A INFLUÊNCIA DAS VARIÁVEIS DIDÁTICAS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM ÁREA E PERÍMETRO

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1 A INFLUÊNCIA DAS VARIÁVEIS DIDÁTICAS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM ÁREA E PERÍMETRO Emersson Rodrigues dos Santos Secretária de Educação Estado de Pernambuco emersson_rodrigues@yahoo.com.br Hortencia Tavares de Almeida Albuquerque Secretária de Educação de Vitória de Sto Antão hortencia_tavares@hotmail.com Luciana Ferreira dos Santos Universidade Federal de Pernambuco - UFPE lfsantos20@gmail.com.br Manuella Barbosa Alves Secretária de Educação Estado de Pernambuco Manualves20@hotmail.com Resumo: No intuito de diagnosticar o desempenho dos alunos do 9 ano de uma escola pública da zona da mata pernambucana, com respeito aos conhecimentos referentes às grandezas geométricas: área e perímetro. Desenvolvemos um estudo diagnostico no qual, foram propostos dois tipos de protocolos que se diferenciavam pela mudança da variável didática: posição da figura. Para análise dos resultados apoiamos-nos na teoria de Douady e Perrin-Glorian (1989), que consideram área e perímetro como pertencente ao campo das grandezas geométricas, juntamente com estudiosos como Baltar (1996), Bellemain (2000), Bellemain e Lima (2002), Santos (2007) entre outros. E na noção de variável didática proposta na teoria de Guy Brosseau (2008). Em nossas análises, encontramos uma diferença no desempenho dos alunos quando mudamos a variável didática (alteramos a posição da figura), no entanto, para nossa surpresa, em alguns momentos os índices eram mais positivos nas figuras não prototípicas. Palavras-chave: Área; Perímetro; Variável didática. PONTO DE PARTIDA É comum em algumas práticas escolares a consideração dos conteúdos área e perímetro como pertencente ao campo da geometria e não ao campo das grandezas geométricas, conforme Douady & Perrin-Glorian (1989). Do mesmo modo, os Parâmetros Curriculares Nacionais consideram o campo das grandezas geométricas como: Anais do 1

2 Um articulador entre os diversos conteúdos matemáticos, por proporcionar um vasto campo de problemas que permitem consolidar e ampliar a noção de números e possibilitar a aplicação de noções geométricas. (BRASIL, 1997, p.85). Embora o PCN de matemática, destaque tais aspectos, pesquisadores como Baltar (1996), Bellemain (2000), Bellemain e Lima (2002), Facco e Almouloud (2004), Santos (2005), Teles (2007), Fonseca et al. (2007) e Melo e Bellemain (2008) constatam o pouco conhecimento a respeito deste bloco, principalmente, no que se refere aos conceitos de área e perímetro, tanto por parte de alguns professores e por conseqüência vários alunos. No entanto, Santos (2007) em uma visão otimista aponta que existe uma tendência de resgate da importância do campo da geometria e o das grandezas para formação dos alunos, embora, ainda persistam lacunas herdadas das dificuldades intrínsecas a este campo, que são amplificadas pelo descaso com que foram tratadas na escola durante um longo período. As pesquisadoras Douady & Perrin-Glorian (1989) em seus estudos evidenciaram o amálgama entre figura e área e entre perímetro e contorno; evidenciando-se, portanto, uma concepção numérica, sobre a qual só são considerados os elementos necessários para o cálculo; ou as duas, ocorrendo de forma isolada uma da outra. Além disso, existe também a ausência de construção das relações significativas entre os campos numéricos e geométricos que é apontada na teoria como uma das origens das dificuldades conceituais por parte dos alunos. Assim nasce a pergunta de nosso estudo: a mudança de posição interfere no desempenho dos alunos na resolução de problemas de área e perímetro? Para responder tal indagação utilizamos como quadro teórico Brousseau (2008) e suas idéias sobre variáveis didáticas. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA. Na busca de responder tal indagação, adotamos a abordagem área e perímetro enquanto grandezas e alguns trabalhos relevantes desenvolvidos por pesquisadores franceses e brasileiros, podendo-se citar as pesquisas de Douady e Perrin-Glorian (1989), Baltar (1996), Bellemain (2000), Bellemain e Lima (2002), Facco e Almouloud (2004), Santos (2005), Fonseca et al.(2007), Teles (2007) e Melo e Bellemain (2008). Anais do 2

3 Dentre os estudos realizados que versam sobre área e perímetro, destaca-se o trabalho realizado por Baltar (1996), através da análise de avaliações de desempenho de alunos franceses e de resultados de pesquisas em Educação Matemática, destacam alguns dos erros mais freqüentes e hipóteses explicativas das dificuldades conceituais que os alunos podem enfrentar na construção do conceito de área: as confusões entre área e perímetro. Douady e Perrin-Glorian (1989) classificam dois tipos as concepções geométricas e as concepções numéricas. Segundo as autoras, os alunos desenvolvem uma concepção geométrica, segundo a qual há um amálgama entre figura e área e entre perímetro e contorno; uma concepção numérica, segundo a qual só são considerados os elementos pertinentes para o cálculo; ou ambas, mas de forma isolada uma da outra. Nosso estudo tomou como base a Teoria das Situações Didáticas, especificamente as discussões sobre variáveis didáticas desenvolvidas na França por Brousseau (1986). O elemento da teoria das situações didáticas são as variáveis didáticas, Brousseau (2008) e seus seguidores defendem uma abordagem de ensino que jogue com as variáveis didáticas para a construção do conhecimento. Visto que, uma situação didática ocorre quando: um dos sujeitos demonstra a intenção de modificar o sistema de conhecimentos do outro (os meios de decisão, o vocabulário, as formas de argumentação, as referencias culturais), (BROSSEAU, 2008, p.53). Santos (2005) considera que os valores das variáveis podem consentir o emprego de um conhecimento fora de seu campo de validade, colaborando para que o pesquisador capte mais profundamente o que o aluno está pensando. De acordo com o exposto acima, consideraremos para o nosso estudo, dois valores para a variável didática, que são: Tipos de figura e Posição da figura. A variável tipo de figura pode assumir, por exemplo, os valores: retângulo, triângulo, paralelogramo, quadrado, trapézio, outros polígonos regulares, círculo e figuras irregulares. (TELES, 2007, p.128). Já para a variável posição da figura, Teles (2007), em sua tese define figuras prototípicas ou não, para ela, as figuras geralmente são convencionalmente apresentadas nos livros didáticos de numa única posição e exemplifica: Retângulo apresenta o lado de maior comprimento na horizontal. O paralelogramo o lado de maior comprimento também é horizontal, a Anais do 3

4 inclinação da figura para direita e identifica-se sempre a altura 10 interna. Quanto ao triângulo possui sempre o lado tomado como base na posição horizontal e altura também interna. (TELES, 2007, p.129). Diante da discussão apresentada elaboramos os seguintes procedimentos metodológicos PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Para alcançarmos os objetivos almejados realizamos uma interpretação dos dados coletados, através de uma abordagem qualitativa e quantitativa por se tratar de um estudo diagnóstico, visto que buscamos encontrar respostas para a questão levantada na justificativa. A pesquisa de campo foi realizada com alunos do 9ª ano do ensino fundamental numa escola da rede pública, localizada no município de Vitória de Santo Antão, zona da mata pernambucana. O protocolo tipo 1 como foi citados anteriormente, foi inspirados por questões concebidas por uma equipe de professores e de estudantes do LEMAT (Laboratório de Ensino de Matemática da UFPE) liderada pelos professores Maria Auxiliadora Paiva, Paulo Figueiredo. O instrumento 1 composto por três questões envolvendo situações de medida, comparação e produção. Enquanto o instrumento tipo 2 possuíam as mesmas situações, porém, se diferenciavam-se pela mudança variável didática posição da figura. Aplicamos os protocolos em duas turmas (8ª A e 8ª B). As mesmas foram divididas em dois grupos. No caso, na 8ªA os alunos responderam o protocolo 1 e a outra metade o protocolo 2. Essa mesma situação ocorreu na outra turma. Durante a realização das atividades foram fornecidos instrumentos de medidas (régua, papel de seda e cordão), para que os alunos utilizassem, caso achassem necessário. Desse modo, abordaremos adiante, qualitativa e quantitativamente, os resultados obtidos. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS: A tabela 1 abaixo apresenta os percentuais de acertos referentes aos problemas tipo 1 e 2, por itens na comparação de áreas. O item A, percebemos uma diferenças de Anais do 4

5 percentual não muitos significativa de 3,58 % no protocolo tipo 1 e 8,69% no protocolo tipo 2. Quanto ao item B percebemos uma quantidade de acertos mais expressiva 69,56% no problema 2 e 57,69 % no problema tipo 1. No item C, o percentual no problema tipo 2 é de 52,17% e 42,31% no protocolo tipo 1. Tabela 1: Percentuais de acertos do problema 1(itens a, b e c ) PROBLEMA 1: COMPARAÇÃO DE ÁREAS Itens 1a 1b 1c Turmas % % % (Protocolo tipo 1) 3,85 57,69 42,31 (Protocolo tipo 2) 8,69 69,56 52,17 Quanto à tabela 2, abaixo expõe os percentuais de acertos dos problemas 1 e 2, referentes a comparação de perímetros. No item D, percebemos um percentual de acerto de 53,85 % no problema 1 e 26, 09% no problema tipo 2. No item E, 30,77 % dos acertos foram no problema 1 e 4,34 % no tipo 2. Quanto ao item F, 33,08% dos acertos foram no problema tipo 1 e apenas 8,69% no problema 2. Tabela 2: Percentuais de acertos do problema 1(itens d, e e f ) PROBLEMA 1: COMPARAÇÃO DE PERÍMETROS Itens 1d 1e 1f Turmas % % % (Protocolo tipo 1) 53,85 30,77 23,08 (Protocolo tipo 2) 26,09 4,34 8,69 Notamos que, houve uma tendência na utilização da régua para resolver as situações apresentadas, este aspecto é apontado por Melo e Bellemain (2008), como uma concepção numérica. Como podemos observar a seguir: fig. 1, protocolo tipo 2. Anais do 5

6 A tabela 3 mostra que houve um percentual muito baixo de alunos que acertaram as questões de medida, já que a turma que apresentou o maior percentual de sucesso limitouse há um pouco mais que 13,04% no problema tipo 2 e apenas 7,69% no problema tipo 1. Tabela 3: Percentual de acerto do problema 2 PROBLEMA 2: MEDIÇÃO DE ÁREA Turmas % (Protocolo tipo 1) 7,69 (Protocolo tipo 2) 13,04 A contagem de figuras também esteve muito presente nas resoluções dos alunos, principalmente nas situações de medida, visto que a base da malha estimula tal estratégia. Assim como foi observado nos estudos de Douady & Perrin-Glorian (1989) a contagem de quadrados sobre papel quadriculado conduziu a contagem do número dos quadrados tentando reunir os pedaços. fig. 2, protocolo tipo 1 Notamos uma semelhança nos índices dos protocolos 1 e 2, principalmente nos itens 3 e 4, visto que em ambos o número de figuras iguais ao retângulo foram baixos, assim como, os alunos que desenharam um paralelogramo foram nulos. Entretanto, as figuras sem identificação, os alunos que não fizeram obtivemos índices elevados. Tais resultados demonstram que os alunos não possuíam conhecimento geométrico suficiente para resolver as questões. Ver todos os índices na tabela 04, a seguir: Tabela 4: Percentual de acertos do problema 3. PROBLEMA 3: PRODUÇÃO DE FIGURAS RESPOSTAS Figura igual ao retângulo Figura diferente Sem identificação Não fez Desenhou um paralelepípedo Anais do 6

7 % % % % % Item 1 42,30 15,38 19,23 11,54 0,00 (Protocolo 1) Item 1 52,17 0,00 17,39 8,69 4,35 (Protocolo 2) Item 2 3,85 3,85 50,00 30,77 0,00 (Protocolo 1) Item 2 30,43 8,69 21,74 34,78 0,00 (Protocolo 2) Item 3 0,00 3,85 38,46 26,92 3,85 (Protocolo 1) Item 3 4,35 0,00 26,09 47,83 17,39 (Protocolo 2) Item 4 0,00 0,00 30,77 34,61 0,00 (Protocolo 1) Item 4 (Protocolo 2) 4,35 0,00 21,74 56,52 13,04 Nos problemas de produção os alunos tendem a não aceitar que mudando as formas das figuras necessariamente não mudam a área. Aspecto observado por Douady e Perrin- Glorian (1989) e Baltar (1996), tal aspecto acontece no protocolo a seguir. fig. 3, protocolo tipo 2. Observamos que alguns alunos desconhecem o paralelogramo, deste modo produzindo figuras espaciais ou figuras planas que não são paralelogramos. f ig. 4, protocolo tipo 2 fig. 5, protocolo tipo 2 fig. 6, protocolo tipo 2. Anais do 7

8 CONSIDERAÇÕES FINAIS Os índices apontam que há de fato uma diferença de desempenho dos alunos quando mudamos a variável didática posição da figura, mas para nossa surpresa em alguns momentos os índices eram mais positivos nas figuras não prototípicas. No entanto, as justificativas e a falta de descrição não responderam a nossa pergunta de pesquisa a mudança de posição interfere no desempenho dos alunos na resolução de problemas de área e perímetro? Deste modo, acreditamos que é necessária a elaboração de outro instrumento de coletas de dados que nos possibilite tal resposta. Além disso, as respostas dos alunos demonstram que estes possuem um grande desconhecimento da geometria, confirmando o que as pesquisas apontam com relação o descuido deste campo de conhecimento matemático em sala nossas salas de aula. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BALTAR, P. M.. Enseignement et apprentissage de la notion d'aire de surfaces planes: une étude de l'acquisition des relations entre les longueurs et les aires au collège. Tese de Doutorado, Universite de Grenoble I (Scientifique Et Medicale - Joseph Fourier), U.GRENOBLE I*, França. BELLEMAIN, P. M. B.. Estudo de Situações-problema relativas ao conceito de área. X ENDIPE- Encontro de Didática e Prática de Ensino, 2000, Rio de Janeiro. Ensinar e aprender: sujeitos, saberes, tempos e espaços, Publicação em CD Rom. BELLEMAIN, P. M. B.; LIMA, P. F. Um estudo da noção de grandeza e implicações no ensino fundamental. Natal: SBHMat, BELLEMAIN, P. M. B. ; LIMA, P. F.. Habilidades matemáticas relacionadas com grandezas e medidas. In: Maria da Conceição Ferreira Reis Fonseca. (Org.). Letramento no Brasil: Habilidades Matemáticas : Reflexões a partir do INAF2002. São Paulo: Global: Ação Educativa Assesoria, Pesquisa e Informação : Instituto Paulo Montenegro, 2004, v. único, p Anais do 8

9 BRASIL. Secretaria de educação fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: Matemática. Brasilla: MEC/SEF, BROUSSEAU, G.. Introdução ao estudo da teoria das situações didáticas : conteúdos e métodos de ensino ; [tradução Camila Bogéa] São Paulo : Ática, DOUADY, R.; PERRIN-GLORIAN, M. J. Un processus d apprentissage du concept d aire de surface plane. Educational Studies in Mathematics. vol.20,n. 4, p , FACCO, S. R.; ALMOULOUD, S. A.. Uma abordagem de ensino aprendizagem do conceito de área. VIII ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2004, Recife: Anais. MELO, M. A. P.; BELLEMAIN, P. M. B..Identificando concepções numéricas e geométricas na resolução de um problema de área e perímetro. II SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2008, Recife: Anais. SANTOS, M. R.. Resolução de problemas envolvendo área de paralelogramo: um estudo sob a ótica das variáveis didáticas e do contrato didático. Recife, Dissertação (Mestrado). UFRPE, SANTOS, M. R.. A área do paralelogramo no livro didático de matemática. IX ENEM (Encontro Nacional de Educação Matemática), 2007, Belo Horizonte- MG. Anais de IX ENEM, TELES, R. A. M.. Imbricações entre campos conceituais na matemática escolar: um estudo sobre as fórmulas de área de figuras geométricas planas. Tese de Doutorado, Universidade Federal de Pernambuco. Centro de Educação: Recife, Anais do 9

10 ANEXOS Anais do 10