Oficina 2B Percurso de Estudo e Pesquisa e a Formação de Professores

Transcrição

1 Oficina 2B Percurso de Estudo e Pesquisa e a Formação de Professores Catarina Oliveira Lucas Grupo de pesquisa Portugal, catarinalucas.mail@gmail.com Palestra com conexão: Palestra 2: a Teoria Antropológica do Didático: Paradigmas, Avanços e Perspectivas, proferida pelos pesquisadores Hamid Chaachoua e Marilena Bittar. Duração: 3 sessões de 1h30 Objetivos Auxiliar os participantes a analisar a atividade matemática escolar relativa a um âmbito concreto (ensino de múltiplos e divisores) e num nível educativo específico (Fundamental) sob o ponto de vista da Teoria antropológica do didático e utilizando os manuais escolares como indicadores empíricos. Orientar os grupos de participantes para que experimentem construir um Percurso de Estudo e Pesquisa (PEP) concreto, a partir de uma questão geratriz, para futuramente utilizarem com os seus alunos. Material necessário Se possível, cada grupo de participantes levar um manual escolar de matemática do ensino fundamental (parte de múltiplos e divisores). Estrutura das sessões da oficina A estrutura de cada uma das sessões conterá os três momentos seguintes: 1. Apresentação: Utilizarei um breve PowerPoint em função das necessidades de cada sessão. Nesta apresentação irei propor algumas questões. 2. Trabalho em pequenos grupos: Os participantes irão trabalhar em grupos de 3 elementos utilizando o material indicado e com o objetivo de responder às questões apresentadas. 3. Exposição e discussão em grande grupo: Cada grupo, representado por um(a) Secretário(a) à escolha, irá expor o trabalho desenvolvido. Estas exposições irão culminar com uma discussão e síntese em grande grupo. I Simpósio Latino-Americano de Didática da Matemática (LADIMA) Página 1 de 10

2 Desenvolvimento das sessões Nesta oficina será proposta inicialmente aos participantes a análise de manuais escolares para tentar descrever o modelo epistemológico dominante no âmbito do ensino de múltiplos e divisores no Ensino Fundamental. Em particular, vamos tentar responder às seguintes questões: Quais são os tipos de tarefas mais habituais na atividade matemática escolar neste âmbito? E que técnicas são mais frequentes nos manuais escolares? Existe um questionamento da técnica mais adequada para resolver determinado tipo de tarefa? Os conceitos e técnicas aparecem nos manuais de forma articulada ou como objetos isolados? A sequência de tarefas apresentada permite a construção de praxeologias com um nível de complexidade crescente? As respostas a estas questões dos diferentes grupos de participantes, por um lado, irão permitir verificar a existência de um fenômeno de desarticulação da matemática escolar no âmbito do ensino de múltiplos e divisores no Ensino Fundamental e, por outro lado, serão o ponto de partida para um segundo momento que consistirá na construção de percursos de estudo e pesquisa (PEP) no âmbito da formação de professores de Matemática neste nível de Ensino. Mais concretamente, pretende-se partir de uma questão geratriz e aberta relacionada com o ensino dos múltiplos e divisores e desenhar uma estrutura em árvore (esqueleto) com as questões principais e intermédias que devem ser colocadas aos estudantes para os orientar na construção autónoma do seu conhecimento matemático (praxeologias). Deste modo, nessa árvore também devem aparecer todas as técnicas possíveis e úteis para responder a essas questões, assim como as tecnologias que permitem justificar a utilização dessas mesmas técnicas e as respetivas teorias associadas. No final, teremos a visualização de possíveis PEP em outros âmbitos da formação de professores de matemática e a oficina concluir-se-á com a apresentação das árvores (PEP) de cada um dos grupos de participantes ao grande grupo e a sua posterior análise e discussão. I Simpósio Latino-Americano de Didática da Matemática (LADIMA) Página 2 de 10

3 Sessão n.º 1 Duração: 1h30 Objetivos específicos Auxiliar os participantes a analisar a atividade matemática escolar relativa ao âmbito do ensino de múltiplos e divisores no Ensino Fundamental sob o ponto de vista da Teoria antropológica do didático e utilizando os manuais escolares como indicadores empíricos. Nesta sessão será proposta aos participantes a análise de manuais escolares para tentar descrever o modelo epistemológico dominante no âmbito do ensino de múltiplos e divisores no Ensino Fundamental. Em particular, vamos tentar responder às seguintes questões: i. Quais são os tipos de tarefas mais habituais na atividade matemática escolar neste âmbito? ii. Que técnicas são mais frequentes nos manuais escolares? iii. Existe um questionamento da técnica mais adequada para resolver determinado tipo de tarefa? iv. Os conceitos e técnicas aparecem nos manuais de forma articulada ou como objetos isolados? v. A sequência de tarefas apresentada permite a construção de praxeologias com um nível de complexidade crescente (ou seja, das matemáticas mais simples para as matemáticas mais complexas)? Os participantes irão trabalhar em grupos de 3 elementos e com o objetivo de procurar as respostas às questões apresentadas nos manuais escolares. Como auxílio e complemento à análise efetuada nos livros do Brasil, será apresentado o exemplo da descrição do modelo epistemológico dominante neste âmbito em Portugal. Assim, partindo da análise dos objetivos apresentados no currículo português, é possível descrever quais são as tarefas mais habituais nos manuais escolares e nas fichas de trabalho de professores. Objetivos no Currículo: Indicar múltiplos e divisores de números dados; Aplicar critérios de divisibilidade; Identificar números primos; Decompor um número em fatores primos; I Simpósio Latino-Americano de Didática da Matemática (LADIMA) Página 3 de 10

4 Determinar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de números dados; Resolver problemas envolvendo m.d.c. e m.m.c.; Identificar os números inteiros relativos; Determinar o valor absoluto e o simétrico de um número dado; Comparar e ordenar números inteiros relativos; Efetuar a adição/subtração/multiplicação de números inteiros relativos; Aplicar as propriedades da adição e da multiplicação de números inteiros relativos. Tarefas habituais Tarefas pouco habituais (Fontes: manuais escolares e Fichas de trabalho de professores) Desde a TAD, se sugere o uso de tarefas inversas (como estas últimas) de tarefas mais habituais. Observamos que apesar de estarem presentes no manual, o professor muitas vezes apresenta receio na sua utilização como possível proposta de tarefa para ser realizada pelos seus estudantes. Relativamente à aplicação da decomposição de um número num produto de fatores primos, apresentamos um exemplo de uma técnica (e tarefa) bastante habitual nos manuais escolares portugueses e de uma técnica pouco habitual: I Simpósio Latino-Americano de Didática da Matemática (LADIMA) Página 4 de 10

5 Técnica habitual Técnica pouco habitual É de salientar que esta última técnica é apresentada sem qualquer justificação, ou seja, sem descrever a tecnologia que está por detrás desta técnica. Surge implicitamente que Um divisor de um dos fatores do produto é divisor do produto mas, para um aluno do Ensino Fundamental esta propriedade poderá não ser elucidativa e o mesmo continuar a questionarse: Mas, porquê que isto acontece? Porque funciona sempre?!. Assim, observa-se no manual (e na atividade matemática escolar desenvolvida) a ausência de um questionamento tecnológico. I Simpósio Latino-Americano de Didática da Matemática (LADIMA) Página 5 de 10

6 Com esta pequena parte de um exemplo de descrição de um modelo epistemológico dominante em uma instituição concreta (portuguesa), os participantes dos grupos de trabalho irão responder às questões apresentadas baseando-se agora nos manuais escolares do Brasil. Cada grupo irá expor o trabalho desenvolvido e estas exposições irão culminar com uma discussão e síntese em grande grupo. As respostas a estas questões dos diferentes grupos de participantes, por um lado, irão permitir descrever o modelo epistemológico dominante no ensino de múltiplos e divisores no Ensino Fundamental. Por outro lado, irão permitir verificar a existência de um fenômeno de desarticulação da matemática escolar neste âmbito. Sessão n.º 2 Duração: 1h30 Objetivos Apresentar o PEP como um dispositivo didático útil para colmatar as lacunas observadas na sessão 1. Mostrar o início de um possível PEP para o ensino dos múltiplos e divisores. Orientar os grupos de participantes na ampliação de esse PEP inicial. Na sessão anterior verificou-se a existência de um fenômeno de desarticulação da matemática escolar no âmbito do ensino de múltiplos e divisores no Ensino Fundamental. Desta constatação, surgem as seguintes questões para as quais tentaremos encontrar uma resposta: i. Como podemos colmatar estas lacunas? ii. Que dispositivos didáticos poderemos utilizar para articular as praxeologias matemáticas escolares relacionadas com os múltiplos e divisores? iii. Como podemos articular as questões a colocar aos estudantes e as respostas esperadas/possíveis? I Simpósio Latino-Americano de Didática da Matemática (LADIMA) Página 6 de 10

7 Estas questões serão o ponto de partida para um segundo momento que consistirá na construção de percursos de estudo e pesquisa (PEP) no âmbito da formação de professores de Matemática neste nível de Ensino. Os participantes irão trabalhar em grupos de 3 elementos para construir um PEP concreto, a partir de uma questão geratriz, para o ensino dos múltiplos e divisores. Mais concretamente, pretende-se partir de uma questão geratriz e aberta relacionada com o ensino dos múltiplos e divisores e desenhar uma estrutura em árvore (esqueleto) com as questões principais e intermédias que devem ser colocadas aos estudantes para os orientar na construção autónoma do seu conhecimento matemático (praxeologias). Deste modo, nessa árvore também devem aparecer todas as técnicas possíveis e úteis para responder a essas questões, assim como as tecnologias que permitem justificar a utilização dessas mesmas técnicas e as respetivas teorias associadas. Em seguida, apresenta-se a definição de PEP aos participantes da seguinte forma: Os PEP, tal como todos os dispositivos didáticos, podem representar-se por um esquema que se denomina esquema herbartiano (CHEVALLARD, 2009) que pode considerar-se como um modelo didático geral de referência e que toma a seguinte forma: Partindo de um sistema didático S formado por uma comunidade de estudo X na qual se pretende abordar uma questão Q com a ajuda de um grupo de professores Y. O resultado final desta abordagem é a elaboração de uma resposta R formada por componentes praxeológicos mais ou menos integrados. Para iniciar a construção de um PEP concreto, a partir de uma questão geratriz, para o ensino dos múltiplos e divisores, os participantes dos diferentes grupos poderão perguntar: Como realmente se constrói um PEP? Uma possível resposta poderá consistir no desenho de uma estrutura em árvore (esqueleto) com: as questões principais e intermédias que devem ser colocadas aos estudantes para os orientar na construção autónoma do seu conhecimento matemático (praxeologias respostas); todas as técnicas possíveis e úteis para responder a essas questões; I Simpósio Latino-Americano de Didática da Matemática (LADIMA) Página 7 de 10

8 as tecnologias que permitem justificar a utilização dessas mesmas técnicas e as respetivas teorias associadas. Por exemplo: PEP múltiplos e divisores para a Formação de Professores Q 0 : Como ensinar os múltiplos e divisores a estudantes do ensino fundamental? Q 1 : Como posso ajudar os meus alunos a melhorar a sua prestação na identificação dos divisores de um número? Q 11 : Que técnicas, tecnologias e teorias devo indicar aos meus alunos? Como devo ordenar o estudo de essas técnicas? (Possível resposta) : Exemplo de tarefa: : Determine os divisores de 24. Técnica possível: : Escrever todos os divisores em pares: Exemplo de tarefa: : Será que 3 é divisor de 342? (ou, Será que 342 é múltiplo de 3?) Técnica possível: : Somar os algarismos do número 342 e verificar se a soma é divisível por 3. Técnica sustentada pela tecnologia: Critério de divisibilidade por 3 Exemplo de tarefa: : Será que 8 é divisor de 342? (ou, Será que 342 é múltiplo de 8?) Q 111 : Existe algum critério de divisibilidade por 8? Q 1111 : Que outras técnicas podemos usar? Técnica possível: : Usar o algoritmo da divisão e observar se o resto é igual a 0. E assim, sucessivamente. Em resumo, o PEP deverá descrever todas as componentes praxeológicas associadas ao ensino dos múltiplos e divisores no Ensino Fundamental, ou seja, as tarefas, as técnicas (por exemplo: escrever todos os divisores em pares, efetuar divisões para verificar se se obtém I Simpósio Latino-Americano de Didática da Matemática (LADIMA) Página 8 de 10

9 resto zero, etc.), as tecnologias (por exemplo: os critérios de divisibilidade como hipóteses), as teorias (por exemplo: os teoremas que justificam estes critérios). Em seguida, cada grupo de participantes irá completar este PEP inicial com as componentes praxeológicas relevantes associadas ao estudo dos múltiplos, m.d.c. e m.m.c., algoritmo de Euclides, etc. Cada grupo, representado por um(a) Secretário(a) à escolha, irá expor o trabalho desenvolvido, ou seja, a apresentação das pequenas árvores (PEP) de cada um dos grupos de participantes ao grande grupo. Estas exposições irão culminar com uma discussão e síntese em grande grupo. Sessão n.º 3 Duração: 1h30 Objetivos Mostrar alguns PEPs já existentes em outros âmbitos da atividade matemática escolar. Orientar os grupos de participantes na ampliação do PEP da última sessão projetando sempre em uma futura utilização com os seus alunos. Apresentação dos trabalhos dos pequenos grupos e discussão dos resultados em grande grupo. Esta última sessão inicia-se com a visualização de alguns possíveis PEP em outros âmbitos da formação de professores de matemática, mais concretamente, com a exposição do trabalho de tese de Alicia Ruiz-Olarría (2015) que consistiu na construção de módulos para a Formação de Professores a partir de PEP. Em particular, M 1 : Vivir un REI en posición de estudiante M 2 : Análisis matemático-didáctico del REI vivido Da sessão anterior resultou um PEP que permite articular as praxeologias matemáticas, as questões e as respostas relacionadas com o estudo dos múltiplos e divisores de números naturais. No entanto, podem surgir as seguintes questões: i. Será possível ampliar os PEP apresentados por cada grupo na sessão anterior? ii. Será possível articular com mais praxeologias alargando assim o âmbito da I Simpósio Latino-Americano de Didática da Matemática (LADIMA) Página 9 de 10

10 atividade matemática desenvolvida? Os participantes irão trabalhar em grupos de 3 elementos com o objetivo de responder às questões apresentadas, ou seja, no sentido de ampliar as árvores (por exemplo, ao estudo do m.d.c. e m.m.c.). A oficina concluir-se-á com a apresentação das árvores (PEP) de cada um dos grupos de participantes ao grande grupo e a sua posterior análise e discussão. Referências CHEVALLARD, Y. (2009). La notion d'ingénierie didactique, un concept à refonder. Questionnement et éléments de réponse à partir de la TAD. Disponible en: < Acceso en: 12 nov RUIZ-OLARRÍA, A. (2015). La formación matemático-didáctica del profesorado de secundaria: De las matemáticas por enseñar a las matemáticas para la enseñanza (Tesis Doctoral no publicada). Universidad Autónoma de Madrid. I Simpósio Latino-Americano de Didática da Matemática (LADIMA) Página 10 de 10