UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE. Programa de Mestrado e Doutorado em Engenharia de Produção. Disciplina: Estatística Multivariada
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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Programa de Mestrado e Doutorado em Engenharia de Produção Disciplina: Estatística Multivariada Aula: Introdução a MVDA e Revisão Estatística Professor: Valdecy Pereira, D. Sc. / Elaine Araújo, D. Sc. valdecy.pereira@gmail.com / elaineadc13@gmail.com
2 Agenda 1. Introdução a MVDA 2. Softwares de Apoio 3. Introdução ao SPSS 4. Estatística Descritiva 5. Normalidade 6. Testes de Hipótese 7. Referências 2
3 Análise Estatística de Dados Univariada Bivariada Multivariada 3
4 Análise Estatística de Dados Univariada Bivariada Multivariada 4
5 Etapa 1 Definição do Problema Etapa 2 Seleção do Método de Análise Etapa 3 Coleta de Dados Etapa 4 Preparação dos Dados Etapa 5 Aplicação do Método Etapa 6 Análise dos Resultados 5
6 MVDA A Estatística Multivariada estuda o comportamento de três ou mais variáveis simultaneamente. As ferramentas multivariadas permitem: Encontrar a(s) variável(is) menos representativa(s) para poder eliminá-la(s), simplificando modelos estatísticos; Estudar a estrutura de dados por meio da correlação entre variáveis; Explorar a estrutura de dados por meio da sua similaridade. Testar a influência de variáveis independentes sobre variáveis dependentes;
7 MVDA - Softwares de Apoio
8 MVDA - Softwares de Apoio SPSS (Statistical Package for the Social Sciences) - Data View (Visualização de Dados)
9 10
10 MVDA - Softwares de Apoio SPSS (Statistical Package for the Social Sciences) - Data Editor (Visualização da Variável)
11 Nome: Nome da variável. Tipo: Numérico, Data, etc. Largura: Tamanho da variável nominal. Decimais: Número de casas decimais. Rótulo: Descrição da variável (Output). Valores: Níveis das variáveis categóricas. Ausente: Codificação dos dados faltantes. Colunas: Largura da coluna. Alinhar: Alinhamento da variável (Esquerda, Centro ou Direita). Medir: Tipo de escala (Métrica ou Não-Métrica). Função: Dados de entrada ou saída. 12
12
13 MVDA - Média Corresponde ao somatório de um conjunto de valores dividido pela quantidade destes valores. Média = x n n = número de valores A média nos dá uma idéia de onde os valores do meu conjunto de dados tende a se concentrar. 14
14 MVDA - Média É a mais popular das medidas de tendência central; A média de um conjunto de números pode ser sempre calculada; Para um dado conjunto de números a média é única; É sensível a todos os valores do conjunto. Assim se um valor se modifica, a média também se modifica; Somando-se ou reduzindo-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada ou reduzida dessa constante: µ(x ± k) = µ (x) ± k Multiplicando-se ou dividindo-se cada valor do conjunto por uma constante, a média ficará multiplicada ou reduzida por essa constante: µ( x k ) = µ (x) k 15
15 MVDA - Média Aparada Foi introduzida recentemente nos estudos estatísticos; Se obtém eliminando do conjunto de dados os m maiores e os m menores valores; Normalmente m correspondente: 2,5% a 5% dos valores observados; Na verdade o que se está fazendo é eliminando os valores extremos superiores e inferiores (valores discrepantes - outliers); 16
16 MVDA - Média Ponderada Cada elemento do conjunto pode ter importância diferente (peso). Neste caso o cálculo da média deve levar em conta os pesos desiguais de cada elemento. x p n i 1 n i 1 Exemplo : Um professor definiu que as provas mensais teriam peso de 30% e a prova final teria peso de 40% no cálculo dos rendimentos dos alunos. x i p p i i Exame Nota Peso P1 80 0,30 P2 90 0,30 P3 96 0,40 x p 0,3*80 + 0,3*90 + 0,4*96 0,3 + 0,3 + 0,4 = 89,4 17
17 MVDA - Mediana A Mediana de um conjunto de valores é o valor do meio desse conjunto, quando estes estão em ordem crescente. Divide um conjunto de dados ordenados em dois grupos iguais. Dado o conjunto de 11 dados: 3, 7, 5, 5, 1, 9, 15, 13, 17, 13, 17 Valor central = mediana 01, 03, 05, 05, 07, 9 11, 13, 13, 15, 17 Num conjunto de dados fortemente desviado, a mediana é uma medida mais representativa (distribuição de rendas, folha de pagamentos) 18
18 MVDA - Moda A Moda de um conjunto de valores é o valor que apresenta maior freqüência em um conjunto de observações. É o valor ou classe de maior freqüência num conjunto de dados. - pode não existir - pode não ser única Exemplo : Dado o conjunto de dados 10, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 18. A moda é constituída de dois valores: MO = 10 e
19 MVDA - Amplitude (Range) É expresso pela diferença entre o maior e o menor valor num grupo, ou pela identificação desses dois números. Números (1 ; 5 ; 7 ; 13) (14 ; 3 ; 17 ; 4 ; 8 ; 73 ; 36 ; 48) (3,2 ; 4,7 ; 5,6 ; 2,1 ; 1,9 ; 10,3) Amplitude 13 1 = = 70 10,3 1,9 = 8,4 20
20 MVDA - Variância & Desvio Padrão A Variância é o desvio padrão são as medidas de dispersão mais utilizadas. O desvio padrão é mais comumente usado porque se apresenta na mesma unidade da variável em análise. Assim, se a unidade da variável for mm, o desvio padrão também será mm. σ 2 = i=1 n x i n 1 σ = σ 2 x 2 21
21 MVDA - Variância & Desvio Padrão Exemplo: x i x x i x 2 σ 2 = i=1 n x i n 1 x 2 = 40 4 = 10 σ = σ 2 = 10 = 3,162
22 MVDA - Variância e Desvio Padrão x = 15,5 σ = 3, x = 15,5 σ = 0, x = 15,5 σ = 4,570 23
23 MVDA - Distribuição Normal Uma Distribuição Normal é inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes valores consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma Distribuição Normal. Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teorema do Limite Central que diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande".
24 MVDA - Distribuição Normal A área em amarelo está a menos de um desvio padrão (σ) da média. Em uma distribuição normal, isto representa cerca de 68% do conjunto, enquanto dois desvios padrões desde a média (laranja e amarelo) representam cerca de 95%, e três desvios padrões (amarelo, laranja e vermelho) cobrem cerca de 99.7%. Este fato é conhecido como regra empírica, ou a regra dos 3 sigmas % 95.45% 99.73%
25 MVDA - Distribuição Normal A obliquidade ou assimetria (Skewness) é uma medida da assimetria de uma determinada distribuição de frequência. É definida por: v n i 1 ( x i n 3 x) 3 Se v > 0, então a distribuição tem uma cauda direita (valores acima da média assimetria negativa) mais pesada Se v < 0, então a distribuição tem uma cauda esquerda (valores abaixo da média assimetria positiva) mais pesada Se v = 0, então a distribuição é aproximadamente simétrica. 26
26 MVDA - Distribuição Normal Média Assimetria + Assimetria - 27
27 MVDA - Distribuição Normal A curtose (Kurtosis) é uma medida de dispersão que caracteriza o pico ou achatamento da curva da função de distribuição de probabilidade. É normalmente definida como: n 4 ( xi x) i k 3 4 n Se k = 0, então tem o mesmo achatamento que a distribuição normal. Chama-se a estas funções de mesocúrticas. Se k > 0, então a distribuição em questão é mais alta (afunilada) e concentrada que a distribuição normal. Chama-se a estas funções de leptocúrticas. Se k < 0, então a função de distribuição é mais achatada que a distribuição normal. Chama-se a estas funções de platicúrticas. 28
28 MVDA - Distribuição Normal Leptocúrtica Mesocúrtica Platicúrtica 29
29 MVDA - Teste de Hipótese Uma Hipótese, em estatística é uma afirmação sobre alguma propriedade de uma população e um Teste de Hipótese é um método que aceita ou rejeita essa afirmação através de uma amostra dessa população, analisando resultados que podem surgir normalmente e resultados que são altamente improváveis. O Teste de Hipótese deve ser utilizado caso a relação entre as variáveis não seja óbvia em uma inspeção visual % 95.45% 99.73%
30 MVDA - Teste de Hipótese Hipótese Nula (H 0 ): É a afirmação que esta sendo testada. Hipótese Alternativa (H 1 ): É o que se acredita ser verdadeiro quando a hipótese nula é considerada falsa. Região Crítica: É a região onde se encontram os valores que causariam a rejeição da hipótese nula. Valor Crítico: É valor que inicia a região crítica. Intervalo de Confiança ( 1 α ; α = significância; 0 α 1 ): É um intervalo estimado de um parâmetro de interesse de uma população. Em vez de estimar o parâmetro por um único valor, é dado um intervalo de estimativas prováveis. 31
31 MVDA - Teste de Hipótese Valor Crítico Valor Crítico 68.26% 95.45% 99.73% Região Crítica Região Crítica 32
32 MVDA SPSS Estatística Descritiva 33
33 Data View (Visualização de Dados) 34
34 Data Editor (Visualização da Variável) 35
35 36
36 37
37 38
38 MVDA 39
39 Estatísticas descritivas N Intervalo Mínimo Máximo Soma Média Estatística Estatística Estatística Estatística Estatística Estatística Erro Padrão writing score ,00 31,00 67, ,00 52,7750,67024 N válido (de lista) 200 Desvio Padrão Variância Assimetria Curtose Estatística Estatística Estatística Erro Padrão Estatística Erro Padrão 9, ,844 -,482,172 -,750,342 40
40 N - Número de observações. N Válido - Número de observações consideradas para o cálculo. Intervalo - Amplitude da variável. Mínimo - Valor mínimo da variável. Máximo - Valor máximo da variável. Soma - Somatório de todos os valores da variável. Média - Média aritmética. σ Erro Padrão - Erro padrão da Média. É calculado como: Desvio Padrão - Desvio Padrão da variável. Variância - Variância da variável. Assimetria - Assimetria da variável. Erro Padrão - Erro padrão da Assimetria. É calculado como: Curtose - Curtose da variável. Erro Padrão - Erro Padrão da Curtose. É calculado como: N 6N(N 1) (N 2)(N 1)(N+3) 2 6N(N 1) (N 2)(N 1)(N + 3) N 2 1 (N 3)(N + 5) Dividindo-se Assimetria e Curtose pelos seus respectivos Erros Padrões, podemos achar os seus valores críticos. Se estiverem entre 2 e +2, pode ser que a distribuição seja simétrica e mesocúrtica. 41
41 MVDA SPSS Testes de Normalidade 42
42 43
43 44
44 45
45 MVDA- 46
46 Aqui dois testes para normalidade são executados. Para conjunto de dados menores do que 2000 observações, usamos o teste de Shapiro-Wilk (H0 A amostra provém de uma Distribuição Normal; Ha - A amostra não provém de uma Distribuição Normal), caso contrário, o teste de Kolmogorov-Smirnov (H0 A amostra provém de uma Distribuição Normal; Ha - A amostra não provém de uma Distribuição Normal) é usado. 47
47 Aqui dois testes para normalidade são executados. Para conjunto de dados menores do que 2000 observações, usamos o teste de Shapiro-Wilk (H0 A amostra provém de uma Distribuição Normal; Ha - A amostra não provém de uma Distribuição Normal), caso contrário, o teste de Kolmogorov-Smirnov (H0 A amostra provém de uma Distribuição Normal; Ha - A amostra não provém de uma Distribuição Normal) é usado. Uma vez que se tem apenas 200 observações, o teste de Shapiro- Wilk é usado. O p-valor é de 0, então rejeita-se a hipótese nula 48
48 Aqui dois testes para normalidade são executados. Para conjunto de dados menores do que 2000 observações, usamos o teste de Shapiro-Wilk (H0 A amostra provém de uma Distribuição Normal; Ha - A amostra não provém de uma Distribuição Normal), caso contrário, o teste de Kolmogorov-Smirnov (H0 A amostra provém de uma Distribuição Normal; Ha - A amostra não provém de uma Distribuição Normal) é usado. Uma vez que se tem apenas 200 observações, o teste de Shapiro- Wilk é usado. O p-valor é de 0, então rejeita-se a hipótese nula OBS: O teste Kolmogorov-Smirnov pode ser usado para testar qualquer tipo de distribuição. 49
49 MVDA 50
50 51
51 INPUT PROGRAM. LOOP #i=1 to 200. COMPUTE id=#i. COMPUTE x=rv.normal(0,1). END CASE. END LOOP. END FILE. END INPUT PROGRAM. EXECUTE. 52
52 Selecione tudo e pressione: EXECUTAR SELEÇÃO 53
53 Outras Distribuições: RV.NORMAL(Média, Desvio Padrão), UNIFORM(Mínimo, Máximo), RV.BERNOULLI(Probabilidade), RV.CHISQ(Graus de Liberdade), RV.F(Graus de Liberdade, Graus de Liberdade), RV.GEOM(Probabilidade), RV.POISSON(Média), RV.T(Graus de Liberdade), 54
54 MVDA - Regras Avaliação: A partir da Aula 03 Trabalho Semanal sobre o conteúdo apresentado na aula anterior, onde o aluno deverá entregar um relatório impresso e uma apresentação em Powerpoint (anexo) até às 14h15. Um dos alunos deverá apresentar a solução do problema, e os outros alunos deverão discutir os resultados obtidos. No final do semestre será aplicada uma prova. Pontuação: Trabalhos Semanais (TS) Organização e Formatação do Relatório (2 pontos), Redação (2 pontos) e Aplicação Coerente da Ferramenta (2 pontos), Participação das Discussões (4 pontos valendo apenas se o relatório for entregue no prazo). Apresentação em Powerpoint (AP) Ortografia (3 pontos), Apresentação (3 pontos), Conteúdo Relevante a Solução do Problema (4 pontos). Prova (PR) 10 pontos. Ponderação: Nota Final: 0.4 Média TS Média AP PR 55
55 Referências BRUNI, A. L. SPSS Aplicado à Pesquisa Acadêmica. ATLAS, CORRAR, L.J.; PAULO, E.; DIAS FILHO, J. M. Análise Multivariada para Cursos de Administração, Ciências Contábeis e Economia. ATLAS, FÁVERO, L. P.; BELFIORE, P.; SILVA, F. L.; CHAN, B. Análise de Dados: Modelagem Multivariada para Tomada de Decisões. CAMPUS, HAIR, J. F.; BLACK, W. C.; BABIN, B. J.; ANDERSON, R. E.; TATHAM, R. L. Análise Multivariada de Dados. BOOKMAN, LATTIN, J.; CARROLL, J. D.; GREEN, P. E. Análise de Dados Multivariados. CENGAGE Learning, LEVINE, D. M.; STEPHAN, D. F.; KREHBIEL, T. C.; BERENSON, M. L. Estatística - Teoria e Aplicações - Usando Microsoft Excel. LTC, 2012.
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