Fórmula de recorrência para a soma de séries infinitas

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1 This is a reprint of Lecturas Matemáticas Volumen 25 (2004), páginas 5 24 Fórmula de recorrência para a soma de séries infinitas João Luiz Martins & Adilson J.V. Brandão UUniversidade Federal de Ouro Preto, Brasil

2 Lecturas Matemáticas Volumen 25 (2004), páginas 5 24 Fórmula de recorrência para a soma de séries infinitas envolvendo seqüências do tipo Horadam João Luiz Martins & Adilson J.V. Brandão Universidade Federal de Ouro Preto, Brasil Abstract. In this article we introduce a recurrence formula for certain infinite series whose terms include factors that belong to a generalized Horadam-type sequence. This recurrence formula is used to calculate the n k W n x n series sum without use of derivatives and at a lower computation cost. Some results are presented below which were obtained by numerical implementation of the recurrence formula for some particular values of k and x. Key words and phrases. Horadam s generalized numbers, Fibonacci sums, Pell sums. 99 Mathematics Subject Classification. Primary B37, B39. Apoio UFOP e CNPq

3 6 João Luiz Martins & Adilson J.V. Brandão. Introdução Neste artigo, considera-se a série n k W n x n () em que x éumnúmero real, k éuminteironão-negativo e {W n } éuma seqüência numérica arbitrária. Aplicando-se o critério da razão [6] a (), observa-se que sua convergência está diretamente ligada ao caráter (comportamento) da seqüência {W n+ /W n }. Uma questão que se coloca éa seguinte: a partir da escolha de seqüências {W n } que venham possibilitar que expressões do tipo {W n+ /W n } sejam seqüências convergentes, épossível obter uma fórmulaparaasomadasérie ()? O estudo está baseado em seqüências especificadas em [3], [4] e [5], isto é, {W n }, dadas recursivamente por W n+2 = pw n+ qw n, n 0; (2) sendo W 0 = W n=0, W = W valores iniciais, p e q inteiros arbitrários. A finalidade deste trabalho é responder essa questãoparaocasoem que {W n = Z n }, sendo W 0 = Z 0 =0,W = Z =,q = ep um inteiro arbitrário, onde, para n 0, tem-se Z n+2 = pz n+ + Z n. (3) O uso dos métodos das aproximações sucessivas [8] e o das diferenças finitas [] permitem mostrar que a seqüência {Z n+ /Z n } converge para o limite α + =(p + p 2 +4)/2 se p>0 epara α =(p p 2 +4)/2 se p<0. Num passo seguinte, mostra-se que Z n x n x = px x 2 (4) sempre que x < / α ±. Épossível encontrar uma fórmula de recorrência para a soma da série (), em que {W n } = {Z n }, mediante a utilização da identidade (3),

4 Fórmula de recorrênciaparaasomadeséries infinitas 7 do desenvolvimento binomial de Newton [6] e de alguns rearranjos dos termos dessa série. A importância da fórmula para a soma dessa série está nofatode que a implementação numérica fica facilitada pela sua característica de recursividade. Algumas somas para essa série são apresentadas para os casos especiais em que {Z n } = {F n } e {Z n } = {P n }, conhecidas como as seqüências de Fibonacci e Pell, respectivamente. 2. Preliminares Considere a seqüência {W n = W n (W 0,W,p,q)} n=0, estabelecida em [3], [4] e [5], dada pela fórmula de recorrência W n+2 = pw n+ qw n ; (5) em que W 0 =0eW =são os valores iniciais, p e q, inteiros arbitrários. Em particular, U n = W n (0,,p,q) éaseqüência de Fibonacci generalizada (números de Fibonacci generalizados). A forma de Binet [3] para U n é dada por U n = ( α+ n α ) n / ; (6) onde = p 2 4q, α + = p + e α = p (7) 2 2 são as raízes distintas da equação x 2 px + q =0. Utilizando as expressões (6) e (7), éfácil ver que a seqüência { } Zn+ Z n converge para α + se p>0 e α se p<0. Apróxima seção é destinada ao estabelecimento de uma fórmula de recorrência para a soma da série n k Z n x n ; (9) (8)

5 8 João Luiz Martins & Adilson J.V. Brandão sendo {Z n } aseqüência (5), x um número real e k um inteiro nãonegativo. 3. Fórmula de Recorrência Antes de apresentarmos a soma da série (9), vamos estabelecer alguns resultados que deverão ser úteis na especificação dessa soma. Asérie S(x) = Z n x n, (0) converge, sempre que x < / α ± (α + se p>0 e α se p<0). Além disso, sua soma é a função x S(x) = px x 2. () De fato, a convergência da série (9) pode ser vista mediante o uso do teste da razão [6] e do fato de (8) ter como limite α ±. Para mostrar que () é a soma de (0), considere S(x) = Z n x n = Z x + Z 2 x Z n x n (2) Multiplicando (2) por px, obtém-se pxs(x) = pz x 2... pz n x n+.... (3) Depois, multiplicando (2) por x 2,tem-se x 2 S(x) = Z x 3 Z 2 x 4... Z n x n (4) Finalmente, somando as expressões (2), (3) e (4) e usando a fórmula de recorrência (5), obtém-se x S(x) = px x 2, (5) que éasomadasérie (0).

6 Fórmula de recorrênciaparaasomadeséries infinitas 9 Éóbvio que, dentro do intervalo de convergência, a série (9) pode ser obtida através da aplicação na série (0) do teorema de derivação termo a termo [6]. De fato, tal fórmula é obtida aplicando-se o operador D = xd dx, k vezes na conhecida série (0). Definindo n k Z n x n, (6) uma fórmula de recorrência pode ser expressa da seguinte forma: S(x, 0) = x px x 2, (7) S(x, j) = D[S(x, j )] j =, 2,...,k. O problema do algoritmo (7) é o alto custo de, em cada passo, obter a derivada de uma função. Por isso, encontrar uma soma para a série nz n não parece difícil, a partir do algoritmo (7). Entretanto, para 2n n 00 Z n determinar a soma da série 2 n, aplicando esse algoritmo, a obtenção do resultado torna-se bem exaustivo e computacionalmente muito caro. Um dos propósitos deste artigo é obter uma outra fórmula de recorrênciaparaasérie (9) sem o uso de derivadas e a um custo computacional mais baixo. Inicialmente, apresenta-se uma expressão para a soma R(x, k) = n=k Z n x n = k Z n x n Z n x n. (8)

7 20 João Luiz Martins & Adilson J.V. Brandão Utilizando a identidade (0), tem-se R(x, k) = x px x 2 (9) (Z x + Z 2 x 2 + Z 3 x Z k x k ). Efetuando a soma em (9) e usando a fórmula (5), obtém-se R(x, k) = n=k Z n x n = Z kx k + Z k x k+ px x 2. (20) Através do uso do teste da razão [6] e do fato estabelecido em (8), é fácil ver que converge sempre que x < α ±. n k Z n x n (2) Com o intuito de obter uma fórmula de recorrência para a série (9), considera-se Mas, r= r k Z r x r = k Z x +2 k Z 2 x r k Z r x r (22) ( k 0 k )(Z x + Z 2 x Z n x n +...) + (2 k k )(Z 2 x 2 + Z 3 x Z n x n +...). + (n k (n ) k )(Z n x n )+.... (23)

8 Fórmula de recorrênciaparaasomadeséries infinitas 2 Ou seja, ( k 0 k ) Z r x r + + (2 k k ) r= r=2 Z r x r +. + (n k (n ) k ) Z r x r (24) r=n Utilizando a identidade (20), segue então que [n k (n ) k ](Z n x n + Z n x n+ ) ( px x 2 ) (25) sempre que x < α ±. Separando (25) em duas séries e utilizando uma mudança de variável na segunda série do lado direito, tem-se + px x 2 [n k (n ) k ]Z n x n + px x 2 n=0 j= n=0 [(n +) k (n) k ]Z n x n+2. (26) Usando o desenvolvimento binomial e rearranjando os termos integrantes de (26), encontra-se k ( ) kj px x 2 ( ) j+ n k j Z n x n + j= + k ( ) kj + x 2 n k j Z n x n. (27)

9 22 João Luiz Martins & Adilson J.V. Brandão Portanto, sempre que x < α ±,tem-se px x 2 k ( ) kj [( ) j+ + x 2 ]S(x, k j) (28) j= Afórmula de recorrência (28) permite obter a soma de séries do tipo (9) a um custo computacional pequeno em comparação ao algoritmo (7). 4. Somas de Séries Especiais Esta seção tem a finalidade de apresentar algumas somas de séries do tipo (9) em que {Z n } = {F n } e {Z n } = {P n }, conhecidas como seqüências de Fibonacci e Pell [2], [3], [4] e [7], respectivamente. Aseqüência de Fibonacci é obtida de (5), tomando p =. Para obter a soma da série S F (x, k) = n k F n x n, (29) basta substituir p = em (28). O resultado é dado por S F (x, k) = x x 2 k j= ( kj ) [( ) j+ + x 2 ]S F (x, k j), (30) válido para x < φ ;comφ = Similarmente, a seqüência de Pell é obtida de (5), agora tomando p =2. Asomadasérie S P (x, k) = n k P n x n (3)

10 Fórmula de recorrênciaparaasomadeséries infinitas 23 é dada a partir da substituição de por S P (x, k) = 2x x 2 k j= sempre que x < γ ;comγ =+ 2. p = 2 em (28). O resultado édado ( kj ) [( ) j+ + x 2 ]S P (x, k j) (32) 5. Implementação Numérica Esta seção tem por finalidade apresentar alguns exemplos númericos gerados pelos algoritmos (30) e (32). A Tabela (I) apresenta certos resultados de somas envolvendo o algoritmo (30) para alguns valores especiais de k edexdentro do intervalo de convergência da série (29). Da mesma forma, a Tabela (II) ilustra algumas somas para os mesmos valores de k edextambém dentro do intervalo de convergência da série (3). Tabela (I): Somas da série de Fibonacci x k= k=5 k=50 k=00 /π / /e / / Tabela (II): Somas da série de Pell x k= k=5 k=50 k=00 /π / /e / /

11 24 João Luiz Martins & Adilson J.V. Brandão 6. Observações Finais Alguns resultados análogos aos obtidos anteriormente, mediante o uso da seqüência com a notação (2), em que q seja um inteiro arbitrário, bem como séries cujos coeficientes sejam as seqüências Tribonacci, Tetrabonacci, dentre outras, deverão ser objetos de futuros trabalhos. Referências [] R. C. Bassanezi & W. C. Ferreira, Equações Diferenciais com Aplicações, Editora Harbra Ltda, 988. [2] R. A. Dunlap, The Golden Ration and Fibonacci Numbers, World Scientific, 997. [3] P. Filipponi, Evaluation of certain infinite series involving terms of generalized sequences. The Fibonacci Quarterly 38.4 (2000), [4] N. Gauthier, Identities for class of sums involving Horadam s generalized numbers {Z n }. The Fibonacci Quarterly 36.4 (998), [5] A. F. Horadam, Basic properties of a certain generalized sequence of numbers. The Fibonacci Quarterly 3.2 (965), [6] K. Knopp, Theory and Application of Infinite Series, Dover Publications Inc, New York, 990. [7] G. Ledin, On a certain kind of Fibonacci sums. The Fibonacci Quarterly 5. (967), [8] E. L. Lima, Curso de Análise, IMPA (Projeto Euclides), 976. (Recibido en marzo de 2004) João Luiz Martins jmartins@iceb.ufop.br Adilson J.V. Brandão Departamento de Matemática, Universidade Federal de Ouro Preto , Ouro Preto, MG, Brasil