Da Composição e da Decomposição de Figuras Planas à Construção do Conceito de Área: um estudo por meio do Apprenti Géomètre

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1 Da Composição e da Decomposição de Figuras Planas à Construção do Conceito de Área: um estudo por meio do Apprenti Géomètre Anderson Douglas Pereira Rodrigues da Silva 1 GD 2 Educação Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental Resumo do trabalho. Pretendemos neste artigo trazer algumas considerações sobre uma pesquisa de mestrado em andamento, com o foco voltado à construção do conceito de área enquanto grandeza geométrica a partir da composição e decomposição de figuras planas. Concentramo-nos neste artigo em apresentar o Apprenti Géomètre 2 2 (AG 2) um software de Geometria Dinâmica que tem como característica a possibilidade de compor, decompor, justapor, sobrepor e fundir figuras desenhadas em sua interface. A metodologia da pesquisa ainda encontra-se em fase de definição, porém trazemos no tópico de aspectos metodológicos um breve comentário sobre o que visamos realizar. Como base teórica, utilizamos os estudos desenvolvidos por Régine Douady e Marie-Jeanne Perrin-Glorian, que propõem uma abordagem do conceito de área como uma grandeza autônoma, o que corresponde a distinguir no ensino da área de figuras planas três quadros: o geométrico, o das grandezas e o numérico. Palavras-chave: Grandeza Geométrica. Área. Geometria Dinâmica. 1. Introdução Pesquisas atuais enfatizam a relevância da utilização de softwares de Geometria Dinâmica por professores da Educação Básica ao Ensino Superior como ferramenta para a aprendizagem de diversos conteúdos de matemática. Fazendo um levantamento nos anais de congressos de Educação Matemática nacionais e internacionais, analisamos diversos trabalhos que apresentam variados softwares de 1 Mestrando do Programa de Pós Graduação em Educação Matemática e Tecnológica - EDUMATEC/UFPE, anderdouglasprs@gmail.com. Orientadora: Profª Drª Paula Moreira Baltar Bellemain. 2 Pode ser traduzido por Aprendiz de Geometria, mas escolhemos utilizar nome do software na sua língua original.

2 Geometria Dinâmica como: o GeoGebra, o Cabri-Géomètre, o Régua e Compasso, o Tabulae entre outros, que são utilizados como ferramentas importantes nas aulas de matemática. Percebemos que tais softwares são apresentados nessas pesquisas com o objetivo de contribuir com o processo de ensino e aprendizagem da geometria, da álgebra etc. Porém não encontramos nenhum trabalho voltado para o uso de software de Geometria Dinâmica para favorecer a construção do conceito de área enquanto grandeza geométrica e que apresentasse em seu menu ferramentas específicas de composição, decomposição, justaposição, rotação, translação e reflexão de figuras. Nesta pesquisa expomos o Apprenti Géomètre 2 um software de Geometria Dinâmica desenvolvido pelo Centre de Recherche sur l Enseignement des Mathématiques (CREM) 3 que tem como característica principal a praticidade de trabalhar com composição e decomposição de figuras planas. O texto está organizado em tópicos. A introdução como primeiro, o segundo apresenta a fundamentação teórica apoiada nas pesquisas de Douady e Perrin-Glorian (1989) sobre área como grandeza geométrica, no terceiro apresentamos os objetivos da pesquisa. No quarto fazemos uma breve introdução sobre Geometria Dinâmica com subsequente apresentação da interface do Apprenti Géomètre e os principais menus que serão utilizados nas atividades propostas aos sujeitos da pesquisa. O quinto aborda os primeiros elementos dos aspectos metodológicos. E por fim, as referências. Iniciamos esta pesquisa em março de 2014, portanto, o projeto sequer foi qualificado. 2. Fundamentação Teórica 2.1 Área enquanto grandeza geométrica A proposta de abordar a área como uma grandeza autônoma apoia-se nas pesquisas desenvolvidas por Régine Douady e Marie-Jeanne Perrin-Glorian (1989). Considerar área como grandeza corresponde a distinguir três quadros: o geométrico, o das grandezas e o numérico. As figuras pertencem ao domínio geométrico; a área é elemento do domínio das 3 Centre de Recherche sur l Enseignement des Mathématiques (CREM) é um grupo de pesquisa responsável pelo projeto de elaboração do Apprenti Géomètre composto pelos seguintes integrantes: Michel Ballieu, Marie- France Guissard, Guy Noël, Nicolas Rouche et Marie-Françoise Van Troeye. Este Centro está localizado na 5 rue Émile Vandervelde, B-1400 Nivelles, Belgique.

3 grandezas; e as medidas de área são números reais positivos, elementos do domínio numérico. Esta abordagem de área como grandeza vem sendo utilizada por outras pesquisas inclusive no Brasil como Bellemain e Lima (2002), Lima e Bellemain (2010) e Pessoa (2010), entre outros. Esse modelo pode ser representado pelo seguinte esquema: Figura :Jogo dos Quadros Fonte: Adaptado de Lima e Bellemain (2002, p.44) A partir desse modelo, considerar área enquanto grandeza trata-se de distinguir área e figura (pois figuras diferentes podem possuir a mesma área) e área e número (pois se medirmos a área de uma figura com diferentes unidades, obteremos números diferentes para expressar a medida de área que obviamente não se altera). Na distinção entre figura e área os procedimentos de decomposição e recomposição tem um lugar central, pois permite ao aluno elaborar os primeiros significados do termo área como o tanto de superfície ocupado pelas figuras. Carvalho e Franchi (1992, p. 24). Observamos nos estudos de Douady e Perrin-Glorian (1989) que O conceito de área enquanto grandeza permite aos alunos estabelecerem relações necessárias entre os domínios geométricos e numéricos. A pesquisa desenvolvida pelo CREM (2005) relata que a maioria dos estudantes da comunidade francófona na Bélgica chega à classe cinquième primaire 4 conhecendo as fórmulas de área, para o quadrado e retângulo e às vezes para o triângulo, entretanto essas fórmulas se encontram muito instáveis. 4 Crianças de 8 a 12 anos.

4 3. Objetivos 3.1 Objetivo geral Investigar a contribuição do software Apprenti Géomètre 2 na construção do conceito de área como grandeza autônoma por alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental. 3.2 Objetivos específicos Identificar as características e funcionalidades do software que favorecem a construção da ideia de área como uma grandeza. Verificar os aportes e as limitações do software na resolução de problemas que envolvem área como grandeza. Investigar a influência do uso do Apprenti Géomètre 2 na perspectiva da distinção e articulação entre os domínios geométrico, numérico e das grandezas por alunos do 6º ano o ensino fundamental 4.Geometria Dinâmica O uso dos softwares de Geometria Dinâmica está cada vez mais presente nas aulas de matemática como relatamos anteriormente. Diversas pesquisas como Gobbi (2012), Refatti e Bisognin (2013), entre outros autores mostram resultados positivos quando se trata do uso desses softwares como ferramenta para a aprendizagem de conteúdos matemáticos. Aqui apresentaremos o que caracteriza um software de Geometria Dinâmica e o que os diferencia dos demais. Os software de Geometria Dinâmica (GD) segundo Bellemain (2004) permitem a exploração de figuras geométricas pelo deslocamento contínuo, com o mouse, de elementos constitutivos dessa figura. Para Bellemain (2001), a ideia de figura dinâmica permite considerar e conceber uma representação de objetos matemáticos abstratos em várias configurações, podendo modificar as posições relativas do objeto. O mesmo autor ainda afirma que o aspecto dinâmico aparece na continuidade do deslocamento dos elementos de um desenho para mudar de configuração, sendo esses elementos livres ou parcialmente livres. Nesse sentido, os objetos geométricos são compostos por objetos primitivos que se relacionam por propriedades geométricas, e não atrelados à posição que ocupam no plano ou no espaço. O dinamismo presente nesses programas permite a construção de figuras geométricas em sua interface, de forma que possam ser arrastadas em seus vértices e suas propriedades sejam preservadas.

5 A figura 2 mostra a construção de um quadrado, o qual é alterado por meio do arrastar de um dos seus vértices. As propriedades inerentes a sua construção permanecem invariantes (ângulos internos iguais a 90º e lados com mesmas medidas), porém aquelas das quais a escolha da posição do vértice depende se altera. Figura 2- Construção da representação de um quadrado no Apprenti Géomètre 2 Fonte: Elaborada pelo autor. 4.1 Indícios quanto à origem da Geometria dinâmica Os primeiros indícios da denominada GD não são tão recentes quanto os software que a implementam, de acordo com Bellemain: Ao longo dos séculos, inúmeros matemáticos imaginam figuras dinâmicas para resolver problemas geométricos. Em geral, o movimento da figura geométrica era simulado a partir de representações estáticas [...] e servia, sobretudo, para explicar um fenômeno geométrico. Em certos casos, chegaram a descrever e, por vezes, construir sistemas mecânicos, envolvendo propriedades de Geometria, para representar certas curvas e resolver problemas da Geometria. (BELLEMAIN, 2004, p. 2) Apesar disso, a geometria dinâmica como conceito só foi explicitada com o desenvolvimento de softwares como o Cabri-géomètre ou Geometer Sketchpad. Com o passar dos anos, diversos outros softwares foram desenvolvidos com implementação da GD, com o objetivo de ultrapassar as limitações das formas estáticas dos desenhos em papel lápis e facilitar a visualização e exploração de propriedades geométricas (BELLEMAIN, 2000) Apprenti Géomètre Escolhemos utilizar nesta pesquisa o software de geometria Apprenti Géomètre, o qual possibilita trazer diretamente para sua interface formas geométricas mais comuns como: triângulos, quadriláteros, etc., como ponto de partida na exploração dos estudantes. Nos demais softwares de GD, para usar esse tipo de ferramenta, o professor precisa dominar o

6 software na perspectiva de planejamento, usualmente presente como configuração do ambiente, criação de macros e alteração do menu, mas o acesso, quando existe, não é direto. A primeira versão do Apprenti Gèométre foi estabelecida por volta do ano de 2003 para atender uma proposta do Ministro da Educação Básica da Comunidade Francesa da Bélgica Sr. Jean-Marc Nollet, cujo objetivo era fornecer um software de matemática para crianças de 8 a 12 anos que lhes permitisse realizar atividades de geometria difíceis de resolver em um ambiente tradicional. Esta tarefa foi uma política que visou à integração das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) nas atividades escolares da comunidade francófona na Bélgica e foi confiado ao Centre de Recherche sur l Enseignement des Mathématiques a responsabilidade de projetar o referido software e a uma empresa privada (Abaque, de Bruxelles), para o desenvolvimento do mesmo que em menos de um ano concluiu o projeto. Este software tem como característica principal a possibilidade de arrastar, girar, compor, decompor, fundir, duplicar, diferentes figuras geométricas e permite trabalhar em matemática elementar não só a geometria euclidiana, mas também variáveis, frações, medições ou aritmética. A primeira versão apresentava apenas duas formas de menus: um kit padrão mantendo formas geométricas não deformáveis que podem ser movidas, decompostas, mescladas e um kit free com ferramentas mais avançadas, incluindo a capacidade de criar diversas figuras geométricas que podem ser modificas à vontade. Figura 3- Janela de entrada da versão 1 do Apprenti Géomètre Fonte: CREM (2003, p.17)

7 Figura 4- Interface da versão 1 do Apprenti Géomètre Fonte: CREM (2003, p. 18) A figura anterior mostra a interface da primeira versão do Apprenti Géomètre com formas geométricas pré-definidas, nas figuras abaixo mostraremos os menus do "kit padrão" e do "kit free": Figura 5- Kit padrão Figura 6- Kit free Fonte: CREM (2003) Fonte: CREM (2003) A primeira versão apresentava essas duas opções, ao abrir a janela do software ou escolhíamos um kit ou outro. A figura 5 mostra o menu do kit padrão com a família do triângulo equilátero. Para utilizar as outras opções é necessário apenas um clique no nome das figuras e em seguida na interface do software que já aparecem pré-definidas. Na figura 6 observamos o kit free, com algumas figuras geométricas, ao clicar nessas figuras e depois clicar no espaço destinado à construção, o aluno obterá as figuras. Por exemplo, para obter a construção de um triângulo qualquer, ele precisa saber que para formar um triângulo é preciso três pontos não colineares, assim ele precisaria clicar três vezes e ir arrastando o mouse até obter a representação de um triângulo. As opções de salvar, colorir, decompor, refletir, dividir, fundir, entre outras opções de menu, já existiam nessa primeira versão, que não se encontra mais disponível no site do CREM. Todas as informações com relação a essa versão estão presentes em uma das publicações do CREM (2003) que tem como título: Apprenti Géomètre-Grandeurs, Fractions et Mesures.

8 Para a realização da pesquisa optamos por utilizar o Apprenti Géomètre 2, um modelo aperfeiçoado da primeira versão, que incorpora ferramentas mais avançadas e aumenta a possibilidade de utilização das transformações geométricas do plano (Translação, rotações, reflexões (ou simetria) axial e homotetias. Encontra-se acessível em < > é gratuito e está disponível para download para computadores com o sistema operacional Windows, Mac OSX, Mac 0S9 e Linux. No site encontramos atividades pré-definidas 5 com o uso do Apprenti Géomètre e utilizadas nas pesquisas desenvolvidas pelo CREM, um manual de utilização e quatro publicações referentes ao uso do software para o ensino e aprendizagem da matemática. Esta segunda versão do AG2 apresenta em sua janela de entrada, cinco opções de menu: A, B, C, AB e AC, duas opções de idiomas Francês ou Inglês 6, o usuário também terá que se identificar como professor na opção Enseignant ou como aluno Élève, sendo que nesta última além do aluno escolher a opção que lhe cabe terá que escrever seu nome, porque quando salvar a atividade realizada o professor terá como identifica-lo. Esse menu inicial, de fato, incorpora a etapa inicial, essencial à prática docente o planejamento. Como opção de Professor, ele traça atividades iniciais, define menus para deixar acessível e decide as ferramentas que estarão disponíveis àquela atividade do aluno. Outra questão importante que vale a pena ressaltar é que o AG 2, disponibiliza ao professor um histórico das ações dos estudantes ao resolver a atividade. Em uma pasta criada nos programas de arquivo do computador ficam armazenados os históricos do aluno. Ao abrir o arquivo com a resposta do aluno o professor tem a opção Lire un historique, na qual conseguirá verificar os movimentos utilizados pelo aluno durante a resolução das atividades propostas. Ao abrir o software a janela de entrada apresenta essas cinco opções: 5 Atividades desenvolvidas pelo CREM com o objetivo de fazer um estudo com alunos da Comunidade Francesa na Bélgica por meio do Apprenti Géomètre. 6 O Apprenti Géomètre está em processo de tradução de seus menus para língua Portuguesa para facilitar o uso pelos alunos brasileiros, sujeitos da pesquisa.

9 Figura 7- Opção de Menu do Apprenti Géomètre 2 (Tela inicial) Fonte: Elaborada pelo autor. Ao clicarmos em cada uma dessas opções nos apresentará interfaces diferentes de acordo com o que traz cada menu, apenas as interfaces dos menus AB e AC são iguais por apresentarem as junções dos referidos menus. O menu A é especialmente projetado para estudantes com idade entre 8 a 12 anos. Neste menu, o aluno tem acesso a famílias de formas geométricas pré-programadas, os alunos precisam apenas clicar em uma das formas apresentadas escolher uma figura e em seguida clicar na interface do software, assim ele aprende a montar usando o movimento (de rotação, translação e reflexão...). No menu B está incluso a opção de criar figuras geométricas planas que podem ser modificadas por meio de seus vértices. Estas figuras são agrupadas em famílias (a família de triângulos, quadriláteros, etc.). O menu C oferece objetos como linhas, semi-retas, setores. Ele também oferece transformações adicionais (dilatações e semelhanças). Os menus AB e AC são junções dos menus anteriores. Por uma questão de espaço e para atender ao objetivo deste artigo, apresentaremos a interface do Apprenti Géomètre 2, após clicarmos na opção Enseignant e em seguida no menu AC que apresenta a junção do Menu A + C, essa opção será relevante pois disponibiliza todas as ferramentas que serão necessárias para a resolução das atividades que serão propostas.

10 Figura 8- Apresentação da interface do Apprenti Géomètre 2 Fonte: Elaborada pelo autor. Uma das principais diferenças do Apprenti Géomètre 2 em relação aos demais softwares de Geometria Dinâmica é a praticidade de se trabalhar com a decomposição de figuras planas. Para decompor uma figura basta clicar no menu opération (operação), em seguida découper (decompor), após esses cliques deve se selecionar a figura anteriormente escolhida nas opções Formes libres (Formas livres) ou Formes Standar (Formas prédefinidas) e a partir de seus pontos ir arrastando com o mouse até outro ponto, assim poderá decompor a figura. 9 - Processo par a d ecomposição de um retângulo no AG 2. Fonte: Elaborada pelo autor. A possibilidade de explorar de uma maneira original a composição e decomposição de figuras foi o que motivou nossa escolha por este software, uma vez que na construção da noção de área como uma grandeza esse aspecto da invariância da área por decomposição e recomposição é central.

11 Metodologia O nosso trabalho de pesquisa está em processo de definição quanto à metodologia a ser utilizada. Vamos apenas fazer uma síntese das ideias que foram surgindo para o desenvolvimento da pesquisa. Pretendemos desenvolver este trabalho em um laboratório de informática de uma escola de rede pública municipal, com alunos do 6º ano. Optamos por este ano porque, de acordo com o Currículo de Matemática para o Ensino Fundamental Anos Finais, uma das Expectativas de Aprendizagem, dos Parâmetros Curriculares do Estado de Pernambuco (PCPE), referente ao eixo Grandezas e Medidas é que o aluno deve resolver e elaborar problemas envolvendo as ideias de perímetro e área sem o emprego de fórmulas (PERNAMBUCO, 2012). Quanto à organização do ambiente pretendemos agrupar os alunos em duplas, para resolverem juntos um conjunto de atividades de comparação de área de figuras planas e produção de figuras com características dadas quanto a sua área. Essas atividades deverão ser resolvidas por meio do Apprenti Géomètre 2 e as respostas devem ser registradas e justificadas nas fichas dos enunciados das atividades. Para saber quais procedimentos os alunos utilizaram para resolver as questões propostas na sequência, será filmada a interface do computador, para isto utilizaremos o a tube catcher que permite fazer a gravação da interface com o áudio de forma simultânea. Para fundamentar a escolha desse software também foram analisados outros softwares que apresentavam as mesmas característica como ocam e o Easy Screen Recorder e percebemos que em certos momentos esses software travam a interface do computador, dificultando o acesso ao software Apprenti Géomètre 2, podendo ocasionar uma dificuldade para o pesquisador em captar os dados de forma mais precisa e impedindo que os alunos continuem a resolver a atividade proposta. A atividade será conduzida pelo pesquisador, porém pretendemos pedir a contribuição de integrantes do LEMATEC (Laboratório de Ensino da Matemática e Tecnologia) para auxiliar durante a aplicação da sequência, ajudando os alunos a gravarem as respostas da atividade nos software de captação da imagem e do som, assim como em salvar as atividades nas pastas dos alunos após a resolução de cada atividade, assim o pesquisador terá mais tempo para observar as duplas.

12 Anteriormente à aplicação das atividades, os softwares que serão utilizados na pesquisa já estarão devidamente instalados e testados nos computadores do laboratório. Algumas atividades foram pré-selecionadas e passarão por uma análise teórica para definir o design da sequência de atividades que propicie a construção da concepção de área como grandeza autônoma. Referências BELLEMAIN, F. A transposição informática na engenharia de softwares educativos. Livro de resumos SIPEM I Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. Anais... Serra Negra SP, BELLEMAIN, F. Geometria dinâmica: diferentes implementações, papel da manipulação direta e usos na aprendizagem, 15º Simpósio Nacional de Geometria Descritiva e Desenho técnico e IV International Conference on Graphics Engineering for Arts and Design, Anais... São Paulo, Brasil BELLEMAIN, F.; CORREIA, M. Geometria Dinâmica: Fundamentos Epistemológicos. 4º Congresso Nacional y 1ro. Internacional. Anais... Rosario, Argentina, BELLEMAIN, P.; LIMA, P. Um estudo da noção de grandeza e implicações no Ensino Fundamental. Ed. Geral: John A. Fossa. Natal: SBH Mata CREM. Apprenti Géomètre. Grandeurs, Fractions et Mesures. Centre de Recherche sur l Enseignement des Mathématiques, Nivelles, CREM. Apprenti Géomètre. Un outil de différenciation des apprentissages en mathématique. Centre de Recherche sur l Enseignement des Mathématiques, Nivelles, CREM. Apprenti Géomètre. Impact du logiciel «Apprenti Géomètre» sur certains apprentissages. Tome 2. Nivelles, Bélgica, Ministère de la Communauté Française, DOUADY, R.; PERRIN-GLORIAN, M. J. Un processus d apprentissage du concept d aire de surface plane. Educational Studies in Mathematics.v.20, n.4, p , FRANCHI, Anna et al. Geometria no 1º Grau: da composição e da decomposição de figuras as fórmulas de área. São Paulo: CLR Balieiro, (Coleção ensinandoaprendendo, aprendendo-ensinando; 7).GOBBI, J.A. Do livro didático ao software geogebra: a engenharia didática no estudo de figuras planas na 6ª série/7º ano do ensino fundamental f.. Dissertação (Curso de Mestrado profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática)-Centro Universitário Franciscano (UNIFRA), Santa Maria, Rio Grande do Sul. LIMA, P. ; BELLEMAIN, P. Grandezas e Medidas. In CARVALHO, J.B.P.F. Coleção Explorando o Ensino: Matemática, v. 17. Brasília, MEC, 2010, p

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