O MOVIMENTO CONCEITUAL DE FRAÇÃO A PARTIR DOS FUNDAMENTOS DA LÓGICA DIALÉTICA PARA O MODO DE ORGANIZAÇÃO DO ENSINO

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1 O MOVIMENTO CONCEITUAL DE FRAÇÃO A PARTIR DOS FUNDAMENTOS DA LÓGICA DIALÉTICA PARA O MODO DE ORGANIZAÇÃO DO ENSINO Cleber de Oliveira dos Santos 1 RESUMO: Investigamos o movimento conceitual de fração para subsidiar o modo de organização do ensino fundamento da lógica dialética. Para tanto, perseguimos as seguintes questões: Qual é a relação universal do conceito de fração? Em que consiste as dimensões geral, particular e singular? Como esses elementos são contemplados no Procedimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto? Consideramos com referência de análise o problema desencadeador proposto por Moura (2015) na História Virtual intitulada Cordasmil. A fim de reproduzir o procedimento entre concreto e abstrato seguimos as seis ações de estudo proposta por Davýdov. Os resultados da presente pesquisa, de natureza teórica, nos possibilitaram sistematizar o seguinte movimento conceitual: 1) O número racional surge a partir da necessidade de medição em que o resultado não pode ser expresso por um número inteiro; 2) Para superar tal necessidade a unidade intermediária é introduzida; 3) A quantidade de vezes que a unidade intermediária cabe na grandeza é explicitada na modelação gráfica (reta numérica); 4) A relação universal do conceito de fração (grandeza a ser medida, total de unidades intermediárias que cabem na grandeza a ser medida e quantidade de vezes que a intermediária se repete na unidade básica) é revelada a partir do produto entre a unidade intermediária e a quantidade de vezes que a mesma cabe na grandeza. A partir da relação de multiplicidade é deduzida a relação de divisibilidade entre grandezas, na qual o modelo literal do número racional pode ser expresso por: reveladas: 5) A partir da transformação do modelo duas novas relações são 6) Estes possibilitam a resolução de quaisquer situações particulares e singulares. PALAVRAS-CHAVE: Movimento conceitual de fração; fundamentos da lógica dialética; modo de organização do ensino. Este artigo decorre da necessidade de contribuir com o processo de ensino e aprendizagem de Matemática, no que tange aos conteúdos e métodos de ensino adotados no contexto educacional brasileiro. Almejamos repensar o ensino de fração que promova o desenvolvimento do pensamento teórico nos estudantes, por meio da apropriação científica do conceito. 1 Licenciado em Matemática UNISUL campus Tubarão (SC). Especialista em Educação Matemática UNISUL campus Tubarão (SC). Especialista em Matemática UFSC campus Florianópolis (SC). Graduando Licenciatura em Física UNISUL campus Tubarão (SC). Mestrando do Curso de Mestrado em Educação UNISUL campos Tubarão (SC) linha de pesquisa: educação em ciências. cleber_013@hotmail.com 1

2 Para tanto, elegemos os fundamentos da Teoria Histórico-Cultural, objetivados na proposição davydoviana de ensino. Tendo em vista que a formação escolar dos estudantes é fortemente marcada por conteúdos e métodos oriundos da escola tradicional, que promovem o desenvolvimento do pensamento empírico. Vislumbramos a possibilidade de superar o pensamento empírico dos estudantes sobre o conceito de fração, a partir do problema desencadeador da aprendizagem, organizado de acordo com a história do conceito de fração (MOURA, 2015), no contexto da História Virtual do conceito, adotando o movimento conceitual proposto por Davýdov. Nesse sentido, elegemos o conceito de fração, na proposição Davydoviana de ensino e a Atividade Orientadora de Ensino, como uma possibilidade de repensarmos o conteúdo e métodos de ensino escolar brasileiro. História Virtual do conceito de fração (MOURA, 2015), na forma geral Cordasmil é um estirador de cordas encarregado pelo Faraó para medir os terrenos que foram distribuídos aos súditos para o cultivo às margens do rio Nilo. Ele mede apenas a lateral dos terrenos, pois a medida de frente que corresponde à margem do rio é fixa. O que lhe interessa mesmo é o quanto o Nilo tem de terra cultivável às suas margens, pois os impostos serão cobrados tendo em vista esta porção de terra. Ao medir a lateral do terreno de Unopapiro, o estirador contou n cordas inteiras, mas percebeu que sobrava um tanto dessa lateral em que não cabia uma corda inteira. Sabendo que o Faraó exigirá uma representação da medida do terreno de Unopapiro, de que modo deverá proceder Cordasmil para transmitir ao Faraó a dimensão da lateral do terreno medido? Como proceder para representar a parte que não é uma corda inteira? Qual sua proposta para Cordasmil resolver este problema? Faça uma representação de uma situação que possa ter sido vivenciada por Cordasmil e ilustre a sua solução. Resolução: No experimento objetal, considera-se o terreno retangular de dimensão qualquer e a corda abaixo. Figura 1 Experimento Objetal Terreno Corda Fonte: elaborado pelo autor,

3 Dificilmente caberá uma quantidade exata de cordas na lateral do terreno, assim, para tal fato, faz-se necessário, os seguintes questionamentos: Qual é a medida exata da lateral do terreno? Como proceder para fazer a medição exata? Figura 2 Modelo Objetal Terreno Fonte: elaborado pelo autor, Considerando a corda como unidade de medida básica (1 unidade) e após perceber que o resultado não é um número natural, o estudante, deverá criar outra unidade de medida à unidade de medida intermediária, que será um fragmento da corda, afim de obter a medicação exata da lateral do terreno, conforme figura 3. Figura 3 Modelo Objetal Terreno 3

4 Com a necessidade criada, o estudante fará a divisão da corda (unidade de medida básica) para obter um fragmento da corda. Abaixo a corda fragmentada em p partes iguais: Desse modo, obtem-se o fragmento da corda, que consideramos a unidade de medida intermediária. Até o momento, temos: Unidade de medida básica, indicaremos pela letra C (C = 1 unidade). Unidade de medida intermediária, indicaremos pela letra E ( ) Total de unidades de medida intermediárias, indicaremos pela letra A. O experimento objetal marca a passagem da primeira para a segunda ação de estudo proposta por Davidov (19), transformação dos dados da tarefa com o objetivo de revelar a relação universal do objeto estudado (primeira ação), para a modelação da relação universal na unidade das formas literal, gráfica e objetal (segunda ação). Os estudantes, em posse dos dados revelados no experimento objetal (as grandezas C, E e A), podem relacionar esses, com os símbolos de <, >, = ou, antes da assimilação do conceito de número racional. Desse modo, fixa os resultados obtidos no experimento objetal, comparando as grandezas: E < C e C < A, então, pela propriedade transitiva, temos: E < A. De modo análogo, C > E e A > C, então, pela propriedade transitiva, temos: A > E. Usando o símbolo de, temos: E C, E A, então, pela propriedade transitiva, temos: C A. Para Rosa (2012, p. 136): A partir do método de comparação direta entre duas grandezas criam-se novas situações que requerem uma terceira grandeza para realizar a comparação. Esta possibilitará, durante o experimento objetal, a introdução da unidade de medida e a reprodução do modelo concernente à forma universal do número real: cociente de uma grandeza a outra tomada como unidade. O modelo será expresso por duas fórmulas matemáticas que se deduzem uma da outra pelo princípio multiplicativo: ou. Dessa forma, é possível revelar as seguintes relações: Assim,. Portanto, 4

5 Figura 4 Modelo gráfico A Figura 5 Modelo gráfico C A p m E Modelo literal: (1) De acordo com a figura 2, n é o número total de cordas inteiras para medir a lateral do terreno, porém, precisamos de outra unidade de medida para fazer a medição exata, assim, adotamos como unidade de medida intermediária 1, x é o fragmento da unidade de medida p básica. Observe que n contém certo número de unidades de medidas intermediárias. A determinação do valor de x depende da quantidade k de unidades de medidas intermediárias que falta para fazer a medição exata. Desse modo, a medida da lateral do terreno é expressa por:. 5

6 Segundo Davýdov (19), na segunda ação de estudo, a relação entre os dados, correspondente ao conceito de fração, será modelada e abstraída por meio de um sistema de símbolos, tais como: a reta conforme figura 4, esquema de setas conforme figura 5 e letras conforme a expressão (1). O sistema de símbolos apresentados constituem os elementos mediadores entre a ação objetal e a mental. Segue abaixo, a expressão que determina a medida A em função de n, p e k. ( ) [( ) ] ( ). { ( ) Portanto: ( ) (2) (modelo literal) Assim, revelamos à relação essencial, universal, do conceito de fração, modelada nas formas objetal, gráfica e literal. Logo, podemos afirmar que existem três tipos de representação da relação universal: primeiramente, na forma objetal, enquanto concreto sensorial, ponto de partida; posteriormente, na forma gráfica, como objetivação idealizada e literal, como abstração. Na terceira ação de estudo, afirma Davídov (19, p. 13, tradução nossa), consiste na transformação do modelo com o fim de estudar a propriedade da relação universal do objeto que tenha sido diferenciada. Esta relação, nos dados reais da tarefa, parece estar oculta por muitas características particulares que, em conjunto, dificulta sua análise especial. Então, na terceira ação acontece à transformação do modelo da relação universal para o estudo das propriedades do objeto na quarta ação. Nas características particulares deste ocorrem à transformação do modelo referente à relação universal do conceito de fração. Para Davýdov (192), as propriedades conceituais são reveladas por meio das relações e ligações de correspondência realizadas pelos estudantes, sob a orientação do professor. O movimento interno, essencial, do conceito revela as propriedades do objeto (DAVÍDOV, 19). Neste momento, faremos a transformação do modelo da relação universal: ( ) Logo, transformando-o, temos: (i) ( ) (ii) (iii) ( ) E nas diversas transformações do modelo que estudam as propriedades da relação universal do objeto. De acordo com Davídov (19, p. 17), na quarta ação destina-se a concretizar o procedimento geral para revelar a relação múltipla e resolver tarefas particulares. O processo de medição (quantas vezes a unidade de medida cabe na grandeza) permite determinar a relação múltipla universal reproduzida no modelo para o conceito teórico de número: A C = ou A = C, C E = p ou C = p E (ROSA, 2012). Na quarta ação, ocorre a passagem do universal para o particular e singular, uma vez que o procedimento universal pode ser aplicado na resolução das diversas tarefas particulares. 6

7 É o movimento de redução do concreto ao abstrato até a terceira ação de estudo. Na quarta ação, a partir do abstrato, esse movimento ascende ao concreto novamente. É a fase das aplicações da relação universal nas diferentes situações que se fizerem necessárias. A passagem do experimento objetal para o gráfico e, deste, para o literal possibilita analisar a origem e desenvolvimento do objeto (CRESTANI, 2016, p. 46). A partir da primeira ação, inicia-se o processo de redução do concreto ao abstrato, dado pela relação universal. Logo, ocorre o movimento de ascensão do abstrato ao concreto, por meio das comparações de tarefas singulares. Em outras palavras, o pensamento se move em sentido inverso, a saber, em direção ao particular e ao singular (STERNIN, 1960, p. 274, tradução nossa). Desse modo, na solução da tarefa escolar, os estudantes realizam ocorre um microciclo de ascensão do abstrato ao concreto como via de aprendizagem dos conhecimentos teóricos (DAVÍDOV, 19, p. 179, tradução nossa). O movimento proposto por Davýdov, nas quatro primeiras ações de estudo, é uma das bases do princípio fundamental da dialética materialista, no movimento que passa pelo geral, universal, particular e singular, reconhecendo que o conhecimento do singular e do particular enriquece nosso conhecimento do universal e converte este de universal abstrato, em um universal pleno de diferenças e de movimento (STERNIN, 1960, p. 275, tradução nossa). Abaixo, apresentaremos um conjunto de tarefas particulares para atender a quarta ação de estudo. (a) Se ao medir a lateral do terreno de Unopapiro o estirador contou 6 de cordas inteiras, mas viu que sobrava um pouco de terreno que não cabia uma corda inteira. Então, para resolver o problema Cordasmil verificou que cabia de corda para medir o resto do terreno, assim, percebeu que p é igual a 2 e o valor de k é igual a 1. Qual é a medida da lateral do terreno, ou seja, qual é o valor de y? Como você acha que Cordasmil resolveu o problema? Faça uma representação da solução que ele encontrou para mostrar para o Faraó? Resolução: Figura 6 Representação objetal Frente ( ) cordas Corda de corda (Unidade de medida básica). (Unidade de medida intermediária). ( ) (Total de unidades de medidas intermediárias). 7

8 Figura 7 Modelo gráfico A k = 1 m = 13 Figura Modelo gráfico C = 1 (unidade de medida básica) (unidade de medida intermediária) ( ) Consideremos para resolver essa tarefa o modelo da relação universal: ( ) Assim, ( ).

9 Portanto, a medida da lateral do terreno de Unopapiro é de cordas. viu que sobrava (b) Se ao medir o terreno de Unopapiro o estirador contou 6 de cordas inteiras, mas da corda inteira, assim, percebeu que o valor de k é igual a 1 e também constatou que a medida da lateral do terreno é de cordas. Então, em quantas partes iguais a unidade básica foi dividida, ou seja, qual é o valor de p? Como você acha que Cordasmil resolveu o problema? Faça uma representação da solução que ele encontrou para mostrar para o Faraó? Resolução: Figura 9 Representação objetal Frente cordas Corda de corda (Unidade de medida básica). (Unidade de medida intermediária). ( ) cordas (Total de unidades de medidas intermediárias). Figura 10 Modelo gráfico A C E 1 9

10 Figura 11 Modelo gráfico ( ) Consideremos para resolver essa tarefa a seguinte transformação: (iii). Substituindo as informações do problema em (iii), temos: ( 49 ) Portanto, a unidade de medida básica foi dividida em partes iguais. Note que o resultado é óbvio, pois, se considerou k = 1, assim, sabendo que:, temos p =. Considerações finais No presente artigo, apresentamos uma articulação entre proposição Davydoviana e Atividade Orientadora de Ensino no contexto da História Virtual do conceito de fração com o problema de Cordasmil de Moura (2015), verificando as seis ações de estudo de Davýdov. No desenvolvimento, destacamos as manifestações da relação universal. A resolução da história virtual do conceito de fração apresentada contempla: Confronto entre grandezas discretas e contínuas; As significações aritméticas, algébricas e geométricas; Modelação objetal (subdivisão da corda), gráfica (a reta e o esquema de setas) e literal; O geral, universal, particular e singular. Na resolução da História Virtual do conceito de fração na forma geral, verificamos as manifestações do movimento do pensamento teórico (redução e ascensão), desde a primeira ação de estudo até a quarta ação. A importância, para nós, desse artigo está na acentuada na preocupação de Davídov e Moura com a organização do ensino que propicie, aos estudantes, o desenvolvimento do pensamento teórico, caracterizado por abstrações e generalizações do tipo substanciais (teóricas). Ressaltamos que as tarefas aqui apresentadas são uma pequena amostra da totalidade do sistema de tarefas correspondentes a cada ação que poderíamos elaborar. Para o acesso a outras tarefas sobre o conceito de fração de acordo com a proposta de Davídov, sugerimos a leitura da dissertação de (FREITAS, 2016). 10

11 Referências CRESTANI, SANDRA. Organização do ensino de matemática na perspectiva do desenvolvimento do pensamento teórico: uma reflexão a partir do conceito de divisão. Dissertação (Mestrado em Educação) Programa de Pós Graduação em Educação, Universidade do Sul de Santa Catarina, Tubarão, DAVÝDOV, V. V. Tipos de generalización en la enseñanza. 3. ed. Habana: Editorial Pueblo y Educación, 192. DAVÝDOV, V. V. La enseñanza escolar y el desarrollo psíquico: investigación psicológica teórica y experimental. Moscú: Progreso, 19. FREITAS, Daiane de. O movimento do pensamento expresso nas tarefas particulares proposta por Davýdov e colaboradores para apropriação do sistema conceitual de fração f. Dissertação (Mestrado em Educação)-Universidade do Extremo Sul de Santa Catarina, UNESC, Criciúma, MOURA, M. O. História Virtual do conceito de fração. Disponível na Internet via Data: 09/06/2016. ROSA, J. E. Proposições de Davýdov para o ensino de matemática no primeiro ano escolar: inter-relações dos sistemas de significações numéricas. Tese (Doutorado em Educação: linha de pesquisa Educação Matemática). Universidade Federal do Paraná, Curitiba, STERNIN, A. O. O singular, o particular e o universal. In: ROSENTAL, M. M.; STRAKS, G. M. Categorías del Materialismo Dialéctico. Tradução de Adolfo Sanchez Vazquez e Wenceslao Roces. México: Grijalbo, p