INCERTEZA NA ESTIMATIVA DE PARÂMETROS PARA A GERAÇÃO DE VAZÕES SINTÉTICAS PELO MÉTODO DE MONTE CARLO

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1 INCERTEZA NA ESTIMATIVA DE PARÂMETROS PARA A GERAÇÃO DE VAZÕES SINTÉTICAS PELO MÉTODO DE MONTE CARLO Luiz Sérgio V. Nascimento 1 ; José Nilson B. Campos 2 ; Dyego G. Barcelos 2 & Ticiana M. C. Studart 2 Resumo Este trabalho foi desenvolvido com o objetivo analisar as incertezas envolvidas na estimativa dos parâmetros de um modelo de geração sintética de vazões, na sua resposta final. Para tanto, realizou-se uma comparação entre o Método dos Momentos e o Método da Máxima Verossimilhança na determinação dos parâmetros da distribuição Gama II, a ser utilizada na geração sintética de vazões pelo método de Monte Carlo. A comparação entre os métodos foi realizada por meio de uma estatística denominada Desvio. Observou-se que não existe viés entre os dois métodos de estimativa de parâmetros. Pode-se concluir ainda que, para reservatórios com elevados coeficientes de variação das vazões afluentes anuais, a utilização do Método dos Momentos na estimativa dos parâmetros da distribuição gera vazões superiores àquelas estimadas ao utilizar-se o Método da Máxima Verossimilhança Abstract This paper intends to analyze the uncertainty in the parameter estimation of a synthetic discharge generation model in its final stage. Therefore, it was made a comparison between the Method of Moments and Method of Maximum Likelihood in Gamma II distribution parameters estimation. This distribution is used to generate synthetic traces of discharge in Monte Carlo Simulation. Such comparison was made using a statistics named deviation. No bias was observed between the two methods for the parameters estimation. It could be concluded that the Method of the Moments generates bigger values of outflows than the Maximum Likelihood for reservoirs with high values of coefficients of variation of inflows. Palavras Chave Estimativa de Parâmetros, Simulação de Monte Carlo e Distribuição Gama. 1 Programa de Pós-Graduação em Hidráulica e Saneamento Escola de Engenharia de São Carlos/USP Av. Trabalhador Sãocarlense, 400 Centro São Carlos, São Paulo Brasil CEP: Fone (16) lsergio@sc.usp.br 2 Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental Universidade Federal do Ceará Campus do Pici Bloco 713 Fortaleza, Ceará Brasil CEP: Fone (85) Fax (85) s: nilson@ufc.br, dyegogaldino@hotmail.com e ticiana@ufc.br.

2 INTRODUÇÃO A modelagem matemática de sistemas hidrológicos pode ter suas incertezas classificadas, segundo VINCENS et. al. (1975) [1], em três tipos: as incertezas do tipo I, que são incertezas de difícil avaliação pois se referem ao desconhecimento do modelo hidrológico que rege o processo natural, as do tipo II, que são referentes a determinação dos parâmetros do modelo hidrológico escolhido e as do tipo III, que são inerentes ao processo natural. Normalmente se dispõe de poucos dados para a representação de processos hidrológicos e, em muitos casos, faz-se necessária a modelagem de tais fenômenos. Na maioria das vezes, a escolha de um modelo que represente um fenômeno hidrológico é baseada na experiência, nunca se sabendo ao certo a função que representa tal processo. A modelagem de fenômenos hidrológicos torna-se prejudicada pelas incertezas geradas durante o processo. O presente trabalho apresenta-se como uma ferramenta para quantificar as incertezas do tipo II na modelagem de vazões afluentes à um reservatório, com a comparação de dois métodos de estimação de parâmetros: o método dos momentos e o método da máxima verossimilhança. O método dos momentos nada mais é do que supor que os momentos da distribuição populacional coincidem com os da amostra, podendo-se assim, ao igualar os momentos de menor ordem, obter um sistema de equações que forneça as estimativas desejadas. Já o método da máxima verossimilhança consiste em adotar o parâmetro que maximize a função de verossimilhança correspondente ao resultado obtido da amostra. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA KUTTATHARMMAKUL et. al. (2001) [2] realizaram uma avaliação dos métodos de estimativa de parâmetros para populações com poucos dados, indicando o método da máxima verossimilhança como de melhor performance. NEGRÃO et. al. (2001) [3] avaliaram os métodos dos momentos, da máxima verossimilhança, média e zeros e análise de variância na estimação de parâmetros da distribuição beta-binomial, amplamente empregada em Fitossanidade, utilizando simulação de Monte Carlo. Segundo os autores, os estimadores obtidos pela análise de variância e pelo método da máxima verossimilhança foram os que apresentaram melhores propriedades conjuntamente. Os autores também afirmam que se observa a preferência de determinados autores da mesma área pelos mesmos métodos. ANDERSEN et. al. (1999) [4] avaliaram a eficiência do método dos momentos, utilizando também simulação de Monte Carlo. Segundo os autores, o método dos momentos aproxima-se do método da máxima verossimilhança para grandes amostras de dados.

3 NASCIMENTO et. al. (2003) [5] realizaram uma comparação direta entre os métodos dos momentos e da máxima verossimilhança, calculando o erro obtido por cada método de estimativa em relação aos parâmetros da população, para uma distribuição teórica Gama de dois parâmetros, através de uma estatística denominada ganho. O presente trabalho realizou uma abordagem diferente dos demais por avaliar a incerteza na estimativa dos parâmetros na resposta final do modelo, ou seja, na geração de vazões sintéticas, através de uma comparação entre os valores gerados com o método dos momentos e da máxima verossimilhança para a distribuição Gama de dois parâmetros. A distribuição Gama é amplamente usada na área de recursos hídricos. Para a obtenção das vazões sintéticas utilizou-se o método de Monte Carlos. O método de Monte Carlos considera uma distribuição de probabilidade teórica para representar um evento hidrológico e a posterior simulação de séries sintéticas, no caso séries de vazões afluentes. Para a conservação das características estatísticas da população faz-se necessária a estimação dos parâmetros da distribuição de probabilidade. Investigou-se a influência da incerteza do método de estimativa de parâmetros na determinação da vazão sintética a ser gerada. Os reservatórios escolhidos visaram cobrir a maior parte dos cenários encontrados no Estado do Ceará. METODOLOGIA Para a aplicação do método de Monte Carlo selecionou-se uma amostra de 44 reservatórios, todos localizados no estado do Ceará com capacidade variando de 6,43 hm 3 a 4.450,00 hm 3 (Tabela 1). Tabela 1 - Características dos reservatórios estudados. Nº Reservatório Capacidade Coeficiente de Deflúvio Médio (hm 3 ) Variação (hm 3 /ano) 1 Arneiroz 190,00 1, ,89 2 Atalho II 108,25 2,080 98,24 3 Aurora 873,00 1, ,80 4 Bastiões 136,70 1,450 69,45 5 Boa Viagem 47,00 1,380 28,88 6 Broco 17,60 1,450 4,59 7 Cachoeira 34,33 1,220 6,13 8 Canafístula 13,12 1,900 5,91 9 Canoas 69,25 1,490 19,31 10 Castanhão 4 450,00 1, ,50 11 Cipoada 17,25 1,550 32,25 12 Ema 10,39 1,9 9,65 13 Farias Brito 197,60 1,450 42,50 14 Favelas 30,00 1,610 32,38

4 15 Fogareiro 118,81 1, ,98 16 Goiatá 51,90 0,580 75,68 17 Ingazeiro 11,32 1,250 11,57 18 Joaquim Távora 23,66 1,900 16,13 19 Jucá 34,17 1,620 73,20 20 Lima Campos 64,30 1,110 24,78 21 Manoel Balbino 37,18 1,290 0,87 22 Monsenhor Tabosa 12,10 1, ,01 23 Munquém 47,64 1,450 54,52 24 Nobre 22,09 3,670 2,74 25 Olho D'água 21,00 1,460 5,49 26 Orós 1 956,26 1, ,05 27 Pedras Brancas 434,05 1, ,50 28 Poço da Pedra 50,00 1,510 46,09 29 Pombas 17,58 1,440 10,11 30 Prazeres 32,50 1,250 6,18 31 Puiu 24,50 1,620 37,41 32 Quixeramobim 54,00 1, ,35 33 Riacho dos Carneiros 37,18 1,280 3,15 34 Riacho dos Tanques 12,78 1,350 3,09 35 Riacho Verde 14,67 1,930 2,21 36 Rivaldo de Carvalho 6,43 1,450 12,34 37 Rosário 62, ,70 38 Santo Antônio de Russas 29, ,32 39 São José II 29, ,88 40 Tomas Osterne 28, ,34 41 Trapiá II 18, ,03 42 Trici 16, ,74 43 Trussu 263,00 1,290 73,28 44 Várzea do Boi 53,00 1,610 55,34 O Método de Monte Carlo utiliza uma distribuição de probabilidade teórica para a representação dos valores, no caso vazões anuais, serialmente independentes.. A distribuição gama de dois e três parâmetros é comumente usada para a representação das vazões anuais na região, assim como a distribuição lognormal. Segundo YEVJEVICH (1972) [6], as distribuições Gama e Lognormal de três parâmetros não possuem vantagens significativas quando comparadas com as respectivas distribuições com dois parâmetros, razão pela qual foi escolhida a função gama com dois parâmetros. A função densidade de probabilidade da distribuição Gama é dada por: f(x) = x β α 1 x.e, para x 0 α β. Γ(αα f(x) = 0, para x<0 (1) em que o parâmetro α é um parâmetro de forma e β um parâmetro de escala. A função gama é dada pela integral:

5 α = 1 x ( ) x. e dx 0 Γ α (2) esta função converge para valores de α<0. Para a estimativa dos parâmetros da distribuição pelo método dos momentos, o método resultou nas seguintes equações: X = αˆ.βˆ (3) 2 2 S = (4) αˆ.βˆ em que X e S 2 são a média e a variância, respectivamente, da amostra estudada. equações: lnαˆ. Para o método da máximo verossimilhança, os parâmetros α e β podem ser obtidos pelas Ψ(αˆ.) = ln(x/x ) (5) G X = αˆ.βˆ (6) em que X G é a média geométrica da amostra e Ψ(x) = dlnγlnγ(x) é a psi-função. Como as equações da máxima verossimilhança são de difícil resolução, utilizou-se uma aproximação proposta por GREENWOOD e DURAND (1960) [7], dada por: 2 0, , y 0, y αˆ = (7) y se 0 y 0,5772, αˆ 2 8, ,05995.y y = (8) 2 y.(17, , y + y ) se 0,5772 < y 17, 0 em que, y = lnx lnx 2 2 S = (9) αˆ.βˆ Segundo os autores, estas equações apresentam um erro máximo da ordem de 0,001% em relação à solução das equações do método convencional, não afetando o resultado final proposto neste trabalho. Para o cálculo das vazões regularizadas sintéticas utilizou-se a simulação da operação do reservatório, através do software SIMRES. Foram gerados 5000 anos de vazões para a obtenção da vazão de equilíbrio do reservatório, como recomendado por STUDART (2000) [8]. A simulação do reservatório foi realizada em uma escala de tempo mensal. Para a obtenção das vazões afluentes mensais aplicou-se o método dos fragmentos ao vetor de vazões anuais geradas. Este método encontra-se detalhado em SVANIDZE (1980) [9] e conforme descrito por ARAÚJO (1991) [10], produz bons resultados para o semi-árido nordestino.

6 Para a geração dos 5000 anos de vazões anuais utilizou-se o método de Monte Carlo, com uma distribuição de probabilidade teórica Gama de dois parâmetros, conforme exposto acima. Desvio nas Estimativas dos Parâmetros Optou-se por não comparar as vazões geradas sinteticamente com as obtidas com a série histórica devido ao estado de transiência dos reservatórios ao se utilizar a série histórica, em que o volume inicial tem grande influência na determinação da vazão regularizada. As vazões obtidas com as séries sintéticas correspondem às vazões de equilíbrio dos reservatórios. Para a comparação entre os métodos, utilizou-se o desvio das vazões geradas. Este desvio foi calculado de duas maneiras. Na primeira, denominada D 1, optou-se por uma comparação direta entre os valores de vazões obtidos, de acordo com a seguinte expressão individual: D Q Q MV MM 1 = (10) QMV em que: Q MV = Vazão sintética obtida com o método da máxima verossimilhança; Q MV = Vazão sintética obtida com o método dos momentos; O valor médio dos desvios nos dá uma noção da existência de viés na estimativa dos parâmetros. Para uma quantificação dos valores dos desvios, computou-se a média do módulo dos mesmos, que expressa a variabilidade das estimativas individuais, analisando sua consistência simples. Em alguns casos, os valores obtidos para as vazões regularizadas apresentaram-se muito pequenos, como pode ser verificado na Tabela 3. Para esse valores de vazões, pequenas diferenças podem gerar grandes desvios, em decorrência de um problema de escala. Com o objetivo de superar o problema de escala exposto acima, o desvio foi calculado de uma segunda maneira D 2, em relação ao deflúvio médio anual ao reservatório que, segundo parametrização utilizada por CAMPOS (1996) [11], representa a diferença entre os f M s das séries. O desvio D 2 foi definido como: D 2 QMV QMM = = f MMV - f MMM (11) μ em que: μ = Deflúvio médio anual. Da mesma forma que foi tratado o desvio D 1, foram calculados a média dos desvios D 2, bem como a média de seus módulos.

7 RESULTADOS Como forma de sintetizar a apresentação dos resultados obtidos, os mesmo serão apresentados em forma de tabelas e gráficos. Os parâmetros da distribuição Gama obtidos com o método dos momentos e com o método da máxima verossimilhança podem ser visualizados na Tabela 2. Como forma de comparação entre os parâmetros da distribuição Gama gerados pelos dois métodos, computou-se, da mesma forma que na estimativa das vazões regularizadas, o desvio D 1 destes parâmetros. Esses desvios podem ser visualizados em forma de gráfico (Figura 1). Tabela 2 - Parâmetros da distribuição Gama para os dois métodos de estimativa de parâmetros. Reservatório Método dos Momentos Método da Máxima Verossimilhança α β α β Arneiroz Atalho II Aurora Bastiões Boa Viagem Broco Cachoeira Canafístula Canoas Castanhão Cipoada Ema Farias Brito Favelas Fogareiro Goiata Ingazeiro Joquim Távora Jucá Lima Campos Manoel Balbino Monsenhor Tabosa Munquem Nobre Olho Dágua Orós Pedras Brancas Poço da Pedra Pombas Prazeres Puiu Quixeramobim Riacho dos Carneiros Riacho dos Tanques

8 Riacho Verde Rivaldo de Carvalho Rosário Santo Antônio de Russas São José II Tomas Osterne Trapiá II Trici Trussu Varzea do Boi y = x x x R 2 = D1 ( ) D 1 (α) Figura 1 - Desvio nas estimativas dos parâmetros da distribuição Gama Da maneira como D 1 foi definido, valores positivos mostram que as estimativas obtidas pelo método dos momentos são maiores que as obtidas pelo método da máxima verossimilhança. Para valores negativos de D 1, ocorre o inverso. Vale ressaltar que como os valores de vazão são sempre positivos, os parâmetros da distribuição Gama também serão sempre positivos, o que pode ser verificado com as equações de estimação de parâmetros expostas anteriormente. De acordo com a figura 1, observa-se que a medida que o método dos momentos fornece uma estimativa superior que o método da máxima verossimilhança para o parâmetro α, ocorre o inverso para o parâmetro β, em que o método dos momentos fornece uma estimativa inferior (valores de D 1

9 negativos). Os valores dos desvios dos dois métodos podem ser modelados por uma função do terceiro grau convexa, o que reforça a análise feita acima. Os valores obtidos para as vazões regularizadas com garantias de regularização de 80, 90, 85 e 98% para os dois métodos de estimação de parâmetros podem ser visualizados na tabela a seguir (Tabela 3). Tabela 3 - Vazões regularizadas obtidas com os dois métodos de estimação de parâmetros. Reservatório CV Vazão Regularizada (Método dos Momentos) Vazão Regularizada (Máxima Verossimilhança) Garantia 80% 90% 95% 98% 80% 90% 95% 98% Arneiroz Atalho II Aurora Bastiões Boa Viagem Broco Cachoeira Canafístula Canoas Castanhão Castelo Cipoada Ema Farias Brito Favelas Fogareiro Goiata Ingazeiro Joquim Távora Jucá Lima Campos Manoel Balbino Monsenhor Tabosa Munquem Nobre Olho Dágua Orós Pedras Brancas Poço da Pedra Pombas Prazeres Puiu Quixeramobim Riacho dos Carneiros Riacho dos Tanques Riacho Verde

10 Rivaldo de Carvalho Rosário Santo Antônio de Russas São José II Tomas Osterne Trapiá II Trici Trussu Varzea do Boi Como forma de verificar a sensibilidade da estimativa dos parâmetros na vazão regularizada, plotou-se os desvios D 1 obtidos para as vazões regularizadas com os desvios D 1 obtidos para os parâmetros α e β da distribuição D1 (QG%) D 1 (α) G = 80% G = 90% G = 95% G = 98% Figura 2 - Desvios D 1 na estimativa das vazões regularizadas pelos desvios D 1 do parâmetro α.

11 D1 (QG%) D 1 (β) G = 80% G = 90% G = 95% G = 98% Figura 3 - Desvios D 1 na estimativa das vazões regularizadas pelos desvios D 1 do parâmetro β. Observou-se que, para o parâmetro α, valores de desvios negativos acarretam desvios positivos nas vazões regularizadas. Para o parâmetro β ocorre o contrário. Isso equivale dizer que quando o método da máxima verossimilhança estiva valores menores para α que o método dos momentos, na estimativa das vazões regularizadas os valores estimados com o método da máxima verossimilhança produz valores superiores. Para o parâmetro β ocorre uma correspondência direta, valores superiores estimados para o parâmetro geram vazões regularizadas superiores. Os gráficos acima mostram que os desvios gerados nas vazões regularizadas aumentam, em valor absoluto, com a garantia de regularização. O valor médio e o desvio padrão de D 2 bem como a média e o desvio padrão de seus módulos para as garantias simuladas podem ser visualizados em forma de tabela a seguir (Tabela 4). Tabela 4 - Média e desvio padrão dos desvios D 2. Garantia (%) Média D % 0.92% 0.89% 0.49% Desvio D % 6.63% 6.16% 5.37% Média D % 5.23% 5.00% 4.22% Desvio D % 4.11% 3.62% 3.30%

12 CONCLUSÕES Um de escala é verificado na estatística D 1, que representa uma comparação direta entre os métodos. Devido a este problema, pequenos valores de vazão acarretam grandes desvios, prejudicando uma análise da consistência simples dos estimadores. Por essa razão optou-se realizar este tipo de análise em relação à estatística D 2. Uma avaliação da média e do desvio padrão dos desvios D 2 mostra que não há viés entre os métodos de estimativa de parâmetros. Uma quantificação da média dos desvios mostra que para esta estatística os métodos não apresentam grandes afastamentos entre os métodos. Observou-se que o método dos momentos tende a estimar valores para o parâmetro α menores que o método da máxima verossimilhança e valores para o parâmetro β valores maiores, o que pode ser observado na Figura 1. De acordo com as figuras 2 e 3, observa-se que valores positivos de D 1 para o parâmetro a produzes desvios D 1 negativos para as estimativas das vazões regularizadas, e vice-versa. Já para o parâmetro b ocorre o inverso, acontecendo uma correspondência entre os sinais dos desvios. Face ao exposto, conclui-se que para séries que possuem um coeficiente de variação elevado, o método dos momentos tende a produzir estimativas superiores ao método da máxima verossimilhança. Isto pode ser verificado na relação existente entre os desvios do parâmetro b, muito sensível ao desvio padrão, e os desvios obtidos para as vazões regularizadas. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] VINCENS, G.J., I. RODRIGUES-ITURBE E J.C. SHAAKE. (1975). A Bayesian Framework for the use of Regional Information in Hidrology. Res., 11(3). p [2] KUTTATHARMMAKUL, S., MASSART, D.L. E SMEYERS-VERBEK, J. (2001). Comparison of methods for the estimation of statistical parameters of censored data. Analytica Chimica Acta. p [3] NEGRÃO, I. O., AQUINO, L. H. E BEARZOTI, E. (2001). Avaliação de Quatro Métodos de Estimação dos Parâmetros da Distribuição Beta-Binamial pela Simulação de Monte Carlo. Ciência Agrotécnicas, Lavras, v.25, n.6, p , nov/dez. [4] ANDERSEN, T.G., CHUNG, H.J. E SORENSEN, B.E. (1999). Efficient method of moments estimation of a stochastic volatility model: A Monte Carlo study, Journal of Econometrics 91. p [5] NASCIMENTO, L.S.V., CAMPOS, J.N.B. e STUDART, T.M.C (2003). Análise da Eficiência dos Métodos dos Momentos e da Máxima Verossimilhança na Estimativa de Parâmetros

13 da Distribuição Gama II: Uma Abordagem Probabilística. In: XV Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos, 2003, Curitiba. XV Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. Porto Alegre: ABRH. [6] YEVJEVICH, V. (1972). Probability and Statistics in Hydrology, Fort Collins: Water Resources Publications. [7] GREENWOOD, J. A. e DURAND, D. (1960). Aids for Fitting the Gamma Distribution by Maximum Likelihood. Technometrics 2(1): [8] STUDART, T.M.C. (2000). Análise de Incertezas na Determinação de Vazões Regularizadas em Climas Semi-Áridos. Fortaleza, Universidade Federal do Ceará. (Tese de Doutorado). [9] ARAÚJO, J.K. (1991). Métodos dos Fragmentos Aplicados a Rios Intermitentes: Avaliação dos Erros Introduzidos no Cálculo da Disponibilidade de Reservatórios. Fortaleza, Universidade Federal do Ceará. (Dissertação de Mestrado). [10] SVANIDZE, G. G. (1980). Mathematical Modeling of Hydrology Series. Water Resources Publications, Fort Collins, Colorado, USA.