O CONCEITO DE DIVISÃO NA PROPOSIÇÃO DAVYDOVIANA PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA 1

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1 O CONCEITO DE DIVISÃO NA PROPOSIÇÃO DAVYDOVIANA PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA 1 Educação e Produção do Conhecimento nos Processos Pedagógicos Sandra Crestani 2 O objeto de pesquisa consiste na relação universal do conceito de divisão na proposição davydoviana para o ensino de Matemática. Partiu-se do pressuposto de que as proposições davydovianas podem contribuir para se repensar a educação Matemática escolar brasileira. Esta tem sido reverenciada pelo seu aspecto prático-utilitário, dissociada do movimento conceitual teórico (CATANANTE; ARAUJO, 2014). O desenvolvimento de conteúdos práticoutilitários, dirigidos para o mercado de trabalho, impossibilita a apropriação de um conhecimento num plano mais elevado, mais elaborado do que aquele no cotidiano (GIARDINETTO, 1999, p. 67), mas não contempla o caráter universal, teórico, que potencializa a aplicação dos conceitos em qualquer situação particular (ROSA, 2012). A formação do pensamento teórico possibilita a compreensão da realidade por meio de conhecimentos científicos. Os empíricos, comumente ensinados na escola brasileira (DAMAZIO; ROSA; EUZÉBIO, 2012; HOBOLD, 2014) propiciam apenas a compreensão aparente da realidade (DAVÝDOV, 1982). Os científicos, por seu caráter universal, possibilitam o desenvolvimento de um procedimento de análise que supera a aparência superficial e adentra na essência. Nessa direção, Davýdov propõe um modo de organização de ensino a partir de seis ações de estudo. Na especificidade deste, elas são analisadas a partir do conceito de divisão. Deste modo, a hipótese é que as tarefas particulares, correspondentes ao conceito de divisão, são interconectadas pela relação universal. Porém, qual é a relação universal do conceito de divisão? Como essa relação se manifesta nas tarefas particulares correspondentes às seis ações de estudo? Para responder tais questões, propõe-se o seguinte 1 Trabalho desenvolvido com orientação da Profa. Dra. Josélia Euzébio da Rosa. 2 Mestranda do Programa de Pós-Graduação em Educação, UNISUL, com bolsa da FAPESC Fundação de Amparo à Pesquisa e Inovação do Estado de Santa Catarina. 1

2 objetivo de pesquisa: revelar a relação universal do conceito de divisão, nas tarefas particulares, correspondentes às seis ações de estudo davydovianas. O Materialismo Histórico e Dialético e a Teoria Histórico-Cultural sustentam o processo de análise, a partir das seguintes categorias: geralparticular, universal-singular e abstrato-concreto. Trata-se de uma pesquisa bibliográfica, cuja fonte de dados são os livros didáticos e de orientações aos professores, publicados por Davýdov (ДАВЫДОВ, 2003) e colaboradores Gorbov (ГОРБОВ), Mikulina (МИКУЛИНА) e Savieliev (САВЕЛЬЕВА). A análise dos dados foi realizada com base nos Fundamentos Matemáticos (CARAÇA, 2002; COSTA, 1866); Lógicos, Psicológicos e Didáticos (VIGOTSKI, 2000; DAVÝDOV, 1982; DAVÍDOV; SLOBÓDCHIKOV, 1991; DAVÍDOV, 1988; REPKIN, 2014; DAVYDOV; SLOBODCHIKOV; TSUKERMAN, 2014); e Filosóficos (KOPNIN, 1978; KOPNIN, 1960; STERNIN, 1960). Adotar-se-ão os seguintes procedimentos de investigação: estudo das seis ações davydovianas e dos fundamentos matemáticos do conceito de divisão; análise das tarefas davydovianas para identificação dos elementos que compõem a relação genética do referido conceito e revelação de sua conexão interna; seleção das tarefas que representam o sistema correspondente às seis ações de estudo; reflexão teórica com base nos fundamentos da Teoria Histórico-Cultural. A partir dos estudos da obra de Davýdov (1982) e do modo de organização de ensino por ele proposto, constatou-se que a tarefa de estudo referente ao conceito de divisão é formada por um sistema de tarefas particulares, no contexto das seis ações. Nessa proposição, o conceito de divisão não é revelado imediatamente. Para atingi-lo, faz-se necessário reproduzi-lo, em um processo dialético de construção e superação das manifestações externas dos objetos. O conteúdo do conceito é revelado por meio de ações de estudo, as quais colocam o estudante em atitude investigativa, a fim de levá-lo à compreensão do movimento conceitual da divisão. Este é abordado a partir da ação objetal, por meio da relação entre grandezas (grandeza discreta com grandeza discreta, volume com volume, áreas com áreas, comprimentos com comprimentos, entre outras). Nesse processo, introduz-se a interconexão das 2

3 unidades de medidas básicas com as unidades de medidas intermediárias e o total de ambas. A representação objetal do conceito de divisão, gradativamente, é substituída pela reta numérica e pelo esquema. Estes expressam, de modo mais amplo, a interconexão válida para qualquer grandeza, na qual se revela a essência da divisão. A passagem da representação das relações entre grandezas no plano objetal para a representação na reta ou no esquema (gráfica) constitui um importante estágio do processo de abstração teórica do conceito, conforme se apresenta na sequência. Tarefa 1 - No quadro há uma reta numérica. O professor informa que é preciso colocar m objetos em colunas contendo 3 objetos cada. Quantas colunas serão ao todo? (Ilustração 1). Ilustração 1 1ª tarefa, figura parcialmente oculta e esquema de setas Fonte: Elaboração da autora com base na proposição davydoviana, Em seguida, esclarece que para determinar o total é necessário contar de 3 em 3, pois, de acordo com a tarefa, a medida intermediária (coluna) é 3. O total de colunas (medida intermediária) pode ser determinado por meio da divisão, cuja expressão representativa é: m 3. O professor sugere indicar a representação da operação (M 3 =?) e a determinação do número de colunas, para m = 21 no esquema e na operação aritmética (Ilustração 2). Ilustração 2-1ª tarefa, figura parcialmente oculta e esquema correspondente Fonte: Elaboração da autora com base na proposição davydoviana, A questão norteadora refere-se à quantidade de colunas que compõe a figura parcialmente oculta. Em outras palavras: quantas vezes a unidade de 3

4 medida intermediária (composta por 3 unidades básicas) cabe no todo (21 unidades básicas). Ou, matematicamente: 21 3? A resolução ocorre na reta numérica (Ilustração 3). Ilustração 3-1ª tarefa, representação na reta numérica Fonte: Elaboração da autora com base na proposição davydoviana, Através da representação objetal e do esquema gráfico (Ilustração 2), constata-se que são 21 unidades de medidas básicas, conforme o enunciado. A unidade de medida intermediária é a quantidade de objetos que há em cada coluna (3 unidades básicas). Na reta (Ilustração 3), são formados agrupamentos compostos por 3 unidades cada, representados pelos arcos. Quantos arcos foram formados no total? (7 arcos). Conclui-se que a operação realizada foi a divisão. Esta determina a quantidade de medidas intermediárias (divisor) que cabe no total de unidades básicas (dividendo). Costa (1866, p. 43) afirma que o dividendo é sempre igual ao produto do divisor pelo quociente. E multiplicar dois números inteiros é repetir um tantas vezes quantas as unidades do outro [...], logo, a divisão de dois números inteiros tem por objeto achar quantas vezes o dividendo contém o divisor (COSTA, 1866, p. 43). A origem do conceito se faz no procedimento de reprodução da relação essencial, universal entre unidades básicas e intermediárias na ação objetal. Esta é abstraída por meio da reta numérica. Considerações finais Há uma conexão interna entre o conteúdo do conceito de divisão e o procedimento que representa o movimento do objetal ao gráfico. Os elementos que compõem a relação genética do referido conceito são: unidade básica, intermediária e total de ambas. A origem do conceito se faz na interconexão destes. 4

5 Vale ressaltar a importância de se considerar a gênese do conceito, de seu processo de formação, a fim de possibilitar a compreensão dialética do conhecimento não como algo pronto e acabado, mas em movimento, em transformação, como resultado da produção humana em seu estágio atual. Por isso, a relevância de se superar a representação objetal, mesmo que da relação essencial do conceito, tal como ocorre na reta e nos esquemas de setas. Trata-se de uma abstração teórica do conceito de divisão constituída não pelos traços externos do objeto (linhas e colunas), mas pela interconexão dos elementos constitutivos do conceito. Em outras palavras, tal abstração não consiste no reflexo da imagem do objeto ponto de partida, mas na relação universal, interna que explica aquela aparência externa. Referências CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Gradiva, CATANANTE, I. T.; ARAUJO, E. S. Os limites do cotidiano no ensino da matemática para a formação de conceitos científicos. Poiésis, Tubarão. Volume Especial, p , jan./jun COSTA, J. M. C. DA. Tratado de arithmetica. Lisboa: Imprensa nacional, DAMAZIO, A.; ROSA, J. E.; EUZÉBIO, J. S. O ensino do conceito de número em diferentes perspectivas. Educ. Matem. Pesq., São Paulo, v.14, n.1, p , DAVÍDOV, V. V. La enseñanza escolar y el desarrollo psíquico: investigación teórica y experimental. Trad. Marta Shuare Moscú: Editorial Progreso, DAVÍDOV, V. V.; SLOBÓDCHIKOV, V. I. La enseñanza que desarrolla en la escuela del desarrollo; en La educación y la enseñanza: una mirada al futuro. Progreso, Moscú, p , DAVYDOV, V. V.; SLOBODCHIKOV, I.; TSUKERMAN, G. A. O aluno das séries iniciais do ensino fundamental como sujeito da atividade de estudo Ensino Em Re-Vista, v. 21, n. 1, p , jan./jun DAVÝDOV, V. V. Tipos de generalización en la enseñanza. 3. ed. Habana: Editorial Pueblo y Educación, p 5

6 GIARDINETTO, J. R. B. Matemática escolar e matemática da vida cotidiana. Campinas, SP: Autores Associados, (Coleção polêmicas do nosso tempo, v. 65) HOBOLD, E. S. F. Proposições para o Ensino da tabuada com base nas Lógicas Formal e Dialética f. Dissertação (Mestrado em Educação)-Universidade do Sul de Santa Catarina, UNISUL. Tubarão, KOPNIN, P. V. A dialética como lógica e teoria do conhecimento. Rio de Janeiro: Civilização Brasileira, O abstrato e o concreto. In: ROSENTAL, M. M.; STRAKS, G. M. Categorías del Materialismo Dialéctico. Tradução de Adolfo Sanchez Vazquez e Wenceslao Roces. México: Grijalbo p REPKIN, V. V. Ensino desenvolvente e atividade de estudo. Ensino Em Re- Vista, v. 21, n. 1, p , jan./jun ROSA, J. E. Proposições de Davydovy para o ensino de Matemática no primeiro ano escolar: inter-relações dos sistemas de significações numéricas. Tese (Doutorado em Educação). Universidade Federal do Paraná, STERNIN, A. O. O singular, o particular e o universal. In: ROSENTAL, M. M.; STRAKS, G. M. Categorías del Materialismo Dialéctico. Tradução de Adolfo Sanchez Vazquez e Wenceslao Roces. México: Grijalbo p VIGOTSKI, L. S. A construção do pensamento e da linguagem. Bezerra P. Tradução de Paulo Bezerra. São Paulo: Martins Fontes, Давыдова). 2-е ида. перераб. - М.:ВИТА-ПРЕССб, [Ensino de Matemática. 3 ano: livro do professor do ensino fundamental (sistema do D.B.Elkonin V.V. Davidov)/S.F.Gorbov, G.G.Mikulina, O.V.Savieliev 3-a edição, - Moscou, VITA-PRESS,