UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA CLEBER DE OLIVEIRA DOS SANTOS

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1 UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA CLEBER DE OLIVEIRA DOS SANTOS O MOVIMENTO CONCEITUAL DE FRAÇÃO A PARTIR DOS FUNDAMENTOS DA LÓGICA DIALÉTICA PARA O MODO DE ORGANIZAÇÃO DO ENSINO Tubarão 2017

2 CLEBER DE OLIVEIRA DOS SANTOS O MOVIMENTO CONCEITUAL DE FRAÇÃO A PARTIR DOS FUNDAMENTOS DA LÓGICA DIALÉTICA PARA O MODO DE ORGANIZAÇÃO DO ENSINO Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Educação da Universidade do Sul de Santa Catarina como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Educação. Orientadora: Profª. Drª. Josélia Euzébio da Rosa. Tubarão 2017

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5 AGRADECIMENTOS Este trabalho foi construído nos diversos dias e noites de estudos, diante da mesa de estudos: livros, artigos e o computador. As folhas em branco em cima da mesa serviam para, quem sabe em um dia ou noite, pudesse escrever um parágrafo ou alguns, conforme entendia a teoria. Diante desse parágrafo me emociono, lembro-me desses momentos, às vezes angustiantes, mas o principal é que valeu a pena. E tenho certeza que algumas pessoas fizeram parte desta conquista. Por esse motivo preciso agradecer: A doutora Josélia Euzébio da Rosa, orientadora deste trabalho, por ter acreditado, apoiado e orientado na produção, bem como pelo tempo dedicado para correções e sugestões, as quais foram de grande importância para sua conclusão. Agradeço muito pelo aprendizado que me proporcionou, por me ensinar a pesquisar, por me dar confiança nas horas que precisei, e dos incentivos para prosseguir nos estudos. Aos professores participantes da banca de qualificação e defesa, Prof. Dr. Ademir Damazio, Prof. Dr. Wellington Lima Cedro, Profª. Fátima Elizabeti Marcomin e Prof. Dr. Gilvan Luiz Machado Costa, pela paciência, compreensão e, principalmente, por compartilharem seus conhecimentos, contribuindo para o aperfeiçoamento deste trabalho. Aos professores e funcionários da Unisul, por contribuírem, de uma forma ou de outra, com minha formação. A secretária do PPGE, Daniela, que, no exercício de sua função, destacou-se pela atenção, agilidade e competência com as informações transmitidas. Aos colegas da unidade de relacionamento catarinense do GEPAPe (GPEMAHC/TEDMAT), pelas contribuições e discussões teóricas realizadas durante toda a investigação. As amigas do curso, Sandra, Ana, Cris, Bia e Mariana, obrigado pelas discussões e reflexões realizadas durante o curso, e que muito contribuíram na produção deste trabalho. A minha companheira, Adriana, pelo carinho, apoio, conselhos, força nos momentos difíceis, sendo compreensiva durante o tempo em que não pude lhe dar a atenção devida. A meus pais, Jair e Rosa, pelo amor e educação, mesmo diante das dificuldades. Aos meus irmãos Alex, Rafael, Rogério e Sibele, pela amizade. A Faculdade Capivari FUCAP, por ter incentivado e acreditado no meu potencial para realização do mestrado. Aos estudantes do curso de engenharia civil, produção, mecânica e ambiental e sanitária da Faculdade Capivari pelo incentivo e reconhecimento do meu trabalho em sala de aula. A Deus, por ter dado espírito de luta e perseverança para alcançar os objetivos. A TODOS, MUITO OBRIGADO!

6 RESUMO Cleber de Oliveira dos SANTOS, o movimento conceitual de fração a partir dos fundamentos da lógica dialética para o modo de organização do ensino. Tubarão, S.C., Unisul, (dissertação de mestrado). Trata-se de pesquisa bibliográfica, adota-se como método de pesquisa o materialismo histórico dialético a fim de analisar o movimento teórico do conceito de fração para subsidiar o modo de organização do ensino com base na lógica dialética. Nessa perspectiva, Davýdov, seguidor do Vigotski elaborou um proposição no contexto russo. Mas, como organizar o ensino de fração que contemple os elementos sugeridos pela lógica dialética no contexto de reflexões realizadas no Brasil? As questões auxiliares são: Como se dá o movimento conceitual de fração na proposição de Davýdov? Qual é a relação universal do conceito de fração? Em que consistem as dimensões geral, universal, particular e singular do conceito de fração? Como esses elementos são contemplados no procedimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto? Como a unidade entre o lógico e o histórico pode ser contemplada no modo de organização do ensino sobre o conceito de fração? Como esses elementos podem ser objetivados no modo de organização de ensino de matemática sobre fração? Para responder a problemática de pesquisa, realizou-se um estudo dos fundamentos teóricos da lógica dialética, dos fundamentos matemáticos, do material didático proposto por Davýdov e da Atividade orientadora de Ensino (MOURA). Constatouse que o movimento conceitual inerente a lógica dialética é sustentado nos seguintes elementos: 1) unidade entre lógico e histórico; 2) movimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto; e 3) inter-relação do geral, com o particular e singular conduzido pela relação universal. Em relação aos fundamentos da matemática e do material didático proposto por Davýdov a síntese elaborada consiste em que: 1) A fração é um número racional que surge a partir da necessidade de medição, na qual o resultado não pode ser expresso por um número inteiro; 2) Para superar tal necessidade, a unidade de medida intermediária é introduzida; 3) A quantidade de vezes que a unidade intermediária cabe na grandeza é explicitada na modelação gráfica (reta numérica e esquema de setas); 4) A relação universal do conceito de fração (a medida da grandeza é igual à quantidade de vezes que a intermediária se repete na unidade de medida básica, acrescida da quantidade de vezes que a intermediária se repete no fragmento da unidade básica, o que resulta no total de unidades intermediárias que cabem na grandeza a ser medida) é revelada a partir do produto entre a unidade intermediária e a quantidade de vezes que a mesma cabe na grandeza. A partir da relação de multiplicidade, é deduzida a relação de divisibilidade entre grandezas, na qual o modelo literal do número racional pode ser expresso por: 5) A partir da transformação do modelo, duas novas relações são reveladas: 6) Estes possibilitam a resolução de quaisquer situações particulares e singulares. Após o estudo teórico, objetivou-se a sistematização do movimento conceitual de fração, para a organização do ensino a partir dos fundamentos da lógica dialética. Como método de exposição dos resultados resolveu-se, matematicamente, um problema, elaborado por Moura no contexto da atividade orientadora de Ensino. Na resolução se reproduziu o movimento conceitual sugerido por Davýdov nas seis ações de estudo. Palavras-chave: Movimento conceitual de fração; Fundamentos da lógica dialética; Modo de organização do ensino.

7 RESUMEN Cleber de Oliveira dos SANTOS, El movimiento conceptual de fracción desde los fundamentos de la lógica dialéctica para el modo de organización de la enseñanza. Tubarão, S.C., Unisul, (dissertação de mestrado). Este trabajo es una investigación bibliográfica que adopta el materialismo histórico dialéctico para analizar el movimiento teorico del concepto de fracción para subsidiar el modo de organización de la enseñanza, basado en la lógica dialéctica. En esta perspectiva, Davýdov, seguidor de Vygotsky ha elaborado una proposición en el contexto de la Rusia. Pero, cómo organizar la enseñanza de fracción que contemple los elementos sugeridos por la lógica dialéctica en el contexto de reflexiones realizadas en Brasil? Las preguntas de apoyo son: Cómo ocurre el movimiento conceptual de fracción en la proposición de Davýdov? Cuál es la relación universal del concepto de fracción? En qué consisten las dimensiones general, universal, particular y singular del concepto de fracción? Cómo estos elementos son contemplados en el procedimiento de reducción del concreto al abstracto y ascensión del abstracto al concreto? Cómo la unidad entre el lógico y el histórico puede ser contemplada en el modo de organización de la enseñanza sobre el concepto de fracción? Cómo estos elementos pueden ser objetivados en el modo de organización de enseñanza de matemática sobre fracción? Para contestar el problema de investigación se realizó un estudio de los fundamentos teóricos de la lógica dialéctica, de los fundamentos matemáticos, del material didáctico propuesto por Davýdov y de la Actividad de orientación de Enseñanza (MOURA). Fue constatado que el movimiento conceptual inherente a lógica dialéctica es sostenido en los siguientes elementos: 1) unidad entre lógico e histórico; 2) movimiento de reducción del concreto al abstracto y ascensión del abstracto al concreto; e 3) inter-relación del general, con el particular y singular, conducido por la relación universal. Acerca de los fundamentos de la matemática y del material didáctico propuesto por Davýdov, la síntesis elaborada consiste en que: 1) La fracción es un número racional que surge desde la necesidad de medición, adónde el resultado no puede ser expresado por un número entero; 2) Para superar esta necesidad, la unidad de medida intermediaria es introducida; 3) La cantidad de veces que la unidad intermediaria cabe en la grandeza es explicitada en la modelación gráfica (reta numérica y esquema de setas); 4) La relación universal del concepto de fracción (la medida de la grandeza es igual que la cantidad de veces que la intermediaria si repite en la unidad de medida básica, acrecida de la cantidad de veces que la intermediaria si repite en el fragmento de la unidad básica, lo que resulta en el total de unidades intermediarias que caben en la grandeza a ser medida) es revelada desde el producto entre la unidad intermediaria y la cantidad de veces que ella cabe en la grandeza. Desde la relación de multiplicidad, es deducida la relación de divisibilidad entre grandezas, adónde el modelo literal del número racional puede ser expresado por: 5) Desde la transformación del modelo, dos nuevas relaciones son reveladas: 6) Ellos posibilitan la resolución de cualesquiera situaciones particulares y singulares. Después del estudio teórico, fue objetivada la sistematización del movimiento conceptual de fracción, para la organización de enseñanza desde los fundamentos de la lógica dialéctica. Como método de exposición de resultados fue resuelto, matemáticamente, un problema, elaborado por Moura en el contexto de la actividad de orientación de Enseñanza. Em la resolución fue reproducido el movimiento conceptual sugerido por Davýdov en las seis acciones de estudio. Palabras-clave: Movimiento conceptual de fracción; Fundamentos de la lógica dialéctica; Modo de organización de enseñanza.

8 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Ilustração 1 Associação da fração a uma imagem empírica Ilustração 2 Localização equivocada na reta numérica Ilustração 3 Representação da fração Ilustração 4 Concreto ponto de partida Ilustração 5 Experimento Objetal: necessidade de divisão da unidade de medida básica Ilustração 6 Experimento Objetal: revelação da unidade de medida intermediária Ilustração 7 Representação gráfica e literal Ilustração 8 Modelo gráfico (reta numérica) dos dados revelados no experimento Ilustração 9 Divisão da unidade de medida básica Ilustração 10 Relação entre a unidade de medida intermediária e a unidade de medida básica Ilustração 11 Total de unidades de medida intermediárias contida na grandeza a ser medida Ilustração 12 Modelo do movimento entre os elementos que constituem a relação universal Ilustração 13 Experimento objetal de medição Ilustração 14 - Representação gráfica da medição Ilustração 15 Representação gráfica do resultado da medição Ilustração 16 Inter-relação dos elementos da relação universal em uma situação singular.. 55 Ilustração 17 Representação do experimento objetal com uma situação singular Ilustração 18 Representação de na reta numérica Ilustração 19 Representação gráfica de uma situação singular Ilustração 20 Representação de na reta numérica Ilustração 21 Inter-relação dos elementos de uma situação singular Ilustração 22 Experimento objetal de medição Ilustração 23 Representação gráfica da medição Ilustração 24 Localização de na reta numérica Ilustração 25 Inter-relação dos elementos no esquema de setas Ilustração 26 Representação objetal Ilustração 27 Representação dos dados na reta numérica... 63

9 Ilustração 28 Modelo gráfico dos dados da reta numérica Ilustração 29 Experimento objetal Ilustração 30 Representação gráfica da medição Ilustração 31 Representação da inter-relação dos elementos no esquema de setas Ilustração 32 Representação objetal do problema desencadeador Ilustração 33 Representação gráfica dos dados Ilustração 34 Representação dos dados no esquema de setas Ilustração 35 Modelo gráfico (reta numérica)... 81

10 LISTA DE SIGLAS GEPAPe - Grupo de Estudos e Pesquisa sobre Atividade Pedagógica GPEMAHC - Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: uma abordagem Histórico-Cultural TEDMAT - Teoria do Ensino Desenvolvimental na Educação Matemática UNESC - Universidade do Extremo Sul Catarinense UNISUL - Universidade do Sul de Santa Catarina USP - Universidade de São Paulo

11 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO REFLEXÕES DESENCADEADORAS DA INVESTIGAÇÃO MOVIMENTO CONCEITUAL DE FRAÇÃO A PARTIR DO PROBLEMA DESECADEADOR DA APRENDIZAGEM CORDASMIL Síntese REFLEXÕES FINAIS REFERÊNCIAS... 85

12 11 APRESENTAÇÃO O meu interesse, ao ingressar no mestrado, decorreu da necessidade de contribuir com as reflexões sobre o processo de ensino e aprendizagem de Matemática, no que tange aos conteúdos e métodos adotados no contexto educacional brasileiro. Almejei repensar o ensino de Matemática que promove o desenvolvimento do pensamento teórico nos estudantes por meio da apropriação científica dos conceitos. Para tanto, elegi os fundamentos da Teoria Histórico-Cultural, objetivados na proposição davydoviana, ao contrário do que predomina atualmente em nosso país, uma vez que a formação escolar dos estudantes é fortemente marcada por conteúdos e métodos oriundos da escola tradicional, que promovem o desenvolvimento do pensamento empírico. Segundo Davýdov 1 (1982), tais conteúdos e métodos da referida escola obstaculizam o desenvolvimento do pensamento teórico. E, à escola, cabe a função de promover a aprendizagem sistematizada dos conceitos científicos, contemporâneos, em detrimento dos conceitos empíricos (DAVÝDOV, 1982). Como professor de Matemática da Educação Básica e Superior, tenho constatado, em minha prática docente, que os estudantes têm apresentado grandes dificuldades na compreensão dos conceitos matemáticos. Neste sentido, realizei o estudo do conceito de fração na proposição Davydoviana e resolvi, matematicamente, um problema desencadeador da aprendizagem proposto por Moura (2015), como possibilidade de repensar o conteúdo e métodos vigentes, que tenho constatado, no âmbito escolar. Diante da realidade vivenciada em sala de aula, optei por cursar, como aluno especial do Curso do mestrado em Educação UNISUL, a disciplina de Fundamentos da Teoria Histórico-Cultural, no primeiro semestre de Em continuidade, no segundo semestre do mesmo ano, cursei a disciplina de Teoria do ensino desenvolvimental na Educação Matemática, na mesma instituição. Em 2015, fui aprovado na seleção para o ingresso no curso como aluno regular. A escolha pela linha de pesquisa Educação em Ciências foi decorrente da presença, nesta, de uma professora estudiosa da proposição davydoviana, a professora doutora Josélia Euzébio da Rosa. A presente dissertação foi escrita a partir de um coletivo de pesquisa, por isso, deste momento em diante, não faz mais sentido escrever na primeira pessoa do singular, mas na primeira pessoal do plural. Foi no coletivo e com o coletivo da unidade catarinense do 1 No decorrer do texto será utilizada a grafia Davýdov. A razão em optarmos por esta ocorre porque sua obra clássica, tipos de generalização do ensino, com tradução do original russo para o espanhol por Marta Shuare, aparece com y. Porém, ao se tratar de referência, será mantida a escrita conforme apresentada nas obras, quais sejam: Davídov, Davýdov, Davidov e Давыдов.

13 12 GEPAPe 2 que realizamos as reflexões. Tal unidade é constituída por dois grupos de pesquisa, o TEDMAT 3 e o GEPMAHC 4. As reuniões eram realizadas na UNESC e UNISUL. Uma delas, na qual apresentamos os resultados da presente investigação, foi realizada na USP em outubro de Nela estavam presentes pesquisadores doutores de diversas regiões do País. A etapa que vamos realizar nessa pesquisa é necessária para dar subsídios para as próximas ações do grupo de pesquisa, a fim de tentar evitar a reprodução do empirismo predominante no meio educacional brasileiro. Partimos do pressuposto que a apropriação do movimento conceitual, tal como sugere a lógica dialética, possibilita o desenvolvimento do pensamento teórico a partir dos seguintes elementos: unidade entre lógico e histórico; movimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto; inter-relação do geral, com o particular e singular conduzido pela relação universal. Assim, como organizar o ensino que possibilita a apropriação do conceito científico de fração e o desenvolvimento do pensamento teórico? Para responder esse problema norteador da pesquisa de Mestrado, nos debruçamos sobre as seguintes questões auxiliares: como se dá o movimento conceitual de fração na proposição de Davýdov? Qual é a relação universal do conceito de fração? Em que consiste as dimensões geral, universal, particular e singular do conceito de fração? Como esses elementos são contemplados no procedimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto? Como a unidade entre o lógico e o histórico pode ser contemplada no modo de organização do ensino sobre o conceito de fração? Como esses elementos podem ser objetivados no modo de organização de ensino de matemática sobre fração? Para responder esses questionamentos, resolvemos um problema desencadeador no contexto da História Virtual Cordasmil, elaborada pelo professor Manoel Oriosvaldo de Moura (MOURA, 2015), com base na lógica dialética. A fim de sistematizar o movimento conceitual de resolução, percorremos as seis ações de estudo propostas por Davídov (1988). Assim, o objetivo de pesquisa foi estudar e sistematizar um movimento conceitual de fração a partir dos fundamentos da lógica dialética para a resolução do problema desencadeador da História Virtual Cordasmil. 2 GEPAPe - Grupo de Estudos e Pesquisa sobre Atividade Pedagógica. 3 TEDMAT - Teoria do Ensino Desenvolvimental na Educação Matemática. 4 GPEMAHC - Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: uma abordagem Histórico-Cultural.

14 13 A dissertação está organizada em três capítulos. No primeiro apresentamos a pesquisa. Nele apresentamos algumas reflexões desencadeadoras da investigação, e explicitamos o desejo de pensar o modo de organização do ensino que promove o desenvolvimento do pensamento teórico nos estudantes por meio da apropriação científica do conceito. Para tanto, elegemos os fundamentos da Teoria Histórico-Cultural, objetivados na proposição davydoviana. Vislumbramos, pois, a possibilidade de superar o pensamento empírico dos estudantes sobre o conceito de fração. No segundo apresentamos o movimento conceitual de fração por meio da resolução do problema desencadeador da aprendizagem sobre o conceito de intitulado Cordasmil. Para a reprodução teórica do conceito de fração, percorremos o procedimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto, na interconexão do geral, particular e singular, considerando, como fio condutor, a relação universal no movimento lógico histórico. Na sequência, tecemos uma reflexão teórica que deu origem as reflexões finais. Em síntese, a pesquisa, de natureza bibliográfica, considera como fonte de análise um livro didático e um livro de orientação do professor referente ao quinto ano escolar, elaborado por Davýdov e seus colaboradores, e um livro elaborado por Caraça sobre os fundamentos da matemática. De acordo com Rauen (2002) pesquisa bibliográfica caracteriza-se pela consulta a materiais já organizados que representam um acervo bibliográfico da humanidade. A fonte de dados, referente ao sistema conceitual de fração, é a proposta davydoviana publicada por meio das seguintes obras: livro didático (ГОРБОВ et al., 2011) e livro de orientação do professor (ГОРБОВ et al., 2006) e em Caraça (1989). Inicialmente, a investigação foi realizada no livro didático do 5º ano, especificamente no capítulo VIII, intitulado Fração Ordinária. Este contém um conjunto de tarefas particulares com a finalidade de explicar o porquê da necessidade de um novo procedimento de medição. Dessa forma, o autor traz à introdução do conceito de fração. Porém, no livro didático do 6º ano também constam tarefas sobre o referido conceito 5. No livro de orientação ao professor, correspondente ao 5º ano, surge com detalhes o processo de desenvolvimento das tarefas. A partir do movimento sugerido no livro, para resolução das tarefas, nota-se o movimento conceitual de fração do segmento de seta apresentado por Davýdov. O próximo passo foi explicitar, na reta numérica, o movimento proposto no segmento de seta sugerido por Davýdov e nos segmentos tratados por Caraça para revelar a essência do conceito de fração. 5 As resoluções de algumas tarefas contidas nos livros didáticos do 5º e 6º ano em referência estão em Freitas (2016).

15 14 Em Caraça, o conceito de fração é revelado através da relação entre dois segmentos de reta e diferentes entre si, tal que, > em cada um destes, o segmento menor de medida u cabe p vezes em e m vezes em, com essa relação o conceito de fração é revelado,. [...] Medir consiste em comparar duas grandezas de mesma espécie, dois comprimentos, dois pesos, dois volumes, etc. (CARAÇA, 2002, p. 29). Na presente dissertação, a grandeza a ser considerada é o comprimento, representado na resolução do problema desencadeador da aprendizagem por meio do segmento correspondente a unidade de medida de medida básica (uma corda inteira) e a unidade de medida intermediária (uma fração da unidade de medida básica). Depois de muitas tentativas para apresentar uma resolução teórica do problema desencadeador, atingimos o movimento na reta numérica. Dessa forma, alcançamos o objetivo de investigar e sistematizar o movimento conceitual de fração. Para exposição dos resultados do estudo teórico, resolvemos um problema desencadeador da aprendizagem sobre o conceito de fração no contexto da História Virtual intitulado Cordasmil. Este movimento foi desenvolvido a partir das ações de Davýdov. Somente um problema desencadeador não sanará o problema da aprendizagem de qualquer conceito. É necessário considerar, nos processos de ensino e aprendizagem, vários problemas desencadeadores a partir da análise das relações de diversas grandezas. O movimento conceitual, a partir dos fundamentos da lógica dialética, é o mesmo, porém, com as grandezas distintas: massa, volume, área, entre outras.

16 15 1 REFLEXÕES DESENCADEADORAS DA INVESTIGAÇÃO O conteúdo e os métodos de ensino primário vigentes orientam-se predominantemente à formação, nos estudantes dos primeiros anos, das bases da consciência e do pensamento empíricos, caminho importante, mas não o mais efetivo na atualidade, para o desenvolvimento psíquico das crianças (DAVÍDOV, 1988, p. 99, tradução nossa). Diversos pesquisadores tem se debruçado sobre as dificuldades relacionadas aos processos de ensino e aprendizagem de fração (Amorim, 2007; Bertoni, 2009; Behr; Lesh; Silver, 1983; Bezerra, 2001; Bianchini, 2001; Brousseau, 1997; Catalani, 2002; Cunha, 2002; Demartini, 2009; Gómez Granell, 1998; Lima; Moisés, 1998; Malaspina, 2007; Moreira, 2010; Merlini, 2005; Moutinho, 2005; Nunes et al., 2005; Santos 2005; Romanatto, 1999; Silva, 2005; Woerle, 1999). Este conceito é comumente abordado no quarto, quinto e sexto ano do Ensino Fundamental do sistema educacional brasileiro. Os autores mencionados alertam que a utilização correta dos termos fracionais e sua operacionalização não é garantia de compreensão do conceito de fração. Bertoni (2009) afirma que o conteúdo de frações tem sido um dos temas mais difíceis no Ensino Fundamental. As avaliações e pesquisas atestam o baixo rendimento dos estudantes quando a referência é tal conceito. De acordo com Nunes e Bryant (1997), nas frações, as aparências enganam e alguns estudantes podem passar pela escola sem dominar diversos aspectos cruciais do conceito. Catalani (2002) constatou que aprendizagem dos números racionais está limitada à aplicação do conceito. Para Cunha (2002), a não compreensão do conceito de frações tem sua origem na falta da elaboração, pelo estudante, dos nexos conceituais entre a medida de uma grandeza contínua e sua representação. A falta de compreensão conceitual do número fracionário, e como ela permanece ao longo vida escolar do estudante, resulta em dificuldades na elaboração de nexos conceituais para diversas áreas de conhecimento (CUNHA, 2002). Para Moreira (2010), o ensino de frações está entre as dificuldades de aprendizagem mais comuns para os estudantes nas aulas de Matemática. Esta complexidade está relacionada às metodologias e aos conhecimentos dos professores acerca do conceito, a partir da sua formação docente pautada em métodos tradicionais, adormecidos e ultrapassados diante de uma geração escolar tecnológica.

17 16 Há uma valorização exagerada em procedimentos, algoritmos e forte intensão para revelar o conceito apenas utilizando o significado parte-todo, a partir de sua representação com m, p inteiros e p 0 (MERLINI, 2005; MOUTINHO, 2005; NUNES et al., 2005; SANTOS, 2005). Neste sentido, Campos e Coll (apud Nunes, 1997, p. 191) afirmam que o método de ensino [...] leva o estudante a contar o número total de partes e então as partes pintadas sem entender o significado da fração. De modo geral, quando é ensinado o conteúdo de frações, a maioria dos estudantes apresenta dificuldades. Para Gómez Granell (1998), boa parte dos erros cometidos pelos estudantes deve-se ao fato do ensino ter sido voltado à aplicação de regras para compreensão do seu conceito. De acordo com Brasil (1998), as representações das frações se iniciam nos anos inicias, porém os estudantes chegam ao terceiro ano sem compreender fração e muito menos os cálculos. Na pesquisa de Oliveira (1996), sobre a aprendizagem de frações, os problemas encontrados foram: a) para localizar frações na reta numérica; b) no trabalho com números mistos e frações equivalentes nas operações com frações; c) para interpretações do conceito sobre os problemas relacionados; d) no uso predominante de estratégias e propriedades dos números naturais quanto à ordem das frações; e) para representar grandezas contínuas no contexto das grandezas discretas; f) em representar frações de forma simbólica, razão e proporção; g) busca de um raciocínio intuitivo usando imagens para indicar frações. Conforme os resultados de pesquisa apresentados por Amorim (2007), no que diz respeito às operações, apresentam-se desafios a serem superados pelos estudantes: a) na adição, tendem a somar os numeradores e denominadores entre si; b) na subtração, tendem a diminuir os numeradores e denominadores entre si; c) na multiplicação, como a síntese algébrica indica a multiplicação dos numeradores entre si e também os denominadores, passam a apresentar dificuldades de compreender a lógica que gerou a definição; d) na divisão, a compreensão da síntese que muda a operação para multiplicação ao inverter a segunda fração. No contexto de tais reflexões, em uma investigação anterior (SANTOS, 2015), realizada durante a disciplina de Fundamentos da Teoria Histórico Cultural ministrada no primeiro semestre de 2015, pela professora doutora Josélia Euzébio da Rosa no Mestrado em Educação UNISUL, questionamos: Qual é a natureza dessas dificuldades? Resultam dos métodos de ensino adotados? Dos conteúdos contemplados? Do modo de sistematização proposto nos livros didáticos brasileiros? Essas dificuldades são superadas no

18 17 decorrer dos anos de escolarização? Quais os elementos que emperram a apropriação teórica do conceito de fração? E, afinal, qual a compreensão dos estudantes atuais do Ensino Fundamental, Ensino Médio e Superior sobre o conceito de fração? A fim de refletir sobre este último questionamento, apresentamos duas questões para 247 estudantes do Ensino Fundamental, Ensino Médio e Superior responderem, individualmente e por escrito (SANTOS, 2015): (1) O que é? (2) Localize na reta numérica o número racional. Dos 247 estudantes que respondera as duas perguntas, 73 são do Ensino Fundamental (6º, 8º e 9º ano), 8 do Ensino Médio (2ª série) e 166 do Ensino Superior (Cursos de Ciências Contábeis e Engenharia de Produção) de instituições de ensino públicas e privadas localizadas no sul do Estado de Santa Catarina (SANTOS, 2015). A análise foi realizada com base nos pressupostos da Teoria Histórico-Cultural, mais especificamente na crítica dos autores adeptos a essa teoria sobre o ensino tradicional. Detectamos, nas respostas dos estudantes, alguns elementos dos princípios didáticos da escola tradicional, tais como: caráter sucessivo da aprendizagem, acessibilidade, caráter consciente e visual, direto ou intuitivo do ensino (DAVÍDOV, 1987). Para superar esses princípios, Davýdov propõe o caráter novo dos conceitos, educação que desenvolve, princípio da atividade, e princípio do caráter objetal, conforme o quadro 1, na página seguinte.

19 18 Quadro 1 Princípios didáticos propostos pela escola tradicional e por Davídov e colaboradores (DAVÍDOV, 1987) Escola tradicional Caráter sucessivo De acordo com este princípio, na escola primária é oferecida, aos estudantes, uma formação com base no pensamento empírico. Nesse sentido, mantém-se o teor dos conhecimentos que a criança aprende no cotidiano, antes de entrar na escola. Com o passar dos anos essa relação permanece, o que impossibilita a inserção dos conhecimentos teóricos no currículo. Acessibilidade Com base neste princípio, os conceitos, na escola tradicional, são organizados para se adequarem à idade e ao nível de desenvolvimento já atingidos pelas crianças. Caráter consciente A partir deste princípio, o ensino contempla as abstrações diretamente relacionadas às ilustrações dadas aos órgãos dos sentidos. Caráter visual imediato Neste princípio, as generalizações são realizadas a partir do destaque dos indícios comuns dados externamente nos objetos. Fonte: Elaborado pelo autor, Escola Davydoviana Caráter novo dos conceitos Em detrimento ao princípio do caráter sucessivo, o estudante, ao ingressar nos anos iniciais do Ensino Fundamental, deve conhecer o caráter novo dos conceitos científicos. Estes devem ser abordados com um procedimento distinto em comparação aos conhecimentos adquiridos antes de chegar à escola. Educação que desenvolve Este princípio deve ser transformado em princípio da educação que desenvolve. O ensino deve criar condições para que ocorra o desenvolvimento mental dos estudantes. Princípio da atividade Em oposição ao princípio do caráter consciente, Davýdov sugere o princípio da atividade, no qual os estudantes são orientados, pelo professor, a revelarem a origem do conhecimento. Princípio do caráter objetal As ações com o objeto do conhecimento levam os estudantes a reproduzirem o modelo e o representarem na forma objetal, gráfica e literal. Desse modo, possibilita-se a revelação da essência do conceito e suas manifestações particulares. Além dos princípios didáticos, também consideramos, na análise, as seguintes relações: discreto e contínuo; significações aritméticas, algébricas e geométricas; conceito empírico e teórico (SANTOS, 2015). Dentre os resultados da pesquisa, destaca-se o

20 19 predomínio do pensamento empírico do conceito de fração, conforme a ilustração 1, na página seguinte. Ilustração 1 Associação da fração a uma imagem empírica Fonte: Santos (2015). A maioria dos estudantes associou a fração a uma imagem empírica, cujo formato lembra retângulo e um círculo. Para eles, representa uma figura que foi dividida em quatro partes iguais e pintadas três dessas partes. O teor visual empírico do conceito de fração surge no Ensino Fundamental, permanece no Ensino Médio e persiste no Ensino Superior (SANTOS, 2015). Questionamos, à época (SANTOS, 2015): os estudantes que responderam a questão 1 (O que é?) compreendem frações em seu contexto matemático, no lugar geométrico do conceito de número? A representação empírica dá conta da representação na reta numérica? Na busca por respostas, apresentamos uma nova questão aos estudantes: localize, na reta numérica, o número racional. A resposta predominante foi (Ilustração 2): Ilustração 2 Localização equivocada na reta numérica Fonte: Santos (2015). Apenas dois estudantes localizaram corretamente a fração na reta numérica (SANTOS, 2015). Isso ocorre porque a relação direta da fração com uma imagem visual, empiricamente dada, não garante a sua compreensão para além do exemplo singular considerado no ensino da fração. De acordo com Santos (2015), o conteúdo sobre frações e os métodos aplicados no Ensino Fundamental direcionam-se fortemente à formação, nos

21 20 estudantes, das experiências sensoriais diretamente dadas aos órgãos dos sentidos e do pensamento empírico. Para Davýdov (1982), uma das finalidades principais do ensino escolar tradicional é propor, aos estudantes, generalizações e conceitos empíricos. As particularidades da generalização, em unidade com os processos de abstração e formação de conceitos, caracterizam o tipo geral de pensamento do homem (DAVÍDOV, 1988, tradução nossa). De acordo com Davídov (1988, p. 104, tradução nossa), o pensamento que se realiza com ajuda das abstrações e generalizações de caráter lógico formal somente leva a formar os chamados conceitos empíricos. Assim, se forem generalizações, abstrações e conceitos empíricos, formar se á o pensamento empírico, conforme indicam 99,6% das respostas que analisamos na pesquisa por nós realizada anteriormente (SANTOS, 2015). Para Davídov (1982, p. 45), as características de abstração, generalização e do conceito contido na psicologia e na didática na escola tradicional, coincidem em rigor com a descrição da lógica formal. Desse modo, observamos que as características da abstração, generalização e do conceito dos estudantes coincidem com a descrição da lógica formal tradicional (SANTOS, 2015). Para B. Kédrov (apud DAVÍDOV, 1988, p. 104, tradução nossa), o procedimento de formação de tais conceitos, pressupõe a possibilidade de operar com os traços sensoriais, dados diretamente, dos objetos estudados. É estritamente empírico. Nas escolas brasileiras, de acordo com Rosa (2012), o conhecimento é desenvolvido com base em abstrações verbais, característica do princípio do caráter consciente. Tal abstração deve estar correlacionada, pelo estudante, com uma imagem sensorial completamente definida e precisa (DAVYDOV, 1988, p. 148). A partir do princípio do caráter consciente, o ensino contempla as abstrações diretamente relacionadas às ilustrações dadas aos órgãos dos sentidos. Em oposição ao princípio do caráter consciente, Davýdov sugere o princípio da atividade, no qual os estudantes são orientados, pelo professor, a revelarem a origem do conhecimento (DAVÍDOV, 1987). O programa de ensino na escola leva em conta, geralmente, as leis mencionadas de desenvolvimento da generalização nos escolares. Os alunos paulatinamente são levados às generalizações por meio da observação e do material concreto dado visualmente e captado sensorialmente (SHARDÁKOV, 1963, p. 128 apud DAVÍDOV, 1988, p.103, tradução nossa). O conhecimento de frações dos estudantes que responderam aos dois questionamentos (SANTOS, 2015) apoia-se na forma de abstrações verbais empíricas: existe uma correlação direta da abstração com uma imagem sensorial (retângulo, quadrado, círculo, etc.).

22 21 Destaca-se, também, a presença do princípio da acessibilidade. Com base nesse princípio, os conceitos, na escola tradicional, são organizados para se adequarem ao nível de idade e de desenvolvimento já atingidos pelas crianças. Para Davýdov, este princípio deve ser transformado em princípio da educação que desenvolve. O ensino deve criar condições para que ocorra o desenvolvimento mental dos estudantes (DAVÍDOV, 1987). A novíssima posição de Piaget é a expressão psicológica teórica de uma prática pedagógica cujos princípios tomaram forma na educação europeia e norte-americana da sociedade burguesa. Assim, por exemplo, um desses princípios é o requisito da acessibilidade do ensino. O principal ponto deste princípio consiste em que em cada etapa do ensino, se proponham à criança somente os conhecimentos que poderão ser imediatamente compreendidos por ela, ou seja, falando em linguagem psicológica, um conhecimento que esta criança já pode dominar e para o qual já tenha desenvolvido, presentemente, o correspondente nível de pensamento. E é precisamente na prática educacional, em cuja base se colocou o princípio da acessibilidade do ensino, que teve lugar a separação e a contraposição entre os processos envolvidos no desenvolvimento e ensino, que recebeu logo fundamentação na teoria psicológica (DAVÍDOV, 1988, p. 53, tradução nossa, grifos do autor). Em todos os níveis de ensino, os estudantes utilizam figuras para representar a fração, ou seja, o ensino utiliza uma única forma para representar fração através de uma imagem definida (SANTOS, 2015). Para Davídov (1988), o ensino tradicional é aquele que não interfere substancialmente no desenvolvimento dos estudantes, ao propor apenas aquilo que são capazes de apropriarem em uma determinada idade. Também identificamos forte presença do princípio do caráter visual imediato (SANTOS, 2015). Na escola tradicional, o conteúdo de fração e todos os seus métodos de ensino desenvolvem, nos estudantes, a formação do pensamento empírico sobre frações. A expressão didática concreta e metodológica particular destas ideias é o princípio do caráter visual, direto. O papel principal do visual no ensino, especialmente na educação primária, testemunha que a via mencionada de formação da generalização conceitual não tem apenas um sentido teórico. Serve de base para a prática de ensino e, por sua vez, por meio da aplicação do princípio do caráter visual, encontra nela sua permanente e ampla confirmação (DAVÍDOV, 1988, p.103, tradução nossa). Tal princípio, na proposta de Davýdov, é superado pelo caráter objetal. As ações com o objeto do conhecimento levam os estudantes a reproduzirem o modelo e o representarem na forma objetal, gráfica e literal (SANTOS, 2015). Desse modo, possibilita-se a revelação da essência do conceito e suas manifestações particulares (DAVÍDOV, 1987). Também está presente o princípio do caráter sucessivo. Neste sentido, mantém-se o teor dos conhecimentos que a criança aprende no cotidiano, antes de entrar na escola. Com o passar dos anos essa relação permanece, o que impossibilita a inserção dos conhecimentos teóricos no currículo (DAVÍDOV, 1987).

23 22 Constatamos a presença desse princípio com o surgimento e manutenção da representação da fração na forma de uma imagem geométrica em todos os níveis de ensino (SANTOS, 2015). Em superação a esse princípio, Davídov (1987) sugere que o estudante, ao ingressar nos anos iniciais do Ensino Fundamental, precisa conhecer o caráter novo dos conceitos científicos que devem ser tratados com um procedimento distinto, em comparação aos conhecimentos empíricos adquiridos antes de chegar à escola. A escola tradicional atual desenvolve, nos estudantes, o pensamento empírico. A maioria dos estudantes, dos diferentes níveis de ensino, não compreende fração para além da relação direta com a representação visual empírica. Nos anos seguintes, a imagem é abstraída, mas o conteúdo dessa representação permanece. Os estudantes concebem fração como: divisão, parte de algo, razão e proporção. E predominam as significações aritméticas, em detrimento das significações algébricas e geométricas (SANTOS, 2015). Em oposição a esse ensino tradicional, Davýdov elaborou uma proposta para o ensino de Matemática com base nos princípios da Teoria Histórico-Cultural (ROSA, 2012). De acordo com os fundamentos da Teoria Histórico-Cultural, o papel da escola é promover, no estudante, o desenvolvimento do pensamento teórico. Afirma Davídov (1999, p. 7, grifos do autor) que o pensamento teórico não surge e nem se desenvolve na vida cotidiana das pessoas, ele se desenvolve somente em tal instrução, cujos programas se baseiam na compreensão dialética do pensamento. Portanto, faz-se necessário, tal como aponta Davídov (1987), repensar os conteúdos e métodos de ensino. Mas, como organizar o ensino de fração que contemple os elementos sugeridos pela lógica dialética no contexto de reflexões realizadas no Brasil? Este é o problema norteador da pesquisa de Mestrado, refletido por meio das seguintes questões auxiliares: como se dá o movimento conceitual de fração na proposição de Davýdov? Qual é a relação universal do conceito de fração? Em que consistem as dimensões geral, universal, particular e singular do conceito de fração? Como estes elementos são contemplados no procedimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto? Como a unidade entre o lógico e o histórico pode ser contemplada no modo de organização do ensino sobre o conceito de fração? O desenvolvimento do conceito ou sistema conceitual, na proposição davydoviana, é organizado por meio de tarefas particulares no contexto das seis ações de estudo, apresentadas nos livros didáticos e nos manuais de orientação ao professor, elaborados por Davýdov e

24 23 colaboradores (ГОРБОВ et al., 2006, ГОРБОВ et al., 2011) respectivamente referentes ao 5º ano. O material didático davydoviano foi elaborado por Davýdov e colaboradores, durante mais de 25 anos de pesquisa sobre o ensino experimental, com base nos fundamentos da Teoria Histórico-Cultural. Como afirma Hobold (2014, p. 74), a metodologia de ensino da proposição davydoviana é expressão de um conjunto de princípios da Teoria Histórico- Cultural válidos para todas as disciplinas do currículo desde a educação infantil. Na especificidade do conceito de fração, Freitas (2016) investigou as manifestações do movimento do pensamento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto para apropriação do conceito de fração. A investigação foi realizada a partir da análise de tarefas elaboradas por Davýdov e colaboradores para a introdução do conceito no ensino de matemática. A fonte de dados foram o livro didático (ГОРБОВ et al., 2011) e o livro de orientação do professor (ГОРБОВ et al., 2006) referentes ao 5º ano do Ensino Fundamental. O processo de análise desenvolveu-se na unidade de redução e ascensão. Tratase de uma pesquisa bibliográfica, na qual Freitas (2016) realizou uma revisão da literatura e constatou que o movimento conceitual contemplado nas tarefas voltadas para o ensino do conceito de fração tem como base a concepção materialista histórica e dialética. Freitas (2016) concluiu que, na proposição davydoviana, a fração surge diante do problema de medição que se manifesta na relação em que a unidade não cabe quantidade de vezes inteira na grandeza a ser medida. Assim sendo, o ensino da fração inicia-se pela resolução de uma tarefa particular, que consiste na medição de segmentos (A, B e C) distintos com uma determinada unidade de medida (E). No desenvolvimento das tarefas particulares, segundo Freitas (2016), primeiramente os estudantes abstraem a relação universal do conceito de fração, mediante a análise a revelação dos dados apresentados nas tarefas (primeira ação de estudo). Em seguida, abstraem tal relação por meio dos modelos: objetal, gráfico e literal (segunda ação de estudo). A partir daí, as tarefas possibilitam que os estudantes procedam algumas transformações no modelo, m e p inteiros positivos, por se tratar de medida (terceira ação de estudo). Desse modo, para a realização do processo de análise e síntese, a proposição davydoviana sugere a reprodução do procedimento entre concreto e abstrato. Nesse processo, Davýdov considera as transformações que iniciam no experimento objetal, segue ao modelo gráfico e literal. O fio condutor de todo o processo é relação universal do conceito por meio de seis ações concernentes à tarefa de estudo (CRESTANI, 2016). Esta tem como finalidade

25 24 eliminar o fracasso de alguém, de superar a própria capacidade para resolver um determinado problema (REPKIN, 2014, p. 97). Cada tarefa de estudo é desenvolvida por seis ações, tais como (DAVÍDOV, 1988, p.181): 1) Transformação dos dados da tarefa de estudo com a finalidade de revelar a relação universal do objeto estudado; 2) Modelação da relação universal na forma objetal, gráfica e literal; 3) Transformação do modelo da relação universal para o estudo de suas propriedades em forma pura ; 4) Construção de um sistema de tarefas particulares que podem ser resolvidas por um procedimento geral; 5) Controle da realização das ações anteriores; 6) Avaliação da apropriação do procedimento geral como resultado da solução da tarefa de estudo dada. O estudo de fração, assim como em qualquer conceito matemático, também é organizado por meio dessas seis ações. Davýdov e colaboradores apresentam uma proposta para o ensino de Matemática, cuja finalidade é de que os estudantes compreendam o conceito teórico dos números reais como singularidades e das relações entre grandezas discretas, contínuas e vetoriais (ROSA, 2012; MONERETO, 2015). Nesse sentido, o conceito surge como: [...] forma de atividade mental por meio da qual se reproduz o objeto idealizado e o sistema de suas relações, que em sua unidade refletem a universalidade e a essência do movimento do objeto material. O conceito atua, simultaneamente, como forma de reflexo do objeto material e como meio de sua reprodução mental, de sua estruturação, isto é, como ação mental especial (DAVÍDOV, 1988, p. 126). O conceito constitui o procedimento e o meio da reprodução mental de qualquer objeto como sistema integral. Ter um conceito sobre tal objeto significa dominar o procedimento geral de construção mental deste objeto (DAVÍDOV, 1988, p. 153). Neste sentido, Smirnov (1956, p. 261 apud DAVÝDOV, 1982, p. 27), enfatiza que: Dominar um conceito não consiste somente em conhecer as características dos objetos e fenômenos que são englobados pelo mesmo, mas também saber empregar o conceito na prática, saber operar com ele. E isso significa que a assimilação do conceito não envolve somente o movimento de baixo para cima, desde os casos singulares e parciais até sua generalização, mas também o movimento inverso, de cima para baixo, do geral para o parcial e singular. Conhecendo o geral, percebe-se que há de saber em um caso concreto, isolado, com os quais tenhamos relação no momento dado. Consequentemente, dominar o conceito de fração significa conhecer a essência, a lei, o papel e a função da relação essencial no sistema integral: a relação interna entre geral, particular, universal e singular.

26 25 Uma vez abstraído, o conceito passa a ser elemento básico do pensamento (PERES e FREITAS, 2014). O conceito teórico serve de procedimento para deduzir os fenômenos particulares e singulares de sua base universal. Graças a isso, o conteúdo do conceito teórico são os processos de desenvolvimento dos sistemas integrais (DAVÍDOV, 1988, p. 152). O conceito [...] é o resultado da generalização de uma enorme quantidade de fenômenos singulares, é o essencialmente comum, revelado pelo pensar nas coisas e nos fenômenos particulares. Surge neste ponto um dos problemas mais importantes da teoria do conceito, o da correlação, neste, entre o geral e o particular, de natureza dialética do mesmo (ROSENTAL, 1962, p ). De acordo com a proposição davydoviana, temos por pressuposto que o modo de organização de ensino fundamentado na lógica dialética ocorre a partir do geral para as manifestações particulares e singulares, cujo fio condutor é a relação universal. Na lógica dialética, quanto mais gerais os conceitos, mais rico torna-se seu conteúdo, pois refletem a essência de uma quantidade maior de fenômenos (ROSENTAL, 1962). O pensamento dialético põe em evidência as passagens, o movimento, o desenvolvimento, graças ao qual pode examinar as coisas de acordo com a natureza própria destas. Aqui radica a verdadeira significação do pensamento dialético para a ciência. (DAVÍDOV, 1988, p. 108). Desse modo, o conceito de fração, por ser mais amplo que o número natural, por exemplo, reflete a essência de vários fenômenos, tais como as relações entre multiplicidade e divisibilidade, de onde decorre a origem do conceito de número. [...] o problema consiste em refletir os princípios do pensamento dialético e expressá-los na tecnologia de desenvolvimento do material didático, nos procedimentos de formação dos conceitos nos estudantes, nos meios para organizar a atividade de pensamento daqueles. Entretanto, a tecnologia concreta destes processos se estrutura, na atualidade, em geral, com base nos princípios do pensamento empírico (DAVÍDOV, 1988, p. 108, grifos do autor). As particularidades da abstração, da generalização e do conceito, que são a base do pensamento teórico, são diferentes da abstração, a generalização e o conceito que caracterizam o pensamento empírico. Portanto, a diferença de conteúdo entre o pensamento empírico e o pensamento teórico gerou a diferença de suas formas (DAVÍDOV, 1988, p. 130). Estas diferenças estão condicionadas pela diferentes ações que foram levantadas para estes tipos de pensamento. O pensamento empírico compara, cataloga, classifica, apoia nas observações externas ao objeto, nas ilustrações, tal como mencionamos no primeiro capítulo. O teórico persegue a finalidade de reproduzir a essência do objeto estudado, ou seja, a relação universal (DAVÍDOV, 1988).