ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Universidade Técnica de Lisboa ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS Roberto Ribeiro de Mendonça Feijóo Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Orientador: Vogal: Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara Doutor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro Doutor Francisco Baptista Esteves Virtuoso Outubro de 2011

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3 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS RESUMO Neste trabalho realiza-se o estudo da estabilidade elástica global de tabuleiros atirantados. São estudados os casos de instabilidade por flexão deste tipo de elementos, e a influência das opções de concepção dos tabuleiros, torres e sistemas de atirantamento. São apresentados os modelos adoptados para efectuar uma análise linear e não linear de estabilidade, e definidas as origens da não linearidade associadas às pontes de tirantes, identificando-se as que são consideradas no trabalho. É apresentada a análise linear de estabilidade efectuada com um modelo baseado na analogia entre um tabuleiro atirantado e uma viga-coluna sobre fundação elástica (BEF). Desenvolvese um método simplificado igualmente baseado no modelo de BEF. Comparam-se os resultados obtidos com estes modelos com análises não lineares de estabilidade, efectuadas utilizando os programa de elementos finitos SAP2000 e ANSYS. Desenvolve-se o estudo da estabilidade à flexão do tabuleiro de uma ponte atirantada com 420 m de vão central. Avalia-se a influência de determinados aspectos da concepção na estabilidade global da estrutura utilizando uma análise paramétrica de tabuleiros com maiores vãos. Avalia-se a influência da geometria de aplicação das cargas, do sistema de suspensão, da altura e geometria das torres, da rigidez de flexão do tabuleiro, da ligação entre o tabuleiro e as torres e da existência de pilares intermédios nos vãos laterais, no valor da carga crítica. i

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5 GLOBAL STABILITY OF CABLE-STAYED DECKS ABSTRACT The elastic global stability analysis of cable-stayed decks is considered in this research. The bending instability in this type of elements is studied, as well as the influence of some specific aspects in the design of the deck, towers and stays arrangement. The linear and non-linear analysis models considered are presented, and the nonlinearities associated to cable-stay bridges included in this research are defined. The linear elastic stability of the deck is evaluated based on a model, using the analogy of a beam on an elastic foundation (BEF). A simplified approach still using the BEF is developed. To compare the results, geometrical non-linear elastic analysis made by the finite elements software SAP2000 and ANSYS are used. The bending stability analysis of a 420 m main span length deck is performed. The influence of some design aspects in the global stability of the bridge are evaluated by a parametric study that considers: The deck live load pattern; the stays arrangement; the towers height and geometry; the stiffness of the deck; the connection between deck and towers; and the intermediate pier on the lateral spans. iii

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7 PALAVRAS CHAVE KEYWORDS Estabilidade elástica Elastic Stability Pontes de tirantes Cable-stayed bridges Análise linear Linear analysis Análise não-linear Non-linear analysis v

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9 AGRADECIMENTOS Ao Professor José Oliveira Pedro desejo expressar o meu agradecimento pelo constante apoio e disponibilidade ao longo deste trabalho, assim como pelos ensinamentos e gosto por este tema que conseguiu transmitir. Ao Engenheiro André Graça com quem tive oportunidade de partilhar dúvidas gostava de agradecer a disponibilidade demonstrada e apoio concedido. Quero agradecer aos meus amigos que me ajudaram, principalmente à Catarina Gonçalves, ao Miguel Mendonça e ao Manuel Correia pela criteriosa revisão de texto. Aos meu pais pelo apoio e paciência e aos meus irmãos pelo exemplo que são para mim, gostava de deixar um agradecimento especial. Este trabalho é dedicado à memória da Meg. vii

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11 ÍNDICE DO TEXTO 1 INTRODUÇÃO 1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS ESTABILIDADE DO TABULEIRO COMPORTAMENTO NÃO LINEAR ANÁLISE DE ESTABILIDADE OBJECTIVOS DO TRABALHO ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES 2.1 INTRODUÇÃO CONCEPÇÃO ESTRUTURAL Configuração longitudinal Sistemas de atirantamento Geometria das torres Configurações e materiais do tabuleiro ESTABILIDADE LOCAL E GLOBAL Estabilidade local Estabilidade global EXEMPLO DE ESTUDO Descrição geral da ponte Vasco da Gama e do modelo de 420 m Características do modelo de 420 m Características dos modelos com vão central superior a 420 m Materiais Definição da sobrecarga e da carga permanente ix

12 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA 3.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ESTABILIDADE DE UMA COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA Estabilidade de uma viga-coluna sujeita a um esforço normal constante e sobre fundação elástica com rigidez constante Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal variável e sobre fundação elástica com rigidez constante Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal constante e sobre fundação elástica com rigidez variável Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal variável e sobre fundação elástica com rigidez variável ESTABILIDADE ELÁSTICA DE UM TABULEIRO ATIRANTADO: MÉTODO SIMPLIFICADO ANÁLISE LINEAR DE ESTABILIDADE CONSIDERANDO EXCENTRICIDADES INICIAIS CONCLUSÕES DA ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS 4.1 TIPOS DE ANÁLISES DE ESTABILIDADE E DETERMINAÇÃO DA CARGA CRÍTICA MODIFICAÇÃO DO MODELO DE COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA Efeito dos tirantes de retenção para um carregamento apenas no vão central Verificação das hipóteses consideradas na modificação do modelo de coluna sobre fundação elástica x

13 4.3 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS PARA UM TABULEIRO COM 420 M DE VÃO CENTRAL CONCLUSÃO ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE 5.1 INTRODUÇÃO INFLUÊNCIA DO PROCESSO CONSTRUTIVO INFLUÊNCIA DA GEOMETRIA DO CARREGAMENTO Cargas críticas para as diferentes geometrias de carregamentos e diferentes vãos Variação da carga crítica do tabuleiro de 420 m de vão central carregado apenas no vão central Resumo dos resultados INFLUÊNCIA DO SISTEMA DE SUSPENSÃO Sistema de atirantamento em leque Sistema de atirantamento em harpa Resumo dos resultados INFLUÊNCIA DA ALTURA DAS TORRES E DO ESPAÇAMENTO ENTRE TIRANTES Influência da altura das torres Influência do espaçamento entre tirantes Resumo dos resultados INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DE FLEXÃO DO TABULEIRO INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DE FLEXÃO DAS TORRES INFLUÊNCIA DA GEOMETRIA DAS TORRES Considerações prévias Modelo tridimensional adoptado Resultados xi

14 5.9 INFLUÊNCIA DA LIGAÇÃO DO TABULEIRO ÀS TORRES INFLUÊNCIA DOS PILARES INTERMÉDIOS NOS VÃOS LATERAIS CONCLUSÃO CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS 6.1 PRINCIPAIS ASPECTOS DO TRABALHO DESENVOLVIDO SÍNTESE DAS PRINCIPAIS CONCLUSÕES DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ANEXOS Anexo A Características geométricas dos tirantes e das torres do modelo base Anexo B Forças de puxe e peso dos tirantes Anexo C Características geométricas dos tirantes para a suspensão em leque e em harpa REFERÊNCIAS xii

15 ÍNDICE DE FIGURAS 1. INTRODUÇÃO Figura Ponte de Evripos (Grécia) com um tabuleiro em betão armado pré-esforçado de 0.45 m de altura e um vão central de 215 m Figura Esbelteza do tabuleiro de pontes atirantadas mistasem função do vão principal [6] NOÇÕES GERAIS DE PONTES DE TIRANTES Figura Funcionamento estrutural de uma ponte de tirantes Figura Evolução do sistema de atirantamento do tabuleiro Figura Suspensão central e lateral em pontes de tirantes Figura Configurações do sistema de suspensão do tabuleiro: a) leque, b) semileque, e c) harpa Figura Configuração em leque - ponte Clark, EUA Figura Configuração em harpa - ponte Øresund, entre a Suécia e a Dinamarca Figura Configuração em semi-leque - ponte Vasco da Gama, Lisboa Figura Fuste único vertical: ponte de Stonecutters - Hong-Kong Figura Forma da torre em pórtico transversal: ponte Vasco da Gama - Lisboa Figura Forma da torre em pórtico longitudinal: ponte Neuwied - Alemanha Figura Forma da torre em A: ponte Jindo - Coreia do Sul Figura Forma da torre em Y invertido: ponte sobre o Rio Suir - Irlanda Figura Forma da torre em diamante: ponte Tatara - Japão Figura Forma da torre em pirâmide: ponte Rion-Antirion - Grécia xiii

16 Figura Torres com formas particulares: ponte de La Unidad - México Figura Configurações possíveis do tabuleiro com suspensão central e rigidez de torção elevada Figura Configurações possíveis do tabuleiro com suspensão lateral e rigidez de torção elevada Figura Elementos básicos numa secção transversal mista do tipo bi-viga [6] Figura Secções transversais do tabuleiro atirantado em treliça Figura Ancoragem dos tirantes no tabuleiro: (a) no alinhamento das vigas principais; e (b) exteriores às vigas principais Figura Instabilidade local da alma de uma viga: (a) instabilidade local como coluna, (b) instabilidade local como placa e (c) instabilidade induzida pelos banzos Figura Secção transversais: (a) ponte Vasco da Gama; e (b) modelo adoptado [5] Figura Pormenor da viga longitudinal da secção transversal adoptada no modelo Figura Modelo de cálculo e discretização adoptada [5] ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA- COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA Figura Deformada de uma barra sujeita apenas a esforço axial Figura Gráfico da variação do esforço normal (a verde) e da rigidez vertical equivalente conferida pelos tirante (a azul), para uma carga distribuída unitária q = 1 kn/m para metade de tabuleiro com 420 m de vão central e suspensão lateral Figura Energia potencial (U 1 ) de deformação de uma barra com EI constante Figura Energia potencial (U 2 ) de deformação da fundação com rigidez β(x)=β 0 constante Figura Energia potencial (V e1 ) da força axial aplicada xiv

17 Figura Energia potencial (V e2 ) da força vertical distribuída uniforme (q) Figura Variação de N cr /N E com o número de semi-ondas (n) considerado e com o parâmetro adimensional (μ), para uma coluna sobre fundação elástica de rigidez constante e esforço normal igualmente constante ao longo do seu comprimento Figura Coluna sobre fundação elástica submetida a um esforço normal parabólico do 2ºgrau Figura Diagrama de (N cr /N E ) para colunas sobre fundação elástica de rigidez constante, submetidas a esforços normais com variações lineares e parabólicas Figura Relação f N (μ) entre a carga crítica de colunas sobre fundação elástica de rigidez constante, submetidas a esforços normais com variações lineares e parabólicas e a carga crítica de colunas equivalentes submetidas a esforços normais constantes Figura Diagrama de (N cr /N E ) para colunas sobre fundação elástica de rigidez com variações lineares e parabólicas, submetidas a esforços normais constantes Figura Relação f β (μ) entre a carga crítica de colunas submetidas a esforços axiais constantes, com fundação elástica de rigidez variável de forma linear e parabólica, e a carga crítica de colunas equivalentes com rigidez de fundação constante Figura Diagrama de (N cr /N E ) para colunas sobre fundação elástica de rigidez e esforço normal variáveis ao longo do seu comprimento Figura Relação f βn (μ) entre a carga crítica de colunas submetidas a esforços axiais variáveis com fundação elástica de rigidez variável, e a carga crítica de colunas equivalentes com rigidez de fundação e esforço normal constante Figura Modelo de coluna sobre fundação elástica elaborado no programa de elementos finitos SAP2000, considerando uma variação de esforço normal e rigidez de fundação apresentados xv

18 Figura Coluna real e conceito de coluna equivalente, associado à hipótese simplificativa de Klein Figura Variações ao longo de metade do vão central do tabuleiro de N(x) β(x) e β(x)/n(x) Figura Análise elástica linear executada para uma coluna sobre fundação elástica com 420 m de comprimento: (a) sem excentricidade inicial; (b) com uma excentricidade inicial ω o =L/180; e (c) com uma excentricidade inicial ω o =L/ ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS Figura Tipos de equilíbrio após atingir-se a carga crítica numa estrutura com instabilidade por bifurcação Figura Trajectórias de carga-deslocamento numa análise elástica linear e não linear de estabilidade Figura Três trajectórias de carga-deslocamento possíveis numa análise não linear de estabilidade Figura Resultados para uma análise linear e não linear de estabilidade no programa SAP2000, para o modelo com 420 m de vão central, para diferentes tipologias de carregamento Figura Diagramas de carga-deslocamento para as análises não lineares e lineares de estabilidade apresentadas na Figura Figura Desenvolvimento dos deslocamentos nos nós 39, 41 e 43 para a análise não linear efectuada quando apenas metade do vão central é carregada Figura Efeito dos tirantes de retenção na rigidez vertical conferida ao tabuleiro quando apenas é carregado o vão central Figura Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para um carregamento apenas no vão central do tabuleiro, considerando o modelo xvi

19 de coluna sobre fundação elástica e a hipótese de Klein, ambos com rigidez da fundação modificada Figura Comparação da rigidez da torre com a rigidez dos tirantes de retenção para diferentes valores de EI da torre Figura Relação entre o deslocamento horizontal no tabuleiro e vertical na torre devido à rigidez conferida pelo tirante de retenção, considerando a hipótese dos pequenos deslocamentos (a azul) ou não (a verde), assim como o erro relativo entre estas abordagens (a vermelho) Figura Modo de instabilidade elástica de um tabuleiro atirantado com 420 m de vão central, para a sobrecarga aplicada ao longo de todo o tabuleiro ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE Figura Fases do processo construtivo de uma ponte de tirantes pelo método dos avanços sucessivos, de forma simétrica em relação às torres, simulada no programa SAP Figura Geometria do carregamento considerado na análise da influência do processo construtivo para a estabilidade do tabuleiro Figura Diagrama de esforços normais iniciais instalados no tabuleiro para os casos de inclusão (a azul) ou não (a verde) do processo construtivo na análise de estabilidade Figura Geometrias de carregamento consideradas para análise da influência deste aspecto na estabilidade do tabuleiro: (a) carregamento em todo o tabuleiro; (b) carregamento só no vão central; e (c) carregamento apenas em 50 % do vão central Figura Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para diferentes geometrias de carregamento Figura Hipótese do tirante crítico para o caso de carregamentos excêntricos no meio vão do tabuleiro xvii

20 Figura Geometrias de carregamentos que são abrangidas pela hipótese do tirante crítico Figura Variação da carga crítica (q cr ) com percentagem do vão central carregada no modelo de 420 m de vão central Figura Variação do esforço normal e da rigidez vertical equivalente conferida pelos tirantes, para uma carga distribuída unitária (q=1 kn/m) para metade de tabuleiro com 420 m de vão central, consoante o tipo de sistema de atirantamento Figura Evolução do deslocamento a meio-vão com o carregamento do tabuleiro, para o sistema de suspensão em leque (a verde), harpa (a azul) e semileque (a vermelho) Figura Cargas críticas e modos de instabilidade associados aos vários de sistemas de suspensão Figura Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do tabuleiro, para o caso do sistema de suspensão em harpa Figura Variação do esforço normal no tabuleiro junto à torre e na secção crítica, com o sucessivo carregamento do tabuleiro para o caso do sistema de suspensão em harpa Figura Configuração do tabuleiro da ponte com sistema de atirantamento em harpa, para um carregamento que permite obter uma compressão junto à torre semelhante à da hipótese de Klein Figura Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para diferentes alturas das torres e dois tipos de carregamentos Figura Variação do esforço normal e da rigidez vertical elástica em metade do tabuleiro com 420 m de vão central, quando submetido a uma carga uniforme unitária, para diferentes alturas da torre Figura Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para espaçamentos entre tirantes diferentes e dois tipos de carregamentos xviii

21 Figura Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para diferentes alturas da viga e submetido a um carregamento em todo o tabuleiro Figura Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para diferentes alturas da viga e submetido a um carregamento apenas no vão central Figura Variação da carga crítica (q cr ) com diferentes valores de rigidez de flexão longitudinal das torres (EI torre ), para o modelo de 420 m de vão central carregado ao longo de todo o tabuleiro Figura Modelos tridimensionais adoptados para o estudo da influência da geometria das torres na estabilidade do tabuleiro: (a) geometria das torres em Y invertido; e (b) geometria das torres em A Figura Geometrias consideradas para as torres (a i ) e corte longitudinal comum a todas (b):(a 1 ) torre em pórtico transversal; (a 2 ) torre em Y invertido; e (a 3 ) torre em A Figura Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do tabuleiro, para os casos de geometrias transversais das torres em pórtico (a verde), em Y invertido (a azul) e em A (a vermelho) Figura Modo de instabilidade do tabuleiro para o caso das torres com geometria em Y invertido Figura Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do tabuleiro, para o caso do sistema de suspensão total e no caso de se considerar o apoio do tabuleiro junto às torres Figura Modos de instabilidade do tabuleiro com 420 m de vão central, para o caso totalmente suspenso (a vermelho) e apoiado junto às torres (a azul) Figura Carga crítica em função do vão central do tabuleiro, para casos com e sem apoios intermédios dos vãos laterais xix

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23 ÍNDICE DE QUADROS 3. ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA- COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA Quadro Valores de (N cr /N E ) e (L o /L) em função do parâmetro μ para uma coluna sobre fundação elástica com esforço normal representado na Figura Quadro Valores de (N cr /N E ) para uma coluna sobre fundação elástica de rigidez variável sujeita a um esforço normal também variável como representado na Figura Quadro Comparação entre os valores das cargas críticas obtidas pelo método simplificado (coluna equivalente) e por uma análise elástica linear de estabilidade (coluna real) ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE Quadro Resultados obtidos para duas análises não-lineares de estabilidade, uma considerando o processo construtivo e outra não Quadro Rigidez de flexão do tabuleiro para cada uma das alturas de viga analisadas xxi

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25 NOTAÇÃO MAIÚSCULAS LATINAS A Área da secção transversal do tirante E Módulo de elasticidade E co E e E a F Módulo de elasticidade tangente na origem do betão Módulo de elasticidade do aço dos tirantes Módulo de elasticidade do aço estrutural Força concentrada I, I y Momento de Inércia de flexão (segundo o eixo y de maior inércia) I torre K K v,i L L 0 L 1, L 2 L cr M N N cr N cr N E N i N i,cr Momento de Inércia de flexão da torre (segundo o eixo prependicular ao plano da estrutura) Constante de mola Rigidez vertical conferida por um tirante (i) ao tabuleiro Vão de uma viga; Vão central do tabuleiro; Comprimento de um tirante Comprimento de encurvadura da viga-coluna Vãos laterais do tabuleiro Comprimento de encurvadura do tabuleiro Momento flector Esforço normal Carga crítica de instabilidade elástica de uma coluna; Esforço normal crítico do tabuleiro Esforço normal crítico do tabuleiro quando sujeito a um carregamento apenas no vão central Carga de Euler de uma coluna Esforço normal no tabuleiro na ligação ao tirante i Esforço normal na secção do tabuleiro junto ao tirante i quando é atingida a carga crítica N máx,inicial Esforço normal máximo no tabuleiro depois de aplicada a carga permanente N o N o,cr P cr PP R R i RCP T T U 1 U 2 V e1 V e2 δ V Esforço normal máximo de uma coluna com distribuição variável ao longo do vão Esforço normal crítico de uma coluna com distribuição de esforço normal variável ao longo do vão Carga crítica associada a uma análise linear de estabilidade de uma coluna Peso próprio da ponte por unidade de comprimento Raio de curvatura Relação entre a rigidez vertical do tirante (K v,i ) e o esforço normal do tabuleiro (N i ) no tirante i Restante carga permanente da ponte por unidade de comprimento Força nos tirantes Diferença de temperatura que simula o puxe dos tirantes no processo construtivo Energia potencial de deformação por flexão Energia de deformação elástica da fundação Energia potencial da força axial aplicada Energia potencial da força vertical distribuída uniformemente Variação da energia potencial total xxiii

26 MINÚSCULAS LATINAS a Espaçamento dos tirantes ao nível do tabuleiro b Ângulo cp Carga permanente do tabuleiro f Ν (µ) Função que relaciona o valor da carga crítica de uma coluna sobre fundação elástica com esforço normal variável e rigidez constante com a coluna correspondente de esforço normal e rigidez constante f β (µ) Função que relaciona o valor da carga crítica de uma coluna sobre fundação elástica com esforço constante e rigidez variável com a coluna correspondente de esforço normal e rigidez constante f βν (µ) Função que relaciona o valor da carga crítica de uma coluna sobre fundação elástica com esforço normal e rigidez variável com a coluna correspondente de esforço normal e rigidez constante h Altura de uma secção transversal; Altura da torre l Comprimento; Comprimento do tirante l o n q q cr q cr q cp q lim sob x y(x) Comprimento inicial do tirante Número de semi-ondas do modo de instabilidade Carga distribuída Carga distribuída crítica aplicada no tabuleiro Carga distribuída crítica devido a um carregamento do tabuleiro apenas no tramo central Carga distribuída associada à carga permanente da estrutura Carga distribuída crítica aplicada no tabuleiro para o caso de uma instabilidade por ponto limite Sobrecarga uniforme no tabuleiro Coordenada no plano (x,y) Deformada de uma viga no plano; Coordenada no plano (x,y) MAIÚSCULAS GREGAS Δ 1,v,Δ 2,v Deslocamento vertical no tabuleiro (índice 1 associado à rigidez do tirante central; índice 2 associado ao deslocamento horizontal na torre) Δ 2,h Deslocamento horizontal na torre MINÚSCULAS GREGAS α β (x) β i β o Ângulo; Ângulo formado por um tirante com o tabuleiro Rigidez elástica conferida pelos tirantes ao longo do tabuleiro; Rigidez elástica da fundação de uma coluna sobre fundação elástica Rigidez elástica equivalente conferida pelos tirantes ao tabuleiro Rigidez elástica máxima da fundação de uma coluna sobre fundação elástica com rigidez variável ao longo do vão xxiv

27 δ meio vão, inicial Deslocamento vertical do tabuleiro a meio vão depois de aplicada a carga permanente δ V,i Deslocamentos (vertical) de um nó (i) da estrutura λ,λ 1,λ 2 Parâmetro de carga (índice 1 quando λ é aplicado ao conjunto {cp+sob} em todo o tabuleiro; índice 2 quando λ é apenas à {sob}) λ cr λ u Parâmetro de carga crítico Parâmetro de carga último associado à rotura por plastificação µ Parâmetro adimensional de uma coluna sobre fundação elástica σ cr φ ω ω o ω o,cp Tensão crítica de estabilidade de placa Ângulo Excêntricidade de uma coluna relativamente à sua posição indeformada Excêntricidade inicial de uma coluna relativamente à sua posição indeformada Excêntricidade inicial de uma coluna relativamente à sua posição indeformada devido à acção das cargas permanentes xxv

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29 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1 INTRODUÇÃO 1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS As pontes de tirantes representam actualmente uma solução económica, eficiente e esteticamente apelativa para pontes de vãos muito diversos. Para pequenos vãos este tipo de estruturas competem com outros tipos de pontes quando é exigido uma grande esbelteza ao nível do tabuleiro, nomeadamente em meios urbanos. Para vãos acima dos mil metros, as pontes de tirantes competem actualmente com as pontes suspensas, estando em construção uma ponte com um vão principal superior a m [6]. As primeiras pontes suportadas por tirantes foram construídas no século dezanove. No entanto, só a partir da segunda metade do século vinte houve um grande desenvolvimento neste tipo de pontes, devido aos progressos nas áreas dos materiais, dos processos construtivos, dos instrumentos e modelos de análise. Os elementos estruturais que constituem uma ponte de tirantes (tabuleiro, torres e tirantes) podem ter diversas configurações, o que permite que sejam utilizadas numa grande variedade de vãos. Também ao nível dos materiais, no caso dos tabuleiros, é possível tomar uma decisão tendo em conta as limitações da obra, uma vez que são possíveis as seguintes opções: tabuleiros inteiramente em aço; tabuleiros de betão armado e préesforçado; ou com um tabuleiro misto aço-betão. A opção entre as diversas configurações e materiais na concepção de uma ponte de tirantes é condicionada por diversos factores. Os condicionantes estéticos e funcionais, assim como o processo construtivo são fundamentais, uma vez que determinam a escolha do tipo de tabuleiro, o número e dimensão dos vãos, a altura das torres, a configuração do sistema de suspensão, entre outros aspectos. 1

30 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS 1.2 ESTABILIDADE DO TABULEIRO A superstrutura de uma ponte de tirantes é composta de forma simples por pilares/torres, por tirantes e pelo tabuleiro. O funcionamento geral deste tipo de estruturas é o seguinte: o tabuleiro é responsável por receber as cargas do tráfego; os tirantes transmitem estas cargas às torres; e as torres por sua vez transmitem as mesmas às fundações. Os tirantes inclinados ao desempenharem a sua função de conduzir as forças verticais do tabuleiro para as torres, introduzem uma compressão no tabuleiro. Esta compressão, caso seja muito elevada e o tabuleiro muito esbelto, pode produzir a instabilidade global do tabuleiro. A construção de pontes de tirantes, com vãos e esbeltezas cada vez maiores, tem caminhado em paralelo com os desenvolvimentos científicos nas áreas da análise estrutural e dos materiais. Alguns exemplos de pontes deste tipo com esbelteza crescente (todas rodoviárias com suspensão lateral e tabuleiro misto em aço-betão ou de betão armado), ilustram bem os desafios que este tipo de estruturas foram superando ao longo dos anos: a ponte de Heer-Agimont (Bélgica, 1975), com 124 m de vão central e uma esbelteza de 106; a ponte de Diepoldsau (Suíça, 1985), com 97 m de vão central e uma esbelteza de 176; a ponte de Annacis (Canadá, 1986), com 465 m de vão central e uma esbelteza de 210; a ponte de Rion-Antirion (Grécia, 2005), com 560 m de vão central e uma esbelteza de 224; a ponte de Ting Kau (R.P. da China, 1998), com 448 m e 475 nos vãos centrais e uma esbelteza de 271; a ponte de Evripos (Grécia, 1992), com 215 m de vão central e uma esbelteza de 478 (Figura 1.1). O fenómeno de rotura por instabilidade global do tabuleiro foi até hoje objecto de pouca atenção tanto por parte de projectistas como de investigadores, uma vez que os parâmetros de carga (relativamente ao peso próprio da ponte) associados a este tipo de rotura são normalmente superiores a seis, e de acordo com os estudos conhecidos são sempre 2

31 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO superiores aos parâmetros de carga associados à rotura plástica do tabuleiro ou dos tirantes[2;8;9]. Contudo, com o sucessivo aumento da esbelteza nas pontes de tirantes, este fenómeno pode passar a ter uma maior relevância. Figura Ponte de Evripos (Grécia) com um tabuleiro em betão armado pré-esforçado de 0.45 m de altura e um vão central de 215 m. O aumento da esbelteza das pontes atirantadas significa um tabuleiro de menores dimensões relativamente ao maior vão. Esta diminuição do tabuleiro associado à construção de pontes com vãos cada vez maiores (o que implica um nível de compressão superior no tabuleiro) pode agravar o risco de instabilidade global do tabuleiro. A título de exemplo apresenta-se na Figura 1.2 a esbelteza para tabuleiros atirantados mistos. Figura Esbelteza do tabuleiro de pontes atirantadas mistasem função do vão principal [6]. 3

32 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS Na primeira geração de pontes deste tipo, os tirantes encontravam-se bastante espaçados entre si ao longo do tabuleiro. Os tirantes funcionavam como apoios intermédios e a instabilidade do tabuleiro entre estes era controlada, com a carga crítica e o modo de instabilidade a serem facilmente determinados. Devido aos pequenos vãos e tabuleiros pouco flexíveis, raramente este tipo de rotura era condicionante. Com o início da concepção de pontes com suspensão múltipla, i.e. tirantes pouco espaçados entre si, o cálculo da carga crítica associado ao tabuleiro tornou-se mais complexo uma vez que os modos de instabilidade já não eram tão simples. Contudo, o facto dos tirantes se encontrarem muito próximo uns dos outros, permitiu desenvolver a analogia entre um tabuleiro atirantado e uma viga-coluna sobre fundação elástica, fornecida pelos tirantes. Este apoio conferido de forma quase contínua pelos tirantes permitiu, para as pontes construídas, que o fenómeno da instabilidade do tabuleiro não fosse condicionante. 1.3 COMPORTAMENTO NÃO LINEAR Devido aos grandes vãos e tabuleiros muito flexíveis o comportamento não linear das pontes de tirantes para cargas estáticas é um dos aspectos mais importante do seu dimensionamento. Este tipo de comportamento está presente em vários níveis numa ponte deste género: Não linearidade geométrica do tabuleiro e das torres Os tirantes inclinados transmitem ao tabuleiro e às torres forças de compressão elevadas, que podem produzir efeitos de segunda ordem significativos nestes elementos da estrutura, quando o tabuleiro é submetido a deformações provocadas pelo tráfego rodoviário ou ferroviário. Também durante o processo construtivo, como a deformabilidade das torres e do tabuleiro é maior, a instalação dos tirantes pode produzir importantes efeitos de segunda ordem na estrutura. Quanto mais flexível for o tabuleiro e maior o vão da ponte, mais importância estes efeito geometricamente lineares têm. Não linearidade dos tirantes Os tirantes deformam-se devido à acção do seu peso próprio, em função do seu comprimento e tensão instalada. Este efeito é tido em consideração através de um módulo de elasticidade equivalente para o tirante, e será igual ou menor ao módulo de elasticidade do aço. 4

33 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Não linearidade física dos materiais Tanto o aço como o betão exibem um comportamento marcadamente não linear, que deve ser tido em consideração quando se efectua uma análise à rotura. Efeitos diferidos do betão As tensões ou deformações impostas ao longo do tempo resultantes dos efeitos de fluência e relaxação e retracção das peças de betão, dão origem a redistribuições de esforços e aumento das deformações do tabuleiro e das torres ao longo do tempo. Todos estes aspectos, entre outros mais específicos de cada tipo de pontes como a não linearidade física da conexão aço/betão para tabuleiros mistos e os efeitos do faseamento construtivo, tem de ser tidos em conta na concepção de uma ponte de tirantes [2;3;15]. Contudo, para efeitos deste trabalho, os efeitos geometricamente não lineares associados ao tabuleiro e às torres, são os únicos relevantes para uma análise elástica de estabilidade global do tabuleiro, como referido nos números seguintes. 1.4 ANÁLISE DE ESTABILIDADE Efectua-se neste trabalho uma avaliação da estabilidade dos tabuleiros atirantados. Tal como é usual neste tipo de investigação, efectua-se uma análise elástica de estabilidade, em que não se considera a não linearidade física dos materiais, e portanto não é considerada a sua plastificação. Assim assume-se que mesmo para elevados níveis de carregamento o aço e o betão funcionam sempre em regime elástico. Considerando este tipo de análises de estabilidade, pode ser feita uma análise linear ou não linear: Análise linear de estabilidade considera-se a estrutura sempre inderfomada até se dar a sua instabilidade. Analiticamente resume-se a um problema de valores e vectores próprios, que nunca altera a matriz de rigidez da estrutura, uma vez que não se considera a sua deformabilidade até ocorrer a sua instabilidade. Análise não linear de estabilidade são consideradas as sucessivas posições de equilíbrio da estrutura (resultante das suas deformações) à medida que é sujeita a níveis de carga crescentes. Neste caso a matriz de rigidez elástica da estrutura vai sendo reajustada tendo em conta a configuração deformada da estrutura, resultante 5

34 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS dos carregamentos. A instabilidade ocorre quando não é possível atingir o equilíbrio para um dado incremento no carregamento. Ao longo deste trabalho utilizam-se os dois tipos de análises de estabilidade. 1.5 OBJECTIVOS DO TRABALHO Tendo em conta o problema da estabilidade de tabuleiros atirantados apresentada nos pontos anteriores, identificam-se os seguintes objectivos principais do presente trabalho: 1) Desenvolvimento de um modelo que permita avaliar de forma aproximada a estabilidade elástica de tabuleiros à flexão/compressão, recorrendo à analogia de um tabuleiro atirantado como uma viga-coluna sobre fundação elástica. 2) Estudo paramétrico que permita obter conclusões relativamente à estabilidade de tabuleiros atirantados tendo em conta os vários aspectos a considerar na sua concepção e dimensionamento, nomeadamente: a configuração do sistema de suspensão; a geometria e altura das torres; o espaçamento entre tirantes; e a geometria do carregamento. 1.6 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO O trabalho está organizado em seis capítulos, designadamente: a presente Introdução e um capítulo final com a síntese das principais Conclusões do trabalho; e quatro capítulos sobre os seguintes temas (2) Noções Gerais Sobre Pontes de Tirantes, a (3) Estabilidade Linear de Tabuleiros Atirantados: Analogia Viga-Coluna Sobre Fundação Elástica, a (4) Estabilidade Não Linear de Tabuleiros Atirantados e (5) Análise Paramétrica de Estabilidade. No Capítulo 1 Introdução faz-se uma introdução geral ao tema das pontes de tirantes e em particular ao problema da estabilidade dos seus tabuleiros para cargas estáticas. São referidas as diversas fontes de não lineariedades associadas a este tipo de estruturas e descritas de forma breve os tipos de análises de estabilidade realizadas ao longo do 6

35 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO trabalho. São também definidos de forma clara os objectivos principais do trabalho e é descrita a sua organização. O Capítulo 2 Noções Gerais Sobre Pontes de Tirantes começa por uma descrição geral sobre a concepção estrutural das pontes de tirantes, nomeadamente sobre: (1) as suas possíveis configurações longitudinais; (2) tipo de sistemas de suspensão/atirantamento; (3) geometria das torres; e (4) configurações e materiais do tabuleiro. São referidas e descritas as não linearidades associadas a uma ponte de tirantes, assim como quais são tidas em conta no desenvolvimento deste trabalho. Os conceitos de estabilidade local e global também associados a este tipo de pontes são definidos. Este capítulo é concluído com a descrição do exemplo de estudo usado para elaborar este trabalho, onde é feita a comparação entre o modelo adoptado e a ponte Vasco da Gama e apresentadas as características do modelo. O Capítulo 3 Estabilidade Linear de Tabuleiros Atirantados: Analogia Viga-Coluna Sobre Fundação Elástica apresenta em primeiro lugar a formulação do problema da avaliação da estabilidade elástica global de um tabuleiro atirantado, com recurso a analogia com uma viga-coluna sobre fundação elástica. O modelo analítico baseado numa análise linear de estabilidade da coluna sobre fundação elástica é deduzido, e são apresentados os resultados que se obtêm considerando diferentes variações de esforço normal e rigidez da fundação ao longo da barra. Apresenta-se de seguida um método simplificado baseado nesta analogia para estudar a estabilidade elástica global de tabuleiros atirantados. Comparam-se os resultados obtidos com este método, com os obtidos através de modelos numéricos de colunas sobre fundação elástica. A introdução de uma imperfeição geométrica no modelo de coluna sobre fundação elástica é analisada através de um modelo numérico, com o objectivo avaliar a influência do comportamento de viga do tabuleiro numa análise linear de estabilidade. No Capítulo 4 Estabilidade Não Linear de Tabuleiros Atirantados começa-se por explicar os conceitos de análise linear e não linear de estabilidade, referindo exemplos de 7

36 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS alguns tipos de resultados possíveis de obter neste segundo tipo de análises e identificandose as suas dificuldades. São apresentadas as particularidades associadas às pontes de tirantes que afectam a análise de estabilidade global. São apresentados e analisados os resultados para diversas análises não lineares de estabilidade, cada uma associada a uma geometria de carregamento diferente. É proposta uma modificação do modelo da viga-coluna sobre fundação elástica com o objectivo de conseguir uma melhor aproximação da carga crítica para um carregamento apenas no vão central do tabuleiro. É apresentado o estudo da estabilidade do tabuleiro de 420 m de vão central descrito no Capítulo 2, comparando-se os resultados de: (1) um modelo numérico baseado numa análise não linear de estabilidade; (2) um modelo de vigacoluna sobre fundação elástica; e (3) um método simplificado proposto por Klein [4]. O Capítulo 5 Análise Paramétrica de Estabilidade inicia-se pela análise da influência da inclusão do processo construtivo numa análise não linear de estabilidade numa ponte de tirantes. São apresentado os resultados de várias análises lineares e não lineares de estabilidade efectuadas, avaliando a influência de determinados aspectos relativos à concepção das pontes de tirantes, na estabilidade global do seu tabuleiro. Efectua-se nomeadamente uma análise paramétrica que permite avaliar a importância dos seguintes aspectos na estabilidade global da estrutura: (1) geometria do carregamento; (2) tipo de sistema de suspensão; (3) sistema de suspensão; (4) altura das torres; (5) espaçamento entre tirantes; (6) rigidez de flexão do tabuleiro; (7) rigidez de flexão das torres; (8) geometria transversal das torres; (9) ligação do tabuleiro às torres; e (10) existência de pilares intermédios nos vãos laterais. No Capítulo 6 Conclusões e Desenvolvimentos Futuros efectua-se uma síntese geral das conclusões do trabalho desenvolvido e apresentam-se aspectos que justificam futuros trabalhos. O presente trabalho inclui ainda três anexos, organizados da forma seguinte: 8

37 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Anexo A, inclui as características geométricas dos tirantes e as propriedades geométricas do modelo apresentado no Capítulo 2. Anexo B, com dados referentes às forças nos tirantes, necessários para a simulação do processo construtivo referido no Capítulo 5. Anexo C, com as características geométricas dos tirantes para os tipos de suspensão em leque e em harpa. 9

38 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS 10

39 CAPÍTULO 2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES 2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES 2.1 INTRODUÇÃO Nas últimas décadas o âmbito de aplicação das pontes de tirantes tem vindo progressivamente a aumentar, sendo hoje em dia uma opção válida para diversos vãos. No domínio das pontes de pequeno e médio vão, as soluções atirantadas constituem soluções adequadas para ultrapassar problemas locais, tais como o caso de pontes urbanas, onde é muitas vezes necessário recorrer a tabuleiros muito esbeltos e, não é possível posicionar pilares intermédios definitivos ou mesmo provisórios durante o processo construtivo. Nestas situações, uma ponte atirantada constitui uma solução adequada, de fácil e rápida execução e boa qualidade estética [6]. No caso dos grandes vãos, as pontes de tirantes estão prestes a atingir o patamar dos 1100 m de vão principal, quando em 2012 a ponte de Russky Island na Rússia for inaugurada com um vão de 1104 m. A concepção de pontes de grandes vãos tem sido acompanhada pela redução da altura das secções transversais do tabuleiro, o que permite uma economia de material e também uma redução da área de exposição ao vento. A esbelteza do tabuleiro, definida como a relação entre o vão principal e altura da secção principal, tem vindo progressivamente a aumentar, situando-se actualmente entre 100 e 300 [6]. A superstrutura de uma ponte de tirantes é composta basicamente por pilares/torres, por tirantes e pelo tabuleiro. Todos este elementos estruturais podem ter numerosas configurações, o que torna muito diversificadas as soluções possíveis. Esta característica permite que as pontes atirantadas sejam utilizadas numa grande variedade de vãos, desde de pequenos tabuleiros para a passagem de peões, até tabuleiros rodoviários e rodo- 11

40 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS ferroviários com grandes vãos. Neste capítulo apresentam-se as configurações mais comuns para estes elementos, assim como os critérios gerais usuais na sua escolha. As pontes de tirantes têm não linearidades associadas que são de dois tipos: físicas (associadas ao comportamento não linear dos materiais) e geométricas (relacionadas com o comportamento não linear da estrutura e dos seus elementos). Já os fenómenos de instabilidade podem ser locais ou globais, sendo ambos referidos neste capítulo no contexto das pontes atirantadas. Por último, apresenta-se o modelo da ponte cujo estudo da estabilidade global do tabuleiro é realizado nos próximos capítulos. 2.2 CONCEPÇÃO ESTRUTURAL Configuração longitudinal As pontes de tirantes são constituídas por três elementos estruturais principais: o tabuleiro; as torres e pilares; e os tirantes. O sucesso deste tipo de estruturas pode, em grande medida, ser atribuído ao eficiente e intuitivo funcionamento estrutural de cada um destes elementos: o tabuleiro suporta as cargas permanentes e as sobrecargas, e transfere-as para os tirantes e para os pilares, funcionando simultaneamente à flexão e à compressão; os tirantes transferem as forças às torres; e estas, por sua vez, transmitem por compressão as forças às fundações (Figura 2.1) [6]. torre tirantes tabuleiro pilar Tracção Figura Funcionamento estrutural de uma ponte de tirantes. Compressão Inicialmente, as pontes de tirantes utilizavam poucos cabos inclinados, permitindo deste modo vencer maiores vãos sem a necessidade de pilares intermédios (Figura 2.2 a e b). O número reduzido de tirantes relativamente espaçados, requeria tabuleiros rígidos e tirantes com grandes secções transversais [5;6]. 12

41 CAPÍTULO 2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES A tendência de redução do peso próprio do tabuleiro, associada às evoluções tecnológicas verificadas nos tirantes, bem como a possibilidade de utilizar potentes meios de cálculo, tornaram viável, na década de sessenta, a concepção das primeiras pontes de tirantes com suspensão múltipla (Figura 2.2 c). Nestas pontes utiliza-se um grande número de tirantes com pequenos espaçamentos, o que permite um apoio aproximadamente contínuo do tabuleiro [6]. Durante a construção, este sistema possibilita a utilização de menores comprimentos do tabuleiro em consola, uma vez que a distância entre tirantes é pequena. (a) (b) (c) Figura Evolução do sistema de atirantamento do tabuleiro. As soluções estruturais das pontes de tirantes são muito diversas, em especial para pequenos e médios vãos. No entanto, uma tipologia tem sido quase sempre adoptada nas pontes atirantadas com médios e grandes vãos. Esta tipologia, em linhas gerais, caracteriza-se por uma estrutura de três vãos e duas torres, em que o tabuleiro é totalmente de aço, de betão armado pré-esforçado, ou misto aço-betão (Figura 2.1 e Figura 2.2 c). A relação dimensional entre o vão lateral e o vão central tem influência significativa na variação de tensão dos últimos tirantes de retenção. A adopção de pilares intermédios, apesar de ser uma opção do ponto vista estético e construtivo com menor qualidade (no caso de uma construção por avanços sucessivos), atenua bastante estas variações de tensões. Como pré-dimensionamento, é normal adoptarem-se vãos laterais com o comprimento na ordem dos 0.40 a 0.50 do vão central [6]. 13

42 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS A definição do número de planos de suspensão, da forma da secção transversal tipo do tabuleiro e a geometria das torres, são três decisões que tem de ser tomadas em conjunto uma vez que estão interligadas. Em geral, adoptam-se um ou dois planos de suspensão (Figura 2.3 a e b), sendo raras as pontes de tirantes com três planos de suspensão. Um único plano de suspensão (Figura 2.3 a) do ponto vista estético é a melhor opção, uma vez que não existe cruzamento entre linhas de tirantes quando se observa uma obra deste tipo. A suspensão central é normalmente apoiada ou monolítica com os pilares, para equilibrar a torção, uma vez que este tipo de suspensão só equilibra as cargas verticais do tabuleiro. Os efeitos de torção resultantes das sobrecargas assimétricas têm de ser equilibrados pelo tabuleiro, que será por isso necessariamente fechado, do tipo caixão uni ou multicelular, o que representa uma solução normalmente mais pesada [6]. (a) (b) Figura Suspensão central e lateral em pontes de tirantes. Na quase totalidade das pontes de tirantes com vão acima dos 400 m têm sido adoptados dois planos de suspensão. Neste grupo existem ainda dois tipos: adopção de dois planos de suspensão verticais ou dois planos oblíquos. A suspensão lateral do tabuleiro permite adoptar um tabuleiro muito mais esbelto e menos resistente à torção, uma vez que o equilíbrio de cargas verticais é feito distribuindo as componentes simétricas pelos dois planos de tirantes, e formando um binário para equilibrar as componentes assimétricas. As diferenças entre suspensão lateral vertical ou oblíqua registam-se ao nível das torres, e no funcionamento global da estrutura quando sujeita a forças horizontais transversais. A opção de dois planos de suspensão verticais conduz em geral a torres formadas por dois fustes verticais, muitas vezes ligados entre si para funcionarem em pórtico. No caso de se adoptarem dois planos oblíquos, as torres são em forma de A ou Y invertido. 14

43 CAPÍTULO 2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES No caso da suspensão lateral é possível não apoiar o tabuleiro nas torres, mantendo-o suspenso ao longo de todo o comprimento entre juntas de dilatação. Neste caso de suspensão total a totalidade das cargas aplicadas ao tabuleiro são transmitidas pelos tirantes às torres. Este tipo de concepção tem grandes vantagens estruturais, uma vez que apoios rígidos nas torres dão origem a momentos flectores negativos muito superiores aos que se desenvolvem nas secções de ancoragem dos tirantes. Outra vantagem deste tipo de sistema de suspensão é o comportamento à acção sísmica, já que conduz a frequências próprias longitudinais e transversais menores, uma vez que o tabuleiro se comporta neste caso aproximadamente como um pêndulo suspenso pelos tirantes, o que reduz a acção sísmica transmitida à infraestrutura. Uma das desvantagens da adopção deste tipo de solução, passa pelo aumento da deformabilidade do tabuleiro, que pode ser impeditivo no caso de pontes ferroviárias [6] Sistemas de atirantamento Existem três configurações do sistema de suspensão do tabuleiro: em leque; em semileque; e harpa (Figura 2.4 a, b e c respectivamente). (a) (b) (c) Figura Configurações do sistema de suspensão do tabuleiro: a) leque, b) semi-leque, e c) harpa. 15

44 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS O conceito de quanto maior o ângulo formado pelos tirantes com a horizontal, menor a força instalada e menor a quantidade de aço total em tirantes, foi utilizado em diversas pontes de tirantes de pequeno e médio vão, que escolheram uma configuração em leque, com todos os tirantes a convergir no topo das torres (Figura 2.5). Este tipo de configuração apresenta um único ponto de apoio conferido pelos tirantes no topo da torres, o que torna a ancoragem complexa e aumenta o risco de instabilidade elástica das torres. Figura Configuração em leque - ponte Clark, EUA. Figura Configuração em harpa - ponte Øresund, entre a Suécia e a Dinamarca. Figura Configuração em semi-leque - ponte Vasco da Gama, Lisboa. 16

45 CAPÍTULO 2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES Algumas das primeiras pontes de tirantes adoptaram uma configuração em harpa, em que todos os tirantes são paralelos entre si (Figura 2.6). Trata-se de uma distribuição de tirantes mais harmoniosa e que elimina os inconvenientes associados à concentração de tirantes no topo da torre. No entanto, é uma solução pouco económica em termos de peso dos tirantes quando as torres não tem grande altura [5]. Uma solução intermédia entre as duas anteriores consiste em distribuir os tirantes numa zona mais alargada da parte superior da torre, de forma a ter espaço suficiente para proceder à sua ancoragem, mas procurando que a inclinação dos tirantes com a horizontal seja a maior possível. Esta configuração em semi-leque (Figura 2.7), também por vezes designada por semi-harpa, representa portanto um compromisso entre as exigências funcionais, económicas e estéticas de concepção. Este sistema tem vindo progressivamente a ser o mais adoptado nas modernas pontes de tirantes. A escolha da configuração da suspensão deve ter em conta a eficiência estrutural de cada um dos sistemas. Esta eficiência pode ser avaliada pela rigidez vertical conferida pelos tirantes, e que determina a maior ou menor deformabilidade do tabuleiro, e pela compressão horizontal introduzida pelos tirantes no tabuleiro Geometria das torres As torres são os elementos mais visíveis de uma ponte de tirantes. Assim a escolha da sua geometria deve ter em atenção não só o seu funcionamento estrutural, como os aspectos estéticos. Esta geometria depende dos seguintes aspectos: forma de suspensão do tabuleiro (central ou lateral); configuração do sistema de atirantamento (harpa, leque ou semi-leque); necessidade em apoiar o tabuleiro nas torres; espaço para ancoragem e tensionamento dos tirantes no interior das torres; funcionamento estrutural do tabuleiro (com três vãos, duas torres e tirantes de retenção, ou com vãos múltiplos). Embora as primeiras pontes de tirantes tenham utilizado torres em aço, a maioria actualmente tem adoptado por torres em betão armado, já que este elemento estrutural tem essencialmente compressões muito elevadas. 17

46 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS As torres das pontes de tirantes podem agrupar-se quanto à sua geometria da seguinte forma [6]: Torres com fuste único vertical ou inclinado são a forma mais simples, normalmente associado à suspensão central do vão principal do tabuleiro (Figura 2.8); Torres com dois fustes (Figura 2.6); Torres em pórtico transversal Os dois fustes são ligados entre si, como no caso da ponte Vasco da Gama (Figura 2.9); Torres em pórtico longitudinal por vezes devido ao desequilíbrio dos vãos atirantados ou no caso de vãos múltiplos, é necessário utilizar torres com maior rigidez longitudinal, para reduzir a deformabilidade dos tabuleiros (Figura 2.10); Em forma de A solução constituída por dois fustes que se unem no topo, fazendo com que a configuração dos tirantes seja sempre em leque (Figura 2.11); Em forma de Y invertido este tipo de geometria ao contrário da anterior, possibilita uma configuração dos tirantes em semi-leque (Figura 2.12); Em diamante e duplo diamante esta forma das torres, permite reduzir bastante o espaço necessário ao nível do terreno, relativamente às geometrias em A ou Y invertido (Figura 2.13); Em pirâmide e outras formas particulares as pontes de tirantes apresentam outros tipos de configurações particulares, algumas por razões técnicas, mas a maioria resulta de condicionamentos arquitectónicos (Figura 2.14 e Figura 2.15). Figura Fuste único vertical: ponte de Stonecutters - Hong-Kong. 18

47 CAPÍTULO 2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES Figura Forma da torre em pórtico transversal: ponte Vasco da Gama - Lisboa. Figura Forma da torre em pórtico longitudinal: ponte Neuwied - Alemanha. Figura Forma da torre em A: ponte Jindo - Coreia do Sul. 19

48 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS Figura Forma da torre em Y invertido: ponte sobre o Rio Suir - Irlanda. Figura Forma da torre em diamante: ponte Tatara - Japão. Figura Forma da torre em pirâmide: ponte Rion-Antirion - Grécia. 20

49 CAPÍTULO 2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES Figura Torres com formas particulares: ponte de La Unidad - México Configurações e materiais do tabuleiro No processo da concepção, a escolha da secção transversal do tabuleiro constitui um passo muito importante. A definição da secção transversal define o peso próprio do tabuleiro, que condiciona toda a estrutura da ponte. Relativamente ao materiais, os tabuleiros podem ser de três tipos: totalmente em betão; totalmente em aço; ou mistos aço-betão. Geralmente os primeiros apresentam o maior peso próprio, sendo portanto os que conduzem a tabuleiros mais pesados. As soluções totalmente em aço são as mais leves mas igualmente as mais caras, especialmente devido aos custos de mão de obra. Por último, as soluções mistas são relativamente equilibradas, tanto no que respeita ao seu peso como o nível do custo da mão de obra especializada requerido para a sua construção. A experiência tem mostrado que os tabuleiros rodoviários de betão são em geral competitivos até vãos principais da ordem dos 400 m, acima dos quais os tabuleiro mistos são preferíveis. Quando se adoptam vãos acima dos 600 a 700 m têm sido sempre adoptados tabuleiros totalmente metálicos [6]. A suspensão múltipla permite adoptar tabuleiros mais esbeltos, tendo em conta que os momentos flectores entre pontos de apoio, conferidos pelos tirantes, são pequenos. A esbelteza do tabuleiro é entendida como a relação entre o comprimento do vão principal e a altura do tabuleiro. A esbelteza tem vindo a aumentar nas pontes atirantadas modernas, em 21

50 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS conjunto com o comprimento do vão principal. Esta característica é fortemente condicionada pela tipologia da secção transversal do tabuleiro. De uma forma geral, os tipos de secção transversal do tabuleiro são os seguintes: em laje esbelta; em bi-viga de betão armado pré-esforçado ou mista de alma cheia; em caixão de betão, metálico ou misto; ou um tabuleiro em treliça. A primeira decisão na concepção do tabuleiro, consiste em optar por suspensão lateral ou central. A suspensão central requer um tabuleiro com maior rigidez à torção, normalmente conseguida com uma secção em caixão (Figura 2.16). A suspensão lateral permite a escolha de tabuleiros abertos do tipo bi-viga ou mesmo em laje esbelta, embora possam também ser adoptados tabuleiros em caixão único com escoras ou em duplo caixão lateral. Este tipo de suspensão permite também uma esbelteza maior da secção, tendo em conta que o tabuleiro tem maior apoio dos tirantes. No caso de tabuleiros com suspensão lateral podem também adoptar-se secções em caixão, embora não seja absolutamente necessária uma rigidez de torção elevada, excepto em pontes atirantadas com vãos extremamente longos. A Figura 2.17 apresenta configurações possíveis do tabuleiro com suspensão lateral e ainda assim com rigidez de torção elevada. Figura Configurações possíveis do tabuleiro com suspensão central e rigidez de torção elevada. 22

51 CAPÍTULO 2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES Figura Configurações possíveis do tabuleiro com suspensão lateral e rigidez de torção elevada. No caso de não se optar pela solução em caixão para a secção transversal do tabuleiro, as soluções em bi-viga são constituídas pelos seguintes elementos básicos: duas vigas longitudinais em aço ou betão armado, ligadas por um conjunto de vigas transversais pelo menos nos pontos de inserção dos tirantes, que formam uma grelha onde se apoia a laje (Figura 2.18). Esta laje normalmente é de betão, o que garante uma boa plataforma para colocação do betuminoso ou do balastro, com uma espessura entre os 0.20 e os 0.30 m. Também é possível optar-se por uma laje mais leve em placa ortotrópica, formada por uma chapa relativamente fina (tipicamente com 12 mm), reforçada longitudinalmente por reforços abertos ou fechados. Figura Elementos básicos numa secção transversal mista do tipo bi-viga [6]. As soluções em treliça são principalmente adequadas quando se pretende um tabuleiro leve mas simultaneamente com pequena deformabilidade. Estes requisitos são usuais em pontes ferroviárias ou rodo-ferroviárias e, nesses casos, adopta-se um tabuleiro com dois níveis, colocando o tráfego ferroviário no interior da treliça no nível inferior, e o tráfego rodoviário no nível superior (Figura 2.19). 23

52 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS Figura Secções transversais do tabuleiro atirantado em treliça. Relativamente à ancoragem dos tirantes no tabuleiro, a solução mais simples consiste na inserção directa da ancoragem nas vigas longitudinais de betão. Nas pontes atirantadas metálicas ou mistas essa opção não é possível, identificando-se duas soluções alternativas: 1) Ancoragens dos tirantes no alinhamento das vigas principais (Figura 2.20 a). 2) Ancoragens dos tirantes exteriores ao alinhamento das vigas principais (Figura 2.20 b); Ambas as soluções são possíveis, tendo cada uma as suas vantagens e desvantagens. No segundo caso destaca-se o facto desta solução necessitar de carlingas transversais bastante resistentes, para transferir as componentes verticais e horizontais das forças dos tirantes para as vigas do tabuleiro. No primeiro caso, estas carlingas podem ser mais ligeiras. (a) Ponte da Normandia (França) (b) Ponte de Kolkäck (Suécia) Figura Ancoragem dos tirantes no tabuleiro: (a) no alinhamento das vigas principais; e (b) exteriores às vigas principais. Outro aspecto a definir consiste no espaçamento entre tirantes ao nível do tabuleiro, o que condiciona a esbelteza do tabuleiro e o número total de tirantes a ancorar em cada face da torre. Quanto maior o espaçamento entre tirantes, menor o apoio do tabuleiro por parte destes, e maiores os seus momentos-flectores. Deste modo interessa aproximar os tirantes 24

53 CAPÍTULO 2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES para reduzir os esforços no tabuleiro. Outros aspectos a ter em consideração na definição do espaçamento entre tirantes são a largura do tabuleiro e o número de planos de suspensão. No caso de tabuleiros em laje esbelta de betão armado pré-esforçado, o espaçamento entre tirantes é da ordem dos 4 m a 6 m. Nos tabuleiros de betão com maior inércia (tipo bi-viga ou caixão), os tirantes encontram-se espaçados entre os 6 m e os 9 m. Nas pontes atirantadas mistas, por se tratarem de soluções mais leves, este intervalo de valores sobe para entre os 9 m e 16 m, e no caso dos tabuleiros metálicos mais leves ainda, os tirantes têm um espaçamento entre os 15 m e os 20 m [6]. 2.3 ESTABILIDADE LOCAL E GLOBAL Estabilidade local Os fenómenos de estabilidade local estão associados à encurvadura de placas ou colunas quando sujeitos à compressão. No caso das pontes de tirantes, é ao nível dos tabuleiros mistos e metálicos que estes fenómenos são relevantes, com a possibilidade das chapas metálicas que constituem a secção transversal do tabuleiro, caso sejam de classe 4, poderem instabilizar devido à compressão introduzida tanto pelos tirantes no tabuleiro como também pelos momentos flectores existentes. Num tabuleiro misto do tipo bi-viga, é principalmente nas almas das vigas, geralmente de classe 3 ou 4, que este tipo de fenómenos são mais importantes, uma vez que os banzos são normalmente de classe 1 ou 2, não ocorrendo problemas de instabilidade local, mesmo quando sujeitos em toda a secção a tensões iguais à tensão de cedência. Para limitar os problemas de instabilidade são normalmente colocados reforços verticais e horizontais nas almas. A instabilidade local da alma pode ocorrer quando comprimida com uma tensão inferior à tensão de cedência. Este tipo de instabilidade local pode ser do tipo coluna comprimida, ou como placa entre reforços, ou ainda como resultado da compressão vertical introduzida pelas forças de desvio resultantes da flexão global dos banzos. 25

54 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS A instabilidade local da alma como coluna comprimida é, em geral, o fenómeno mais condicionante no dimensionamento de vigas de alma cheia fortemente comprimidas. O comprimento de encurvadura da coluna equivalente associada à alma está directamente relacionado com a distância entre carlingas ou reforços verticais (no caso de existirem num maior número de secções) (Figura 2.21 a). Para melhorar o comportamento da alma em relação a este tipo de instabilidade local, pode se optar por: uma menor distância entre reforços verticais, que faz diminuir o comprimento de encurvadura da alma; e/ou colocar reforços longitudinais na alma, que aumentam a área equivalente da alma enquanto coluna [5]. Secção C-C espaçamento das carlingas espaçamento das carlingas (a) Instabilidade local como coluna Secção B-B espaçamento das carlingas (b) Instabilidade local como placa Secção A-A web breathing F (c) Instabilidade induzida pelos banzos flange induced buckling Figura Instabilidade local da alma de uma viga: (a) instabilidade local como coluna, (b) instabilidade local como placa e (c) instabilidade induzida pelos banzos 26

55 CAPÍTULO 2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES A fim de se evitar uma instabilidade local como placa, é normal a utilização de reforços longitudinais para reduzir os comprimentos livres dos painéis da alma (Figura 2.21 b). Na situação das vigas dos tabuleiros atirantados mistos, considera-se que para cada um dos sub-painéis entre reforços o diagrama de tensões, associadas à compressão, é praticamente uniforme. Trata-se da situação mais desfavorável mas com grande probabilidade de ocorrer. A instabilidade local devido à compressão vertical introduzida pelas forças de desvio resultantes da flexão global dos banzos, é normalmente o fenómeno menos condicionante no dimensionamento das vigas. O Eurocódigo 3 Parte 1-5 apresenta uma fórmula que limita a esbelteza da alma por forma a não ter de se considerar este efeito. Desta instabilidade local ao nível da alma, resulta uma deformação da mesma designada por web breathing devido à sua forma (Figura 2.21 c) [5]. Os fenómenos de estabilidade local não são considerados neste trabalho, uma vez que o objectivo consiste em estudar a estabilidade global do tabuleiro. Considera-se assim que a carga crítica associada a este tipo de fenómenos é sempre superior à obtida para instabilidade do tabuleiro, o que tem que ser avaliado caso a caso tendo em conta os reforços adoptados na direcção longitudinal e vertical Estabilidade global Os fenómenos de instabilidade global numa ponte de tirantes podem acontecer nos seus elementos estruturais comprimidos, nomeadamente nas torres ou no tabuleiro. As torres são elementos muito esbeltos, aos quais está associada uma compressão elevada, resultante das cargas absorvidas pelo tabuleiro e transmitidas pelos tirantes. Por este motivo, a verificação do comportamento destes elementos deve ser feito considerando esforços de segunda ordem. Como na direcção longitudinal a parte superior das torres é estabilizada pelos tirantes, a direcção transversal é normalmente condicionante na verificação de segurança relativamente à instabilidade estrutural das torres. A configuração do sistema de atirantamento, assim como a geometria da torre, são os principais factores que influenciam a estabilidade da torre. O efeito das excentricidades 27

56 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS acidentais e de segunda ordem são máximos no caso de um atirantamento em leque numa torre de fuste único. Neste caso as forças transmitidas pelos tirantes concentram-se todas no topo da torre, ao contrário do que acontece num atirantamento do tipo em harpa ou semi-leque. Também no caso de uma configuração em leque, os pontos de apoio fornecidos pelos tirantes ao longo da altura da torre concentram-se no mesmo local, enquanto que para as outras configurações, estes são distribuídos por um comprimento maior ao longo da torre, o que permite um melhor comportamento estrutural. Relativamente à geometria das torres, as soluções com melhor comportamento estrutural são as torres em pórtico transversal e também as torres em forma de A, uma vez que apresentam uma elevada rigidez transversal. No caso das torres em forma de A é necessário ter atenção à relação entre a altura total da torre e a sua largura (h/b), porque caso seja muito baixa, induzem-se compressões muito altas nos fustes. O tabuleiro de uma ponte atirantada está sujeito a grandes compressões transmitidas pelos tirantes, que ao mesmo tempo conferem um apoio vertical. O fenómeno de instabilidade do tabuleiro atirantado pode ser comparado ao de uma coluna sobre fundação elástica, com os tirantes a desempenharem tanto o papel de acção sobre o tabuleiro como de resistência à instabilidade uma vez que fornecem igualmente a fundação elástica. Quanto mais esbelto for o tabuleiro e menos inclinados forem os tirantes, maior é o risco de poder ocorrer a sua instabilidade. 2.4 EXEMPLO DE ESTUDO Considera-se de interesse efectuar o estudo da tipologia que tem sido mais adoptada, particularmente nas pontes com médio e grandes vãos. Esta tipologia, em linhas gerais, caracteriza-se por uma estrutura de três vãos e duas torres, em que o tabuleiro é constituído por uma grelha metálica com duas vigas longitudinais principais ligadas por vigas transversais igualmente espaçadas entre si, sobre a qual se apoia uma laje de betão armado de espessura constante. Considera-se como referência, para o modelo base de 420 m de vão central, a ponte atirantada Vasco da Gama. Designa-se este modelo de 420 m de vão central como modelo base, uma vez que o estudo da estabilidade que irá ser feito analisa outros modelos que são essencialmente variações deste. As principais diferenças entre o modelo e esta ponte, 28

57 CAPÍTULO 2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES devem-se ao facto desta ser uma solução com um tabuleiro em betão armado préesforçado, enquanto que a solução do modelo considera tabuleiro misto. Adopta-se como caso de estudo o modelo de 420 m adoptado por Oliveira Pedro num trabalho de investigação apresentado em 2007 [5]. Desenvolveu-se este modelo com novas geometrias de carregamento, geometrias de torres e arranjos dos tirantes Descrição geral da ponte Vasco da Gama e do modelo de 420 m A solução construída da ponte Vasco da Gama consiste num tabuleiro em betão armado pré-esforçado, com 420 m de vão central, vãos laterais de m e um comprimento total de 829 m. Nos vãos laterais existem três pilares intermédios, que dividem estes vãos em troços de 62.0m, m e 72.0 m. Estas mesmas dimensões são as consideradas no modelo de 420 m (Figura 2.24), com uma pequena diferença nos vãos laterais, cujos troços são de m e m para os dois interiores. A repartição de vãos na ponte Vasco da Gama corresponde à solução clássica, na qual os vãos laterais são ligeiramente inferiores a metade do vão central (entre 0.45 e do vão central), de forma a concentrar na extremidade do tabuleiro os tirantes de retenção. Estes tirantes estabilizam o topo das torres e, em consequência, diminuem a deformabilidade do vão principal. As torres são em forma de H, têm 150 m de altura, com 95 m acima do nível do tabuleiro. Existe apenas uma travessa a ligar os dois fustes da torre, 23.5 m acima do tabuleiro, imediatamente antes do início da ancoragem dos tirantes. No caso do modelo adoptado, a torre tem igualmente 150 m de altura, mas neste caso com 100 m acima do nível do tabuleiro. A relação entre a altura das torres e o vão central (igual a 0.226), encontra-se igualmente dentro do intervalo de valores que é característico das pontes de tirantes com suspensão em semi-leque (entre 0.20 e 0.25), como é o caso. 29

58 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS O tabuleiro apoia-se nos pilares mas não nas torres. A ligação do tabuleiro às torres é executada unicamente com aparelhos oleodinâmicos, que limitam os deslocamentos horizontais, longitudinais e transversais, durante a eventual ocorrência de um sismo, e permitem os deslocamentos lentos e sazonais, resultantes das variações térmicas e dos efeitos diferidos da retracção e da fluência do tabuleiro. Também no modelo base não se considera a ligação entre o tabuleiro e as torres. A suspensão do tabuleiro é lateral e constituída por dois planos verticais de 4 vezes 24 tirantes, espaçados de m na ligação ao tabuleiro. Para o modelo considerado, opta-se pelo mesmo tipo de suspensão e por um espaçamento de m, que implica uma solução constituída por planos verticais de 4 vezes 16 tirantes. O espaçamento adoptado para o modelo é superior ao da ponte Vasco da Gama, porque uma solução mista, por ser mais leve, em geral, adopta uma distância entre tirantes superiores em relação ao caso de uma solução em betão [5]. Na ponte Vasco da Gama o tabuleiro de betão armado pré-esforçado é constituído por duas vigas longitudinais laterais com 2.6 m de altura e, uma laje de espessura uniforme igual a 0.25 m, apoiada nas vigas longitudinais e em vigas transversais metálicas espaçadas de m (Figura 2.22 a). Como nas grandes pontes atirantadas mistas, tem sido quase sempre adoptada uma secção transversal composta por uma grelha metálica (constituída por duas vigas longitudinais principais, colocadas aproximadamente nos limites laterais da secção e, ligadas entre si por vigas transversais igualmente espaçadas), sobre o qual se apoia uma laje de betão armado de espessura também constante, escolhe-se esta tipologia no presente trabalho para o tabuleiro misto (Figura 2.22 b) [5]. A Figura 2.22 torna claro que a solução mista mantém muitas das características da solução em betão armado pré-esforçado. A Figura 2.23 apresenta as dimensões da viga longitudinal considerada no modelo. 30

59 CAPÍTULO 2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES Figura Secção transversais: (a) ponte Vasco da Gama; e (b) modelo adoptado [5]. Figura Pormenor da viga longitudinal da secção transversal adoptada no modelo [5]. 31

60 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS Características do modelo de 420 m O modelo considerado para este trabalho simula metade do tabuleiro atirantado. Considerando as características já mencionadas anteriormente no que respeita à geometria do modelo, na Figura 2.24 apresenta-se a discretização do modelo. Figura Modelo de cálculo e discretização adoptada [5]. 32

61 CAPÍTULO 2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES As características geométricas dos tirantes, assim como propriedades geométricas dos elementos que constituem as torres, estão definidas nos Anexo A. Relativamente ao tabuleiro, este é simulado através de um elemento de barra único com o mesmo momento de inércia de metade do tabuleiro misto apresentado anteriormente, que neste caso é m 4 considerando uma secção homogénea com módulo de elasticidade do aço (E a ) Características dos modelos com vão central superior a 420 m Para além do modelo base com 420 m de vão central, são também considerados mais quatro modelos com os seguintes vãos: m; 735 m; m e 1050 m. Todos foram construídos a partir do modelo inicial com menor vão, e as suas principais diferenças são o número de tirantes considerados. Associado a este maior número de tirantes está o aumento da altura das torres, com o espaçamento entre tirantes a permanecer o mesmo tanto ao nível das torres como do tabuleiro. Cada novo tirante adicionado têm uma área 1.5 cm 2 superior à do tirante anterior. Em qualquer um dos modelos o tabuleiro considerado é sempre o mesmo, assim como o número de apoios intermédios nos vãos laterais Materiais Numa análise elástica de estabilidade o único parâmetro necessário definir para os materiais é o seu módulo de elasticidade, uma vez que se admite um comportamento linear dos mesmos. No caso do aço estrutural o módulo de elasticidade é de E a =210 GPa e para o aço dos tirantes o valor é de E e = 195 GPa. Para o betão que constitui as torres, considerase o módulo de elasticidade tangente de E co = 36 GPa que corresponde ao módulo de elasticidade médio de um betão C45/ Definição da sobrecarga e da carga permanente Tanto a sobrecarga como a carga permanente são introduzidas neste modelo através de cargas distribuídas de forma uniforme ao longo do tabuleiro. No caso da carga permanente, esta encontra-se distribuída ao longo de todo o tabuleiro, como uma carga de 171 kn/m. No caso da sobrecarga rodoviária apresenta um valor de 54 kn/m [5]. Estes carregamentos referem-se a metade do tabuleiro. 33

62 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS 34

63 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA 3.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS O estudo da estabilidade elástica global de um tabuleiro atirantado pode ser feito considerando a analogia com uma viga-coluna sobre fundação elástica. Trata-se de uma viga-coluna, uma vez que está sujeita a um carregamento vertical associado às cargas no tabuleiro e, simultaneamente, a um carregamento axial devido à componente horizontal das forças instaladas nos tirantes. A fundação elástica é fornecida pela componente vertical transmitida ao tabuleiro pelos tirantes. Nos pontos seguintes apresentam-se a determinação das cargas críticas de viga-coluna sobre fundação elástica, de acordo com a formulação apresentada por Timoshenko [13], desde o caso mais simples de um esforço axial e rigidez de fundação constantes ao longo da barra, até ao caso mais complexo, no qual se inserem as pontes de tirantes onde tanto o esforço axial como a rigidez da fundação são variáveis. Obtém-se as cargas críticas para diversas distribuições de esforços axiais e rigidezes de fundação, através de uma análise elástica linear de estabilidade com recurso ao método de Rayleigh-Ritz [13], sendo os resultados comparados com valores obtidos por Timoshenko [13] e através de modelos numéricos analisados com o software de cálculo SAP2000. Por último, é apresentada e verificada a hipótese de Klein [4], que permite adoptar uma metodologia simplificada para o estudo da estabilidade elástica em tabuleiros atirantados, utilizando a analogia de uma viga sobre fundação elástica (BEF). 35

64 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS 3.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA Num tabuleiro de uma ponte atirantada, as cargas verticais actuantes no tabuleiro são suportadas pelos tirantes e pelas torres, no caso de haver uma ligação entre estas e o tabuleiro. Os tirantes conferem ao tabuleiro apoios elásticos, que para além de servirem para suporte das cargas verticais (devido à sua rigidez vertical), induzem também uma compressão que é crescente na direcção das torres. No caso de se considerar apenas o vão central e desprezando a contribuição das torres e vãos laterais para a estabilidade global do tabuleiro, o esforço normal no tabuleiro (N i ) e a rigidez elástica vertical equivalente conferida por cada tirante (K v,i ) são obtidos por: nº tir NN i = j=i q a tan α j (3.1) K v,i = EE ea i l i sin 2 α i (3.2) em que (q) é a carga distribuída aplicada no tabuleiro, (a) o espaçamento entre tirantes ao nível do tabuleiro, (E e ) o módulo de elasticidade do aço dos tirantes, (A i ) a área dos tirantes, (l i ) o comprimento dos mesmos e (α i ) o seu ângulo com a horizontal. A primeira expressão (3.1) resulta do comprimento de influência de cada tirante (igual ao espaçamento entre estes), que multiplicado pela carga aplicada conduz ao valor da reacção vertical do tirante. Dividindo esta reacção vertical pela tangente do ângulo que o tirante faz com a horizontal, obtém-se a compressão induzida pelo tirante no tabuleiro. O somatório representa a contribuição do esforço axial na direcção das torres. A expressão (3.2) resulta da decomposição da rigidez axial do tirante na sua componente vertical como está representado na Figura 3.1, onde o deslocamento (e) neste caso é vertical. 36

65 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA A Figura 3.2 apresenta a variação do esforço normal (N i ) e da rigidez vertical equivalente para cada tirante (K v,i ) para metade do vão central do modelo apresentado no Capítulo 2, de uma ponte atirantada de 420 metros de vão. Figura Deformada de uma barra sujeita apenas a esforço axial. N i [kn] Tirantes K v,i [kn/m] Figura Gráfico da variação do esforço normal (a verde) e da rigidez vertical equivalente conferida pelos tirante (a azul), para uma carga distribuída unitária q = 1 kn/m para metade de tabuleiro com 420 m de vão central e suspensão lateral. 37

66 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS Como o espaçamento entre tirantes (a) é pequeno em comparação com o vão central, na maioria dos casos das modernas pontes de tirantes, admitir a hipótese de uma fundação contínua com rigidez β(x) (dada pelo quociente entre a rigidez vertical equivalente de cada tirante (K v,i ) e o seu espaçamento (a) ) é perfeitamente aceitável. ββ(x) = K v,i a (3.3) Assim β(x) é a grandeza da reacção da fundação por unidade de comprimento do elemento, quando a deformação é unitária. As suas unidades são portanto força por comprimento ao quadrado. Com o aumento do carregamento vertical (q) sobre o tabuleiro, os tirantes são cada vez mais solicitados, induzindo uma compressão cada vez maior no tabuleiro. Num determinado ponto, quando se atinge a carga crítica do tabuleiro como coluna comprimida, a deformação devido à instabilidade do mesmo sobrepõe-se à deformada inicial resultante da flexão do tabuleiro enquanto viga. O objectivo do seguinte estudo passa assim por obter as cargas críticas do tabuleiro considerando-o como uma viga-coluna, começando por analisar uma distribuição de esforço axial e rigidez de fundação constante, e por fim o caso mais complexo com distribuições de N i e K v,i apresentada na Figura ESTABILIDADE DE UMA COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA O estudo da estabilidade elástica global de uma viga-coluna sobre fundação elástica é desenvolvido tendo em consideração a formulação geral apresentada por Timoshenko [13]. Contudo, por se tratar de uma análise linear de estabilidade, mostra-se nos pontos seguintes que o comportamento enquanto viga não altera o valor da carga crítica ou o respectivo modo de instabilidade, resumindo-se assim a um problema de estabilidade de uma coluna. 38

67 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA Estabilidade de uma viga-coluna sujeita a um esforço normal constante e sobre fundação elástica com rigidez constante Considere-se uma viga-coluna com comprimento (L) e rigidez de flexão constante (EI), sobre uma fundação com rigidez constante (β 0 ) por metro linear, sujeita a uma carga uniforme vertical (q) e a um esforço normal constante (N). A expressão geral da deformada da barra considerando apoios simples nas extremidades, pode ser dada pela sobreposição de curvas sinusoidais utilizando um desenvolvimento em série de Fourier: ππ x y(x) = a 1 sin LL + a 2 ππ x 2sin LL + a 3 ππ x 3sin LL + = a nsin n=1 n ππ x LL (3.4) onde (n) representa o número de semi-ondas consideradas na aproximação da deformada. O Princípio da Estacionaridade da Energia Potencial permite determinar a carga crítica e modo de instabilidade da viga-coluna, sendo necessário definir a energia potencial total da estrutura. A energia potencial total da estrutura é dada por quatro parcelas: (1) U 1 associada à energia potencial de deformação da barra; (2) U 2 associada à energia potencial de deformação da fundação; (3) V e1 correspondente à parcela da energia potencial resultante da força axial aplicada; e (4) V e2 à parcela resultante da energia potencial associada à força vertical distribuída uniforme. Assim a variação da energia potencial total será dada por: δv = U 1 + U 2 + V e1 + V e2 δa a n a n a n a n n n=1 (3.5) 39

68 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS Figura Energia potencial (U 1 ) de deformação de uma barra com EI constante. A energia potencial de deformação da barra para uma rigidez de flexão constante (EI), tendo em conta a Figura 3.3 [14], é dada por: U 1 = EEEE 2 y d2 dx 2 0 L 2 dx (3.6) atendendo a que: d 2 y dx 2 = a 1 ππ ππ x LL 2 sin LL a 2 2ππ 2 LL 2 ππ x sin LL a 3 3ππ 2 LL 3 ππ x sin LL + = = a n nππ 2 LL n ππ x sin LL n=1 (3.7) logo a energia potencial vem dada por: U 1 = EEEE 2 a n nππ 2 LL n ππ x sin LL 0 L n=1 2 dx (3.8) 40

69 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA este integral contém termos de dois tipos: a n 2 n4 ππ 4 LL 4 n ππ x sin2 LL n 2 m 2 ππ 4 n ππ x e a n a m LL 4 sin LL sin m ππ x LL (3.9) por integração directa, pode mostrar-se que: L n ππ x 2 sin LL dx = LL 2 0 e l sin 0 n ππ x LL sin m ππ x dx = 0 (3.10) LL assim a energia potencial de deformação da barra é desta forma dada por: U 1 = ππ4 EEEE 4LL 3 (a a a ) = ππ4 EEEE 4LL 3 n4 2 a n n=1 (3.11) De acordo com a Figura 3.4 a energia potencial de deformação da fundação é dada por: L U 2 = ββ 0y dx = ββ 0 2 L y2 dx = ββ a n ππ x nsin LL 0 L n=1 2 dx (3.12) Figura Energia potencial (U 2 ) de deformação da fundação com rigidez β(x)=β 0 constante. 41

70 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS Novamente a integração da função trigonométrica tem duas soluções para o caso de m = n ou m n tal como apresentado em (3.10). Assim a energia potencial de deformação da fundação será dada de forma mais simples por: U 2 = ββ 0LL 4 (a a a ) = ββ 0LL 4 a n 2 n=1 (3.13) A energia potencial da força axial aplicada é igual ao simétrico do trabalho produzido pela mesma. A Figura 3.5 apresenta a expressão desta parcela da energia potencial da colunaviga. Também neste caso há duas soluções iguais ao apresentado em (3.10) para a integração envolvida. Assim a energia potencial da força axial aplicada considerando também os resultados da equação (3.10) será dada por: V e1 = NN 2 y d2 dx 2 0 L 2 dx = NNππ2 4LL n2 2 a n n=1 (3.14) Figura Energia potencial (V e1 ) da força axial aplicada. 42

71 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA A Figura 3.6 apresenta o trabalho da força vertical distribuída uniforme (q), na configuração associada aos deslocamentos transversais y(x). Figura Energia potencial (V e2 ) da força vertical distribuída uniforme (q). Notando que para n par o valor da integração é sin L 0 ímpar, a integração é igual a sin n π x L L 0 dx = 2 L nπ n π x L, obtém-se: dx = 0, enquanto que para n V e2 = 2qLL nππ n=1,3,5,7 a n (3.15) A variação da energia potencial total da viga-coluna é assim dada por: δv = U 1 + U 2 + V e1 + V e2 δa a n a n a n a n n n=1 = ππ4 EEEE 2LL 3 n4 a n + ββ 0LL 2 a n NNππ2 2LL n2 a n 2qLL nππ δa n n=1 (3.16) Pelo Princípio da Estacionaridade da Energia Potencial, quando a variação da energia potencial é nula (δv = 0), o sistema atinge uma posição de equilíbrio. Desta condição resulta que a n é igual a: a n = 2qLL nππ ππ 4 EEEE 2LL 3 n4 + ββ (3.17) 0LL 2 NNππ2 2LL n2 43

72 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS Portanto a expressão geral da deformada da viga-coluna, sobre fundação elástica de rigidez constante, submetida a uma carga vertical distribuída constante e a um esforço axial também constante, é dada por: 4qLL 4 sin nππx y(x) = LL n 5 ππ 5 EEEE + nππββ 0 LL 4 n 3 ππ 3 LL 2 NN n=1 (3.18) Definida a expressão geral da deformada da viga coluna, é possível calcular a carga crítica (N cr ), sabendo que para esta carga, o valor da deformada tende para infinito (y(x) ), uma vez que a instabilidade ocorre quando se atinge a carga crítica e a estrutura perde o equilíbrio. Para que tal ocorra é necessário anular o denominador da equação (3.18) podendo o numerador assumir qualquer valor. Deve referir-se que na equação (3.18) o denominador não depende da carga distribuída (q) aplicada no tabuleiro e, sendo a parcela energética associada a esta carga a única que intervém no numerador. Esta evidência mostra que o comportamento de viga não influência a carga crítica e o modo de instabilidade quando se efectua uma análise linear de estabilidade, sendo esta apenas função do comportamento do tabuleiro enquanto coluna. Assim nos números seguintes não se considera mais a designação de viga-coluna sobre fundação elástica mas sim apenas coluna sobre fundação elástica (apesar de se continuar a usar o termo inglês beam on elastic foundation [BEF] para este caso). Efectuando o anulamento do denominador da expressão (3.18) e resolvendo a equação em ordem a (N) obtém-se que: NN cr = n2 ππ 2 EEEE LL 2 + ββ 0LL 2 ππ 2 n 2 = ππ2 EEEE LL 2 n2 + ββ 0LL 4 EEEEππ 4 n2 (3.19) Atendendo a que a carga crítica de Euler de uma coluna de comprimento (L) e rigidez de flexão (EI) é dada por NN E = π2 EI e definindo um parâmetro adimensional L 2 μμ2 = β 0L 4 EI escrever-se a expressão da carga crítica em função de N E : pode μμ2 NN cr = NN E n 2 + ππ 4 n2 (3.20) 44

73 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA O parâmetro adimensional μ, relaciona a rigidez da fundação (ββ 0 ) com a rigidez de flexão do tabuleiro (EI). Assim, quanto maior for este parâmetro, maior é a rigidez da fundação em relação à rigidez de flexão da barra. No caso das pontes de tirantes mais modernas (com tabuleiros muito flexíveis suportados por tirantes muito próximos entre si) é normal este parâmetro assumir valores superiores ou próximos de A relação entre a carga crítica da coluna sobre fundação elástica (N cr ) e a carga crítica da coluna sem a fundação (N E ), varia parabolicamente com o parâmetro (μ) e é função do número de semi-ondas do modo de instabilidade (n). A Figura 3.7 apresenta esta mesma variação para diferentes valores de (μ) e com o número de semi-ondas (n) a variar entre 1 e 12. NN cr μμ2 = n 2 + NN E ππ 4 n (3.21) 2 Admitindo a hipótese de (n) ser uma variável contínua (o que é válido para valores de (n) elevados) para qualquer valor de (μ), isto é, para uma qualquer relação entre a rigidez da coluna (EI) e da fundação (β 0 ), existe um valor de (n) que torna mínima a carga crítica. dnn cr dn = 0 NN E 2n 2nππ4 μμ 2 ππ 8 n 4 = 0 n4 = μμ2 ππ 4 (3.22) Este valor, representa o número de semi-comprimentos de ondas associado ao modo de instabilidade que conduz ao menor valor da carga crítica. Ao se substituir o resultado de (3.22) em (3.21) vem que: NN cr = 2μμ NN E ππ 2 (3.23) A equação (3.23) representa uma recta tangente às parábolas definidas, para cada (n), na Figura 3.7. Esta recta conduz a um valor na carga crítica igual ou inferior ao real dado pelas parábolas, sendo o desvio nulo nos pontos de tangência e máximo na transição entre modos de instabilidade. As aproximações para a carga crítica fornecidas pela recta apresentam erros muito pequenos, em especial para valores de (μ) e (n) elevados, que são 45

74 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS perceptíveis na Figura 3.7 uma vez que se tratam da distância entre as parábolas e a recta em determinadas zonas (distância esta que é nula nos pontos de tangência). A aproximação considerada tem em conta (n) como valores reais e não apenas inteiros, permitindo obter uma boa aproximação da carga crítica independentemente do número de semi-ondas do modo de instabilidade. Desenvolvendo a equação (3.23) obtém-se a fórmula de Engesser dada por: NN cr = 2μμ NN E ππ 2 NN cr = ππ2 EEEE 2 ββ 0 LL 4 EEEE LL 2 ππ 2 = 2 EEEEββ 0 (3.24) NN cccc NN EE 240 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n= n=12 n=11 n=10 NN cccc = 2μμ NN EE ππ 2 80 n=9 n=8 n=7 N cr N cr EI, L N cr 40 β μμ = ββ 0LL 4 EEEE Figura Variação de N cr /N E com o número de semi-ondas (n) considerado e com o parâmetro adimensional (μ), para uma coluna sobre fundação elástica de rigidez constante e esforço normal igualmente constante ao longo do seu comprimento. Esta expressão simples permite, a partir apenas da rigidez do tabuleiro e da fundação, determinar a carga crítica da coluna. A limitação resulta do facto de esta apenas ser válida para casos em que tanto o esforço normal como a rigidez da fundação, são constantes ao longo do tabuleiro. Esta limitação condiciona o uso desta expressão ao estudo da estabilidade global dos tabuleiros de pontes de tirantes. Nos números seguintes apresentam-se as adaptações necessárias para ser possível a sua aplicação a este caso concreto. 46

75 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal variável e sobre fundação elástica com rigidez constante Com a variação do esforço normal ao longo da coluna, é necessário redefinir a parcela da energia potencial total associada à força axial aplicada. Considera-se a função normalizada do esforço normal NN (x), tal que ao longo dacoluna se tem NN(x) = NN 0 NN (x), com NN 0 a ser o maior esforço normal ocorrente. Assim, a equação da energia potencial da força axial aplicada passa a ter a seguinte expressão: 0 2 L V e1 = NN(x) d2 y dx 2 dx = NN 0ππ 2 L 4LL n a n m a m NN (x) cos nππx cos mππx dx = LL LL = NN 0ππ 2 4LL n=1 m=1 a n a m EE N (n, m) n=1 m=1 0 (3.25) L 0 onde o integral EE N (n, m) = 2 NN (x) cos nπx cos mπx dx L ao longo da coluna utilizando a regra dos trapézios. L L é calculado numericamente Tendo em conta o resultado do ponto anterior, considera-se de agora em diante apenas o efeito das cargas axiais na estabilidade da coluna, uma vez que a energia potencial da carga vertical uniforme distribuída, associada ao comportamento da viga, não interfere na determinação da carga crítica e respectivo modo de instabilidade, como já referido. Assim, a variação da energia potencial total da coluna é dada por: δv = U 1 a n + U 2 a n + V e1 δa a n = ππ4 EEEE n 2LL 3 n4 a n + ββ 0LL 2 a n ππ2 NN 0 2LL n m a m EE N (n, m) m=1 δa n (3.26) As condições de estacionaridade aplicada à equação (3.26) para todas as variações cinemáticas admissíveis do campo de deslocamentos, conduz a um sistema de equações de n equações. ππ 4 EEEE 2LL 3 n4 a n + ββ 0LL 2 a n ππ2 NN 0 2LL n m a m EE N (n, m) = 0 n = 1,2,3, (3.27) m=1 47

76 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS A equação (3.27) corresponde a um sistema de equações lineares homogéneo (uma vez que apenas se considera o efeito das forças axiais, caso contrário não apareceria 0 no termo da direita), com uma solução de a n = 0, para qualquer n, correspondente à trajectória fundamental, e com soluções não nulas, mas indeterminadas para a n 0 quando o determinante da matriz composta por este sistema de equações for nulo. Trata-se portanto de um problema linear de valores e vectores próprios, cuja resolução permite determinar as cargas críticas e respectivos modos de instabilidade. A menor solução do sistema de equações tal que o determinante seja nulo, corresponde à menor carga crítica da coluna (N cr ), para o caso da fundação elástica com rigidez constante ao longo do seu comprimento e esforço normal variável. Considere-se agora a coluna representada na Figura 3.8 com um esforço normal parabólico instalado ao longo de todo o seu comprimento. Para este caso, Timoshenko ( Theory of Elastic Stability Art [13] ) fornece valores da carga crítica para valores de μ entre 0 e 1000, e utilizando a aproximação do modo de instabilidade com 1 a 10 semiondas (n = 1,2,..., 10). N 0 2º grau EI, L β 0 Figura Coluna sobre fundação elástica submetida a um esforço normal parabólico do 2ºgrau. Considerando igualmente estes valores, o sistema de equações pode ser escrito da seguinte forma: n = 1,2,3,,10 n 4 + μμ2 ππ 4 a n NN cr n m a NN m EE N (n, m) = 0 E 10 m=1 (3.28) 48

77 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA Procedendo ao anulamento do determinante da matriz com n linhas e m colunas para diferentes valores de μ, determinam-se os valores de (N cr /N E ) apresentados no Quadro 3.1. Quadro Valores de (N cr /N E ) e (L o /L) em função do parâmetro μ para uma coluna sobre fundação elástica com esforço normal representado na Figura 3.8. μ β 0 L 4 / (16EI) L 0 / L N CR / N E L 0 /L - Timoshenko μ β 0 L 4 / (16EI) L 0 / L N CR / N E L 0 / L - Timoshenko Utilizando a mesma formulação é possível calcular os valores de (N cr /N E ), para diferentes configurações de diagramas de esforços normais instalados na coluna. A Figura 3.9 apresenta os resultados obtidos para esforços normais com variações parabólicas e lineares. De referir que para μ inferiores a 30 os resultados não são de interpretação imediata e, estão fora do âmbito deste trabalho uma vez que as pontes de tirantes caracterizam-se por valores de μ elevados. Para μ superiores a 30, os resultados são coincidentes para diagramas de esforço normal com máximo a meio da coluna ou nas extremidades, desde que tenham o mesmo tipo de variação (linear, parabólica de concavidade positiva ou parabólica de concavidade negativa). A Figura 3.9 permite também concluir que a carga crítica da coluna (neste caso N cr /N E ) é tanto maior quanto menor for a área do diagrama de esforços axiais actuante, e consequentemente o esforço normal total instalado na mesma. Em qualquer dos casos, uma variação de esforço normal ao longo da barra, conduz a uma carga crítica superior à que se registaria no caso do esforço normal máximo constante instalado. 49

78 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS A equação (3.27), por analogia com a expressão da carga crítica crítica da coluna com rigidez de fundação e esforço normal constante, pode ser igualmente escrita da seguinte forma: μμ2 NN cr = f N (μμ) NN E n 2 + ππ 4 n2 (3.29) NN cccc = 350 NN EE N 0 EI, L 300 N 0 1º grau EI, L β β 0 1º grau N 0 EI, L 200 2º grau N 0 EI, L β 0 β N 0 2º grau EI, L 100 β 0 2º grau N 0 EI, L β 0 50 N 0 2º grau EI, L 0 β 0 μμ = ββ 0LL 4 EEEE Figura Diagrama de (N cr /N E ) para colunas sobre fundação elástica de rigidez constante, submetidas a esforços normais com variações lineares e parabólicas. O valor de f N (μ) representa a relação entre as cargas críticas da coluna sobre fundação elástica constante, submetida a esforços normais variáveis e a esforço normal constante. A Figura 3.10 mostra os resultados obtidos para os casos analisados. É possível concluir que para μ 600 a diferença entre as cargas críticas nos dois casos é mínima. Assim é possível determinar a carga crítica para estes casos, de forma aproximada, modificando a expressão de Engesser (3.24) da forma seguinte: NN cr f N (μμ) 2 EEEEββ 0 (3.30) em que f N (μμ) corresponde a um factor de correcção obtido da Figura 3.10 em função da geometria de carregamento. 50

79 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA f N (μ) 2 2º grau N 0 N 0 2º grau 1,9 N 0 1º grau 1,8 1,7 N 0 β 0 2º grau β 0 N 0 1º grau \ β 0 N 0 β 0 2º grau β 0 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1, μμ = ββ 0LL 4 EEEE Figura Relação f N (μ) entre a carga crítica de colunas sobre fundação elástica de rigidez constante, submetidas a esforços normais com variações lineares e parabólicas e a carga crítica de colunas equivalentes submetidas a esforços normais constantes. Estes resultados são concordantes com os apresentados em trabalhos de investigação anteriores, nomeadamente por Pedro [5] Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal constante e sobre fundação elástica com rigidez variável Assumindo agora a situação de uma variação da rigidez da fundação ao longo da coluna, é necessário redefinir a parcela da energia potencial total associada à deformação elástica da fundação. Considera-se novamente uma função normalizada agora para a rigidez da fundação ββ (x), tal que ao longo da coluna se tem ββ(x) = ββ 0 ββ (x), com ββ 0 a ser a maior rigidez da fundação ocorrente. A equação da energia de deformação elástica da fundação toma agora a seguinte forma: L U 2 = ββ 0y 2 dx = ββ L 0LL 2 4 a n a m 2 LL ββ (x) sin nππx LL 0 n=1 m=1 = ββ 0LL 4 a n a m EE β (n, m) n=1 0 m=1 sin mππx dx = LL (3.31) 51

80 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS L 0 onde o integral EE β (n, m) = 2 ββ (x) sin nπx sin mπx dx é calculado numericamente ao L L longo da coluna utilizando a regra dos trapézios. Assim a variação da energia potencial total da coluna é dada por: L δv = U 1 + U 2 + V e1 δa a n a n a n = ππ4 EEEE n 2LL 3 n4 a n + ββ 0LL 2 a m EE β (n, m) m=1 ππ2 NN 0 2LL n2 a n δa n (3.32) As condições de estacionaridade aplicada à equação (3.32) para todas as variações cinemáticas admissíveis do campo de deslocamentos, conduz a um sistema de equações de n equações. ππ 4 EEEE 2LL 3 n4 a n + ββ 0LL 2 a m EE β (n, m) m=1 ππ2 NN 0 2LL n2 a n = 0 n = 1,2,3, (3.33) O sistema de equações (3.33) corresponde novamente a um problema linear de valores e vectores próprios em tudo idêntico ao analisado na secção anterior, para o caso do esforço normal variável ao longo da barra e rigidez da fundação constante. Considerando igualmente o domínio de valores para n e μ usados na secção anterior (μ entre 0 e 1000 e n = 1,2,..., 10), o sistema de equações pode ser escrito da seguinte forma: n = 1,2,3,,10 n 4 a n + μμ2 ππ 4 a m EE β (n, m) m=1 NN cr NN E n 2 a n = 0 (3.34) Para sucessivos anulamentos do determinante da matriz com n linhas e m colunas para diferentes valores de μ, determinam-se os valores de (N cr /N E ). A Figura 3.11 apresenta os resultados obtidos para várias configurações da rigidez da fundação. Mais uma vez para μ inferiores a 30 os resultados não são de interpretação imediata tal como acontece para o caso do esforço normal variável. Para μ superiores a 30 os resultados são, também neste caso, coincidentes para variações de rigidez da fundação com máximo a meio da coluna ou nas extremidades, desde que tenham o mesmo tipo de variação, a não ser para o caso parabólico de concavidade negativa. A Figura 3.11 permite também concluir que a carga crítica da coluna (neste caso N cr /N E ) é sempre menor que a que se regista quando a coluna possui rigidez constante. 52

81 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA NN cccc Ncr/NE = NN 200 EE N 0 EI, L 180 N 0 EI, L 160 β º grau N β 0 0 EI, L 120 N 0 EI, L β 0 2º grau N 0 1º grau EI, L β 0 EI, L N º grau β 0 2º grau β 0 EI, L 20 N 0 0 2º grau β 0 μμ = ββ 0LL 4 EEEE μ Figura Diagrama de (N cr /N E ) para colunas sobre fundação elástica de rigidez com variações lineares e parabólicas, submetidas a esforços normais constantes. A equação (3.34), por analogia com a expressão da carga crítica crítica da coluna com rigidez de fundação e esforço normal constante, pode ser igualmente escrita da seguinte forma: μμ2 NN cr = f β (μμ) NN E n 2 + ππ 4 n2 (3.35) O valor de f β (μ) representa a relação entre as cargas críticas da coluna submetida a esforços normais constante, sobre fundação elástica com rigidez variável e com rigidez constante. A Figura 3.12 mostra os resultados obtidos para os casos analisados. É possível concluir que quanto maior a rigidez da fundação (que neste caso representa um aumento de μ), maior é a diferença entre as cargas críticas nos dois casos. A carga crítica pode ser determinada, de forma aproximada, recorrendo à fórmula de Engesser modificada: NN cr f β (μμ) 2 EEEEββ 0 (3.36) 53

82 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS f β (μ) 0,9 N 0 N 0 EI, L 0,8 0,7 0,6 N 0 EI, L 1º grau EI, L β 0 β 0 1º grau 2º grau β N 0 0 EI, L β 0 2º grau 0,5 0,4 0,3 0,2 EI, L EI, L N 0 N 0 0,1 2º grau β 2º grau 0 β 0 0, μμ = ββ 0LL 4 EEEE Figura Relação f β (μ) entre a carga crítica de colunas submetidas a esforços axiais constantes, com fundação elástica de rigidez variável de forma linear e parabólica, e a carga crítica de colunas equivalentes com rigidez de fundação constante. Uma vez mais estes resultados estão concordantes com os obtidos noutros estudos, nomeadamente os apresentado por Pedro [5] Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal variável e sobre fundação elástica com rigidez variável A variação tanto do esforço normal como da rigidez da fundação na coluna, trata-se de um problema semelhante aos dois anteriores, mas neste caso com a consideração em simultâneo das parcelas da energia potencial da força axial e energia de deformação elástica da fundação, como definidas nas equações (3.25) e (3.31), respectivamente. Assim para este caso a variação da energia potencial total da coluna é dada por: δv = U 1 a n + U 2 a n + V e1 a n δa n = = ππ4 EEEE 2LL 3 n4 a n + ββ 0LL 2 a m EE β (n, m) m=1 ππ2 NN 0 2LL n m a m EE N (n, m) δa n m=1 (3.37) 54

83 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA As condições de estacionaridade aplicada à expressão (3.37) para todas as variações cinemáticas admissíveis do campo de deslocamentos, conduz a um sistema de equações de n equações dado por: ππ 4 EEEE 2LL 3 n4 a n + ββ 0LL 2 a m EE β (n, m) m=1 ππ2 NN 0 2LL n m a m EE N (n, m) = 0 n = 1,2,3, (3.38) m=1 Considerando igualmente o domínio de valores para n e μ usados anteriormente (μ entre 0 e 1000 e n = 1,2,..., 10), o sistema de equações pode ser escrito da seguinte forma: n = 1,2,3,,10 n 4 a n + μμ2 ππ 4 a m EE β (n, m) NN cr n m a NN m EE N (n, m) = 0 E m=1 10 m=1 (3.39) 165 NN cccc N 0 2º grau EI, L NN EE N 0 2º grau β 0 EI, L N 0 2º grau EI, L 105 β 0 2º grau 0,1β0 β 0 90 N β 0 N 0 2º grau EI, L 45 β 0 2º grau β 0 2º grau μμ = ββ 0LL 4 EEEE N 0 EI, L Figura Diagrama de (N cr /N E ) para colunas sobre fundação elástica de rigidez e esforço normal variáveis ao longo do seu comprimento. 55

84 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS Calculando as funções EE N (n, m) e EE β (n, m) por integração numérica e, em seguida, obtendo a menor solução da equação resultante do anulamento do determinante do sistema de equações, obtém-se a menor carga crítica da coluna. A Figura 3.13 apresenta os resultados obtidos para as configurações de esforços normais e rigidez de fundação consideradas na definição do parâmetro μ. A variação do esforço normal ao longo do vão da coluna faz aumentar a sua carga crítica em relação à situação de esforço normal constante. Já a variação da rigidez de fundação diminui a carga crítica em comparação com o caso de uma fundação de rigidez constante. A Figura 3.14 é representativa da sobreposição destes dois efeitos para casos de variações de rigidez diferentes, quando sujeitas à mesma variação de esforço normal. Existe um cenário de esforço normal e rigidez de fundação (ambos com variações parabólicas), onde a carga crítica da coluna é cerca de 110% superior ao caso de rigidez e esforço normal constantes. No caso de uma variação parabólica da rigidez da fundação para a mesma variação de esforço normal, obtém-se uma carga crítica de cerca de 50% da situação em que a fundação tem uma rigidez constante. f β N (μ) 1,2 1,1 N 0 2º grau EI, L 1 β 0 2º grau 0,9 0,8 0,7 N 0 2º grau EI, L N 0 2º grau 0,6 β 0 0,1β0 β 0 2º grau EI, L 0,5 0, μμ = ββ 0LL 4 EEEE Figura Relação f βn (μ) entre a carga crítica de colunas submetidas a esforços axiais variáveis com fundação elástica de rigidez variável, e a carga crítica de colunas equivalentes com rigidez de fundação e esforço normal constante. 56

85 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA Para valores de μ elevados, é possível obter uma boa aproximação de f βn (μ), o que permite determinar a carga crítica para estes casos, de forma aproximada, recorrendo à fórmula de Engesser modificada: NN cr f β N (μμ) 2 EEEEββ 0 (3.40) No caso em que o esforço normal varia ao longo da coluna e a fundação tem rigidez constante, é possível comparar os valores obtidos para as cargas críticas com os de Timoshenko [13] para uma dada distribuição de esforço normal. Contudo, se a rigidez da fundação variar isoladamente, ou juntamente com o esforço normal, não são conhecidos resultados publicados que permitam uma comparação. Assim, para confirmar alguns valores das cargas críticas obtidas pelo método descrito, recorre-se ao programa de elementos finitos SAP2000, onde é realizada uma análise elástica linear de estabilidade ( Buckling Analysis ) a uma coluna sobre fundação elástica. A fundação elástica contínua é aproximada de forma discreta por um conjunto de molas, cuja rigidez é calibrada de acordo com o tipo de variação na fundação que se quer analisar. O valor da rigidez das molas (K v,i = ββ(x) a) é obtido através do valor da rigidez de flexão dos elementos de barra (EI), tal que se obtenha um valor de μ μμ = β 0L 4 EI coincidente com aqueles usados no cálculo da carga crítica de forma analítica. β 0 0.1β 0 N 0 2ºgrau Figura Modelo de coluna sobre fundação elástica elaborado no programa de elementos finitos SAP2000, considerando uma variação de esforço normal e rigidez de fundação apresentados. As características da coluna e da fundação são apresentados no Quadro 3.2 para o caso apresentado na Figura O mesmo quadro apresenta o valor obtido pela análise elástica de estabilidade no programa SAP2000, cujo o valor apresenta um erro de cerca de 4% relativamente ao obtido pela metodologia descrita anteriormente. Este erro explica-se pela 57

86 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS pequena discretização que o modelo considera (L/20), uma vez que a forma do diagrama de esforços axiais que se instala na barra, assim como a variação rigidez de fundação, varia consoante o número de nós em que se discretiza a coluna. Quadro Valores de (N cr /N E ) para uma coluna sobre fundação elástica de rigidez variável sujeita a um esforço normal também variável como representado na Figura Barra Fundação SAP2000 Coluna sobre Fundação Elástica L (m) EI (kn/m 2 ) N E (kn) a (m) β 0 (kn/m 2 ) μ N cr (kn) N cr /N E N cr /N E (L/20) ,2 71,5 Este resultado mostra que o modelo de coluna sobre fundação elástica permite obter uma boa aproximação da carga crítica, mesmo quando tanto o esforço normal como a rigidez da fundação são variáveis. Contudo, para obter resultados com o BEF, continua a ser necessário utilizar uma folha de cálculo para efectuar as integrações necessárias para montar o sistema de equações, e obter a solução da equação que resulta do anulamento do seu determinante. Na secção seguinte apresenta-se um método simplificado que pode ser utilizado como alternativa a este modelo. 3.4 ESTABILIDADE ELÁSTICA DE UM TABULEIRO ATIRANTADO: MÉTODO SIMPLIFICADO Uma ponte de tirantes com um vão central de 420 m, com tirantes afastados de m entre si ao nível do tabuleiro, tem uma distribuição de esforço axial e rigidez de fundação ao longo de metade do tabuleiro como foi apresentado na Figura 3.2. A distribuição de esforços no tabuleiro é bem aproximada por funções do 2º grau, como as consideradas na Figura Os tirantes mais longos conferem ao tabuleiro aproximadamente 10% da rigidez dos tirantes mais próximos da torre. Este caso de esforço normal instalado e rigidez de fundação também é considerado nas Figura 3.13 e Figura Verifica-se que em qualquer ponte atirantada existe uma secção onde a relação entre a rigidez elástica vertical conferida pelos tirantes ao tabuleiro β(x) e o esforço axial instalado no mesmo N(x) é mínima. Klein propôs [4] que esta secção, onde a relação R i =β(x)/n(x) é mínima, determina a instabilidade da coluna sobre fundação elástica de rigidez e esforço 58

87 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA normal variável. Tendo em conta esta proposta, pode continuar-se a utilizar a expressão de Engesser, adoptando um método simplificado. Para o cálculo da carga crítica de uma coluna com esforço normal e rigidez de fundação variável, recorre-se então a uma coluna equivalente com rigidez constante (β i ) e submetida a esforço normal constante (N i ). Quando na secção condicionante (i) da coluna real se atinge o valor (N i,cr ), têm-se na secção com maior esforço normal o valor (N o,cr ). Deste modo, o valor da carga crítica desta coluna pode ser obtido por N o,cr dado por: NN i,cr = 2 EEEEββ i NN o,cr NN i,cr = NN o NN i NN o,cr = NN o NN i 2 EEEEββ i (3.41) Onde (N o ) representa o máximo esforço normal na coluna real, (N i ) o esforço normal da secção onde a relação (R=β(x)/N(x)) é mínima e (ββ i ) a rigidez elástica nessa secção. A Figura 3.16 esquematiza este conceito de coluna equivalente e coluna real, assim como os parâmetros mencionados na equação (3.41). Coluna real N EI, L 0,cr N N(x) i,cr N 0 β 0 β i secção condicionante 0,1β 0 β(x) N(x)/β(x) N i,cr EI, L Coluna equivalente β i Figura Coluna real e conceito de coluna equivalente, associado à hipótese simplificativa de Klein. A validação deste método é conseguida a partir da determinação da carga crítica da coluna real, e verificação da igualdade com a carga crítica determinada por este mesmo método numa coluna equivalente. Para tal, consideram-se 5 modelos de pontes de tirantes, com os seguintes vãos: 420; 577.5; 735; e 1050 m. Todos os tabuleiros têm uma rigidez de flexão de EI = kn/m 2 (associada a metado do tabuleiro apresentado no Capítulo 2). 59

88 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS As variações de esforço normal N(x) e rigidez da fundação β(x), ao longo do comprimento do tabuleiro, normalizadas em relação aos valores máximos que se obtém entre a torre e o tirante mais próximo do meio vão, estão representadas na Figura Na mesma figura representa-se a variação do quociente entre o valor normalizado da rigidez e o valor normalizado do esforço normal em cada secção, com o objectivo de identificar a secção condicionante. N(x)/N o 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0, β(x)/β o 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0, TIRANTE Tirantes β(x)/β N i [kn] o Tirantes N(x)/N o 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Secções Condicionantes Tirantes 0, Tirantes Figura Variações ao longo de metade do vão central do tabuleiro de N(x) β(x) e β(x)/n(x). 60

89 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA O Quadro 3.3 apresenta os resultados obtidos para a coluna equivalente e para a coluna real. Os resultados deste quadro mostram a muito boa aproximação da coluna equivalente à coluna real, uma vez que para os modelos de pontes considerados, só no caso do vão de 735 m o erro é superior a 1%. Neste caso a definição de secção condicionante onde R i = K v,i, assim como no caso de m, não é fácil uma vez que a secção concidionante N i se encontra entre dois tirantes. Quadro Comparação entre os valores das cargas críticas obtidas pelo método simplificado (coluna equivalente) e por uma análise elástica linear de estabilidade (coluna real). L (m) COLUNA EQUIVALENTE i (tirante) β i [kn/m 2 ] N i,cr [kn] N i / N o N o,cr [kn] N o,cr /N E COLUNA REAL μ ƒ βn (μ) β o [kn/m 2 ] N o,cr [kn] N o,cr /N E Erro Relativo (%) Os passos a seguir para aplicar este método simplificado, na avaliação da estabilidade elástica de um tabuleiro atirantado são assim: 1) Identificar o tirante (i) onde R i = K v,i N i todo o tabuleiro; é mínimo para uma carga distribuída unitária em 2) Considerar a rigidez elástica equivalente dos tirantes dada por ββ i = K v,i a ; 61

90 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS 3) Obter o esforço normal crítico (N i,cr ), o número de semi-ondas do modo de instabilidade (n), e o comprimento de encurvadura (L cr ), por NN i,cr = 2 EEEEββ i (3.42) n 4 ββ ill 4 ππ 4 EEEE LL cr = ππ2 EEEE NN i,cr LL n 2 (3.43) (3.44) 4) Determinar o correspondente carregamento vertical uniforme (q cr ), que origina (N i,cr ) dado por q cr = NN i,cr = 2 EEEEββ i NN a i nº tir j=i tanα j (3.45) Caso o comprimento de encurvadura (L i,cr ) determinado através de (3.44) seja inferior ao espaçamento entre tirantes (a), deve-se considerar a carga crítica do tabuleiro igual à carga de Euler com o valor de L cr = a. Em regra geral, tal não se verifica nas pontes de tirantes modernas com pequeno espaçamento entre tirantes. 3.5 ANÁLISE LINEAR DE ESTABILIDADE CONSIDERANDO EXCENTRICIDADES INICIAIS As conclusões anteriores devem ser alargadas ao caso de se considerar a ocorrência de uma excentricidade na coluna. Tal corresponde na prática a mostrar que o problema de estabilidade de uma viga-coluna sobre fundação elástica pode ser reduzido apenas ao comportamento de uma coluna nestas condições, não sendo necessário ter em conta o comportamento de viga, numa análise linear de estabilidade. Utiliza-se o software SAP2000 para executar este mesmo tipo de análise num modelo idêntico ao da Figura 3.15, com 420 m de comprimento, mas com uma excentricidade inicial associada. 62

91 CAPÍTULO 3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA Na Figura 3.18 estão representados os resultados obtidos para três análises lineares de estabilidade executadas: (a) Sem considerar excentricidades iniciais; (b) considerando uma excentricidade inicial idêntica à resultante do peso próprio da ponte, i.e. ω o = ω o,cp = L/180 = 2.5 m; e (c) considerando uma excentricidade inicial de ω o = L/15 = 28 m. A consideração de uma imperfeição inicial de ω o = L/15 resulta num esforço normal crítico 2% menor que no caso de apenas se ter em conta o comportamento enquanto coluna (ω o = 0), não havendo assim momentos flectores instalados na barra. Também nestes dois casos o modo de instabilidade é semelhante. (a) N=4,50kN ω o =0 Ncr=144045,9 kn (b) N=4,5011 kn ω o =L/180=2,5m =ω o,cp Ncr=144026,7 kn (c) ω o =L/15=28m N=4,6308 kn Ncr=141298,6 kn Figura Análise elástica linear executada para uma coluna sobre fundação elástica com 420 m de comprimento: (a) sem excentricidade inicial; (b) com uma excentricidade inicial ω o =L/180; e (c) com uma excentricidade inicial ω o =L/15. Mostra-se assim que o comportamento de viga associado a esta viga-coluna, representado pelo facto da excentricidade inicial introduzir momentos flectores na estrutura, não altera a sua estabilidade elástica quando se realiza uma análise geometricamente não linear de 1ª ordem. A excentricidade inicial de 28 m é um valor perfeitamente académico, tendo em conta que não é realista a ocorrência de uma deformação desta ordem de grandeza mesmo para um tabuleiro atirantado de 420 m de vão central. 63

92 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS 3.6 CONCLUSÕES DA ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA O estudo da viga-coluna sobre fundação elástica efectuado conduz às seguintes conclusões: 1) O problema da estabilidade de uma viga-coluna sobre fundação elástica, pode ser analisado como um problema de uma coluna sobre fundação elástica, uma vez que o comportamento de viga não altera a análise elástica linear de estabilidade; 2) Através da modificação da fórmula de Engesser com recurso ao parâmetro f βn (μ), é possível determinar de uma forma simples, com algum rigor, o valor da carga crítica do tabuleiro atirantado; 3) A modificação da fórmula de Engesser, recorrendo à hipótese de Klein, permite obter uma boa estimativa do valor da carga crítica do tabuleiro atirantado, através de um método muito simples. 64

93 CAPÍTULO 4 ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS 4 ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS 4.1 TIPOS DE ANÁLISES DE ESTABILIDADE E DETERMINAÇÃO DA CARGA CRÍTICA No capítulo anterior a carga crítica e os modos de instabilidade foram determinados com base numa análise linear de estabilidade. De facto, o método energético de Rayleigh-Ritz, que corresponde à minimização da energia potencial global da estrutura, conduz à determinação das cargas críticas associadas aos diferentes modos de instabilidade. Do mesmo modo, o módulo Buckling Analysis do programa de elementos finitos SAP2000 efectua uma análise elástica linear de estabilidade. Este tipo de análise pressupõe que as estruturas se encontram indeformadas até que ocorra a perda do equilíbrio por instabilidade global para um determinado nível de carga que corresponde à carga crítica. P ω P P cr Trajectória Fundamental Equilíbrio Estável Equilíbrio Instável ω Equilíbrio Neutro Figura Tipos de equilíbrio após atingir-se a carga crítica numa estrutura com instabilidade por bifurcação. 65

94 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS O tipo de comportamento da estrutura quando atinge a carga crítica pode ser de três tipos: estável, instável ou neutro. A Figura 4.1 apresenta estes três tipos de comportamento para o caso da instabilidade bifurcacional. Numa análise elástica linear de estabilidade considera-se sempre que no início a estrutura se encontra numa posição indeformada, não ocorrendo deslocamentos laterais enquanto se incrementa a carga até ao valor da carga crítica. Analiticamente, o problema consiste em conhecer a carga que produz o anulamento do determinante da matriz deduzida no Capítulo 3. As análises lineares de estabilidade não consideram o regime pós-crítico, uma vez que aí a estrutura já não se encontra indeformada, mas sim numa configuração associada ao modo de instabilidade correspondente à carga crítica determinada [8]. Esta análise termina portanto com a determinação das cargas associadas aos diversos modos de instabilidade, sendo a menor delas normalmente a que se atinge primeiro, dando-se o nome de carga crítica. Este tipo de análise encontra-se representada na Figura 4.2. P P cr Regime Pós-Crítico Pcr Pcr P ωo P Análise Elástica Linear de Estabilidade ω o Análise Elástica Não- -Linear de Estabilidade ω Figura Trajectórias de carga-deslocamento numa análise elástica linear e não linear de estabilidade. Por oposição, numa análise elástica não linear de estabilidade consideram-se as sucessivas deformações da estrutura para cada um dos incrementos de carga, assim como as deformações iniciais (ω o ). Assim deixa de existir bifurcação do equilíbrio, e o comportamento da estrutura passa a ser descrito por uma trajectória de equilíbrio não linear que tende assimptoticamente para a trajectória de pós-encurvadura. A cada incremento de carga, é feito um novo equilíbrio da estrutura considerando as deformações associadas. Assim a matriz de rigidez da estrutura é sucessivamente ajustada tendo em conta a configuração deformada. Através deste tipo de análise, a determinação da carga crítica é 66

95 CAPÍTULO 4 ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS mais complexa, não sendo por vezes possível a sua identificação [8]. A Figura 4.2 apresenta igualmente a trajectória associada a este tipo de análise não linear de estabilidade. Na Figura 4.3 apresentam-se três possíveis resultados de uma análise elástica não linear de estabilidade. Relativamente à trajectória a verde, a identificação de uma carga crítica é relativamente simples, uma vez que para uma carga de valor P = P 1 ocorre um aumento rápido dos deslocamentos, que dá origem a um patamar quase horizontal na curva de carga-deslocamento. Para a trajéctoria a laranja, a análise elástica não linear não tem um aumento de deslocamentos como no caso da trajectória anterior, embora atinja uma carga máxima P = P 2, sendo impossível continuar os incrementos de carga uma vez que não é possível obter o equilíbrio da estrutura para carregamentos mais elevados. Neste caso é possível considerar uma carga crítica de valor igual a P 2 (isto porque a análise de estabilidade é elástica, e não faz sentido falar em carga última, uma vez que nunca se formam rótulas plásticas). Para o caso da trajectória a vermelho, a identificação de carga crítica é discutível (se não mesmo impossível), uma vez que o conceito de carga crítica é bem definido para o caso de uma análise elástica linear de estabilidade, mas no caso de uma análise não linear de estabilidade o mesmo pode não ter significado. Assim, para alguns casos é simples identificar uma possível carga crítica (como no caso da trajectória a verde), mas para outros (como o da trajectória a vermelho) tal pode não acontecer. P P 3 =? P 2 P 1 ω o ω Figura Três trajectórias de carga-deslocamento possíveis numa análise não linear de estabilidade. 67

96 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS O caso do tabuleiro de uma ponte atirantada apresenta as seguintes particularidades que afectam a sua análise da estabilidade: 1) O tabuleiro é muito deformável, já que cada vez mais são construídas pontes de tirantes com vãos longos e tabuleiros de grande esbelteza; 2) Existem sempre deformações inicias (ω o ), uma vez que mesmo com a instalação dos tirantes, para controlar a deformada resultante da carga permanente, existe sempre uma deformação inicial; 3) As deformações devido ao aumento sucessivo do carregamento, provocam alterações nas inclinações dos tirantes, assim como dão origem a efeitos P-Δ importantes. Estas características tornam, no caso de um tabuleiro atirantado, a análise não linear de estabilidade mais apropriada relativamente a efectuar a avaliação da sua estabilidade utilizando uma análise elástica linear. Neste capítulo, pretende-se efectuar a análise elástica não linear de estabilidade de uma ponte de tirantes, realizada através dos programas de elementos finitos SAP2000 e ANSYS. Adopta-se o modelo de 420 m de vão central descrito no Capítulo 2. No decorrer das análises efectuadas, ocorrem casos que englobam os três tipos de resultados possíveis ilustrados na Figura 4.3, assim como outros associados a casos de equilíbrios instáveis, ou seja, casos em que a partir de um determinado valor de P, a estrutura só atinge o equilíbrio se a carga aplicada for reduzida. A Figura 4.4 apresenta o resultado de quatro análises não lineares de estabilidade (ANLE), onde apenas se altera a tipologia do carregamento. A Figura 4.5 ilustra o desenvolvimento do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento da estrutura. Esta análise elástica não linear executa sucessivos carregamentos com determinados passos de carga (steps), até atingir um determinado critério de paragem ou ser impossível equilibrar mais a estrutura. Neste caso, o critério de paragem corresponde ao controlo do deslocamento a meio vão. Como limite impõem-se uma amplitude máxima de 30 m para esse deslocamento. A análise inicia-se com uma deformada (ω o ) associada à carga permanente da estrutura e sem contabilizar o processo construtivo. A não consideração do processo construtivo é justificada mais à frente. 68

97 CAPÍTULO 4 ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS q=1442 kn/m 23.5 x sob δ V-64 N 32 MN N -348 MN N -520 MN ALE ANLE (λ 2=23.5) (λ 2=37.4) q=1675 kn/m 27.9 x sob δ V-64 N -71 MN N -363 MN N -506 MN ANLE (λ 3=27.9) ALE (λ 3=40.0) q=1197 kn/m 19.0 x sob δ V-64 N 45 MN N -178 MN N -421 MN N -243 MN N -426 MN ANLE (λ 2=19.0) ALE (λ 2=36.2) q=1101 kn/m 17.2 x sob δ V-64 N -118 MN N -354 MN N -163 MN N -365 MN N 53 MN ANLE (λ 2=17.2) ALE (λ 2=42.6) Figura Resultados para uma análise linear e não linear de estabilidade no programa SAP2000, para o modelo com 420 m de vão central, para diferentes tipologias de carregamento. 69

98 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS λ 2 45,0 40,0 35,0 } Análise Linear de Estabilidade 30,0 25,0 20,0 } Análise Não- -Linear de Estabilidade 15,0 10,0 5,0 λ 2,u = 7.7 λ 2,u = 3.65 } Parâm. carga associados à rotura plástica do tabuleiro 0, δ v,64-35(m) Figura Diagramas de carga-deslocamento para as análises não lineares e lineares de estabilidade apresentadas na Figura 4.4. O primeiro caso apresentado na Figura 4.4, corresponde a uma rotura por instabilidade num ponto limite, característico de uma análise não linear de estabilidade. Este ponto limite corresponde à transição entre as configurações de equilíbrio estável e instável. A Figura 4.5 com a trajectória a laranja associada a este caso, apresenta um andamento semelhante à trajectória da mesma cor apresentada na Figura 4.3. A análise termina para um parâmetro de carga λ 2 = 23.0 (associado ao incremento da sobrecarga {cp + λ 2. sob}), apesar de ainda não se ter atingido a amplitude do deslocamento a meio vão definida como critério de paragem (ao contrário do que acontece nos outros três casos) devido a problemas de convergência numérica no modelo. Este valor não se trata da carga máxima que a estrutura consegue equilibrar, uma vez que o ponto limite é atingido para um parâmetro de carga λ 2 = 23.5, o que equivale a uma carga de q cr = 1442 kn/m, que está de acordo com o valor apresentado em [5]. Também os resultados fornecidos pelo método simplificado de Klein (q cr = 1487 kn/m e λ 2 = 24.4) e pelo modelo da coluna sobre fundação elástica (q cr = 1445 kn/m e λ 2 = 23.6) estão concordantes com este valor. Uma nota para o facto de em outros trabalhos usar-se a designação de q lim para indicar a carga crítica associada a uma instabilidade por ponto limite e q cr para uma instabilidade bifurcacional, contudo neste caso opta-se por desingar ambas por q cr. 70

99 CAPÍTULO 4 ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS O segundo caso apresentado na Figura 4.4 é do mesmo tipo do primeiro. A carga crítica neste caso é q cr = 1675 kn/m, e portanto superior ao primeiro caso de carga, o que representa um valor superior ao resultado obtido em [5]. O terceiro e quarto caso apresentados na Figura 4.4 apresentam comportamentos semelhantes, e do tipo da trajectória a vermelho na Figura 4.3. De acordo com [5] a carga crítica no terceiro caso, com a sobrecarga aplicada em apenas metade do vão central, deveria ser aproximadamente q cr = 740 kn/m, a que corresponde um parâmetro de carga λ De acordo com a Figura 4.5, para este valor de λ 2 não ocorre nada que indicie que seja esta a carga crítica. A análise dos deslocamentos dos nós apresentados na Figura 4.6, permite apenas identificar o início da instabilidade (que acontece para λ 2 10) uma vez que não existe nenhum patamar ou aumento repentino dos deslocamentos, como λ ,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1,0-1,2-1,4-1,6 Nó 39 Nó 41 Nó 43-1,8-2,0 δ v,i (m) vão central Figura Desenvolvimento dos deslocamentos nos nós 39, 41 e 43 para a análise não linear efectuada quando apenas metade do vão central é carregada. no caso da trajectória a verde da Figura 4.3. A Figura 4.5 apresenta igualmente: 1) os valores dos parâmetros λ 2 associados às cargas críticas determinadas através do módulo Buckling Analysis do software SAP2000, aplicado directamente ao modelo da ponte de tirantes, o que mostra que os resultados de uma análise linear de estabilidade são bastante superiores para qualquer um dos casos; 71

100 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS 2) os valores dos parâmetros λ 2,u obtidos por Pedro [5] associados à rotura plástica do tabuleiro para os dois primeiros casos de carga analisados, que são bastante inferiores aos parâmetros de carga crítica. Os resultados das análises não lineares até aqui apresentados, dizem apenas respeito ao programa SAP2000 uma vez que a utilização do software de elementos finitos ANSYS conduziu a resultados semelhantes. 4.2 MODIFICAÇÃO DO MODELO DE COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA Como é mostrado no número anterior, as análises não lineares de estabilidade efectuadas com os programas de elementos finitos SAP2000 e ANSYS fornecem resultados diferentes dos obtidos com os modelos de BEF ( Beam on Elastic Foundation, neste caso o modelo de coluna sobre fundação elástica) para os casos de carga analisados, com excepção da situação de todo o tabuleiro igualmente carregado. O modelo de coluna sobre fundação elástica apresentado no Capítulo 3, é adequado quando tanto os vãos laterais do tabuleiro como as torres não têm deslocamentos importantes, o que se verifica quando o carregamento é aplicado tanto no vão central como nos laterais. Com o objectivo de obter resultados a partir deste modelo, mas considerando apenas o carregamento do vão central, propõe-se uma alteração do modelo de viga sobre fundação elástica, que corresponde à diminuição da rigidez vertical conferida pelos tirantes ao tabuleiro para metade do valor em relação ao caso do carregamento total do tabuleiro Efeito dos tirantes de retenção para um carregamento apenas no vão central Quando apenas o vão central é carregado, as torres têm uma deformabilidade lateral muito superior ao caso do carregamento em todo o tabuleiro. Considerando que o controlo de deformabilidade da torre é feito especialmente pelos tirantes de retenção, e assim desprezando a rigidez da torre, é possível mostrar que o sistema de apoio vertical do vão central do tabuleiro, conferido pelos tirantes, é afectado pela maior ou menor rigidez do sistema constituído pelos tirantes de retenção. 72

101 CAPÍTULO 4 ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS A Figura 4.7 apresenta o caso do carregamento apenas no vão central, considerando as seguintes hipóteses: 1) considera-se uma configuração simétrica dos tirantes; 2) a torre é muito flexível em comparação com a rigidez conferida pelos tirantes; 3) o controlo de deformabilidade da torre é feito especialmente pelo tirante de retenção simétrico; 4) consideram-se apoios nos vãos laterais em cada tirante ao nível do tabuleiro. tirante de retenção i T Δ 2,h T tirante central i E i A i, L i EiA i, L i α i T sen(α i ) T Δ 1,v Δ 2,v Figura Efeito dos tirantes de retenção na rigidez vertical conferida ao tabuleiro quando apenas é carregado o vão central. Considere-se um par de tirantes do vão central e de retenção. No caso de se admitir que as torres não tem deslocamentos horizontais, então a rigidez conferida pelo tirante central ao tabuleiro é dada por: Δ 1,v = L i T (4.1) E i A i sin α i K v,i = E ia i L i sin 2 α i (4.2) onde Δ 1,v representa o deslocamento no tabuleiro devido à rigidez do tirante central. Esta foi a expressão adoptada até agora para obter a rigidez da fundação no modelo BEF. Esta rigidez é, no entanto, reduzida no caso da torre ter deslocamentos horizontais. 73

102 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS Para determinar a rigidez vertical conferida ao tabuleiro pelo tirante de retenção, é necessário relacionar o valor do deslocamento horizontal na torre (Δ 2,h ) com o deslocamento vertical associado a este no tabuleiro (Δ 2,v ). Na hipótese dos pequenos deslocamentos Δ 2,v = Δ 2,h, e sabendo que para o tirante lateral se tem: tg(α i ) Δ 2,h = L i T (4.3) E i A i cos α i Então o acréscimo de deslocamento vertical do vão central devido ao deslocamento horizontal da torre é obtido por: Δ 2,v = L i T (4.4) E i A i sin α i Deste modo, a rigidez obtida considerando a deformabilidade dos tirantes do vão central e de retenção no modelo BEF é dada por: K v = Tsinα i Δ 1,v + Δ 2,v = E ia i 2L i sin 2 α i (4.5) Assim, desprezando a rigidez da torre, e admitindo que funciona apenas o tirante sujeito à força no tramo central e o tirante de retenção que lhe é simétrico, a contabilização deste segundo elemento, e portanto do deslocamento da torre, reduz para metade a rigidez equivalente conferida pelos tirantes ao tabuleiro. Esta conclusão implica que no modelo simplificado da coluna sobre fundação elástica, proposto por Klein, a carga crítica devido a um carregamento no tramo central (q cr ) relaciona-se com a carga crítica para um carregamento em todo o tabuleiro (q cr ) através da expressão seguinte: N cr = 2 EIβ = 2 EI β 2 = 2 EIβ 2 = N cr 2 q cr = q cr 2 (4.6) 74

103 CAPÍTULO 4 ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS A Figura 4.8 apresenta os resultados obtidos através do modelo de viga sobre fundação elástica e através da hipótese de Klein, considerando o carregamento apenas no vão central. Na mesma figura apresentam-se também os resultados obtidos por Pedro [5] numa análise não linear de estabilidade. q cr [kn/m] q cr vão central do tabuleiro carreg. 2 sobrecarga apenas no vão central carreg. 2 Resultados [3] carreg. 2 Hip. de Klein modific. carreg. 2 BEF modificada Vão central do tabuleiro [m] Figura Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para um carregamento apenas no vão central do tabuleiro, considerando o modelo de coluna sobre fundação elástica e a hipótese de Klein, ambos com rigidez da fundação modificada. A proximidade entre os resultados obtidos permite concluir que a consideração da deformabilidade dos tirantes de retenção no modelo de coluna sobre fundação elástica, possibilita obter uma boa aproximação da carga crítica do tabuleiro para o carregamento apenas no vão central. Para os casos de m e 1050 m de vão central, a carga crítica obtida pela hipótese de Klein e pelo modelo alterado da coluna sobre fundação elástica, é inferior à proposta por Pedro [5] por meio de uma análise não linear. Esta diferença é explicada pela consideração da carga permanente ao longo de todo o tabuleiro nessa análise, sendo apenas incrementada a sobrecarga. No modelo de BEF proposto, toda a carga é aplicada apenas no vão central, e para os casos de vãos muito longos, onde as cargas críticas tem valores baixos, o valor da carga permanente (cp = 171 kn/m) representa uma maior parcela da carga crítica, a não contabilização desta carga permanente nos tramos laterais, agrava o efeito da deformabilidade da torre e daí as cargas críticas serem 75

104 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS inferiores. Também a não consideração da rigidez de flexão da torre pode contribuir para reduzir o valor da carga crítica obtida no modelo de BEF Verificação das hipóteses consideradas na modificação do modelo de coluna sobre fundação elástica A principal hipótese considerada na modificação do modelo da coluna sobre fundação elástica, corresponde à não contabilização da rigidez da torre para controlo da deformabilidade do tabuleiro, uma vez que esta é bastante inferior à conferida pelos tirantes de retenção. Para verificar esta hipótese comparam-se os valores (1) da rigidez da torre isolada, (2) dos tirantes de retenção, e (3) do conjunto, para um deslocamento horizontal no topo da torre. Com o objectivo de analisar a sensibilidade da variação da rigidez de flexão da torre com a rigidez dos tirantes, estes valores são calculados para várias rigidezes de flexão da torre, todas múltiplas da inicial do modelo de 420 m (EI) e portanto semelhante à da ponte Vasco da Gama. A Figura 4.9 apresenta os resultados obtidos. Rigidez [KN/m] EI Rigidez Tirantes Rigidez Torre Rigidez Total 20EI E+00 1E+11 2E+11 3E+11 4E+11 5E+11 EI torre [kn/m 2 ] Figura Comparação da rigidez da torre com a rigidez dos tirantes de retenção para diferentes valores de EI da torre. 80EI Para valores baixos de rigidez de flexão da torre (incluindo o valor inicial EI), a rigidez conferida pela torre em comparação com a dos tirantes, é muito menor. A partir de uma rigidez de flexão da torre 20 vezes maior que inicial (20EI), a rigidez conferida por esta ao conjunto torre + tirantes de retenção, é idêntica à assegurada pelos tirantes. Assim conclui- 76

105 CAPÍTULO 4 ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS se que, neste caso, para o valor da rigidez de flexão da torre, a hipótese de desprezar a sua contribuição no controlo da deformabilidade do tabuleiro é válida. Na modificação do modelo da coluna sobre fundação elástica, recorre-se à hipótese dos pequenos deslocamentos que permite considerar o deslocamento no topo da torre em função do deslocamento a meio vão (Δ 2,v = Δ 2,h ). A Figura 4.10 apresenta a variação de tg(α i ) Δ 2,v com Δ 2,h considerando ou não a hipótese dos pequenos deslocamentos. Na mesma figura apresentam-se igualmente os valores dos erros associados à consideração desta hipótese, que nunca ultrapassam os 5 % para os valores considerados de Δ 2,h. Δ 2,v [m] 4,5 4 3,5 Sem considerar a hip.dos pequenos desloc. Considerando a hip.dos pequenos desloc. Erro relativo [%] [%] , , , ,5-1 -1,5-2 Δ 2,h [m] Figura Relação entre o deslocamento horizontal no tabuleiro e vertical na torre devido à rigidez conferida pelo tirante de retenção, considerando a hipótese dos pequenos deslocamentos (a azul) ou não (a verde), assim como o erro relativo entre estas abordagens (a vermelho). É importante referir que o deslocamento Δ 2,v diz respeito a um deslocamento vertical ao nível do tabuleiro, que ocorre devido ao deslocamento horizontal ao nível da torre. O modelo de viga sobre fundação original não contempla este efeito, contabilizando apenas as deformações no tabuleiro devido às cargas que actuam neste, e o efeito dos tirantes do vão central como apoios elásticos mas com apoios fixos ao nível das torres. A correcção proposta permite ultrapassar esta hipótese inicial do modelo BEF, conduzindo a resultados muito mais concordantes com os obtidos em [5;7] com uma análise não linear de estabilidade. 77

106 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS 4.3 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS PARA UM TABULEIRO COM 420 m DE VÃO CENTRAL Para avaliar a estabilidade elástica do tabuleiro com 420 m de vão central apresentado no Capítulo 2 utiliza-se: o programa SAP2000; o método simplificado de Klein; e o modelo da viga sobre fundação elástica. Considera-se o caso de carga em que todo o tabuleiro é carregado. Para o primeiro caso de carga, no modelo numérico a rotura por instabilidade elástica ocorre para uma carga λ 1,cr {cp + sob} = 1442 kn/m com λ 1,cr = 6.42 (ou λ 2,cr = 23.5 considerando apenas o incremento de sobrecarga). Os parâmetros de carga determinados pelo método simplificado de Klein e pelo modelo da coluna sobre fundação elástica são, respectivamente, λ 2,cr = 24.4 e λ 2,cr = Estes resultados encontram-se igualmente de acordo com os obtidos por Pedro [5]. A proximidade entre os valores obtidos comprova o bom funcionamento do método e dos modelos adoptados. As diferenças são maiores quando se comparam os valores do modelo numérico e do modelo da viga sobre fundação elástica (praticamente idênticos), com os do método simplificado de Klein, que por se tratar de um método aproximado tem sempre maior incerteza associada aos seus resultados, dado que é necessário identificar um tirante em que a relação β i / N i é mínima. Mesmo assim, este modelo de Klein conduz a resultados com um erro de cerca de 3% neste caso. O modo de instabilidade para o caso considerado é apresentado na Figura É possível distinguir o ponto de inflexão mais afastado da torre na vizinhança da secção crítica considerada no método de Klein junto ao tirante 11. Este modo de instabilidade tem cinco semi-ondas, enquanto que o método de Klein sugere que o primeiro modo de instabilidade tem um n = 4.63, que considerando um número inteiro coincide com o número de semiondas resultantes da análise não linear. A diferença entre os resultados mostra como um modelo discreto de Klein conduz a resultados necessariamente aproximados. Contudo, de acordo com Pedro [5], a rotura por plastificação para este caso ocorre para λ 1,u = 2.6 (ou λ 2,u = 7.7), que comparando com o obtido para a instabilidade elástica do tabuleiro permite concluir que para este caso, a instabilidade do tabuleiro não é 78

107 CAPÍTULO 4 ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS condicionante, uma vez que o parâmetro de carga associado a este fenómeno é cerca de 2.5 vezes superior no caso de λ 1 (e 3.1 no caso de λ 2 ). Note-se que um parâmetro de carga crítica elástica da ordem de 3 é frequentemente utilizado como critério de projecto para mostrar que a estabilidade não é condicionante no dimensionamento. q cr = 1442 [kn/m] ; λ 2,cr = 23.5 Ponto de inflexão factor de amplificação da deformada = 2.0 Figura Modo de instabilidade elástica de um tabuleiro atirantado com 420 m de vão central, para a sobrecarga aplicada ao longo de todo o tabuleiro. 4.4 CONCLUSÃO Os resultados obtidos ao longo deste capítulo permitem concluir que: 1) A definição da carga crítica numa análise não linear de estabilidade pode ser difícil, existindo mesmo a hipótese de não ocorrer instabilidade elástica como a que se verifica ao efectuar uma análise linear de estabilidade; 2) A consideração do efeito dos tirantes de retenção na deformabilidade do tabuleiro, ao nível do modelo da coluna sobre fundação elástica, permite obter bons resultados para os casos onde apenas o vão central do tabuleiro é carregado; 3) Para o caso estudado do tabuleiro atirantado de 420 m de vão central, conclui-se que o risco de instabilidade é reduzido, uma vez que a carga crítica associada a este efeito é cerca de três vezes superior à carga de rotura plástica do mesmo tabuleiro. 79

108 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS 80

109 CAPÍTULO 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE 5.1 INTRODUÇÃO Na concepção de uma ponte de tirantes, são várias as escolhas a serem feitas para os diferentes elementos que constituem a estrutura. Com o objectivo de avaliar a importância dessas escolhas para estabilidade global do tabuleiro efectua-se um estudo paramétrico de estabilidade. No desenvolvimento deste capítulo recorre-se tanto a análises lineares de estabilidade, através do modelo de viga sobre fundação elástica, como a análises não lineares, executadas no programa de elementos finitos SAP2000, para se estudar a estabilidade do tabuleiro. O estudo paramétrico realizado, baseia-se na alteração de várias características da ponte. Cada alteração é executada isoladamente e comparada com o modelo base, no sentido de identificar a influência da característica alterada na estabilidade do tabuleiro. É também estudada a influência do processo construtivo de forma a a avaliar a sua relevância. 5.2 INFLUÊNCIA DO PROCESSO CONSTRUTIVO A principal característica que pode justificar a inclusão do processo construtivo na análise de estabilidade, é o facto de assim se considerar a distribuição de compressões no tabuleiro que resulta da instalação dos tirantes ao longo da construção. Para efectuar uma análise não linear no programa de elementos finitos SAP2000, é necessário definir um modo de arranque para a estrutura, isto é, definir o estado inicial da estrutura antes de começar a análise elástica não linear propriamente dita, com as 81

110 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS sucessivas fases (steps) de carregamento. Como estado inicial, o modelo pode encontrar-se já deformado (devido às cargas permanentes) ou considerar-se indeformado. Considerando o modelo já deformado, e partindo do caso onde todas as cargas permanentes já estão aplicadas na estrutura, todos os incrementos de carga executados ao longo da análise não linear referem-se apenas à aplicação da sobrecarga. A consideração do processo construtivo antes de realizar análise não linear, permite ter em consideração dois aspectos principais: 1) O deslocamento inicial a meio vão (ω o ) é menor quando se considera a fase inicial com as cargas permanentes a actuarem na estrutura e o processo construtivo incluído; 2) O tabuleiro apresenta-se com um nível superior de compressão caso seja considerada a instalação dos tirantes durante o processo construtivo. É principalmente o segundo aspecto que pode fazer diminuir a carga crítica da estrutura, uma vez que para o mesmo carregamento vertical aplicado ao tabuleiro (q = q cp ), no caso de se considerar o processo construtivo, o tabuleiro apresenta já uma compressão instalada superior ao caso de se aplicarem as mesmas cargas e a instalação dos tirantes na estrutura final. A Figura 5.1 apresenta o processo construtivo simulado de forma muito simplificada no programa SAP2000, caracterizado pela montagem do tabuleiro em consola através do método dos avanços sucessivos, de forma simétrica em relação às torres. Numa única fase activa-se o peso próprio do tabuleiro, das torres e dos tirantes (1ª Fase - a) bem como o primeiro puxe destes (1ª Fase - b), simulado por uma diferença de temperatura (ΔT) negativa. Em seguida, executam-se os fechos-laterais e centrais e colocam-se os aparelhos de apoio nos pilares dos vãos laterais, libertando a ligação do tabuleiro às torres (2ª Fase). No final é aplicada a restante carga permanente (3ª Fase) e efectuado um retensionamento global dos tirantes (4ª Fase). No Anexo B apresentam-se os dados necessários para simular este processo construtivo simplificado, nomeadamente o peso dos tirantes e valor de ΔT aplicado aos mesmos em cada fase. 82

111 CAPÍTULO 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE 1ª Fase a) PP Ligação rigída entre tabuleiro e torre 1ª Fase b) 1º Puxe dos tirantes 2ª Fase Activação do PP da aduela Colocação da aduela de fecho PP PP PP Colocação dos aparelhos de apoio Libertação da ligação entre tabuleiro e torre Colocação da aduela de fecho 3ª Fase a) RCP 3ª Fase b) 2º Puxe dos tirantes Figura Fases do processo construtivo de uma ponte de tirantes pelo método dos avanços sucessivos, de forma simétrica em relação às torres, simulada no programa SAP

112 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS A inclusão do processo construtivo é feita para o modelo de 420 m de vão central. São realizadas duas análises para o padrão de carga apresentado na Figura 5.2: uma que se inicia a partir de um modelo carregado com a carga permanente e inclui o processo construtivo, e outra idêntica mas não considerando o processo construtivo. Caso de Carga 420 m Figura Geometria do carregamento considerado na análise da influência do processo construtivo para a estabilidade do tabuleiro. O Quadro 5.1 apresenta os resultados obtidos pelas duas análises. É possível concluir que o aumento do esforço normal inicial no tabuleiro é de cerca de 10% quando se considera o processo construtivo. Também neste caso o deslocamento a meio-vão é cerca de 56% menor, e no entanto a carga crítica é praticamente a mesma nas duas análises. A Figura 5.3 apresenta o diagrama de esforços normais iniciais instalado no tabuleiro para os dois casos, sendo possível concluir que também não existe grande diferença a este nível. q cr Quadro Resultados obtidos para duas análises não-lineares de estabilidade, uma considerando o processo construtivo e outra não. Tipo de Análise N máx,inicial [kn] δ meio vão, inicial [m] N cr [kn] q cr [kn/m] C/ Processo Construtivo , S/ Processo Construtivo , N i [kn] C/ Processo Construtivo S/ Processo Construtivo [m] Figura Diagrama de esforços normais iniciais instalados no tabuleiro para os casos de inclusão (a azul) ou não (a verde) do processo construtivo na análise de estabilidade. 84

113 CAPÍTULO 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE Este resultado permite concluir que a consideração do processo construtivo na análise de estabilidade do tabuleiro não altera de forma relevante os resultados. Deste modo o processo construtivo não será considerado nas análises apresentadas nas secções seguintes. 5.3 INFLUÊNCIA DA GEOMETRIA DO CARREGAMENTO Para avaliar a influência da geometria do carregamento na estabilidade do tabuleiro, são testados três cenários de carga: carregamento em todo o tabuleiro (Figura 5.4 a); carregamento só no vão central do tabuleiro (Figura 5.4 b); e carregamento em apenas 50% do vão central do tabuleiro (Figura 5.4 c). A consideração do carregamento total (cp + sob) no vão central ou em 50 % deste, deve-se ao facto de nestas análises se recorrer ao modelo de viga sobre fundação elástica, onde não é possível discretizar uma parcela associada às cargas permanentes a actuarem em todo o tabuleiro, e as sobrecargas a actuarem apenas em parte do vão central. (a) q cr (b) vão central do tabuleiro Carreg.1 carregamento ao longo de todo o tabuleiro q cr (c) Carreg.2 carregamento só no vão central q cr Carreg.3 carregamento em 50% do vão central Figura Geometrias de carregamento consideradas para análise da influência deste aspecto na estabilidade do tabuleiro: (a) carregamento em todo o tabuleiro; (b) carregamento só no vão central; e (c) carregamento apenas em 50 % do vão central. Além da consideração de diferentes geometrias do carregamento, analisa-se igualmente a variação do valor da carga crítica com o vão. São considerados os modelos das pontes com 420 m, m, 735 m, m e 1050 m de vão central, todos com a secção do tabuleiro idêntica à do modelo de 420 m. 85

114 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS Cargas críticas para as diferentes geometrias de carregamentos e diferentes vãos Para o caso do carregamento em todo o tabuleiro são obtidos resultados através: (1) do programa de elementos finitos SAP2000; (2) do modelo de viga sobre fundação elástica (BEF); e (3) do modelo BEF considerando a hipótese de Klein. Dos resultados apresentados na Figura 5.5 é possível concluir que através de qualquer uma das metodologias estes são muito semelhantes, como referido no capítulo anterior. Para um vão de 420 m com um carregamento em todo o tabuleiro, a carga crítica é, no caso da coluna sobre fundação elástica, q cr = 1445 kn/m com λ 1 = 6.4 para um incremento do tipo λ 1 {cp + sob} (onde cp = 171 kn/m e sob = 54 kn/m como referido no Capítulo 2) e λ 2 = 23.6 para um aumento apenas da sobrecarga da forma cp + λ 2 {sob}. No caso do tabuleiro de 1050 m de vão central, os valores da carga crítica descem para cerca de q cr = 350 kn/m, a que corresponde λ 1 = 1.6, o que se trata de um valor muito baixo explicado pelo facto de se considerar para este modelo de 1050 m, uma secção do tabuleiro (e portanto uma rigidez de flexão EI) igual à do modelo 420 m q cr [kn/m] q cr vão central do tabuleiro Carreg.1 carregamento ao longo de todo o tabuleiro q cr vão central do tabuleiro Carreg.2 carregamento só no vão central 600 q cr vão central do tabuleiro Carreg.3 carregamento em 50% do vão central Coluna s/ Fund. Elástica - Carreg.1 Hip. Klein - Carreg.1 Coluna s/ Fund. Elástica - Carreg.2 Hip. Klein - Carreg.2 Coluna s/ Fund. Elástica - Carreg.3 SAP Carreg Vão central do tabuleiro [m] Figura Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para diferentes geometrias de carregamento. No segundo caso de carregamento recorre-se igualmente ao modelo de viga sobre fundação elástica e à hipótese de Klein, mas agora considerando o efeito dos tirantes de retenção explicado no Capítulo 4. Verifica-se que o valor da carga crítica é menor em comparação 86

115 CAPÍTULO 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE com a geometria de carregamento em todo o tabuleiro, como é referido por Taylor [11] e Pedro [5]. Considerando o resultado do modelo da viga sobre fundação elástica, a carga crítica para o tabuleiro de 420 m de vão central é de q cr = 1100 kn/m, a que corresponde os parâmetros de carga λ 1 = 4.9 e λ 2 = 17.2, e representa um decréscimo de quase 25% relativamente ao carregamento de todo o tabuleiro. Para os outros vãos considerados, a ordem de grandeza da diminuição da carga crítica entre estes dois casos de carga mantémse, com excepção do vão de 1050 m onde o decréscimo é um pouco superior (próximo de 30%). Para o caso de carga onde apenas existe solicitação em metade do vão central, os resultados obtidos provêm também do modelo de viga sobre fundação elástica mas considerando uma hipótese adicional, que será explicada mais à frente. Para esta geometria de carregamento a carga crítica também diminui em comparação com os resultados obtidos para os dois casos de carga anteriores, como referido por Taylor [11] e Pedro [5]. No caso do tabuleiro com 420 m de vão central, a carga crítica é agora de q cr = 745 kn/m, a que corresponde os parâmetros de carga λ 1 = 3.8 e λ 2 = Trata-se de um decréscimo de cerca de 30% da carga crítica em comparação com o segundo caso de carga, e de 50% em relação ao primeiro caso de carga. Estas diferenças mantém-se praticamente constantes para todos os outros vãos que foram considerados Variação da carga crítica do tabuleiro de 420 m de vão central carregado apenas no vão central Para ser possível adoptar o modelo da viga sobre fundação elástica para os casos de carregamentos muito excêntricos no vão central (como o caso do carregamento 3 em apenas metade do vão central), é necessário modificar o modelo da viga sobre fundação elástica. No Capítulo 4 já foi apresentado o efeito dos tirantes de retenção na rigidez vertical equivalente conferida ao tabuleiro, quando o carregamento é aplicado apenas no vão central. Contudo, o comportamento estrutural dos tirantes quando o tabuleiro é sujeito a um carregamento ainda mais concentrado não se limita a este efeito, que apesar de continuar a existir, não é suficiente para aproximar os resultados do modelo de BEF nestas condições. Assim considera-se uma hipótese adicional relativa à distribuição do esforço axial e da rigidez de fundação a usar no modelo, tal como na escolha do valor máximo a adoptar para esta rigidez (β o ). 87

116 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS Considere-se a geometria de carregamento (Carreg. 3) apresentada na Figura 5.4. Uma análise estática dos esforços para um carregamento deste tipo, permite concluir que os tirantes mais solicitados são os que se encontram na zona carregada, havendo mesmo alguns tirantes na zona não carregada do tabuleiro que chegam anular toda a tracção inicialmente instalada. É possível também verificar que os tirantes mais solicitados, e que conferem um maior apoio vertical ao tabuleiro, correspondem aos tirantes mais próximos da fronteira do carregamento. A hipótese proposta, consiste em no modelo da viga sobre fundação elástica, considerar uma distribuição da rigidez da fundação e dos esforços normais idêntica à dos casos de carga anteriores, mas com o máximo da rigidez da fundação (β o ), a ser dado pelos tirantes que se localizam na fronteira do carregamento. A consideração deste β o permite assim determinar o parâmetro adimensional μ, e do anulamento do determinante da matriz deduzida no Capítulo 3, obtém-se uma melhor aproximação da carga crítica para estas condições de carregamento. A Figura 5.6 resume a hipótese proposta. Carregamento 3 N 0 modelo de viga sobre fundação elástica considerado β 0 vão central = L N 0 fronteira do carregamento L β o a tirante crítico K v,i β o = K v,i a μμ = ββ 0LL 4 EEEE Parâmetro adimensional det(...)=0 N cr Figura Hipótese do tirante crítico para o caso de carregamentos excêntricos no meio vão do tabuleiro. Esta escolha do tirante crítico próximo da fronteira de carregamento, que determina β o e consequentemente μ, permite determinar as cargas críticas para geometrias de carregamento que vão sendo cada vez mais excêntricas, até ao caso limite do carregamento terminar nas secções dos dois tirantes centrais (Figura 5.7). Considerando o tabuleiro com 88

117 CAPÍTULO 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE um vão central de 420 m e todas as geometrias de carregamento possíveis através deste modelo (que são tantas quanto o número de pares de tirantes existentes no vão central), obtém-se os resultados apresentados Figura 5.8. q cr vão central do tabuleiro Figura Geometrias de carregamentos que são abrangidas pela hipótese do tirante crítico q cr [kn/m] qcr 420 m qcr 42m qcr m % 90% 80% 70% 60% 20% 10% 0% % do vão central carregado Figura Variação da carga crítica (q cr ) com percentagem do vão central carregada no modelo de 420 m de vão central. A consideração do efeito dos tirantes de retenção, que diminuem a rigidez vertical equivalente conferida pelos tirantes ao tabuleiro em metade, é discutível para casos de carga muito excêntricos. Na Figura 5.8 apresentam-se igualmente os resultados obtidos pelo modelo de viga sobre fundação elástica não considerando este efeito. As curvas apresentadas mostram apenas uma aproximação da estabilidade do tabuleiro face a carregamentos mais concentrados, que tem por base a hipótese do tirante crítico considerada. Assim sendo, é razoável admitir que a estabilidade do tabuleiro é melhor traduzida por uma curva situada entre as duas apresentadas, onde para o caso de carregamentos pouco concentrados aproxima-se mais da curva a verde (onde o efeito dos 50% 40% 30% Coluna s/ Fund. Elástica (sem considerar efeito dos tirantes de retenção) Coluna s/ Fund. Elástica (considerando efeito dos tirantes de retenção) Resultados [5] 89

118 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS tirantes de retenção é contabilizado), e para carregamentos mais concentrados aproxima-se mais da curva a roxo (onde não se considera o efeito dos tirantes de retenção). Na Figura 5.8 incluem-se também os valores de cargas críticas obtidos para o carregamento de 100% e 50% do vão central por Pedro [5]. Verifica-se que os valores encontram-se entre as duas linhas correspondentes aos modelos de BEF com e sem correcção da rigidez de fundação. Analisando de uma forma global os resultados obtidos, pode concluir-se que a geometria de carregamento mais condicionante corresponde a cerca de 50% do vão carregado, e que para carregamentos com menor extensão, devido ao facto de o carregamento total ser menor, a instabilidade ocorre para uma maior carga crítica (q cr ) Resumo dos resultados A geometria do carregamento tem uma considerável influência na estabilidade do tabuleiro. Para carregamentos apenas no vão central a carga crítica diminuí cerca de 25%, e para o caso (menos provável) de um carregamento apenas em metade do vão central, decresce para cerca de 50%, em comparação com um carregamento ao longo de todo o tabuleiro. É também esta última geometria de carregamento, aquela que conduz à menor carga crítica do tabuleiro. 5.4 INFLUÊNCIA DO SISTEMA DE SUSPENSÃO O modelo da ponte atirantada em estudo apresenta uma configuração dos tirantes em semileque. Para analisar a influência do tipo de sistema de atirantamento na estabilidade global do tabuleiro modifica-se o sistema de suspensão para: (1) uma configuração em leque e (2) uma configuração em harpa. Para tal é necessário redimensionar os tirantes tendo em conta as suas novas configurações. No Anexo C apresentam-se as características dos tirantes para cada uma das novas configurações adoptadas. A Figura 5.9 apresenta a variação do esforço normal (N i ) e da rigidez vertical equivalente (K v ) para metade do vão central do tabuleiro com 420 m admitindo uma carga uniforme unitária, quando se adopta uma configuração em leque, semi-leque ou harpa. Verifica-se que a configuração em harpa, até ao terceiro tirante, confere um apoio vertical ao tabuleiro muito maior que a configuração em leque ou semi-leque. No entanto, é também a 90

119 CAPÍTULO 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE configuração em harpa que introduz a compressão mais elevada, sendo cerca do dobro da introduzida pela configuração em leque. N i [kn] Leque Semi-Leque Harpa Tirante K v,1=45556 kn/m K v,i [kn/m] Figura Variação do esforço normal e da rigidez vertical equivalente conferida pelos tirantes, para uma carga distribuída unitária (q = 1 kn/m) para metade de tabuleiro com 420 m de vão central, consoante o tipo de sistema de atirantamento. 35 λ δ -3 v,64 (m) Figura Evolução do deslocamento a meio-vão com o carregamento do tabuleiro, para o sistema de suspensão em leque (a verde), harpa (a azul) e semi-leque (a vermelho). Leque Harpa Semi-Leque 91

120 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS A ponderação do efeito de apoio conferido pelos tirantes e da compressão que introduzem, determina a influência da distribuição destes para a estabilidade do tabuleiro. A Figura 5.10 e a Figura 5.11 apresentam os resultados obtidos para os três casos através de uma análise não linear de estabilidade. q cr = 2030 kn/m (λ 2 =34.4) Configuração em leque N o,cr = -412 MN (Klein: No,cr = MN) N i,cr = -215 MN (Klein: Ni,cr = -225 MN) q cr = 1442 kn/m (λ 2 =23.5) Configuração em semi-leque N o,cr = -348 MN (Klein: No,cr = -354 MN) N i,cr = -188 MN (Klein: Ni,cr = MN) q cr = kn/m (λ 2 =14.8) N o,cr = MN (Klein: No,cr = -387 MN) N i,cr = -172 MN (Klein: Ni,cr = MN) Configuração em harpa Figura Cargas críticas e modos de instabilidade associados aos vários de sistemas de suspensão Sistema de atirantamento em leque No caso do sistema em suspensão em leque, o tabuleiro apresenta uma instabilidade do mesmo tipo do caso em semi-leque. Trata-se de uma instabilidade caracterizada por um ponto limite, que é atingido para uma carga crítica de cerca de 2030 kn/m ao qual corresponde um parâmetro de carga λ 2 = 34.4 (Figura 5.11). 92

121 CAPÍTULO 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE Recorrendo ao método simplificado de determinação do esforço normal crítico, proposto por Klein e explicado no Capítulo 3, na secção condicionantes (tirante 12) o valor do esforço normal quando se atinge a instabilidade deve ser de cerca de 225 MN. No caso da análise não-linear executada no modelo, a instabilidade por ponto limite acontece para uma compressão de 215 MN na mesma secção. O facto destes valores serem bastante próximos, permite validar o resultado obtido Sistema de atirantamento em harpa Para o sistema de suspensão em harpa o tabuleiro não apresenta uma instabilidade clara. O comportamento da estrutura modifica-se a partir de uma carga distribuída de aproximadamente kn/m (à qual corresponde um parâmetro de carga λ 2 = 14.8) como mostra a Figura Para cargas superiores a este valor a parte central do tabuleiro comporta-se como um arco, passando a existir tracções muito elevadas nesta zona e alguns tirantes ficam sujeitos a compressão. A Figura 5.13 apresenta a variação do esforço normal no tabuleiro junto à torre e na secção crítica (onde K v, i /N i é mínimo), onde este nível de carga limita os dois comportamentos distintos do tabuleiro. λ 2 q cr = kn/m (λ 2 =14.8) δ v,64 (m) Figura Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do tabuleiro, para o caso do sistema de suspensão em harpa. 93

122 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS N (kn) N JUNTO DA TORRE N SECÇÃO CRÍTICA Figura Variação do esforço normal no tabuleiro junto à torre e na secção crítica, com o sucessivo carregamento do tabuleiro para o caso do sistema de suspensão em harpa. λ 2 Caso se aplique o método simplificado de Klein, o valor do esforço normal na secção crítica (tirante 9) é de cerca MN. Este valor este não é atingido até ao carregamento de kn/m, onde o esforço normal nesta secção é de apenas 172 MN. No caso de se considerar o comportamento da estrutura após este limite de carregamento, passa a existir tracção na zona central do vão, sem nunca se atingir a compressão determinada pelo método simplificado. A consideração do valor de compressão máxima junto à torre determinada pelo método de Klein, N o,cr = 387 MN, resulta na distribuição de esforços axiais no tabuleiro apresentada na Figura 5.14, onde é possível observar que o nível de tracção instalado é maior do que o de compressão. Tendo em conta o comportamento descrito para o caso da suspensão em harpa, e procurando uma carga crítica que inicie a instabilidade do tabuleiro, o mais razoável é admitir que essa carga é q cr = kn/m (λ 2 = 14.8), que corresponde à carga em que a estrutura possui uma alteração rápida do seu comportamento. q cr = 2304 kn/m (λ 2 =39.5) c N = MN No = -366 MN (Klein: No,cr = -387 MN) Ni = 55.3 MN Figura Configuração do tabuleiro da ponte com sistema de atirantamento em harpa, para um carregamento que permite obter uma compressão junto à torre semelhante à da hipótese de Klein. 94

123 CAPÍTULO 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE Resumo dos resultados A grande compressão introduzida pela configuração em harpa associada ao menor apoio dado pelos tirantes em praticamente todo o tabuleiro, em comparação com as outras configurações, fazem com que a carga crítica para este tipo de sistema de suspensão esteja associada ao parâmetro de carga mais baixo com λ 2 = Assim a grande rigidez vertical conferida pelos dois últimos tirantes, no caso da distribuição em harpa, pouco significa para a garantia de uma melhor estabilidade global. Ao contrário do que acontece na distribuição em harpa, com a configuração em leque consegue-se o maior nível de apoio conferido pelos tirantes na maior parte do vão (do tirante 5 ao tirante 16), tratando-se da configuração que melhor controla a deformabilidade do tabuleiro [1]. Este facto, e associado à mais reduzida compressão introduzida nos três casos, conduz a que esta solução seja melhor do ponto de vista de estabilidade global, só se registando a instabilidade para um parâmetro de carga λ 2 = O caso de uma suspensão em semi-leque é uma solução intermédia, tanto do ponto de vista do apoio conferido pelos tirantes ao tabuleiro, como da compressão introduzida. Assim é natural que a análise de estabilidade do tabuleiro conduza a resultados intermédios. O valor do parâmetro de carga associado à instabilidade da ponte para esta configuração de tirantes é de λ 2 = 23.5, valor intermédio entre λ 2 = harpa e λ 2 = leque. 5.5 INFLUÊNCIA DA ALTURA DAS TORRES E DO ESPAÇAMENTO ENTRE TIRANTES Como foi mostrado no Capítulo 3, a rigidez elástica equivalente dos tirantes (β i ) tem também influência directa no valor da carga crítica do tabuleiro. Esta rigidez é função das características do sistema de atirantamento, nomeadamente: 1) da secção transversal dos tirantes; 2) do comprimento e ângulo dos tirantes com o tabuleiro; 3) do espaçamento entre tirantes ao nível do tabuleiro. 95

124 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS O primeiro factor, na prática, não deve ser tido em conta para um possível aumento do valor de β i, uma vez que as secções dos tirantes são dimensionadas tendo em conta um estado serviço, de forma a limitar as tensões neste caso. Economicamente não é vantajoso aumentar a secção dos tirantes para melhorar a rigidez elástica vertical conferida ao tabuleiro, já que o efeito de catenária não é desprezável e pode impossibilitar este aumento de secção. Com um aumento da secção dos tirantes, a tensão instalada nestes é menor, o que provoca que o efeito de catenária tenha maior relevância, resultando numa maior deformabilidade do tirante, e consequentemente num pior comportamento em serviço [5]. A geometria dos tirantes, isto é, o comprimento e ângulo com a horizontal, é o factor com mais influência na carga crítica (q cr ), uma vez que está relacionado de forma directa com valor e distribuição da rigidez elástica ao nível do tabuleiro. Na concepção de uma ponte de tirantes, estas características estão directamente ligadas à escolha do sistema de suspensão (já explicado anteriormente) e à definição da altura das torres a partir do nível do tabuleiro. A alteração do espaçamento entre tirantes altera ligeiramente o valor de β i, mas como se constatará não tem grande influência no valor da carga crítica Influência da altura das torres Para analisar a influência da altura das torres utilizando o modelo BEF, calculam-se os valores de q cr quando a torre tem uma altura de 25%, 20% ou 15% do vão central do tabuleiro. São analisados os 5 modelos de 420 m, m, 735 m, m e 1050 m de vão central, considerando sempre a mesma secção do tabuleiro, para dois casos de carga: um carregando igualmente o vão central e tramos laterais, e outro considerando apenas o carregamento do vão central. A Figura 5.15 apresenta os resultados obtidos. A Figura 5.16 apresenta a distribuição de esforços normais e da rigidez vertical elástica instalada em metade do tabuleiro, para as diferentes alturas das torres consideradas, para o caso do modelo com 420 m de vão sujeito a uma carga distribuída uniforme unitária em todo o tabuleiro. 96

125 CAPÍTULO 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE 2000 q cr [kn/m] h = altura torre carreg.2 q cr L = vão central do tabuleiro carreg carreg.1 carregamento em todo o tabuleiro carreg.2 carregamento apenas no vão central torre: h = 25% x L ; carreg. 1 torre: h = 20% x L ; carreg. 1 torre: h = 15% x L ; carreg. 1 torre: h = 25% x L ; carreg. 2 torre: h = 20% x L ; carreg. 2 torre: h = 15% x L ; carreg Figura Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para diferentes alturas das torres e dois tipos de carregamentos. N i [kn] Vão central do tabuleiro [m] torre: h=25% x L torre: h=20% x L torre: h=15% x L Tirante h = altura torre q = 1 kn/m K v,1=43207 kn/m L = vão central do tabuleiro = 420 m K v,i [kn/m] Figura Variação do esforço normal e da rigidez vertical elástica em metade do tabuleiro com 420 m de vão central, quando submetido a uma carga uniforme unitária, para diferentes alturas da torre. 97

126 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS A Figura 5.16 ajuda a compreender os resultados obtidos para as cargas críticas na Figura A explicação é praticamente idêntica à do caso do sistema de suspensão, uma vez que também aqui a maior consideração de rigidez vertical elástica ao longo do tabuleiro, associada a uma menor compressão introduzida, para o caso de h = 25% de L, resulta numa maior carga crítica quando comparada com os outros casos onde as torres são mais baixas. Numa analogia com o estudo da influência do sistema de suspensão, o caso de h = 25% de L assemelha-se ao caso da disposição dos tirantes em leque, enquanto que para h = 20% de L e h = 15% de L são semelhantes aos cenários de configuração em semi-leque e harpa, respectivamente Influência do espaçamento entre tirantes Para avaliar a influência do espaçamento entre tirantes na estabilidade do tabuleiro, consideram-se os mesmos modelos adoptados para o estudo da influência da altura das torres, e recorre-se igualmente ao modelo de viga sobre fundação elástica (BEF). Considera-se que a área de cada tirante suprimido é adicionada em partes iguais aos dois tirantes adjacentes que se mantêm. Também aqui são considerados os mesmos dois casos de carga tidos em conta na análise anterior. A Figura 5.17 apresenta os resultados obtidos q cr [kn/m] a q cr carreg.2 vão central do tabuleiro carreg.1 carregamento em todo o tabuleiro carreg.2 carregamento apenas no vão central carreg.1 Sa = m ; carreg. 1 4a = m ; carreg. 2 Sa = m ; carreg. 1 Sa = m ; carreg Vão central do tabuleiro [m] Figura Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para espaçamentos entre tirantes diferentes e dois tipos de carregamentos. 98

127 CAPÍTULO 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE A Figura 5.17 mostra que ao se duplicar o espaçamento entre tirantes, há uma ligeira redução da carga crítica (q cr ). Esta redução acontece devido ao facto da parcela nº tir a j=i tan α j, no cálculo do esforço normal instalado no tabuleiro, ser ligeiramente maior uma vez que o espaçamento aumenta, o que significa que para se instalar o esforço axial crítico no tabuleiro (N cr ) é necessário uma carga crítica (q cr ) menor. No cálculo de β i, o aumento do espaçamento é compensado pelo aumento da secção dos tirantes, pelo que não existe variação importante na rigidez equivalente da fundação quando se duplica o espaçamento dos tirantes Resumo dos resultados Para aumentar a estabilidade do tabuleiro, devem ser consideradas na concepção de uma ponte de tirantes torres com uma altura superior a 20% do vão central. A escolha de uma espaçamento menor entre tirantes altera muito pouco do ponto de vista da estabilidade do tabuleiro (como referido em [5] e [16]), o que em termos práticos significa que a adopção de um menor espaçamento para melhorar a estabilidade do tabuleiro, não é uma boa opção. A conclusão relativa à pouca importância do espaçamento entre tirantes para a estabilidade do tabuleiro, permite igualmente concluir que em caso de ser necessário substituir um tirante da ponte, e assim temporariamente se aumentar para o dobro o espaçamento entre tirantes, não existe risco do ponto de vista da estabilidade do tabuleiro. As conclusões retiradas para o caso da influência do espaçamento entre tirantes, têm sempre em consideração a hipótese do comprimento de encurvadura do tabuleiro ser superior ao espaçamento entre tirantes. Nos casos estudados esta consideração é verdadeira, uma vez que o comprimento de encurvadura é sempre superior a 60 m, e o espaçamento entre tirantes é de m ou m. Uma nota para o facto de quando se duplica o espaçamento entre tirantes (passando a ser a = m), continua-se a respeitar as condições de aplicação da fórmula de Engesser [8] usada no método simplificado, uma vez que: LL cr > 1.8 a 60 m > m (5.1) 99

128 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS 5.6 INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DE FLEXÃO DO TABULEIRO Como foi mostrado no Capítulo 3, a carga crítica pode ser calculada através da expressão seguinte: q cr = N i,cr = 2 EEEEββ i N a i nº tir j=i tanα j (5.2) Desta expressão conclui-se que o aumento da rigidez de flexão do tabuleiro (EI) têm como consequência um aumento da carga crítica (q cr ). A modificação da rigidez de flexão do tabuleiro depende fundamentalmente da altura da viga, uma vez que a espessura da laje e os módulos de elasticidade dos materiais têm na prática muito pequena variação, e logo não alteram significativamente esta grandeza. Para analisar a influência da rigidez e flexão do tabuleiro na sua estabilidade, recorre-se ao modelo de coluna sobre fundação elástica, e consideram-se vigas metálicas com 2.75 m, 3.25 m e 3.75 m para além da altura base do modelo de 2.25 m. Todas as vigas variam apenas na altura da alma, sendo as dimensões dos banzos sempre as mesmas, assim como a espessura da alma. Também a espessura da laje de betão é constante, e igual a 25 cm em qualquer um dos casos. Os valores da rigidez de flexão para cada uma das alturas da viga são apresentavas no Quadro 5.2. São considerados dois casos de carga, um com um carregamento em todo o vão (carreg. 1) e outro com carregamento apenas no vão central (carreg. 2). Os resultados obtidos em função do comprimento do vão central considerado, apresentam-se nas Figuras 5.18 e Quadro Rigidez de flexão do tabuleiro para cada uma das alturas de viga analisadas. altura da viga (m) EI [kn/m 2 ] altura da viga (m) EI [kn/m 2 ] E E E E

129 CAPÍTULO 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE q cr [kn/m] 2800 q cr carreg m 2400 L = vão central do tabuleiro carreg.1 carregamento em todo o tabuleiro 0.25 m 2000 altura da secção altura viga vigas m Sviga h = 2.25m ; carreg. 1 Sviga h = 2.75m ; carreg. 1 Sviga h = 3.25m ; carreg. 1 Sviga h = 3.75m ; carreg Vão central do tabuleiro [m] Figura Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para diferentes alturas da viga e submetido a um carregamento em todo o tabuleiro. q cr [kn/m] q cr carreg m 1600 L = vão central do tabuleiro carreg.2 carregamento apenas no vão central 0.25 m altura da secção altura viga vigas m Sviga h = 2.25m ; carreg. 2 Sviga h = 2.75m ; carreg. 2 Sviga h = 3.25m ; carreg. 2 Sviga h = 3.75m ; carreg Vão central do tabuleiro [m] Figura Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para diferentes alturas da viga e submetido a um carregamento apenas no vão central. 101

130 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS Pode observar-se que ocorre um aumento do parâmetro de carga crítico ligeiramente superior à relação entre alturas das vigas, uma vez que q cr é proprocional a EE, que por sua vez depende principalmente da parcela da inércia associada ao produto da área dos banzos por uma distância ao quadrado, e daí a relação ser praticamente linear. No caso do vão de 420 m para o carregamento em todo o vão, um aumento da altura da secção de 2.25 m para 3.75 m, corresponde a um aumento de 67%, enquanto que a carga crítica sobe de q cr = 1495 kn/m para q cr = 2564 kn/m, o que representa um aumento de 72%. No caso do carregamento apenas no vão central este comportamento mantém-se, sendo o aumento de carga crítica ligeiramente inferior (71%). Com o aumento do vão central do tabuleiro, este aumento da carga crítica com um aumento da altura da secção diminuí, apresentando o menor acréscimo no caso do vão de 1050 m, onde no caso do carregamento em todo o vão a carga crítica sobe 45%, e quando apenas carregada no vão central sobe 59%. Estes resultados estão de acordo com o conlcluído por Shu e Wang [10]. 5.7 INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DE FLEXÃO DAS TORRES Com o objectivo de analisar a influência da rigidez de flexão longitudinal das torres na estabilidade do tabuleiro, são considerados, no programa SAP2000, diferentes valores de rigidez de flexão inicial (EI), para o tabuleiro com 420 m de vão central todo carregado. Como se observa na Figura 5.20, quando se aumenta a rigidez de flexão da torre para o dobro, o valor da carga crítica sobe cerca 25%. Se o aumento for de 3 vezes o valor da rigidez de flexão inicial, então a carga crítica cresce 50%. O aumento da rigidez de flexão parece manter uma relação praticamente linear com o aumento da carga crítica. No caso de se reduzir a rigidez de flexão to tabuleiro esta relação linear mantém-se até metade do seu valor inicial. A partir daí reduções maiores da rigidez da torre tem como consequência um diminuição cada vez maior da carga crítica. No caso de se considerar para EI um valor igual ou inferior a um oitavo da rigidez de flexão inicial das torres, a instabilidade global da estrutura é condicionada pelas torres e não pelo tabuleiro, uma vez que estas passam a ter uma inércia de flexão tão pequena, que sujeita às compressões introduzidas pelos tirantes instabilizam primeiro. Concluí-se assim que um aumento da rigidez da torres contribui, de uma forma praticamente linear, para a estabilidade do tabuleiro. Para reduções da rigidez das torres para valores inferiores a metade da inicial, a carga crítica diminui mais rapidamente, e existe o risco de instabilidade das torres antes de ocorrer a instabilidade do tabuleiro. 102

131 CAPÍTULO 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE 2500 q cr [kn/m] 2000 EI q cr 420 m EI instabilidade da torre instabilidade do tabuleiro 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 EI torre EI torre,inicial Figura Variação da carga crítica (q cr ) com diferentes valores de rigidez de flexão longitudinal das torres (EI torre ), para o modelo de 420 m de vão central carregado ao longo de todo o tabuleiro. 5.8 INFLUÊNCIA DA GEOMETRIA DAS TORRES Considerações prévias A geometria da torre para uma ponte com suspensão lateral pode ter várias formas, sendo as mais correntes as torres em pórtico transversal, em A, em Y invertido e em diamante. O modelo em estudo apresenta uma torre em pórtico transversal (também conhecido por torres em H) com um arranjo dos tirantes localizado num único plano. Para avaliar a influência da geometria das torres na estabilidade do tabuleiro, criam-se dois modelos tridimensionais a partir do modelo base de vão central de 420 m, considerando num caso uma geometria em Y invertido para as torres, e no outro uma geometria em A, como apresentado na Figura 5.21 (a) e (b), respectivamente. Esta modificação na geometria das torres introduz uma distribuição espacial dos tirantes, ao contrário do que acontece com uma torre em pórtico inicialmente considerada na análise Modelo tridimensional adoptado O modelo tridimensional adoptado para efectuar o estudo da influência da geometria transversal das torres, é construído a partir do modelo plano considerado nas análises anteriores. 103

132 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS (a) Modelo tridimensional da ponte com 420 m de vão central e torres em forma de Y invertido (b) Modelo tridimensional da ponte com 420 m de vão central e torres em forma de A Figura Modelos tridimensionais adoptados para o estudo da influência da geometria das torres na estabilidade do tabuleiro: (a) geometria das torres em Y invertido; e (b) geometria das torres em A. Admite-se que as secções dos tirantes permanecem as mesmas o que terá que ser confirmado tendo em conta que os arranjos tridimensionais dos tirantes introduzem forças ligeiramente superiores nestes elementos. Também as várias secções que constituem as torres são mantidas. A única alteração acontece ao nível da geometria em Y invertido, com a secção da torre no local onde vão ancorar os tirantes a ter o dobro da largura dos outros dois casos, uma vez que o mesmo fuste passa a ancorar o dobro dos tirantes. Com a passagem para um modelo tridimensional, passam a existir duas barras que simulam o tabuleiro e que são carregadas de igual forma, para evitar efeitos de torção. As vigas principais são ligadas por carlingas transversais, o que evita a instabilidade em planta do tabuleiro. Estas carlingas são no modelo de análise espaçadas de 6.56 m. 104

133 CAPÍTULO 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE A Figura 5.22 apresenta as três secções de torres consideradas, assim como um corte longitudinal idêntico em qualquer um dos modelos. (a 1 ) (a 2 ) (a 3 ) (b) 50 m 50 m 50 m Figura Geometrias consideradas para as torres (a i ) e corte longitudinal comum a todas (b):(a 1 ) torre em pórtico transversal; (a 2 ) torre em Y invertido; e (a 3 ) torre em A Resultados A Figura 5.23 apresenta os resultados obtidos através de uma análise não linear de estabilidade, considerando o carregamento em todo o tabuleiro. Os resultados apresentados nesta figura são referentes a metade do tabuleiro (apenas uma viga), embora se tenha registado um mesmo comportamento das duas vigas. O facto da distribuição de tirantes passar a ser tridimensional não altera o tipo de instabilidade do tabuleiro, que continua a apresentar uma instabilidade por ponto limite. Também o modo de instabilidade do tabuleiro mantém-se o mesmo em qualquer um dos casos (Figura 5.24). Como se pode observar na Figura 5.23, o parâmetro de carga para os casos das torres em A ou em Y invertido é o mesmo (λ 1 = 5.8), que é atingido igualmente para o mesmo deslocamento a meio vão (δ v,64 = 24 m). Comparado com o caso da torre em pórtico, em que se regista λ 1 = 6.4 e δ v,64 = 25 m, existe uma ligeira diminuição do parâmetro de carga, que é explicada pelo facto das secções dos tirantes estarem dimensionadas para a torre em pórtico, o que significa que no caso das torres em A e Y invertido os tirantes conferem um menor apoio vertical ao tabuleiro, o que conduz à diminuição do parâmetro de carga crítico. Aumentando as áreas de todos os tirantes em 20% no modelos com torres em A e Y invertido, o parâmeto de carga aumenta λ 1 = 6.3, em ambos os modelos. 105

134 ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS λ 1 7,0 6,0 6 5,0 5 λ 1 (cp+ sob) 420 m 4,0 4 3,0 3 2,0 2 1,0 1 torre em pórtico torre em Y invertido torre em A 0, δ v,64 (m) Figura Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do tabuleiro, para os casos de geometrias transversais das torres em pórtico (a verde), em Y invertido (a azul) e em A (a vermelho). λ 1 (cp + sob) λ 1 = 5.8 Figura Modo de instabilidade do tabuleiro para o caso das torres com geometria em Y invertido. Dos resultados obtidos, conclui-se que a geometria transversal das torres não parece ter influência directa na estabilidade global do tabuleiro para o caso de carga considerado, e como sugerido em [10]. Alguns autores referem mesmo que a estabilidade global da estrutura é melhorada quando se adoptam torres em A e Y invertido, pelo facto dos dois fustes da torre estarem ligados. Assim a torre torna-se mais rígida para cargas assimétricas no tabuleiro, o que aumenta a sua estabilidade [11]. 106