FORMAÇÃO DOS CONCEITOS MATEMÁTICOS: CONTRIBUIÇÕES DA TEORIA HISTÓRICO-CULTURAL

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1 Anais da Semana de Pedagogia da UEM ISSN Online: XX Semana de Pedagogia da UEM VIII Encontro de Pesquisa em Educação / I Jornada Parfor FORMAÇÃO DOS CONCEITOS MATEMÁTICOS: CONTRIBUIÇÕES DA TEORIA HISTÓRICO-CULTURAL MOYA, Paula Tamyris ptmoya17@hotmail.com MAIO, Eliane Rose (orientador) elianerosemaio@yahoo.com.br Universidade Estadual de Maringá (UEM) Formação de professores e intervenção pedagógica INTRODUÇÃO O objetivo deste artigo consiste em analisar o processo de formação dos conceitos matemáticos, com base nos estudos sistematizados por Vigotski (2000) e Davýdov (1982). Para tanto, serão investigadas as proposições do sistema de ensino elaborado por Davýdov (1982) em relação ao conceito de número. Vigotski (2000) ressalta que para o sujeito se apropriar dos conceitos científicos não basta apenas que ele seja capaz de captar o aspecto empírico e observável dos fenômenos. É necessário considerar que o conceito científico é um ato do pensamento, que envolve todas as funções psicológicas superiores e não apenas a memória. Em consonância com os estudos de Vigotski (2000), Davýdov (1982) discute sobre as dificuldades no ensino de matemática verificadas em seus estudos realizados na década de 70 na URSS. Para o referido autor, é necessário mudar a concepção que fundamenta o ensino dos conceitos matemáticos, pois há uma valorização dos processos de memorização e repetição. Como exemplo, Davýdov (1982) cita o ensino do conceito de número, que partia do trabalho com vários tipos de problemas. O aluno tinha apenas que identificar o problema e aplicar o método resolutivo. Desse modo, nessa concepção bastava o aluno memorizar e repetir os métodos de resolução, não exigia a análise do problema. Para Cedro, Moraes e Rosa (2010) os estudos de Davýdov (1982) podem ser considerados atuais e serem utilizados como referencial para uma reflexão sobre o ensino de matemática em nosso país..

2 Em busca de superar essa concepção de ensino de matemática é necessário considerar o aspecto lógico-histórico dos conhecimentos matemáticos, ou seja, analisar a matemática como produto da atividade humana que surgiu a partir das necessidades dos homens e das mulheres no decorrer da histórica. Para Davýdov (1982) outro aspecto fundamental na organização do ensino dos conceitos matemáticos é promover a apropriação da base analítico-sintético, indispensável na aprendizagem dos conceitos matemáticos, pois é por meio desse processo que a criança compreende a essência dos fenômenos e não apenas a aparência. Com base nessa discussão, esse artigo apresenta-se como um ponto de partida na superação de práticas de ensino que valorizam a memorização das definições apresentadas pelo professor. No primeiro momento serão analisadas as especificidades da aprendizagem dos conceitos científicos com base nos estudos de Vigotski (2000). No segundo momento, serão apresentadas as contribuições do sistema de ensino elaborado por Vasili Vasilievich Davýdov sobre a formação dos conceitos matemáticos. A ESPECIFICIDADE DA APRENDIZAGEM DOS CONCEITOS CIENTÍFICOS Para Vigotski (2000) a psicologia atual aponta duas respostas em relação ao desenvolvimento dos conceitos científicos na mente da criança que frequenta a escola. A primeira resposta defende que os conceitos científicos são assimilados como algo acabado, por meio do processo de compreensão, de assimilação e de memorização. Nesse sentido, cabe ao professor apenas apresentar as definições conceituais e propor que os alunos memorizem. Sendo assim, Vigotski (2000, p.185, tradução nossa) pondera que o professor por meio desses princípios somente conseguirá promover [...] um simples verbalismo, que simula ou imita os correspondentes conceitos na criança, mas que de fato encobre um vazio. Em tais casos, a criança não adquire conceitos, mas palavras, assimila mas com a memória do que com o pensamento e se manifesta impotente diante todo intento de empregar com sentido os conhecimentos assimilados. O ensino, ao enfatizar o conceito científico como um hábito mental automático, desconsidera que ele é um complexo ato do pensamento. A criança apenas memoriza um conjunto de palavras necessárias para alcançar uma boa nota na prova. Isso significa que o conceito científico não é apropriado como um instrumento do pensamento do sujeito, que poderá ser utilizado na resolução de diversas situações-problema. Em síntese, Vigotski (2000) 2

3 afirma que a primeira resposta nega o processo de desenvolvimento interno do conceito científico. A segunda resposta analisada por Vigotski (2000) compreende que o desenvolvimento do conceito científico repete o desenvolvimento do conceito espontâneo. Piaget desenvolveu seus estudos com base nesses pressupostos teóricos, ressaltando que para o surgimento do conhecimento científico é necessário que o conhecimento espontâneo desapareça. Em contrapartida a esses princípios Vigotski (2000), preconiza que não há uma relação de exclusão entre os conceitos espontâneos e os conceitos científicos, um acaba exercendo influência sobre o outro. A esse respeito o referido autor destaca que [...] o desenvolvimento dos conceitos científicos resulta possível tão somente quando os conceitos espontâneos da criança tiver alcançado um nível determinado, próprio do começo da idade escolar (VIGOTSKI, 2000, p.194, tradução nossa). O mesmo autor enfatiza que os conceitos espontâneos e os conceitos científicos estão em constante interação. Porém, eles seguem caminhos distintos de desenvolvimento, pois o conceito espontâneo surge a partir da experiência pessoal da criança, enquanto, o conceito científico se desenvolve de forma desvinculada da experiência imediata. Para esclarecer essa relação entre os conceitos espontâneos e os conceitos científicos Vigotski (2000) faz uma analogia entre a aprendizagem de uma língua materna e de uma língua estrangeira. O indivíduo aprende uma língua estrangeira utilizando a língua materna como referencial, pois como revela Vigotski (2000, p. 198, tradução nossa), [...] o ensino de um idioma estrangeiro para os escolares se fundamenta no conhecimento da língua materna. De modo semelhante, o conceito científico se desenvolve com base nos conhecimentos elaborados a partir da experiência empírica da criança, isto é, pressupõe que para a apropriação dos conceitos científicos é necessário que os conceitos espontâneos tenham atingido um determinado nível de desenvolvimento. Outro ponto importante que Vigotski (2000) apresenta refere-se à importância da aprendizagem da língua estrangeira, pois por meio dela o pensamento da criança se eleva ao um nível mais generalizado. Pode-se dizer que a assimilação de um idioma estrangeiro eleva a língua materna da criança a um nível superior, de igual modo a assimilação da álgebra eleva a um nível superior o pensamento aritmético, permitindo 3

4 compreender qualquer operação aritmética como um caso particular da álgebra, proporcionando uma visão livre, mais abstrata e mais generalizada [...] (VIGOTSKI, 2000, p. 198, tradução nossa). Em consonância com esses princípios, a aprendizagem dos conceitos científicos impulsiona o desenvolvimento de formas superiores do comportamento da criança. Desse modo, quando o sujeito se apropria do conceito científico ele deixa de analisar apenas a aparência dos fenômenos e passa a considerar a essência. Enquanto no conceito espontâneo o pensamento da criança está voltado para o objeto em si, no uso do conceito científico a atividade do sujeito está focada no conceito, isto é, no ato mental. Desse modo, a aprendizagem dos conceitos científicos liberta o pensamento da criança das armadilhas das relações empíricas. Como preconiza Vigotski (2000, p.198, tradução nossa), [...] a assimilação do idioma estrangeiro, seguindo caminhos completamente distintos, libera o pensamento verbal da criança do cativeiro das formas e dos fenômenos verbais concretos. Assim, a analogia estabelecida pelo referido autor busca evidenciar que da mesma forma que a apropriação do idioma estrangeiro possibilita a superação dos fenômenos verbais concretos da língua materna, a aprendizagem do conceito científico cria a possibilidade do sujeito agir de maneira intencional e consciente. A criança é capaz de utilizar o conceito de forma espontânea em atividades práticas, porém ela não sabe aplicá-los de forma consciente. Como exemplo, podemos citar o conceito mãe, a criança emprega-o em contextos adequados, contudo ela não tem consciência que a palavra mãe representa uma relação de parentesco. Nesse sentido, o emprego do termo está relacionado à pessoa, ao objeto, e não ao próprio conceito. Para demonstrar o vínculo entre os conceitos espontâneos e os conceitos científicos, Vigotski (2000) cita o exemplo da conjunção causal porque, a criança é capaz de empregá-la de forma espontânea, mas não consegue utilizá-la de maneira intencional e voluntária. Porém, Vigotski (2000, p.183, tradução nossa) é enfático ao afirmar que o aumento progressivo dos níveis tão altos no pensamento científico e o maior incremento da porcentagem dos conceitos cotidianos de um nível ao outro testemunham o fato de que a acumulação dos conhecimentos conduzem firmemente a elevação do nível dos tipos de pensamento científico, o que por sua vez reflete no desenvolvimento do pensamento espontâneo e demonstra o papel diretor da instrução na evolução da criança na idade escolar. 4

5 O aumento do nível de desenvolvimento dos conceitos científicos reflete nos conceitos espontâneos da criança, ou seja, a sistematização dos conceitos científicos fornece novas estruturas para o desenvolvimento ascendente dos conceitos espontâneos. Nesse sentido, fica claro que apesar dos conceitos científicos seguirem um caminho distinto de desenvolvimento em relação aos conceitos espontâneos, eles devem estar [...] imersos em um processo de continua interação, que deverá ter o resultado inevitável de que as generalizações da estrutura superior, próprias dos conceitos científicos, produzam trocas estruturais nos conceitos espontâneos (VIGOTSKI, 2000, p. 194, tradução nossa). Contudo, é importante ressaltar que os conceitos científicos se desenvolvem com base em um sistema organizado, ou melhor, a partir de um tecido conceitual já elaborado, partindo das máximas generalizações até ao concreto. Enquanto, o conceito espontâneo se desenvolve fora de um sistema em um movimento ascendente, isto é, do concreto ao abstrato. Desse modo, Vigotski (2000) ressalta que a tomada de consciência dos conceitos científicos se efetiva por meio da formação de um sistema, se o conceito estiver fora de um sistema o sujeito só será capaz de estabelecer relações entre a palavra e o objeto. A partir dessa discussão, o ensino dos conceitos científicos não pode ser organizado com base no pensamento empírico. Isso significa que para a criança aprender os conceitos como instrumentos do pensamento e não como um conjunto de palavras que devem ser memorizadas, é necessário fugir de práticas utilitaristas e imediatistas que valorizam apenas os conceitos cotidianos. Davýdov (1982) adverte que o papel do ensino de matemática não é reduzir os conceitos à sua base empírica, promovendo apenas o desenvolvimento do pensamento empírico. Sob este ponto de vista, o referido autor tece críticas ao sistema de ensino de matemática do seu país, pois como foi retrato acima havia uma ênfase nos processos de repetição e memorização. A seguir, serão analisados os pressupostos teóricos de Davýdov sobre a organização do ensino dos conceitos matemáticos. Damázio, Rosa e Soares (2011) ressaltam que muitas práticas de ensino no Brasil repetem os erros cometidos no ensino de matemática na URSS, apontados por Davýdov. 5

6 A FORMAÇÃO DOS CONCEITOS MATEMÁTICOS NO SISTEMA DE ENSINO ELABORADO POR VASILI VASILIEVICH DAVÝDOV. O sistema de ensino de Davýdov foi elaborado com base nos fundamentos da teoria histórico-cultural, com o objetivo de promover a qualidade da educação básica. Embora, o referido autor tenha falecido em 1998, o seu sistema de ensino continua sendo estudado por seus colaboradores. Davýdov (1982) analisou o conceito de generalização presente nos manuais didáticos que fundamentam as práticas pedagógicas tradicionais na URSS. Com isso, ele verificou que a generalização refere-se ao [...] trânsito, operado pela criança, da descrição de propriedades de um objeto individualizado ao seu descobrimento e separação em toda uma classe de objetos similares (DAVÝDOV, 1982, p.13, tradução nossa). Desse modo, cabe à criança apenas verificar e enfatizar algumas características estáveis que se repetem nos objetos ou fenômenos. Em função disso, a generalização nos manuais de ensino tradicionais ocorre quando há a tomada de consciência em relação às características comuns entre os objetos, que pode ser representada por uma palavra que carrega consigo a ideia geral do objeto ou fenômeno. Os conteúdos das diversas disciplinas escolares são organizados de acordo com esse modelo. Davýdov (1982) cita alguns exemplos: para ensinar o conceito de radical da palavra o professor utiliza vários exemplos de palavras que possuem o mesmo radical, em seguida ele destaca o elemento comum. A partir dessas características similares o professor apresenta a definição de radical e cabe ao aluno aplicá-la em diversos exercícios. Na matemática, Davýdov (1982) cita como exemplo o ensino do conceito de ângulo, no qual o professor demonstra várias noções concretas de diferentes ângulos e com base nessa explicação acredita-se que o aluno será capaz de generalizar a ideia de ângulo, formando um conceito. Com base nesses princípios, o sucesso da aprendizagem dos conceitos científicos depende apenas das comparações que o aluno faz. Em contraposição, Davýdov (1982) alerta que o objetivo do ensino não pode ser desenvolver no aluno a capacidade de abstrair a partir dos traços particulares, ou seja, não é suficiente que a criança seja capaz de descrever, de 6

7 nomear e de definir os fenômenos. Desse modo, a apropriação do conhecimento científico não envolve apenas a descrição dos fenômenos particulares, é fundamental analisar a essência dos conteúdos. Sendo assim, Davýdov (1982, p.95, tradução nossa) destaca que [...] a essência de um ou outro objeto ou nexo interno de suas propriedades distingue-se dos fenômenos externamente observáveis e diretamente perceptíveis. A essência dos conceitos não está nas características observáveis e perceptíveis, porém, para a teoria empírica a aparência é considerada um elemento definitivo na formação do conceito. Ao considerar apenas os atributos externos o esquema empírico de generalização acaba tendo a função apenas de organizar o real. Davýdov (1982), ao tecer críticas à teoria empírica revela que o objetivo do ensino não pode ser o desenvolvimento do pensamento empírico, pois ele é relevante apenas na vida cotidiana. Ademais, ele não promove a apropriação dos conceitos científicos e obstaculiza o caminho de desenvolvimento do pensamento teórico. Davýdov (1982) enfatiza que o papel do ensino é possibilitar o desenvolvimento do pensamento teórico dos estudantes, com isso o pensamento empírico ganharia outra dimensão. O foco do pensamento teórico são os conceitos científicos que ele opera a partir da integridade, ou seja, do sistema defendido por Vigotski (2000). Para compreender a importância de promover o desenvolvimento do pensamento teórico, em detrimento do pensamento empírico é necessário analisar as proposições do Sistema de Ensino elaborado por Davýdov (1982), sobre o conceito de número. Ao analisar os encaminhamentos para o ensino do conceito de número de sua época, verificou que o foco era nas atividades que promoviam apenas o desenvolvimento do pensamento empírico. Cada número era ensinado para as crianças a partir de uma relação direta com a quantidade de objetos utilizados como referência, por exemplo, o número dois era correlacionado à imagem de duas maçãs etc. Damázio, Rosa e Soares (2011) afirmam que essa forma de ensinar o conceito de número é muito utilizada nas escolas brasileiras. Porém, é necessário superar essa concepção de ensino dos conceitos matemáticos, pois a ênfase nos aspectos sensoriais reduz os conceitos apenas aos aspectos empíricos, possibilitando apenas o desenvolvimento do pensamento empírico. 7

8 Com base nesses princípios o conceito de número é ensinado a partir da sequência linear (números naturais, números racionais, números inteiros, números irracionais e reais). O conceito de número concebido dessa forma parte dos casos particulares em direção ao universal. Em contrapartida, Vigotski (2000) propõe que o ensino dos conceitos, na idade escolar, deve seguir o caminho contrário, isto é, do geral para o particular. Isso implica que no ensino do conceito de número é um equívoco iniciar a partir dos números naturais, pois esse campo numérico é considerado um pré-conceito. Segundo Vigotski (2000, p. 269, tradução nossa), o pré-conceito é [...] a abstração do número a partir do objeto e a generalização das propriedades numéricas do objeto baseada nesta abstração. Nesse sentido, o ensino do conceito de número não pode se basear apenas nos números naturais, pois eles são apenas uma abstração do número a partir do objeto. Enquanto, o número real é um conceito propriamente dito, visto que ele é [...] a abstração partindo do número e a generalização de qualquer relação entre os números baseada nela (VIGOTSKI, 2000, p. 269, tradução nossa). Além disso, quanto mais particular for o campo numérico menos operações serão possíveis, por isso que há vários casos de impossibilidade das operações inversas a partir dos números naturais. Em contraposição, todas as operações fundamentais do cálculo são possíveis com base nos números reais. Em consonância com Vigotski (2000) e Davýdov (1982), o papel do ensino é possibilitar que a criança se aproprie dos conceitos científicos. Sendo assim, não faz sentido restringir o ensino do conceito de número apenas no campo numérico dos naturais, pois eles não são o conceito genuíno. Cabe à escola ensinar aquilo que a criança ainda não domina. Isso significa que a aprendizagem deve anteceder ao desenvolvimento. Com base nesses princípios, o ensino do conceito de número deve partir do campo numérico dos reais, uma vez que ele envolve os números naturais, os números racionais, os números irracionais e os números inteiros. Como ressalta Vigotski (2000, p. 216, tradução nossa) o conceito deve ser considerado a partir de um sistema, como uma [...] célula deve ser tomada junto com todas as ramificações, através do qual se entrelaça com o tecido geral. Sendo assim, Davýdov (1982, p. 431, tradução nossa) ressalta que o objetivo da matemática no ensino fundamental é criar nos alunos uma [...] uma concepção 8

9 circunstanciada e válida de número real a partir do conceito de grandeza. Os números reais e os números racionais são um caso particular de um objeto mais amplo: o conceito de grandeza. Conforme anunciado, a criança deve se apropriar das ideias de grandeza para em seguida compreender as suas manifestações particulares. Davýdov (1982, p. 434, tradução nossa) adverte que a criança é capaz de aprender as propriedades fundamentais das grandezas mesmo antes de compreender [...] as características numéricas dos objetos. Frente a essas considerações, o ensino de matemática não pode ficar restrito à recitação da sequência numérica e a contagem dos objetos correlacionando aos signos numéricos. Para o autor em questão, é necessário desenvolver as relações fundamentais da matemática, ou seja, as crianças devem analisar as figuras geométricas unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais, identificar as características de figuras e de objetos (cor, forma, tamanho e posição). Como pontua Davýdov (1982) na organização do ensino dos conceitos matemáticos deve haver uma inter-relação entre as significações aritméticas, algébricas e geométricas, a partir dos números reais destacando as ideias de grandeza. No sistema de ensino de Davýdov (1982) o número é trabalhado de forma contextualizada na reta numérica e as medidas podem não ser exatas. Enquanto, que nas concepções tradicionais os números são trabalhados com base em objetos soltos e há uma valorização dos aspectos empíricos. Davýdov (1987) na elaboração do seu sistema de ensino estabeleceu seis princípios, são eles: 1) os conceitos científicos devem ser ensinados considerando as condições de origem, ou seja, eles não podem ser compreendidos como conhecimentos prontos e acabados; 2) na apropriação dos conceitos científicos o professor deve priorizar o movimento de ascensão do abstrato ao concreto; 3) na organização do ensino dos conteúdos escolares é essencial encontrar uma unidade, no caso da matemática é a conexão geral é o estudo das grandezas; 4) as conexões numéricas devem ser representadas em modelos objetais, gráficos ou simbólicos; 5) é necessário desenvolver ações objetais para o estudo das propriedades dos objeto e 6) o foco do professor deve ser possibilitar que os alunos transformem, no devido tempo, as ações objetais em ações mentais. 9

10 Em síntese, Davýdov (1982, p , tradução nossa) deixa claro que os [...] alunos têm de estudar essa conexão do geral com o particular e singular, ou seja, operar com o conceito. O objetivo fundamental do ensino dos conceitos matemáticos é possibilitar que os alunos se apropriem das máximas conquistas e não apenas dos casos particulares. Na formação de um conceito sobre um objeto ou fenômeno é essencial analisar as características essenciais e não observar apenas as propriedades singulares e aparentes. Cedro, Rosa e Moraes (2010, p. 78) apontam que as limitações do pensamento empírico, no desenvolvimento da generalização e da apropriação dos conhecimentos científicos ficam evidentes, pois, ao unir os objetos e os fenômenos com termos aparentes, ele não consegue estabelecer as reais inter-relações que constituem o sistema integral e transitório dos fenômenos e dos objetos. Para promover a apropriação dos conhecimentos científicos não basta o aluno reconhecer as características externas dos objetos ou fenômenos, pois os conceitos são elaborados a partir das propriedades substanciais que não possuem necessariamente uma ligação com os aspectos externos. Em contrapartida, nas práticas de ensino que se fundamentam na teoria empírica observamos que os conceitos são aprendidos com base na observação dos traços comuns dos objetos ou fenômenos levantados a partir da percepção humana. Esse modelo de ensino desconsidera como ressalta Davýdov (1982) que os conceitos científicos são a fonte de desenvolvimento psíquico da criança. Destaca, também, que primeiro a criança tem que realizar ações para analisar as relações gerais dos objetos e dos fenômenos e para em seguida distinguir as características particulares. O foco do ensino dos conceitos matemáticos não pode ser a memorização das regras, dos métodos resolutivos dos problemas e a recitação da sequência numérica. A aprendizagem conceitual não é apenas uma habilidade mnemônica, ela envolve os processos de reflexão, síntese e análise. CONSIDERAÇÕES FINAIS Na organização do processo ensino-aprendizagem da matemática é de suma importância que o professor considere os pressupostos teóricos supracitados, pois se o 10

11 objetivo do professor é ensinar, por exemplo, o conceito de base dos sólidos geométricos, é fundamental que a criança compreenda de fato as propriedades essenciais que compõem esse conceito e não apenas memorize a fórmula. Os conceitos matemáticos devem ser apropriados como instrumentos do pensamento da criança. Considerar no ensino do conceito de número, como indicada Davýdov (1982), a inter-relação entre as significações aritméticas, geométricas e algébricas, com base no número real e nas ideias de grandeza é um caminho a ser perseguido a partir do primeiro ano do ensino fundamental. Por fim, o papel do professor é transformar a atividade de ensino em atividade de aprendizagem para o aluno. Isso significa que além de organizar os conhecimentos matemáticos de forma lógica, cabe a ele criar uma correspondência entre o objeto de ensino e as necessidades, os motivos e os desejos dos alunos. REFERÊNCIAS CEDRO, W. L.; MORAES, S. P. G.; ROSA, J. E. A formação do Pensamento Teórico em uma atividade de Ensino de Matemática. In: MOURA, M. O. (Org). A atividade pedagógica na teoria histórico-cultural. Brasília: Liber livro, 2010, p.135. CEDRO, W. L.; MORAES, S. P. G.; ROSA, J. E. As Particularidades do Pensamento empírico e do Pensamento teórico na Organização do Ensino. In: MOURA, M. O. (Org). A atividade pedagógica na teoria histórico-cultural. Brasília: Liber livro, 2010, p.67. DAVÝDOV, V.V. Tipos de generalización en la enseñanza. Havana: Pueblo y Educación, Análisis de los princípios didácticos de la escuela tradicional y posibles principios de enseñanza en el futuro próximo. In: SHUARE, M. La Psicologia evolutiva e pedagógica en la URSS: Antologia. Moscou: Progresso, p DAMAZIO, A; MORAES, S. P. G; SOARES, M. T. C. Conceito de número no sistema de ensino de Davydov. XIII CIAEM - IACME Conferência Interamericana de Educação Matemática, 2011, Recife. VYGOTSKI, L.S. Obras escogidas III. 2. Ed. Madrid: Centro de Publicaciones Del M.E.C. y Visor Distribuiciones,