O que é o pentagrama?

Transcrição

1 1 O que é o pentagrama? Um amuleto místico! Dois mil anos depois dos pitagóricos, o astrónomo e matemático alemão Johann Kepler ( ) escrevia liricamente: A Geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de joia preciosa. A joia preciosa a que Kepler se referia podia muito bem ser o pentagrama ou estrela de cinco pontas, representado na imagem anterior. De facto, é muito frequente encontrarmos pessoas com o amuleto da figura, tanto em pulseiras como pendentes em colares. Trata-se, sem dúvida, de um belo objeto que, talvez por isso, fica sempre bem. Mas o curioso é que a maioria das pessoas não sabe o que esta estrela representa, nem conhece parte da sua história. Curiosamente, o pentagrama pode ser desenhado sem levantar o lápis do papel, bastando para tal traçar todas as diagonais de um pentágono regular. Difícil é construir o pentágono, como veremos adiante. Desde a sua descoberta, o pentagrama foi e ainda é um símbolo mágico, sendo talvez um dos símbolos que tenha assumido mais interpretações, algumas das quais bastante esotéricas. No Egito era o símbolo do útero da terra. Segundo algumas tradições ocultas posteriores simbolizava a união do masculino com o feminino (o andrógino). Para os hebreus era o símbolo da verdade, em menção do Pentateuco (os cinco primeiros livros do Antigo Testamento). Para os agnósticos representava a Estrela Ardente, um símbolo relacionado com a magia e com os mistérios do céu noturno. Os primeiros cristãos associavamno às cinco chagas de Cristo. Para os Druídas era o símbolo do divino. O pentagrama dentro de um círculo (imagem anterior) é o símbolo da religião Wicca. Tal como a cruz está para o cristianismo e o hexagrama está para o judaísmo, o pentagrama identifica os wiccanos. Aparece no renascimento associado à chamada geometria sagrada ou hermética e é ainda hoje muito usado como símbolo da figura humana. Quando o pentagrama se inverte, de modo a apresentar uma ponta para baixo, recebe o nome cabalístico de pentáculo e é frequentemente utilizado para representar o Diabo. No átrio da sede do edifício da Fundação Calouste Gulbenkian, em Lisboa, encontra-se o magnífico painel Começar de

2 2 Almada Negreiros ( ), gravado em calcário polido, onde surgem vários símbolos geométricos, entre eles um pentagrama. No romance O Código Da Vinci de Dan Brown, o professor de simbologia de Harvard (Robert Langdon) aventura-se em várias explicações matemáticas, passando pelo pentagrama descrito pelo planeta Vénus, pelo pentáculo e pelo número de ouro. Agora olhe à sua volta. Vê algum pentagrama? Provavelmente não, mas eu mostro-lhe alguns. Só na bandeira da União Europeia encontra doze. Aliás, aparece nas bandeiras de mais de sessenta países. Ao longo do tempo estas estrelas tornaram-se símbolos de excelência (por exemplo: hotéis e filmes), de êxito (alcançar o estrelato) e de autoridade (general de quatro estrelas). Identifica os favoritos da sua home page de Internet. Há também vários logotipos comerciais com padrões com estas estrelas. Não se lembra dos famosos ténis da estrela? E o que representa o pentagrama para os matemáticos? Eis a questão que nos intriga. Para os matemáticos o pentagrama é mais um símbolo do poder do conhecimento, da imaginação e do raciocínio. O pentagrama foi o símbolo especial da escola pitagórica. De facto, o símbolo é bem mais antigo do que Pitágoras, que tê-lo-á trazido do seu périplo pela Babilónia, onde a estrela tinha já um valor místico. Comecemos por outra obra dos pitagóricos a construção do pentágono regular. Recordemos que as ferramentas dos antigos gregos eram a régua não graduada e o compasso. Vamos efetuar a construção do pentágono regular recorrendo exclusivamente a estes dois instrumentos, isto é, recorrendo apenas ao traçado de retas e circunferências. Para tal, partimos apenas de dois pontos e usamos como novos pontos aqueles que resultam da interseção de duas retas, de duas circunferências ou de uma reta e uma circunferência. É claro que tendo dois pontos podemos sempre traçar a reta (ou o segmento) que passa por esses pontos, assim como a circunferência com centro num dos pontos e que passa pelo outro. Na figura seguinte, A e B são os pontos iniciais e todos os outros pontos são obtidos através das regras que acabamos de definir. As linhas auxiliares da construção (retas e circunferências) estão a tracejado. Sugiro que acompanhe esta construção usando um programa de geometria dinâmica. 1. Traça-se a circunferência de centro A e que passa por B, que identificamos por A B ; 2. Constrói-se a reta AB e a perpendicular a AB pelo ponto A. Estas retas intersetam A B noutros pontos que designamos por C, D e E; 3. Constrói-se o ponto médio, F, do segmento AE; 4. Com centro em F traça-se o arco BG (ou a circunferência F B ), sendo G o ponto de AC tal que A G C;

3 3 5. Constrói-se o ponto médio, H, do segmento AG; 6. Traça-se uma paralela à reta AB pelo ponto H. Esta paralela interseta A B nos pontos I e J (que são dois vértices do pentagrama); 7. Constroem-se as circunferências I C e J C que intersetam A B em dois novos pontos, L e K, diferentes de C; 8. Finalmente, constrói-se o polígono CJKLI que é o pentágono regular pretendido (e tem centro no ponto A). Efetuada a construção do pentágono pode, se preferir, esconder todas as linhas auxiliares. J C I C A B C G D J H A I B F K E L Suponha agora, caro leiror, que já tem o pentagrama construído 1. Experimente traçar todas as diagonais desse pentágono sem levantar o lápis do papel. Conseguiu? Que figura obteve? Cá está ele (figuras seguintes), o nosso pentagrama ou estrela de cinco pontas. Porém, invertido dentro das linhas da estrela, encontra-se um novo pentágono. Dentro das diagonais do pentágono... surge o pentagrama 1 Se o leitor não quiser (ou não conseguir) construir o pentagrama tal como acabei de expor pode recorrer à ferramenta Polígono Regular do GeoGebra. Esta ferramenta permite construir qualquer polígono regular. No entanto, nem todos os polígonos regulares são construtíveis com régua e compasso, seguindo um processo idêntico ao apresentado para o pentágono regular.

4 4 Traçando as diagonais desse pentágono interior, criamos uma nova estrela pequena e invertida, que é exatamente a mesma, em proporção, que a estrela original. Esta estrela, por sua vez, contém um pentágono ainda mais pequeno, que contém uma estrela mais pequena no seu pequeníssimo pentágono. E, continuando, o resultado é sempre uma estrela de cinco pontas semelhante. Pensa-se que o interesse pitagórico no pentagrama (e na razão de ouro) começou aqui, precisamente neste conjunto infinito de pentágonos e pentagramas que se encaixam uns nos outros. Fazendo o mesmo a partir de duas pontas da estrela vemos também aparecer uma sequência de pentagramas cada vez mais pequenos até desaparecerem. O pentagrama constitui um vislumbre do infinito! Contudo, a propriedade mais importante do pentagrama não está na sua autossemelhança. Encontra-se escondida nas linhas da estrela. Se unirmos uma ponta da estrela com as duas pontas opostas ficamos com um triângulo isósceles (figura seguinte). Esse triângulo tem dois ângulos de 72 o e o menor de 36 o, isto é, metade de cada um dos outros. Estamos perante o triângulo de ouro (lembra-se?). Já vimos que a razão entre o lado maior (figura da direita), representado por a, e o menor (b) de um triângulo dourado é um número irracional chamado número de ouro. Essa razão aparece também entre a distância que liga duas pontas consecutivas da estrela (b) e o comprimento de uma haste (c), ou entre o comprimento de uma haste (c) e a medida da sua base (d). Como vimos com o triângulo dourado, também das proporções do pentagrama resulta a b = b c = c d =... = φ = 1, o a c d 72 o 72 o b Do pentagrama ao triângulo de ouro... e ao número de ouro

5 5 Quando os pitagóricos descobriram que as proporções do pentagrama eram a secção áurea (hoje chamado número de ouro), tornaram este símbolo estrelado como o símbolo da sua escola. Porém, uma das mais controversas questões da escola pitagórica está relacionada com o pentagrama. Os pitagóricos não conseguiam exprimir a razão entre a diagonal do pentágono e o lado desse pentágono como quociente entre dois números inteiros. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito atormentados, pois isto era contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam (tudo era mensurável através dos números inteiros ou das suas razões) que lhe chamaram incomensurável (que atualmente, chamamos irracional). Hoje podemos não ter a certeza se os pitagóricos observaram ou não esse processo infinito, ou se dele tiraram conclusões significativas. Até mesmo a questão fundamental de saber se os pitagóricos de cerca de 500 ac sabiam dividir um segmento em média e extrema razão (secção de ouro) não pode ser respondida com segurança, embora pareça muito provável que sim. Mas uma coisa é certa, a irracionalidade que tanto atormentou a escola pitagórica esteve sempre pendurada na sua porta de entrada. Afinal, sem querer, foram os pitagóricos que descobriram os números irracionais. Algumas fontes bibliográficas BOYER Carl B., História da matemática, São Paulo, Editora Edgard Blucher, CRATO Nuno, et al, A espiral dourada, Lisboa, Gradiva, LIVIO Mário, O número de ouro, Lisboa, Gradiva, 2012.