Conteúdo GLPK. Notas. Introdução à Otimização, Utilizando o GLPK. Notas. Notas

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1 Introdução à Otimização Utilizando o GLPK Haroldo Gambini Santos Universidade Federal de Ouro Preto 29 de março de / 30 Conteúdo 1 GLPK 2 Formato LP 3 Formato MathProg 2 / 30 GLPK GNU Linear Programming Kit resolvedor de problemas lineares, incluindo problemas de programação inteira código aberto, disponível gratuitamente farta documentação 3 / 30

2 GLPK Instalação Windows: Linux (debian/ubuntu e derivadas): sudo apt-get install glpk 4 / 30 GLPK Obtendo Ajuda Pacote disponível em: Manuais em PDF (diretório doc) Exemplos (diretório examples) Lista de Discussão: help-glpk@gnu.org 5 / 30 Introdução Formatos conhecidos para entrada de programas lineares: MPS Mathematical Programming System : padrão da indústria pouco intuitivo, confuso e com limitações LP CPLEX LP le format : padrão criado para uso com o resolvedor CPLEX mais fácil e prático do que o formato MPS aceito nos principais resolvedores modernos arquivos podem ser convertidos para MPS 6 / 30

3 Formato LP Componentes função objetivo restrições informações de variáveis limites variáveis inteiras genéricas variáveis binárias 7 / 30 Problema da Dieta Dieta.lp Minimize obj : 3 x x2 Subject to vitaminas : 6 x1 + 4 x2 >= 32 p r o t e i n a s : 5 x1 + 6 x2 >= 36 End 8 / 30 Resolvendo Comando glpsol --cpxlp dieta.lp -o sol.txt sol.txt Problem: Rows: 2 Columns: 2 Non-zeros: 4 Status: OPTIMAL Objective: obj = (MINimum) No. Row name St Activity Lower bound Upper bound vitaminas NL proteinas NL No. Column name St Activity Lower bound Upper bound x1 B x2 B / 30

4 Limites e Integralidade Podem ser especicadas restrições especícas sobre algumas variáveis Essas restrições são informadas após a seção das restrições normais e podem ser dos seguintes tipos: Subject to... Bounds 0 <= x1 <= 40 2 <= x4 <= 3 Restrição de limites - Seção Bounds: Exemplo Limites 10 / 30 Limites e Integralidade (cont.) Para variáveis para as quais não são permitidos valores fracionários temos as seções: General: variáveis inteiras de modo geral Binary: variáveis binárias que somente podem assumir valor zero ou um Exemplo Integralidade Subject to... Binary x3 General x1 x2 11 / 30 Problema da Dieta DietaInt.lp Minimize obj : 3 x x2 Subject to vitaminas : 6 x1 + 4 x2 >= 32 p r o t e i n a s : 5 x1 + 6 x2 >= 36 General x1 x2 End 12 / 30

5 Nova Solução sol.txt Problem: Rows: 2 Columns: 2 (2 integer, 0 binary) Non-zeros: 4 Status: INTEGER OPTIMAL Objective: obj = 18.5 (MINimum) No. Row name Activity Lower bound vitaminas proteinas No. Column name Activity Lower bound x1 * x2 * / 30 Formato MathProg Formato de mais alto nível, incluindo abstrações: Comandos Conjuntos Parâmetros Facilita a geração de problemas grandes e complexos Permite a separação entre o modelo e os dados 14 / 30 Resolvendo a Dieta, versão MathProg Dieta.mod set N; / n u t r i e n t e s / set A; / a l i m e n t o s / param r {N} ; / r e q u e r i m e n t o d i a r i o por n u t r i e n t e / param v{a,n} ; / v a l o r que um a l i m e n t o o f e r e c e de um n u t r i e n t e / param c {A} ; / custo u n i t. de cada alimento / var x{a in A} >= 0 ; / r e a i s do alimento a que devem ser comprados / s. t. n u t r i r {n in N} : sum{a in A} v [ a, n ] x [ a ] >= r [ n ] ; / s a t i s f a z e r n e c e s s i d a d e de n u t r i e n t e n / minimize c u s t o : sum{a in A} c [ a ] x [ a ] ; / c o n t a / 15 / 30

6 Resolvendo a Dieta, versão MathProg Dieta.dat (parte 1/2) data ; param : N : r := C a l o r i a s 3 / m i l h a r e s / P r o t e i n a s 70 / gramas / C a l c i o 24 / gramas / Ferro 33 / m i l i g r a m a s / ; set A := Trigo Queijo Figado Salmao Espinafre ; param v default 0 : C a l o r i a s P r o t e i n a s C a l c i o Ferro := Trigo Queijo Figado Salmao E s p i n a f r e ; ( continua ) 16 / 30 Resolvendo a Dieta, versão MathProg Dieta.dat (parte 2/2) param : c := Trigo 0. 9 Queijo 1. 5 Figado 2. 1 Salmao 2. 4 E s p i n a f r e 2. 2 ; 17 / 30 Resolvendo a Dieta, versão MathProg Comando glpsol -m dieta.mod -d dieta.dat -o dietasol.txt 18 / 30

7 Comando set (1/2) set I ; / d e c l a r a c o n j u n t o que s e r a informado d e p o i s / set I := ; / d e c l a r a um c o n j u n t o preenchendo com num. de 1 a 10 / set A := Trigo Queijo Figado Salmao Espinafre ; / d e c l a r a e informa e l e m e n t o s de um c o n j u n t o / set Cidades ; set C a p i t a i s within Cidades ; / c o n j u n t o c a p i t a i s f i c a r e s t r i t o a s e r um s u b c o n j u n t o de c i d a d e s / 19 / 30 Comando set (2/2) set C{1..m } ; / c o n j u n t o de m c o n j u n t o s / set C [ 1 ] := ; set C [ 2 ] := ;... / p r e e n c h i m e n t o de C / 20 / 30 Comando param (1/2) param n ; / parametro que s e r a informado d e p o i s / param c, > 0 ; / parametro que s e r a informado d e p o i s e d e v e s e r p o s i t i v o / param n, integer, > 0 ; / parametro que s e r a informado d e p o i s e d e v e s e r p o s i t i v o e i n t e i r o / 21 / 30

8 Comando param (2/2) param c {A} ; / parametro que d e v e s e r informado para cada e l e m e n t o do c o n j u n t o A / param : c := elementodea1 valordecparaa1 elementodea2 valordecparaa2... ; / v a l o r do parametro c para cada e l e m e n t de A / 22 / 30 Comando var var x >= 0 ; / uma v a r i a v e l p o s i t i v a / var x{ I, J }, i n t e g e r, >= 0 ; / c r i a uma v a r i a v e l x para cada par ( i, j ) de I e J, v a r i a v e l i d e n t i f i c a d a por x [ i, j ] / var z { i in I, j in J} >= i+j ; / c r i a uma v a r i a v e l z para cada par ( i, j ) de I e J, v a r i a v e l i d e n t i f i c a d a por z [ i, j ], cada v a r i a v e l pode assumir v a l o r minimo i+j / 23 / 30 Comando de Adição de Restrições: s.t. s. t. r : x + y + z, >= 0, <= 1 ; / r e s t r i c a o com nome r, r e s t r i n g i n d o o s o m a t o r i o de x + y + z para o i n t e r v a l o [ 0, 1 ] / s. t. capacidade : sum{ i in I } p [ i ] x [ i ] <= c ; / uma r e s t r i c a o g e r a d a s o b r e o s o m a t o r i o da v a r i a v e l x [ i ] m u l t i p l i c a n d o uma c o n s t a n d e p [ i ] / s. t. e s t o q u e F i n a l {p in P} : e s t o q u e [ 1 2, p ] + compras [ 1 2, p ] vendas [ 1 2, p ] >= ; / uma r e s t r i c a o s e r a g e r a d a para cada p r o d u t o p / 24 / 30

9 Exemplo: Problema da Mochila - Modelo param n, i n t e g e r, > 0 ; / numero de i t e n s / param c ; / c a p a c i d a d e / set I := 1.. n ; / i t e m s / param l { I } ; / l u c r o / param p{ I } ; / p e s o / var x{ I } binary ; / 1 s e i n c l u i r, 0 c a s o c o n t r a r i o / maximize l u c r o : sum{ i in I } l [ i ] x [ i ] ; s. t. capacidade : sum{ i in I } p [ i ] x [ i ] <= c ; 25 / 30 Exemplo: Problema da Mochila - Dados data ; param n:= 7 ; param c := 1 0 ; param l := 1 7, 2 7, 3 2, 4 1, 5 5, 6 5, 7 8 ; param p := 1 3, 2 4, 3 1, 4 1, 5 3, 6 3, 7 6 ; 26 / 30 O Problema da Alocação Generalizada Denição Temos um conjuntos de tarefas a realizar e um conjunto de agentes que podem realizá-las. Cada agente tem uma determinada habilidade para cada tarefa, inuenciando no tempo que o mesmo leva para concluir a tarefa e também determinando o custo do mesmo realizar aquela tarefa. Além disso, os agentes tem uma capacidade limitada. Deve-se determinar quais agentes farão cada tarefa respeitando suas capacidades e minimizando o custo total. 27 / 30

10 Problema da Alocação Generalizada - Modelo (1/2) param n, i n t e g e r, > 0 ; / n t a r e f a s / param m, integer, > 0 ; / m a g e n t e s / set J := 1.. n ; / c o n j u n t o de t a r e f a s / set I := 1..m ; / c o n j u n t o de a g e n t e s / param a{ i in I, j in J }, >= 0 ; / r e c u r s o s que o a g. i g a s t a para t a r e f a j / param b{ i in I }, >= 0 ; / c a p a c i d a d e em r e c u r s o s do a g. i / param c { i in I, j in J }, >= 0 ; / c u s t o do a g e n t e i f a z e r t a r e f a j / 28 / 30 Problema da Alocação Generalizada - Modelo (2/2) var x{ i in I, j in J }, binary ; / x [ i, j ] = 1 : a g e n t e i f a z t a r e f a j / s. t. p r o c e s s a r { j in J } : sum{ i in I } x [ i, j ] = 1 ; / cada t a r e f a deve ser processada por um agente / s. t. lim { i in I } : sum{ j in J} a [ i, j ] x [ i, j ] <= b [ i ] ; / c a p a c i d a d e do a g e n t e / minimize obj : sum{ i in I, j in J} c [ i, j ] x [ i, j ] ; / achar a l o c a c a o mais b a r a t a / 29 / 30 data ; Problema da Alocação Generalizada - Dados param m := 5 ; param n := 1 5 ; param a : := ; param b := 1 3 6, 2 3 4, 3 3 8, 4 2 7, ; param c : := ; end ; 30 / 30