EFEITOS DE UMA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES PARA A DISSOCIAÇÃO ENTRE ÁREA E PERÍMETRO NO 3º CICLO DO ENSINO FUNDAMENTAL

Transcrição

1 EFEITOS DE UMA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES PARA A DISSOCIAÇÃO ENTRE ÁREA E PERÍMETRO NO 3º CICLO DO ENSINO FUNDAMENTAL Gracivane Pessoa Secretaria de Educação de Pernambuco gracivanepessoa@yahoo.com.br Lúcia Durão Universidade Federal de Pernambuco luciadurao@ufpe.br Paula Bellemain Universidade Federal de Pernambuco paula.baltar@ufpe.br Rosa de Fátima Cavalcanti Secretaria de Educação de Pernambuco rfatimagomescavalcanti@ig.com.br Yara Leal Universidade Católica de Pernambuco yleal@terra.com.br Resumo: O objetivo desta pesquisa foi propor uma sequência de atividades que favorecem a compreensão da dissociação entre área e perímetro, numa turma de alunos do Ciclo III/2º ano do Ensino Fundamental (7º Ano), de uma escola da rede pública municipal do Recife. Aborda intuitivamente a noção de área e perímetro, comparando (com e sem medidas) e medindo essas grandezas. O estudo está ancorado: (1) na Teoria dos Campos Conceituais (TCC), desenvolvida por Vergnaud (1990), para quem a construção de um conceito se dá através de um conjunto diversificado de situações; (2) nas pesquisas de Doaudy & Perrin- Glorian (1989), Bellemain e Lima (2002), e (3) na classificação das situações de Baltar (1996). A análise dos resultados revelou que: nem todos os alunos perceberam que figuras diferentes, formadas com a mesma quantidade de triângulos, têm áreas iguais; alguns dos alunos não utilizam a régua de forma adequada, no processo de medição; poucos alunos utilizaram a unidade de medida ao representar o perímetro de forma adequada; representação inadequada dos números racionais. Palavras-chave: Área; Comprimento; Perímetro; Grandezas e Medidas; Teoria dos Campos Conceituais. INTRODUÇÃO 1

2 Este artigo propõe-se a descrever uma experiência vivenciada através de uma oficina, envolvendo atividades que favorecem a compreensão dos conceitos de área e de perímetro e a dissociação entre essas duas grandezas. Baltar (1996), Duarte (2002), Facco (2003), Melo (2003), como também os PCN (1998), apontam as dificuldades dos alunos, nos vários níveis de escolaridade, em dissociar os conceitos de área e perímetro e suas relações. Souza (2004) mostra que há uma carência de atividades que explorem situações de comparação sem a ação de medir e que estas atividades favorecem a construção do conceito de comprimento e área como grandezas. Barros (2006) analisando as coleções de livros didáticos do Ensino Fundamental constatou que esses conceitos são utilizados muitas vezes para trabalhar outros conteúdos e que, as atividades propostas, se por um lado, favorecem a compreensão dos conceitos enquanto grandeza, por outro lado, reforçam as dificuldades em dissociar o comprimento da área. No ensino e aprendizagem de medidas é comum a confusão entre as noções de área e de perímetro por parte dos alunos. Algumas vezes, eles empregam relações errôneas, como ao compararem duas superfícies, concluem que aquela que possui maior área necessariamente também terá maior perímetro e vice-versa. Uma das possíveis justificativas para estas conclusões por parte do aluno pode ser a ausência de situaçõesproblema onde estas duas concepções estejam presentes, ou seja, atividades que explorem situações de comparação em que duas figuras tenham mesmo perímetro e áreas diferentes; mesma área e perímetros diferentes; perímetros e áreas iguais. Assim, tomamos como objeto de estudo construir uma sequência de atividades que explorem situações, nas quais o aluno realize comparações entre as grandezas comprimento e área, e compreenda as respectivas variações. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Nosso estudo toma como aporte teórico a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1990), segundo a qual a construção de um conceito se dá através de um conjunto diversificado de situações, abordando diferentes aspectos relacionados a este conceito. Por exemplo, em determinadas situações não precisamos realizar uma medição para estabelecer que uma determinada superfície possua área maior, menor ou igual à 2

3 outra. Em outros momentos, é necessário que se tenha o domínio do cálculo de áreas, como para determinar a compra de lajotas para colocar no piso de um terraço. Assim, frente a uma nova situação de aprendizagem, o aluno irá mobilizar os conhecimentos já existentes, organizar suas ações em função das informações que dispõe, criar estratégias e representações que possibilitem a resolução e a comunicação da sua resposta, que pode ser através de representações simbólicas (linguísticas ou não). Vergnaud também considera que um conceito é composto de uma variedade de situações e que, uma situação envolve o domínio de diferentes conceitos, o que vem a ser à base da sua ideia de campo conceitual. Também nos ancoramos na proposta de Douady & Perrin-Glorian (1989), segundo as quais ao abordar o conceito de área é necessário distinguir três quadros: o geométrico, o numérico e o de grandezas. O quadro geométrico que é constituído pelas superfícies planas e seus contornos; o das grandezas, constituído por classes de equivalências de superfícies de mesma medida; e o numérico, constituído pelas medidas das superfícies, expressas por meio de números reais positivos. Ainda, segundo Douady e Perrin-Glorian (ibid), os alunos mobilizam dois tipos de concepções: a numérica quando entende a área de uma figura como um número, sem considerar a unidade de medida, e a geométrica - que modificando a figura necessariamente modifica-se a área. Além disso, essa concepção geométrica possibilita que os alunos confundam a área e o perímetro de figuras planas, acreditando que qualquer modificação em uma dessas grandezas, a outra modifica na mesma proporção. Consideramos também como referência os estudos de Baltar (1996), que estabelece classes de situações que dão sentido ao conceito de área enquanto grandeza - comparação, medida e produção e propomos uma sequência de atividades explorando: produção de superfícies; comparação de áreas de superfícies; comparação de perímetro das superfícies; e medida de perímetro de superfícies com unidade de medida convencional. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS A oficina foi realizada com 33 (trinta e três) alunos de uma turma do Ciclo III/2º Ano do Ensino Fundamental (7º ano), de uma escola da rede publica municipal, 3

4 localizada na região metropolitana do Recife. A turma foi divida em duplas e um aluno realizou as atividades individualmente. O tempo de realização da oficina foi uma aula de 100 minutos, onde a dinâmica esteve assim organizada: levantamento dos conhecimentos prévios dos alunos, introdução do tema a ser abordado, trabalho em dupla dos alunos numa condição de comunicação aluno professor, discussão e confronto entre as conclusões das duplas e institucionalização pelo professor. No primeiro momento, iniciamos com uma conversa informal, com objetivo de levantar os conhecimentos prévios dos alunos e preparar para a introdução da temática (a ser) desenvolvida. Algumas questões foram colocadas pelo professor: Quem já ouviu falar de área e de perímetro? O que vocês podem dizer sobre a área dessa sala? Esta sala tem uma área maior ou menor que a sala da secretaria? Para realizar esta comparação, foi necessário realizar medições? Alguém se lembra da última vez que estudou esse assunto e como foi essa aula? A partir das respostas apresentadas pelos alunos, o professor resgatou e/ou acrescentou problemas de ordem prática que levaram à construção do conceito de perímetro e de área como: o pagamento de impostos associado a uma determinada medida de área; a distância entre duas cidades, relacionada à grandeza comprimento; a necessidade de uma unidade padrão, o que será medido, etc., questionando a importância de se estudar este conteúdo nos dias atuais. Este momento inicial foi de grande importância, tanto para os alunos, quanto para o professor. Para os alunos, porque eles reconheceram os seus conhecimentos pessoais como parte de um contexto social, histórico e matemático. Para o professor, uma vez que possibilitou reconhecer no grupo os conhecimentos já construídos, como estão estabilizados, e que conflitos podem ser gerados a partir das atividades propostas, para provocar nos alunos a operacionalização (o saber-fazer), a construção de justificativas, e a (re) elaboração dos conceitos abordados (o saber). No segundo momento os alunos realizaram a Atividade 1 - situação de produção de superfícies. Cada dupla recebeu um envelope contendo dezesseis triângulos retângulos isósceles e congruentes, papel ofício, tesoura, régua graduada, lápis, lápis de cor e cola. As duplas foram orientadas a: 4

5 montar uma superfície, utilizando quatro dos triângulos recebidos, sem que haja superposição, e que os triângulos tenham pelo menos um lado em comum como fronteira. Os dois alunos devem ter superfícies de formas diferentes. colar as figuras construídas numa folha de papel ofício, recortá-las, colocando o nome da dupla no verso de cada figura. A validação foi realizada a partir da apresentação de cada dupla ao mostrar a superfície produzida. Durante as apresentações foi possível observar se o comando dado foi compreendido, uma vez que produções diferentes do comando dado poderão levar a erros gerando contra-exemplos. Nesse caso, o aluno recebeu outros quatro triângulos retângulos isósceles para montar uma nova superfície, contornar as figuras em outra folha de papel ofício, que também deverá ter o nome da dupla. Em seguida passamos para a Atividade 2 comparação de áreas de superfícies. Agora, cada dupla troca sua folha com a dupla vizinha, devendo cobrir as novas superfícies com os outros triângulos (quatro para cada aluno), de acordo com a região contornada, sem deixar espaços vazios nem extrapolar a linha de contorno. Neste momento solicitamos as duplas a comparação das áreas das superfícies produzidas, lançando algumas perguntas: As figuras têm a mesma área ou uma área é maior que a outra? Quando giramos uma dessas figuras para outra posição no plano, o que acontece com a sua área? Como chegaram a essas conclusões? O que se esperava que fosse observado pelos alunos é que duas superfícies que têm a mesma área no sentido geométrico, ou seja, que podem ser sobrepostas por corte e colagem tem também mesma área no sentido físico. A recíproca, ter mesma área no sentido físico significa ter mesma área no sentido geométrico, geralmente não é de imediato compreendida, pois, depende da existência de uma decomposição, com uma quantidade finita de partes, levando uma das superfícies sobre a outra. Este momento possibilita uma mudança de quadros a que se referem Douady & Perrin-Glorian (1989), uma vez que os alunos foram colocados frente a um problema no quadro geométrico, ao construir superfícies de acordo com os seus conhecimentos prévios, e conduzidos a estabelecer relações de equivalências entre superfícies, que pertencem ao quadro das grandezas. 5

6 No terceiro momento os alunos foram solicitados a desenvolver a Atividade 3 - situação de comparação de perímetro das superfícies. As duplas verificaram qual das duas figuras tem maior perímetro, utilizando inicialmente pedaços de cordão de mesmo comprimento e/ou canudinhos, que foram fornecidos pelo professor. As questões: As figuras possuem mesmo perímetro? Se não, qual delas tem maior perímetro? deverão ser respondidas na folha, explicando como obtiveram estas respostas. Segundo Brito (2003), Douady e Perrin-Glorian sugerem que se deve iniciar a construção do conceito de comprimento discutindo e articulando o quadro geométrico e o quadro das grandezas. Isso significa comparar comprimento sem medir, sem intervenção do quadro numérico das unidades, ou seja, a única comparação possível advém de relação e ordem estabelecida no domínio das grandezas em jogo. (pp ) No quarto momento apresentamos a Atividade 4 situação de medida de perímetro das superfícies, com unidade de medida convencional. O professor solicitou que as duplas verificassem o perímetro de cada superfície usando régua graduada, registrando seus resultados na própria folha. Após a comparação e determinação do perímetro das superfícies, o professor lançou novas perguntas para o grupo, sobre perímetro: As figuras têm o mesmo perímetro, ou o perímetro de uma figura é maior que o da outra? Quando giramos uma dessas figuras para outra posição no plano, o que acontece com o seu perímetro? Como chegaram a essas conclusões? O que podemos dizer em relação às áreas e os perímetros dessas figuras? Este momento possibilitou além da mudança de quadros proposta por Douady & Perrin-Glorian (1989), a introdução do quadro numérico, colocando em evidência que diferentes superfícies podem ter mesma área e perímetros diferentes, mostrando a dissociação entre área e perímetro. Após a institucionalização, o professor solicitou que as duplas colocassem seus trabalhos em um mural da sala e que, agora numa atividade individual, os alunos escrevessem uma carta para um colega contando o que aconteceu na oficina:o que não sabia e ficou sabendo; o que sabia e ficou sabendo mais; o que mais gostou etc., conforme citado como um dos pontos da avaliação. 6

7 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS Na Atividade 1, inicialmente houve uma tendência por parte dos alunos em distribuir os 4 triângulos na folha de papel ofício, sem considerar o comando dado triângulos sem sobreposição e com pelo menos um lado em comum - que foi reorientado pela professora. Dois alunos que não realizaram corretamente a atividade, fizeram sobreposição com pelo menos 2 triângulos. Uma dificuldade percebida foi com relação a atividade de corte-colagem, devido a falta de habilidade com o uso da tesoura e da colagem. Considerando que os alunos tinham as réguas disponibilizadas, alguns fizeram uso deste recurso para contornar a figura construída. Na Atividade 2, a professora questionou a turma sobre as duas figuras obtidas por cada dupla, se tinham a mesma área ou se uma área era maior que a outra. Cada dupla verificou no seu desenho, conferindo com a sobreposição dos triângulos. Uma dupla percebeu que como as figuras tinham sido construídas com os 4 triângulos idênticos, então suas áreas eram iguais. As outras duplas checaram se todas as figuras têm mesma área, concordando com a observação da primeira dupla. Na Atividade 3, foi disponibilizado pedaços de barbante e canudos para que as duplas pudessem comparar os comprimentos dos perímetros. Houve predominância do uso do barbante e poucas duplas usaram canudos. Os procedimentos observados foram: contornar a figura com o cordão; contornar os lados, marcando no cordão as distâncias entre os vértices; cortar os canudos com o comprimento igual aos dos lados, e posteriormente colocar os pedaços em linha reta. Na Atividade 4, verificamos que dois alunos mediram o cordão utilizado para comparar o contorno das figuras com a régua e o restante (31alunos) mediram cada lado da figura com a régua. Com relação à unidade de medida observamos dificuldades, também percebidas por Facco (2003), como: a) um aluno colocou a unidade de medida na resposta final; b) dois alunos colocaram a unidade de medida apenas nos lados da figura; c) dois alunos colocaram ctm no lugar de cm; d) treze alunos não utilizaram nenhuma unidade de medida. Destacamos alguns registros de alunos que apresentaram dificuldades associadas ao bloco de números e operações, e que influenciam na resolução de atividades envolvendo área e perímetro: a) erro de cálculo numérico 10 alunos; b) registro da representação 7

8 decimal 12 alunos (7 alunos desconsideraram a vírgula; 2 alunos representaram a medida 4,5cm por de 0 até 4,5 ; 3 alunos representaram 1,7cm por 1,07cm ); c) compreensão do número decimal - 2 alunos (consideram 6,9 como dois números naturais, 6 e 9). Dentro do bloco de grandezas e medidas, o PCN (1998) considera como conteúdo procedimental o uso adequado de instrumentos de medida, como a régua. Na nossa oficina percebemos que os alunos apresentaram dificuldades como: a) erro na utilização do instrumento - 4 alunos (3 alunos começaram a medir do início da régua; 1 aluno iniciou a medição a partir do número 1); b) erro de leitura - 4 alunos (o correto era 3,8 e o aluno registrou 3,5). Na avaliação realizada com os alunos, foi solicitado que eles colocassem oralmente o que aprenderam sobre área e perímetro com a oficina. Aluno1: Eu não sabia medir perímetro Professora: E agora? Aluno1: Agora sei que é com a régua Professora: Só com a régua? Aluno1: Não, com cordão também: bota a marca, junta as pontas e já sabe que está na mesma medida. Aluno 2: Aprendi que as figuras podem ter a mesma área e perímetros diferentes. Aluno 3: Aprendi mais ou menos a fazer figuras com triângulos. Aluno 4:Aprendi que matemática não é só cálculo. Aluno5: Perímetro é medir e somar, área, não. Professora: Por que é importante saber calcular área e perímetro? Aluno 6: Para quando crescer saber a medida para quando for pintar uma casa. AVALIAÇÃO A avaliação considerou os elementos aluno, atividades propostas e materiais utilizados, no contexto em que a oficina foi desenvolvida. Com relação aos alunos, é importante considerar que observamos uma evolução nas suas concepções, diante do diálogo realizado após a atividade 4. A proposta da escrita de 8

9 uma carta para um colega de outra turma, poderia ter sido realizada se tivéssemos um tempo maior para a realização da oficina. Este recurso contribui para que seja avaliada de forma comparativa, a evolução desses alunos frente ao conceito de área e perímetro. Considerando os conhecimentos prévios dos alunos, as atividades propostas possibilitaram a ação dos mesmos quanto aos conteúdos conceituais (a construção dos conceitos de área e perímetro) e procedimentais (composição, sobreposição, recorte, colagem, uso de instrumentos). As atividades também ajudaram o professor a perceber dificuldades associadas a outros blocos de conteúdos como, números e operações, citados anteriormente. Algumas dificuldades apresentadas pelos alunos foram identificadas a partir do uso dos materiais disponibilizados na oficina, como por exemplo, o uso da régua graduada. CONSIDERAÇÕES FINAIS O trabalho desenvolvido através de uma oficina representa uma ruptura no ensino enquanto transmissão de conteúdos, na medida em que se ancora numa prática dinâmica, em que o aluno é constantemente colocado em confronto com os conhecimentos prévios e os que estão sendo construídos, ora individualmente, ora em pequenos grupos, ora mediada pelo professor. Doaudy & Perrin-Glorian (1989) consideram que a construção dos conceitos das grandezas deve ser iniciada a partir da articulação entre os quadros geométrico, numérico e das grandezas. Neste trabalho, introduzimos o conceito de área na atividade 1, a partir de uma situação que privilegia a articulação entre o quadro geométrico, no momento em que o aluno produz uma superfície com quatro triângulos, e o quadro das grandezas, quando os alunos constroem uma classe de equivalência de superfícies de mesma área. Além disso, Bellemain e Lima (2002) destacam a importância de oportunizar situações de comparação, sem o uso de medidas, para a construção dos conceitos de área e perímetro como grandezas. Concordando com esses pesquisadores, destacamos a atividade 2, com a situação de comparação das superfícies por sobreposição, e a atividade 3, com a situação de comparação de perímetros sem medida. 9

10 A partir da análise dos dados anteriormente apresentados, constatamos algumas dificuldades dos alunos, tais como: medir perímetros, usando unidades de medidas convencionais e não-convencionais; dissociar os conceitos de área e de perímetro; expressar números racionais na forma da representação decimal, conforme Facco (2003). Embora a notação de números racionais não se constituísse o objetivo do nosso trabalho, os resultados apontaram que essa temática deve se constituir objeto de investigações futuras. Diante dos resultados obtidos e observando que, esses conteúdos fazem parte do contexto escolar desde as séries iniciais do ensino fundamental, os alunos ainda apresentam dificuldades na compreensão dos conceitos de área e perímetro, o que confirma a necessidade, também apresentada em pesquisas anteriores (Duarte (2002), Melo (2003), Barros (2006)), de ampliar o conjunto de situações que abordam esses conceitos. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BALTAR, P. M. Enseignement et apprentissage de la notion d aire de surfaces planes: une étuide de l acquisition des relations entre les longueurs et les aires au collège. Tese de Doutorado em Didática da Matemática. Université Joseph Fourier, Grenoble, BARROS, A. L. S. Uma análise das relações entre área e perímetro em livros didáticos de 3 e 4 ciclos do ensino fundamental. Dissertação. Mestrado em Educação UFPE, Recife, BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática: Ensino de quinta a oitava série. Brasília: MEC / SEF, BRITO, A. F. Um estudo sobre a influência do uso de materiais manipulativos na construção do conceito de comprimento como grandeza no 2º ciclo do ensino fundamental. Dissertação. Mestrado em Educação. UFPE, Recife DOUADY, R.; PERRIN-GLORIAN, M. J. Un processus d'apprentissage du concept d'aire de surface plane. Educational Studies in Mathematics, v.20, pp , DUARTE, J. H. Análise de situações didáticas para a construção do conceito de área como grandeza no ensino fundamental. Dissertação. Mestrado em Educação. UFPE, Recife, FACCO, S. R. Conceito de área. Uma proposta de ensino-aprendizagem. Dissertação. Mestrado em Educação. PUC-SP,

11 MELO, M. Um estudo de conhecimentos de alunos de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental sobre os conceitos de área e perímetro. Dissertação. Mestrado em Ensino de Ciências. UFRPE. Recife, SOUZA, J.C.A. Análise de estratégias de resolução de problemas de grandezas geométricas em avaliações intitucionais em larga escala de redes públicas do estado de Pernambuco. Dissertação. Mestrado em Ensino de Ciências. UFRPE. Recife, VERGNAUD, G. La théorie des Champs Conceptuels. In: Recherches en didactique des mathématiques. Vol. 10, n 2.3, pp La Pensée Sauvage. Grenoble