Princípio da boa ordenação. Aula 03. Princípio da boa ordenação. Princípio da boa ordenação. Indução Finita e Somatórios

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1 Princípio da boa ordenação Aula 0 Indução Finita e Somatórios Prof. Marco Aurélio Stefanes marco em dct.ufms.br marco Aula 0 p. 1 Aula 0 p. Princípio da boa ordenação Princípio da boa ordenação S(S N ( m(m S x(x < m S = )))) Aula 0 p. Aula 0 p.

2 Princípio da boa ordenação S(S N ( m(m S x(x < m S = )))) Indução Finita Fraca Quero mostrar que uma propriedade P vale para todo n n 0 Base Devo mostrar que P vale para n 0 Hipótese de Indução Supor que P vale para n 1 Passo Indutivo Provar que se P vale para n 1 então P vale também para n Isto implica que a propriedade P vale para todo n n 0 S(S N ( m(m / S x(x < m S = N)))) Aula 0 p. Aula 0 p. Princípio da boa ordenação S(S N ( m(m S x(x < m S = )))) S(S N ( m(m / S x(x < m S = N)))) S(S N ( m( x(x < m x S) m S) S = N)) Exemplo Progressão Aritmética S(n) = i = n = Base S(1) = 1(1+1) = 1 n(n + 1) Hipótese S(n 1) = n 1(n 1+1) Passo Indutivo n 1 S(n) = i = i + n = S(n 1) + n S(n) = n 1(n 1 + 1) S(n) = + n = n(n 1 + ) n(n 1) = + n = n(n + 1) n(n 1) + n Aula 0 p. Aula 0 p. 4

3 Exemplo Progressão Geométrica a 1 S(n) = a i = 1 + a + a + a + + a n = an+1 1 i=0 Base S(0) = a1 1 a 1 = 1 Hipótese S(n 1) = an 1 a 1 Passo Indutivo n 1 S(n) = a i = a i + a n = S(n 1) + a n Exemplo A Seqüência de Fibonacci é definida pela seguinte fórmula: F 0 = 0, F 1 = 1 F i = F i 1 + F i, assim produzimos a seqüência 0, 1, 1,,, 5, 8, 1, 1, 4,... S(n) = an 1 + an = an 1 + a n () S(n) = an 1 + a n+1 a n = an+1 1 Aula 0 p. 5 Aula 0 p. 7 Indução Finita Forte Quero mostrar que uma propriedade P vale para todo n n 0 Base Devo mostrar que P vale para n 0 Hipótese de Indução Supor que P vale para todo k n 0 k n 1 Passo de Indução Provar que se P vale para todo k < n então P vale também para n Exemplo A Seqüência de Fibonacci é definida pela seguinte fórmula: F 0 = 0, F 1 = 1 F i = F i 1 + F i, assim produzimos a seqüência 0, 1, 1,,, 5, 8, 1, 1, 4,... Mostrar que podemos calcular F n para qualquer n N Base F 0 = 0 e F 1 = 1 Isto implica que a propriedade P vale para todo n n 0 Aula 0 p. Aula 0 p. 7

4 Exemplo A Seqüência de Fibonacci é definida pela seguinte fórmula: F 0 = 0, F 1 = 1 F i = F i 1 + F i, assim produzimos a seqüência 0, 1, 1,,, 5, 8, 1, 1, 4,... Mostrar que podemos calcular F n para qualquer n N Base F 0 = 0 e F 1 = 1 Hipótese Supomos que F k pode ser calculado para todo k < n. Passo de Indução Pela definição temos F n = F n 1 + F n Como pela hipótese podemos calcular F n 1 e F n então podemos calcular F n. Somatórios i = n + n + n Exerc. Provar usando indução. Em geral, temos i d nd+1 d + 1 Θ(nd+1 ) A PG com a < 1 não possui crescimento exponecial! i=0 a i = 1 1 a Aula 0 p. 7 Aula 0 p. 9 Somatórios O tempo de execução do Insertion-Sort é determinado pelos laços aninhados j = while j ndo k = A[j] i = j 1 while i > 0 E A[i] > kdo A[i + 1] = A[i] i = i 1 A[i + 1] = k j = j + 1 Laços aninhados correspondem a somas (j 1) = O(n ) j= Outras Somas b r i Θ(r b ), 0 < r 1 i=a log i Θ(n log n) i = n+1 1 i=0 i i = (n 1) n+1 + Aula 0 p. 8 Aula 0 p. 10

5 Somas e Integrais Aproximação de somas por integrais Seja f(k) monotonicamente crescente n f(x)dx f(k) n+1 m 1 k=m m f(x)dx f(n) Aproximação por integral Para o limite inferior temos 1 n+1 i dx 1 x Para o limite superior temos 1 + = ln(n + 1) 1 i = i n 1 i= dx x ln n + 1 m 1 m m n 1 n n + 1 Aula 0 p. 11 Aula 0 p. 1 Aproximação por integral Exercício 1 f(n) Calcule S e prove onde S = n(n + 1). Resp. S = n k(k + 1) = n k + n k S = n k = n(n+1) = n +n S 1 = n k m 1 m m n 1 n n + 1 Vamos ver como podemos calcular o valor da série harmônica H n = n Aula 0 p. 1 Aula 0 p. 14

6 Exercício 1 Calcule S e prove onde S = n(n + 1). Resp. S = n k(k + 1) = n k + n k S = n k = n(n+1) = n +n S 1 = n k Idéia: k dk = k / + c. Vamos assumir que S 1 é um polinômio da forma S 1 = n / + an + bn + c n k(k+1) = n /+an +bn+c para n = 1,, 1/ + a + b + c = 1 a + b + c = / 8/ + 4a + b + c = 5 4a + b + c = 7/ 7/ + 9a + b + c = 14 9a + b + c = 5 Exercício 1 Cont. Resolvendo temos a = 1/,b = 1/ e c = 0. Logo S 1 = n / + n / + n/ = n +n +n S = S 1 + S = n +n +n + n +n Provar que S = n +n +n. Prova por indução em n Base: n = 1 Hipótese: S n 1 = n 1 k(k + 1) = (n 1) +(n 1) +(n 1) Passo: Provar que S n = n k(k + 1) = S n 1 + n(n + 1) = (n 1) +(n 1) +(n 1)+n(n+1) = n n +n 1+n n++n +n +n = n +n +n Aula 0 p. 14 Aula 0 p. 15 Exercício 1 Cont. Resolvendo temos a = 1/,b = 1/ e c = 0. Logo S 1 = n / + n / + n/ = n +n +n S = S 1 + S = n +n +n + n +n Provar que S = n +n +n. Exercício Provar que n O(f k(n)) = O ( n f k(n) ). Resp.: Seja g k (n) = O(f k (n)), isto é, c k,n 0k > 0 tal que 0 g k (n) c k f k (n), n n 0k, para cada k = 1,,...,n. Aula 0 p. 15 Aula 0 p. 1

7 Exercício Provar que n O(f k(n)) = O ( n f k(n) ). Resp.: Seja g k (n) = O(f k (n)), isto é, c k,n 0k > 0 tal que 0 g k (n) c k f k (n), n n 0k, para cada k = 1,,...,n. Seja n 0max = max{n 0k : onde Logo: 0 g k (n) = O(f k (n)) k =...n} c k f k (n), n n 0max Exercício Cont. Seja c max = max{c k : k = 1...n} c k f k (n) c max f k (n) = c max f k (n), n n 0max Logo: 0 n O(f k(n)) c n max f k(n), n n 0max Portanto, c = c max e n 0 = n 0max tal que 0 n O(f k(n)) c n f k(n), n n 0 ( ) O(f k (n)) = O f k (n) Aula 0 p. 1 Aula 0 p. 17 Exercício Cont. Seja c max = max{c k : k = 1...n} c k f k (n) c max f k (n) = c max f k (n), n n 0max Logo: 0 n O(f k(n)) c max n f k(n), n n 0max Exercícios Prove que n 1 = n Prove que n(n+1) = n(n+1)(n+) Mostre que n 1/k = O(1) Prove que Ω(f(k)) = Ω( f(k)) Aula 0 p. 17 Aula 0 p. 18