Prof V Vargas, IST Método de Karnaugh II 26/11/13, Pg 1/10

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1 Prof V Vargas, IST Método de Karnaugh II 26/11/13, Pg 1/10

2 Prof V Vargas, IST Método de Karnaugh II 26/11/13, Pg 2/10 Método de Karnaugh II / 7aº Projecto Até agora, Projecto a Projecto, e decidida a codificação das entradas e saídas, o que se fez depois foi escrever a Tabela de Verdade Na sessão anterior, a etapa seguinte foi transpô-la para um Mapa de Karnaugh Mas, para bom entendedor, na resolução de um Projecto genérico não é obrigatório começar por escrever a Tabela de Verdade para depois a transpor para um Mapa de Karnaugh; tal como para as outras sessões, irá partir-se de um Projecto concreto para exemplificar essa praxis (ficando o leitor desde já convidado a, partindo dos enunciados dos Projectos 3 e 4, preencher directamente os respectivos Mapas, sem antes escrever as correspondentes Tabelas). Considere um júri com quatro membros {B 3, B 2, B 1, B 0 }; cada um tem à sua disposição um botão com que aprova ou reprova o candidato Se e só se a maioria estiver a favor da aprovação, uma lâmpada verde acende. Em caso de empate, o presidente, B 3, tem voto de qualidade. Pretende-se um circuito para controlar a lâmpada O Mapa de Karnaugh para 4 variáveis {B 3, B 2, B 1, B 0 } encontra-se ao lado; como seria expectável, à esquerda, dispõem-se duas colunas, representando os dois membros do júri de maior índice, {B 3, B 2 } (ficando à esquerda o de maior índice, B 3 }; no topo, dispõem-se duas linhas, representando os dois membros do júri de menor índice, {B 1, B 0 } (ficando em baixo o de menor índice, B 0 }; célula a célula, confere-se quais os valores que aí tomam as variáveis ; V volve-se 1 (i.e., a lâmpada verde acende) apenas em oito células: quando três ou mais das variáveis, ou B 3 e alguma outra, forem 1 (Repare o leitor: assim procedendo, é irrelevante conhecer a numeração das células no seio do Mapa) Conhecido o Mapa de Karnaugh, faz-se o levantamento mental das associações de termos adjacentes: associando verticalmente 1 s que se encontrem na mesma coluna, logram-se quatro ovais, vidé ao lado: {7, 15} B 2B1B0 ; {9, 13} B 3 B 1B0 ; {11, 15} B 3B1B 0 ; {10, 14} B 3 B 1B0 ; associando horizontalmente 1 s que se encontrem na mesma linha, logra-se cinco ovais, vidé ao lado: {12, 13} B 3B2B1 ; {13, 15} B 3B2B 0 ;{ 14, 15} B 3B2B 1 ; {9, 11} B 3B2B0 ; {10, 11} B 3B2B 1 Estas nove ovais cobrem apenas 1 s; por outro lado, todos os 1 s acabam por ficar dentro de alguma oval. Pelo que se pode inferir que a função pode exprimir-se como um OR dos termos acima (não necessariamente todos) Ao fazê-lo, porém, advém uma expressão em que alguns deles se poderão aglutinar: ovais verticais: B 3 B 1B0 + B3B1B 0 B 3 B 0 ; B 3B1B 0 + B3 B 1B0 B 3 B 1 ; ovais horizontais: B 3B2B1 + B3B2B 1 B 3 B 2 ; B 3B2B0 + B3B2B0 B 3 B 0 ; B 3B2B1 + B3B2B 1 B 3 B 1. Repare-se: B 3 B 0 corresponde à aglutinação de duas ovais adjacentes! Idem para B 3 B 1 e B 3 B 2. Pretendendose a expressão mais simples para a função, há então que refinar a praxis seguida até agora: após levantar mentalmente as ovais correspondentes a pares de células adjacentes, há que investigar se algumas há que sejam adjacentes entre si; encontradas duas ovais, traça-se uma oval que as cubra (e muito importante! doravante ignoram-se as ovais que lhe deram origem)! No caso entre mãos, as ovais cobrindo células adjacentes ficam então reduzidas a: B 3 B 0 {9, 11, 13, 15}; B 3 B 1 {10, 11, 14, 15}; B 3 B 2 {12, 13, 14, 15}; B2B1B 0 {7, 15}; Resumindo: a função assume 1 em 8 células o que significa 8 mintermos (que são produtos das 4 variáveis); todas elas se podem aglutinar em pares adjacentes resultando 9 termos de produto com 3 variáveis; destes, alguns podem aglutinar-se resultando 3 termos de produto com 2 variáveis. Todos eles são produtos que assumem o valor 1 apenas para combinações de variáveis para as quais a função também se volve em 1 (Diz-se que a função cobre esses produtos). De acordo com a terminologia já introduzida na precedente sessão, conclui-se então: a função tem um total de 20 (=8+9+3) implicantes. As células podem aglutinar-se num total de quatro ovais que já se não podem aglutinar mais. Aos correspondentes 4 implicantes dá-se nome de implicantes primos. A solução final vem a ser uma selecção desses quatro implicantes primos: determinam-se, entre as correspondentes (4) ovais, quais as necessárias e suficientes para cobrir todos os 1 s da função, vidé ao lado. Adiante, aborda-se como, no sentido de chegar à solução mais simples, fazer adequadamente essa selecção.

3 Prof V Vargas, IST Método de Karnaugh II 26/11/13, Pg 3/10

4 Prof V Vargas, IST Método de Karnaugh II 26/11/13, Pg 4/10 Método de Karnaugh II / Estudo de caso SOP: 3 Variáveis Para lograr a expressão mais simplificada para uma função, há que operar uma selecção apropriada, entre os seus implicantes primos. A abordagem do método de Karnaugh para tal irá desenrolar-se em torno de casos Z B, B,, cujo Mapa de Karnaugh se indica ao lado. concretos. O primeiro caso é uma função de 3 variáveis, 2 1 B0 Pressuposto que se quer a expressão algébrica da função sob a forma de uma SOP, a primeira etapa é proceder ao levantamento mental dos seus implicantes primos. Percorre-se o Mapa, linha a linha e coluna a coluna, começando pelo canto superior esquerdo até terminar no canto oposto; e, para cada célula com um 1, discernemse os implicantes primos que a cobrem e, mentalmente, para cada um, desenha-se a pertinente oval. No caso, seja a célula 0 ; posto que existem 3 variáveis, ela terá certamente 3 células adjacentes, a saber: {1, 2 e 4}; posto que as células {2 e 4} contêm 0, só existe uma oval possível (cobrindo a célula 0 ): {0, 1}, vidé ao lado; considere-se agora a célula 1 ; as células que lhe são adjacentes são: {0, 3 e 5}; mas só as células {0 e 5} é que contêm 1 pelo que só existem duas ovais possíveis (cobrindo a célula 1 ): {0, 1} e {1, 5}; considere-se agora a célula 5 ; as células que lhe são adjacentes são: {1, 4 e 7}; mas só as células {1 e 7} é que contêm 1 pelo que só existem duas ovais possíveis (cobrindo a célula 5 ): {1, 5} e {5, 7}; considere-se enfim a célula 7 ; as células que lhe são adjacentes são: {3, 5 e 6}; mas só a célula 5 é que contém 1 pelo que só existe uma oval possível (cobrindo a célula 7 ): {5, 7}. A cada oval corresponde uma expressão algébrica que se constrói de maneira parecida com a dos mintermos: forma-se um produto de variáveis. Para cada variável: se ela for 1 para todas as células dessa oval, ficará na forma normal; se for 0 para todas as células dessa oval, ficará na forma complementar; se não tiver sempre o mesmo valor em todas as células dessa oval, ela será excluída desse produto. Como exemplo de aplicação, veja-se a oval {1, 5}: a expressão algébrica será B 1 B 0, pois {B 2=0 na célula 1, mas B 2 =1 na célula 5 exclui-se B 2 ; B 1 =0 usa-se forma complementar; B 0 =1 usa-se forma normal}. No total, por conseguinte, há a considerar três ovais/implicantes primos: {0, 1} B 2 B 1 ; {1, 5} B 1 B 0 ; {5, 7} B 2 B 0 Serão necessários todos estes implicantes primos? Em caso contrário, quais a ignorar? A resposta irá basear-se no seguinte: a solução tem que cobrir todos os 1 s, não pode nenhum ficar de fora! A este respeito, existe uma diferença notável entre as células {1 e 5} e {0 e 7}: concretamente, veja-se o caso da célula 1 : existem duas ovais / implicantes primos ( B 2 B 1 e B 1 B 0 ) cobrindo-a! E, para a célula 5, o mesmo se verifica: existem duas ovais / implicantes primos ( B 1 B 0 e B 2 B 0 ) cobrindo-a! Isso significa uma certa liberdade na escrita da solução. Para cobrir a célula 1, pode escolher-se entre B 2 B 1 e 1 B 0 B ; e, para cobrir a célula 5, pode escolher-se entre B 1 B 0 e B 2 B 0 ; veja-se agora o caso da célula 0 : só existe uma oval / implicante primo ( B 2 B 1 ) cobrindo-a! E, para a célula 7, o mesmo se verifica: só existe uma oval / implicante primo ( B 2 B 0 ) cobrindo-a! Isso significa que, no tocante às células {0, 7}, não há liberdade na escrita da solução. Para cobrir a célula 0, não há outra escolha possível: tem que se escolher B 2 B 1. Idem para a célula 7 : tem que se escolher B 2 B 0. A um implicante primo que tem obrigatoriamente que fazer parte da solução pois para alguma das células que ele cobre não há outra maneira de a cobrir!, dá-se o nome de implicante primo essencial. (Acentue-se: o que se desenvolveu acima é um exercício puramente mental; porém, por mor de o leitor o acompanhar, apresenta-se ao lado uma carta dos implicantes primos e das células que eles cobrem ) Há então dois implicantes primos essenciais. Pode então começar-se já a escrever: V = B 2 B 1 + B 2 B 0 + Os com que V finda significam que quiçá tenha que se adicionar algo mais É o que se irá ver a seguir. Em termos práticos, todavia, o que há a fazer é tão só isto: quando e apenas quando se discernir um implicante primo essencial, há que, de imediato, traçar a correspondente oval no Mapa de Karnaugh. No caso, tendo analisado a célula 0 e descoberto que só há uma oval que a cobre traça-se a oval {0, 1}! e tendo analisado a célula 7 e percebido que só há uma oval que a cobre traça-se a oval {5, 7}! Ao fazê-lo, porém, vêm a ficar cobertos todos os 1 s da função! E, porquanto se procura a expressão mais simplificada para V, deve ignorar-se a oval {1, 5}

5 Prof V Vargas, IST Método de Karnaugh II 26/11/13, Pg 5/10

6 Prof V Vargas, IST Método de Karnaugh II 26/11/13, Pg 6/10 Método de Karnaugh II / Estudo de caso SOP: 4 Variáveis Na continuação do estudo do método de Karnaugh para conseguir a expressão mais simplificada para uma Z A, B,C,D, vidé Mapa de Karnaugh ao lado. função, aborda-se agora o caso de uma de 4 variáveis, Pressuposto que se quer a expressão algébrica da função sob a forma de uma SOP, a primeira etapa é percorrer o Mapa; e, para cada célula com 1, discernir os implicantes primos sob a forma de ovais que a cobrem no tocante à célula 0, ela é coberta por duas ovais: {0, 1, 3, 2} e {0, 2, 4, 6}; no tocante à célula 1, é coberta por outras duas ovais: {0, 1, 3, 2} e {1, 9}; no tocante às células 3 e 2, são cobertas por outras duas ovais: {0, 1, 3, 2} e {3, 2, 7, 6}; e assim por diante (Não esquecer: as asserções acima significam que doravante se ignoram as ovais {0, 1}, {3, 2}, {0, 2} e {1, 3}, pois estão cobertas por {0, 1, 3, 2}; idem para as ovais {4, 6}, {0, 4} e {2, 6}, pois estão cobertas por {0, 2, 4, 6}; e idem para as ovais {7, 6} e {3, 7}, pois estão cobertas por {3, 2, 7, 6}) Prosseguindo o varrimento das células com 1, as conclusões podem ser listadas mentalmente numa carta dos implicantes primos e das células que eles cobrem, vidé ao lado. Ora, é patente que nenhum dos implicantes primos é essencial: qualquer uma das onze células com 1 pode ser coberta por ao menos duas ovais! Nenhum implicante primo ser essencial significa que não há nenhum implicante primo que tenha mesmo que fazer parte da solução! A solução volver-se-á, então, numa sábia escolha: há que seleccionar, entre os implicantes primos, o conjunto mais simples que cobre todas as células com 1 do Mapa! as células com 1 a cobrir são as seguintes: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 13, 15}; pretendendo-se a expressão mais simples para a função, será natural começar por concentrar a atenção numa célula que seja coberta por uma das ovais maiores (no caso, as que cobrem 4 células). Seja, nomeadamente, o caso da célula 0 ; ela é coberta pelas ovais {0, 1, 3, 2} e {0, 2, 4, 6}; escolhendo a primeira delas, far-se-á o seguinte: traça-se de imediato, no Mapa, uma oval cobrindo as células {0, 1, 3, 2}; e escreve-se Z AB... ; com o que, doravante, só falta cobrir as células {4, 6, 7, 9, 12, 13, 15}; de novo, será natural centrar a atenção numa célula coberta por uma das ovais maiores o que sucede com as células {4 e 6}. Ora, a célula 4 é coberta por {0, 2, 4, 6} e a célula 6 é coberta por {0, 2, 4, 6} e {3, 2, 7, 6}; qualquer destas ovais cobre duas células do conjunto que falta cobrir pelo que quiçá seja indiferente escolher uma ou outra Optando por {0, 2, 4, 6} traça-se de imediato, no Mapa, uma oval cobrindo as células {0, 2, 4, 6}; e escreve-se Z AB AD; com o que, doravante, só falta cobrir as células {7, 9, 12, 13, 15\}; para as cobrir, oferecem-se as seguintes ovais: {3, 2, 7, 6}, {1, 9}, {4, 12}, {7, 15}, {12, 13}, {13, 9} e {13, 15}; o desafio é seleccionar, entre elas, o conjunto mais simples que cobre aquelas cinco células que falta cobrir! Ora, relativamente a elas, {3, 2, 7, 6} cobre apenas a célula {7}; {1, 9} cobre apenas a célula {9}; {4, 12} cobre apenas a célula {12}; {7, 15} cobre as células {7 e 15}; {12, 13} cobre as células {12 e 13}; {13, 9} cobre as células {9 e 13}; {13, 15} cobre as células {13 e 15}; Uma escolha possível será {9 e 13}, {7, 15} e {4, 12} ou seja: Z AB AD ACD BCD BCD Há várias outras soluções possíveis. Ao lado, listam-se três, e o leitor poderá deduzir outras É hora de confrontar o caso presente com os Mapas de Karnaugh já discutidos: no Mapa do 7aº Projecto, há 4 implicantes primos, todos essenciais pelo que todos farão parte da solução; no Mapa do Estudo de caso SOP: 3 Variáveis, há 3 implicantes primos, dos quais dois são essenciais e o restante é não essencial e que acabou por ser ignorado na escrita da expressão algébrica da função; no Mapa do Estudo de caso SOP: 4 Variáveis, não é essencial nenhum dos nove implicantes primos acabando a solução por suportar-se em apenas cinco deles, e portanto ficando ignorados os restantes quatro. Resta, então, o caso de um Mapa com implicantes primos essenciais e alguns não-essenciais, dos quais nem todos sejam ignorados quando houver que escrever a expressão simplificada da função É o que se vai abordar a seguir

7 Prof V Vargas, IST Método de Karnaugh II 26/11/13, Pg 7/10

8 Prof V Vargas, IST Método de Karnaugh II 26/11/13, Pg 8/10 Método de Karnaugh II / Estudo de caso SOP: 5 Variáveis Considere-se a função de 5 variáveis A, B,C,D, E Z cujo Mapa de Karnaugh é dado ao lado. A primeira etapa é percorrer o Mapa, começando pelo canto superior esquerdo até terminar no canto oposto No tocante à célula 0, e havendo 5 variáveis, ela (como também qualquer uma outra) terá 5 células adjacentes; são elas, é claro, as células {1 e 8}, mas também as células {2, 4 e 16} porquanto cada uma, relativamente a algum dos espelhos a considerar no Mapa (aliás ao lado assinalados), é simétrica da célula 0. Porém e pressuposto que se deseja a expressão algébrica da função sob a forma de uma SOP há que ter em conta que nem todas elas comportam 1 : só há a considerar, como candidatas a aglutinar à célula 0, o conjunto {1, 2, 4 e 16}. A primeira dedução é: com a célula 0 podem formar-se as ovais {0, 1}, {0, 2}, {0, 4} e {0, 16}. (Abra-se um parêntesis Posto que, na construção de uma SOP, são relevantes somente as células com 1, é comum operar uma simplificação no Mapa: deixam-se em branco as células com 0, vidé ao lado) Uma pergunta se põe agora: estará alguma daquelas quatro ovais coberta por uma oval mais gorda? Veja-se a oval {0, 1}. A resposta àquela pergunta volve-se em encontrar alguma oval que lhe seja adjacente e o próprio leitor conseguirá descobrir por si que lhe são adjacentes as duas ovais {3, 2} e {16, 17}: com efeito, cada uma destas, relativamente a algum dos espelhos, é simétrica de {0, 1}; pelo que se deve ignorar doravante a oval {0, 1} e só reter as ovais {0, 1, 3, 2} e {0, 1, 16, 17}. E a pergunta regressa: estará alguma destas coberta por uma oval mais gorda? A resposta é: não ou seja: {0, 1, 3, 2} e {0, 1, 16, 17} denotam implicantes primos! Será algum essencial? Eis como o discernir: para cada um, verifica-se se alguma das suas células só pode ser coberta por ele. Quanto a {0, 1, 3, 2}, constata-se: as células {0 e 1} são também cobertas por {0, 1, 16, 17}; 3 é também coberta por {3, 11}; e 2 é também coberta por {3, 2, 19, 18}; ou seja: {0, 1, 3, 2} não é essencial.. Quanto a {0, 1, 16, 17}, constata-se: as células {0 e 1} são também cobertas por {0, 1, 3, 2}; 16 é também coberta por {16, 18}; e 17 é também coberta por {17, 21}; ou seja: {0, 1, 16, 17} também não é essencial. Veja-se agora a oval {0, 2}. Há duas ovais concretamente, {6, 4} e {16, 18} que lhe são adjacentes: cada uma, relativamente a algum espelho, é simétrica de {0, 2}; pelo que se deve ignorar doravante {0, 2} e só reter as ovais {0, 2, 6, 4} e {0, 2, 16, 18}. E de novo há que perguntar: estará alguma destas ovais coberta por uma mais gorda? A resposta é: sim! {16, 18, 22, 20} é adjacente a {0, 2, 6, 4}, e {6, 4, 22, 20} é adjacente a {0, 2, 16, 18} pelo que se deve ignorar doravante {0, 2, 6, 4} e {0, 2, 16, 18} e só reter a oval {0, 2, 6, 4, 16, 18, 22, 20}. E, de novo: estará ela coberta por uma mais gorda? A resposta é: não ou seja: ela representa um implicante primo! Qual a sua expressão algébrica? É B E pois {B=0 e E=0 (nas 8 células da oval) usa-se forma complementar; mas A, C e D não assumem sempre o mesmo valor naquelas 8 células excluem-se A, C e D }. Parêntesis: Revendo os casos estudados, observa-se que ovais de 2, 4 ou 8 células representam implicantes onde faltam, respectivamente 1, 2 ou 3 das variáveis da função; vice-versa, e generalizando: para lograr um implicante onde faltam n variáveis da função, é necessário aglutinar 2 n células, em que cada uma é adjacente a outras n. Entretanto, convém inquirir: será ele essencial? Para o discernir, repete-se a praxis acima: verifica-se se ao menos uma das suas células só pode ser coberta por ele. Constata-se: a célula 0 é também coberta por {0, 1}; a célula 2 é também coberta por {2, 3}; a célula 6 é também coberta por {6, 14}; mas quanto à célula 4, não há outra maneira de a cobrir do que se infere: o implicante primo em causa é mesmo essencial! O que significa que a expressão da função será Z BE... e, ipso facto, já não há lugar à interrogação como cobrir as células {0, 2, 6, 4, 16, 18, 22, 20}?. Para o salientar visualmente, traça-se de imediato sobre o Mapa a oval que as cobre ficando claro que, doravante, só há que discernir como cobrir as células {1, 3, 11, 14, 15, 27, 30, 31, 29, 17, 21}. Deixa-se ao leitor a tarefa de as ir percorrendo e concluir da existência dum implicante primo essencial mais: {11, 15, 27, 31} pois não há outro modo de cobrir a célula 27. Pelo que será Z BE BDE... e, ipso facto, já não há que inquirir como cobrir as células {11, 15, 27, 31}?. Para o salientar visualmente, traça-se a oval que as cobre clarificando que, doravante, só há que saber como cobrir as células {1, 3, 14, 30, 29, 17, 21} com alguns dos (8) implicantes primos restantes. Quanto a estes, poderá o leitor mesmo deduzir que nenhum é essencial, pelo que lhe resta operar uma selecção entre eles, vidé ao lado duas alternativas. Seja permitido findar este estudo de caso com uma verdade de La Palisse: o desenvolvimento acima deverá ser bastante para certificar o leitor que, para saber aplicar bem o algoritmo de Karnaugh, há que praticar bastante

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10 Prof V Vargas, IST Método de Karnaugh II 26/11/13, Pg 10/10 Método de Karnaugh II / 7bº Projecto Em todos os Projectos até agora abordados, e tendo decidido quais as entradas a ter em conta num circuito, nunca houve dúvidas sobre qual deveria ser a sua saída para qualquer que fosse a combinação dos valores assumidos por aquelas entradas. Isso nem sempre acontece: há circuitos para os quais se verifica o que em Sistemas Lógicos/Digitais se designa comummente de Indiferenças (Don t care, no jargão anglo-saxónico). Quiçá ajude perceber essa eventualidade concretizá-la através de um Projecto apropriado, vidé enunciado ao lado. É pacífico o preenchimento da Tabela de Verdade, vidé ao lado onde é patente que ficaram três casos por especificar; de facto, e pressuposta a codificação ao lado, qual a saída que o Circuito deverá produzir para as combinações {S=0, G=1} que devem ser entendidas como um Homem Grávido? e para as combinações {I=0, G=1} que devem ser entendidas como Grávido com menos de 10 anos? Essas combinações das entradas são, em termos práticos, inexpectáveis; então, não há que especificar a saída do circuito para essas combinações: para quê fazê-lo, se correspondem a situações que na vida real se espera que nunca irão ocorrer? Circuitos assim designam-se máquinas incompletamente especificadas; o mesmo se dirá de circuitos em que, ao menos para uma combinação das entradas passível de ocorrer, a respectiva saída é irrelevante. Para uma combinação de entradas assim em que a saída do circuito é irrelevante, a Tabela de Verdade é preenchida com um X. A especificação da função volve-se então em dois s: um listando os mintermos (isto é, as combinações de entradas para as quais a função assume o valor 1 ), e um outro listando as combinações para as quais o valor da função é irrelevante. No caso, A m 0,4,7 d 1,3,5 O preenchimento do Mapa de Karnaugh é feito como habitualmente a diferença sendo que, nas células correspondentes a combinações para as quais o valor da função é irrelevante, se inscreve um X, vidé ao lado. Uma questão óbvia se põe agora: como aplicar o algoritmo de Karnaugh, quando o Mapa comporta X s? A resposta é: aplica-se exactamente como foi explicado com o cuidado de tratar cada X como um joker : se, por mor de obter uma expressão mais simples para a função, convier tratá-lo como 1, então ele é tratado como um 1 (e se convier tratá-lo como 0, então ele é tratado como um 0 ). No caso, e visando lograr a SOP mais simples, é óbvia a oval {0, 4}; mas há que perguntar: estará ela coberta por uma mais gorda? A resposta depende do valor que se atribuir aos X s nas células {1, 5}: se eles forem tratados como 1 s, então é claro que existe uma oval mais gorda e por conseguinte remetendo para um implicante mais simples, concretamente {0, 1, 4, 5}. Quanto a esta, não há nenhuma oval mais gorda que a cubra de que se conclui que representa um implicante primo; pode aliás verificar-se que ele é essencial Então, para o salientar visualmente, traça-se de imediato sobre o Mapa a oval que as cobre. similarmente, que valor atribuir aos X s para cobrir a célula 7 com uma oval o mais gorda possível? A resposta é óbvia: se todos os X s forem tratados como 1 s, chega-se à oval {1, 3, 5, 7} que obviamente representa um implicante primo essencial. A SOP mais simples será então: A I G. Se, em alternativa, se pretender a POS mais simples, é óbvia a oval {2, 6}; mas há que perguntar: será possível cobri-la com uma mais gorda? O leitor poderá por si deduzir que não: as ovais que lhe são adjacentes são {0, 4} que está preenchida com 1 s, e {3, 7} que comporta um 1. Independentemente do valor a atribuir aos X s, não é pois possível aglutinar {2, 6} com {0, 4} ou {3, 7}: a POS mais simples será então: A I G. Materializada esta expressão num Circuito, nada impede que alguém lhe force nas entradas as combinações impossíveis ({S=0, G=1} e {I=0, G=1}). Qual será então a saída do circuito? Não custa discerni-lo: será 1 Um parêntesis final: neste Projecto, os X s vieram todos a ser considerados como 1 s mas essa não é a regra geral: Projectos haverá onde dará mais jeito considerar alguns X s como 1 s (e os restantes como 0 s).