Prof. Denise Benino - UNINOVE

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1 Pequisa Operacional - Prof. Denise Benino denise.benino@uninove.br Introdução Pesquisa Operacional A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões, aplica conceitos e métodos de várias áreas científicas na concepção, planejamento ou operações de sistemas. A Pesquisa Operacional é usada para avaliar linhas de ação alternativas e encontrar as soluções que melhor servem aos objetivos dos indivíduos ou organizações. Através de desenvolvimentos de base quantitativa, a Pesquisa Operacional visa também introduzir elementos de objetividade e racionalidade nos processos de tomada de decisão, sem descuidar, no entanto, dos elementos subjetivos e de enquadramento organizacional que caracterizam os problemas. A Pesquisa Operacional surgiu durante a Segunda Guerra Mundial, da necessidade de lidar com problemas de natureza logística, tática e de estratégia militar de grande dimensão e complexidade. Para apoiar os comandos operacionais na resolução desses problemas, foram então criados grupos multidisciplinares de matemáticos, físicos, engenheiros e cientistas sociais. Esses cientistas não fizeram mais do que aplicar o método cientifico, que tão bem conheciam, aos problemas que lhes foram sendo colocados. Desenvolveram então a idéia de criar modelos matemáticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber os problemas em estudo e simular e avaliar o resultado hipotético de estratégias ou decisões alternativas. O sucesso e credibilidade ganhos durante a guerra foram tão grandes que, terminado o conflito, esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia de abordagem dos problemas se transferiram para as empresas que, com o "boom" econômico que se seguiu, se viram também confrontadas com problemas de decisão de grande complexidade. Em alguns países, em que prevaleceu a preocupação com os fundamentos teóricos, a Pesquisa Operacional se desenvolveu sob o nome de Ciência da Gestão ou Ciência da Decisão e em outros, em que predominou a ênfase nas aplicações, com o nome de Engenharia Industrial ou Engenharia de Produção. Seguiram-se então grandes desenvolvimentos técnicos e metodológicos que hoje, com o apoio de meios computacionais de crescente capacidade e disseminação, nos permitem trabalhar enormes volumes de dados sobre as atividades, não apenas das empresas, mas, também de instituições do setor público dentro e fora da área econômica. Face ao seu caráter multidisciplinar, a Pesquisa Operacional é uma disciplina científica de características horizontais com suas contribuições estendendo-se por praticamente todos os domínios da atividade humana, da Engenharia à Medicina, passando pela Economia e a Gestão Empresarial. Bibliografia: acesso 20/01/2012.

2 REVISÃO 1. Equação Linear em x é aquela que pode ser escrita na forma ax + b = 0 onde a e b são números reais com a 0. Exemplo: 2x + 3 = 7 Resolução: 2x 3 7 2x 7 3 2x 4 x x Exercícios: Resolva as equações abaixo: a) 6 3x = 0 b) x + 3 = - x 5 c) 3x = 24 d) 2x 3 = 4x 5 e) 4 3y = 2 ( y +4) f) 2(3-4z) 5 (2z+3) = x Plano Cartesiano - representação de pares ordenados. Podemos representar os pares ordenados (x,y) no plano cartesiano Exercícios : Represente os pares ordenados, no plano cartesiano acima: A (1, 3 ) ; B ( 0, 4) ; C ( -2, 4) ; D ( -5, 1) ; E ( -3, 0) ; F ( -1, -2 ) ; G ( -3, 1) ; H (0, -4) ; I (5, -2 ) ; J (6, 2) ; K (3, 0)

3 3. Função de 1º Grau (Função Linear) é aquela que pode ser escrita na formar y = ax + b onde a e b são números reais com a 0. Exemplo: y = 2x + 4 Representação gráfica da função de 1º grau. Representar graficamente a função de y = 2x + 4 x y (x,y) 0 4 (0,4) -2 0 (-2,0) Cálculo: Para x = 0 y = y = 4 Para y = 0 0 = 2x + 4 2x = -4 x = -2 Exercícios : Represente graficamente as funções a) y = -3x + 4 b) y = 4x + 8 c) y = -5x -6 d) y = 2x 1 e) y = 4x f) y = -3x

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5 PROGRAMAÇÃO LINEAR

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7 Exercícios: Apresentar o modelo de Programação Linear para cada item abaixo 1. A Indústria MóveisdoLar fabrica dois tipos de produtos : cadeiras e estantes. Os produtos apresentam as seguintes margens de contribuição por unidade: $10 por cadeira e $ 7 por estante por unidade. Os produtos são processados pelo departamento de montagem e pelo departamento de acabamento. No departamento de montagem cada unidade de cadeira utiliza 3 h e cada unidade de estantes utiliza 3 h do departamento. No departamento de acabamento são utilizadas 6h para cada unidade de cadeira e 3h para cada unidade de estante. Nesta industria os departamentos apresentam algumas limitações em sua capacidade produtiva sendo que a montagem tem disponibilidade máxima de 20 horas e o acabamento tem disponibilidade máxima de 38 horas. Deseja-se saber qual deve ser a produção de cadeiras e estantes para que a margem de contribuição total seja maior possível. 2. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema. 3. Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de R$ 120,00 por unidade e P2, R$ 150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso dos recursos. Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema. Produto Recurso R1 por unidade Recurso R2 por unidade Recurso R3 por unidade P P Disponibilidade de recursos por mês

8 4. (ANDRADE-2009) Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer gasolina pura, octana e aditivo que são disponíveis nas quantidades de , e litros por semana, respectivamente. As especificações de cada tipo são: Um litro de gasolina verde requer 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e 0,28 litro de aditivo; Um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro de octana e 0,14 litro de aditivo; Um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro de octana e 0,06 litro de aditivo. Como regra de produção, com base na demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde, e que a quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum dá uma margem de contribuição para lucro de $ 0,30, $ 0,25 e $ 0,20, respectivamente, e seu objetivo é determinar o programa de produção que maximiza a margem total de contribuição para o lucro.apresente o modelo de PL para esse problema. 5. (PASSOS-2008) A empresa Afia Bem Ltda produz na Seção B três modelos de facas: a Padrão (P), a Média (M) e a Grande (G). No processo de fabricação das facas são utilizadas, primeiramente, três máquinas que fazem o corte da lâmina, a modelagem e a afiação. Uma quarta máquina faz o cabo das facas e uma quinta máquina faz a montagem. Os tempos, em segundos, gastos em cada máquina são a seguir especificados: Tempos de máquinas por tipo de faca Máquina Corte Modelagem Afiação Cabo Montagem Modelo Padrão Médio 10 15, Grande Os tempos disponíveis, diariamente, de cada máquina são de 4 horas para o corte, 6 horas para a modelagem, 6 horas para a afiação, 8 horas para o cabo e 8 horas para a montagem. Uma faca do modelo Padrão tem uma lâmina de 25cm², uma do modelo Médio tem 32 cm² e uma do modelo Grande, 45cm². Cada chapa metálica que dá origem às lâminas tem 2m x 1m. A disponibilidade diária de chapas metálicas é de 2,5 chapas.

9 As contribuições para os lucros são de $ 3,20, $ 4,00 e $ 4,70 unidade monetárias para os modelos Padrão, Médio e Grande, respectivamente. Deseja-se formular o modelo para calcular as quantidades a serem produzidas dos tipos Padrão, Médio e Grande que maximizem o lucro da empresa. Apresente o modelo de PL. 6. Uma empresa de engenharia irá construir uma estrada em determinada região do país. Para isso, necessita retirar um grande volume de terra onde será construído um viaduto. Ele dispõe de caminhões com capacidade de carregamento de 20 toneladas e 30 metros cúbicos de volume e caminhões com capacidade de 15 toneladas e 24 metros cúbicos de volume. A quantidade de terra a ser transportada foi calculada em toneladas e o volume de metros cúbicos. Os caminhões maiores têm um custo, por viagem, de $ 65,00 e cada caminhão de capacidade menor, $ 56,00. Quantas viagens devem ser feitas para que o custo da empresa seja mínimo? Modele esse problema de PL. 7. Uma empresa produz dois tipos de reboques: luxo, que é utilizado em carros de passeio, e comercial, para ser acoplado em camionetes. Na produção dos reboques são utilizados os departamentos de montagem e de pintura, os quais têm a seguinte matriz tecnológica: Quadro 1 Tempos por departamento Departamento Tipo Luxo Comercial Montagem 5 2 Pintura 4 1 A empresa tem 15 funcionários no departamento de montagem e 8 no departamento de pintura, que trabalham 8 horas, diariamente. Sabendo-se que um reboque de luxo dá uma contribuição para o lucro de $360,00 e um do tipo comercial $ 285,00, qual deve ser a produção da empresa que lhe proporcionará o maior lucro possível? Monte o modelo matemático para esse problema. 8. Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 300m de tábuas, 600m de pranchas e 500m de painéis de aglomerado. Oferece normalmente 4 modelos de móveis: Escrivaninha, Mesa, Armário e Prateleira. Os modelos são vendidos respectivamente por $100,00; $80,00; $120,00; $30,00. E consomem: Escrivaninha: 1m tábua, 3m de painéis. Mesa: 1m tábua, 1m prancha, 2m painéis. Armário: 1m tábua, 1m prancha, 4 painéis. Prateleira: 4m tábua, 2 de prancha. O objetivo da empresa é aumentar a receita. Construa o modelo matemático.