Provas da OMCPLP2016

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1 Provas da OMCPLP2016

2 Primeiro dia 7 de outubro de ) Considere inteiros positivos distintos que são todos primos entre si (isto é, não existe um fator primo comum a todos), mas tais que quaisquer dois deles não são primos entre si. Qual é a menor quantidade de fatores primos distintos que podem aparecer no produto dos números? 2) Duas circunferências se intersectam em e. Uma reta é tangente às duas circunferências nos pontos e. Suponha que pertence ao interior do triângulo. Sejam o ortocentro do triângulo e o ponto médio do segmento. Mostre que está na reta que passa pelo centro das duas circunferências. Nota: O ortocentro de um triângulo é o ponto de interseção de suas alturas. 3) Suponha que um número real é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Considere, então,. Dizemos que é um gingado de. Por exemplo, como é raiz de, é um gingado de. Qual é o quarto maior número real tal que é um gingado de?

3 Segundo dia 8 de outubro de ) Uma sequência numérica é denominada lusófona se satisfaz as seguintes três condições: i) O primeiro termo da sequência é o número 1. ii) Para obter o próximo termo da sequência podemos multiplicar o termo anterior por um número primo positivo ( ) ou adicionar 1. iii) O último termo da sequência é o número. Por exemplo: Quantas sequências lusófonas existem nas quais (como no exemplo acima) a operação adicionar foi utilizada exatamente uma vez e não se multiplicou duas vezes pelo mesmo número primo? 5) Dois jogadores e decidem disputar um jogo de tabuleiro usando um supercavalo. Primeiro escolhe dois inteiros positivos e que definirão os movimentos do supercavalo, que agora será o supercavalo-(, ). O supercavalo-(, ) pode mover-se casas numa direção e casas na direção perpendicular, como ilustrado na figura. O supercavalo-(, ) salta diretamente da casa inicial para a casa final, não passando por nenhuma casa entre elas. Em seguida, escolhe inteiros positivos e, que indicam que o tabuleiro deve ser. Após essas escolhas, coloca o supercavalo em uma casinha do tabuleiro. Os jogadores e movem alternadamente o supercavalo-(, ), começando o jogador. Não é permitido mover o supercavalo-(, ) para uma casa em que ele já esteve. Perde o primeiro jogador que não puder jogar. Qual dos dois jogadores possui estratégia vencedora? 6) Considere as potências de com expoente inteiro positivo, ou seja, os números da forma em que é um inteiro positivo: Prove que toda potência de com expoente inteiro positivo pode ser escrita na forma com e ímpares positivos.

4 Provas da OMCPLP2016

5 Segundo dia 8 de outubro de ) Oito seleções de futebol da CPLP disputaram um campeonato no qual cada time jogou uma única vez com cada um dos demais times. No futebol, cada vitória vale 3 pontos, cada empate vale 1 ponto e a seleção derrotada não pontua. Nesse campeonato quatro seleções ficaram em primeiro lugar com 15 pontos e as outras quatro ficaram em segundo lugar com pontos cada. Sabendo que houve empates durante todo o campeonato, determine. 5) Uma sequência numérica é denominada lusófona se satisfaz as seguintes três condições: i) O primeiro termo da sequência é o número 1. ii) Para obter o próximo termo da sequência podemos multiplicar o termo anterior por um número primo positivo ( ) ou adicionar 1. iii) O último termo da sequência é o número. Por exemplo: Quantas sequências lusófonas existem nas quais (como no exemplo acima) a operação adicionar foi utilizada exatamente uma vez e não se multiplicou duas vezes pelo mesmo número primo? 6) Considere as potências de com expoente inteiro positivo, ou seja, os números da forma em que é um inteiro positivo: Prove que toda potência de com expoente inteiro positivo pode ser escrita na forma com e ímpares positivos.