X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 APRENDIZAGEM DOS CONCEITOS DE PERÍMETRO E ÁREA ENQUANTO GRANDEZAS NA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS (EJA): O CONTEXTO DESFLORESTAMENTO DA AMAZÔNIA Daniella Cristina Silva Dos Santos 1 Universidade Federal de Pernambuco - UFPE daniela.c.santos09@gmail.com José Valério da Silva 2 Universidade Federal de Pernambuco - UFPE valerio.gomes@yahoo.com.br Resumo: Este artigo consiste na análise de uma sequência de atividades composta por três questões envolvendo as grandezas, área e perímetro, elaboradas a partir do contexto Meio Ambiente. As atividades foram aplicadas com vinte alunos do 8º e 9º ano (Modulo II) da Educação de Jovens e Adultos (EJA), de uma escola municipal do Recife-Pernambuco (PE). Cada questão contempla a situação de comparação, medição e produção seguindo esta ordem, baseando-se na classificação de Ballemain (2000). A análise e discussão dos resultados das atividades fundamentam-se nas pesquisas Douady e Perrin-Gloriam (1989), que revelam a existência de obstáculos na aprendizagem destas grandezas, potencializados pela ausência da construção das relações pertinentes entre os campos numéricos e geométricos. O estudo permitiu verificar que os alunos continuam tendo grande dificuldade em distinguir área de perímetro, enquanto grandeza autônoma. Além de, manter a concepção numérica dissociada da concepção geométrica, ou seja, considerando apenas os elementos pertinentes ao cálculo. Palavras-chave: Contexto; Perímetro; Área; Concepções numéricas; Concepções geométricas. INTRODUÇÃO Pesquisas têm revelado que a recorrência de dificuldades na aprendizagem do conceito de perímetro e área, enquanto grandeza está relacionada as concepções geométricas e numéricas, constituindo-se em obstáculos para a construção dos respectivos 1 Mestranda do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática e Tecnológica da Universidade Federal de Pernambuco. 2 Mestrando do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática e Tecnológica da Universidade Federal de Pernambuco. 1

2 conceitos como grandeza autônoma. Nas pesquisas de Douady e Perrin-Glorian (1989) a origem das dificuldades apresentadas pelos alunos, referente ao conceito da grandeza área, evidenciado pela ausência da construção das relações pertinentes entre os campos numéricos e geométricos. Ainda, segundo Douady e Perrin-Glorian (1989, p. 1): Os alunos desenvolvem uma concepção forma (segundo a qual há um amálgama entre figura e área e entre perímetro e contorno), uma concepção número (segundo a qual só são considerados os elementos pertinentes para o cálculo), ou ambas, mas de forma isolada uma da outra. As concepções geométricas são aquelas segundo as quais o aluno confunde a figura e a área. A mobilização desse tipo de concepção pode levar o aluno a pensar que quando uma figura é modificada por decomposição e recomposição, sua área muda. A concepção numérica se estabelece quando o aluno passa do quadro das grandezas ao quadro das medidas, constituindo uma a relação de equivalência, como por exemplo, ter a mesma área. Diante desta problemática o presente artigo traz a análise de atividades que abordam as noções de área e perímetro, e que usam como contexto a temática desmatamento da Amazônia, vislumbrando a perspectiva dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), que sugere uma educação escolar mais significativa através da contextualização (BRASIL, 1997). A escolha do tema ambiental como contexto se evidencia pelo fato deste fazer parte de um debate tão presente e atual na sociedade contemporânea, em época de aquecimento global, conservação e preservação da biodiversidade e desenvolvimento sustentável, abrangendo uma discussão que atinge todos os níveis sociais. Mas, ressaltamos que poderia ser qualquer outro contexto, uma vez que o processo de contextualização não se resume apenas a contextos de ordem social. Norteado pela idéia de uma aprendizagem significativa do objeto matemático, elaboramos três questões em torno do conceito das grandezas área e perímetro, contemplando as situações de comparação, de medição e de produção, a partir de um contexto socioambiental, considerando as dificuldades dos alunos em avançar da concepção geométrica à numérica, o que constitui um obstáculo na construção dos referidos conteúdos matemáticos, enquanto grandezas distintas. A elaboração e escolha destas questões é fruto do trabalho no Grupo de Pesquisa Pró-grandeza: Ensino-aprendizagem das grandezas e medidas, liderado por Paula 2

3 Moreira Baltar Bellemain, Paulo Figueiredo Lima e Rosinalda Aurora de Melo Teles, professores-pesquisadores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática e Tecnológica (EDUMATEC- UFPE). A análise apresenta uma discussão sobre o processo de contextualização entre o conteúdo matemático e o Tema Transversal Meio Ambiente, no que se refere às contribuições deste procedimento metodológico na superação do obstáculo instituído pelo próprio conhecimento matemático (área e perímetro). Para Margina (2006) muitas situações podem e devem ser trabalhadas com esses alunos de modo a permitir que esses conteúdos ganhem significados para eles. As experiências de aprendizagem devem ser contextualizadas para que os alunos possam vivenciar conflitos, revisar e ajustar concepções (AMARILHA e PAIS, 2008). FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Segundo Bellenmain (2000) o conceito de área de superfícies planas pode ser considerado como um componente do campo conceitual mais amplo das grandezas geométricas. Deste campo conceitual faz parte outras grandezas geométricas tais como Comprimento e Volume, os conceitos de perímetro e de capacidade, os números, as medidas destas grandezas, as figuras geométricas, as fórmulas de área e volume, entre outros. Diante disso, observa-se que o campo das Grandezas tem uma profunda imbricação com a geometria, dos sistemas numéricos e das operações, incluindo uma forte relação com os outros campos conceituais tais como o das estruturas aditivas, o das estruturas multiplicativas e da álgebra. Ao analisar pesquisas sobre obstáculos nas didáticas de conteúdos específicos, Artigue identificou mecanismos produtores de obstáculos, sendo assim: a generalização abusiva; a regularização formal abusiva; a fixação em uma contextualização ou uma modelização familiar; o amálgama de noções sobre um suporte dado. Vergnaud (1989 apud Bellemain, 2004 p. 3) destaca a necessidade de distinguir dificuldade e obstáculo 3

4 argumentando que a superação de simples dificuldades é mais fácil. Já na caracterização de obstáculos, observa-se contradição entre conhecimentos novos e anteriormente construídos, o que provoca nós de resistência no processo de aprendizagem. Este autor salienta que dificuldades e obstáculos exigem tratamentos didáticos distintos. No caso dos obstáculos é necessário um trabalho árduo de evidência das contradições, por meio de situações problemáticas variadas. A Engenharia Didática de Artigue permitiu a Douady e Perrin-Glorian, (1989) chegar a conclusão que a abordagem do conceito de área como grandeza autônoma favorecia a construção de relações entre conhecimentos geométricos e numéricos na resolução de problemas de área. Este estudo possibilitou diferenciar três domínios: o geométrico ao qual pertencem as superfícies o das grandezas ao qual pertence à área e o das medidas que são números reais positivos. As relações entre os quadros podem ser vistos da seguinte maneira: Figura 1: Jogo dos quadros sugerido por Douady e Perrin-Gloriam (1989) No quadro geométrico se encontra, por exemplo, as superfícies planas e as curvas; no quadro das grandezas estão, entre outras, a área e o comprimento; e no quadro numérico, as medidas da área e as medidas de comprimento dentre outros elementos. Bellemain (2000) afirma que a relação de equivalência ter a mesma área é um objeto que permite passar do quadro geométrico para o quadro das grandezas e que as unidades de área é um objeto que permite passar do quadro das grandezas ao quadro das medidas. O PCN (Matemática) explica que uma das possíveis causas desta não dissociação entre área e perímetro, seja devido ao fato de os alunos estudarem separadamente esses 4

5 dois conceitos, de certa forma estabelecendo uma confusão entre as grandezas área e perímetro e o estabelecimento de relações errôneas, como ocorre na comparação entre duas figuras planas, em que os alunos concluem: a figura de maior área tem necessariamente o maior perímetro e vice-versa (BRASIL, 1997). No entanto, Bellemain (2004) considera que a persistência de erros ou lacunas manifesta-se na construção do significado das relações entre grandezas geométricas (comprimento, área e volume), tornando-se um entrave no processo de aprendizagem destes conceitos. Do ponto de vista estritamente matemático, a relação de equivalência ter a mesma área (que permite considerar a área enquanto grandeza), é definida pela escolha de uma unidade seguida da medida das superfícies (duas superfícies de mesma medida têm a mesma área). Douady e Perrin-Glorian, (1989), mostraram, entretanto, que do ponto de vista da aprendizagem, a construção desta relação de equivalência deve ser anterior à medida, tendo por suporte fundamental a noção de decomposição, por meio de procedimento de corte e colagem. Baseado em situações possíveis em torno do conceito de área, Bellemain (2000), destaca três situações: as situações de comparação, as situações de medida e as situações de produção. As situações de comparação se situam no campo das grandezas. E claro que a intervenção dos outros dois quadros em relação ao quadro das grandezas é secundária. Nas situações de medida destacam-se o quadro numérico e a passagem da grandeza ao número por meio da escolha de uma unidade. As situações de produção freqüentemente admitem várias respostas corretas. Nesse tipo de situação, a resposta esperada é uma superfície (quadro geométrico), porém, a intervenção dos outros dois quadros é tão importante quanto à do quadro geométrico. PROCEDIMENTO METODOLÓGICO E RESULTADOS OBTIDOS A pesquisa consiste na análise de atividades aplicadas com vinte alunos de uma turma do Módulo II, 8º e 9º ano, do EJA, de uma escola pública da cidade do Recife- PE. 5

6 Foram aplicadas três questões que abordam o conceito das referidas grandezas a partir de um contexto socioambiental, desflorestamento da Amazônia. A sugestão é usar um contexto de extrema importância social para explorar a noção de área e perímetro, e verificar se o processo de contextualização do objeto matemático favorece na aprendizagem destes conceitos enquanto grandezas. Neste caso, surge o seguinte questionamento: O contexto minimiza ou potencializar os obstáculos na aprendizagem dos conceitos de perímetro e área enquanto grandezas? A seguir discutiremos alguns aspectos acionados pelos alunos ao resolver as três questões propostas. O quadro 1 abaixo apresenta o percentual de acertos, erros e respostas em branco, obtidas a partir das respostas contidas no protocolo dos alunos do EJA. Nesta tabela podemos observar um grande percentual de erros e respostas em branco. Questões %de acertos % de erros % de respostas em branco Q 1 5% 50% 45% Q 2 a 15% a 45% a 40% b 25% b 25% b 50% c 30% c 15% c 55% d 5% d 30% d 65% Q 3 20% 30% 50% Quadro 1: Acertos, Erros e respostas em branco/ Legenda: Q (questão) A primeira questão (figura 2), observada a seguir, propõe uma situação de comparação entre áreas, o aluno é convidado a fazer a leitura do texto, onde os dados matemáticos estão inseridos, e fazer a leitura de imagem (mapas). A intenção da questão 1 versa a construção do conceito de área, usando a composição e decomposição, inicialmente, e através de uma operação aritmética (divisão) determinar quantas vezes a área preservada cabe na região devastada. 6

7 Questão 1: Figura 2: Atividade de comparação de áreas, resposta de um aluno Para resolver a atividade não é suficiente apenas comparar os mapas, isto é, usar apenas o campo das grandezas, o aluno precisa buscar informações numéricas, referente à área total de cada região, o que permitirá compor o cálculo numérico. A atividade induz o aluno acionar a concepção numérica, ou seja, conduz a trabalhar com a medida. A figura 2 (acima) apresenta a forma como o aluno mobilizou seus conhecimentos aritméticos para resolver a dada situação-problema, usando algoritmos, indicando que associa a grandeza a um número. O aluno resolvendo a atividade de forma errada, usa a unidade de medida quilômetros quadrado (km 2 ), o que leva a acreditar que o mesmo associa grandeza e unidade de medida. Questões deste tipo expressa a intenção de comparação, porém, acaba limitando a ampliação do conceito de área enquanto grandeza, por levar o aluno apenas a medir. O que caracteriza o cálculo com fórmulas errôneas, pois esta concepção é caracterizada pelo foco exacerbado no aspecto do cálculo. Bellemain (2000) ressalta que: a situação de comparação situa o sujeito essencialmente em torno do quadro da grandeza, embora, o quadro geométrico e numérico é necessário para a resolução dos problemas de comparação, mas sua intervenção em geral é secundária. 7

8 A segunda questão (Figura 3) é subdividida em quatro itens (a, b, c, d), estes sugerem situações de medição, onde o quadro numérico e a passagem da grandeza ao número por meio da escolha de uma unidade é o destaque neste tipo de situação. Com relação à resolução da questão 2 (abaixo) o que podemos observar é o seguinte: no item a (figura 3) o aluno elaborou o raciocínio corretamente, porém não levou em conta a passagem da grandeza ao número, somente considerando o quadro numérico. Já no item b, o mesmo aluno usa a multiplicação para solucionar a questão, demonstrando a busca da fórmula para determinar a grandeza área, embora o cálculo esteja errado. Questão 2: Figura 3: Questão 2 aborda uma situação de medição Outro exemplo referente ao item b (figura 4), desta vez o aluno não explicita a forma que o levou a resposta correta da questão, mas expressa o par número/unidade de medida, a mesma característica é observada no item c e d (figura 4), para o último item, uma questão de cálculo do perímetro. As respostas fornecidas nos três itens possuem características semelhantes, com relação a expressar o número e a unidade de medida, ficando claro que o aluno consegue demonstrar que as grandezas são diferentes, pois indicou a unidade de medida específica para cada grandeza. 8

9 Figura 4: Resposta dos itens b, c e d, da questão 2 A terceira questão (figura 5) propõe uma situação de produção, onde o aluno irá desenhar uma figura geométrica qualquer com a mesma área da figura dada, tendo a malha quadriculada como recurso. Vale salientar que a característica da situação de produção admite várias respostas corretas, podendo ser uma superfície (objeto geométrico), neste caso, os outros quadros podem ser tão importantes quanto o quadro geométrico. Questão 3: Figura 5: Três respostas (alunos diferentes) para a atividade de produção proposta Os exemplos acima (figura 5) representam muito bem a situação de produção supracitada, os alunos usam o conceito de área no momento em que constrói a superfície plana pedida a partir da composição de várias unidades de medida. 9

10 CONSIDERAÇÕES FINAIS A contextualização do saber matemático poderá ser um elemento didático importante para o ensino da Matemática. Este procedimento metodológico quando adotado pelo professor pode ajudar a transpor os obstáculos instituídos na aprendizagem dos conceitos matemáticos, no caso deste trabalho em relação aos conceitos de perímetro e área enquanto grandezas, uma vez que, são as escolhas didáticas que favorecem o processo de ensino e aprendizagem, aproximando as noções matemáticas das atividades diárias do homem em sociedade. Para isso, as referidas grandezas precisam ser exploradas nos seus diferentes significados, nos seus diferentes contextos, ao longo de toda a escolarização, como recomendam os PCN. Contudo, é necessário salientar que a contextualização permite o estabelecimento de conexões entre os temas da Matemática e de fora dela, e com outras disciplinas, mas não é a única forma de avançar no processo de aprendizagem dos conteúdos matemáticos. O desafio é no sentido de não descaracterizar os conteúdos matemáticos, porém, redescobri-los para assim dar significado ao que está sendo estudado. Portanto, ao contextualizar um objeto matemático, faz-se necessário conhecer bem este objeto para que seja feita uma contextualização adequada e não simplista, que possivelmente pode alterar o saber matemático impedido que o aluno transpasse o obstáculo do próprio conhecimento. REFERÊNCIAS AMARILHA, L. A. S. & PAIS, L. C. (2008). A Contextualização como Possibilidade para o Estudo da Geometria nos Anos Iniciais da Educação Básica. In: Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós Graduação em Educação Matemática, 2008, São Paulo. Anais eletrônicos. Disponível em:< BELLEMAIN, P. M. B. Estudo de Situações Problema Relativas ao Conceito e Área. Recife. UFPE, BELLEMAIN, P. M. B. Um candidato a obstáculo à aprendizagem dos conceitos de comprimento e área como grandezas. In: 2º Colóquio de História e Tecnologia no Ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME UERJ, BRASIL. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO/ Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Apresentação dos Temas transversais e ética. Vol. 8, Brasília,

11 DOUADY, R. PERRIN-GLORIAN M. J. Un processus d'apprentissage du concep d'aire de surface plane. In:. Educational Studies in Mathematics. V. 20, n. 4. p , MAGINA. S. A competência de Alunos do Ensino Fundamental e Médio em resolver problemas de Áreas e Perímetros: Um estudo diagnóstico. Pesquisa realizada na Disciplina Aspectos Cognitivos do curso de Mestrado Profissional em Educação Matemática. PUC/SP,