Iury Steiner de Oliveira Bezerra

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1 Algoritmos genéticos (Matlab) MATLAB Optimization Toolbox Iury Steiner de Oliveira Bezerra Msc. Iury Steiner

2 Tópicos Introdução Otimização de funções Optimization Toolbox Rotinas / Algoritmos Disponíveis Algoritmos Genéticos Problemas de minimização Sem restrições Com Restrições Exemplos Descrição do algoritmo Msc. Iury Steiner

3 Otimização de Funções Otimização se refere basicamente a maximização ou minimização de funções Problema típico de otimização: Subject to: hi gj ~ x 0 x 0 ~ x x x L U k k k min x ~ f x ~ Restrições de igualdade Restrições de desigualdade Restrições de fronteira Where: f x é a função objetivo, o que medir e avaliar o desempenho de um sistema. ~ Em um problema padrão, estamos minimizando a função. Para maximização, é equivalente à minimização função objetivo multiplicada por -1. x ~ é um vetor coluna de variáveis consideradas, que pode afetar o desempenho da otimização.

4 Function Optimization (Cont.) Restrições Delimitação do espaço de soluções viávies. Podem ser basicamente lineares e não lineares hi x ~ 0 Restrições de igualdade g j x ~ 0 Restrições de desigualdades Muitos algoritmos necessitam dessa condição x x x L U k k k Restrições de fronteira ou domínio Msc. Iury Steiner

5 Optimization Toolbox É uma coleção de funções que estendem a capacidade de MATLAB. As rotinas incluem: Otimização sem restrições Otimização com restrições lineares e não-lineares. Programação Quadrática e programação linear Nonlinear least squares e curve fitting Nonlinear systems of equations solving Constrained linear least squares Algoritmos para problemas em larga escala

6 Algoritmos de minimização Msc. Iury Steiner

7 Algoritmos de minimização (Cont.) Msc. Iury Steiner

8 Algoritmos para resolver equações

9 Algoritmos de mínimimos quadrados Msc. Iury Steiner

10 Trabalhando com o Opt. Toolbox A maioria destas rotinas de otimização exigem a definição de um M- arquivo que contém a função, f, a ser minimizada. A maxização de funções é conseguida minimizando f. Opções de otimização são passadas para os algoritmos do Opt. Toolbox. Os parâmetros default da otimização podem ser mudados em uma estrutura propria. Msc. Iury Steiner

11 Unconstrained Minimization Considere o problema de encontrar um conjunto de valores [x1 x2] T que resolva Passos: 2 2 x min f x e 4x 2x 4x x 2x 1 x ~ ~ x x x ~ 1 2 Criar um M-file que retorna o valor da função(objective Function). Chame-a de objfun.m Então chamar a rotina de minimização. Use fminunc, fminsearch, etc T Msc. Iury Steiner

12 Passo 1 Obj. Function function f = objfun(x) x x x ~ 1 2 T f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); Objective function Msc. Iury Steiner

13 Passo 2 a rotina x0 = [-1,1]; Ponto Inicial Configuração de parametros na variável option options = optimset( LargeScale, off ); [xmin,feval,exitflag,output]= fminunc( objfun,x0,options); Argumentos de Sáida Argumentos de entrada Msc. Iury Steiner

14 Resultados xmin = feval = e-010 exitflag = 1 output = iterations: 7 funccount: 40 stepsize: 1 firstorderopt: e-004 Minimum point of design variables Objective function value Exitflag tells if the algorithm is converged. If exitflag > 0, then local minimum is found Some other information algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search' Msc. Iury Steiner

15 Mais sobre a entrada da fminunc [xmin,feval,exitflag,output,grad,hessian]= fminunc(fun,x0,options,p1,p2, ) fun x0 Option P1,P2, : A função objetivo. : Um ponto de partida. Deve ser um vetor que possuí o mesmo número de variaveis consideradas na otimização. : Configura a otmização :Passando a parâmetros adicionais.

16 Mais sobre fminunc Output [xmin,feval,exitflag,output,grad,hessian]= fminunc(fun,x0,options,p1,p2, ) xmin feval exitflag Output grad hessian :O vetor é o vetor ponto de mínimo. :O valor da função objetivo no ponto de minimo. :Esse flag mostra se ocorreu tudo bem. : É uma estrutura que mostra detalhes sobre a otimização : O valor do gradient no ponto de ótimo. : A matriz hessiana no ponto de mínimo. Msc. Iury Steiner

17 Options Setting optimset Options = optimset( param1,value1, param2,value2, ) As rotinas no Optimization tem um conjunto de parametros default; Mas, é permitido que o usuário altere alguns desses parametros; É possível consultar uma lista desses parametros com o Help; É possível escolher o algortimo a ser utilizado. Msc. Iury Steiner

18 Options Setting (Cont.) Options = optimset( param1,value1, param2,value2, ) Digite help optimset no command window, uma lista de opções será mostrada. Por exemplo: LargeScale - Use large-scale algorithm if possible [ {on} off ] The default is with { } Parameter (param1) Value (value1)

19 Options Setting (Cont.) Options = optimset( param1,value1, param2,value2, ) LargeScale - Use large-scale algorithm if possible [ {on} off ] Since the default is on, if we would like to turn off, we just type: Options = optimset( LargeScale, off ) Agora as entradas da fminuc.

20 Useful Option Settings Highly recommended to use!!! Display - Level of display [ off iter notify final ] MaxIter - Maximum number of iterations allowed [ positive integer ] TolCon - Termination tolerance on the constraint violation [ positive scalar ] TolFun - Termination tolerance on the function value [ positive scalar ] TolX - Termination tolerance on X [ positive scalar ] Msc. Iury Steiner

21 fminunc and fminsearch fminunc usa algoritmos com informação de gradiente e hessiana. Dois modos: Large-Scale: interior-reflective Newton Medium-Scale: quasi-newton (BFGS) Não são preferiveis quando a função é descontinua em alguns pontos. Apenas fornece soluções locais.. fminsearch é menos eficiente do que fminunc. Mas, quando o problema é descontínuo, fminsearch pode ser mais robusto. Esse é um método de busca direta que não usa gradintes nem informações analíticas. Está função também fornece apenas soluções locais. Msc. Iury Steiner

22 Minimização com restrições Multiplicadores de Lagrange [xmin,feval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,a,b,aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options, P1,P2, ) Msc. Iury Steiner

23 Exemplo Sujeito à: min x ~ f x ~ x x x x x 0 x 2x 2x x 2x 2x x, x, x function f = myfun(x) f=-x(1)*x(2)*x(3); A , B LB , UB

24 Example (Cont.) Para 2x x Crie um função nonlcon que retorna dois vetores [C,Ceq] function [C,Ceq]=nonlcon(x) C=2*x(1)^2+x(2); Ceq=[]; Lembrar de sempre retornar null para o Ceq.

25 Example (Cont.) Ponto Inicial (3 parâmetros Livres) x0=[10;10;10]; A=[ ;1 2 2]; B=[0 72]'; LB = [0 0 0]'; UB = [ ]'; A, B LB 0, UB [x,feval]=fmincon(@myfun,x0,a,b,[],[],lb,ub,@nonlcon) Cuidado com isso!!! fmincon(fun,x0,a,b,aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,p1,p2, )

26 Exemplo(Cont.) Warning: Large-scale (trust region) method does not currently solve this type of problem, switching to medium-scale (line search). > Optimization terminated successfully: Magnitude of directional derivative in search direction less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.tolcon Active Constraints: 2 9 x = feval = e-035 Const. 3 Const. 4 Const. 7 x 2x 2x x1 2x2 2x x x x 30 2x x2 Const. 1 Const. 2 Const. 5 Const. 6 Const. 8 Const. 9 Sequence: A,B,Aeq,Beq,LB,UB,C,Ceq

27 Set Fitness function Set Number of variables to 2. Select Best fitness in the Plot functions pane. Select Distance in the Plot functions pane. Set Initial range to [1; 1.1].

28 Usando o gatoolbox no Matlab

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30 Para usar o Algoritmo Genético do Optimtool, deve-se selecionar GA na caixa de solver. (proximo slide slide)

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32 Para usar o Algoritmo Genético do Optimtool por linha de comando

33 X = GA(FITNESSFCN,NVARS) X = GA(FITNESSFCN,NVARS,A,b) X = GA(FITNESSFCN,NVARS,A,b,Aeq,beq) X = GA(FITNESSFCN,NVARS,A,b,Aeq,beq,lb,ub) X = GA(FITNESSFCN,NVARS,A,b,Aeq,beq,lb,ub,NONLCON) X = GA(FITNESSFCN,NVARS,A,b,Aeq,beq,lb,ub,NONLCON,options) options = gaoptimset('plotfcns',... {@gaplotbestf}); [x,fval,exitflag,output] = ga(@rastriginsfcn,2,[],[],[],[],[],[],[],options)

34 [x,y]=meshgrid(-10:0.05:10,-10:0.05:10); 0.5)./(( *(x.^2+y.^2)).^2); z=f6(x,y); figure,mesh(x,y,z)

35 Restrições lineares para o Algoritmo Genético por linha de comando

36 A = [1,1;-1,2;2,1]; b = [2;2;3]; lb = zeros(2,1); [x,fval] = ga(@lincontest6,2,a,b,[],[],lb,[],[],options);

37 Restrições não-lineares para o Algoritmo Genético por linha de comando

38 Restrições não-lineares function y = funcao_fitness(x) y = 100*(x(1)^2 - x(2))^2 + (1 - x(1))^2; end function [c, ceq] = funcao_restricoes(x) c = [1.5 + x(1)*x(2) + x(1) - x(2);... -x(1)*x(2) + 10]; ceq = []; end ObjectiveFunction funcao_fitness ; nvars = 2; % Numero de Variáveis LB = [0 0]; % mínimo do espaço de busca UB = [1 13]; % maximo do espaço de busca ConstraintFunction funcao_restricoes; [x,fval] = ga(objectivefunction,nvars,[],[],[],[],lb,ub,constraintfunction)

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40 Acessando os parâmetros do Algoritmo Genético por linha de comando

41 options = gaoptimset('mutationfcn',@mutationadaptfeasible); [x,fval] = ga(objectivefunction,nvars,[],[],[],[],lb,ub,constraintfunction,options)

42 Um estudo de caso Nosso exemplo É estudado em programação matemática É um dos modelos utilizados em pesquisa operacional. É um problema de otimização. Tem como objetivo: "Alocar recursos escassos (ou limitados) a atividades em concorrência (em competição)" Msc. Iury Steiner

43 Uma empresa pode fabricar dois produtos (1 e 2). Na fabricação do produto 1 a empresa gasta nove horashomem e três horas-máquina (a tecnologia utilizada é intensiva em mão-de-obra). Na fabricação do produto 2 a empresa gasta uma horahomem e uma hora-máquina (a tecnologia é intensiva em capital). A empresa dispõe de 18 horas-homem e 12 horas-máquina para um período de produção. Sabe-se que os lucros líquidos dos produtos são $4 e $1 respectivamente. Msc. Iury Steiner

44 Pergunta-se Quanto a empresa deve fabricar de cada produto para ter o maior lucro? Caso se obtenha algum recurso financeiro externo, para investimento em expansão, em quais dos recursos a empresa deveria aplicá-lo? Qual seria o impacto no lucro se alguns trabalhadores faltassem ao trabalho limitando as horas homens disponíveis em 15 horas? Msc. Iury Steiner

45 Pergunta-se Sabendo-se que 4 máquinas são responsáveis pela produção no período em análise até quanto se deveria pagar pelo aluguel de uma máquina se eventualmente uma das quatro máquinas quebrassem? Qual deveria ser o lucro líquido fornecido para viabilizar a fabricação um novo produto que utiliza 5 horas de cada recurso? Msc. Iury Steiner

46 Resolvendo Intuitivamente Que modelo mental poderia ser usado? Como se poderia utilizar a intuição para responder as perguntas? Tente resolver o problema sem utilizar um modelo formal. Msc. Iury Steiner

47 Transformando os dados em expressões matemáticas A função lucro Não havendo economia de escala É claro que o lucro máximo seria ilimitado se não fosse a escassez de recursos. Em outros problemas a demanda do mercado também é um fator limitador. L 4x x 1 2

48 Transformando os dados em expressões matemáticas As restrições Não se pode utilizar o que não se tem! A quantidade utilizada deve ser menor ou igual a quantidade disponível. As quantidades de fabricação devem ser não negativas H.H. H.M. 9x1 x2 3x1 x x1 0 x2 0

49 O modelo do problema Função Objetivo Max x 1,x 2 L 4x 1 Variáveis de Decisão x 2 Matriz ecnológica H.H. H.M. Conjunto das Possibilidades de Produção 9x1 x2 3x1 x x1 0 x2 0 Limitações

50 Solução Gráfica: Construindo o conjunto de possibilidades x 2 Valores Possíveis quando x1 0 x2 0 0 x 1

51 Solução Gráfica: Construindo o conjunto de possibilidades 18 x 2 9x x Valores Possíveis quando 9x x x 1

52 Solução Gráfica: Construindo o conjunto de possibilidades 12 x 2 3x x Valores Possíveis quando 3x x x 1

53 Solução Gráfica: Construindo o conjunto de possibilidades x 2 12 Conjunto de Possibilidades 0 x 2 1

54 Solução Gráfica: Definindo as Curvas de Níveis do Objetivo Para cada valor de L tem-se uma reta no plano (x2 vs x1). Dado um valor de L é possível traçar um lugar geométrico (uma reta) onde as várias combinações de produção dão o mesmo lucro, essas curvas são conhecidas como isolucros. 4x x L x x L Retas com inclinações negativas

55 Solução Gráfica: Desenhando as Curvas de Níveis do Objetivo x 2 L 9 L 7 L 5 Direção de Crescimento do Lucro 0 x 1

56 Solução Gráfica: Reunindo os componentes e resolvendo x 2 12 L 13 9 Conjunto de Possibilidades 0 1 x 2 1

57 A solução Que características permitiram a solução? O conjunto de possibilidades era convexo. Um conjunto é convexo quando toda combinação convexa de dois elementos dele pertence a ele. Uma combinação convexa de dois elementos, x e y é um terceiro elemento z tal que: z=a.x+(1-a).y onde 0 a 1. É possível definir combinação convexa de n elementos.

58 Casos onde a solução não existe Conjunto de Possibilidades é vazio Não há solução compatível Exemplo: x 2 Valores p/ Restrição 1 Valores p/ Restrição 2 0 x 1

59 Casos onde a solução não existe A solução é ilimitada Não há como definir a decisão Exemplo: x 2 Direção de Crescimento do Lucro Conjunto de Possibilidades 0 x 1

60 Caso de Infinitas Soluções x 2 As soluções são combinações lineares dos pontos extremos Conjunto de Possibilidades Isolucro 0 x 1

61 Exercícios: Resolva 1. Maximize o lucro Sujeito a: x x L 0 0; x x x x x x x x

62 Exercícios: Resolva 2. Maximize a receita Sujeito a: R 0,3x x 0, x 1 x 2 2 x 1 3x 2 3 x 1 0; x 2 0

63 Exercícios: Resolva Graficamente 3. Maximize o lucro Sujeito a: x x L 0 0; x x x x x x x x

64 Exercícios: Resolva Graficamente 4. Duas fábricas produzem três tipos de papel. A companhia que controla as fábricas tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas de papel médio e 28 toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de papel. O custo de produção na 1ª fábrica é de R$1.000,00 e o da 2ª é de R$2.000,00, por dia. A primeira fábrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 2 toneladas de papel grosso por dia, enquanto a segunda produz 2 toneladas de papel fino, 1tonelada de papel médio e 7 toneladas de papel grosso. Quantos dias cada fábrica deve operar para suprir os pedidos com o menor custo?

65 Exercícios: Resolva Graficamente 5. Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões: O tipo A tem 2m 3 de espaço refrigerado e 3m 3 de espaço não refrigerado; o tipo B tem 2m 3 de espaço refrigerado e 1m 3 de não refrigerado. O cliente quer transportar produtos que necessitarão de 16m 3 de espaço refrigerado e 12m 3 de área não refrigerada. A companhia calcula que são necessários em litros de combustível para uma viagem com o caminhão A e 750 litros para o caminhão B. Quantas viagens deverão ser feitas de cada tipo de caminhão para que se tenha o menor custo de combustível? Msc. Iury Steiner

66 Voltando ao Primeiro Problema Max x 1,x 2 H.H. H.M. L 4x 1 9x1 x2 3x1 x2 x x1 0 x2 0 Lembrando que foi resolvido graficamente, analise... Msc. Iury Steiner

67 Fim.