DIVISÃO ÁUREA 1- INTRODUÇÃO

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1 DIVISÃO ÁUREA 1- INTRODUÇÃO A Razão Áurea tem sido motivo de estudo desde os mais remotos tempos. Ela representa, segundo os estudiosos, a mais agradável proporção entre dois segmentos ou duas medidas. Há muito identificou-se essa proporção como sendo equivalente a 1,618:1, e convencionou-se identificá-la por Phi. Este trabalho pretende discorrer sobre Divisão Áurea, também conhecida como Segmento Áureo ou Extrema Razão, dando especial atenção ao número Phi, às suas aplicações na natureza e às suas representações algébricas e geométricas. 2- DESENVOLVIMENTO É sabido que na Grécia antiga se acreditava que todo o mundo e todo o cosmo era composto de apenas quatro elementos: ar, água, terra e fogo. Os Pitagóricos (uma sociedade secreta cujos membros se dedicavam ao estudo da Matemática e da Filosofia) conheciam a existência de quatro sólidos geométricos perfeitos -tetraedro, hexaedro, octaedro e icosaedro-, aos quais associavam, segundo eles, cada um dos elementos componentes da Natureza. Sabemos também que o homem sempre teve necessidade de estar ligado a crenças divinas e de buscar as origens do Universo, tentando encontrar aí suas próprias raízes. Para tanto ele sempre procurou ordenar tudo que lhe rodeia. O homem sempre busca encontrar um ser supremo, que possa representar a perfeição na desordem em que vive. Quando os Pitagóricos descobriram o quinto e último sólido geométrico perfeito deviam associá-lo a algum outro elemento do universo. Seguindo suas crenças, nada melhor do que associá-lo com os Deuses, já que não havia mais elementos tangíveis com os quais pudessem estabelecer as suas relações. Este último sólido descoberto foi o Dodecaedro, a quem Platão chamou de "o mais nobre corpo entre todos os outros". Entre os cinco sólidos geométricos conhecidos o dodecaedro e o icosaedro são aqueles que apresentam mais relações com o número Phi. A escolha do dodecaedro para representar a ligação com os Deuses parece ter se dado por razões filosóficas (que transcendem o objetivo deste trabalho) e por uma razão matemática simples: enquanto este é constituído de pentágonos perfeitos, que

2 se relacionam fortemente com Phi, aquele é composto de triângulos equiláteros, que não possuem relação direta com o número Phi. 3- O NÚMERO Phi Chamamos Phi ao número 1,618..., encontrado matematicamente através de deduções algébricas ou geométricas. O número Phi pode ser representado pelas duas séries a seguir. ou 4- REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA DE Phi. Para que possamos chegar, algébricamente, ao valor de Phi, precisamos partir do segmento a seguir. Pelo estudo das proporções podemos estabelecer que: que pode ser escrito como substituindo temos

3 Essa equação apresenta duas raízes reais, que são 5- REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE Phi Existem várias representações geométricas para que possamos chegar ao número Phi. Apresentaremos, a seguir, algumas delas 1. Um segmento Áureo. I. Num segmento AB, de medida "a", traça-se, por B, uma perpendicular III. de medida, definindo o ponto C II. Ligando os pontos C e A tem-se um triângulo retângulo Com a ponta seca do compasso em C e abertura BC marca-se um ponto D no segmento AC IV. O segmento AD é Áureo de AB (AB = AD.1,618) 02- Outra construção para o Segmento de Ouro I. constrói-se uma reta perpendicular a AB, passando por A. II. com o auxílio de um compasso - ponta seca em A - determinamos um ponto X na perpendicular construída III. determinamos o ponto Z, médio entre A e X IV. constrói-se o segmento ZB V. com a ponta seca do compasso em Z e abertura ZB marca-se, sobre a reta AZ o ponto Y VI. com a ponta seca do compasso em A e abertura AY marca-se, sobre a reta AB, o ponto C. O ponto C determina o ponto de razão áurea do segmento AB. 03. O retângulo de Ouro Para construirmos um retângulo que apresente entre seus lados a razão de

4 ouro procedemos da seguinte forma: II. I. constrói-se um quadrado ABCD divide-se esse quadrado ao meio, obtendo os retângulos ABEF e CDEF III- constrói-se uma diagonal CF no retângulo CDEF IV- prolonga-se a base do quadrado e, com a ponta seca do compasso no ponto F e a outra ponta em C constrói-se um arco até a reta suporte da base do quadrado, criando assim o ponto G V- pelo ponto G levanta-se uma reta perpendicular à base, que será o lado do retângulo de ouro. O retângulo construído - retângulo dourado - possui os seus lados na razão áurea, ou seja,. 6- A ESPIRAL LOGARÍTMICA Para construirmos uma espiral logarítmica podemos utilizar um retângulo dourado que, ao ser dividido por um segmento igual ao seu lado menor, nos fornece um novo retângulo dourado. O processo é o seguinte: I. constrói-se um retângulo dourado ABCD, como vimos na construção anterior ("O retângulo dourado") II. neste retângulo marcamos, sobre BC um ponto F, de medida AB e traçamos uma perpendicular a BC pelo ponto F III. o retângulo DCEF também é um retângulo dourado, que dará origem ao retângulo EDGH IV. repete-se o processo acima tantas vezes quantas acha-se conveniente V. com a ponta seca do compasso em E a abertura AE traça-se o arco AF e repete-se o processo para nos demais quadrados obtidos. A espiral conseguida é uma espiral logarítmica. 7- APLICAÇÕES DO NÚMERO Phi O número Phi aparece com uma constância notável na Natureza. Podemos encontrá-lo na forma de crescimento das plantas e dos demais seres vivos, nos chifres dos cordeiros selvagens, nas presas dos elefantes, na distribuição das sementes das plantas, nos caracóis, nas coníferas, nas escamas de peixes e em tantos outros locais, os quais estejamos dispostos a enumerar ou mesmo a encontrar. O homem também se apropriou de Phi para realizar inúmeras obras e monumentos. Desde as mais remotas épocas, até os dias atuais, temos construído com a ajuda de Phi, por ser ele o número que expressa, segundo

5 nossos conceitos de beleza, a mais perfeita relação de harmonia já conseguida pelas mãos humanas. A seguir temos uma imagem do Parthenom, construção grega que resistiu parcialmente ao tempo e onde são notadas inúmeras presenças da razão áurea. Na sua planta baixa podemos notar a presença da razão áurea também nas distâncias entre colunas e nos seus ambientes internos. Leonardo da Vinci usou Phi para pintar a Mona Lisa, uma de suas mais notáveis obras. Em vários pontos da obra, tais como nas relações entre seu tronco e cabeça, ou entre os elementos do rosto aparece a razão áurea.

6 As pirâmides do Egito também foram construídas com o auxílio de Phi. A razão aparece, por exemplo, na proporção entre altura e lados e nas câmaras internas. Na Matemática suas aplicações são inumeráveis. Podemos citar, além daquelas já arroladas, o pentagrama e o decágono regular.

7 Pentagrama: No primeiro pentagrama observamos que o triângulo azul tem seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo vermelho tem sua base em relação dourada com os lados. O pentagrama é uma das construções geométricas que mais fascinou os estudiosos em todos os tempos. Há uma inumerável quantidade de relações douradas dentro do pentagrama. Leonardo da Vinci também utilizou-o para realizar um dos seus mais famosos estudos. Decágono: Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em relação

8 dourada com o raio da circunferência. 8- CONCLUSÃO Observamos a importância da Razão Áurea no desenvolvimento da humanidade. Seja nas construções, nas observações da Natureza ou na procura pelo perfeição e pelo belo o número Phi está sempre presente. Ainda hoje ele se faz presente nos estudos e desenvolvimentos de novos produtos, que comumente seguem a Razão Áurea para que sejam visualmente atrativos. Torna-se difícil, no entanto, separar a eterna procura por relações com as divindades, iniciada pelos gregos, com relações matemáticas concretas. Em muitas situações ficamos se m uma resposta clara para perguntas sobre o surgimento da relação áurea em alguns elementos. Ela aparece por ser realmente importante ou é apenas uma coincidência forçada pelo homem? É certo que precisamos analisar e estudar Phi com muita profundidade, pois um valor que nos acompanha com tanta constância, desde nossos primórdios, tem sua importância e relevância. Também é certo que precisamos tomar um cuidado redobrado para que não encontremos relações onde elas não existam, ou mesmo onde hajam outras relações, inclusive matemáticas, de maior importância e que estejamos, eventualmente, posicionando num segundo plano. A incontestável presença da razão áurea em nossa vida, mesmo que não nos demos conta dela, já a coloca como motivo de pesquisa. Quando ela se liga a estes questionamentos e incertezas torna- se ainda mais importante, enigmática e fascinante. Bom seria se houvesse novas possibilidades para estudos e discussões sobre tão rico assunto. 9- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática, tradução: Elza Gomide. São Paulo. Edgard Blucher, HERLING, André & YAGIMA, Eiji. Desenho, 8 a Série. São Paulo. IBEP. PUTNOKI, José Carlos. Geometria e Desenho Geométrico, 4. São Paulo. Scipione, PINTO, Nilda Helena S. Corrêa. Desenho Geométrico, 4. São Paulo. Moderna, URL: URL: URL: