UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA SANDRA CRESTANI

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1 UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA SANDRA CRESTANI ORGANIZAÇÃO DO ENSINO DE MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA DO DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO TEÓRICO: UMA REFLEXÃO A PARTIR DO CONCEITO DE DIVISÃO Tubarão 2016

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3 10 C94 Crestani, Sandra, Organização do ensino de matemática na perspectiva do desenvolvimento do pensamento teórico : uma reflexão a partir do conceito de divisão / Sandra Crestani ; f. il. color. ; 30 cm Orientadora : Josélia Euzébio da Rosa. Dissertação (mestrado) Universidade do Sul de Santa Catarina, Tubarão, Inclui bibliografias. 1. Ensino. 2. Matemática Estudo e ensino. 3. Matemática - Problemas, exercícios, etc. 4. Educação teoria. I. Rosa, Josélia Euzébio da. II. Universidade do Sul de Santa Catarina Mestrado em Educação. III. Título. CDD (21. ed.) Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul

4 11 Aos professores comprometidos com a formação omnilateral humana, em especial, minha orientadora Josélia.

5 AGRADECIMENTOS A Deus, primeiramente, pela dádiva da vida, pela oportunidade bendita de estar neste mundo, superando a cada dia minhas limitações. E por ter colocado no meu caminho pessoas tão especiais, que muito contribuíram para a realização deste trabalho. A meus pais, Otávio (em memória) e Valdeci, pelo amor, zelo e educação, mesmo diante das dificuldades. À minha orientadora Profa. Dra. Josélia Euzébio da Rosa, pela paciência, carinho e confiança tão necessários em minha caminhada; pelas suas valiosas correções e contribuições e por seu exemplo de ser humano e profissional. Sou grata por todo o aprendizado que me proporcionou, sobretudo, por me mostrar a importância de nos constituirmos como grupo, de me ensinar a compartilhar coletivamente os estudos realizados, as dúvidas, os anseios, mostrando-me que, assim, podemos ir mais longe. Ao meu marido, Airto e meus filhos Ramiro e Artur, pelo apoio, amor e compreensão. Ao meu irmão e amigo Alexandre, pelo incentivo, apoio e amizade incondicional. Aos professores participantes da banca de qualificação e defesa Prof. Dr. Ademir Damazio, Prof. Dr. Manoel Oriosvaldo de Moura, Profa. Dra. Letícia Carneiro Aguiar e Prof. Dr. Gilvan Luiz Machado Costa, pela paciência, compreensão e, principalmente, por compartilharem seus conhecimentos, contribuindo para o aperfeiçoamento deste trabalho. Aos professores e funcionários da Unisul, por contribuírem, de uma forma ou de outra, com minha formação, em especial às professoras doutoras: Graça, Leonete, Fátima, Tânia e a secretária do PPGE, Daniela, que, no exercício de sua função, destacou-se pela atenção, presteza e competência no trato com todos. Aos colegas da unidade de relacionamento catarinense do GEPAPe (GPEMAHC/TEDMAT), pelas contribuições e discussões teóricas realizadas durante todo o percurso investigativo, em especial à minha querida amiga Daiane. Aos amigos, companheiros do curso, Gi, Ana, Cris, Bia, Mariana e Cléber, pela amizade e parceria tão importantes na caminhada acadêmica. Obrigada pelas discussões e reflexões realizadas durante o curso, e que muito contribuíram na produção desse trabalho. A Gi, Ediséia, Cris e Ana, pela leitura atenta e pelas valiosas contribuições. Cris, obrigada pela companhia tão importante nas viagens a Tubarão. Foi nessas idas e vindas que nasceu em nós uma linda amizade!

6 Ana, com traços tão delicados, ocultou por poucos instantes a pessoa forte, determinada, madura que você é. Agradeço suas valiosas contribuições e sua franqueza no momento em que mais precisei. Às alunas do curso de Pedagogia da Unisul, pelo aprendizado obtido durante o período de estágio docente. Foi muito bom tê-las conhecido e convivido com vocês durante todo o segundo semestre de 2015! À Fundação de Amparo à Pesquisa e Inovação do Estado de Santa Catarina (FAPESC), pela bolsa concedida para a realização desta pesquisa. A TODOS, MUITO OBRIGADA!

7 Temos de assegurar as duas pontas da corrente: revolucionar o ensino, o que implica em revolução social e dar nossa aula amanhã cedo (George Snyders).

8 RESUMO O foco da pesquisa inside no modo de organização de ensino do conceito de divisão proposto por Davýdov. O pressuposto é que a obra davydoviana pode contribuir para repensarmos a Educação Matemática brasileira, com a finalidade de promover o desenvolvimento do pensamento teórico por meio da apropriação dos conceitos científicos. Davýdov propõe, a partir dos fundamentos da Teoria do Ensino Desenvolvimental, que o ensino dos conceitos matemáticos seja organizado por meio de tarefas de estudos, constituídas de seis ações, cujo desenvolvimento ocorre durante a resolução de um sistema de tarefas particulares. A hipótese é que as ações de estudo, referentes ao conceito de divisão, são interconectadas pela sua relação geneticamente inicial, universal. Nesse sentido, investigamos as manifestações da relação universal do conceito de divisão, nas tarefas particulares e sua conexão com as seis ações de estudo. A fonte de dados da pesquisa, de caráter bibliográfico, foi a obra de Davýdov. Durante o procedimento de análise fundamentou-se na Teoria Histórico-Cultural, mais especificamente nos Fundamentos Matemáticos, Lógicos, Psicológicos, Didáticos e Filosóficos. Os procedimentos para a efetivação da pesquisa foram: estudo das seis ações davydovianas e dos Fundamentos Matemáticos do conceito de divisão; análise das tarefas davydovianas para identificação dos elementos que compõem a relação genética do referido conceito e revelação de sua conexão interna; seleção das tarefas que compõem o sistema correspondente às seis ações de estudo; discussão teórica com base nos fundamentos da Teoria do Ensino Desenvolvimental. Constatou-se que, na proposição davydoviana, a conexão interna do conceito de divisão é revelada no movimento de modelação que segue do plano objetal ao gráfico e literal. Os elementos que compõem tal conexão são: as unidades básica e intermediária, bem como o total de ambas. A gênese do conceito, na interconexão desses elementos, desencadeia um movimento conceitual orientado do geral para o particular e singular por meio da interconexão das significações algébricas, geométricas e aritméticas. Após a resolução da problemática de pesquisa, com base na revelação da relação universal do conceito de divisão e de sua manifestação nas tarefas particulares correspondentes às seis ações de estudo, finalizamos a dissertação com uma reflexão sobre as possibilidades de objetivação do pressuposto inicial, a partir do seguinte questionamento: como a obra davydoviana pode contribuir para as reflexões sobre a Educação Matemática brasileira, com a finalidade de promover o desenvolvimento do pensamento teórico, por meio da apropriação científica dos conceitos? Para tanto, estabelecemos um diálogo com os pressupostos teóricos da Atividade Orientadora de Ensino (AOE), desenvolvida pelo professor Manoel Oriosvaldo de Moura e seus seguidores, no contexto do Grupo de Estudos e Pesquisa sobre a Atividade Pedagógica, tendo como referência os mesmos fundamentos teóricos da proposição davydoviana. Dentre os recursos propostos pela AOE elaboramos e desenvolvemos matematicamente uma história virtual. O conceito norteador é o de divisão, inter-relacionado com outros conceitos matemáticos, principalmente, o de multiplicação, uma vez que ambos conformam um sistema conceitual cuja relação interna, de origem, é a mesma. Além disso, refletimos sobre alguns elementos teóricos que fundamentam o movimento conceitual, tais como a relação entre o abstrato e o concreto e o movimento entre geral, particular e singular. Trata-se, portanto, da objetivação do movimento conceitual proposto nas tarefas davydovianas no desenvolvimento de uma história virtual. Palavras-chave: Modo de organização do ensino. Conceito de divisão. Pensamento teórico. Ensino desenvolvimental. Davýdov.

9 10 RESUMEN El foco de la investigación es sobre la manera de organización de la enseñanza del concepto de división propuesto por Davýdov. El presupuesto es que la obra de Davýdov puede contribuir para repensar la Educación Matemática brasileña con el objetivo de promover el desarrollo del pensamiento teórico por medio de la apropiación científica de los conceptos. Desde los fundamentos de la Teoría de la Enseñanza y del Desarrollo, Davýdov propone que la enseñanza de los conceptos de Matemático sea organizada por medio de tareas de estudio, constituidas por seis acciones cuyo desarrollo ocurre durante la resolución de un sistema de tareas particulares. La hipótesis es que las acciones de estudio referentes al concepto de división son interconectadas por su relación genéticamente inicial y universal. En ese sentido son investigadas, en ese trabajo, las manifestaciones de la relación del concepto de división en las tareas particulares, y en conexión con las seis acciones de estudio. La fuente de datos de la investigación bibliográfica fue la obra de Davýdov. Durante el procedimiento de análisis la fundamentación fue la Teoría Histórico-Cultural, específicamente en los Fundamentos Matemáticos, Lógicos, Psicológicos, Didácticos y Filosóficos. Los procedimientos para realizar la investigación fueron: estudio de las seis acciones de Davýdov y de los Fundamentos Matemáticos del concepto de división; análisis de las tareas de Davýdov para identificación de los elementos que componen la relación genética del referido concepto y revelación de su conexión interna; selección de las tareas que componen el sistema correspondiente a las seis acciones de estudio; e discusión teórica basada en los fundamentos de la Teoría de la Enseñanza e del Desarrollo. Fue constatado que en la proposición de Davýdov, la conexión interna del concepto de división es revelada en el movimiento de modelación que sigue del plan de lo objeto para el grafico y literal. Los elementos que componen esa conexión son su unidad básica, intermediaria, y su total. La génesis del concepto, en la interconexión de eses elementos, desencadena un movimiento conceptual cuya orientación es del general para el particular o singular, por medio de la interconexión de las significaciones algébricas, geométricas o aritméticas. Después de la resolución del problema de la investigación y por medio de la relación universal del concepto de división y de su manifestación en las tareas particulares correspondientes a las seis tareas de estudio, la disertación es finalizada con una reflexión sobre las posibilidades de objetivación del presupuesto inicial por medio del siguiente cuestionamiento: cómo la obra de Davýdov puede contribuir para las reflexiones sobre la Educación Matemática brasileña con el objetivo de impulsar el desarrollo del pensamiento teórico por medio de la apropiación científica de los conceptos? Para ello, establecemos un diálogo con la Actividad Orientadora de Enseñanza (AOE), desarrollada por el profesor Manoel Oriosvaldo de Moura y sus seguidores en el contexto del Grupo de Estudios E investigación sobre la Actividad Pedagógica, desde los mismos fundamentos teóricos de la proposición de Davýdov. Entre los recursos propuestos por la AOE, nosotros elaboramos y desarrollamos matemáticamente una historia virtual. El concepto conductor es la división, interrelación con otros conceptos matemáticos, principalmente el de la multiplicación, una vez que ambos forman un sistema conceptual cuya relación interna, de origen, es la misma. Además, reflexionamos sobre algunos elementos teóricos que fundamentan el movimiento conceptual, cómo la relación entre el abstracto y el concreto, y el movimiento entre general, particular y singular. Por lo tanto, es la objetivación del movimiento conceptual propuesto en las tareas de Davýdov en el desarrollo de una historia virtual. Palabras-clave: Educación Matemática. Modo de organización de la enseñanza. Concepto de división. Desarrollo del pensamiento teórico.

10 11 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Ilustração 1 - Esquema síntese da pesquisa Ilustração 2 - Elementos que compõem a relação essencial do conceito de divisão Ilustração 3-1ª tarefa, transferência de líquidos Ilustração 4-1ª tarefa, unidade de medida básica e unidade de medida intermediária (volumes A e C) Ilustração 5-1ª tarefa: relação quantitativa entre unidade de medida básica e intermediária. 44 Ilustração 6 - Modelo objetal, gráfico e literal Ilustração 7-2ª tarefa: figura parcialmente oculta e esquema de setas Ilustração 8-2ª tarefa: figura parcialmente oculta e dados no esquema de setas Ilustração 9-2ª tarefa: figura parcialmente oculta e esquema correspondente para M = Ilustração 10-2ª tarefa: resolução de 21 3 = na reta numérica Ilustração 11-2ª tarefa: representação gráfica (esquema) Ilustração 12-2ª tarefa: representação gráfica (reta numérica) Ilustração 13-2ª tarefa: representação gráfica (esquema) Ilustração 14-2ª tarefa: representação gráfica (esquema e reta) Ilustração 15-3ª tarefa: esquema abstrato Ilustração 16-4ª tarefa: representação gráfica Ilustração 17-4ª tarefa: representação da multiplicação no esquema Ilustração 18-4ª tarefa: resultado da operação de multiplicação no esquema Ilustração 19-4ª tarefa: representação da operação de divisão Ilustração 20-4ª tarefa: representação da divisão no esquema Ilustração 21-4ª tarefa: modelo gráfico e literal Ilustração 22 - Transformação do modelo Ilustração 23-5ª tarefa: representação dos dados no esquema de setas Ilustração 24-5ª tarefa: representação da operação de multiplicação 8 x 6 no esquema Ilustração 25-5ª tarefa: representação no esquema setas dos dados contidos na reta Ilustração 26-5ª tarefa: representação gráfica da operação de divisão Ilustração 27-5ª tarefa: representação gráfica da operação de divisão Ilustração 28-5ª tarefa: representação dos dados no esquema Ilustração 29-5ª tarefa: representação gráfica da operação de divisão Ilustração 30-5ª tarefa: representação gráfica da operação de divisão Ilustração 31-5ª tarefa: quadro-síntese da transformação do modelo... 66

11 Ilustração 32-6ª tarefa: representação objetal dos dados da tarefa Ilustração 33-6ª tarefa: representação no esquema, da divisão da soma pelo número Ilustração 34-6ª tarefa: representação no esquema da divisão da soma pelo número Ilustração 35-6ª tarefa: representação da transformação do modelo gráfico Ilustração 36 - Quarta ação de estudo Ilustração 37-7ª tarefa: representação gráfica da conversão de medidas Ilustração 38-7ª tarefa: representação gráfica da operação de divisão Ilustração 39-7ª tarefa: quadro da correlação entre unidades de comprimento Ilustração 40-8ª tarefa: operação da divisão pelo método da decomposição numérica Ilustração 41-8ª tarefa: explicitação dos elementos da relação universal no algoritmo da divisão Ilustração 42-4ª tarefa: modelo literal no algoritmo Ilustração 43-9ª tarefa: operação da divisão no algoritmo Ilustração 44-9ª tarefa: operação da divisão no algoritmo Ilustração 45-9ª tarefa: operação de divisão no algoritmo Ilustração 46-10ª tarefa: esquema e figura quadriculada Ilustração 47-10ª tarefa: esquema e figura quadriculada Ilustração 48-10ª tarefa: esquema e figura quadriculada Ilustração 49-11ª tarefa: verificação do resto da operação de divisão Ilustração 50-11ª tarefa: divisão na régua Ilustração 51-11ª tarefa: divisão na régua Ilustração 52-11ª tarefa: divisão na régua Ilustração 53-11ª tarefa: divisão na régua Ilustração 54 - Ação de controle e avaliação Quadro 1 - Síntese das seis ações de estudo Ilustração 55 - História Virtual: A produção de laços de Dona Baratinha Ilustração 56 - Relação entre a grandeza comprimento Ilustração 57 - Relação entre a grandeza comprimento Ilustração 58 - Quantidade de palmos Ilustração 59 - Relação entre A, B e C Ilustração 60 - Introdução da primeira seta no esquema Ilustração 61 - Introdução da segunda seta no esquema Ilustração 62 - Introdução da terceira seta no esquema Ilustração 63 - Transformação do modelo no esquema de setas... 96

12 Ilustração 64 - Propriedade comutativa da multiplicação Ilustração 65 - Constituição da particularidade Ilustração 66 - Esquema parcial, representativo da unidade de medida intermediária Ilustração 67 - Esquema de setas representativo da operação de divisão n 4 = Ilustração 68 - Modelo representativo da operação de divisão Ilustração 69-1ª tarefa: esquema de setas representativo da operação de divisão Ilustração 70-1ª tarefa: operação de divisão na reta numérica Ilustração 71-1ª tarefa: esquema de setas da operação 16 4 = Ilustração 72-2ª tarefa: esquema de setas representativo da operação 23 4 = Ilustração 73-2ª tarefa: operação de divisão com resto, na reta numérica Ilustração 74-2ª tarefa: esquema representativo da operação 23 4 = 5 (resto 3) Ilustração 75-3ª tarefa: decomposição do dividendo Ilustração 76-3ª tarefa: representação do algoritmo: 4 centenas 4 = 1 centena Ilustração 77-3ª tarefa: representação do algoritmo: 8 dezenas 4 = 2 dezenas Ilustração 78-3ª tarefa: representação do algoritmo: 4 unidades 4 = 1 unidade Ilustração 79-4ª tarefa: representação do algoritmo: = Ilustração 80-4ª tarefa: representação do algoritmo: 1 centena 4 = centena Ilustração 81-4ª tarefa: representação do algoritmo: 1 centena 4 = 0 centena Ilustração 82-4ª tarefa: representação do algoritmo: 13 dezenas 4 = dezenas Ilustração 83-4ª tarefa: representação do algoritmo: 13 dezenas 4 = 3 dezenas (resto 1 dezena) Ilustração 84-4ª tarefa: representação do algoritmo de 12 unidades 4 = 3 unidades Ilustração 85-5ª tarefa: representação na reta numérica 4 x 5 = x 5 = Ilustração 86 - Comprimentos de palmos diferentes Ilustração 87 - Carta para Dona Baratinha Quadro 2 - Síntese da resolução da história virtual

13 LISTA DE SIGLAS AOE - Atividade Orientadora de Ensino GEPAPe - Grupo de Estudos e Pesquisa sobre Atividade Pedagógica GPEMAHC - Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: uma abordagem Histórico- Cultural SAEB - Sistema de Avaliação da Educação Básica TEDMAT - Teoria do Ensino Desenvolvimental na Educação Matemática UNESC - Universidade do Extremo Sul Catarinense UNISUL - Universidade do Sul de Santa Catarina USP - Universidade de São Paulo

14 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO INTRODUÇÃO PROPOSIÇÃO DAVYDOVIANA PARA O CONCEITO DE DIVISÃO NO CONTEXTO DAS SEIS AÇÕES DE ESTUDO POSSIBILIDADES DE OBJETIVAÇÃO DO PRESSUPOSTO E FINALIDADE DA PESQUISA CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS

15 14 APRESENTAÇÃO Diante do contexto atual da educação em nosso país, das reformas e tentativas de superação, almejamos, com a presente pesquisa, contribuir para as reflexões sobre o modo de organização de ensino concernente à indissociabilidade entre conteúdo e método, no contexto da atividade de estudo, com base na obra de Davýdov. O pressuposto é de que a proposição davydoviana possa contribuir para repensarmos a Educação Matemática brasileira e o modo de organização de ensino. De acordo com Davídov (1988, p. 27, tradução nossa), a totalidade da atividade espiritual das pessoas está determinada pela prática social [...]. No contexto histórico e social, a atividade essencial do homem consiste no trabalho, que assegura as transformações humanas e sociais. Na concepção davydoviana, a atividade profissional é precedida pela atividade de estudo, responsável por desenvolver as premissas necessárias para a realização da atividade de trabalho e, principalmente, o desenvolvimento das capacidades mentais dos estudantes. Estes, quando em atividade de estudo, reproduzem os conhecimentos elaborados historicamente pela humanidade. A atividade de estudo consiste em um dos tipos de atividade reprodutiva das crianças [...] (DAVÍDOV, 1988, p. 159, tradução nossa). Decorre, pois, da necessidade de investigações que apontem possibilidades de desenvolvimento da atividade de estudo em suas máximas possibilidades. A educação escolar, de acordo com Davídov (1987, p. 147, tradução nossa), pode e deve mudar o tipo geral e os ritmos gerais de desenvolvimento psíquico das crianças, nos diferentes níveis de ensino. Para tanto, faz-se necessário repensar tanto o conteúdo quanto os métodos de ensino adotados (DAVÝDOV, 1982). É nessa direção que transitamos na investigação que gerou a presente dissertação. Davýdov, organizou o ensino dos conceitos matemáticos, com base em seis ações de estudo, que se tornaram referência para o aprofundamento teórico, no contexto da atividade de estudo, voltada para o ensino do conceito de divisão. Para tanto, elegemos os princípios da Teoria Histórico-Cultural para a sustentação da análise empreendida. A opção por essa proposição, denominada de Ensino Desenvolvimental, decorre da possibilidade anunciada por seus autores em desenvolver o pensamento dos estudantes no plano teórico, por meio da apropriação dos conhecimentos científicos. A fim de refletirmos sobre tal proposição, no contexto da organização do ensino brasileiro, estabelecemos um diálogo com a Atividade Orientadora de Ensino (AOE) (MOURA et al., 2010a, 2010b) articulada com a base teórica de Davýdov. Para tanto, desenvolvemos um problema

16 15 desencadeador, para o ensino do conceito de divisão, que contemple o pressuposto teórico da AOE e da Teoria do Ensino Desenvolvimental. Tal possibilidade ocorre por entendermos que o problema desencadeador de aprendizagem, peculiar à AOE, tem aproximações com as tarefas de estudo propostas pela Teoria do Ensino Desenvolvimental (MORAES, 2008). Ambas contemplam as condições necessárias para o estudante alcançar o objetivo da atividade de ensino: o desenvolvimento do pensamento teórico. Nesse sentido, adotamos como princípio a inter-relação entre o desenvolvimento do pensamento dos estudantes e o processo de ensino e aprendizagem. O ensino não só resulta em desenvolvimento, como também depende dele para continuar seu curso progressivamente (DAVÍDOV, 1988). Sendo assim, admitimos que as proposições, davydoviana e gepapeana, contribuem para repensarmos a Educação Matemática escolar brasileira nessa direção. Para atingir os propósitos estabelecidos, organizamos a dissertação em três capítulos. No primeiro capítulo, a Introdução, apresentamos o processo de constituição do objeto de estudo, bem como a caminhada acadêmica e profissional que propiciou a delimitação do objeto e problema da pesquisa. Nele, realizamos uma reflexão sobre o contexto pedagógico brasileiro, o modo de organização do ensino e algumas considerações acerca da finalidade a que se propõe a educação escolar, em nosso país. No segundo capítulo, Proposição davydoviana para o conceito de divisão no contexto das seis ações de estudo, revelamos a relação universal do conceito de divisão, no contexto das seis ações de estudo davydovianas, por meio de tarefas particulares extraídas dos livros didáticos e livros de orientação ao professor, organizados por Davýdov e colaboradores, na Rússia. No terceiro capítulo, intitulado Possibilidades de objetivação do pressuposto e finalidade da pesquisa, refletimos sobre as relações entre a AOE e o modo de organização davydoviano com base em um problema desencadeador. Trata-se da explicitação de uma possibilidade de objetivação do movimento conceitual matemático proposto por Davýdov, na resolução de um problema desencadeador, tendo como referência uma história virtual que traz em seu teor de significação, o conceito de divisão. As sínteses foram apresentadas no docorrer de todo o texto. Para finalizar, tecemos algumas considerações.

17 16 1 INTRODUÇÃO O conteúdo e os métodos de ensino primário, vigentes, se orientam predominantemente à formação, nos estudantes dos primeiros anos, das bases da consciência e do pensamento empíricos, caminho importante, mas não o mais efetivo na atualidade, para o desenvolvimento psíquico das crianças (DAVÍDOV, 1988, p. 99, tradução nossa). Iniciei 1 a atividade docente logo após a conclusão da Licenciatura em Matemática. Em sala de aula, os problemas decorrentes das dificuldades de aprendizagem dos conceitos matemáticos básicos eram notórios. Tais dificuldades incidiam, inclusive, em relação às operações fundamentais 2, como multiplicação e divisão. Isso obstaculizava o desenrolar do processo de ensino e aprendizagem, visto que a apropriação de conceitos básicos e a atividade de estudo estavam comprometidas. Ao conversar com outros professores constatei que tal condição era generalizada. Com o passar dos anos, a partir de novas experiências, pude verificar que essa precariedade se caracterizava como algo fossilizado no contexto escolar. E tais situações vivenciadas eram reveladoras da ausência de ações efetivas, voltadas para a organização do ensino e do tipo de conhecimento ensinado, que objetivassem o desenvolvimento integral dos estudantes. Ainda nesse período, em conversa com professores, alguns defendiam a necessidade de uma reforma educacional. Contudo, não concordava com essa compreensão, visto que reformas pressupunham a existência de algo pronto, que requeria apenas alguns ajustes, algumas mudanças que considero insuficientes. A educação atual carece de muito mais que isso, uma vez que, conforme assegura Mészáros (2008, p. 25, grifos do autor): As mudanças sob tais limitações apriorísticas e prejulgadas, são admissíveis apenas com o único e legítimo objetivo de corrigir algum detalhe defeituoso da ordem estabelecida, de forma que sejam mantidas intactas as determinações estruturais fundamentais da sociedade como um todo, em conformidade com as exigências inalteráveis da lógica global de um determinado sistema de reprodução. 1 Quando a referência for a minha vida pessoal, adotarei a primeira pessoa do singular. Porém, ao se tratar da pesquisa, escreveremos na primeira pessoa do plural, dado o caráter coletivo do contexto ao qual se insere a presente investigação. 2 Considero como operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação e logaritmação (CARAÇA, 2002, p. 16). No momento, refiro-me apenas às quatro primeiras.

18 17 A política neoliberal, que se instalou nas sociedades e se sustenta nas relações de poder, reflete-se na escola. Esta apresenta princípios mantenedores e um caráter adaptativo aos jovens em relação às condições sociais vigentes, próprias da sociedade capitalista. E não será por meio de reformas educacionais que tal situação poderá ser transformada. Desde a fase inicial do capitalismo, até os dias atuais, a natureza da educação [...] está vinculada ao destino do trabalho (MÉSZÁROS, 2008, p. 15). O trabalho, nas palavras de Konder (2008, p. 29), é a atividade pela qual o homem domina as forças naturais [...] e humaniza a natureza. Na fase inicial desse processo, houve uma profunda transformação, em especial com sua divisão social. Segundo o referido autor, alguns homens apresentavam maiores condições materiais do que outros, que permitia àqueles a exploração pelo trabalho destes. Com isso, a capacidade de pensar e agir se limitava aos interesses dominantes, que apresentavam certo poder sobre a classe trabalhadora. Konder (2008, p. 30, grifo do autor) assegura que: As condições criadas pela divisão do trabalho e pela propriedade privada introduziram um estranhamento entre o trabalhador e o trabalho, uma vez que o produto do trabalho, antes mesmo de o trabalho se realizar, pertence a outra pessoa que não o trabalhador. Por isso, em lugar de realizar-se no seu trabalho, o ser humano se aliena nele; em lugar de reconhecer-se em suas próprias criações, o ser humano se sente ameaçado por elas; em lugar de libertar-se, acaba enrolado em novas opressões. Tal mecanismo gerador da alienação, elemento mantenedor do sistema capitalista, permanece inalterado até os dias atuais. Facci (2004) afirma que, com o advento da globalização e o avanço tecnológico ocorrido na última década, as relações do homem com o trabalho sofreram novas transformações. Com a substituição humana por máquinas, grande parte da classe trabalhadora passou a conviver com índices alarmantes de desemprego, desvalorização e o agravamento da exploração do trabalho (KONDER, 2008, p. 33). Atualmente, a ordem capitalista segue um roteiro em que a produtividade e a lucratividade são palavras de ordem. Equivocadamente, a sociedade atual propaga o progresso, o avanço do conhecimento, da inovação, com base no desenvolvimento científico e tecnológico, sem intentar ao fato de que tal desenvolvimento não tem contribuído para a formação omnilateral do ser humano. Ao contrário, tem ampliado a exclusão, da grande massa da população, do acesso aos bens socialmente produzidos pela humanidade. Engels, em um artigo publicado ainda no século XIX, em uma revista parisiense, explica que a escravidão humana ocorrida no sistema feudal foi apenas substituída pela escravidão das coisas no sistema capitalista

19 18 (SUCHODOLSKI, 1976). Enquanto no sistema feudal a dominação era do homem sobre o próprio homem, no sistema capitalista a dominação do homem se dá pela formação ideológica. Estas conduzem à aceitação do capitalismo, por meio do estímulo ao consumo, à busca pela competência para o mercado de trabalho e à concorrência, em detrimento dos valores humanos e o direito ao acesso ao conhecimento, à liberdade de pensar e de ser homem integral na sociedade. Diante disso, Suchodolski (1976) assevera que a visão a ser incorporada é a negação da totalidade, da universalidade e a ênfase na individualização do conhecimento, cujo esforço objetiva sanar as necessidades particulares de cada um. O autor acrescenta que é dada ênfase à concorrência e à busca desenfreada pela competência e eficiência, o que justifica alguns sobressaírem-se mais que outros, pois [...] a concorrência que se agrava constantemente como consequência necessária da propriedade privada deve conduzir a contradições cada vez mais profundas, à opressão e exploração cada vez maiores (SUCHODOLSKI, 1976, p. 37). Essa competitividade gera a transferência de responsabilidades, em que o sujeito assume o encargo por seu sucesso ou fracasso profissional (FACCI, 2004). E o pior, serve para eximir o governo e a sociedade de responsabilidade diante da ausência de projetos coletivos que visem a possibilitar condições de emprego e de renda ao cidadão (MORETTI; MOURA, 2010, p. 352). Essa concepção de mundo repercute na educação que tende a orientar mudanças que conduzem a uma crescente desqualificação da escola pública [...] (FACCI, 2004, p. 9). A escola tornou-se local de apropriação de conhecimentos prático-utilitários, com vistas à preparação dos estudantes para o mercado de trabalho. Todavia, vale dizer que: O acesso ao conhecimento matemático sistematizado tem sido imprescindível para a própria transformação da vida cotidiana. Alijar os indivíduos desse acesso é alijá-los das condições básicas para o usufruto dos avanços tecnológicos que modificam a própria estrutura da vida dessas pessoas e que permitem o acesso aos demais produtos das objetivações humanas. Em outras palavras, o próprio conhecimento que cada indivíduo elabora para sua vida cotidiana não dá conta de responder às necessidades de sua própria vida cotidiana. Esse indivíduo precisa constantemente estar reelaborando esse conhecimento porque as exigências são cada vez mais colocadas. Portanto, a própria vida cotidiana necessita de interferências do nãocotidiano (GIARDINETTO, 1999, p. 7). Além disso, o desenvolvimento de conteúdos prático-utilitários, dirigidos para o mercado de trabalho, impossibilita a apropriação de um conhecimento num plano mais elevado, mais elaborado do que aquele no cotidiano (GIARDINETTO, 1999, p. 67), pois não

20 19 contempla o caráter universal, teórico, que potencializa a aplicação dos conceitos em qualquer situação particular (ROSA, 2012). Deste modo, o acesso ao conhecimento sistematizado, historicamente produzido, torna-se um direito negado aos estudantes. Giardinetto (1999) ressalta que a maioria das concepções que se formou a partir do século XX, tem como pressuposto que o homem deve se adaptar ao sistema capitalista vigente. Ou seja, no que diz respeito ao processo pedagógico, a proposta é desenvolver nos estudantes conhecimentos de cunho utilitarista. Em outras palavras, o indivíduo é obrigado a adquirir um conhecimento que é restrito às respostas necessárias para a superação de suas necessidades [...] imediatas, em um determinado contexto social (GIARDINETTO, 1999, p. 11, grifo do autor). Os conhecimentos científicos, universais, são substituídos por aqueles singulares, empíricos, considerados úteis para o desenvolvimento de atividades laborais, com ênfase nos saberes cotidianos. Trata-se de um conhecimento essencialmente prático-utilitário, pois nasce da necessidade da resposta imediata de superação dos problemas próprios da vida cotidiana (GIARDINETTO, 1999, p. 4). Isso fortalece o sistema capitalista e sedimenta entre os estudantes a conivência com o discurso neoliberal (FACCI, 2004). Deste modo, tais conhecimentos se afastam do objetivo que deveria ser fundamental na escolarização, o desenvolvimento integral do ser humano. Sendo assim, a escola não considera os estudantes como sujeitos pertencentes a um determinado contexto social, pois é por meio dela que esse indivíduo tem a possibilidade de se apropriar de um conhecimento que não lhe é possível apropriar ao plano da vida cotidiana (GIARDINETTO, 1999, p. 8). Essas reflexões sobre as relações entre o sistema de produção e a educação levaram-me a constatar que a superação de tais problemas consiste em um desafio muito complexo, que ultrapassa os muros escolares. Entendi que a desordem vigente na escola, na verdade, contribui para manter a ordem social. Nesse sentido, as reformas não são suficientes para transformar significativamente a realidade - não basta reformar, é necessário transformar. Diante disso, surgem os seguintes questionamentos: Como participar efetivamente dessa transformação? Por onde começar? Qual o real papel do professor nesse processo? É possível contribuir para superar a crise educacional instaurada, no sentido da transformação em detrimento das reformas? Como proceder? O que pretendemos é uma educação de novo tipo, comprometida com a formação integral do ser humano, que desenvolva suas funções superiores, que lhe permita pensar e realizar análises de seu papel humano, político e social. Almejamos uma educação formadora

21 20 do homem, em vez de uma educação de cunho utilitarista, considerada como valor de troca. Não queremos dizer, com isso, que o conhecimento não deva capacitar também para o desempenho de atividade profissional. A escola deve capacitar para o trabalho no sentido de ocupar-se em desenvolver o ser humano completo, voltar-se para o desenvolvimento da própria humanização do homem (MORETTI; MOURA, 2010). E isso somente será possível por meio do conhecimento científico, teórico. Nesse sentido, a finalidade a que nos propomos, na presente investigação, consiste na possibilidade de desenvolvimento do pensamento teórico, por meio da apropriação dos conceitos científicos. No entanto isso não é garantia de transformação social, mas é condição sine qua non, uma vez que procura explicar não somente a aparência superficial das coisas, mas sua essência, por meio do caráter universal dos conceitos. Foi, portanto, na necessidade de contemplar o caráter universal dos conceitos científicos, na educação escolar, que identifiquei a relevância de pesquisas voltadas para o desenvolvimento de conceitos matemáticos em seu teor teórico. Isso porque encontramos amparo em Davýdov, Rosa (2012), Hobold (2014) e Silveira (2015) ao afirmarem que a condição atual da educação escolar brasileira, cujo objetivo consiste na manutenção do sistema capitalista e no desenvolvimento de conhecimentos empíricos, não condiz com o estágio atual de desenvolvimento da sociedade. Por prevalecer os conhecimentos práticoutilitários, substima-se que tal conhecimento não contemple a formação integral humana, o desenvolvimento do sujeito como ser social, pois utiliza unicamente as possibilidades já formadas e presentes na criança (DAVÍDOV, 1988). 3 De outro modo, faz-se necessária a formação de uma sociedade de novo tipo, que oportunize o acesso ao conhecimento teórico, sistematizado, para todos os sujeitos (DAVÝDOV, 1982), capaz de desenvolver as capacidades cognitivas mais elevadas atingidas pelo ser humano. É nesse contexto que a investigação se insere: como uma possibilidade de contribuir para o desenvolvimento de conceitos científicos, particularmente, o conceito de divisão. Essas reflexões surgiram durante as aulas na Pós-graduação (Lato Sensu) e se consolidaram durante o Mestrado. Desde a Especialização, o objeto de investigação consistiu no modo davydoviano de organização de ensino. No entanto, como professora de Matemática, presenciava continuamente os obstáculos teóricos dos estudantes em relação ao conceito de divisão. Cientes da vasta gama de conceitos matemáticos e da necessidade de delimitação do tema de pesquisa, elegemos como objeto de estudo a relação universal do conceito de divisão 3 No decorrer do texto será utilizada a grafia Davýdov. Porém, ao se tratar de referência, será mantida a escrita conforme apresentada na obra, quais sejam: Davídov, Davýdov, Davidov e Давыдов.

22 21 objetivada nas tarefas particulares, no contexto das seis ações de estudo, que caracterizam a proposta de Davýdov para o ensino de Matemática. Davýdov ( ), estudioso da psicologia pedagógica soviética, pertenceu à terceira geração de pesquisadores da escola de Vigotski. Comungava da concepção psicológica vigotskiana, cuja fundamentação é o Materialismo Histórico e Dialético. Mesmo vivendo em épocas distintas, ambos trouxeram contribuições para pensarmos o processo de aprendizagem e desenvolvimento. Por conseguinte, estabeleceram os princípios norteadores para a construção de uma nova concepção de ensino e aprendizagem. Para Vigotski (2000) a aprendizagem gera o desenvolvimento. E Davýdov (1982) complementa: a aprendizagem de conceitos empíricos promove o desenvolvimento do pensamento empírico, enquanto os científicos resultam no correspondente pensamento teórico. Segundo Davídov 4 (1988, p. 59, tradução nossa), [...] o desenvolvimento espontâneo das crianças se opõe ao papel determinante da educação e do desenvolvimento, no que se refere ao pensamento teórico. Portanto, este autor considera fundamental a busca pela apropriação 5, por parte dos estudantes, dos conhecimentos científicos produzidos pela humanidade, para o desenvolvimento do pensamento teórico (DAVÝDOV, 1982). Ao considerar tal pressuposto, Davýdov defende um ensino que leve os estudantes a pensarem dialeticamente (LIBÂNEO; FREITAS, 2013). Com base na relação entre aprendizagem e desenvolvimento, almejamos a possibilidade, do presente estudo, contribuir para a reflexão sobre a organização do ensino nessa perspectiva. Pretendemos, pois, analisar a proposição de ensino que tem como princípio basilar a apropriação do conhecimento científico para a formação do ser humano em sua plenitude. A proposição davydoviana [...] foca a relação entre o modo pelo qual o professor organiza o ensino e o desenvolvimento das funções mentais dos estudantes. Um de seus pressupostos básicos é que o ensino é forma privilegiada para promoção do desenvolvimento do pensamento e da personalidade dos estudantes, por meio de mudanças qualitativas em sua atividade mental, em sua forma de pensamento (PERES; FREITAS, 2014, p. 12). Davýdov (ДАВЫДОВ) e colaboradores, tais como Gorbov (ГОРБОВ), Mikulina (МИКУЛИНА) e Savieliev (САВЕЛЬЕВА), desenvolveram, ao longo de vinte e cinco anos, 4 Para garantir as ideias davydovianas, optamos, em grande parte desse trabalho, pela apresentação de citações diretas de suas obras originalmente escritas em espanhol. As traduções foram realizadas por nós. 5 O processo de apropriação leva o indivíduo à reprodução, em sua própria atividade, das capacidades humanas formadas historicamente (DAVÍDOV, 1988, p. 56).

23 22 uma proposta de educação, no contexto do Ensino Desenvolvimental, segundo os princípios elaborados por Vigotski e Leontiev. A terminologia Ensino Desenvolvimental advém da relação entre aprendizagem e desenvolvimento, e atribui ao ensino, como seu papel principal. Tal desenvolvimento no estudante se dá por meio da atividade de estudo, que possibilita a formação da capacidade de pensar dos estudantes. O professor, em sua atividade de ensino, proporciona o início do desenvolvimento da atividade de estudo dos estudantes, por meio de um processo de reflexão. Ele os orientam, considerando-os sujeitos e objetos de sua própria transformação (AQUINO, 2015, p. 5). Para tanto, as tarefas de estudo focam um problema de forma a centralizar vários aspectos das contradições, que são discutidas coletivamente (DAVYDOV; SLOBODCHIKOV; TSUKERMAN, 2014). Nesse processo, os estudantes expõem e defendem suas opiniões até que, obtenham outro significado para o objeto em análise. Desse modo, de acordo com os autores em referência, a atividade assegura o desenvolvimento da reflexão, da iniciativa, da cooperação, da formação de opiniões e, fundamentalmente, do desenvolvimento cognitivo do estudante, como base necessária para a formação da capacidade de aprender. Para esse processo, Davýdov propõe que a organização do ensino ocorra por meio de seis ações de estudo, de modo que o caráter universal dos conceitos seja contemplado em todas elas, quais sejam: 1. Transformação dos dados da tarefa de estudo com a finalidade de revelar a relação universal do objeto estudado; 2. Modelação da relação universal na forma objetal, gráfica e literal; 3. Transformação do modelo da relação universal para o estudo de suas propriedades em forma pura ; 4. Resolução de um sistema de tarefas particulares que podem ser resolvidas por um procedimento geral; 5. Controle da realização das ações anteriores; 6. Avaliação da apropriação do procedimento universal como resultado da solução da tarefa de estudo dada (DAVÍDOV, 1988, p. 181, tradução nossa, grifo do autor). Cada ação de estudo é desenvolvida por um sistema de tarefas particulares, que requerem operações para a sua execução. O objetivo proposto pela atividade de estudo, no Ensino Desenvolvimental, é atingir a apropriação do conhecimento científico mais elaborado, com vistas ao desenvolvimento do pensamento teórico. A atividade de estudo não é, portanto, uma finalidade em si mesma; é apenas uma condição necessária para alcançar o desenvolvimento mental e cognitivo-afetivo dos alunos (AQUINO, 2015, p. 4). O que almejamos com isso é possibilitar o rompimento com os mecanismos que limitam o ser humano para a aquisição apenas de conhecimento útil ao mercado de trabalho, aquele que

24 23 contribui para reforçar a estrutura da sociedade capitalista, mas garantir a apropriação de conhecimento elaborado e sistematizado como possibilidade para a transformação humana (GIARDINETTO, 1999). Nessa perspectiva, a atividade humana é tomada como unidade básica para a compreensão dos processos de desenvolvimento humano presentes na educação escolar [...] (MOURA et al., 2010b, p. 9). Aspiramos, pois, o direito à educação e ao conhecimento científico socialmente produzido pela humanidade, porque não é produto de um só homem ou de um determinado grupo. É, fundamentalmente, patrimônio de todos, o que justifica a sua inserção no currículo de todas as instituições escolares (MOURA; SFORNI; ARAÚJO, 2011, p. 42). Outra justificativa para tal necessidade é que sua apropriação se constitui em uma possibilidade do ser humano superar a ideologia política, econômica e social vigente. Quando o homem se apropria das relações reais, autênticas, desenvolve-se integral e humanamente, transpondo as relações aparentes, fenomênicas da sociedade (MOURA et al., 2010a). O desenvolvimento do homem se dá em um processo lento, cujos resultados não ocorrem de forma imediata, pois, como diz Vigotski (2000), os fenômenos sociais, assim como o pensamento humano, se constituem ao longo da história e atinjem níveis diferentes de desenvolvimento e de complexidade. Esse aprimoramento atingirá seu ápice por meio da formação do pensamento em nível teórico. Contudo, o que mais tem preocupado é a necessidade de enfrentamento de um dos desafios da educação, quiçá o maior deles: o desenvolvimento do pensamento teórico dos estudantes pela via da apropriação dos conceitos científicos. Vale ressaltar que não nos referimos a qualquer conhecimento, mas àquele que consideramos serem as possibilidades mais humanizadoras que existem no interior das contraditórias forças que têm atuado sobre a realidade escolar (DUARTE, 2001, p. 4). Refere-se, pois, ao saber sistematizado, científico, isto é, o que de mais desenvolvido produziu a humanidade. Todavia, o direito a esse saber tem se limitado a poucos. Gentili (2009, p ) assevera que: Todos têm o mesmo direito à educação, mas nem todos exercem da mesma forma seu direito à escola, motivo pelo qual os resultados do processo de escolarização são tão desiguais como são desiguais as condições de vida de grupos, classes, estratos ou castas que compõem a sociedade ou, em termos mais precisos, o mercado.

25 24 Esse direito deve contemplar todos os seres humanos, indistintamente. No entanto, as condições hoje oferecidas aos estudantes, principalmente, das escolas públicas, não possibilitam o exercício da democracia e tampouco o acesso ao conhecimento científico. A ciência de tal concepção, por parte de professores e estudantes, é de suma importância para a compreensão de que o conteúdo tem uma história ligada ao desenvolvimento social [...] (MOURA, 2001, p. 149) e possibilita, segundo o autor (2001, p. 149), outra dimensão para a didática do professor. Portanto, faz-se necessário pensá-la para que, na qualidade de educadores, nos posicionemos e reflitamos sobre qual o nosso papel na sociedade. Além disso, empreendermos as lutas no sentido de transpor as políticas neoliberais que primam por posicionamentos humanos espontaneístas e competitivos. Consideramos, pois, relevante refletir sobre as considerações trazidas por Souza (2008, p. 11), ao afirmar que a questão de saber por que a escola ensina o que ensina é fundamental para o entendimento da finalidade cultural das instituições educativas e do tipo de homens e mulheres que uma dada sociedade em determinado tempo deseja formar. Ou seja, a educação e o ensino atual estão orientados para formar nas crianças determinado tipo de atividade e sua correspondente capacidade (DAVÍDOV, 1988). Se o papel da escola é de socializar saberes elaborados, cumpre nos questionar sobre qual conhecimento está sendo desenvolvido e, por que este tipo e não outro. [...] a questão sobre as potencialidades de desenvolvimento de um ou outro sistema de educação e ensino se pode analisar do seguinte modo: o sistema historicamente formado e já estabelecido garante a apropriação, pelas crianças, de determinado conjunto de capacidades, que correspondem às exigências da sociedade. Os meios e procedimentos de organização da atividade reprodutiva se tornam tradicionais e cotidianos. O papel desenvolvimental deste sistema torna-se oculto. Mas, se a sociedade dada deve formar nas crianças um novo conjunto de capacidades, torna-se indispensável criar um sistema de educação e ensino que organize o funcionamento eficaz de novos tipos de atividade reprodutiva (DAVÍDOV, 1988, p. 59, tradução nossa). É importante ponderar que nem toda educação, nem toda escola, nem toda prática pedagógica está, necessariamente, a serviço da reprodução do sistema capitalista (SILVA, 2012, p. 202), mas principalmente aquelas que se limitam ao desenvolvimento do pensamento empírico. Mas, com base na perspectiva dialética-materialista, a realidade não é eterna, ao contrário, ela está em constante movimento de transformação e, portanto, é provisória (LONGAREZI; FRANCO, 2013a). Assim, consideramos que há, ainda, outras possibilidades que envolvem sujeitos comprometidos com a educação, pois nenhum educador é neutro em relação à prática social do educando (DUARTE, 2001, p. 57). Isso

26 25 ocorre mesmo quando reina o empirismo que, nos dias atuais, ainda é ressaltado na área da matemática nos primeiros anos da escolarização básica (CATANANTE; ARAUJO, 2014, p. 46). As autoras em referência conclamam para a necessidade de se consolidar uma proposta de educação Matemática fundamentada na perspectiva Histórico-Cultural (2014, p. 46). Essa perspectiva teórica fundamenta os estudos e investigações dos grupos de pesquisa aos quais integro: Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: uma abordagem Histórico-Cultural (GPEMAHC) 6 e Teoria do Ensino Desenvolvimental na Educação Matemática (TEDMAT). 7 Esses dois grupos constituem a unidade de relacionamento catarinense do Grupo de Estudos e Pesquisa sobre Atividade Pedagógica (GEPAPe) 8, promovem estudos e debates teóricos com vistas à compreensão do complexo sistema educacional, que se encontra intrinsecamente ligado às esferas econômicas, políticas e sociais. Os encontros são comuns e ocorrem quinzenalmente. Os integrantes da unidade vêm desenvolvendo estudos sobre a organização do ensino, com base na Teoria Histórico-Cultural, de conceitos matemáticos como: número (ROSA, 2012), adição e subtração (ROSA; DAMAZIO; ALVES, 2013), multiplicação (MADEIRA, 2012; HOBOLD, 2014), divisão (CRESTANI, 2013), equação (DORIGON, 2013), resolução de problemas (MATOS, 2013), sistema de numeração (SILVEIRA, 2012, 2015), números inteiros (BÚRIGO, 2015) dentre outros. Tais conceitos constituem de extrema relevância para o ensino brasileiro, pois entendemos que a transformação educacional que desejamos somente será possível por meio da apropriação teórica dos conceitos. Essa constatação decorreu das reflexões realizadas no grupo (GPEMAHC/TEDMAT) e também na atividade docente. Dentre elas, em uma escola da rede pública do Estado de Santa Catarina, onde lecionei em classe do 7º, 8º e 9º anos. Na ocasião, persistiam as fragilidades decorrentes da complexidade da realidade social que envolve a educação e a trama de desafios da sala de aula (MORAES, 2009, p. 325). A indiferença e falta de atenção nas aulas, por parte dos estudantes, eram constantes. De minha parte, não entendia se era a falta de atenção que provocava a não aprendizagem ou esta era consequência de tal desatenção. Eidt, Tuleski e Franco (2014) dizem que a formação da atenção nos estudantes percorre um longo caminho até tornar-se efetivamente atenção voluntária. Em todas as etapas, a formação da atenção na criança é totalmente dependente do modo que o meio social 6 Líder: Prof. Dr. Ademir Damazio (UNESC). 7 Líder: Profa. Dra. Josélia Euzébio da Rosa (UNISUL). 8 Líder: Prof. Dr. Manoel Oriosvaldo de Moura, Prof. Ori (USP).

27 26 disponibiliza os instrumentos e signos, estabelecendo com ela relações que produzam saltos qualitativos em seu desenvolvimento psíquico (EIDT; TULESKI; FRANCO, 2014, p. 83). As autoras advertem que a não aprendizagem decorrente da falta de atenção precisa ser compreendida como um fenômeno produzido, antes de tudo, pelo estágio atual da sociedade capitalista. Na contramão da exclusão, significa possibilitar a criação de formas educativas que desenvolvam as funções superiores, ou mesmo, avaliar os métodos educativos que estão sendo empregados, os quais têm posto à margem um grande contingente de estudantes, que ficam impedidos de apropriar-se do que há de mais elevado em termos de conhecimento desenvolvido pelo gênero humano (EIDT; TULESKI; FRANCO, 2014, p. 94). A falta de atenção é um dos obstáculos a ser superado, por meio do desenvolvimento do conhecimento científico, que deve iniciar desde os primeiros anos do Ensino Fundamental. Uma condição para tal, segundo Davídov (1988), é envolver os estudantes em atividade de estudo. Daí a urgência em repensarmos o modo de organização de ensino. Isso porque os resultados obtidos tanto na minha prática docente quanto de colegas do grupo, no que se refere à Matemática, corroboram com a constatação de Longarezi e Puentes (2013, p. 10) em relação à educação brasileira atual: Aprende-se pouco, aprende-se mal, aquilo que se aprende é esquecido com facilidade e tudo isso interfere minimamente no desenvolvimento integral da personalidade dos estudantes. Os questionamentos que nos acompanhavam eram: Como ensinar conceitos matemáticos mais elaborados se os fundamentais não tinham sido apropriados pelos estudantes? Ou ainda, como ensinar conceitos teóricos se as poucas apropriações dos estudantes tinham características empíricas? Sobre isso, Giardinetto (1999, p. 50) alerta que o indivíduo, ao não ultrapassar os raciocínios mais imediatos, não só não aprende o processo de pensamento mais complexo, implícito na atividade escolar, como não se apropria do conteúdo que daí advém. Enquanto o desenvolvimento do conhecimento não ultrapassar o nível empírico, imediato, não será possível a apropriação dos conceitos desde os básicos até os mais complexos, com teor teórico (DAVÍDOV, 1988). Embora as dificuldades conceituais sejam recorrentes no processo de ensino e aprendizagem do conceito de divisão, poucas são as pesquisas sobre essa temática. Soares (2007), que pesquisou o ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos com foco na divisão de números naturais, afirma que, devido às dificuldades na compreensão dos conceitos matemáticos, os estudantes memorizam e vão acumulando dúvidas e dificuldades ao longo de sua vida escolar (SOARES, 2007, p. 13). A autora apresenta indicativos, a partir

28 27 dos dados do Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB) de 2003, de que os conceitos aprendidos nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, dentre eles o de divisão, são considerados insuficientes para a continuidade do processo de aprendizagem da Matemática. Segundo a autora, sobre a divisão, os estudantes consideram-na como um conceito difícil de ser aprendido. Entre as operações aritméticas fundamentais, a ênfase no processo de ensino e aprendizagem recai na realização do algoritmo em detrimento de seu significado, fator que impede a apropriação conceitual (SOARES, 2007). Além disso, a disciplina de Matemática tem sido reverenciada pelo aspecto prático-utilitário [...] que enfatiza a operação, como se esta área do conhecimento fosse um produto pronto e acabado [...] (CATANANTE; ARAUJO, 2014, p. 40), dissociada do movimento conceitual teórico. Tal episódio é decorrente, em partes, pela insuficiente formação dos professores com sérias consequências que refletem diretamente no processo de ensino e aprendizagem. Lemos (2014, p. 117) analisou a atuação de alguns professores que ensinam Matemática. Constatou que [...] há, por decorrência das condições de formação do professor e de um reincidente despreparo para lidar com as situações do contexto escolar, uma tendência para a valorização da prática em detrimento da teoria (LEMOS, 2014, p. 117, grifos do autor). Nesse contexto de dicotomização entre teoria e prática, com evidência para a prática, enfatizam-se os conceitos empíricos. Existe uma convicção entre alguns professores, pesquisados por Lemos (2014), de que o desenvolvimento do ensino de modo espontâneo, com foco nas situações do cotidiano, contribui no processo de aprendizagem dos conceitos matemáticos. Dentre os professores entrevistados por Lemos (2014, p. 121), há, também, aqueles que são favoráveis à memorização, com o objetivo de facilitar a aprendizagem dos cálculos. No tocante ao ensino da tabuada, por exemplo, utiliza-se o recurso da memorização pela falta de um método de ensino que centre no desenvolvimento do pensamento conceitual (LEMOS, 2014). Em relação à tabuada e seu conceito base, a multiplicação, duas investigações apresentam contribuições relevantes para a superação do empirismo no ensino. Madeira (2012) e Hobold (2014) abordam a multiplicação e a tabuada, respectivamente, com base na proposição davydoviana. Essas duas pesquisas integram um projeto mais amplo, desenvolvido na unidade gepapeana catarinense. É nesse contexto profícuo de reflexões que se insere a nossa pesquisa de Especialização (CRESTANI, 2013) e a presente dissertação. O ingresso no curso de Mestrado ocorreu, portanto, pela necessidade de aprofundamento teórico. Na Especialização, investigamos a introdução do conceito de

29 28 divisão, na proposição davydoviana. No entanto, faltava investigar a sistematização desse conceito. Fez-se necessária a continuidade do movimento que se iniciou com a introdução do conceito de divisão, realizado naquele curso, até culminar com sua sistematização e operacionalização, no Mestrado. Davýdov e colaboradores realizaram uma longa investigação teórica e prática com professores e alunos (LIBÂNEO; FREITAS, 2013). Davýdov coordenou a parte relacionada à Matemática. Seu grupo publicou os resultados em livros didáticos e de orientações ao professor, artigos, capítulos de livros e livros. O material didático 9 constitui a fonte de dados da presente pesquisa, em especial o livro didático de Matemática, desenvolvido por Davýdov e colaboradores, para o 2º, 3º e o 4º ano do Ensino Fundamental 10 (ДАВЫДОВ, et al., 2012; ДАВЫДОВ, et al., 2009; ДАВЫДОВ, et al., 2011), e o livro de orientação ao professor para utilização dos referidos livros didáticos (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003; ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2004; ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2009), todos publicados originalmente, em língua russa. Este material, elaborado por Davýdov e colaboradores, foi utilizado em experimentos com estudantes, por mais de vinte e cinco anos, na Rússia. A finalidade era de desenvolver conceitos matemáticos em nível teórico, num período em que, na educação russa predominava um tipo de conhecimento, ao qual Davýdov denominou de tradicional e insuficiente para a época (DAVÝDOV, 1982). A análise desse material deu origem ao segundo capítulo da presente dissertação. Vale lembrar que o objeto de estudo não consiste nas tarefas davydovianas em si, mas na relação universal do conceito de divisão objetivada nas tarefas particulares, propostas por Davýdov para o ensino de Matemática, no contexto das seis ações de estudo. Partimos da hipótese de que as ações de estudo, referentes ao conceito de divisão, são interconectadas pela relação geneticamente inicial, universal do conceito. Pois, de acordo com Libâneo e Freitas (2013, p ), O objetivo primordial do ensino-aprendizagem, na concepção de Davydov, é a formação do pensamento teórico-científico do aluno. Para cumpri-lo, ao tomar um determinado objeto de conhecimento como conteúdo do ensino/aprendizagem, o professor deve investigar seu aspecto ou relação nuclear, na qual aparecem as relações fundamentais de sua gênese e transformação histórica, expressando seu princípio geral. A partir desse princípio geral, o professor estrutura e organiza a atividade de estudo do aluno, de modo que ele realize abstrações e generalizações 9 O material encontra-se disponível no Laboratório de Estudo em Educação Matemática Professor Dr. Ademir Damazio da UNESC e na Biblioteca Professor Eurico Back, da mesma instituição. 10 O segundo, terceiro e quarto anos do Ensino Fundamental russo correspondem ao mesmo dos anos do Ensino Fundamental brasileiro.

30 29 conceituais, sendo capaz de utilizá-las na análise e solução de problemas específicos da realidade envolvendo o objeto. A relação nuclear, mencionada na citação anterior, consiste na relação universal que caracteriza o conceito. Nos conhecimentos teóricos se fixa o elo da relação universal, realmente existente, do sistema integral com suas diferentes manifestações, o elo do universal com o singular (DAVÍDOV, 1988, p. 154, tradução nossa). O sistema integral, na presente investigação, consiste nas seis ações de estudo para o ensino do conceito de divisão. As diferentes manifestações da relação universal ocorrem nas tarefas particulares. Porém, o problema que se apresentou foi: Qual é a relação universal do conceito de divisão e sua manifestação nas tarefas particulares correspondentes às seis ações de estudo? Para responder a essa questão, nosso objetivo foi: investigar as manifestações da relação universal do conceito de divisão nas tarefas particulares no âmbito das seis ações de estudo. Trata-se de uma pesquisa bibliográfica, com respaldo nos pressupostos da Teoria Histórico-Cultural, mais voltada aos Fundamentos: Matemáticos (CARAÇA, 2002; COSTA, 1866); Lógicos, Psicológicos e Didáticos (VIGOTSKI, 2000; DAVÝDOV, 1982; DAVÍDOV; SLOBÓDCHIKOV, 1991; DAVÍDOV, 1987; DAVÍDOV, 1988; LEONTIEV, 1959; DAVYDOV; SLOBODCHIKOV; TSUKERMAN, 2014; MOURA, 1992, 2001; MOURA et al., 2010b; REPKIN, 2014); e Filosóficos (KOPNIN, 1960; STERNIN, 1960). No desenvolvimento da pesquisa, adotamos os seguintes procedimentos de investigação: estudo das seis ações davydovianas e dos Fundamentos Matemáticos do conceito de divisão; análise das tarefas davydovianas para identificação dos elementos que compõem a relação genética do referido conceito e revelação de sua conexão interna; seleção das tarefas que compõem o sistema correspondente às seis ações de estudo; discussão teórica com base nos fundamentos da Teoria do Ensino Desenvolvimental. E, por fim, realizamos uma reflexão sobre as possibilidades de objetivação do pressuposto e da finalidade da pesquisa. Particularmente, no presente estudo, compete-nos revelar a relação universal, que não está dada explicitamente em cada tarefa, isto é, não se apresenta aparentemente na realidade imediata. Para a concretização desse intento, adotamos como unidades de análise os pares: geral-particular, universal-singular. O geral consiste na interconexão das grandezas de mesma natureza, a qual possibilita atingir a representação geral do objeto, ou seja, seu modelo algébrico. A partir dessa revelação, de caráter geral, o particular se configura como o elemento mediador do processo. No conceito de divisão, o particular se expressa na medida

31 30 intermediária, válida para a multiplicação e divisão (multiplicando e divisor, respectivamente). Em continuidade, num processo de idas e vindas, permeado por abstrações, o universal se revela. Este se constitui das muitas representações da relação essencial do conceito (objetal, gráfica e literal), que culminará com sua aplicação nas diferentes singularidades. O empenho foi no sentido de atingir a totalidade do sistema integral, expresso nas tarefas particulares, referentes às seis ações de estudo para o ensino do conceito de divisão. Porém, não como uma soma de tarefas particulares isoladas, mas como um todo articulado e relacionado dialeticamente entre si. Só assim, foi possível chegarmos à essência do objeto, na relação universal. Na execução desses procedimentos, não perdemos de vista o pressuposto de que todos os conceitos se inserem em um sistema conceitual mais amplo, pois cada conceito em particular pressupõe a existência de um determinado sistema de conceitos, fora do qual ele não pode existir (VIGOTSKI, 2000, p. 359). Ou seja, estão inter-relacionados como uma rede conceitual, na qual todos são relevantes. No entanto, em virtude da delimitação da pesquisa, o foco incide para o conceito de divisão. Porém vale dizer que, somente o ensino desse conceito, nessa perspectiva, não proporciona o desenvolvimento do pensamento teórico matemático. Faz-se necessário repensar o sistema educacional como um todo, desde a educação infantil. Na unidade de relacionamento catarinense, estamos realizando apenas estudos referentes a uma disciplina, a Matemática (ROSA, 2012; MADEIRA, 2012; ALVES, 2013; CRESTANI, 2013; DORIGON, 2013; MATOS, 2013; SILVEIRA, 2012; SOUZA, 2012; ROSA; DAMAZIO; ALVES, 2013; ROSA; DAMAZIO; CRESTANI, 2014; ROSA; DAMAZIO; SILVEIRA, 2014; HOBOLD, 2014; SOUSA, 2014; SILVEIRA, 2015; BÚRIGO, 2015). Os pressupostos da Teoria Histórico-Cultural orientam as pesquisas e o método de análise é o Materialismo Histórico e Dialético. Partindo do reconhecimento do homem como sujeito histórico determinado e ao mesmo tempo determinante das condições que o circunscrevem (SILVA, 2012, p. 187), temos que, pela tomada de consciência e a capacidade de pensar obtidas pela apropriação do conhecimento, o sujeito, gradual e paulatinamente, tornar-se-á capaz de determinar suas próprias condições de existência. Tais possibilidades se concretizam por meio de um processo dialético de superação por incorporação (DUARTE, 2001, p. 60). Nesse processo de superação por incorporação questionamo-nos: Como, então, ensinar os conceitos matemáticos de modo a desenvolver nos estudantes brasileiros a

32 31 capacidade de pensar matematicamente? Como a obra davydoviana pode ser incorporada, por superação, no contexto das reflexões brasileiras? Vislumbramos uma possibilidade de resposta no contexto da AOE (Moura e colaboradores) em diálogo com a obra davydoviana, com fundamentos na Teoria Histórico-Cultural. [...] a atividade orientadora de ensino insere-se numa atividade mais geral que é a atividade de ensino cuja necessidade que a motiva é ensinar e para isso é necessário organizar o ensino de modo a favorecer a aprendizagem dos alunos o que é a necessidade da atividade orientadora de ensino. Assim, a atividade orientadora de ensino transforma-se em uma das ações da atividade de ensino (MORETTI, 2007, p , grifo da autora). A AOE parte do princípio de que, para a apropriação do conhecimento teórico, é necessário que estudantes e professores estejam em atividade. Tal orientação converge com os princípios teóricos preconizados pela Teoria do Ensino Desenvolvimental, uma vez que ambas estão alicerçadas na Teoria de Leontiev. No processo de ensinar, o professor deve estar em atividade de ensino, assim como os estudantes em atividade de aprendizagem, para que a sua necessidade de ensinar se converta em necessidade de aprender do estudante (MOURA et al., 2010a). Estar em atividade significa dizer que professor e estudantes estão em unidade formadora (MOURA et al., 2010a, p. 220). Nesse âmbito teórico, outro pressuposto é de que a situação desencadeadora de aprendizagem é um dos elementos que compõem a estrutura da AOE. Trata-se de um recurso didático que tem por objetivo colocar o sujeito que aprende diante da necessidade do conceito a ser ensinado (MORETTI, 2007, p. 106). Nesse contexto, no entender de Moura et al. (2010a, p. 223), as situações desencadeadoras de aprendizagem podem ser materializadas por meio de diferentes recursos metodológicos. Por isso, no terceiro capítulo da presente dissertação, materializamos uma situação desencadeadora por meio de uma história virtual e a resolvemos, matematicamente. Para tanto, procuramos em seu desenvolvimento atender aos princípios propostos por Moura e Davýdov. Além disso, elaboramos uma síntese reflexiva sobre as possibilidades de objetivação da finalidade da pesquisa no sentido de promover o desenvolvimento do pensamento teórico, por meio da apropriação científica dos conceitos, no contexto educacional brasileiro. A seguir, apresentamos uma síntese (Ilustração 1), em forma de esquema, sobre os elementos principais que compõem a pesquisa.

33 32 Ilustração 1 Esquema síntese da pesquisa Fonte: Elaboração da autora, 2014.

34 33 2 PROPOSIÇÃO DAVYDOVIANA PARA O ENSINO DO CONCEITO DE DIVISÃO NO CONTEXTO DAS SEIS AÇÕES DE ESTUDO Nenhum trabalho fecundo será possível se não se tem presente a existência do universal e do singular nos objetos que nos rodeiam. Os homens em sua atividade prática tem que contar com estes dois aspectos da realidade [...] (STERNIN, 1960, p. 295). No presente capítulo, apresentamos os fundamentos da Teoria do Ensino Desenvolvimental e sua objetivação, nas tarefas particulares referentes ao ensino do conceito de divisão, retiradas dos livros didáticos do segundo, terceiro e quarto anos do Ensino Fundamental I (ДАВЫДОВ, et al., 2012; ДАВЫДОВ, et al., 2009; ДАВЫДОВ, et al., 2011). As tarefas, elaboradas por Davýdov, serão apresentadas a seguir, de forma articulada com as seis ações de estudo. Tais fundamentos incidem na organização davydoviana do ensino que promova o desenvolvimento do pensamento teórico, que possibilita o reflexo consciente da realidade, nas suas propriedades, ligações e relações objetivas, incluindo os [...] objetos inacessíveis, à percepção sensível imediata (LEONTIEV, 1959, p. 90). A escola é o ambiente apropriado para o desenvolvimento dessas capacidades cognitivas. É o local para aprender cultura e internalizar os meios cognitivos de compreender e transformar o mundo (LIBÂNEO, 2004, p. 5). Entretanto, para que a educação escolar cumpra sua parte em tal transformação, é necessária uma organização do ensino de modo a contemplar a aprendizagem dos conceitos científicos. Ao entrar na escola, a criança inicia a formação de uma importante atividade, a de estudo (LEONTIEV, 1959), que tem seu início nos primeiros anos do Ensino Fundamental. A maneira de se relacionar com as pessoas e com os conteúdos se modifica. Ela tem acesso a conhecimentos que até então desconhecia e, consequentemente, ocupar outro lugar no mundo das relações sociais, que requer-lhe algumas novas responsabilidades (LEONTIEV, 1959). A atividade de estudo sucede a do jogo e antecede a atividade socialmente útil do adolescente e a coexistência da atividade de estudo e trabalho do jovem (DAVÍDOV, 1988). As atividades surgem a partir de novas necessidades, que são [...] o motor do desenvolvimento das capacidades humanas [...] (MOURA, 2007, p. 46). No período compreendido entre, aproximadamente, 6 e 10 anos, o envolvimento do estudante com os conceitos científicos, promove o surgimento da necessidade de aprender

35 34 (DAVÍDOV, 1987). Isso ocorre porque [...] a necessidade da atividade de estudo estimula as crianças a assimilarem os conhecimentos teóricos [...] (DAVÍDOV, 1988, p. 178, tradução nossa). Ao entrar na escola, de acordo com Davídov (1988, p. 158, tradução nossa), a criança passa a ter acesso aos rudimentos das formas mais desenvolvidas da consciência social, [...] a ciência, a arte, a moral, o direito, os que estão ligados com a consciência e o pensamento teórico das pessoas. Para a apropriação dessas produções humanas, que formarão nelas a consciência social e espiritual, é fundamental que as crianças estejam em atividade de estudo (DAVÍDOV, 1988). Isso requer que a escola se organize pela atividade para que a relação ensino-aprendizagem convirja em desenvolvimento (LONGAREZI; FRANCO, 2013a, p. 105). Porém, a atividade de estudo não surge naturalmente na criança. Sua origem e desenvolvimento dependem das relações sociais e do lugar que ela ocupa nesse contexto, bem como dos conteúdos e métodos de ensino. No presente capítulo, apresentamos as tarefas davydovianas para o ensino do conceito de divisão nos primeiros anos de escolarização, tal como estão propostas nos livros didáticos. Durante a exposição, revelamos: o conteúdo contemplado a partir dos fundamentos da Matemática; o método de ensino sugerido nos livros de orientação ao professor; e os fundamentos da Teoria do Ensino Desenvolvimental. Tal teoria teve como principal representante Davýdov. Para ele, o papel primordial da escola é ensinar os estudantes a pensarem teoricamente por meio do ensino (DAVÝDOV, 1982). Trata-se de um dos desdobramentos da Teoria da Atividade elaborada por Leontiev. A Teoria do Ensino Desenvolvimental considera que a relação entre o homem e o mundo objetivo se dá pela atividade, não de forma mecânica como pura reação, mas de forma ativa: atua sobre o homem e o mundo objetivo transformando não apenas os objetos, mas também a si próprio, numa dupla relação de constituição (LONGAREZI; FRANCO, 2013b, p. 82). Nessa perspectiva teórica, a atividade consiste na transformação, pelo homem, da realidade na qual faz parte (DAVÍDOV; SLOBÓDCHIKOV, 1991). É, portanto, transformadora da natureza e das condições de vida do homem, o que dá origem às funções psíquicas humanas. Por meio dela, ocorre a interiorização da atividade externa transformada em atividade interna, [...] mediante a atividade do homem nas suas relações com outros homens e com a natureza (LONGAREZI; FRANCO, 2013b, p. 83).

36 35 Duarte (1996) afirma que o ponto de partida para qualquer ação investigativa é a prática social. Os conceitos desenvolvidos historicamente manifestam-se objetivamente na atividade humana, que produz novos conceitos. Eles são objetos produzidos racionalmente, apropriados nas atividades humanas das gerações precedentes, e que serão transformados pelas gerações futuras (DUARTE, 2008). Os conceitos, por conseguinte, são reflexos do material, existem para satisfazer as necessidades humanas e sociais, imediatas ou não. Dessa forma, é na atividade produtiva e no âmbito escolar de estudo que os indivíduos reproduzem e socializam os conceitos (DAVÝDOV, 1982). O desenvolvimento do pensamento é, pois, resultado da atividade social humana e da apropriação da cultura, a qual desenvolve no homem sua humanização (LONGAREZI; FRANCO, 2013a). A Matemática, por sua vez, [...] insere-se no conjunto dos elementos culturais que precisam ser socializados, de modo a permitir a integração dos sujeitos e possibilitar-lhes o desenvolvimento pleno como indivíduos [...] (MOURA, 2007, p. 45). Na acepção desse autor: A matemática, como produto das necessidades humanas, insere-se no conjunto dos elementos culturais que precisam ser socializados, de modo a permitir a integração dos sujeitos e possibilitar-lhes o desenvolvimento pleno como indivíduos, que, na posse de instrumentos simbólicos, estão potencializados e capacitados para permitir o desenvolvimento coletivo (MOURA, 2007, p. 44). Nessa concepção desenvolvimental, Davýdov elaborou um modo de organização de ensino. Para tanto, manteve os princípios básicos da Teoria da atividade de Leontiev e de formação de conceitos de Vigotski, para orientar o processo de generalização, abstração, formação dos conceitos científicos com vistas à formação do pensamento teórico dos estudantes. A Teoria de Ensino Desenvolvimental fundamenta-se no princípio de que o desenvolvimento intelectual do indivíduo é um processo que tem uma natureza históricocultural concreta [...] (DAVÍDOV; MÁRKOVA, 1987, tradução nossa), e que são determinados pela organização do ensino capaz de transmitir a experiência social ao indivíduo (DAVÍDOV; MÁRKOVA, 1987, p. 180, tradução nossa). A estrutura da atividade de estudo é composta por tarefas de estudo, referentes aos conceitos ou sistemas conceituais. Cada tarefa é composta por seis ações de estudo, que são desenvolvidas por meio de um sistema de tarefas particulares. A tarefa de estudo, foco da presente investigação, incide naquela relacionada ao conceito de divisão. Cumpre considerar que o processo de formação do referido conceito não

37 36 é revelado explicitamente nas tarefas particulares. Para revelá-lo, fez-se necessário reproduzilo, em um processo contínuo e gradativo de superação das manifestações externas de cada uma delas, no contexto das seis ações de estudo. O conteúdo do conceito é revelado por meio de ações com teor investigativo, em que o estudante se apropria do movimento conceitual, da relação essencial do conceito (DAVÝDOV, 1982). O êxito da tarefa de estudo, suas correspondentes ações e tarefas particulares que compõem a atividade de estudo depende de uma correta organização do ensino para sua plena efetivação (DAVÍDOV; SLOBÓDCHIKOV, 1991). A atividade de estudo é um processo de resolução de tarefas (REPKIN, 2014, p. 92), com o intuito de suprir uma necessidade. Davídov (1988) orienta que, nela, sejam reproduzidas as relações essenciais, universais, dos conceitos elaborados historicamente, pois são elas que formam, nos estudantes, a capacidade cognitiva de refletir, analisar e pensar as diferentes situações singulares, abarcadas pelo sistema conceitual estudado. Os estudantes reproduzem o lógico histórico de formação do conceito desde o plano objetal, a partir das grandezas, passa pelas representações gráficas, até atingir o estágio mais atual de elaboração (SILVEIRA, 2015). Portanto, o conceito não é apresentado em sua forma pronta, mas é reproduzido pelos estudantes, sob a orientação do professor. O autor sintetiza seu método de ensino, conforme segue: Ao iniciar a aprendizagem de qualquer disciplina científica, os estudantes, com a ajuda do professor, analisam o conteúdo do material didático, separam nele a relação universal, constatando, simultaneamente, que se manifesta em muitas outras relações singulares existentes no material dado. Fixando, por meio de signos, a relação universal, os estudantes realizam a abstração substancial do objeto estudado. Continuando a análise do material, revelam a vinculação regular desta relação inicial com suas diferentes manifestações e, assim, obtêm a generalização substancial do objeto estudado. Logo as crianças utilizam a abstração e a generalização substanciais para a dedução sucessiva (também com a ajuda do professor) de outras abstrações mais particulares e para sua união no objeto integral (concreto) estudado. Quando os estudantes começam a utilizar a abstração e a generalização substanciais como meios para deduzir e unir outras abstrações, eles convertem as estruturas mentais iniciais em conceito, que fixa certa célula do objeto estudado. Esta célula serve posteriormente aos estudantes como princípio geral para orientar-se em toda a diversidade do material fático, que devem assimilar em forma conceitual pela ascensão do abstrato ao concreto (DAVÍDOV, 1988, p. 175, tradução nossa). O movimento de formação do conceito matemático, no contexto da tarefa de estudo, parte da relação entre as grandezas contínuas e discretas. Para cada conceito, há uma relação diferente entre as grandezas, que lhe dá origem. A partir desta relação geneticamente inicial, universal, são desenvolvidas diversas tarefas singulares. As escolas que se dedicarem a formação da atividade de estudo, [...] poderão

38 37 exercer uma influência substancial tanto sobre o desenvolvimento psíquico geral das crianças como sobre o desenvolvimento de suas capacidades especiais (DAVÍDOV, 1988, p. 9, tradução nossa). Para tanto, os conceitos não são apresentados prontos, aos estudantes, mas de modo tal que reproduzem o percurso de formação. O conteúdo do Ensino Desenvolvimental é o conhecimento teórico e, por meio dele, é que são organizados os métodos de ensino, expressos nas ações de natureza teórica, inicialmente realizadas na forma de experimento objetal até atingir o plano mental. Os estudantes são orientados para a participação ativa desse processo de transformação, de representação da relação essencial do conceito (DAVÍDOV, 1988). Ainda, sobre o Ensino Desenvolvimental, Davýdov considera três aspectos decisivos para pensarmos a organização do ensino com base na atividade de estudo: Em primeiro lugar, a atividade de estudo plena, como atividade principal das crianças de menor idade, pode ser a base de seu desenvolvimento omnilateral. Em segundo lugar, as atitudes e hábitos perfeitos de leitura compreensiva e expressiva, de escrita e cálculo corretos, se formam nas crianças que possuem determinados conhecimentos teóricos. Em terceiro lugar, a atitude consciente das crianças em relação ao estudo se apóia em sua necessidade, desejo e capacidade de aprender, os quais surgem no processo de realização real da atividade de estudo (DAVÍDOV, 1988, p. 171, tradução nossa). O desenvolvimento omnilateral da criança consiste em sair dos limites do seu meio imediato que, no caso, constituiria [...] um obstáculo a uma expressão eventualmente mais completa da riqueza das suas propriedades e aptidões verdadeiramente humanas (LEONTIEV, 1959, p. 184). Tal desenvolvimento depende diretamente do conteúdo e dos métodos de ensino que orientam a atividade de estudo (DAVÝDOV, 1982), cuja origem ocorre não da mera contemplação de conhecimentos expostos pelo professor, mas durante o desenvolvimento da ação investigativa. Esta inicia pela análise das várias características sensoriais dos movimentos do objeto, com o propósito de revelar sua base essencial teórica (DAVÍDOV, 1988). Vale alertar que, em Davýdov, o experimento objetal, ponto de partida, não é o mesmo que empírico. O que define se é empírico ou teórico é o tipo de abstração, generalização do conceito que ocorre desde o experimento objetal. Se for a partir dos princípios da lógica formal, será empírico; por outro lado, se for fundamentado na lógica dialética, será teórico (DAVÝDOV, 1982). Mas o que é a lógica formal? E no que se diferencia da lógica dialética? A lógica possibilita a compreensão do movimento de formação de um conhecimento. Ela é formal se considera que o conhecimento concreto é resultado da

39 38 percepção imediata do objeto ou conceito e o abstrato consiste na separação dos traços comuns e similares (KOPNIN, 1960). Tal separação ocorre mediante a comparação. O conteúdo do conceito consiste, pois, da reunião dos traços de vários objetos comparados. Entretanto, Davýdov (1982, p. 54, tradução nossa) adverte que comparar e confrontar objetos análogos ou representações sobre os mesmos é método necessário, mas insuficiente para a formação de conceitos. Este tipo de procedimento de análise desenvolve o conhecimento empírico, pois neste a propriedade geral e as propriedades particulares dos objetos são colocadas em um mesmo plano (ROSA, 2012, p. 50). Tal conhecimento, desenvolve nos estudantes um tipo de pensamento correspondente: o empírico, cuja generalização [...] se baseia na observação e comparação das propriedades externas dos objetos (caráter visual tradicional), enquanto que a generalização teórica se baseia na ação e na análise objetal transformadora que estabelece relações essenciais no objeto íntegro, sua forma genética inicial (universal) (DAVÍDOV, MÁRKOVA, 1987, tradução nossa). A generalização empírica volta-se aos aspectos particulares e externos do objeto, enquanto a generalização teórica parte da relação do geral em direção ao particular. A formação do pensamento empírico é voltada para uma relação cotidiana, utilitária para as coisas e, por isso, é alheio à avaliação e compreensão teóricas da realidade (DAVÍDOV, 1988, p. 5, tradução nossa). Para o desenvolvimento desse tipo de pensamento, não precisa necessariamente ir à escola, visto que o conhecimento cotidiano pode ser desenvolvido em qualquer espaço (DAVÍDOV, 1988). A lógica dialética ocupa-se dos problemas do movimento cognoscitivo do homem em direção ao conhecimento verdadeiro. Trata-se de uma ciência filosófica que consiste em uma teoria acerca das leis objetivas, universais e necessárias da natureza, da sociedade e todo o conjunto de conhecimento de que dispõe a humanidade (DAVÍDOV, 1988, p. 18, tradução nossa). A apropriação deste conhecimento, desenvolve o correspondente pensamento: o teórico, que busca a relação entre as coisas, os objetos no interior de um sistema. Também se baseia na percepção dos objetos, mas busca neles, mais do que é externo, visível, busca as relações entre suas propriedades (PANOSSIAN, 2014, p. 58). Foi a partir dos fundamentos da lógica dialética que Davýdov elaborou a estrutura da tarefa de estudo para o desenvolvimento de cada conceito ou sistema conceitual. Para tanto, inicia-se pelo geral, ou seja, pela relação entre as grandezas (DAVÝDOV, 1982). A terceira tarefa, foco da presente investigação, corresponde ao sistema conceitual no qual se insere a divisão e multiplicação.

40 39 Cada tarefa, ou seja, cada sistema conceitual é organizado na forma de seis ações de estudo, já apresentadas no capítulo anterior: 1. Revelação dos dados que constituirão a relação universal; 2. Modelação da relação universal nas formas objetal, gráfica e literal; 3. Transformação do modelo da relação universal para o estudo de suas propriedades; 4. Resolução de um sistema de tarefas singulares, a partir da relação universal; 5. Controle da realização das ações; 6. Avaliação da aprendizagem do procedimento universal (DAVÍDOV, 1988, p. 181). Reafirmamos que as ações são desenvolvidas por meio de tarefas particulares. É possível encontrar em uma mesma delas elementos de mais de uma ação de estudo. As tarefas particulares consistem em situações singulares do movimento de formação do conceito teórico, mediado pela abstração da relação essencial, universal, entre as grandezas (geral). Durante a sua execução, reproduz-se o processo de desenvolvimento e formação do conceito, enquanto sistema integral, em nível de concreto ponto de chegada. Somente nesse processo revela-se a interconexão entre os objetos singulares (DAVÍDOV, 1988). Portanto, abstrato e concreto são dois momentos na separação do próprio objeto, da própria realidade refletida na consciência e, graças a isso, são momentos derivados da atividade mental (DAVÝDOV, 1982, p , tradução nossa). No processo de formação do pensamento teórico, o concreto também se constitui em dois momentos: como ponto de partida, na percepção e na representação sensível do conceito que, no caso da Matemática, consiste nas relações estabelecidas entre as grandezas e, também, como resultado mental, uma síntese possível por meio das abstrações realizadas (KOPNIN, 1960). Isso significa que na essência, o pensamento teórico se eleva da sensação e da percepção, que dão um conhecimento sensível-concreto do objeto às determinações abstratas, em que se refletem os aspectos essenciais do objeto. O conhecimento, sobre as bases das abstrações, volta ao concreto, mas já como uma síntese de inúmeras determinações, da multiplicidade e diversidade de aspectos dos objetos (KOPNIN, 1960, p. 320, tradução nossa). Esse duplo movimento, de redução do concreto ao abstrato e posterior ascensão ao concreto, é contemplado na proposição davydoviana, conforme apresentamos na sequência. Para tanto, organizamos o texto a partir das seis ações de estudo, cada qual objetivada em uma ou mais tarefas particulares. Estas foram retiradas do livro didático do

41 40 segundo, terceiro e quarto anos do Ensino Fundamental I, organizado por Davýdov e colaboradores. Como mencionamos, inicialmente, o conceito de divisão forma, juntamente com o conceito de multiplicação, um sistema conceitual mais amplo, o qual faz parte da terceira tarefa de estudos. Isso ocorre porque tais operações são interconectadas, ou seja, apresentam uma interdependência entre si. Nos livros didáticos davydovianos, ambas são desenvolvidas simultaneamente. O ponto de partida se dá na multiplicação 11, por meio da constituição das unidades de medidas básicas, intermediárias e o total delas, e se estende para a divisão. Porém, não de forma isolada, mas articulada, em um processo de constituição mútua. No entanto, não será possível expressar tal relação de modo integral, em virtude da delimitação do objeto, com foco no conceito de divisão. Mas importa considerar que, para Davýdov, as duas operações formam uma unidade. PRIMEIRA AÇÃO DE ESTUDO: revelação dos dados que constituem a relação universal A primeira ação consiste na revelação pelos estudantes, com a orientação do professor, dos dados que constituirão a relação essencial, universal, do conceito. Na especificidade do conceito de divisão, os dados que compõem a relação universal são: unidade de medida básica, unidade de medida intermediária e quantidade de vezes que ambas se repetem. São esses elementos que constituem o foco da análise. Trata-se da transformação das unidades, durante o experimento objetal. A prática objetal que, historicamente se iniciou com o trabalho e propiciou o desenvolvimento humano, é reproduzida nessa ação. São considerados nesse processo não somente as propriedades externas dos objetos, mas também as conexões internas que permitem modificar suas propriedades e fazê-los passar de um estado a outro (DAVÍDOV, 1988, p. 116, tradução nossa). Durante a realização da transformação objetal, as significações conceituais da multiplicação e divisão são reveladas. A partir de uma unidade de medida (básica) derivam outras (medida intermediária, total de medida básica e total de medidas intermediárias), de acordo com a ilustração 2, que constituem os dados que compõem a relação universal (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). 11 Ao leitor interessado em aprofundar seus estudos sobre o conceito de multiplicação, indicamos a leitura das dissertações de Madeira (2012) e Hobold (2014).

42 41 Ilustração 2 Elementos que compõem a relação essencial do conceito de divisão Fonte: Elaboração da autora, A unidade de medida intermediária constituiu-se, historicamente, a partir da unidade de medida básica, ou seja, da contagem um a um. No processo histórico e social de contagem, em um dado momento, fez-se necessário determinar grandes quantidades. Com isso, o homem tomou consciência de que tal procedimento numérico era insuficiente, não supria as necessidades que se tornavam cada vez mais complexas. Tendo em vista, as várias situações sociais que ele vivenciava, era necessário o desenvolvimento de um modo de contagem que fosse mais eficiente e adequado. Daí surgiu a contagem por agrupamentos, que no contexto desta dissertação, trata-se da unidade de medida intermediária. Vale dizer que a invenção dos agrupamentos possibilitou ao homem a criação das diferentes bases numéricas decimal, quinária, binária, dentre outras (SILVEIRA, 2015). 12 A unidade de medida intermediária consiste em agrupamentos formados por unidades de medida básicas. A complexificação da necessidade humana de medir gerou a sistematização da medida intermediária, bem como culminou com a padronização do sistema de medidas, que se tornou universal. Além disso, a formação do sistema conceitual formado pela multiplicação e divisão só foi possível com a criação da unidade de medida intermediária (multiplicando e divisor, respectivamente). Do contrário, o homem ainda estaria realizando a contagem um a um e, consequentemente, não teria atingido o alto nível de elaboração conceitual e os avanços científicos alcançados até nossos dias. Essa primeira ação expressa a necessidade de realizar a contagem das medidas de forma mais rápida, o que gera a necessidade da formação da unidade de medida intermediária. Esta e os outros elementos da relação essencial do conceito de divisão se apresentam no 12 Ao leitor interessado em aprofundar seus estudos sobre o conceito de Sistema de Numeração proposto por Davýdov, indicamos a leitura da dissertação de Silveira (2015).

43 42 âmbito da conexão universal de todos os conceitos matemáticos escolares, isto é, a partir da relação entre grandezas (DAVÍDOV, 1987). Durante o experimento objetal estabelecem-se relações de comprimento com comprimento, área com área, volume com volume, entre outras. Nesse momento inicial, decorre o concreto ponto de partida, revestido de elementos sensíveis, conteúdos iniciais que, por meio de sucessivas abstrações (gráfica e literal), atingirão o concreto ponto de chegada (DAVÍDOV, 1988). Nesse estágio inicial, encontram-se todos os atributos observáveis da realidade. O papel da análise é explicar a relação interna que possibilita tal aparência externa. Davídov (1988, p. 116, tradução nossa) ressalta que não é possível revelar estas relações enquanto não se realize a transformação prática dos objetos nem sem ela, já que somente nesse processo tais relações se revelam. Para tanto, o estudante exerce uma função semelhante à do cientista, pela ação investigativa, o que possibilita a superação do pensamento imediato da realidade por um do tipo eminentemente teórico (DAVÝDOV, 1982). Segundo Leontiev (1959), nesse estágio da cognição é importante que se tome consciência das interações objetivas. De acordo com o referido autor (1959, p. 200): [...] se se quer construir na criança uma nova ação intelectual, [...], é preciso apresentar-lhe inicialmente como uma ação exterior, é preciso exteriorizá-la. A ação interior, constitui-se, portanto, primeiro, sob a forma de uma ação exterior desenvolvida. Posteriormente, após uma transformação progressiva generalização, redução específica dos seus encadeamentos, modificação do nível em que se efetua ela interioriza-se, isto é transforma-se em ação interior, desenrolando-se inteiramente no espírito da criança. A revelação das interações objetivas, da relação essencial, ocorre pela separação e fixação somente das condições decisivas, verdadeiramente indispensáveis de reprodução de uma e outra forma de movimento dos objetos (DAVÍDOV, 1988, p. 116, tradução nossa). Tal movimento decorre como já dito, da relação entre as unidades de medida básica, intermediária e o total de ambas, modelada de início na forma objetal, depois gráfica e, por fim, literal. Na primeira tarefa (tarefa 1), apresentamos a transformação dos dados que irão compor a relação universal do conceito. TAREFA 1: transformação dos dados: unidade básica, intermediária e o total de ambas O professor apresenta dois recipientes de mesma forma e tamanho, um com líquido (volume K) e outro vazio (Ilustração 3). Eles estão sobre duas mesas, distantes uma da

44 43 outra. A tarefa consiste em transferir o líquido de um recipiente ao outro, sem retirá-los do lugar (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2009). Ilustração 3 1ª tarefa, transferência de líquidos Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2012). Dada a condição da tarefa, de permanência dos recipientes no local de origem, será necessário um terceiro recipiente para efetuar a transferência do líquido. O professor propõe um recipiente relativamente pequeno (recipiente com volume A). Inicia-se a transferência, bem como a problematização sobre o quão trabalhoso e demorado será o processo de transferência. Os estudantes são orientados para a necessidade de se utilizar outro recipiente (volume C), conforme a ilustração 4: Ilustração 4 1ª tarefa, unidade de medida básica e unidade de medida intermediária (volumes A e C) Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2012). O recipiente de volume A denomina-se unidade de medida básica e o de volume C, unidade de medida intermediária. Estes recipientes são de mesma forma que aqueles apresentados inicialmente na tarefa, porém menores e com volumes diferentes um do outro (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2009). A necessidade de realizar a transferência do líquido de modo mais rápido, instiga os estudantes a refletirem sobre qual dos dois recipientes propiciará uma maior agilidade ao

45 44 processo. Davídov e Slobódchikov (1991) ponderam que, sem a formação de uma necessidade, não é possível que os estudantes entrem em atividade de estudo. A tarefa revela uma necessidade e a possibilidade de supri-la. O professor orienta para a seguinte conclusão: para uma transferência mais rápida, é necessário realizar a medição por meio da unidade de medida intermediária. Essa terminologia está relacionada ao seu tamanho médio se comparada a menor (básica) e a maior (volume total de líquido a ser transferido). No entanto, qual o valor da medida intermediária? Essa questão é levantada para que as crianças reflitam sobre a transformação da unidade de medida que antes era a básica e, a partir de agora, passa ser a intermediária. A sugestão é que se determine o seu valor a partir daquela dada inicialmente. Constata-se que a unidade de medida intermediária corresponde a quatro vezes a unidade de medida básica (Ilustração 5). Ilustração 5 1ª tarefa, relação quantitativa entre unidade de medida básica e intermediária Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2012). Portanto, os dados revelados são: quantidade do volume menor (unidade de medida básica); do intermediário (unidade de medida intermediária); e do maior (total de medidas básicas e intermediárias). Esses valores são desconhecidos e não estão explicitamente na tarefa. O seu cálculo requer determinada relação entre os dados. Mas este não é o foco da primeira ação, pois centra-se na revelação dos dados e a transformação: a unidade de medida que, inicialmente era básica, passou a ser intermediária e a quantidade de vezes que ambas se repetem na medição. Estes dados compõem a relação universal do conceito de divisão. O foco, aqui, não é a determinação do total, mas da transferência de líquido. Ele surgirá após a revelação e modelação da relação essencial, na segunda ação de estudo. A relação objetal que se estabeleceu na presente ação, entre as unidades de medida, possibilita a resolução da tarefa no plano teórico. Trata-se da gênese do conceito científico de divisão, em interconexão com o de multiplicação a partir das transformações dos dados realizados no plano objetal, mas que

46 45 refletem as relações internas. Vale dizer que a necessidade gerada na tarefa, de utilizar uma unidade de medida maior que a unidade de medida básica, é válida não somente para a divisão, mas também para a multiplicação. Ao considerar que a operação de divisão é inversa à multiplicação e que a unidade de medida intermediária é, respectivamente, divisor e multiplicando, na divisão e na multiplicação, a necessidade de contar as medidas por agrupamentos é válida para as duas operações. E que necessidade é essa? De contar as medidas de forma mais rápida: de três em três, de quatro em quatro e, assim, por diante. Disso decorre que, se não houver a unidade de medida intermediária a contagem será um a um. A sua transformação para a forma de agrupamento foi um importante salto no pensamento humano. O pensamento resultante dessa transformação supera os limites das representações sensoriais (DAVÍDOV; MÁRKOVA, 1987, p. 179, tradução nossa). Na tarefa, o conceito de divisão emerge por meio de uma situação desencadeadora que coloca os estudantes em ação investigativa. O conceito de divisão não é apresentado por meio de definições prontas, mas é revelado durante a realização das tarefas. Deste modo, as significações conceituais produzidas historicamente são reproduzidas pelos estudantes com a orientação do professor (CRESTANI, 2013). De posse dos dados da tarefa, que emergiram durante o experimento objetal de transferência de líquidos, a próxima etapa, segunda ação de estudo, consiste na revelação e modelação da relação universal para o conceito em referência, neste caso, o de divisão. Na segunda ação de estudo, a relação entre os dados, correspondente ao conceito de divisão, será modelada e abstraída por meio de um sistema de símbolos, tais como a reta numérica, esquema de setas e letras. Estes constituem os elementos mediadores entre a ação objetal e a mental. SEGUNDA AÇÃO DE ESTUDO: modelação da relação universal na forma objetal, gráfica e literal. A modelação da relação universal na forma objetal, gráfica e literal ocorre na segunda ação de estudo. Aqui se revela a articulação entre os dados levantados na primeira ação, concernente ao conceito de divisão. Trata-se da relação geneticamente inicial, essencial, universal, do conceito em referência, modelada nas formas objetal, gráfica e literal. O caráter externo é o ponto de partida, mas é superado por abstrações e generalizações teóricas [...] (HOBOLD, 2014, p. 182).

47 46 São diferentes representações da relação universal: inicialmente, na forma objetal, enquanto concreto sensorial, ponto de partida; posteriormente, nas formas gráfica e literal, como objetivação idealizada, abstração (Ilustração 6). É o movimento de redução do concreto ao abstrato até a terceira ação de estudo. Em seguida, na quarta ação, a partir do abstrato, esse movimento ascende ao concreto novamente. É a fase das aplicações da relação universal nas diferentes situações que se fizerem necessárias. A passagem do experimento objetal para o gráfico e, deste, para o literal possibilita analisar a origem e desenvolvimento do objeto. Ilustração 6 Modelo objetal, gráfico e literal Fonte: Elaboração da autora, Esse conjunto de abstrações sucessivas (objetal, gráfica e literal) compõe a abstração substancial. A abstração literal possibilita a generalização algébrica, substancial, pois fixa as características internas do objeto, não observáveis de maneira direta (DAVÍDOV, 1988, p. 183, tradução nossa). O pensamento desenvolvido, a partir desse movimento de abstração e generalização, é denominado, por Davýdov (1982), de teórico. Está internamente conectado com a realidade imediata, a partir do modelo objetal. A modelação literal é expressão da reprodução, em nível teórico, da realidade objetiva (DAVÝDOV, 1982). O elo entre a representação das duas modelações consiste na representação da modelação gráfica. Contudo, é importante destacar que nem toda representação pode ser considerada modelo. Somente aquela referente à relação geneticamente inicial, essencial, universal (DAVÍDOV; SLOBÓDCHIKOV, 1991). Davýdov (1982) recorre a Shtoff (1966, p. 19) para

48 47 fundamentar sua proposição sobre modelo. Segundo Shtoff (apud DAVÝDOV, 1982, p. 313), o modelo consiste em um sistema concebido mentalmente ou realizado em forma material, que, ao refletir ou reproduzir a relação essencial do conceito, pode substituí-lo, propiciando a aquisição de informação nova sobre ele. De acordo com o autor, os modelos podem ser objetais e mentais. As correspondentes transformações podem dar-se no plano objetal e mental, respectivamente. Ambos referem-se ao conhecimento teórico. São, pois, fruto de uma complexa atividade cognoscitiva, que inclui, sobretudo, a elaboração mental do material sensório inicial (DAVÝDOV, 1982, p. 315, tradução nossa). Os modelos gráficos estão indissoluvelmente ligados à compreensão teórica de sua estrutura. Expressam a unidade entre o modelo objetal e o literal. A modelação realizada a partir de sucessivas abstrações oportuniza a reprodução da regularidade, da lei que rege o vir a ser desse todo (DAVÝDOV, 1982, p. 354, tradução nossa). Em outras palavras, o processo de modelação da relação universal, ao atingir sua máxima abstração (literal) possibilita, na quarta ação de estudo, a reprodução de todas as situações singulares que tenham como origem a relação geneticamente inicial em questão. Os modelos são uma forma peculiar de abstração, na qual as relações essenciais do objeto estão fixadas em ligações e relações visualmente perceptíveis e representadas de elementos objetais ou semióticos. Trata-se de uma peculiar unidade do singular e do universal, na qual em primeiro plano se apresenta o universal, o essencial (DAVÍDOV, 1988, p. 134, tradução nossa). A modelação, as três formas de representações da relação universal, é o meio de abstração e idealização da relação essencial do conceito: é meio de transferência ao plano mental (DAVÝDOV, 1982). O modelo constitui um elo internamente imprescindível no processo de aprendizagem dos conhecimentos teóricos e dos procedimentos universais de ação (DAVÍDOV, 1988, p. 182, tradução nossa). Em síntese, no Ensino Desenvolvimental, os elementos que constituem a relação universal são introduzidos na primeira ação. Na segunda, tal relação é modelada, portanto, ocorre nas primeiras ações, isso porque o modelo serve de instrumento para análise das propriedades do conceito (terceira ação) e a orientação pela relação universal na solução de tarefas singulares (quarta ação). Assim, o movimento se dá do universal ao singular (STERNIN, 1960). Porém, vale reafirmar que a revelação da relação universal ocorre durante o experimento objetal, conforme se evidencia na tarefa 2.

49 48 TAREFA 2: modelação da relação essencial nas formas objetal e gráfica TAREFA 2(a): A tarefa é composta por três itens. No primeiro, são dispostos M objetos em colunas compostas por três deles cada (Ilustração 7). Como saber quantas colunas há ao todo? (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). Ilustração 7 2ª tarefa, figura parcialmente oculta e esquema de setas Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). A ilustração indica que os estudantes completarão o esquema e indicarão a operação aritmética a ser utilizada para a determinação do resultado, ou seja, a quantidade de colunas ao todo. Em seguida, o professor explica que, para determinar o total, é necessário contar de 3 em 3, pois a medida intermediária adotada consiste em três unidades de medidas básicas. Os estudantes registram os dados extraídos da análise da figura (representação objetal) e do próprio enunciado no esquema, que constitui a representação gráfica (Ilustração 7). Cada seta do esquema representa uma medida: a seta horizontal representa o total de unidades básicas que, neste caso, será representado por M. Ao lado da seta inclinada à esquerda é inserido o número representativo da medida intermediária, 3 (Ilustração 8). E ao lado da seta inclinada à direita, completa-se com o valor correspondente à quantidade de medidas intermediárias que compõe o todo. Cada valor no esquema consiste na representação dos elementos que constituem as operações de multiplicação e divisão. O total de unidades básicas é, simultaneamente, produto e dividendo. A medida intermediária é o primeiro fator, na multiplicação, e divisor, na divisão. O terceiro elemento consiste no segundo fator da multiplicação e o quociente, da divisão. Ilustração 8 2ª tarefa, figura parcialmente oculta e dados no esquema de setas Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009).

50 49 Constata-se, a partir da análise do esquema (Ilustração 8), que o valor desconhecido consiste na quantidade de colunas. A determinação da quantidade de vezes que a unidade de medida intermediária (divisor) cabe no todo (dividendo) é possível por meio do conceito de divisão, cuja expressão representativa, neste caso, é: M 3 =? TAREFA 2(b): O professor atribui um valor para M (M = 21) e sugere um novo registro, tanto no esquema quanto na operação aritmética (Ilustração 9). Ilustração 9 2ª tarefa, figura parcialmente oculta e esquema correspondente para M = 21 Fonte: Elaboração da autora, A questão norteadora refere-se à quantidade de colunas que compõe a figura parcialmente oculta. Em outras palavras: quantas vezes a unidade de medida intermediária (composta por três unidades básicas) cabe no todo (21 unidades básicas)? Ou, matematicamente: 21 3 =. A resolução ocorre na reta numérica (Ilustração 10), contexto geométrico, que possibilita a determinação de quantas medidas intermediárias cabe no total de medidas básicas. Tal como o esquema, a reta numérica reproduz teoricamente a representação da relação essencial do conceito de divisão. Ilustração 10-2ª tarefa, resolução de 21 3 = na reta numérica Fonte: Elaboração da autora, 2014.

51 50 Na reta numérica (Ilustração 10), são formados agrupamentos compostos por três unidades cada (unidade intermediária), representados pelos arcos. Conclui-se que nas 21 unidades básicas, foram formados sete agrupamentos. Isso ocorre porque a operação referente ao conceito de divisão permite determinar a quantidade de medidas intermediárias (divisor) que cabe no total de unidades básicas (dividendo). Costa (1866, p. 43) afirma que o dividendo é sempre igual ao produto do divisor pelo quociente. E completa: multiplicar dois números inteiros é repetir um tantas vezes quantas as unidades do outro [...], logo, a divisão de dois números inteiros tem por objeto achar quantas vezes o dividendo contém o divisor (COSTA, 1866, p. 43). Ao analisar a representação objetal (Ilustração 7), importa refletir sobre o modo que ela é apresentada aos estudantes em comparação com a escola, denominada por Davýdov de tradicional. Na tarefa, os objetos não são apresentados diretamente, são apenas parcialmente visualizados. Em seguida, o valor do dividendo é representado por uma letra (M). Essa condição gera a necessidade de reflexão sobre como atingir a representação total. Trata-se da ação investigativa. A relação essencial do conceito, depois de revelada, é gradativamente elevada ao plano mental. Mas antes, é necessário atuar no plano objetal, uma vez que este consiste no reflexo da realidade objetiva nas formas da atividade subjetiva do homem social (em suas imagens internas, móveis e metas), que reproduz esse mundo objetivo (DAVÝDOV, 1982, p. 286, tradução nossa). Para Davídov (1987), a escola tradicional é aquela que desenvolve o pensamento empírico dos estudantes. Tem como orientação o desenvolvimento, nos estudantes, de habilidades e conhecimentos utilitário-empíricos com base em alguns princípios. Um deles é o princípio do caráter consciente. Neste, o ponto de partida está dado diretamente aos órgãos dos sentidos por meio de imagens ou a própria situação representada. O foco da análise incide nos traços externos, por isso há uma relação direta entre a imagem e a abstração verbal, entre a imagem real e a ideal. Os estudantes não participam da reprodução da relação essencial do conceito, já as recebem pronta. Não são colocados em ação investigativa, uma vez que a imagem apresentase prontamente. Basta que a visualize para comparar, classificar e chegar a uma definição sem que, para isso, se realizem as interações e relações entre os elementos que constituem o conceito. Contrapondo-se a isso, Davídov (1987) apresenta o princípio da atividade, no qual as ações que possibilitam a reprodução da relação essencial do conceito, em seu estágio atual, são desenvolvidas. Trata-se da unidade entre os planos objetal e mental mediados por um

52 51 sistema de símbolos. Tal metodologia reproduz o movimento de formação do conceito, o caminho que os pesquisadores percorreram desde a sua origem, mas sem repetir as etapas primitivas do mesmo. Ou seja, desde o experimento objetal, o foco são os elementos que constituem a relação essencial do conceito em seu estágio atual. Esse processo consiste na reprodução da atividade humana, no âmbito da atividade de estudo para que o sujeito participe ativamente do conhecimento produzido historicamente (MOURA; SFORNI; ARAÚJO, 2011, p. 50). A ciência contemporânea se baseia fundamentalmente não na observação, mas no experimento, e este é [...] um método de atividade intrinsecamente relacionada com o trabalho produtivo (DAVÝDOV, 1982, p. 311, tradução nossa). Por conseguinte, na formação do pensamento teórico, o indivíduo é colocado em atividade investigativa diferentemente da atividade contemplativa e naturalista, de caráter empírico (DAVÝDOV, 1982). Desse modo, a origem do conceito de divisão, em Davýdov, ocorre no procedimento de reprodução da relação essencial, universal, composta pelas unidades básicas e intermediárias e o total de ambas. Inicialmente, tal como ocorreu historicamente, essa reprodução acontece por meio do experimento objetal, mas em nível teórico, pela da análise dos dados que constituem a relação essencial do conceito. Além disso, não permanece no plano objetal, pois este não dá conta de elevar ao mental a relação essencial. Se assim fosse, desenvolveríamos apenas o conhecimento empírico no qual há uma relação direta entre o plano objetal e o mental. Há, pois, elementos mediadores que possibilitam abstrações teóricas e a passagem do plano objetal ao mental, tal como a reta numérica e o esquema de setas. A representação objetal da relação entre grandezas (volume com volume, comprimento com comprimento,...), geradora do conceito de divisão, gradativamente é reproduzida na reta e no esquema. Cada representação objetal é válida para uma grandeza específica. A reta e o esquema, por sua vez, expressam de modo mais amplo a interconexão válida para qualquer grandeza, na qual se revela a essência do conceito de divisão. Ou seja, a relação entre grandezas particulares, com medidas singulares, é substituída pela relação válida para qualquer grandeza, na reta numérica e no esquema, portanto, universal. A passagem da modelação objetal para a modelação gráfica (reta e esquema) representa uma importante etapa do processo de abstração da relação essencial do conceito. Após a realização dessas duas modelações, Davýdov propõe a literal. Este sistema de modelação que se inicia no plano objetal, depois, por meio de abstrações sucessivas, ocorre na

53 52 reta, no esquema e, finalmente, algebricamente, possibilita a reprodução da relação universal no plano mental (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). Nesse movimento, alguns elementos são extintos e dão lugar a outros. O que permanece é apenas o essencial. Nesse sentido, concordamos com Martins (2011) quando diz que transformar é conferir outra forma, por superação, dos limites da anterior. Daí, podemos inferir que a relação universal é aquela que, mesmo diante das transformações constantes (de objetal para gráfica e de gráfica para literal), mantém sua propriedade essencial, estável, em todas as fases do processo de transmutação (DAVÝDOV, 1982). Davídov (1988, p. 135, tradução nossa) lembra que a ação prática, sendo sensório-objetal, reúne em si elementos de um conteúdo contraposto por suas particularidades: o externo e o interno, o existente e o mediatizado, o singular e o universal, que se encontra em unidade entre si. A ação prática não é isolada, ela está em unidade com a ação mental, pois aquela se manifesta e se transforma por meio das abstrações que ocorrem no nível mental. Tal movimento decorre da inter-relação entre as grandezas a partir das significações aritméticas, geométricas e algébricas. De outro modo, no processo de formação do pensamento empírico, o movimento ocorre diretamente do plano objetal para a representação mental. Na formação do conhecimento empírico, a essência incide sobre a observação direta do objeto, que reflete apenas suas propriedades externas que, em um processo de comparação e classificação, atingem o conceito, pela análise das representações visuais (DAVÍDOV; MÁRKOVA, 1987). Sem a presença de elementos mediadores entre os planos objetal e mental, trata-se de uma ligação direta. Ou seja, não se contempla a modelação por meio de símbolos cujos [...] efeitos repercutem na memória, na atenção, na percepção, no pensamento e na vontade. [...] o desenvolvimento psicológico e cultural da criança é fortemente afetado por estas operações e pelas interações sociais (PRESTES; TUNES; NASCIMENTO, 2013, p. 60). Há uma diferença substancial entre conceito empírico e teórico no que diz respeito à abstração. No teórico, se reproduz a essência do conceito, sua conexão geneticamente inicial, por meio da transformação do objeto que reflete suas relações e enlaces internos. Durante a reprodução do objeto em forma de conhecimento teórico, o pensamento sai dos limites das representações sensoriais (DAVÍDOV; MÁRKOVA, 1987, p. 179, tradução nossa). O empírico classifica e separa por meio da comparação as propriedades externas do objeto e sua representação (DAVÍDOV, 1988). Logo, a essência do objeto, no pensamento empírico, revela-se a partir da percepção imediata, sem uma análise das propriedades internas, nos limites das características

54 53 externas sensorialmente perceptíveis. O movimento ocorre diretamente da percepção para a representação geral (imagem mental elaborada a partir da observação sensorial). Não há explicações sobre o movimento interno de constituição do conceito. Nessa concepção, a gênese interna do conceito não é considerada assim como também suas transformações mútuas (DAVÝDOV, 1982). Vale salientar a importância de compreender a gênese teórica do conceito, seu processo de formação, pois ela permite a compreensão dialética não como algo pronto e acabado, mas em movimento constante de transformação. É importante frisar que os conceitos foram produzidos pela humanidade ao longo da história. Na proposição davydoviana, estes são reproduzidos ativamente pelo estudante, em suas formas mais elaboradas, como síntese da produção social humana. O caráter ativo desse processo constitui a condição essencial (DAVÍDOV; MÁRKOVA, 1987, p. 189, tradução nossa) para o surgimento de novas estruturas de formação no desenvolvimento intelectual dos estudantes desde os primeiros anos de escolarização. Segundo Davýdov (1982), a essência de um objeto está na sua origem e construção, instigadas por uma necessidade. Em relação ao conceito de divisão, cabe questionar qual a causa histórica que originou a necessidade de dividir? Sabe-se que foi para definir quantas vezes uma determinada medida (de mesma grandeza) cabe em outra. Mas com qual finalidade? Caraça (2002) afirma que na vida diária há, frequentemente, a necessidade de medir e contar. Desde os primórdios, quando o homem passou a viver em sociedade, surgiram necessidades de medição das terras para determinar a quantidade de sementes a serem plantadas, para definir o valor da medida da área de terras a serem vendidas ou compradas e para efetuar o pagamento de impostos. O ato de medir se faz pela relação entre grandezas: comprimento com comprimento, área com área, volume com volume, etc. Ao realizar a relação entre duas grandezas, de acordo com Caraça (2002), perguntamos quantas vezes uma delas cabe em outra. No entanto, a resposta que obtemos é insuficiente para suprir a necessidade que a vida social nos impõe. Faz-se necessária a utilização de unidades de medidas de grandeza padronizadas e, também, de um valor numérico que expresse o resultado. No entender de Caraça (2002, p. 30), há, portanto, no problema da medida, três fases e três aspectos distintos escolha da unidade; comparação com a unidade; expressão do resultado dessa comparação por um número. A origem do conceito de divisão, por sua vez, resulta da relação entre grandezas, na qual se quer determinar quantas vezes o divisor cabe no dividendo. O resultado dessa

55 54 relação é o quociente, cuja expressão é dada aritmeticamente. Eis aqui a apresentação da essência do conceito de divisão, da relação universal. Como esclarece Davýdov (1982, p. 301, tradução nossa), a operação de construir e transformar o objeto mental equivale ao ato de compreender, explicá-lo e revelar sua essência. Trata-se do procedimento que pode ser utilizado para a realização de qualquer operação de divisão, serve de base orientadora da ação (GALPERIN; ZAPORÓZHETS; ELKONIN, 1987), independentemente dos valores atribuídos e das grandezas consideradas, conforme demonstrado no segundo item da tarefa em análise. Tarefa 2(c): O professor propõe aos estudantes, como base no item anterior, que determinem a quantidade de colunas, considerando M = 17. Os estudantes completam no esquema os dados da tarefa: 17 unidades de medidas básicas (dividendo), distribuídas em colunas compostas por três unidades básicas (divisor), como mostra a ilustração 11 (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). Ilustração 11-2ª tarefa, representação gráfica (esquema) Fonte: Elaboração da autora, É importante ressaltar que, independentemente dos valores considerados, a relação é a mesma, por isso, universal. No primeiro item da tarefa, o dividendo era M, no segundo, 21 e, neste último, 17. Vale dizer que, durante a realização das tarefas particulares, foi introduzido o esquema de setas (Ilustração 11). Este é o modelo gráfico, contexto da relação universal, portanto válido para subsidiar a interpretação de qualquer tarefa ou situação singular, pertencente ao sistema conceitual de multiplicação e divisão. O esquema, representação geométrica da relação genética do conceito de divisão, o modelo gráfico, opera como instrumento para captar a essência, a qual possibilita a representação ideal no plano mental, dispensando, nesse estágio, o modelo objetal. O esquema representa a operação 17 3, que será resolvida com auxílio da reta numérica, afim de determinar a quantidade de vezes que a medida intermediária cabe no total de unidades de medida básica. No entanto, a

56 55 presente situação apresenta um elemento novo: a introdução da operacionalização da divisão com resto. Na reta numérica (Ilustração 12), o todo é formado por 17 unidades de medidas básicas (arco tracejado) e a medida intermediária (divisor), composta por três unidades básicas, será agrupada em arcos (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). Ilustração 12-2ª tarefa, representação gráfica (reta numérica) Fonte: Elaboração da autora, A ilustração 12, evidencia que a unidade de medida intermediária cabe inteira, cinco vezes no total de unidades de medida básica e restam duas unidades sem serem agrupadas. A resolução, na reta numérica, propicia a identificação que o resto na divisão deve ser menor que o divisor (COSTA, 1866, p. 43), visto que se fosse igual ou maior que a medida intermediária seria possível formar mais agrupamentos. Os colaboradores de Davýdov (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003) sugerem que o professor explique que, em divisões com resto, deve-se colocar a quantidade de medidas intermediárias que cabem na grandeza e, ao lado, entre parênteses, a quantidade de medidas básicas restantes: 17 3 = 5 (resto 2). Isso se explicita na representação gráfica (reta e esquema) da operação (Ilustração 13): Ilustração 13-2ª tarefa, representação gráfica (esquema) Fonte: Elaboração da autora, 2014.

57 56 A divisão com resto é denominada de divisão não exata ou inexata. Em qualquer divisão inexata o dividendo é igual ao produto do divisor pelo quociente, mais o resto (COSTA, 1866, p. 43). Após a realização da divisão, o professor completa no quadro 13 : 17 = (3 x 5) + 2. Também enfatiza que a medida intermediária pode não caber exatamente o número inteiro de vezes no total de medidas básicas. Nesse caso, determina-se o total que couber inteiro. Além disso, anuncia que o aprofundamento da operação de divisão com resto será desenvolvido nos próximos anos. Nesse momento, apenas realizar-se-á esse tipo de divisão com resto, para determinar o número de medidas intermediárias que cabem na grandeza a ser medida (total de unidades básicas). Em seguida, mediremos a quantidade de unidades de medidas básicas restantes, que denomina-se resto (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). Para finalizar, o professor elabora, com os estudantes, uma síntese no quadro do movimento realizado a partir do experimento objetal (Ilustração 14). Ilustração 14 2ª tarefa, representação gráfica (esquema e reta) Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). O professor explica aos estudantes (Ilustração 14), que o resultado da operação 22 5 = 4 (resto 2), assim como de outras, não é exclusividade da mesma. Ocorrem resultados semelhantes para operações diferentes, como, por exemplo, 26 6 = 4 (resto 2). É importante ressaltar a importância da relação do conceito de divisão com seu inverso, independentemente de ser exata ou com resto (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). 13 Essas relações foram desenvolvidas nas tarefas anteriores, no contexto da multiplicação. Para conhecê-las, sugerimos a leitura de Hobold (2014).

58 57 A ilustração 14 apresenta a operação de divisão e de multiplicação representados aritmética e geometricamente (esquema e reta), que na reta numérica, possuem a mesma relação interna, indicadora de que são operações inversas 14 entre si. O esquema e a reta numérica expressam a unidade dos contrários entre as operações. Na reta numérica, por exemplo, elas apresentam a mesma relação interna, podendo, inclusive, estabelecer movimentos inversos, orientados pelos arcos. Isso porque, na multiplicação, temos as partes e queremos determinar o todo, o que necessita, da adoção do zero como ponto de partida. Na divisão, conhecemos o todo e uma das partes, que propiciam a adoção do todo como ponto de partida, com movimento em direção ao zero. Em ambas, a relação interna mantém-se inalterada. Tal movimento, revelador da unidade dos contrários, também caracteriza as operações fundamentais da Matemática e suas respectivas inversas como, também, no confronto entre as unidades contínuas e discretas. Segundo Caraça (2002, p. 65), há um princípio universal de luta, de tensão de contrários, que a todo o momento rompe o equilíbrio para criar um equilíbrio novo. Nas tarefas particulares, permanece a unidade entre as grandezas contínuas e discretas. As representações da relação essencial do conceito se expressam na grandeza contínua, reta numérica, como também na grandeza discreta expressa em figuras ou no próprio esquema. Vale dizer que a passagem do modelo objetal para o literal (algébrico) é mediado pela modelação gráfica (reta numérica e esquemas). Isso ocorre porque, segundo Davýdov (1982), existem meios específicos para se representar um objeto de conhecimento, tanto no plano material quanto mental. Atingir a representação, no plano mental, da relação essencial por meio de símbolos significa reproduzir teoricamente o objeto de estudo (DAVÝDOV, 1982). Como apresentamos na próxima tarefa. TAREFA 3: início da modelação literal O professor sugere que os estudantes estabeleçam relações entre o desenho e o esquema apresentados na ilustração 15 (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). 14 Ao leitor interessado no estudo da relação de inversibilidade entre multiplicação e divisão, sugerimos a leitura de Rosa, Damazio e Crestani (2013).

59 58 Ilustração 15 3ª tarefa, esquema abstrato Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). O professor orienta as reflexões em direção à seguinte síntese (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003): as representações (Ilustração 15), ainda que aparentemente diferentes, são constituídas pelos mesmos elementos, C é a medida intermediária (divisor), m é a quantidade de vezes que C se repete (quociente) e A é o total de unidades básicas (dividendo). As representações indicam que A corresponde m vezes de C. Em outras palavras, o inteiro (A) é composto de m partes iguais C ou o inteiro (A) é dividido em m partes iguais C. A medida C cabe na grandeza A m vezes. Trata-se de uma tarefa que sintetiza o movimento de modelação realizado até o momento, porém na forma literal que, de acordo com Davýdov (1982), possibilita o desenvolvimento do pensamento teórico. Essa etapa é relevante, uma vez que os símbolos que representam o objeto em sua forma universal são produtos da atividade humana. Quando o indivíduo faz uso de símbolos, a fim de atingir a essência de algo, para ele constitui-se uma idealização do caminho percorrido pelo objeto ao longo da história, construído por muitos povos, produzido e reproduzido por inúmeras civilizações (DAVÝDOV, 1982). A forma que o objeto adquire é de uma síntese dos esforços acumulados por muitos homens. Ou seja, o indivíduo reproduz idealmente a síntese das produções historicamente constituídas do objeto (DUARTE, 2001). No entanto, faz-se necessário enfatizar que, a dicotomização entre pensamento empírico e teórico, é decorrente das contradições sociais vigentes. A constituição das produções históricas conduziu ao desenvolvimento do trabalho (DAVÝDOV, 1982). No entanto, os homens, em sua maioria, por motivos de ordem socioeconômica, não puderam acompanhar tal desenvolvimento, resultando em uma divisão desigual do trabalho. De um lado, estava uma minoria, que desenvolvia atividade de caráter teórico e, de outro, a maioria, desenvolvia trabalhos braçais (DAVÝDOV, 1982). Em decorrência, esses últimos são orientados para o desenvolvimento de um tipo de pensamento elementar, voltado para o mercado de trabalho. Este tipo de orientação no ser efetivo externo se converteu na base do

60 59 pensamento empírico da massa de trabalhadores-executantes das operações laborais e sociais (DAVÝDOV, 1982, p. 317, tradução nossa). Todavia, o conhecimento científico-teórico, como uma herança da humanidade, segundo os pressupostos da Teoria do Ensino Desenvolvimental, deve ser acessível a todos desde os primeiros anos escolares. É condição que, o conceito de divisão, assim como os demais, enquanto síntese da produção social humana, seja ensinado nas escolas, em suas formas mais elaboradas, no nível teórico mais avançado, por meio da interconexão entre o geral, universal, particular e singular. O singular refere-se às diferentes situações-problema. O geral para todos os conceitos matemáticos consiste nas relações entre grandezas, desprovida de seu valor aritmético e o particular, a unidade de medida intermediária, conforme contempla a tarefa a seguir: TAREFA 4: modelação gráfica e literal a) A tarefa consiste na representação, no esquema de setas, dos dados apresentados na ilustração 16 (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003): Ilustração 16-4ª tarefa, representação gráfica Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). Na tarefa (Ilustração 16), consta o valor da unidade de medida intermediária, divisor (6 kg) e a quantidade de vezes que ela cabe no todo, quociente (10 vezes). O valor desconhecido, o todo, incide no total de unidades de medida básica (dividendo), expressa pela grandeza massa. A unidade de medida está explicitada somente em um dos dados (6). Isso porque o valor 10 não se refere à grandeza, mas à quantidade de vezes que repete os 6 quilogramas. É importante essa reflexão para que se compreenda a função de cada elemento que compõe a relação essencial do conceito. A representação no esquema (Ilustração 17), a ser realizada pelos estudantes com o auxílio do professor, será assim expressa:

61 60 Ilustração 17 4ª tarefa, representação da multiplicação no esquema Fonte: Elaboração da autora, No esquema (Ilustração 17), há as duas partes que compõem o todo. E necessita que se determine o total de unidades de medida básica. No entanto, não será possível o cálculo por meio da divisão, visto que o quociente (quantidade de vezes que a unidade de medida intermediária se repete) está explícito na tarefa. O valor a ser calculado refere-se ao todo (total de unidades básicas, produto na multiplicação ou dividendo na divisão). Temos que: a unidade intermediária (6) se repete por 10 vezes: 6 x 10 =, conforme a representação gráfica, no esquema de setas a seguir (Ilustração 18): Ilustração 18 4ª tarefa, resultado da operação de multiplicação no esquema Fonte: Elaboração da autora, b) Na continuidade da tarefa, os estudantes são orientados a construírem o esquema com base em um novo desenho, conforme ilustração 19 (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). Ilustração 19 4ª tarefa, representação da operação de divisão Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). O esquema constitui-se por um inteiro dividido em partes. O valor 42 representa o produto (na multiplicação) ou o dividendo (na divisão). A proposta é que se determine a quantidade de vezes que o divisor (7) se repete. Para tanto, será necessário realizar a operação

62 61 inversa do item anterior, a de divisão: 42 7 (Ilustração 20). Trata-se, pois, da medição do segmento com valor sete metros no maior, com 42 metros de comprimento. O resultado da comparação entre ambos é expresso por um número, ou seja, por uma representação aritmética. A ilustração 19 mostra o esquema composto por segmentos de reta. Este consiste em uma grandeza geométrica; a comparação de dois segmentos de reta é uma operação do campo geométrico, a expressão numérica da medição significa a tradução dessa operação geométrica por meio de um instrumento do campo numérico (CARAÇA, 2002, p. 51). O resultado da comparação dos segmentos, ou seja, da quantidade de vezes que o segmento composto por sete unidades básicas cabe no segmento composto de 42 unidades básicas, é expresso numericamente. Ilustração 20-4ª tarefa, representação da divisão no esquema Fonte: Elaboração da autora, O esquema indica que 7 m cabe 6 vezes em 42 m: 42 7 = 6. Vale ressaltar que as grandezas consideradas na tarefa em análise são distintas. No primeiro item, tratava-se da massa e agora se refere ao comprimento, porém, ambas contínuas. c) Para finalizar a tarefa o professor propõe a reflexão dos modelos gráfico e literal da divisão, conforme ilustração 21. Ilustração 21-4ª tarefa, modelo gráfico e literal Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009).

63 62 Finalmente a relação universal atinge o nível máximo de abstração: m = b p. Esta é expressão do experimento objetal ponto de partida, mas em nível teórico. Durante o movimento de redução alguns elementos foram abstraídos, tais como os objetos, suas respectivas grandezas, os esquemas, a reta numérica, entre outros. Porém, permaneceu o essencial, os dados que constituem a relação universal do conceito de divisão, pois, na ilustração 21, b representa o total de unidades básicas (dividendo), p, a unidade de medida intermediária (divisor) e m, a quantidade de vezes que p se repete, o quociente. Isso porque, para determinarmos o total de partes que se repete, é necessário dividir o todo (dividendo) pelo valor da medida intermediária (divisor). No contexto do movimento entre multiplicação e divisão, concluímos a modelação da relação universal do conceito de divisão. Trata-se da abstração substancial, da relação essencial, geneticamente inicial, universal, do conceito de divisão resultante do processo de redução do concreto ponto de partida, enquanto experimento objetal. O modelo da relação universal reflete as leis do conceito, proporciona um conhecimento mais profundo do singular, já que manifesta o que há de essencial, [...] (STERNIN, 1960, p. 261, tradução nossa). É neste ponto que se revelam a diferença e a superioridade do conceito teórico em relação ao empírico. Este não considera a categoria universal, admite somente a existência de objetos singulares pela via das sensações (STERNIN, 1960). Para a formação do pensamento teórico, consideramos a unidade entre singular e universal como um dos princípios que caracterizam o conhecimento dialético e consiste em abordar de modo histórico e concreto os fenômenos [...] (STERNIN, 1960, p. 274, tradução nossa). A partir desse movimento é que as tarefas davydovianas foram organizadas, de modo que os alunos passem paulatinamente do trabalho com figuras à descrição das ações com ajuda exclusiva das fórmulas expressas por letras (DAVÍDOV, 1988, p. 215, tradução nossa). O modelo universal, literal, expressa as características internas do objeto (DAVÍDOV, 1988, p. 183, tradução nossa), cuja transformação ocorre na terceira ação de estudo, apresentada a seguir. TERCEIRA AÇÃO DE ESTUDO: transformação do modelo da relação universal para o estudo de suas propriedades Na terceira ação ocorre a transformação do modelo para possibilitar o estudo, na quarta ação, das propriedades do objeto (Ilustração 22). Na especificidade deste, ocorre a

64 63 transformação do modelo referente à relação universal do conceito de divisão. Em outras palavras, as propriedades conceituais são reveladas por meio das relações e conexões mútuas realizadas pelos estudantes, sob a orientação do professor (DAVÝDOV, 1982). Tais propriedades referem-se ao movimento interno, essencial, do conceito (DAVÍDOV, 1988). Ilustração 22 - Transformação do modelo Fonte: Elaboração da autora, Pelo estudo das propriedades, criamos a base para a formação de um procedimento, válido para a realização das tarefas que serão apresentadas na quarta ação, inclusive para sistematização do algoritmo. Davídov (1988, p, 213, tradução nossa) ressalta que a ação tem importância substancial no processo de aprendizagem dos conhecimentos teóricos, pois permite aos alunos compreenderem a especificidade da orientação em um plano ideal peculiar [...]. O autor explica que: Nas dependências reveladas pela teoria, uma coisa aparece como forma de expressão de outra dentro de um certo todo. Este trânsito de uma coisa a outra, a anulação da especificidade de uma coisa ao transformar-se em outro ser, ou seja, sua conexão interna, aparece como matéria do pensamento teórico e científico (DAVÝDOV, 1982, p. 307, tradução nossa). O estudo das propriedades consiste nas transformações decorrentes da relação essencial do conceito, as múltiplas transformações que ocorrem no modelo representativo da relação universal, conforme a tarefa a seguir.

65 64 TAREFA 5: transformação da relação universal em três modelos distintos a) A tarefa é composta por três itens. No primeiro, a partir das informações (Ilustração 23), o professor propõe aos estudantes que completem o esquema de setas e determinem o valor desconhecido, com base na relação universal do conceito, modelada na ação anterior. Ilustração 23-5ª tarefa, representação dos dados no esquema de setas Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). Segundo a ilustração 23, o número 8 representa a unidade de medida intermediária e 6, a quantidade de vezes que 8 se repete. O valor desconhecido é o todo (total de unidades de medida básica). Portanto, a operação a ser realizada é a multiplicação. Os estudantes completam o esquema, segundo a ilustração 24 (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). Ilustração 24-5ª tarefa, representação da operação de multiplicação 8 x 6 no esquema Fonte: Elaboração da autora, b) Na sequência os estudantes são orientados a completar o esquema de setas (Ilustração 25) e determinar o valor desconhecido (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). Ilustração 25-5ª tarefa, representação no esquema setas dos dados contidos na reta Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009).

66 65 Com base nas informações apresentadas na ilustração 25, o valor 5 representa a unidade de medida intermediária (divisor) e 35, o total de unidades de medida básica (dividendo). Temos, pois, o dividendo e o divisor e, como valor desconhecido, o quociente. Ilustração 26-5ª tarefa, representação gráfica da operação de divisão Fonte: Elaboração da autora, A síntese a ser elaborada é que 5 multiplicado por 7 resultará em 35. Ou ainda, 5 cabe 7 vezes em 35, conforme a ilustração 27. Ilustração 27-5ª tarefa, representação gráfica da operação de divisão Fonte: Elaboração da autora, c) O terceiro item (Ilustração 28) é semelhante aos anteriores, porém com valores distintos (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). Ilustração 28-5ª tarefa, representação dos dados no esquema Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). São dados: o valor da unidade de medida básica e a quantidade de vezes que a unidade de medida intermediária cabe no total. A determinação recai sobre o valor da unidade de medida intermediária (Ilustração 29).

67 66 Ilustração 29-5ª tarefa, representação gráfica da operação de divisão Fonte: Elaboração da autora, O professor explica que, para determinar um dos fatores, divide-se o dividendo pelo outro fator conhecido, O resultado é 9, como mostra o esquema (Ilustração 30): Ilustração 30 5ª tarefa, representação gráfica da operação de divisão Fonte: Elaboração da autora, Em cada uma das situações anteriores (itens a, b e c), o valor desconhecido referese a um elemento distinto da relação universal: na primeira é o total de unidades básicas (produto); na segunda, o total de unidades intermediárias (quociente) e na terceira, o valor da própria medida intermediária. Em decorrência, a relação universal pode ser transformada em três modelos distintos, conforme a ilustração 31 na sequência: Ilustração 31-5ª tarefa, quadro-síntese da transformação do modelo Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009).

68 67 A transformação do modelo da relação essencial em três outros distintos (b = p x b, p = b m e m = b p) possibilita o estudo das propriedades do conceito de divisão consoante apresentado na próxima tarefa de estudo. TAREFA 6: estudo da propriedade distributiva, a partir da relação universal O professor realizará o experimento com líquido (Ilustração 32) e as crianças registrarão no esquema de setas. Ele apresenta os recipientes com volumes A e B de líquido e explica que eles foram medidos com dois recipientes menores, o copo e a xícara (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003): Ilustração 32-6ª tarefa, representação objetal dos dados da tarefa Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). Para subsidiar o registro do movimento da tarefa, no esquema de setas, o professor informa quantos copos (medidas básicas) couberam em cada volume (A e B) e também a quantidade de vezes que a medida básica (copo) cabe na xícara (medida intermediária), conforme ilustração 33 (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). Ilustração 33-6ª tarefa, representação no esquema, da divisão da soma pelo número Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). Em seguida, todo o líquido dos recipientes (volumes A e B) é colocado no recipiente T. O professor propõe que os estudantes determinem a quantidade de xícaras

69 68 (medidas intermediárias) que compõe o volume de medida T. Para tanto, ele sugere a interpretação na nova situação em um único esquema (Ilustração 34). Ilustração 34-6ª tarefa, representação no esquema da divisão da soma pelo número Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). A partir dos dois esquemas iniciais, é possível determinar os quocientes parciais que compõem o recipiente T, enquanto o terceiro possibilita a execução da operação por outro procedimento, como mostra a ilustração 35. Ilustração 35-6ª tarefa, representação da transformação do modelo gráfico Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). A possibilidade de resolução, por dois procedimentos distintos, ocorre a partir da propriedade distributiva da divisão. Isso nos leva a busca de respaldo que encontramos em Costa (1866, p. 59) ao elucidar que para dividir uma soma por um número, divide-se por esse número cada parcela da soma, e adicionam-se os quocientes parciais, tal como acontece na ilustração 35. Vale ressalvar que o ponto de partida da tarefa foi o experimento objetal por meio da grandeza volume. Isso porque não se trata de um movimento linear, porém marcado por idas e vindas. A experiência sensorial aqui empregada não se dá estaticamente, mas no movimento de conexão dos elementos que constituem a relação universal e que possibilita o estudo das propriedades do conceito. Na próxima ação, ocorre a análise dessas propriedades nas manifestações singulares da relação universal.

70 69 QUARTA AÇÃO DE ESTUDO: construção de um sistema de tarefas singulares a partir da relação universal Na quarta ação, construímos um sistema de tarefas singulares a partir da relação universal revelada na primeira ação de estudo, modelada na segunda e transformada na terceira (Ilustração 36). Nela, acontece a análise das propriedades da relação universal em suas manifestações singulares (DAVÍDOV, 1988). Na proposição davydoviana, neste estágio, os estudantes analisam, com a orientação do professor, os dados da tarefa particular, captam a conexão essencial e a aplicam na resolução. Ou seja, por meio das propriedades reveladas da relação essencial, os estudantes deduzem as condições e os procedimentos de solução das diversas situações (DAVÝDOV, 1982). Em outras palavras, da relação universal, é possível extrair relações particulares para resolver uma situação singular. Ilustração 36 - Quarta ação de estudo Fonte: Elaboração da autora, Nesse estágio, o conceito teórico constitui o procedimento para deduzir os fenômenos particulares e singulares de sua base universal. Graças a isso, o conteúdo do conceito teórico são os processos de desenvolvimento dos sistemas integrais (DAVÍDOV, 1988, p. 152). Nessa ação, ocorre a passagem do universal para o particular e singular, uma vez que o procedimento universal pode ser aplicado na resolução das diversas tarefas. É nesse estágio que ocorre a sistematização da padronização das medidas. Passa-se a singularizar as ações por meio de representações numéricas e suas respectivas unidades de medida (metro seus múltiplos e submúltiplos). A conexão entre universal e suas manifestações singulares ocorrem pelo procedimento de ascensão do abstrato ao concreto, pois na formação teórica dos conceitos a transição do universal ao singular se realiza não só concretizando o conteúdo das abstrações iniciais, mas também substituindo os símbolos expressos por letras pelos símbolos numéricos concretos (DAVÍDOV, 1988, p. 215, tradução nossa). A esse respeito Sternin (1960, p. 273, tradução nossa), explica que:

71 70 Depois de haver alcançado o universal, o essencial, o conhecimento aspira a fixar os traços específicos, as propriedades de grupos singulares de fenômenos dentro deste universal, ou seja, aspira chegar ao individual e ao particular. O verdadeiro e pleno conhecimento consiste tanto em captar os traços essenciais, gerais [universais], dos objetos como em penetrar nas formas concretas com que o universal se manifesta. O processo de redução do concreto ao abstrato inicia-se, desde a primeira ação, pela revelação e modelação da essência. Posteriormente, ocorre o movimento de ascensão do abstrato ao concreto, por meio da confrontação de tarefas singulares. Ou seja, o pensamento se move em sentido inverso, a saber, em direção ao particular e ao singular (STERNIN, 1960, p. 274, tradução nossa). Desse modo, ocorre um microciclo de ascensão do abstrato ao concreto como via de aprendizagem dos conhecimentos teóricos (DAVÍDOV, 1988, p. 179, tradução nossa). Nesse segundo movimento, que culmina na quarta ação de estudo, os estudantes atingem o nível mais elevado de aprendizagem do conteúdo da abstração inicial, revelam a vinculação regular desta relação inicial com suas diferentes manifestações e assim obtêm a generalização substancial do objeto estudado (DAVÍDOV, 1988, p. 175, tradução nossa). [...] o verdadeiro conhecimento da essência da vida exige também que se estude o elemento singular em que realmente se manifesta este aspecto universal, exige a diferenciação do conceito obtido e requerido, por sua vez, que o pensamento se mova em um sentido inverso, ou seja, em direção ao particular e ao singular (STERNIN, 1960, p. 274, tradução nossa). O movimento sugerido por Davýdov, nas quatro primeiras ações de estudo, reflete o princípio fundamental da dialética materialista, no movimento que perpassa o geral, universal, particular e singular, reconhecendo que o conhecimento do singular e do particular enriquece nosso conhecimento do universal e converte este de universal abstrato, em um universal pleno de diferenças e de movimento (STERNIN, 1960, p. 275, tradução nossa). A compreensão teórica do conceito requer a aprendizagem de sua relação universal. Como esclarece Smirnov: Dominar um conceito supõe não só conhecer os traços dos objetos e fenômenos [...], mas sim também saber usar o conceito na prática, saber operar com ele. E isso quer dizer que a apropriação do conceito implica não só o caminho de baixo para cima, desde os casos singulares e parciais até sua generalização, mas também o caminho inverso, de cima para baixo, do geral ao particular e singular [...] (SMIRNOV et al., 1956 apud DAVÝDOV, 1982, p. 27, tradução nossa). O movimento que ocorre do geral, universal, particular e singular propicia a aprendizagem dos conceitos. Esse é um dos aspectos que diferenciam a proposição

72 71 davydoviana daquelas que se fundamentam nos princípios do ensino tradicional. O resultado da tarefa não consiste apenas na transformação do objeto de estudo, mas, também, do próprio estudante como sujeito (REPKIN, 2014, p. 92). O foco da presente investigação incide na transformação do objeto, tal como ocorre na próxima tarefa, por meio da construção das unidades de medidas, a partir da relação essencial (Ilustração 37). TAREFA 7: sistematização das unidades de medida de comprimento a partir da relação universal A tarefa requer no cálculo do valor desconhecido, conforme o esquema da ilustração 37 (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2004). Ilustração 37-7ª tarefa, representação gráfica da conversão de medidas Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). Na ilustração, consta um segmento cujo comprimento mede B (o todo). No esquema de setas há o registro da medida do segmento (70 milímetros). É necessário determinar o valor da medida intermediária para depois proceder ao cálculo do valor desconhecido. Trata-se da relação em que um centímetros corresponde a 10 milímetros, que se constitui como medida intermediária. O professor questiona: quantas medidas intermediárias (10 mm) cabem no comprimento B? O resultado é obtido por meio da operação de divisão: = 7 (Ilustração 38), cujo procedimento já fora vivenciado pelos estudantes. Ilustração 38-7ª tarefa, representação gráfica da operação de divisão Fonte: Elaboração da autora, 2014.

73 72 Nos esquemas aparecem todos os elementos da relação universal, porém no contexto de uma situação singular: unidade de medida básica (1 centímetro), unidade de medida intermediária (10 milímetros), total de unidades básicas (7 centímetros) e total de unidades básicas (70 milímetros). Na sequência, o professor orienta para que os estudantes verifiquem o resultado, por meio da medição do segmento com a régua. Para finalizar, após a realização de outras tarefas similares, procede-se à síntese, como demonstra o quadro da ilustração 39 (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2004). Ilustração 39-7ª tarefa, quadro da correlação entre unidades de comprimento Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). Há, pois, o trânsito da relação universal para a explicação das manifestações singulares, na especificidade da tarefa em análise, a expressão aritmética da medida B. Esta surge a partir de uma unidade de medida particular, o metro e seus submúltiplos. Em outras palavras, com base na relação universal, deduzimos as condições e métodos de medição da grandeza comprimento. Ou seja, da relação geneticamente inicial, germinam as relações particulares que possibilitam a resolução de situações singulares. Trata-se da concretização da abstração inicial, da manifestação da relação universal. Nesse movimento, revela-se o vínculo regular da relação inicial com suas diferentes manifestações, isto é, atinge-se à generalização substancial do conceito. Diferentemente do processo de generalização empírica, a generalização substancial tem por base a relação interna. Desse modo, o singular e o particular enriquecem o universal abstrato, convertem-no em um universal pleno de diferenças e de movimento. Em síntese, a abstração substancial da relação universal culmina na terceira ação de estudo, enquanto a generalização substancial é finalizada na quarta ação. Desse duplo processo resulta o conceito teórico. Na proposição davydoviana as tarefas correspondentes a cada conceito não são separadas, mas interconectadas, nem se aborda um conceito para depois o outro. Em vez disso, um contribui para o desenvolvimento do outro de tal modo que fica difícil a

74 73 identificação das tarefas correspondentes a cada conceito específico. Nesse sistema conceitual, as tarefas do conceito de divisão aparecem, conforme Горбов et al. (2004), desde o primeiro ano e a sistematização do algoritmo só ocorre no quarto ano, após o desenvolvimento da relação universal do sistema de numeração, válida para qualquer base numérica. As tarefas referentes ao sistema de numeração contemplam o procedimento de composição e decomposição numérica. É nesse estágio que o algoritmo da divisão é sistematizado, tal como apresentamos na sequência. TAREFA 8: sistematização do algoritmo a partir da relação universal O professor apresenta a resolução da operação = 324 por meio da decomposição do dividendo e o resultado no algoritmo (Ilustração 40). Na sequência solicita aos estudantes que expliquem os dois registros (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2004). Ilustração 40-8ª tarefa, operação da divisão pelo método da decomposição numérica Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2011). A proposta é estabelecer relação entre o método da decomposição e o algoritmo. Tal conexão possibilita a explicitação da operacionalização teórica do algoritmo, fundamentada na lógica de constituição do sistema de numeração. O algoritmo é constituído pelos elementos da relação universal do conceito de divisão, conforme segue (Ilustração 41):

75 74 Ilustração 41-8ª tarefa, explicitação dos elementos da relação universal no algoritmo da divisão Total de unidades básicas Unidade de medida intermediária Quantidade de vezes que a unidade de medida intermediária se repete Fonte: Elaboração da autora, Assim, o algoritmo é constituído pelos elementos que compõem a relação universal do conceito de divisão. Trata-se dos mesmos elementos revelados na primeira ação de estudo e modelados na segunda. O essencial se conserva em todas as etapas, até atingir o algoritmo da divisão (Ilustração 42). Ilustração 42-4ª tarefa, modelo literal no algoritmo Fonte: Elaboração da autora, O algoritmo expresso algebricamente (Ilustração 42) é constituído do dividendo (b), divisor (p), o quociente (m) e o resto (r). TAREFA 9: a divisão no algoritmo O professor explica no quadro a resolução da seguinte operação: =, de acordo com a ilustração 43 (ДАВЫДОВ et al., 2011). Ilustração 43-9ª tarefa, operação da divisão no algoritmo Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2011).

76 75 A fala do professor consiste no seguinte (Ilustração 43): 9 centenas divididas por 4 resultam em 2 centenas. Das 9 centenas, subtraímos 8 e restará 1. Em seguida, prossegue com a divisão da dezena (Ilustração 44). Ilustração 44-9ª tarefa, operação da divisão no algoritmo Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2011). Na continuidade da resolução, 1 centena (100) e 4 dezenas (40) são 14 dezenas (140). Este é o segundo dividendo parcial: 14 dezenas divididas por 4, resultarão em 3 dezenas. Das 14 dezenas, subtraímos 12 e restarão duas dezenas. Seguimos para a terceira divisão parcial, a divisão da unidade (Ilustração 45). Ilustração 45-9ª tarefa, operação de divisão no algoritmo Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2011). De acordo com a ilustração 45, são 2 dezenas (20) e 8 unidades, portanto, 28 unidades. Assim, 28 unidades divididas por quatro resultarão em 7 unidades exatas, ou seja, não haverá resto. O resultado total da divisão é 237 ou 2 centenas, 3 dezenas e 7 unidades. A verificação do resultado ocorre por meio da relação revelada durante a terceira ação de estudo, a multiplicação. É importante ressaltar que a sistematização do algoritmo da divisão acontece, na proposição davydoviana, após o estudo da relação universal do sistema de numeração, válida para qualquer base numérica (SILVEIRA, 2015). Portanto, o método da decomposição numérica não é novidade nessa etapa.

77 76 Em suma, o algoritmo da divisão é introduzido a partir da interconexão de duas relações universais (divisão e sistema de numeração). Por conseguinte, surge como síntese de múltiplas determinações: eis o concreto ponto de chegada, da proposição davydoviana. Ao contrário do que, comumente, ocorre no ensino brasileiro, em que o algoritmo é o ponto de partida para o ensino do conceito de divisão. Partimos do pressuposto de que o movimento conceitual proposto por Davýdov pode contribuir para repensarmos essa realidade. As demais ações, de controle e avaliação, ocorrem durante o desenvolvimento das quatro primeiras ações correspondentes à tarefa de estudo, conforme analisamos na sequência. QUINTA AÇÃO DE ESTUDO: controle da realização das ações Na ação de controle, são apresentadas tarefas com algumas incoerências quanto à relação universal do conceito. Tal ação satisfaz a necessidade do professor e dos próprios estudantes de terem o controle sobre a efetivação ou não da aprendizagem. Segundo Davídov (1988, p. 184, tradução nossa): O controle consiste em determinar a correspondência de outras ações de estudo as condições e exigências da tarefa de estudo. Permite ao estudante, mudar a composição operacional das ações, revelar sua relação com umas ou outras peculiaridades dos dados da tarefa a resolver e do resultado obtido. Nessa ação os estudantes refletem sobre as limitações apresentadas nas tarefas e determinam a causa das divergências a fim de eliminá-las. Nesse caso, o professor poderá propor algum resultado incorreto e questionar os estudantes sobre o procedimento realizado e as possibilidades de superação do equívoco. Tal ação permite que os estudantes possam refletir sobre o procedimento correto de realização da tarefa, segundo tarefa a seguir. TAREFA 10: controle do registro dos elementos que constituem a relação universal no esquema O professor apresenta o esquema de setas e a figura quadriculada (Ilustração 46), e sugere que os estudantes determinem o valor desconhecido. A tarefa tem como finalidade, verificar se os estudantes constatam que os dados estão registrados incorretamente no esquema (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003).

78 77 Ilustração 46-10ª tarefa, esquema e figura quadriculada Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). Na malha quadriculada apresentada, há colunas compostas por 4 unidades cada. Há 7 colunas completas, sobra uma com apenas 3 unidades. Portanto, a constatação dos estudantes deverá ser no sentido de que a representação no esquema não é expressão da malha. O professor incita-os a proporem outra possibilidade de resolução. E, então, o esquema será retificado como mostra a ilustração 47 (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). Ilustração 47-10ª tarefa, esquema e figura quadriculada Fonte: Elaboração da autora, (Ilustração 48). Na sequência, faz-se registro do total de unidades da malha no esquema Ilustração 48-10ª tarefa, esquema e figura quadriculada Fonte: Elaboração da autora, 2014.

79 78 Em seguida, conferimos o resultado por meio da operação inversa, a multiplicação: (4 x 7) + 3 = 31. A partir do terceiro ano, na experiência investigativa vivenciada por Davýdov e colaboradores, os próprios estudantes analisavam os resultados, em conformidade com o modelo, sem se apoiar na opinião do professor. Tornavam-se autônomos para avaliarem e definirem as causas das divergências, desenvolvendo, assim, o autocontrole (DAVÍDOV, 1979). Neste caso o estudante vê como os possíveis resultados estão vinculados com as particularidades das ações e elege os vínculos corretos. Então reduzem ao mínimo os erros na execução prática das tarefas [...] (DAVÍDOV, 1979, p. 95, tradução nossa). Na próxima tarefa, também, ocorre o controle da relação entre elementos que constituem a conexão universal, porém agora com auxílio da régua. TAREFA 11: controle da relação entre quociente e resto com a unidade de medida intermediária e o total de unidades básicas São apresentadas algumas divisões não exatas com seus respectivos quocientes (Ilustração 49). No entanto, as operações estão incompletas, é necessário determinar o resto em cada uma das operações. O professor sugere a realização dos cálculos por meio da régua. O quociente de algumas operações está errado. A tarefa visa a identificação se os estudantes detectam os erros e sabem corrigi-los. Por fim, o professor propõe que eles expliquem por que o resto na divisão é sempre menor que o divisor (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003). Ilustração 49-11ª tarefa, verificação do resto da operação de divisão Fonte: Elaboração da autora (2014), com base em Давыдов et al. (2009). Na operação 8 3, na reta numérica (Ilustração 50), formarão 2 agrupamentos compostos por 3 unidades e restarão 2 unidades básicas sem serem agrupadas.

80 79 Ilustração 50-11ª tarefa, divisão na régua Fonte: Elaboração da autora, Na operação seguinte, 11 4 (Ilustração 51) constatamos que a medida intermediária (4) cabe duas vezes no todo e restam 3 unidades básicas sem serem agrupadas. Então, 11 4 = 2 (resto 3). Ilustração 51-11ª tarefa, divisão na régua Fonte: Elaboração da autora, No resultado do terceiro item da tarefa, 15 2, há um equívoco proposital, característico da ação de controle. Os estudantes deverão constatar que a medida intermediária (2) cabe mais de seis vezes no todo (15), conforme ilustração 52: Ilustração 52-11ª tarefa, divisão na régua Fonte: Elaboração da autora (2014). (Ilustração 53). Ou seja, a medida intermediária cabe sete vezes e resta apenas uma unidade básica

81 80 Ilustração 53-11ª tarefa, divisão na régua Fonte: Elaboração da autora, Para finalizar este item, os estudantes procedem à correção do registro: 15 2 = 7 (resto 1). De modo análogo, a resolução da tarefa é concluída. Na ação de controle, é importante que o professor crie condições para modificar a própria forma de controle para que os estudantes desenvolvam a habilidade de representar os possíveis resultados das ações no plano mental (DAVÍDOV, 1979). Nesse processo de ensino e aprendizagem, aos estudantes cabe a compreensão do sentido das tarefas de estudo e a reprodução ativa e consciente das correspondentes ações. Ao professor cabe a função de organizar sistematicamente as tarefas de estudo e as correspondentes ações, incluindo a de avaliação, tal como apresentamos a seguir. SEXTA AÇÃO DE ESTUDO: avaliação da aprendizagem do procedimento universal Na ação de avaliação, verificamos a aprendizagem ou não, por parte do estudante, do conceito referente à tarefa de estudo (DAVÍDOV; SLOBÓDCHIKOV, 1991). Além disso, o professor avalia se o estudante está preparado para resolver uma nova tarefa, que exige outro procedimento de resolução no contexto de um sistema conceitual mais amplo. Esta ação permite avaliar se o resultado das ações de estudo corresponde ou não ao objetivo final da tarefa de estudo proposto inicialmente. Constatamos a efetivação da aprendizagem do conceito no qual [...] se refletem os traços gerais e essenciais de um conjunto mais ou menos amplo de objetos. O conceito é o resultado da abstração do singular e do particular, do descobrimento do universal no singular e da fixação deste último em nosso pensamento (STERNIN, 1960, p. 272, tradução nossa). Por meio da avaliação percebemos a insuficiência do procedimento universal da ação realizada pelo estudante. A avaliação permite a orientação para a busca de um novo procedimento universal de solução da tarefa de estudo e não apenas a obtenção de um ou outro resultado parcial de sua solução (DAVÍDOV, 1988, p. 216, tradução nossa).

82 81 Inicialmente os estudantes fixam o conteúdo no modelo gráfico e literal, suas propriedades e depois os aplica nas múltiplas tarefas particulares. Para Davídov (1979, p. 97, tradução nossa), uma avaliação correta está intimamente vinculada com o controle. Ambas ocorrem conjuntamente (Ilustração 54). Ao analisar o nível de aprendizagem dos estudantes, o professor avalia o nível de desenvolvimento que os estudantes atingiram. E em caso de não aprendizagem, busca as causas para que possa orientar adequadamente o estudante, de modo a eliminar os erros e estimulá-lo a estudar até atingir um resultado almejado. No início da escolarização, na proposição davydoviana, é o professor quem realiza a avaliação, assim como também organiza a ação de controle. Entretanto, à medida que se forma nos estudantes o autocontrole, a ação de avaliação também é assumida por eles. O autocontrole e a autoavaliação permitem o desenvolvimento do senso crítico e a responsabilidade perante a tarefa, assim como o compromisso social com o estudo (AQUINO, 2015, p. 4). Os estudantes adquirem a capacidade de determinar se houve a aprendizagem do método universal de resolução (DAVÍDOV, 1979). O autor assegura que uma avaliação com foco na nota não é capaz de indicar a aprendizagem ou não do conhecimento e, principalmente, não possibilita o reconhecimento das causas da não aprendizagem. Para o método baseado na atividade de estudo, a avaliação cumpre o papel de constatar a não aprendizagem, orientação na superação dos erros e a aprendizagem efetiva. A avaliação tem, portanto, o papel de exame qualitativo dos conteúdos teóricos desenvolvidos nas ações anteriores (DAVÍDOV, 1979). A avaliação tem a função de intermediar o trabalho na atividade de estudo, ao finalizá-la, para confirmar a aprendizagem do estudante. No entanto, caso a avaliação resulte negativamente, cabe ao professor criar meios que possibilitem aos estudantes o domínio das possíveis variações presentes nas tarefas (DAVÍDOV, 1979). Dessa forma, a avaliação ocorre durante todo o processo, nas diferentes tarefas desenvolvidas no decorrer das ações anteriores, em conjunto com a ação de controle. Como mostra a ilustração 54 a seguir.

83 82 Ilustração 54 - Ação de controle e avaliação Fonte: Elaboração da autora, Síntese No presente capítulo, apresentamos o movimento conceitual proposto por Davýdov para o ensino do conceito de divisão, a partir do desenvolvimento das tarefas particulares, no contexto das seis ações de estudo. Nesse percurso, evidenciamos as manifestações da relação universal. Ressaltamos que as tarefas aqui apresentadas são uma pequena amostra da totalidade do sistema de tarefas correspondentes a cada ação. Para o acesso a outras tarefas sobre o conceito de divisão, sugerimos a leitura do relatório de pesquisa por nós desenvolvida antes da dissertação (CRESTANI, 2013). Ao finalizar o capítulo retomamos a finalidade proposta inicialmente: o desenvolvimento do pensamento teórico pela via da apropriação dos conceitos científicos. Tal finalidade, no contexto brasileiro, fez-nos refletir a cerca de sua efetivação, no que concerne ao conceito de divisão e as seis ações de estudo, apresentadas neste capítulo. Diante disso, questionamo-nos: Como pensar a proposição davydoviana para o conceito de divisão a fim de desenvolver nos estudantes atuais o pensamento teórico? Tal questionamento direcionou-nos na produção do terceiro capítulo, em que vislumbramos na Atividade Orientadora de Ensino, uma possibilidade de efetivação da finalidade almejada. A tentativa foi de articular a proposição davydoviana com a Atividade Orientadora de Ensino, a fim de organizar o ensino de modo a desenvolver nos estudantes brasileiros, a apropriação teórica do conceito de divisão. Trata-se de um texto dirigido à formação de professores. Para concluir o presente capítulo, apresentamos, na sequência, um quadro-síntese

84 83 das seis ações de estudo (Quadro 1). Este norteará o movimento conceitual da resolução referente à Situação Desencadeadora de Ensino a ser explicitada no próximo capítulo. Quadro 1 Síntese das seis ações de estudo QUADRO-SÍNTESE DAS SEIS AÇÕES DE ESTUDO Primeira Revelação dos elementos que constituem a relação universal. Segunda Modelação da relação universal por meio: das grandezas (Modelação objetal); da reta numérica e esquemas (Modelação gráfica); das letras (Modelação literal ou algébrica). Terceira Quarta Transformação do modelo nas suas diversas possibilidades de apresentação. Aplicação da relação universal. Quinta Controle sobre o funcionamento correto da interconexão entre os elementos da relação universal. Sexta Análise da efetivação do processo de ensino e aprendizagem. Fonte: Elaboração da autora, 2015.

85 84 3 POSSIBILIDADES DE OBJETIVAÇÃO DO PRESSUPOSTO E FINALIDADE DA PESQUISA 15 [...] a estruturação moderna das disciplinas escolares (inclusive, para os primeiros anos) deve propiciar a formação, nos estudantes, de um nível mais alto de consciência e de pensamento que aquele ao qual se orienta a organização até agora vigente no processo de estudo na escola. Propomos que o nível requerido é o da consciência e do pensamento teóricos modernos [...] (DAVÍDOV, 1988, p. 99). Inicialmente, definimos como finalidade de investigação refletir sobre o modo de organização davydoviano de ensino, para o desenvolvimento do pensamento teórico dos estudantes, por meio da apropriação científica dos conceitos, mais especificamente do conceito de divisão. A proposição davydoviana é que tal apropriação e desenvolvimento ocorram durante a atividade de estudo. No capítulo anterior, evidenciamos as principais tarefas particulares concernentes à divisão apresentadas na proposição de Davýdov e colaboradores (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003; ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2004; ДАВЫДОВ, et al. 2009; ДАВЫДОВ, et al., 2011). Constatamos, a partir da revelação da relação essencial do conceito de divisão e da interconexão da relação essencial com as seis ações de estudo, que a proposição davydoviana contempla o conceito teórico de divisão. Pois segue o movimento que parte do geral para o particular sob a mediação dos elementos gráficos como o esquema de setas, a reta, os arcos, o esquema de segmentos, dentre outros. Além disso, o processo de redução do concreto ao abstrato e de ascensão do abstrato ao concreto é contemplado nesse movimento do pensamento em direção ao conhecimento. Após o estudo das tarefas particulares, em articulação com as seis ações de estudo davydovianas, uma questão prática, em sintonia com o pressuposto e finalidade de pesquisa, impulsionou a escrita deste terceiro capítulo: como a obra davydoviana pode contribuir com as reflexões sobre a Educação Matemática brasileira, a fim de promover o desenvolvimento do pensamento teórico por meio da apropriação dos conceitos científicos? 15 A elaboração do presente capítulo ocorreu durante o desenvolvimento da atividade de Ensino e aprendizagem, de estágio docente em uma turma de estudantes do curso de Pedagogia (UNISUL). Na ocasião, desenvolvemos a história virtual A produção de laços de Dona Baratinha com as estudantes, a fim de colocálas em atividade de estudo. O experimento realizado possibilitou-nos refletir sobre a proposição davydoviana e sua articulação com a AOE.

86 85 Assim como Davídov (1988), preocupamo-nos com a possibilidade de formação do pensamento teórico, porém no contexto educacional brasileiro, uma vez que, nos conteúdos e métodos de ensino adotados atualmente em nosso país, há certo predomínio dos princípios da lógica formal tradicional de formação de conceito, que possibilita o desenvolvimento do pensamento empírico (ROSA, 2012; HOBOLD, 2014; BRUNELLI, 2012). Semelhante realidade foi detectada por Davýdov (1982), por volta da década de 1970, ao analisar os conteúdos e métodos de ensino predominantes na educação soviética. Faz-se necessário, portanto, refletir sobre os princípios da lógica dialética e expressá-los na tecnologia de desenvolvimento do material didático, nos procedimentos de formação dos conceitos nos estudantes, nos meios para organizar a atividade do pensamento daqueles (DAVÍDOV, 1988, p. 108, grifo do autor). Vale lembrar que o ensino que desenvolve o pensamento teórico é o que coloca os estudantes em atividade de estudo (DAVÝDOV, 1982). Partindo dessa premissa, e considerando a realidade escolar brasileira (ROSA, 2012; HOBOLD, 2014; BRUNELLI, 2012), a urgência incide na organização do ensino, a fim de colocar os estudantes em atividade de estudo e proporcionar o desenvolvimento da capacidade de pensar teoricamente. Para Davýdov (1982), o desenvolvimento psíquico dos estudantes também é promovido no processo de ensino, por meio da apropriação dos conceitos teóricos. Essa finalidade deve começar, necessariamente, nos primeiros anos escolares. Nesse período, a atividade principal do estudante, conforme já mencionamos, é a de estudo e todas as outras (jogo, profissional, dentre outras) são consideradas secundárias nesse estágio de desenvolvimento humano. Na busca por alcançar a efetivação desse intento, no contexto das reflexões teóricas desenvolvidas por pesquisadores brasileiros, estabelecemos um diálogo com a AOE, pensada inicialmente pelo professor Manoel Oriosvaldo de Moura. A sua fundamentação teórica é a mesma da proposição davydoviana, a Teoria Histórico-Cultural. A Teoria Psicológica da Atividade, inicialmente elaborada por Leontiev, integra a base teórica que fundamenta a AOE. Ambas mantem em sua estrutura: uma necessidade (apropriação da cultura), um motivo real (apropriação do conhecimento historicamente acumulado), objetivos (ensinar e aprender) (MOURA et al., 2010a, p. 217), que impulsionam a constituição e execução de ações e operações. Essa estrutura norteia o modo de organização do ensino, a fim de possibilitar o desenvolvimento do pensamento teórico dos estudantes (NASCIMENTO, 2014, p. 277).

87 86 O conceito de atividade está vinculado ao conceito de trabalho, que traz implicações para a educação, particularmente, com relação à formação humanizadora do homem. No entanto, não é possível compreender a atividade humana sem sua relação com a consciência, pois essas duas categorias formam uma unidade dialética (RIGON; ASBAHR; MORETTI, 2010, p. 20). A consciência é uma faculdade exclusivamente humana, produto das relações do homem singular com a sociedade nos seus aspectos culturais e históricos. A sua formação constitui a possibilidade humana de realizar análises e sínteses da realidade objetiva e ser capaz de transformá-la (RIGON; ASBAHR; MORETTI, 2010). Entretanto, a formação da consciência não ocorre naturalmente, mas por meio da apropriação da cultura que se dá na atividade teórica e prática. Para Davídov (1988, p. 64), as formas da cultura são a expressão lógica, universal, da história da consciência humana. No contexto escolar, tal premissa contribui para a compreensão de que o desenvolvimento psíquico dos estudantes primeiro se constitui externamente até atingir o nível interno. A aquisição de conhecimentos torna-se um processo que provoca igualmente a formação na criança de ações interiores cognitivas, isto é, de ações e de operações intelectuais (LEONTIEV, 1959, p. 196). A condição para iniciar uma atividade se dá por meio da formação de uma necessidade. Nesse sentido, a AOE tem como ponto de partida, na organização do ensino, o desenvolvimento de uma necessidade como expressão social da humanidade que levou à elaboração de determinado conceito ou sistema conceitual. Tal necessidade trata-se, pois, da essência da situação desencadeadora da aprendizagem. Esta deve [...] contemplar a gênese do conceito, ou seja, a sua essência; ela deve explicitar a necessidade que levou a humanidade à construção do referido conceito, como foram aparecendo os problemas e as necessidades humanas em determinada atividade e como os homens foram elaborando as soluções ou sínteses no seu movimento lógico-histórico (MOURA et al., 2010b, p ). Nesse sentido, no contexto da AOE, professor e estudantes são sujeitos, em atividade, mediados por seu conteúdo principal, o conhecimento teórico. Este é desenvolvido a partir de situações desencadeadoras de aprendizagem, que podem ser objetivadas por meio de diferentes recursos metodológicos (MOURA et al., 2010a). Desses recursos, elegemos a história virtual, para refletirmos sobre o modo de organização de ensino do conceito de divisão articulado com a proposição davydoviana. A história virtual consiste em uma narrativa que apresenta em seu enredo um problema desencadeador, dirigido a um grupo de estudantes, que busca solucioná-lo coletivamente

88 87 (MOURA et al., 2010a). A necessidade que se apresenta na história virtual tem por objetivo fazer com que os estudantes, em atividade na busca pela solução do problema, percorram um caminho de formação do conceito semelhante àquele vivenciado historicamente pela humanidade (MOURA et al., 2010b, p. 105). Na AOE, a aprendizagem dos conceitos não se configura como uma transmissão de conhecimentos, em que o ensino ocorre apenas pela memorização de procedimentos de cálculo na especificidade da Matemática, mas consiste em apropriar-se, dialeticamente, da lógica interna do conteúdo dos conceitos e o envolvimento dos sujeitos participantes. Neste caso, a apropriação não consiste na adaptação passiva do indivíduo às condições existentes da vida social. Constitui o resultado da atividade reprodutiva da criança, que assimila procedimentos históricos elaborados [...] (DAVÍDOV, 1988, p. 73). Fazem parte desse processo o conteúdo de aprendizagem, o sujeito que aprende, o professor que ensina e, o mais importante, a constituição de um modo geral de apropriação da cultura e do desenvolvimento do humano genérico (MOURA et al., 2010b, p. 94). A partir dessas reflexões realizadas no contexto brasileiro (pesquisadores GEPAPe) e daquelas desenvolvidas por Davýdov, apresentadas no segundo capítulo da presente dissertação, elaboramos e desenvolvemos matematicamente uma história virtual. O conceito norteador é o de divisão, inter-relacionado com outros conceitos matemáticos, principalmente, o de multiplicação, uma vez que ambos conformam um sistema conceitual cuja relação interna, de origem, é a mesma. Além disso, refletimos sobre alguns elementos teóricos que fundamentam o movimento conceitual, tais como a relação entre o abstrato e o concreto e o movimento entre geral, particular e singular. Estes [...] refletem o mundo objetivo e caracterizam alguns aspectos essenciais do conhecimento; são como passos para o conhecimento da realidade (STERNIN, 1960, p. 257). Para a resolução do problema que se explicita na história virtual, fundamentamonos nas tarefas davydovianas, desenvolvidas nos livros didáticos do terceiro e quarto anos do Ensino Fundamental (ДАВЫДОВ, et al., 2009; ДАВЫДОВ, et al., 2011). Trata-se, portanto, da objetivação do movimento conceitual proposto nas tarefas davydovianas no desenvolvimento de uma história virtual, elaborada por nós, conforme segue:

89 88 Ilustração 55 História virtual: A produção de laços de Dona Baratinha A PRODUÇÃO DE LAÇOS DE DONA BARATINHA Dona Baratinha era muito conhecida na cidade pelas lindas fitas que usava em seus cabelos. Sempre que ia passear, Dona Baratinha se enfeitava com um grande laço no alto da cabeça, chamando a atenção de todos que ela encontrava pelo caminho. Eram laços de cores rosas, azuis, amarelos, vermelhos e verdes. A bicharada se encantava com tamanha beleza. Certo dia, Dona Baratinha recebeu em sua casa a visita de Dona Baratilde, que vinha lhe fazer um pedido: Amiga Dona Barata, será que poderias fazer um grande laço para enfeitar meus lindos cabelos?! Assim como a senhora, também preciso arrumar um pretendente! Dia a dia foram aparecendo outras amigas, deixando Dona Baratinha baratinada. A maioria delas tinha uma preferência: laços rosas. Eram tantos os pedidos desta cor que ficou preocupada se teria fita suficiente para confeccioná-los. E agora, o que fazer? Não sei nem por onde começar! pensou Dona Baratinha. Foi aí que se lembrou da mãe, Dona Baratânia. Ela tinha em seu baú um grande rolo de fita rosa, com muitos palmos de comprimento, que daria para fazer vários laços. Para a produção de cada laço, de tamanhos iguais, seriam necessários alguns palmos de fita. Dona Baratinha pensou: - Preciso saber se, com a quantidade de fita que disponho, conseguirei fazer todos os laços rosas encomendados. Porém, Dona Baratinha, sempre que começava a contar palmo a palmo, ficava tonta, cansada e desistia, pois o rolo de fita era muito comprido. Depois de muito pensar, ela concluiu que precisava encontrar um meio de realizar a contagem de forma mais rápida para não ficar tão tonta. Mas, sozinha, não conseguia encontrar uma solução. Por isso, Dona Baratinha, que adorava ir à escola da aldeia, decidiu ir até lá solicitar ajuda aos estudantes. Levou o rolo de fita para que eles determinassem a quantidade de laços que poderiam ser confeccionados. Porém, eles não conseguiram ajudá-la, apresentaram vários comprimentos de palmos diferentes, várias quantidades de laços, deixando-a mais baratinada ainda. Porque isso aconteceu? Você poderia escrever uma carta aos estudantes ensinando-os a resolverem o problema da Dona Baratinha, para que eles possam ajudá-la a confeccionar todas as encomendas? Além disso, poderia explicar-lhes por que não chegaram a um único resultado? Fonte: Elaboração da autora, 2015.

90 89 A expectativa é de que a necessidade apresentada na história virtual, vivenciada pela personagem principal, Dona Baratinha, seja compartilhada pelo coletivo, por meio da orientação do professor. Cabe a ele criar as condições de organizar e incorporar sistematicamente tarefas de estudo e as correspondentes ações de estudo [...] (DAVÍDOV, 1979, p. 96). A atividade do professor consiste, pois, na organização do ensino de modo a articular teoria e prática (MOURA et al., 2010a). A necessidade apresentada na história virtual consiste na reprodução da mesma que ocorreu histórica e socialmente no que concerne ao controle de quantidades. Neste processo de apropriação das formas culturais, os estudantes realizam uma atividade que de uma ou outra forma corresponde à atividade humana historicamente objetivada e incorporada (DAVÍDOV, 1988, p. 73, tradução nossa) na própria cultura. Dentre os problemas que o homem vivenciou, desde os primórdios, havia a necessidade de controlar as variações de dimensões com as quais se defronta[va] ao delimitar seu espaço físico para morar e produzir (LANNER DE MOURA, 1995, p. 54). Refletir sobre a formação do sistema conceitual de divisão e multiplicação a partir no movimento histórico possibilita-nos compreender o quão este sistema conceitual foi fundamental para o desenvolvimento do pensamento humano, para a formação de outros conceitos e para o desenvolvimento da sociedade, pois a história da matemática, no período de seu surgimento, é praticamente inseparável de toda a história da humanidade (LANNER DE MOURA, 1995, p. 53). As aquisições da cultura, elaborada ao longo da história, tornaram-se possíveis quando o homem foi capaz de superar essas necessidades que, a princípio, eram simples, mas que abriram o campo da capacidade humana para outras importantes produções, nas quais ainda hoje usufruímos, tal como, por exemplo, o conceito de divisão. Nesse sentido, no contexto da história virtual em análise, a necessidade que se configura consiste em realizar a contagem das grandezas discretas e a medição das grandezas contínuas, de modo mais rápido, principalmente, quando se trata de grandes valores, para os quais a contagem um a um torna-se insuficiente ou extremamente trabalhosa. Além disso, a atividade lúdica, peculiar à história virtual, faz parte desse processo. É por meio dela que a criança desenvolve uma série de neoformações psicológicas. Trata-se, sobretudo, da imaginação e da função simbólica da consciência (DAVÍDOV, 1988, p. 81). A história virtual apresenta em seu contexto elementos de caráter imaginativo que, por meio destes, desenvolve nos estudantes a capacidade de criar o novo em diferentes esferas da atividade e em distintos níveis de significação.

91 90 O problema desencadeador refere-se à determinação do total de laços rosas que poderão ser produzidos com a fita que há em um rolo, cujas medidas de comprimento são desconhecidas. A personagem adota uma unidade de medida de comprimento, o palmo. Com ele, tenta medir o rolo de fita, contando um a um. Este procedimento torna-se insuficiente porque há no rolo uma grande quantidade de palmos de fita e a contagem um a um gera dificuldades, o que torna insuficiente tal procedimento. A sugestão é que tal necessidade seja vivenciada pelos estudantes a partir da medição de um longo rolo de fita por meio de palmos. Ao reproduzir com eles a medição, a partir do próprio corpo, problematiza-se para a criança o controle de variações de tamanho, dando-lhe a possibilidade de significar culturalmente as suas ações de medir. Esta significação [...] é que está na origem do processo histórico de medir (LANNER DE MOURA, 1995, p. 54). Assim, durante a medição, o professor pode refletir sobre o quão trabalhoso será aquele processo. E, possivelmente, terá que ser reiniciado algumas vezes. Nesse momento, surge, então, a necessidade de utilização de outra unidade de medida para agilizar o cálculo que, por sua vez, possibilite a medição por agrupamentos. Desse modo, a contagem que, inicialmente, era realizada unidade por unidade básica (palmo), será superada por meio de agrupamentos (unidade de medida intermediária), que passa a ser a referência. Nessa perspectiva, para a continuidade das reflexões referentes à resolução do problema vivenciado por Dona Baratinha, a orientação é que os estudantes considerem um pedaço de fita, composto por alguns palmos de comprimento e, com ele, façam a medição. No decorrer da resolução do problema desencadeador é importante, também, refletir sobre as fragilidades dessa unidade de medida (palmo), por consequência dos diferentes resultados que serão obtidos no coletivo de uma sala de aula. Tais limitações possibilitam a reflexão das fragilidades vivenciadas pelas civilizações primitivas, decorrentes do uso do próprio corpo como unidade no processo de medição (LANNER DE MOURA, 1995; IFRAH, 1997; CARAÇA, 2002). Foi a partir das dificuldades de comunicação enfrentadas pelos povos, ao utilizarem palmos, pés, cúbitos, polegadas, dentre outras referências de comparação, que surgiu a padronização das unidades de medida. No caso da grandeza comprimento, convencionou-se o metro, seus múltiplos e submúltiplos. Assim, a partir de um problema gerador de conflitos, provocado por uma necessidade, o homem novamente se pôs a pensar numa solução para tais discrepâncias em relação ao resultado da medição. Como afirma Davídov (1988, p. 28), a atividade do sujeito sempre está ligada a certa necessidade. Sendo expressão da carência de algo que experimenta o sujeito, a necessidade provoca sua tendência à busca. Toda atividade é decorrente de uma

92 91 necessidade, imposta pela vida social do homem, o que o leva ao desenvolvimento do ímpeto pela busca por soluções. A atividade oportunizou à humanidade atingir o alto nível de elaboração e produção conceitual como o que temos contemporaneamente. São movimentos cíclicos em que, numa dada situação inicial, o homem observa em seu entorno e constata o nível caótico em que se encontra. Na busca pela superação dos problemas que o afligem, ele desenvolve abstrações que o possibilitam sair do nível caótico (concreto ponto de partida), para seguir em direção ao concreto ponto de chegada. Desse modo, o concreto se manifesta duas vezes: como ponto de partida da contemplação e da representação, reelaboradas no conceito, e como resultado mental da reunião das abstrações (DAVÍDOV, 1988, p. 150). O movimento do concreto sensorial ao abstrato, e deste ao concreto síntese, consiste no movimento do pensamento teórico que [...] é um tipo inteiramente soberano de pensar, transformador dos dados sensoriais primários mediante operações específicas de análise e abstração (diferente do modo comparativo, inerente ao pensamento empírico). O pensamento do homem contemporâneo, como tal, é o que se realiza pela via da análise e abstração (DAVÝDOV, 1982, p. 237, tradução nossa, grifo do autor). É esse tipo de pensamento que possibilita o desenvolvimento da capacidade de análise, abstração e realização de sínteses. No primeiro movimento, de redução do concreto ao abstrato, no contexto da história virtual em análise, após o experimento objetal de comparação entre o comprimento do palmo e do rolo de fita, consideraremos que a medida total é o valor do comprimento A e que a unidade básica (comprimento do palmo) mede B (Ilustração 56). Nesse momento, a proposição é que se proceda à reflexão sobre a relação entre as duas medidas, em seu caráter geral, por meio dos termos: maior que, menor que, igual (ROSA, 2012). O professor poderá questionar os estudantes: qual comprimento é maior, de medida A, o de medida B ou são iguais? Ilustração 56 Relação entre a grandeza comprimento Fonte: Elaboração da autora, 2015.

93 92 A representação refere-se ao estágio inicial da resolução da história virtual, em seu caráter geral e caótico, uma vez que ainda não há um valor aritmético determinado tanto para a medida do comprimento do palmo quanto para do rolo de fita. Tal orientação decorre da necessidade de desenvolver as relações entre grandezas, inicialmente por meio das significações algébricas (ROSA, 2012). Esse processo culminará com a revelação do modelo universal do conceito, com base no processo de redução do concreto caótico ao abstrato, mediado por elementos geométricos (retas, arcos e esquemas) e algébricos. Para que os estudantes possam relacionar a medida A com a medida B, a representação objetal é abstraída e os comprimentos passam a ser representados por meio de elementos geométricos (segmentos de reta e pontos), conforme a ilustração 57: Ilustração 57 Relação entre a grandeza comprimento Fonte: Elaboração da autora, De acordo com a ilustração anterior (57), o comprimento com medida A é maior que o comprimento com medida B ou B é menor que A. Em outras palavras, a partir da relação entre as duas medidas referentes à grandeza comprimento portanto, uma grandeza contínua, expressa nos segmentos de reta é possível constatar que o comprimento de medida A, é maior que o comprimento de medida B. Mas, quantas vezes B cabe em A? Para determinar o valor desconhecido, faz-se um processo de medição pelo qual se determina quantas vezes a medida de uma grandeza cabe em outra de mesma natureza. No rolo de fita rosa, cujo comprimento mede A, cabem alguns palmos. Entretanto, não sabemos exatamente a quantidade, pois, conforme a ilustração 56, não está explícito o início e o fim do rolo. O segmento que representa o valor A (Ilustração 57) não indica a real proporção com a unidade de medida B. Nesse caso, no comprimento da fita (medida A), cabe uma vez, duas vezes,..., L, L + 1, L + 2,..., o comprimento do palmo (medida B), como mostra a ilustração 58:

94 93 Ilustração 58 Quantidade de palmos Fonte: Elaboração da autora, Cada arco, no registro do processo de medição (Ilustração 58), representa uma unidade de medida básica. Nessa construção, escolhe-se, aleatoriamente, um ponto na reta para representar a ausência de palmos. A partir deste, cada um deles é registrado com um arco à sua direita. O primeiro palmo registra-se com o número um. O número dois surge a partir da ideia de adição (1 + 1) e, assim, sucessivamente. Desse modo, para qualquer número (L) haverá sempre seu sucessor: L, L + 1, L Ou seja, uma unidade de medida básica somada à outra unidade de medida básica resultará em duas unidades de medidas básicas. E uma unidade de medida básica somada a duas unidades de medidas básicas resultarão em três unidades e, assim, consecutivamente. Dessa forma, o conceito de número é revelado como o resultado da relação entre duas grandezas contínuas. O objeto dado visualmente, na ilustração da história virtual, assume um papel importante, pois não se limita apenas àquilo que se apresenta diretamente aos olhos. Não é possível determinar o comprimento do rolo de fita a partir da análise da imagem (Ilustração 56), pois não é visível o início e o fim do mesmo, suas extremidades estão enroladas. Disso decorre que o caráter visual é insuficiente para a resolução do problema desencadeador. Faz-se necessária a atividade do pensar. Se tivéssemos apresentado o comprimento exato da fita com medida A, seria uma resolução empírica, visto que a resposta já estaria dada. Aos estudantes restaria apenas a contagem dos palmos, um a um, o que constituiria uma situação de caráter particular. A dificuldade vivenciada por Dona Baratinha está na impossibilidade de medir palmo a palmo, porque o rolo de fita (medida A) é muito comprido, tornando o cálculo inadequado para as condições objetivas apresentadas. É nessa limitação que surge a necessidade de se utilizar outra unidade de medida, maior que a anterior (básica ou medida B), que permita a medição com maior agilidade e rapidez. Para tanto, a sugestão incide na introdução da unidade de medida intermediária constituída a partir do comprimento de cada laço C, conforme a ilustração 59.

95 94 Ilustração 59 Relação entre A, B e C Fonte: Elaboração da autora, Na história virtual, a quantidade de vezes que B cabe em A não está determinada, portanto, representaremos pela letra n. Desse modo, B é a unidade de medida básica; A é a medida de todo o rolo de fita, n é o total de medidas básicas que cabem no todo. N é, portanto, a quantidade de vezes que B cabe em A: A B = n (Ilustração 60). Ilustração 60 Introdução da primeira seta no esquema Fonte: Elaboração da autora, Como dito reiteradas vezes, a unidade básica (B) é muito pequena para a medição. Portanto, é necessária a introdução de uma unidade intermediária, formada a partir da unidade básica. Intermediária porque seu tamanho fica entre a unidade básica e o todo a ser medido. Representaremos o valor genérico da unidade de medida intermediária por p. A unidade de medida básica (B) cabe p vezes em C (unidade de medida intermediária): C B = p. Este consiste na quantidade de palmos de fita necessária para produção de um laço (Ilustração 61).

96 95 Ilustração 61 Introdução da segunda seta no esquema Fonte: Elaboração da autora, Dona Baratinha quer saber quantos laços serão confeccionados com a quantidade de palmos de fita de que dispõe. Para tanto, é preciso determinar quantas vezes p cabe em n. Representaremos o resultado dessa operação pela letra m (Ilustração 62): Ilustração 62 Introdução da terceira seta no esquema Fonte: Elaboração da autora, É importante ressaltar que as letras posicionadas nas extremidades do esquema correspondem às medidas A, B e C. As demais (n, p e m) referem-se ao resultado da comparação entre as referentes medidas. Como o valor aritmético ainda é desconhecido utilizamos as letras representativas da relação comparativa. A operação de divisão consiste, então, na quantidade de vezes (m) que a medida intermediária (p) cabe no todo (n), ou seja, quantas vezes o divisor (p) cabe no dividendo (n): n p = m. Com essa representação, concluímos o processo de redução do concreto ao abstrato. Atingimos a abstração da relação essencial, universal, do conceito de divisão. As abstrações realizadas até o momento desempenharam o papel de revelar a relação essencial do conceito de divisão para que o compreendêssemos profundamente além da aparência externa dos objetos em análise (rolo de fita e palmo). A partir dessa revelação, atingimos, por meio das abstrações, a relação universal do conceito, sua expressão literal ou algébrica. Como escreve Kopnin (1960, p. 313), o abstrato na lógica dialética não somente reflete o que há de similar entre os fenômenos, mas sua essência, sua sujeição a leis e sua natureza universal. O universal, pois, se revela na abstração.

97 96 A partir da revelação do modelo, novas relações podem ser estabelecidas entre os comprimentos. Isso significa que, o modelo universal é transformado a fim de revelar suas propriedades internas. Por exemplo, no contexto da história virtual em reflexão, os elementos que compunham a relação essencial eram o comprimento de rolo de fita (dividendo) e também do laço (divisor), cuja quantidade deste se constitui no valor desconhecido (quociente). Se numa dada situação, houver o comprimento total do rolo de fita (dividendo) e a quantidade de encomendas (quociente), a incógnita a determinar recairá sobre o comprimento do laço (divisor). Conclui-se, com isso, que, ao se conhecer o todo e uma parte, a determinação necessária diz respeito à segunda parte, ou seja, o quociente (Ilustração 63). Entretanto, quando o valor do todo e da segunda parte forem conhecidos, o cálculo voltar-se-à para a primeira parte, ou seja, o divisor (n m =?). Ilustração 63 Transformação do modelo no esquema de setas Fonte: Elaboração da autora, Da relação geneticamente inicial, universal, é possível outras variações. Por exemplo, se tivermos o comprimento de cada laço (divisor) e a quantidade de laços produzidos por Dona Baratinha (quociente), teremos as duas partes conhecidas e o todo (dividendo) desconhecido (Ilustração 63). A operação a ser realizada é a multiplicação, em que o comprimento do laço corresponderá ao multiplicando; a quantidade de laços produzidos, o multiplicador e o comprimento do rolo de fita, o produto (p. m =?). Ou pela propriedade comutativa da multiplicação, m. p =? (Ilustração 64). Ilustração 64 Propriedade comutativa da multiplicação Fonte: Elaboração da autora, 2015.

98 97 As transformações realizadas no modelo objetivam a revelação das propriedades da relação essencial do conceito, no plano algébrico, válida para todo e qualquer situação singular. Tais propriedades expressam as características internas do conceito (DAVÍDOV, 1988, p. 183). Em síntese, o ponto de partida foi o plano objetal, a relação quantitativa entre o comprimento do palmo e do rolo de fita. Trata-se do estágio inicial do processo de apropriação do conhecimento, marcadamente pelos elementos sensoriais relacionados às grandezas e realizações das abstrações necessárias. No entanto, vale o alerta que esse ponto de partida não é empírico, pois o valor desconhecido não está dado diretamente. Ao contrário, nesse estágio explicita-se a necessidade de revelar a relação interna dos elementos envolvidos. Mas, os órgãos dos sentidos são fundamentais nessa primeira etapa, concreto ponto de partida, que reflete objetivamente os fenômenos e os objetos como uma unidade, como um todo composto de diferentes aspectos, qualidades e relações (KOPNIN, 1960, p. 298). Diz respeito ao processo inicial de apropriação do conhecimento, que começa pela sensação e a percepção sensível. Importa considerar que a percepção é somente o ponto de partida do conhecimento, este não pode terminar nela [...] (KOPNIN, 1960, p. 303), pois não é capaz de captar a essência dos objetos e fenômenos. A modelação acontece após a revelação, no plano objetal, da relação essencial do conceito de divisão, que consiste na quantidade de vezes que a medida intermediária p cabe no todo n. Ou seja, a partir das relações entre as grandezas, o concreto sensorial conduziu a abstrações e possibilitou a revelação da relação essencial, universal do conceito. Procedemos à representação do modelo universal em níveis mais abstratos que o plano objetal: modelo gráfico (esquema de setas e de segmento) e literal (por meio de letras). Todas as representações tinham como ponto de partida a relação entre as grandezas em seu caráter geral. Em outras palavras, os diferentes modelos são válidos para qualquer situação singular. Porém, não são válidos apenas para a grandeza comprimento, mas para qualquer outra, inclusive as discretas. No contexto da história virtual, o comprimento do rolo de fita consiste em uma grandeza contínua. Costa (1866, p. 9) afirma que grandeza é tudo quanto é suscetível de aumento ou diminuição, isto é, passível de medição ou contagem. Há dois tipos: discretas ou contínuas. As grandezas contínuas são as que podem aumentar ou diminuir por graus tão pequenos quanto se queira [...] (COSTA, 1866, p. 9). As discretas, ao contrário, são aquelas que não podem aumentar ou diminuir por graus tão pequenos [...] (COSTA, 1866, p. 9). Elas variam de unidades em unidades inteiras.

99 98 São, pois, as grandezas discretas que expressam a ideia de número inteiro, de quantidades inteiras. Os números são formados a partir da relação de grandezas de mesma espécie. Podemos ter uma, duas, três pessoas, mas não podemos ter uma pessoa e meia, ou a terça parte dela, cada uma constitui um ser único, indivisível. De outro modo, o comprimento de sua altura consiste em uma grandeza contínua. É possível que uma pessoa tenha um metro de altura, que outra tenha um metro e meio e, assim, por diante. Como diz Lanner de Moura (1995, p. 48), a possibilidade da divisão ilimitada de uma grandeza sem que esta perca seu caráter essencial lhe dá o caráter de uma grandeza contínua. Ao medir comprimentos, volumes, massas, obteremos não somente resultados inteiros, mas também valores decimais, pois a unidade de medida para grandeza contínua possui múltiplos e submúltiplos. Assim, a unidade é grandeza tomada como medida de comparação de outra de mesma espécie. Na proposição davydoviana, para o ensino dos conceitos de divisão e multiplicação, são contempladas as seguintes unidades medida: básica e intermediária. Além disso, considera-se o total de medidas que compõe cada uma delas. Para medir a unidade intermediária determina-se a quantidade de unidades básicas que nela cabem, desde que se admita que ambas se referem à mesma grandeza. A partir dessa compreensão, em continuidade à resolução da história virtual, iniciaremos o movimento de ascensão do abstrato ao concreto, visto que a abstração constitui um degrau, uma via que leva ao conhecimento concreto e multilateral (KOPNIN, 1960, p. 308). Para tanto, atribuiremos um valor à unidade de medida intermediária. Tal procedimento representa o início da passagem do geral para o particular. Esta será mediada pela abstração revelada anteriormente. Isso porque o particular não é uma simples combinação dos caracteres universais e particulares, mas o resultado do estudo do fenômeno, quando o pensamento se move do universal ao particular, destacando os traços essenciais e determinantes do particular (STERNIN, 1960, p. 275). A manifestação do particular expressa, no contexto dos conceitos de multiplicação e divisão a partir da delimitação do valor aritmético da unidade de medida intermediária, o divisor. A necessidade de realizar a medição por meio de agrupamentos (três em três, quatro em quatro, cinco em cinco...) expressa a adoção de um valor para a unidade de medida intermediária. Este é o elemento fundamental tanto para o conceito de multiplicação quanto de divisão, que juntos, formam um sistema conceitual indissociável. De acordo com Sternin (1965), o particular é o elemento de ligação entre o singular e o universal que, na especificidade da relação em análise, é a unidade de medida intermediária (divisor). Supomos que em valor seja 4. Assim, para a confecção de cada laço,

100 99 serão necessários 4 palmos de fita. A partir da unidade de medida básica (palmo), cuja medida é representada pelo comprimento B, comporemos a unidade de medida intermediária (divisor) constituída por 4 palmos (Ilustração 65). Ilustração 65 Constituição da particularidade Fonte: Elaboração da autora, A cada 4 palmos, é possível produzir um laço. Ou seja, a unidade de medida básica (B) cabe 4 vezes na medida intermediária (C). Ou ainda: C B = 4 (Ilustração 66). Ilustração 66 Esquema parcial, representativo da unidade de medida intermediária Fonte: Elaboração da autora, Para determinar quantos laços poderão ser produzidos ao todo, com a quantidade de fita disponível, será necessário calcular quantas vezes a medida intermediária 4 cabe no todo n, conforme o esquema de setas a seguir (Ilustração 67): Ilustração 67 Esquema de setas representativo da operação de divisão n 4 = Fonte: Elaboração da autora, 2015.

101 100 Esse procedimento, de determinar quantas vezes o divisor (4) cabe no dividendo (n) consiste na operação de divisão, cujo resultado é o quociente, o qual será representado pela letra m (Ilustração 68). Ilustração 68 Modelo representativo da operação de divisão Fonte: Elaboração da autora, Esses elementos que compõem a relação essencial do conceito de divisão (unidade de medida básica, a unidade de medida intermediária e o total de ambas) representam, aqui, uma relação particular, na qual o valor da unidade de medida intermediária é 4. A partir da revelação da relação particular e sua representação expressa geométrica e algebricamente, iniciaremos as reflexões no plano aritmético. É nesse estágio que se dá a generalização conceitual, em que o modelo universal revelado pode ser aplicado nas diversas possibilidades singulares. Atinge-se o concreto ponto de chegada. Esse movimento constitui a passagem do objeto em sua representação particular em direção ao singular. A partir da relação universal do conceito de divisão, por intermédio da particularidade, procederemos à generalização da relação universal do conceito de divisão para situações singulares. Eis o processo de concretização da abstração. O movimento de ascensão do abstrato ao concreto consiste em momentos de separação do próprio objeto, da própria realidade, refletida na consciência e por isso são derivados do processo da atividade mental (DAVÍDOV, 1988, p. 144, tradução nossa). Tal atividade, que se inicia no plano objetal, atinge as abstrações por meio de um sistema de símbolos constituído por esquemas, retas e arcos, que possibilita atingir o plano mental. A relação essencial do conceito, revelada objetalmente, eleva-se ao plano mental por meio das abstrações. A atividade que, inicialmente, necessitava dos atributos observáveis, é superada por incorporação dos mesmos. Isso significa dizer que no modelo universal, expresso geométrica e algebricamente, estão incorporados os elementos da relação objetal inicial. Porém, supera a representação objetal, ao ter validade não só para aquela situação específica,

102 101 mas com possibilidade de aplicação em qualquer outra singularidade concreta, como a que apresentaremos na sequência. TAREFA 1: Suponhamos que o rolo de fita de Dona Baratinha contenha 16 unidades básicas de comprimento, ou seja, 16 palmos, conforme o esquema apresentado na ilustração 69: Ilustração 69 1ª tarefa, esquema de setas representativo da operação de divisão Fonte: Elaboração da autora, Como determinar a quantidade de laços com esse comprimento de fita, considerando que, para a produção de cada um, são necessários 4 palmos? De acordo com o esquema anterior, o total de medidas básicas (dividendo) consiste em 16 unidades, e o valor da medida intermediária (divisor) é 4. A quantidade de vezes que 4 cabe em 16 constitui o quociente. Para determiná-lo, a reta numérica (Ilustração 70) é o elemento mediador. Ilustração 70 1ª tarefa, operação de divisão na reta numérica Fonte: Elaboração da autora, Na reta, formamos agrupamentos compostos por 4 unidades cada até atingir as 16 unidades. A quantidade de agrupamentos formados indica o resultado da operação da divisão: o divisor cabe 4 vezes no dividendo (Ilustração 71). Ilustração 71 1ª tarefa, esquema de setas da operação 16 4 = 4 Fonte: Elaboração da autora, 2015.

103 102 Ao atingir a singularidade do conceito de divisão, os elementos que constituem a relação essencial são representados aritmeticamente: 16 4 = 4. Ou seja, com 16 palmos de fita serão produzidos 4 laços. Outras hipóteses de singularidades podem ser objeto de reflexão. Inclusive o professor poderá organizar os estudantes em grupos e, para cada qual, disponibilizar pedaços de fita de comprimentos diferentes para que eles realizem diferentes medições. Haverá, assim, distintas singularidades. Dentre estas, poderão ocorrer sobras de pedaços de fita insuficientes para fazer um laço. TAREFA 2: Por exemplo, se o comprimento total de fita consistir em 23 palmos, sendo 4 palmos para a produção de um laço, temos (Ilustração 72): Ilustração 72 2ª tarefa, esquema de setas representativo da operação 23 4 = Fonte: Elaboração da autora, O registro dos dados no esquema possibilita a identificação da operação a ser realizada. Como o valor desconhecido refere-se à quantidade de vezes que a unidade de medida intermediária se repete, trata-se da operação de divisão. O dividendo é 23 e o divisor, 4. Qual o valor do quociente? Será determinado por meio da reta numérica (Ilustração 73). Ilustração 73 2ª tarefa, operação de divisão com resto, na reta numérica Fonte: Elaboração da autora, Com cada agrupamento, composto por 4 unidades, é possível produzir um laço. A partir do todo (23) podemos confeccionar 5 laços de mesma medida e sobram 3 unidades de

104 103 medida básica (resto da divisão). A representação da operação no esquema consiste no seguinte (Ilustração 74): Ilustração 74 2ª tarefa, esquema representativo da operação 23 4 = 5 (resto 3) Fonte: Elaboração da autora, E se o resto da divisão for 4? Isso significa que existe um novo agrupamento e não haverá resto. Disso decorre que o valor do resto, na operação da divisão, tem que ser, necessariamente, menor do que o valor divisor (medida intermediária). TAREFA 3: Suponhamos que o rolo meça 484 palmos. Como calcular a quantidade de laços a serem produzidos? Nesse caso, em virtude do elevado valor do dividendo, a utilização da reta numérica para realização da operação torna-se inviável. Faz-se necessária a operacionalização no algoritmo. Mas, sua sistematização requer a devida reflexão sobre sua estrutura interna relacionada ao valor posicional numérico. Por exemplo, na operação =, o dividendo (484) é composto por 4 centenas, 8 dezenas e 4 unidades (Ilustração 75). Ilustração 75 3ª tarefa, decomposição do dividendo Fonte: Elaboração da autora, Uma centena é constituída por 100 unidades ou 10 dezenas. Assim, em 4 centenas há 400 unidades ou 40 dezenas. Em 1 dezena há 10 unidades, portanto, em 8 dezenas há 80 unidades. Para realizar a divisão utilizaremos dividendos parciais: 4 centenas, 8 dezenas, 4 unidades. Iniciaremos com a divisão da centena: 4 centenas 4 = 1 centena (Ilustração 76).

105 104 Ilustração 76 3ª tarefa, representação do algoritmo: 4 centenas 4 = 1 centena Fonte: Elaboração da autora, O próximo dividendo parcial serão as 8 dezenas, que, divididas por 4, resultarão em 2 dezenas (Ilustração 77). Ilustração 77 3ª tarefa, representação do algoritmo: 8 dezenas 4 = 2 dezenas Fonte: Elaboração da autora, O último dividendo parcial são as 4 unidades, que, divididas por 4, resultam em 1 unidade (Ilustração 78). Ilustração 78 3ª tarefa, representação do algoritmo: 4 unidades 4 = 1 unidade Fonte: Elaboração da autora, Desse modo, a operação = resulta em: 1 centena, 2 dezenas, 1 unidade (121). Os dividendos parciais, por serem maiores ou iguais ao divisor, possibilitaram a divisão parcial. A síntese dessa tarefa consiste em: como o dividendo apresenta valores correspondentes à centena, dezena e unidade, no quociente haverá resultados referentes à centena, dezena e unidade. Mas, se houver dividendos parciais menores que o divisor? Como proceder?

106 105 TAREFA 4: Vamos exemplificar por meio da seguinte operação: (Ilustração 79). Ilustração 79 4ª tarefa, representação do algoritmo: = Fonte: Elaboração da autora, Ressaltamos que a operacionalização da divisão deve ser relacionada com cada valor posicional numérico correspondente ao dividendo parcial, conforme apresentamos na ilustração 79. Iniciamos pela centena: 1 centena dividida por 4 unidades resulta em quantas centenas? Ilustração 80 4ª tarefa, representação do algoritmo: 1 centena 4 = centena Fonte: Elaboração da autora, A centena é constituída por 100 unidades, ao dividi-la por 4 não resultará nenhuma centena, tendo em vista que a divisão de 100 unidades por 4 resultará em 25 unidades, ou seja, 2 dezenas e 5 unidades. Disso, podemos inferir que uma centena dividida por 4 não resulta em nenhuma centena. Qual número representa nenhuma unidade? O zero (Ilustração 81). Ilustração 81 4ª tarefa, representação do algoritmo: 1 centena 4 = 0 centena Fonte: Elaboração da autora, 2015.

107 106 Como não é possível obter nenhuma centena inteira no quociente, transformaremos a centena do dividendo em 10 dezenas que, somadas às 3 já existentes, teremos um novo dividendo parcial: 13 dezenas (Ilustração 82). Ilustração 82 4ª tarefa, representação do algoritmo: 13 dezenas 4 = dezenas Fonte: Elaboração da autora, As 13 dezenas divididas por 4 resultam em quantas? São 3 dezenas e sobra uma (resto), conforme ilustração 83. Ilustração 83 4ª tarefa, representação do algoritmo: 13 dezenas 4 = 3 dezenas (resto 1 dezena) Fonte: Elaboração da autora, O resto parcial (uma dezena) é transformado em 10 unidades que serão somadas às 2 unidades existentes. Temos um novo dividendo parcial: 12 unidades, que, divididas por 4, resultam em 3 unidades (Ilustração 84). Ilustração 84 4ª tarefa, representação do algoritmo de 12 unidades 4 = 3 unidades Fonte: Elaboração da autora, 2015.

108 107 Além das hipóteses apresentadas até o momento, outras podem ser levantadas a fim de ampliar o movimento conceitual em análise, a partir, por exemplo, do seguinte questionamento: TAREFA 5: Se Dona Baratinha receber cinco encomendas de laços, de 4 palmos cada, quantos palmos de fita serão necessários? Qual operação será realizada? Primeiramente, fazse necessário retomar a ideia de unidade de medida intermediária que, de acordo com as tarefas anteriores, consiste no comprimento de medida C, correspondente à quantidade de palmos necessários para a confecção de um laço. Como foram encomendados 5 laços, significa que a unidade de medida intermediária se repetirá por 5 vezes, segundo procedimento realizado na reta numérica (Ilustração 85). Ilustração 85 5ª tarefa, representação na reta numérica 4 x 5 = x 5 = 20 Fonte: Elaboração da autora, Os agrupamentos foram iniciados, na reta numérica, a partir do 0. O resultado, ou produto, corresponde ao ponto de chegada do último arco (quinto). Deste modo, para a produção de 5 laços serão necessários 20 palmos de fita. No contexto da história virtual, da produção de laços da Dona Baratinha, os estudantes não conseguiram ajudá-la. Isso aconteceu devido à utilização de uma unidade de medida não padronizada, o palmo. Os estudantes tinham comprimentos de palmos diferentes uns dos outros, por isso apresentaram tamanhos de laços distintos, pois cada ser é singular, conforme ilustração 86. Ilustração 86 Comprimentos de palmos diferentes Fonte: Elaboração da autora, 2015.

109 108 Essa problemática é semelhante àquela vivenciada pelos povos primitivos (IFRAH, 1997). Historicamente, as medições eram realizadas com partes do próprio corpo humano. Nesse estágio, unidade de medida e instrumento de medição coincidiam. Além disso, a medida da unidade variava de pessoa para pessoa. Isso desencadeou problemas que exigiram a padronização de unidades de medida. Para tanto, a solução foi a adoção de uma unidade de medida padronizada, como o quilograma para medir a massa, o metro para o comprimento, entre outros. Para cada unidade de medida foram criados seus múltiplos e submúltiplos. Lanner de Moura (1995, p. 45) enfatiza que a criação de um sistema universal de medida não foi obra do acaso. Em fins do século XVIII, com o avanço do comércio e da indústria, na Europa, tornava-se necessário que se afirmasse uma linguagem universal de medida destinada a harmonizar a produção e as trocas. Foi na França que se iniciou o movimento pela uniformização dos padrões de medida. Deste modo, compete a nós a utilização de unidades contemporâneas, visto que o sistema métrico chegou, ao Brasil, em 1938 (LANNER DE MOURA, 1995). A adoção do sistema métrico, em sua estrutura decimal, possibilita a comunicação do resultado da medição universalmente. Tal como propomos na carta a seguir em resposta aos estudantes que tentaram ajudar Dona Baratinha. Ilustração 87 Carta para Dona Baratinha (continua) Caros estudantes, Ao ler o relato da experiência que vocês vivenciaram no problema da produção de laços apresentado por Dona Baratinha, ficamos interessadas em lhes ajudar, pois não é nada fácil ensinar uma baratinha a fazer medições e cálculos. Primeiramente, alertamos-lhes que a adoção do palmo como unidade de medida, para medir comprimentos, inspira cuidados, pois cada ser apresenta palmos com comprimentos diferentes. Para resolverem o problema de Dona Baratinha, sugerimos que vocês utilizem o metro como unidade de medida. Imaginemos que o comprimento do palmo de Dona Baratinha meça aproximadamente 10 cm. Para evitar equívocos, utilizaremos o centímetro, unidade de medida já padronizada historicamente pela humanidade como submúltiplo do metro. No entanto, se não for 10 cm, basta substituí-lo pela medida correta do comprimento do palmo da personagem, pois o

110 109 raciocínio matemático será o mesmo. Vale lembrar que, para a confecção de cada laço, são necessários quatro palmos. Assim, em vez de utilizar o palmo como instrumento de medida, vamos utilizar a régua, mas também poderia ser o metro, fita métrica, trena, entre outros. Na régua, foi representada a unidade de medida equivalente ao que supomos para o comprimento do palmo (10 cm). Esta se repetiu por 4 vezes, totalizando 40 cm, que será o comprimento de fita necessário para a produção de cada laço, conforme os esquemas a seguir: Para a produção de cada laço, na hipótese de que o comprimento do palmo seja 10 cm, serão necessários 40 cm de fita. Suponhamos, também, que a medida do rolo de fita seja 1 metro e 20 centímetros. Primeiramente, transformaremos 1 metro em centímetros, para adotarmos a mesma unidade de medida na realização do cálculo. Mas quantos centímetros compõem um metro? É importante esclarecer que, de acordo com a padronização realizada historicamente, a unidade de medida intermediária do metro é um decímetro, equivalente a 10 cm. Esta se repete por 10 vezes. Com base nessas informações, já é possível responder ao questionamento anterior, conforme o esquema de setas: Por meio do esquema de setas, representamos a unidade de medida intermediária, 10 cm. Em 1 decímetro cabem 10 centímetros. Em 1 metro cabem 10 decímetros. A medida intermediária 10 se repete por 10 vezes, totalizando, assim, 100 cm. Deste modo, em um

111 110 metro há 100, que equivale a 10 dm. No segmento de reta a seguir, apresentamos a relação entre o metro, decímetro e centímetro, na forma de um sistema de medidas: Como supomos anteriormente, o rolo de fita mede 1 metro e 20 centímetros. 1 metro corresponde a 100 centímetros. O dividendo é, portanto, 120 centímetros ( ). A unidade de medida intermediária, agora, refere-se ao comprimento de cada laço, 40 cm (divisor), conforme o esquema de setas da ilustração 90. Para determinar o quociente, realizaremos o procedimento na reta numérica. O esquema de setas consiste na operação =. A quantidade de vezes que 40 cm cabem em 120 cm corresponde ao quociente: o número de laços que poderão ser produzidos com 120 centímetros de fita. O quociente 3 corresponde ao número de agrupamentos, constituídos por 40 unidades básicas, conforme indicam os arcos apresentados na reta anterior. Desse modo, o ponto de interrogação no esquema de setas é substituído pelo número 3:

112 111 No entanto, para a operacionalização com números maiores, sugerimos a adoção do algoritmo, conforme segue: O primeiro dividendo parcial, 1 centena, dividida por 40 unidades, resultará em nenhuma centena. 1 centena é transformada em 10 dezenas, que, somadas a 2 dezenas, constituirão o segundo dividendo parcial, 12 dezenas. 12 dezenas divididas por 40 unidades resultarão em 0 dezenas. 12 dezenas são transformadas na ordem imediatamente inferior, 120 unidades. 120 unidades divididas por 40 unidades resultarão em 3 unidades, não sobrando resto. Enfim, estudantes, vocês não chegaram a resultados únicos porque adotaram comprimentos de palmos diferentes como unidade de medida. Quanto à solicitação de Dona Baratinha, se o rolo de fita medir 120 cm de comprimento e a medida do palmo for 10 cm, poderão ser confeccionados 3 laços. Porém, se essas medidas forem diferentes, basta seguir o mesmo raciocínio que adotamos no decorrer desta carta-resposta.