EXPLORANDO CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS POR MEIO DE ATIVIDADES DE ENSINO COM O MATERIAL DOURADO RESUMO

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1 EXPLORANDO CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS POR MEIO DE ATIVIDADES DE ENSINO COM O MATERIAL DOURADO Mario Oliveira Thomaz Neto Universidade do Estado do Pará UEPA mthomazneto@uol.com.br Shyrleny Suely Abreu Cota Discente do Curso de Especialização em Matemática - UFPA shyrlenyabreu@yahoo.com.br RESUMO O uso de material concreto no ensino da Matemática é uma metodologia que pode possibilitar uma abordagem mais dinâmica desse campo do saber, pois permite aos alunos, a descoberta de relações por meio de ações, percepções e abstrações a partir das manipulações realizadas. Este trabalho é voltado para o ensino e aprendizagem da Matemática através do material dourado e tem como objetivo apresentar atividades de ensino para o nível fundamental. As atividades sugeridas permitem o ato de observar, pensar e expressar conclusões sobre as ações realizadas, além de explorar conhecimentos matemáticos. O registro escrito do que foi observado e discutido é fundamental para o aluno se familiarizar com a simbologia matemática. Palavras-chave: Material dourado; Atividades de Ensino; Matemática. Introdução A Matemática ensinada na maioria das escolas ocorre por meio de uma abordagem mecânica em que o professor, em geral, não prioriza uma ação significativa ao apresentar esses conhecimentos aos alunos. Estes por sua vez, em conseqüência de uma ação estática e não dinâmica frente às aulas de Matemática, acabam tendo a postura de decorar e aplicar os conhecimentos matemáticos de maneira mecânica, com o único objetivo de busca de aprovação. Esta prática tem sido alvo de críticas, sobretudo pelo baixo desempenho apresentado pelos alunos.

2 2 As dificuldades apresentadas por alunos em relação a compreensão do conhecimento matemático, exige dos professores e pesquisadores interessados pela melhoria do ensino da Matemática, opções e ações (MICOTTI, 1999) que realmente contribuam para a superação dos baixos índices de desempenho, bem como, para que este saber não se torne privilégio de alguns poucos (CARVALHO, 1994). Embora no discurso, a função da Escola pareça clara, um contingente expressivo de professores, na prática, ainda concebe o ato de ensinar como uma mera transmissão de conhecimentos, onde aquele que mais sabe informa ao que menos sabe. Freire (1998) contrapõe-se a esta postura quando considera que o ato de ensinar não é apenas um ato em que se deve visar a transmissão de conhecimentos. Na concepção desse autor, ensinar não é transferir conhecimentos, mas criar as possibilidades para a sua produção ou a sua construção (FREIRE, 1998, p. 25), e isso tem sido algo pouco encontrado nas aulas de Matemática. Há necessidade de mudanças na maneira como vem sendo ensinada a Matemática. Neste sentido, o papel do professor deve ser o de proporcionar ações que possam realmente contribuir para que os alunos vivenciem a manipulação e investigação através de atividades com material concreto. O uso de materiais concretos no ensino de Matemática é uma metodologia que já vem sendo empregada em sala de aula há bastante tempo, principalmente, no ensino fundamental com o intuito de propiciar aos alunos autonomia na construção dos conhecimentos matemáticos (ALMEIDA e MEDEIROS, 2001; FLORIANI, 2000). A manipulação de materiais concretos deve possibilitar momentos de descoberta de relações por meio de ações, percepções e abstrações. A (re)descoberta de conhecimentos matemáticos subjacentes a estrutura de cada material, conduz o aluno a formular explicações e conclusões. Dessa forma, o aluno deixa de ser um mero espectador, respondendo, quando muito, apenas sim ou não aos questionamentos do professor, e torna-se um agente ativo na construção de seu conhecimento (CARVALHO, 1991; HILDEBRAND e ZARO, 1990; MENDES e FOSSA, 1998). Entretanto, para que isto ocorra é necessário que os materiais concretos não sejam usados, pelo professor, como ilustração ou como peça motivadora

3 3 ocasional para mostrar algum conceito (CARVALHO, 1991; MENDES e FOSSA, 1998), mas através de atividades de investigação dinâmicas que proporcionem descobertas e, tornem o estudo da Matemática mais eficaz e atraente. Explorando conhecimentos matemáticos a partir de atividades de ensino com o material dourado O material dourado consiste em peças de madeira de formas geométricas definidas e com dimensões distintas. Cubo Placa Barra Cubo É importante destacar as relações de composição e equivalência existente entre as peças do material apresentado. O cubo de dimensão (1x1x1) é a menor unidade padrão do material e a partir desta pode-se compor as demais peças, como: uma barra de dimensões de 10x1x1 é composta por 10 unidades padrões; uma placa de dimensão 10x10x1 é composta por 100 unidades padrões o que equivale a 10 barras; o cubo de dimensões 10x10x10 é composto por 1000 unidades padrões o que equivale a 100 barras ou a 10 placas. Embora o material possua dimensão tridimensional será considerado, nestas atividades, apenas a face das figuras. Os alunos devem ser orientados a manipularem o material dourado para se familiarizar com suas peças. Após essa etapa o material deve ser utilizado pelo professor como um recurso problematizador onde as soluções para as situações apresentadas oportunizarão ao estudante traduzir, generalizar, resolver, simplificar, relacionar e manipular grandezas conhecidas e desconhecidas. As atividades de ensino apresentadas a seguir devem oportunizar aos alunos o ato de observar, pensar e expressar suas conclusões, além de explorar conhecimentos matemáticos abordados em nível fundamental a partir da

4 4 manipulação desse material concreto. Atividade 1 5ª série Objetivo: Determinar o M.D.C. (Máximo Divisor Comum) Materiais: Material Dourado (placa, barra e cubinhos), papel quadriculado, lápis e borracha. Procedimentos: O professor deverá Dividir os alunos em duplas e distribuir os materiais; Solicitar que construam dois retângulos diferentes (ressaltando que todo quadrado é um retângulo) e desenhem no papel quadriculado (a representação de uma face da figura), denominando-os de R e R 1 2, respectivamente; R 1 R 2 Sugerir que verifiquem se é possível decompor os retângulos construídos (R e R 1 2) em retângulos menores contendo somente as situações descritas a) Situação 1: um cubinho R 1 R 2 b) Situação 2: dois cubinhos R 1 R 2 c) Situação 3: três cubinhos R 1 Foi possível decompor em três retângulos, mas um deles não atende a condição (ter três cubinhos) d) Situação 4: quatro cubinhos R 1 R 2 Foi possível decompor em 2 retângulos R 2 Foi possível decompor em 2 retângulos Foi possível decompor em dois retângulos, mas um deles não atende a condição (ter quatro cubinhos)

5 5 Pedir que anotem no papel quadriculado, abaixo dos respectivos desenhos, os casos em que foi possível realizar o procedimento anterior (situações 1, 2, 3, 4). Para isso, deverá utilizar a notação D (R)= {... } que corresponde, respectivamente, aos possíveis divisores dos retângulos R 1 R 2 Como foi possível decompor R1 em retângulos de 1, 2 e 4 cubinhos, temos : Como foi possível decompor R2 em retângulos de 1, 2 e 3 cubinhos, temos : D(R 1 ) = {1,2,4} D(R 2 ) = {1, 2, 3} Propor os seguintes questionamentos: 1- Quantos cubinhos ao todo possui R? E R2? 1 Representem por meio de um diagrama D(R ) D(R ) O que representa D(R ) e D(R )? E D(R ) D(R )? Dentre os valores de D(R ) D(R ) qual o maior divisor comum? 1 2 Atividade 2 6ª série Objetivo: Compreender razão entre dois números Materiais: Material Dourado (cubinhos), papel quadriculado, lápis e borracha. Procedimentos: O professor deverá Dividir os alunos em duplas e entregar-lhes: 50 cubinhos, papel quadriculado, lápis e borracha. Solicitar que construam dois quadrados de tamanhos diferentes um menor e o outro maior, denominando-os respectivamente por A e B de preferência múltiplos entre si, representando apenas a sua face superior no papel quadriculado; A B Pedir que determinem as medidas dos lados e da área dos quadrados (levando em consideração a quantidade de cubinhos que o formam).

6 6 Apresentar os seguintes questionamentos: 1) Quantas vezes o quadrado B é maior que A? E o lado do quadrado B em relação ao lado do quadrado A? 2) Como chegaram a esses valores? Então, denominando a área e o lado dos quadrados A e B por S a e L A e S b e Lb, respectivamente, escrevam, na folha de papel quadriculado, a relação existente entre as áreas e os lados. Prosseguir definindo as relações encontradas como quociente ou razão entre dois números inteiros, e mostrar que muitos conceitos importantes são obtidos a partir de razões (densidade demográfica, densidade de um corpo, entre outros). Atividade 3 7ª série Objetivo: Compreender produtos notáveis - quadrado da soma de dois termos. Materiais: Material Dourado (cubinhos, placas e barras), papel quadriculado, lápis, borracha e cartolina. Procedimentos: O Professor deverá: Dividir os alunos em duplas e distribuir os materiais; Sugerir as duplas que construam, usando apenas os cubinhos, um quadrado com dois cubinhos de lado e dois retângulos com a mesma altura do quadrado e um cubinho de base; Pedir que formem um quadrado com as peças anteriores e mais um cubinho, entretanto sem juntá-las completamente, apenas aproximando-as para preservar as áreas das figuras que irão formar o quadrado; Pedir que desenhem no papel quadriculado e calculem a área do quadrado construído, as áreas das figuras que o formam e a soma dessas áreas, anotando-as, posteriormente, abaixo do desenho;

7 7 Propor agora que construam outro quadrado utilizando a placa, duas barras e um cubinho e, em seguida, repitam o procedimento; Entregar as duplas, já confeccionados em cartolina, dois quadrados de dimensões distintas e dois retângulos iguais de modo que se possa formar um quadrado com as peças; dizer que o lado do quadrado maior é a e a altura dos dois retângulos é, por exemplo, 2. 2 a 2 A partir disto, formem um quadrado utilizando todas as figuras. Depois calculem a área do quadrado construído, a área de cada figura e a soma dessas áreas; Repetir o procedimento anterior, porém agora considerando a altura do retângulo como sendo b ; Propor o seguinte questionamento: Qual a relação existente entre a área do quadrado maior e a soma das áreas que o formam nas 3 situações? Atividade 4-8ª série Objetivo: Estabelecer uma relação entre os lados do triângulo retângulo. Identificar o teorema de Pitágoras. Materiais: Material Dourado (cubinhos, placa e barra), cartolina, papel A 4, lápis e borracha. Procedimentos: O Professor deverá:

8 8 Dividir os alunos em duplas e distribuir os materiais sendo 3 triângulos retângulos distintos (dados um de cada vez), confeccionados por ele (professor) conforme as medidas do Material Dourado, uma folha de papel A, um lápis, uma borracha, cubinhos, barras e placas do Material Dourado. 4 Sugerir que os alunos usando o Material Dourado construam quadrados sobre os lados do primeiro triângulo dado. Para isso, devem denominar o maior lado de 1 e os outros por dois e três, registrando a situação no papel A 4, sendo que os quadrados deverão ser desenhados apenas a face superior.(fig. 1) Figura 1 Representação no papel quadriculado Solicitar que calculem as medidas dos lados do triângulo, levando em consideração a quantidade de cubinhos que se relaciona com o lado do quadrado construído com o Material Dourado. Essas medidas devem ser anotadas no lado correspondente do triângulo. Propor que realizem os procedimentos anteriores para os outros 2 triângulos. Após isso, apresentar o quadro abaixo e solicitar seu preenchimento. Representaç ão figurativa dos triângulos. 5 3 Área do quadrado referente ao maior lado. Área do quadrado referente ao lado 2. Área do quadrado referente ao lado 3. Soma das áreas referentes ao lado 2 e 3. Sentença matemática que estabelece a relação =

9 9 Solicitar que os alunos em duplas desenhem no papel A 4 um triângulo retângulo de dimensões qualquer, nomeando o maior lado por a e os outros, respectivamente, por b e c. Sabendo que cada lado do triângulo corresponde a um dos lados do quadrado, preencha a última linha do quadro. Informar que a sentença matemática encontrada na última coluna da ultima linha a 2 = b 2 + c 2 é valida para qualquer triângulo retângulo e é conhecida como teorema de Pitágoras, onde o maior lado a é denominado de hipotenusa e os outros b e c de catetos. Considerações Educacionais Proporcionar um ambiente de manipulação e investigação no ensino de Matemática é possibilitar ao aluno a experimentação de hipóteses, a liberdade de expressão, o desenvolvimento da criatividade e a resolução de situaçõesproblema, enfim, produzir conhecimentos. Para conseguir criar um ambiente de investigação, o professor deverá conduzir os alunos a observações sistemáticas que os auxiliem na tradução, generalização e resolução das situações-problema vivenciadas. A relação entre professor-aluno e aluno-aluno durante o processo ensino e aprendizagem das atividades que mobilizam conhecimentos matemáticos deve estar baseada no diálogo sobre as observações, pensamentos e conclusões, elaboradas durante a manipulação do material concreto. É importante ressaltar que ao utilizar as atividades com material concreto proposto a ênfase deve estar centrada na idéia Matemática e não no material dourado. Estas atividades permitem, ainda, explorar o desenvolvimento das estruturas cognitivas dos alunos por meio da passagem do concreto para o abstrato.

10 10 Referência Bibliográfica ALMEIDA, Iolanda Andrade Campos e MEDEIROS, Cleide Farias. A geometria do origami: um estudo da geometria das dobraduras (origami) com foco no relacionamento entre formas e fórmula. In: MEDEIROS, Alexandre e MEDEIROS, Cleide Farias de. O concreto-abstrato na educação em física e em matemática. Recife: UFRPE, 2001, p CARVALHO, Dione Lucchesi. Metodologia do Ensino da Matemática. São Paulo: Cortez, FLORIANI, José Valdir. Professor e Pesquisador: exemplificação apoiada na Matemática. 2. ed. Blumenau: FURB, FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 7 ed. São Paulo: Paz e Terra, HILDEBRAND, Vicent; ZARO, Milton. Matemática Experimental. São Paulo: Ática, MENDES, I. A.; FOSSA, J. A. Tendências atuais na educação matemática: experiências e perspectivas. Anais do XIII Encontro de Pesquisa Educacional do Nordeste. Natal: UFRN, 1998, p MICOTI, M. C. O. O ensino e as propostas pedagógicas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999, p