δg(l))ϕ(l). (5.22) Em particular, para ψ D(, l ) temos (ψ,, ) H 1 e α 1 u x ψ x dx + α 2 f x ψ x dx = ρ 1 F ψ dx, 86

87 ou α 1 u xx + α 2 f xx, ψ D D = ρ 1 F ψ dx, então α 1 u xx + α 2 U xx = ρ 1 F L 2 (, l ). Agora consideramos ϕ D(l, l) e (, ϕ, ) H 1 em (5.22) para obter: α 3 v x ϕ x dx = ρ 2 Gϕ dx l l ou α 3 v xx, ϕ D D = então α 3 v xx = ρ 2 G L 2 (l, l). l ρ 2 Gϕ dx, Com as regularidades obtidas até agora, podemos realizar integração por partes em (5.22) para obter (α 1 u xx + α 2 U xx )ψ dx + (α 1 u x (l ) + α 2 U x (l ))ψ(l ) l α 3 v xx ϕ dx = µv(l)ϕ(l)+α 3 v x (l )ϕ(l ) α 3 v x (l)ϕ(l) ρ 1 F ψ dx ρ 2 Gϕ dx (ρ 3 H +δg(l))ϕ(l) l (5.23) para todo (ψ, ϕ) H 1. Consideramos a função ϕ δ C ([l.l]), tal que ϕ δ (x) =, x [l, l δ] e ϕ δ (l) = 1, então (, ϕ δ, 1) H 1. Se ϑ L 2 (l, l) pela desigualdade de Holder temos ϑϕ δ dx ϕ δ L 2 ((l δ,l) ϑ L 2 ((l,l) δ ϑ L 2 ((l,l) l 87

88 então lim δ ϑϕ δ dx = l ; ϑ L 2 (l, l). (5.24) aplicando (5.24) e substituindo (, ϕ δ, 1) na equação (5.23), obtemos µv(l) + α 3 v x (l) + δg(l) = ρ 3 H Analogamente, consideramos (ψ δ, ϕ 1 δ, 1) H1 tais que (ψ δ, ϕ 1 δ ) C ([, l ]) C ([l, l]), (ψ δ, ϕ 1 δ ) em [, l δ] [l + δ, l] e ψ δ (l ) = ϕ 1 δ (l ) = 1. Então, para todo (κ, ϑ) L 2 temos que κψ δ dx ψ δ L 2 ((l δ,l ) κ L 2 ((,l ) δ κ L 2 ((,l ) l ϑϕ δ dx ϕ δ L 2 ((l,l +δ) ϑ L 2 ((l,l) δ ϑ L 2 ((l,l) aplicando os resultados acima e substituindo (ψ δ, ϕ 1 δ, ) na equação (5.23), obtemos α 1 u x (l ) + α 2 U x (l ) = α 3 v x (l ). Além disso, (u, v) é solução de (5.21). De (5.15), (5.18) e (5.19) temos que (α 1 u + α 2 U, v) H 2. Portanto obtemos a existência e unicidade de um vetor U = (u, v, U, V, w, W ) D(A) tal que AU = F. Por outro lado, o operador A 1 L(H). Com efeito, a primeira estimativa é obtida multiplicando (5.16)-(5.19) por ρ 2 V, ρ 3 W, u e v respectivamente, somando [α 1 u x + α 2 U x ] x u dx α 3 v xx v dx + ρ 2 V 2 dx + ρ 3 W 2 l l 88