XVI Semana de Iniciação Científica e II Semana de Extensão de 21 a 26 de outubro de 2013 Universidade Regional do Cariri - URCA - Crato, Ceará

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1 XVI Semana de Iniciação Científica e II Semana de Extensão de 21 a 26 de outubro de 2013 ISSN: Universidade Regional do Cariri - URCA - Crato, Ceará GRUPOS DIEDRAIS Daniele Alves Souza¹, Paulo César Cavalcante de Oliveira² 1 - Bolsista do PIBID CAPES, 2 - Universidade Regional do Cariri URCA. Introdução O estudo dos grupos começou essencialmente com Galois, que foi o pioneiro no uso (1830) da palavra grupo em seu sentido técnico. As pesquisas foram então levadas adiante por Augustin-Louis Cauchy e outros que se sucederam, para o caso particular dos grupos das substituições. Com o subsequente notável trabalho de Arthur Cayley ( ), Ludwing Sylow ( ), Sophus Lie, Georg Frobenius ( ), Felix Klein, Henri Poincaré ( ), Otto Holder ( ) e outros. O estudo dos grupos assumiu sua forma abstrata independente e se desenvolveu rapidamente. A teoria dos grupos embora tenha sido inicialmente estudada por matemáticos, no início do século XX os físicos, usando argumentos desta teoria, fizeram descobertas importantes sobre a estrutura dos átomos e das moléculas em Mecânica Quântica, além de ser um fator de grande importância para a ascensão da álgebra abstrata no século XX. Neste trabalho introduziremos a definição de Grupo e apresentaremos os Grupos Diedrais. Metodologia No desenvolvimento deste trabalho iremos utilizar as definições de Grupos, polígonos, simetrias e Grupos Diedrais. Resultados e Discussão Um conjunto não-vazio G munido de uma operação * é chamado de Grupo se são válidas as seguintes propriedades: associatividade, existência do elemento neutro e a existência de inverso. É fácil ver que os números inteiros com a operação de adição é um grupo, mas com a multiplicação não é um grupo. Se além disso, a operação * for comutativa, dizemos que G é abeliano. Se considerarmos M, o conjunto das matrizes invertíveis com entradas reais, com a operação usual de multiplicação de matrizes, é fácil ver que M não é um grupo abeliano. Existem outros exemplos de grupos não abelianos, nos concentraremos no grupo D n, grupo finito de ordem 2n, chamado Grupo Diedral. Consideremos um polígono regular de n lados e seja θ S n a permutação pelo 2 π n efeito de uma rotação de um ângulo de no sentido antihorário. Consideremos n a permutação r S determinada pelo efeito de uma reflexão da figura em torno do eixo ox, D verifica-se que n = < r,θ> é o menor subgrupo de S n contendo r e θ. Conclusões e Perspectivas Neste artigo vimos uma conexão entre a álgebra e a geometria. A partir de permutações com os vértices de um polígono regular pudemos construir um grupo não abeliano. Esse grupo aparece também na discussão sobre construção com régua e compasso, mas isso é para outro artigo. Concluímos então que quando construímos polígonos regular, podemos ordenar seus vértices, para formar uma espécie de referência, considerando diversas configurações de modo que não altere o formato do polígono, modificando, portanto, somente as posições dos vértices, temos o conjunto diedral. Agradecimentos A Universidade Regional do Cariri pelo uso do laboratório, a CAPES pelo apoio financeiro e ao professor Paulo César Cavalcante de Oliveira pelas discussões. Referências [1] GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra, Rio de Janeiro 2003, [2] EVES, H. Introdução à história da matemática, Campinas- SP: Editora da UNICAMP,2004. Autor correspondente: Daniele Alves Souza (daniele_bringel@hotmail.com )

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