Modelagem de Sistemas com. Histerese. Curso de Pós-Graduação TE 747. Universidade Federal do Paraná Jean Vianei Leite

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1 Modelagem de Sistemas com Histerese TE 747 Curso de Pós-Graduação Universidade Federal do Paraná Jean Vianei Leite

2 Dados da Disciplina TE 747 Métodos Avançados em Sistemas Eletrônicos : Modelagem de Sistemas com Histerese (3 Créditos) Ementa: Histórico da modelagem de perdas eletromagnéticas; materiais elétricos; Teoria de domínios magnéticos; modelagem de saturação anisterética; modelagem escalar da histerese: modelos analíticos, modelos do tipo Langevin, modelos do tipo Preisach; modelagem vetorial da histerese: superposição espacial de modelos escalares, modelo vetorial de Jiles-Atherton; caracterização de materiais; aspectos computacionais da implementação de modelos de histerese

3 Assuntos que serão abordados Revisão de conceitos Curva de magnetização anisterética Perdas magnéticas: histerese, Foucault e excedentes Modelos de permeabilidade magnética (histerese magnética) Material sob campos rotativos

4 Revisão de Conceitos Materiais Magnéticos Aplicações em engenharia elétrica: Transformadores Motores elétricos Geradores Acionamentos (relés, contatores...) Transdutores Sistemas de proteção...

5 Revisão de Conceitos Campo magnético (H ou H) Região do espaço onde se verifica uma perturbação magnética; Também chamado de intensidade de campo ou força magnética;

6 Revisão de Conceitos Indução Magnética (B ou B) Número de linhas de fluxo magnético por unidade de área; Também chamado de densidade de fluxo ou fluxo magnético;

7 Revisão de Conceitos Permeabilidade magnética (µ): Grau de magnetização de um material em resposta ao campo magnético; Facilidade de conduzir o fluxo magnético;

8 Revisão de Conceitos Susceptibilidade magnética (χ): Resposta de um material a um campo magnético; Modo alternativo de representar o fluxo magnético;

9 Unidades Revisão

10 Domínios Magnéticos Dipolos magnéticos O movimento dos elétrons, tanto orbital quanto spin, e o movimento spin do núcleo, originam um campo magnético. O momento magnético total num átomo é igual a soma vetorial de todos os momentos magnéticos individuais originados pelos movimentos dos elétrons e o núcleo.

11 Domínios Magnéticos Magnetismo atômico 2 elétrons ocupam o mesmo nível energético; Estes elétrons tem spins opostos; Subníveis internos não completos dão origem a um momento magnético não nulo.

12 Domínios Magnéticos Domínios magnéticos: Espaços de alinhamento unidirecional dos momentos magnéticos; Tem contornos identificáveis, similar aos grãos.

13 Curva de Magnetização O processo de magnetização se dá pela ação de dois fenômenos: Aumento do tamanho dos domínios, nos quais a orientação seja próxima ao da orientação do campo externo aplicado, às custas dos domínios cuja orientação seja diferente. Este é o processo do deslocamento das paredes de domínio. Rotação da orientação conjunta de todos os momentos de um domínio, no sentido da orientação do campo externo, processo chamado de rotação de domínio.

14 Curva de Magnetização Magnetização Inicial

15 Curva de Histerese

16 Histerese Fenômeno complexo de interesse de áreas científicas distintas: Física; Engenharia de Materiais; Engenharia Elétrica. De acordo com a natureza do problema têm-se duas situações: Histerese Escalar Histerese Vetorial

17 Histerese: Problemas Escalares Forma de onda do fluxo pulsante unidirecional. Os vetores campo e indução são colineares, não há defasagem espacial entre estas grandezas. Grande variedade de modelos escalares na literatura: Preisach, Jiles-Atherton, Play e Stop Histerons...

18 Histerese: Problemas Vetoriais Há o surgimento de um fluxo rotativo nas juntas em T de transformadores de tensão trifásicos, ou nas regiões próximas aos dentes das ranhuras das máquinas. Nestas regiões, as perdas no ferro são, em geral, maiores que a média das observadas nas demais partes do circuito magnético

19 Perdas Magnéticas Estudo de modelos de perdas de origem magnéticas As perdas influenciam no funcionamento da máquina; interessante para o projeto e análise. modelos de perda são relativamente complexos e onerosos em tempo de cálculo Cálculo das perdas a posteriori a partir das induções (com MEF) Vantagem: menos complexos e mais rápidos Desvantagem: o mecanismo de geração de perdas não influencia o comportamento da máquina Em ambos os casos são necessários procedimentos experimentais de caracterização do aço elétrico

20 Histórico e Formulação para Perdas Alternantes p = p + T H p F Histerese (p H ): associada ao deslocamento irreversível das paredes dos domínios sob a ação de um campo magnético 1,4 B [T] Magnetic domain rotation region B r 0,9 Initial magnetization curve 0,4-0,6 H [A/m] , Magnetic domain movement region Hysteresis loop H c Magnetic domain rotation region -1,1 α p H = C H B m f [ 3] W / m -1,6 α w H = C H B m [ 3] Joules / m

21 Lâmina de FeSi com grãos orientados Paredes de Bloch onde a imantação muda de sentido (a expessura para o FeSi é de cerca de 0.1µm) Domínios à 180 (a imantação de um domínio à outro rotaciona de 180 ) orientados aproximadamente paralelos ao sentido de laminação (cerca de 0.1 mm para o FeSi). Os domínios magnéticos foram apresentados por Pierre Weiss em sua tese de doutorado em 1907

22 Processos de imantação -Os deslocamentos das paredes dos domínios permitem aos domínios que estão orientados no sentido do campo H aplicado de crescer em volume às expensas dos outros. Estes deslocamentos são inicialmente reversíveis (H pequeno) e após irreversíveis quando as paredes atingem novas posições de equilíbrio. -As rotações da imantação no sentido do campo aplicado H. Este processo deve vencer as forças de anisotropia e exige valores elevados de H.

23 Domínios Transversais Domínios Longitudinais As paredes de Bloch desaparecem (tende-se a uma estrutura monodomínio) Imantação por rotação dos domínios Imantação por deslocamento das paredes

24 H é aplicado na mesma direção dos domínios magnéticos B µ H + µ M = H + = 0 0 µ 0 J S Curva de Primeira Imantação

25 Correntes de Foucault (p F ): calculadas analiticamente para uma placa infinita de condutividadeσ, espessura d como p 2 d 1 B e 12 T T t = σ Se for regime senoidal e B = B m sin( 2π ft ) ou 2 dt [ W / m 3 ] p B m σ d e = π 6 f 2 [ W / m 3 ] w B m σ d e = π 6 f [ Joules / m 3 ]

26 α [ 3] Joules / m Perdas por histerese w H = C H B m 2 σ d Perdas por correntes de Foucault w e = π B m f [ Joules / m ] 6 A perda por histerese independe da freqüência... Com o desenvolvimento dos equipamentos eletrônicos e com técnicas de medição de grandezas elétricas a partir das formas de onda reais, os ensaios para separação destas perdas passaram a ser realizados com freqüência variável: Um ensaio a freqüência baixa o suficiente para desconsiderar-se as percas por correntes de Foucault resultando w H medida Outro ensaio a freqüência industrial para obter-se a perda total w T Com isto passou-se a constatar que w T > w H + w e

27 Uma NOVA PARCELA de perdas, chamada perda excedente ou anômala, associada a correntes induzidas por excesso foi definida (Boglietti, 1985): p ex = σ GV 3 T db 0 S dt [ W / m T 0 dt ] G= coeficiente de atrito dos objetos cos n om n om Se for regime senoidal P ex = σ GV 0 S B m f [ W / m 3 ] η om = objetos magnéti w ex = σ GV 0 S B m f [ Joules / m 3 ]

28 Assim p + T = p H + p e p ex p 2 2 T α 1 σ d 1 T B 1 T B 3 = C H B m + dt + GV 0 S dt [ W / m T 12 T 0 σ t T 0 t 1.5 ] Definindo C ex C e = = 2 σ d 12 σ GV 0 S p 2 α T = C H B m T B 1 T B 3 + C e dt C dt [ W / m T T 0 + ex t T 0 t ] ou, para induções puramente senoidais α 2 p T = C H B m f + 2π C e B m f C ex B m f 1.5 [ W / m 3 ] / ] α 2 2 w T = C H B m + 2π C e B m f C ex B m 1.5 f 0.5 [ Joules m 3

29 α 2 2 w T = C H B m + 2π C e B m f C ex B m 1.5 f 0.5 [ Joules / m 3 ] wt=perdas / f Perdas excedentes / f Perdas Cor.Foucault / f Perdas por Histerese / f frequencia f Evolução da relação perdas/freqüência para os três tipos de perdas em função da freqüência (com indução magnética constante).

30 Perdas no ferro considerando o laço de histerese Equações utilizadas até o agora: α p H = C H B m p p 2 f [ 3] W / m d 1 B e 12 T T t = σ 2 dt [ W / m T 3 db dt ex = σ GV 0 S dt [ W / m T 0 Fórmula de Steinmetz 3 ] ] Outra possibilidade: representar efetivamente o laço de histerese através de modelos.

31 Histerese: Modelos Direto e Inverso Os modelos de histerese podem ser agrupados em: Modelos Diretos: Campo como variável independente Modelos Inversos: Indução como variável independente (Melhor adaptado para o MEF)

32 Modelo de JA: Modelo direto escalar Modelo de histerese baseado no balanço de energia magnética Energia suprida Energia perdida no ciclo de histerese w = w + w in mag hist Energia de magnetização Se não houver perda o modelo considera a magnetização seguindo a curva anisterética de Langevin

33 Modelo de Jiles-Atherton Preliminares B =µ 0 ( H + M ) Magnetização H e = H + α M Campo efetivo

34 Modelo de JA: Modelo direto escalar Equações do Modelo de Jiles-Atherton Magnetização Anisterética M an = M S coth H + α M a H a + α M ) Magnetização Reversível M rev = c ( M an ( H e ) M irr Taxa de Variação da Magnetização Irreversível dm irr M an ( H e ) M irr = dh kδ e Magnetização Total M = M irr + M rev

35 Modelo Escalar Original (H B) B[T] Mr χr Mm Hm χc dm = dm irr + dm rev 1 dm ) kδ dm = c ( dm irr ) [ ( M M ] + irr = an irr dh e rev an dm M an = M s coth a H e a H e χin Hc χc H[A/m] 1 δ an M ) + dh e ] cdm dm = [( M + k dm χ f an f f + ( f e) cdm an dm = dh + Modelo Escalar Inverso (B H) = k 1 δ 1 ( M k 1 δ an M ) db µ cdm [ ( M M )( α 1) ] an an χ χ dm χ 1 Parâmetros: c (Aplicação direta na experimentação e cálculo campos) = χ χ f f 1 χ f 1 1 χ χ f f db µ 0 χ f + ( + α cdm 1) an M s k a α

36 Cálculo da perda com o Modelo Escalar p = B B 0 0 H d B = H H db