PO INTRODUÇÃO A PESQUISA OPERACIONAL LISTA DE EXERCÍCIOS

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1 PO INTRODUÇÃO A PESQUISA OPERACIONAL LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Mostre que o conjunto de soluções viáveis de um PPL é convexo e discuta suas implicações. 2. Mostre que se há uma única solução ótima em um PPL esta é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis. 3. Considere o seguinte problema de programação linear: Maximizar Z = 3x 1 + 2x 2 S.A. 3x 1 + 3x x 1 + 3x x 1 + 3x x 1, x 2 0 a. Desenhe a região viável no espaço (x 1,x 2 ). b. Identifique se há alguma restrição redundante. R: 3x 1 + 3x c. Resolva o problema enumerando os pontos extremos. d. Resolva o problema graficamente. R: x 1 =60, x 2 =40, Z=260 e. Como você mudaria a formulação para tornar o problema inviável? 4. A PC-Express é uma loja de computadores que vende dois tipos de microcomputadores: desktops e laptops. A empresa ganha R$600,00 por cada desktop vendido e R$900,00 por cada laptop vendido. Os computadores que a PC-Express vende são montados por outra empresa. Esta outra empresa tem outro pedido para atender, de forma que não poderá montar mais do que 80 desktops e 75 laptops no próximo mês. Os funcionários da PC-Express gastam 2 horas instalando softwares e testando os desktops. No caso dos laptops eles gastam 3 horas. No próximo mês os empregados da PC- Express trabalharão 300 horas nessas atividades. A PC-Express quer saber quantos desktops e laptops serão solicitados a empresa que faz a montagem, de forma a maximizar seu lucro. a. Formule o problema como um modelo de programação linear. b. Desenhe a região viável no espaço (x 1,x 2 ). c. Resolva o problema enumerando os pontos extremos. d. Resolva o problema graficamente. R: Há múltiplas soluções ótimas com F.O. = R$90.000,00 e. Resolva o problema utilizando o método simplex. Como é possível identificar as múltiplas soluções ótimas no tableau? f. Qual o efeito na função objetivo e nas variáveis de decisão se os empregados da PC-Express trabalharem, no próximo mês, 350 horas instalando softwares e testando os desktops. g. Determine quanto pode variar o número de horas mensal, que os empregados da PC-Express podem trabalhar instalando softwares e testando os desktops, para que não haja alternação na base da solução ótima. 5. Alumco é um fabricante de folhas de alumínio e de barras de alumínio. A capacidade máxima de produção é estimada em 800 folhas de alumínio ou 600 barras de alumínio

2 por dia (obs: se ambos forem fabricados a capacidade é estimada pela combinação linear das capacidades individuais). A demanda máxima dos produtos é de 550 folhas de alumínio e de 580 barras de alumínio. O lucro proporcionado pelo produtos é de $40 por folha de alumínio e de $35 por barra de alumínio. Com base nesses dados responda: a. Formule o problema de programação linear (PPL) b. Resolva graficamente o PPL (determine a solução ótima, o valor da função objetivo e das variáveis de decisão). c. Se o lucro dos produtos é 1 por folha de alumínio e 2 por barra de alumínio, encontre a solução ótima para todos valores de 1 e 2 (considere apenas os casos em que 1 0 e 2 0). 6. Considere o seguinte problema de programação linear: Maximizar 2x 1 + x 2 + 4x 3 + 5x 5 + x 6 S.A. 3x 1 + 6x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 3x 5 + 4x 6 60 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 Esse problema tem 1 restrição, além das restrições de não-negatividade e é conhecido como o problema da mochila. Encontre todas as soluções básicas viáveis do problema e encontre a solução ótima comparando essas soluções básicas viáveis. R: São 7 soluções básicas viáveis e a solução ótima é x 5 =20, x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 6 = f 1 =0 7. Considere o seguinte problema de programação linear: Maximizar 5x 1 + 4x 2 S.A. x 1 + 2x 2 6-2x 1 + x 2 4 5x 1 + 3x 2 15 x 1, x 2 0 a. Resolva o problema graficamente. R: x 1 =12/7, x 2 =15/7, Z=120/7 b. Encontre todas as soluções básicas do problema e indique quais destas são viáveis. c. Resolva o problema pelo método simplex. 8. Considere o seguinte problema de programação linear: Maximizar x 1 + 3x 2 S.A. x 1-3x 2 3-2x 1 + x 2 2-3x 1 + 4x x 1 + x 2 9 x 1, x 2 0 a. Desenhe a região viável no espaço (x 1,x 2 ) e ache a solução ótima. R: x 1 =1,6, x 2 =4,2, Z=14,2 b. Resolva o problema pelo método simplex (identificando a cada iteração B, B -1 e w). c. Suponha que a quarta restrição seja removida. Resolva o problema pelo método simplex e interprete a solução. R: A solução é ilimitada.

3 9. Os tableaux inicial e corrente são mostrados abaixo. Encontre os valores das incógnitas a a l. Tableaux inicial x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS Z a x 4 b c d x e Tableaux corrente x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS Z 0-1/3 j k l -4 g 2/3 2/3 1/3 0 f h i -1/3 1/3 1 3 R: a=2, b=3, c=2, d=2, e=-1, f=2, g=1, h=0, i=8/3, j= -13/3, k= -2/3 e l= Resolva o seguinte problema de programação linear pelo método simplex e a cada iteração identifique B, B -1 e w: Maximizar 3x 1 + 2x 2 + x 3 S.A. 2x 1-3x 2 + 2x 3 3 -x 1 + x 2 + x 3 5 x 1, x 2, x Resolva o problema Maximizar 2x 1 - x 2 + x 3 S.A. 2x 1 + x 2-2x 3 8 4x 1 - x 2 + 2x 3 2 2x 1 + 3x 2 - x 3 4 x 1, x 2, x 3 0 pelo método das duas fases. R: Verifica-se na 2 a fase que a solução é ilimitada. 12. Resolva o problema Minimizar Z = 4x 1 + 4x 2 + x 3 S.A. x 1 + x 2 + x 3 2 2x 1 + x 2 3 2x 1 + x 2 + 3x 3 3 x 1, x 2, x 3 0 pelo método Big-M e indique em qual iteração as variáveis artificiais perderam utilidade. R: já na primeira iteração. 13. Resolva o problema Maximizar Z= 3x 1 + x 2 S.A. x 1 + x 2 3 2x 1 + x 2 4

4 x 1 + x 2 = 3 x 1, x 2 0 pelo método Big-M e indique em qual iteração as variáveis artificiais perderam sua utilidade. 14. Mostre que se em todas as vezes que ocorrer empate na saída a variável substituída na base for a da 1 a restrição ocorrerá ciclismo, se aplicarmos o método simplex para resolver o seguinte PPL: Maximizar Z = 2x 1 + 3x 2 - x 3-12x 4 S.A. -2x 1-9x 2 + x 3 + 9x 4 0 ⅓ x 1 + x 2 -⅓ x 3-2x 4 0 x 1, x 2, x 3, x Mostre que se aplicarmos a regra lexicográfica ao problema anterior não ocorrerá ciclismo. O que ocorrerá, então? 16. Resolva o PPL Maximizar Z = 3x 1 + 5x 2 S.A. x 1 4 2x x 1 + 2x 2 12 x 1, x 2 0 utilizando o método simplex (aplicado a regra lexicográfica). Obs: para chegar em uma solução básica viável utilize o Big-M ou o método das duas fases. 17. Seja um PPL de maximização com o seguinte tableau corrente: x 1 x 2 x 3 x 4 RHS Z A x 3 B C x x Atribua um valor para A, B e C para que: a) A solução básica viável corrente seja ótima e única. R: A > 0, C 0 e B qualquer b) A solução básica viável corrente seja ótima, mas com múltiplas soluções ótimas. R: A = 0, C 0 e B qualquer c) A solução básica viável corrente seja degenerada. R: A qualquer, C = 0 e B qualquer d) A solução básica viável corrente não seja ótima e x 3 sairá da base na próxima iteração. R: A < 0, C 0 e C/B < 3/2 18. Uma empresa produz dois tipos de cadeira reclinável. Há duas etapas no processo de fabricação das cadeiras montagem e acabamento. Uma unidade da cadeira top de linha requer 3 / 2 horas na montagem, 1 hora no acabamento e é vendida gerando lucro de R$ 20,00. Uma unidade da cadeira mais simples requer ½ hora na montagem e ½ hora

5 no acabamento e é vendida gerando lucro de R$ 12,00. A disponibilidade atual é de 100 horas para montagem e 80 horas para acabamento. A empresa está envolvida em negociações com o sindicato em relação a modificações salariais para o próximo ano e pediram que você determinasse (quantificasse) o valor da hora de montagem e de acabamento. R: Valor da hora de montagem = R$0,00 e Valor da hora de acabamento = R$24, O seguinte tableau é o de uma solução ótima (problema de maximização e todas as restrições são do tipo ). variáveis de folga Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS x x / 2 x a. Encontre Z/ b 1, Z/ b 2 e Z/ b 3. R: 2, 0 e 5, respectivamente b. Se você puder comprar uma unidade adicional do primeiro recurso pagando 5 / 2, você faria a compra? Porque? R: Não pois Z/ b 1 =2 c. Outra empresa gostaria de comprar uma unidade do terceiro recurso de você. Qual o valor dessa unidade? R: O valor do recurso é 5 d. Há soluções ótimas alternativas para o problema? Se há, encontre uma delas. R: Sim, se x 2 pode entrar na base (no lugar de x 1 ) 20. Considere o seguinte problema de programação linear e seu tableau final ótimo: Maximizar 2x 1 + x 2 - x 3 S.A. x 1 + 2x 2 + x 3 8 -x 1 + x 2-2x 3 4 x 1, x 2, x 3 0 Tableau final Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS x x a. O que acontece na solução ótima se o coeficiente de x 2, na função objetivo, mudar de 1 para 6? Há mudança de base? Se há, encontre a nova solução ótima. R: Há mudança de base b. Se você pudesse escolher entre aumentar o RHS de um dos recursos, qual dos dois você escolheria? Porque? Qual é o efeito desse aumento no valor da solução ótima? R: Do primeiro recurso c. Suponha que uma nova atividade com retorno unitário de 4 e vetor de consumo = (1,2) t. Essa atividade entraria na base? R: Sim, entraria na base

6 21. Um fabricante de bebidas pretende lançar um novo refrigerante que é obtido misturando refrigerante sabor laranja e suco de laranja. Análises executadas pelo fabricante mostraram que cada ml de refrigerante sabor laranja tem 0,5 ml de açúcar e 1 mg de vitamina C e que cada 1 ml de suco de laranja tem 0,25 ml de açúcar e 3 mg de vitamina C. O custo de produção de 1 ml de refrigerante sabor laranja é de R$0,002 e de 1 ml de suco de laranja é de R$0,004. O departamento de marketing da empresa decidiu que o novo refrigerante será comercializado em embalagens de 300 ml por R$ 2,00 e que cada unidade do produto deve conter no mínimo 600 mg de vitamina C e no máximo 120 ml de açúcar. A partir desses dados responda: a. Formule o problema como um PPL (problema de programação linear) sabendo que o objetivo da empresa é obter uma composição que minimize o custo de produção do novo produto (e que conseqüentemente maximizará o lucro do fabricante). b. Resolva o PPL formulado pelo método gráfico. c. Resolva o PPL formulado pelo método simplex. d. Qual será o efeito no valor da função objetivo e nas variáveis de decisão se a empresa decidir comercializar o produto em embalagens de 290 ml (e mostre graficamente)? e. Qual será o efeito no valor da função objetivo e nas variáveis de decisão se a empresa decidir que o produto deve ter no máximo 115 ml de açúcar(e mostre graficamente)? f. Existe a possibilidade de colocar no novo produto um aditivo que custa R$0,015 por ml, e que tem 0,1 ml de açúcar e 9 mg de vitamina C por ml de aditivo. Vale a pena incluir esse aditivo? g. Qual será o efeito no valor da função objetivo se o custo de produção de 1 ml de suco de laranja aumentar de R$0,004 para R$0,005(e mostre graficamente)? 22. Um fabricante de café solúvel pretende lançar um novo produto que é obtido misturando café arábica solúvel, café robusta solúvel e café conilon solúvel. Análises executadas pelo fabricante mostraram que o café arábica solúvel possui luminosidade (L) de 33 e ph de 5,1, o café robusta solúvel possui luminosidade (L) de 29 e ph de 6,2 e o café conilon solúvel possui luminosidade (L) de 26 e ph de 6,4. Sabe-se que os cafés mais escuros (menores valores de L) e menos ácidos (ph mais elevado) são preferidos. Assim, determinou-se que o novo produto deve ter L 30,4 e ph 5,5 (lembre-se também que a composição de café arábica solúvel, café robusta solúvel e café conilon solúvel no novo produto deve ser igual a 100%). Para um custo de produção de 100 g de café arábica solúvel de R$2,80, de 100g de café robusta solúvel de R$3,90 e de 100 g de café conilon solúvel de R$4,90, a composição de mínimo custo de produção foi x=(café robusta;café arábica;café conilon) = (0,65;0,35;0). Qual será o efeito no valor das variáveis de decisão se a empresa decidir que L 31 e ph 5,6? 23. Solucione o problema de programação linear que se segue com auxílio das relações expressas pela dualidade (dica: quando o problema tem apenas 2 variáveis de decisão é possível resolvê-lo pelo método gráfico).

7 Min Z 2x x s. a. 2x x x 1 1 2x x x x x 0, i 1,2,3 24. Considere o problema de programação linear (PPL): Maximizar 5x 1 + 2x 2 + 4x 3 S.A. 2x 1 + x 2 + x 3 2 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 7 1x 1 + 3x 2 + 2x 3 6 x 1, x 2, x 3 0 i Se a solução ótima do PPL é x 1 = 0, x 2 = 3/2 e x 3 = 1/2, responda (obs: se você já sabe a solução ótima não precisa resolver novamente o problema): a. O que acontece na solução ótima (valor da função objetivo e das variáveis de decisão) se a constante do lado direito (RHS) da primeira restrição mudar de 2 para 3, da segunda restrição mudar de 7 para 8 e da terceira restrição mudar de 6 para 9? b. Suponha uma nova atividade (nova variável de decisão) com coeficiente na função objetivo = 3 e vetor de consumo (coeficientes nas restrições) = (1,4,2) t. Essa atividade entraria na base? Justifique sua resposta. c. Formule o problema dual e indique o valor da função objetivo e das variáveis de decisão na solução ótima. 26. Solucione o problema de programação linear que se segue com auxílio das relações expressas pela dualidade (dica: quando o problema tem apenas 2 variáveis de decisão é possível resolvê-lo pelo método gráfico). 3 Maximizar Z = 2x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 8x 4 S.A. x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 3-2x 1 + x 2 - x 3 + 3x 4-4 x 1, x 2, x 3, x Demonstre o teorema fraco da dualidade. 27. Demonstre o teorema das folgas complementares. 28. Considere a região de soluções da Figura abaixo, na qual desejamos encontrar o ponto extremo ótimo que o método dual simplex usa para Minimizar Z = 2x 1 + x 2. A solução ótima ocorre no ponto F = (0,5; 1,5) no gráfico.

8 (a) O dual simplex pode iniciar no ponto A? R: Não (b) Se a solução básica inicial (inviável, porém melhor do que a ótima) é dada pelo ponto G, seria possível que as iterações do método dual simplex percorressem o caminho G E F? Explique. R: Não (c) Se a solução básica inicial (inviável) começar no ponto L, indique um possível caminho do método dual simplex que leva ao ponto ótimo viável no ponto F. R: L I F 29. Gere as iterações do dual simplex ou do simplex (determine qual método utilizar) para os seguintes problemas e trace o caminho do algoritmo no gráfico da região de soluções. (a) Minimizar Z = 2x 1 + 3x 2 S.A. 2x 1 + 2x 2 30 x 1 + 2x 2 10 x 1, x 2 0 (b) Minimizar Z = 5x 1 + 6x 2 S.A. x 1 + x 2 2 4x 1 + x 2 4 x 1, x Mostre que o método dual simplex é precisamente o método simplex (primal) aplicado ao problema dual. 31. Considere o problema Maximizar c x, S.A. Ax = b, x 0. Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas e discuta. a. Viabilidade do problema dual é o mesmo que otimalidade do problema primal. b. Adicionar variáveis artificiais ao problema primal serve para restringir variáveis que são realmente irrestritas no problema dual. c. Converter um problema de maximização em um problema de minimização muda o sinal das variáveis do problema dual. d. Se o problema primal tem solução finita o seu dual não é ilimitado. e. Se o problema primal tem múltiplas soluções ótimas então o seu dual é degenerado.

9 32. Considere o seguinte PPL e seu tableau final ótimo: Maximizar 2x 1 + x 2 - x 3 S.A. x 1 + 2x 2 + x 3 8 -x 1 + x 2-2x 3 4 x 1, x 2, x 3 0 Tableau final Z x 1 x 2 x 3 f 1 f 2 RHS x f a. O que acontece na solução ótima (valor da função objetivo e das variáveis de decisão) se for inserida a nova restrição: 2x 1 + x 2 + 2x 3 12 (obs: se a solução corrente se tornar inviável é necessário obter a nova solução ótima). b. O que acontece na solução ótima (problema original com apenas 2 restições) se o coeficiente de x 2, na função objetivo, mudar de 1 para 5? Há mudança de base? Se há, encontre a nova solução ótima. Suponha que uma nova atividade com retorno unitário de 4 e vetor de consumo = (1,2) t. Essa atividade entraria na base? Se sim, encontre a nova solução ótima. 33. Uma empresa fabricante de sapatos previu as seguintes demandas, em unidades, para os próximos 6 meses: mês 1 200; mês 2 260; mês 3 240; mês 4 340; mês 5 190; mês Custa $7 para produzir um par de sapatos no turno de trabalho regular e $11 fora do turno regular. Em cada mês, a capacidade de produção, trabalhando-se apenas no turno regular, é de 200 pares de sapato e trabalhando-se forma do turno regular, a empresa consegue fabricar mais 100 pares de sapato. Sabendo-se que o custo mensal para estocar um par de sapatos é $1, formule o problema como um problema de transporte buscando minimizar o custo total de produção, atendendo a demanda dos 6 meses. 34. Uma grande empresa de transporte urbano serve cinco grandes cidades. CIDADE A B C D E Quantidade atual de ônibus Demanda para o próximo período Formule o problema da realocação dos ônibus, respeitando as restrições de demanda, de modo a minimizar a distância percorrida. 35. A partir do tableau de transporte DISTÂNCIA ENTRE AS CIDADES A B C D E A B C D E

10 A B C D Si Dj Responda: a. Mostre que a solução é ótima. b. O problema tem soluções ótimas alternativas (explique sua resposta)? c. Formule o PPL original e seu dual. d. Obtenha a solução ótima para o problema dual. e. Suponha que o custo c 43 é aumentado de $11 para $13. Essa solução ainda é ótima? Se não, encontre a nova solução ótima. 36. Um hospital precisa comprar 3 galões de um medicamento perecível para utilizar no mês corrente e 4 galões para utilizar no próximo mês. Como o medicamento é perecível, ele só pode ser utilizado ao longo do mês que foi comprado. Apenas duas empresas fabricam o medicamento (A e B) e existe falta deste no mercado. Por esse motivo, o hospital poderá comprar no máximo 5 galões do medicamento, de cada empresa, nos próximos 2 meses. O preço do galão do medicamento, por mês, por fabricante é dado na tabela abaixo: Fabricante Preço no mês corrente Preço no próximo mês A $800 $720 B $710 $750 Formule e resolva o problema como um problema de transporte buscando minimizar o custo total de aquisição do medicamento. 37. Formule o problema e aplique o método simplex simplificado, para o problema de transporte abaixo, para encontrar a solução de custo mínimo. Apresente em cada iteração e tabela de fluxos e a tabela de coeficientes (correspondente à linha (0) do tableau). A solução ótima encontrada é única? Justifique. Destino 1 Destino 2 Destino 3 Cap. oferta Origem Origem Origem Demanda Na terça-feira a empresa GT Railroad terá 4 locomotivas na IE Junction, 1 locomotiva em Certerville e 2 locomotivas em Wayover. Necessita-se 1 locomotiva em cada uma das estações: A-Station, Fine Place, Goodville e Somewhere Street. A tabela abaixo tem a distância entre as origens e os destinos:

11 A-Station Fine Place Goodville Somewhere Street. IE Junction Centerville Wayover Formule e resolva o problema de atribuição de locomotivas objetivando minimizar a distância total percorrida. 39. Uma companhia de transporte aéreo deve planejar suas compras de combustível. Existem 3 fornecedores e a companhia reabastece seus aviões em qualquer dos 4 aeroportos que serve. Os fornecedores de combustível comunicaram que podem fornecer as seguintes quantidades durante o próximo mês. CUSTO POR LITRO PARA O AEROPORTO FORNECEDOR LIMITE (em litros) ,00 2,80 2,40 2, ,50 2,90 2,90 3, ,80 3,20 3,10 2,50 As necessidades em cada aeroporto são: Aeroporto 1: litros Aeroporto 2: litros Aeroporto 3: litros Aeroporto 4: litros Formule e resolva o problema para que a companhia de transporte aéreo minimize o custo de compra. 40. Resolva o problema de atribuição pelo método Húngaro. 41. Uma grande empresa do segmento varejistas contrata consultores na área de TI para fazer o processamento dos dados transacionais de suas lojas. Na próxima semana a empresa pretende que os dados de 6 tarefas sejam processados e para isso precisa decidir quais consultores serão contratados (e qual ou quais serviços que cada consultor executará, ou seja, considere que cada tarefa pode ser executada por um ou mais consultores). A Tabela abaixo fornece os dados de número de horas de processamento para cada uma das 6 tarefas, a disponibilidade de horas de cada um dos consultores disponíveis e o custo, por hora, de cada uma dos consultores (por tarefa):

12 TAREFAS (CUSTO POR HORA): CONSULTOR DISPONIBILIDADE (em horas) ,00 40,00 35,00 38,00 35,00 40, ,00 30,00 25,00 30,00 30,00 30, ,00 45,00 45,00 45,00 50,00 50, ,00 38,00 38,00 35,00 35,00 35, ,00 30,00 35,00 35,00 30,00 40, ,00 50,00 40,00 45,00 45,00 40,00 HORAS DE PROCESSAMENTO: a. Formule e resolva o problema (encontre a solução ótima) buscando minimizar o custo total de execução das tarefas. b. O consultor 3 será contratado para executar alguma das tarefas? Se não, quanto ele precisaria reduzir seu custo por hora para ser contratado? 42. A General Ford produz veículos em L.A. e Detroit, possui um ponto de transbordo em Atlanta e entrega os veículos produzidos em Houston e Tampa. O custo de enviar veículos entre pontos é dados na Tabela abaixo: PARA DE L.A. Detroit Atlanta Houston Tampa L.A Detroit Atlanta Houston Tampa A fábrica de L.A. pode produzir até veículos por mês e a fábrica de Detroit pode produzir até veículos por mês. Houston deve receber veículos por mês e Tampa deve receber veículos por mês. Formule e resolva o problema buscando minimizar o custo total de transporte dos veículos. 43. Um executivo deve fazer as quatro viagens de ida e volta apresentadas na lista da Tabela P entre a matriz de sua empresa em Dallas e uma filial em Atlanta. O preço de uma passagem de ida e volta partindo de Dallas é $ 400. Há um desconto de 25% se as datas de chegada e de retorno de um bilhete abrangerem um final de semana (sábado e domingo). Se a estada em Atlanta demorar mais do que 21 dias, o desconto aumenta para 30%. Uma passagem só de ida (ou só de volta) entre Dallas e Atlanta (em qualquer direção) custa $ 250. Como o executivo deve efetuar a compra das passagens se quer minimizar o valor gasto em passagens?

13 44. A Figura abaixo dá o layout esquemático de uma oficina cujas centrais de trabalho existentes são designadas pelos quadrados 1, 2, 3 e 4. Quatro novas centrais de trabalho, I, II, III e IV, devem ser adicionadas à oficina nos locais designados pelos círculos a, b, c e d. Formule o problema e resolva objetivando designar as novas centrais aos locais propostos de modo a minimizar o tráfego total de manipulação de materiais entre as centrais existentes e as propostas. A Tabela Q resume a freqüência das viagens entre as novas centrais e as antigas. O equipamento de manipulação de materiais percorre os corredores retangulares que se cruzam nos locais das centrais de trabalho. Por exemplo, a distância de deslocamento em uma só direção (em metros) entre a central de trabalho 1 e o local b é = 50m. 45. A rede da Figura abaixo mostra as rotas de expedição de carros de três fábricas (nós 1, 2 e 3) para as três revendedoras (nós 6 a 8), passando por duas centrais de distribuição (nós 4 e 5). Os custos de expedição por carro (em $ 100) são mostrados nos arcos.

14 (a) Resolva a questão como um problema de transbordo. (b) Ache a nova solução ótima considerando que a Central de Distribuição 4 possa vender 240 carros diretamente a clientes. 46. Um fabricante de sapatos possui 6 máquinas. A tabela abaixo sumariza os custos variáveis e de set-up das máquinas, assim como sua capacidade. O fabricante recebeu uma encomenda de pares de sapato. Formule o problema que determina quais máquinas ele deve usar se o objetivo é minimizar o custo de produção. MÁQ CUSTO DE SET-UP ($) CUSTO VARIÁVEL ($) CAPACIDADE (PARES) Resolva os PPI pelos métodos branch-and-bound e de planos de corte: a) Max 2x 1 + 3x 2 S.A. x 1 + 3x 2 8,25 2,5x 1 + x 2 8,75 x 1, x 2 0 x 1, x 2 inteiros b) Max 5x 1 + 4x 2 S.A. x 1 + x x 1 + 6x 2 45 x 1, x 2 0 x 1, x 2 inteiros c) Min 5x 1 + 4x 2 S.A. 3x 1 + 2x 2 5 2x 1 + 3x 2 7 x 1, x 2 0

15 x 1, x 2 inteiros 48. Mostre graficamente que o seguinte PPI não tem nenhuma solução viável e então verifique o resultado usando o branch-and-bound. Maximizar z = 2x1 + x2 S.A. 10x1 + 10x2 9 10x1 + 5x2 1 x1, x2 0 e inteiras 49. Considere o seguinte PPI e seu tableau ótimo para o problema relaxado: Maximizar x 1 + x 2 S.A. -2x 1 + 2x 2 3 4x 1 - x 2 6 x 1, x 2 0 e inteiras Tableau ótimo para o problema relaxado Z x 1 x 2 f 1 f 2 RHS /6 2/3 13/2 x /3 1/3 4 x /6 1/3 5/2 a. Obtenha a solução ótima do PPI utilizando o método dos planos de corte de Gomory. b. Obtenha a solução ótima do PPI utilizando o método branch-and-bound. 50. Equipamentos de 7 tipos diferentes, pesando p 1 = 40, p 2 = 50, p 3 = 30, p 4 = 10, p 5 = 10, p 6 = 40 e p 7 = 30 kg, devem ser transportados em uma motocicleta com capacidade para 100 kg. Lucra-se L 1 =40, L 2 =80, L 3 =10, L 4 =10, L 5 =4, L 6 =20 e L 7 =60 unidades monetárias, respectivamente, para cada tipo de equipamento transportado. Formule o problema e resolva utilizando uma estratégia Branch & Bound para encontrar o valor da combinação mais lucrativa a ser transportada na motociclieta. 51. Uma fábrica de papel produz bobinas de papel com 70 polegadas de largura. Os clientes, porém, solicitam bobinas (do mesmo comprimento) com largura menor. O pedido de hoje são 125 bobinas de 20 polegadas e 100 bobinas de 23 polegadas. Formule o problema e resolva utilizando uma estratégia Branch & Bound para encontrar a solução que minimiza as perdas geradas pelos cortes. 52. Planejamento de missões de busca e salvamento: uma determinada região está sendo ameaçada pela ruptura de uma barragem e deve ser evacuada. Para efetuar a evacuação estão disponíveis veículos com capacidade para 24 pessoas. Para minimizar o pânico, todos os membros de uma família deverão viajar juntos. Na região existem 72 famílias de 6 pessoas, 148 famílias de 5 pessoas e 445 famílias de 4 pessoas. Faça o planejamento da evacuação de forma a minimizar o número de viagens necessárias (ou seja, o custo final da operação). a. Formule o problema de otimização (variáveis de decisão, função objetivo e restrições). b. Encontre a solução ótima para o problema (dica: é possível obter a solução ótima colocando na base as composições de famílias "mais eficientes" e mostrando que essa solução atende o critério de otimalidade).

16 53. Um motorista deseja sair da cidade 1 e chegar na cidade 7. Cada rota é composta de 3 trechos, cujas distâncias (em km) aparecem na figura abaixo. Formule o problema e encontre a rota mais curta entre as cidades 1 e 7 aplicando o algoritmo Dijkstra O Problema da rota mais curta: Ache a rota mais curta entre os nós 1 e 7 da rede abaixo. As distâncias entre os diferentes nós são mostradas na rede. 55. A Electro produz quinze componentes eletrônicos em dez máquinas. A empresa quer agrupar as máquinas em células projetadas para minimizar as dissimilaridades entre os componentes processados em cada célula. Uma medida da dissimilaridade, d ij, entre os componentes processados nas máquinas i e j pode ser expressa como onde n ij é o número de componentes compartilhados entre as máquinas i e j, e m ij é o número de componentes que é usado somente pela máquina i ou pela máquina j. A Tabela abaixo designa os componentes às máquinas.

17 (a) Expresse o problema como um modelo de rede. (b) Mostre que a determinação das células pode ser baseada na solução da árvore geradora mínima. (c) Para os dados apresentados na Tabela, construa as soluções de duas e três células. 56. Em transporte intermodal, caminhões-reboque carregados são despachados entre terminais ferroviários sobre vagões-plataformas especiais. A Figura abaixo mostra a localização dos principais terminais ferroviários nos Estados Unidos e as ferrovias existentes. O objetivo é decidir quais ferrovias devem ser revitalizadas para enfrentar o tráfego intermodal. Em particular, o terminal de Los Angeles (LA) deve ser conectado diretamente ao de Chicago (CH) para dar conta do esperado tráfego pesado. Fora estes, todos os terminais restantes podem ser conectados direta ou indiretamente de modo que o comprimento total (em milhas) das ferrovias selecionadas seja minimizado. Determine os trechos das ferrovias que devem ser incluídos no programa de revitalização. 57. A Figura abaixo apresenta as extensões das conexões viáveis para ligar nove bocas de poços localizadas em plataformas marítimas offshore de gás natural com um ponto de entrega em terra. Como a boca de poço 1 é a mais próxima do litoral, está equipada com capacidades de bombeamento e armazenagem suficientes para bombear a produção dos oito poços restantes até o ponto de entrega. Determine a rede mínima de tubulações para ligar as bocas de poço ao ponto de entrega.

18 58. Planejamento de produção. A DirectCo vende um item cujas demandas nos próximos quatro meses são 100, 140, 210 e 180 unidades, respectivamente. A empresa pode estocar apenas o suficiente para atender à demanda de cada mês, ou então pode manter excesso de estoque para satisfazer a demanda de dois ou mais meses subseqüentes e consecutivos. No último caso é cobrado um custo de permanência de $ 1,20 por unidade de excesso de estoque por mês. A DirectCo estima que os preços de compra por unidade para os próximos quatro meses serão $ 15, $ 12, $ 10 e $ 14, respectivamente. Um custo de preparação de $ 200 é incorrido toda vez que um pedido de compra é colocado. A empresa quer desenvolver um plano de compra que minimizará os custos totais de colocação de pedido, compra e permanência do item em estoque. Formule a questão como um problema de caminho mínimo e resolva aplicando o algoritmo Dijkstra. 59. Três refinarias enviam um produto à base de gasolina a dois terminais de distribuição por meio de uma rede de tubulações. Qualquer demanda que não puder ser satisfeita pela rede é adquirida de outras fontes. A rede de tubulações é atendida por três estações de bombeamento, como mostrado na Figura abaixo. O produto flui pela rede na direção mostrada pelas setas. A capacidade de cada segmento de tubulação (mostrada diretamente nos arcos) é dada em milhões de barris por dia. Determine o seguinte: (a) A produção diária em cada refinaria que combina com a máxima capacidade da rede. (b) A demanda diária em cada terminal que combina com a máxima capacidade da rede. (c) A capacidade diária de cada bomba que combina com a máxima capacidade da rede.

19 60. Construa a rede para o projeto que abrange as atividades de A a L com as seguintes relações de precedência: (a) A, B e C, as primeiras atividades do projeto, podem ser executadas concorrentemente. (b) A e B precedem D. (c) B precede E, F e H. (d) F e C precedem G. (e) E e H precedem I e J. (f) C, D, F e J precedem K. (g) K precede L. (h) I, G e L são as atividades terminais do projeto. 61. As atividades da Tabela abaixo descrevem a construção de uma nova casa. Construa a rede associada para o projeto, determine o caminho crítico para a rede do projeto e sua programação temporal. 62. Placas de circuitos (como as usadas em PCs) são equipadas com orifícios para a montagem de diferentes componentes eletrônicos. Os orifícios são perfurados por uma furadeira móvel. A matriz a seguir dá as distâncias (em centímetros) entre pares de seis orifícios de uma placa de circuitos específica.

20 (a) Formule o problema e resolva utilizando a heurística do vizinho mais próximo e da inversão. (b) Resolva o problema de determinação da sequência ótima de perfuração (de menor distância) utilizando a heurística do vizinho mais próximo repetitivo. (c) Resolva o problema de determinação da sequência ótima de perfuração (de menor distância) utilizando a heurística da inserção mais distante começando pelo ponto B. 63. Desejamos viajar de Cururupu no estado do Maranhão a Teresina, capital do Piauí. A Figura abaixo apresenta a rede de trajetos que estamos considerando possíveis. Os números sobre os arcos representam as distâncias em quilômetros e os números nos nós representam as cidades que, também, estão descritas na rede. Pede-se: a) Formule o problema do caminho mínimo para determinar a rota que minimiza a distância entre Cururupu e Teresina b) Resolva o problema utilizando o algoritmo Dijkstra. R: 436 km 1 Cururupu 49 3 Alcântara Pinheiro 105 Monção 2 6 Guimarães Bacabal Rosário 40 7 Itapecuru Mirim Brejo 146 Caxias Teresina - PI 64. Três refinarias enviam um produto à base de gasolina a dois terminais de distribuição por meio de uma rede de tubulações. A rede de tubulações é atendida por três estações de bombeamento, como mostrado na Figura abaixo. O produto flui pela rede na direção mostrada pelas setas. A capacidade de cada segmento de tubulação (mostrada diretamente nos arcos) é dada em mil barris por dia. Determine:

21 a) A produção diária em cada refinaria que combina com a máxima capacidade da rede. R: 1 150, 2 220, (Fluxo máximo = 550) b) A demanda diária em cada terminal que combina com a máxima capacidade da rede. R: , (Fluxo máximo = 550)