ESPAÇO AMOSTRAL: É o conjunto (S) de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório (E).

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1 1 4 PROBABILIDADES As aplicações iniciais referiam-se quase todas a jogos de azar. O ponto de desenvolvimento da teoria das probabilidades pode ser atribuído a Fermat ( ) e Pascal ( ). Atualmente os governos, as empresas, as organizações profissionais incorporam a teoria das probabilidades em seus processos de deliberações. A utilização das probabilidades indica que existe um elemento de acaso, ou incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento futuro. Mediante determinada combinação de julgamento, experiência e dados históricos é possível dizer quão provável é a ocorrência de determinado evento futuro. A previsão da procura de um produto novo, o cálculo dos custos de produção, a previsão do malogro de safras, a compra de apólices de seguro, a contratação de um novo empregado, o preparo de um orçamento, a avaliação do impacto de uma redução(aumento) de impostos sobre a inflação; contém algum elemento de acaso. As probabilidades são úteis porque ajudam a desenvolver estratégias. Assim alguns motoristas parecem demonstrar uma tendência para correr a grandes velocidades se acham que há pouco risco de serem apanhados, os investidores sentem-se mais inclinados a aplicar seu dinheiro se as chances de lucros são boas, carregaremos capa ou guarda-chuva se houver grande probabilidade de chuva; uma empresa pode sentir-se inclinada a negociar se houver forte ameaça de greve; mais inclinado a investir num novo equipamento se há boa chance de ganhar dinheiro; ou a contratar um novo funcionário que pareça promissor. AS PROBABILIDADES SÃO UTILIZADAS PARA EXPRIMIR A CHANCE DE OCORRÊNCIA DE DETERMINADO EVENTO. CARACTERIZAÇÃO DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO - Cada experimento poderá ser repetido sob as mesmas condições indefinidamente - Não se conhece um particular valor do experimento a priori, porém podemos descrever todos os resultados possíveis as possibilidades. - Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, surgirá uma s regularidade, uma estabilidade da fração f = n f = freqüência relativa, n = número de repetições, s = número de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realização. ESPAÇO AMOSTRAL: É o conjunto (S) de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório (E). Exemplo: E = { jogar um dado e observar a face de cima } S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} E = { jogar duas moedas e observar o resultado} S = { (c,c), (c,k), (k,c), (k,k) }

2 2 EVENTO : é um conjunto de resultados do experimento (subconjunto de S). S = evento certo φ = evento impossível A B ocorre o evento A ou o B ou ambos ocorrem A B ocorrem A e B A é o evento que ocorre se A não ocorre Exemplos: 1. E = { jogar três moedas e observar os resultados } A = { ocorrer pelo menos duas caras } R: E = { (c,c,c), (c,c,k), (k,c,c), (c,k,c), (k,k,k), (k,c,k), (k,k,c), (c,k,k) } A = { (c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c) } 2. E = { lançar um dado e observar a face de cima } B = { ocorrer um múltiplo de 2 } R: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} B = { 2, 4, 6} EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: não ocorrem simultaneamente A e B (A B= φ ) Exemplo: E = {.jogar um dado e observar o resultado } E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} A = { ocorrer um número par } A = { 2, 4, 6} B = { ocorrer um número ímpar } B = { 1, 3, 5} A B = φ DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE: Dado um espaço S, P(A) = probabilidade de um evento A é uma função definida em S que associa a cada evento um número real, satisfazendo os axiomas: 1. 0 P(A) 1 2. P(S) = 1 3. P(A B) = φ P(A B) = P(A) + P(B) 4. P( φ ) = 0 5. P(A B) φ P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS P(A) = número. de. casos. favoráveis número. total. de. casos

3 3 REGRAS DE PROBABILIDADES Eventos mutuamente excludentes (A ou B ocorrerá) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = φ Eventos não mutuamente excludentes (A ou B ou ambos ocorrerão) P(A B) = P(A) + P(B) P( B) Eventos independentes P(A B) = P(A) P(B) Eventos dependentes P(A B) = P(B) P(A B) ou P(A) P(B A) Dois ou mais eventos dizem-se independentes se a ocorrência ou a não ocorrência de um não influencia a ocorrência do(s) outro(s). Exercícios: 1. Jogam-se duas moedas equilibradas. Qual a probabilidade de darem cara? (1/4) 2. Um terço dos eleitores de certa comunidade é constituído de mulheres, e 40% dos eleitores votaram na última eleição presidencial. Supondo que esses dois eventos sejam independentes, determine a probabilidade de escolher aleatoriamente um eleitor da lista geral, que seja mulher e que tenha votado na última eleição. (0.133) 3. Em 25% das vezes X chega em casa tarde para jantar. Por outro lado, o jantar atrasa 10% das vezes. Se não há qualquer relacionamento entre os atrasos de X e os atrasos do jantar, qual a probabilidade de ocorrerem ambos os atrasos? (0.025) QUANDO OS EVENTOS NÃO SÃO INDEPENDENTES Exemplo: Suponha duas urnas com fichas. A primeira Y contém 8 vermelhas e 2 brancas. A Segunda Z contém 5 vermelhas e 5 brancas. Vamos extrair uma ficha vermelha de cada uma das urnas. Observe que depende (condicional) de qual seja a urna escolhida. P(V/ Z) = 5/10 P(B/Y) = 2/10 P(B/Z) = 5/10 Suponha que as duas urnas sejam indistinguíveis e que a probabilidade de escolher qualquer delas seja ½. Qual a probabilidade de extrair uma ficha vermelha da urna Z? P(Z) = ½ P(V/Z) =5/10 P(Z)P(V/Z) = (½).(5/10) = 1/4 Calcule P(Y)P(V/Y) (0.40) PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE AO MENOS UM DE DOIS EVENTOS A. mutuamente excludentes: P(A B) = P(A) + P(B)

4 4 Exercício: 1) Determine a probabilidade de aparecer cinco ou seis numa jogada de um dado equilibrado (2/6) 2) Determine a probabilidade de extração de uma carta de copas ou de uma carta de paus de um baralho de 52 cartas (1/2) B. Não são mutuamente excludentes: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A).P(B) Exercício: 1. Determine a probabilidade de extração de uma carta de paus ou um dez de um baralho de 52 cartas (16/52) 2. Uma urna contém 15 bolas do mesmo raio, enumeradas de 1 a15. Sendo A e B os eventos. Retirar uma bola múltiplo de 3 ou 4 (7/15) 3. Idem, retirar uma bola múltiplo de 5 ou 4 ( 2/5) Teorema de Bayes : Seja A 1, A 2, A 3...A n, n eventos mutuamente exclusivos tais que A 1 A 2...A n = S. Seja P(A i ) as probabilidades conhecidas dos vários eventos, e B um evento qualquer de S tal que são conhecidas todas as probabilidades condicionais P(B/A i ) Então, para cada i, tem-se: P( Ai). P( B / Ai) P(A i /B) = P( A1). P( B / A1) + P( A2). P( B / A2) P( An). P( B / An) O teorema de Bayes é uma técnica utilizada para revisar estimativas probabilísticas iniciais com base em dados amostrais. Exemplo 1: Sejam as urnas: u 1 u 2 u 3 e bolas nas cores: pretas Brancas Vermelhas Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificando-se que ela é branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo da urna 2? e da 3? P(u 1 ) = P(u 2 ) = P(u 3 ) = 1/3 P(br/u 1 ) = 1/9; P(br/u 2 ) = 3/9= 1/3; P(br/u 3 ) = 3/8 P(u 2 /br) =? P(u 3 /br) =? (27/59) P(u 2 /br) = P( u2). P( br / u2) P( u1) P( br / u1) + P( u2) P( br / u2) + p( u3) P( br / u3) P(u 3 br) = 1/ 3.1/ 3 = = 24/59 1/ 3.1/ 9 + 1/ 3.1/ 3 + 1/ 3.3/ 8 P( u ). P( br / u3) P( u1) P( br / u1) + P( u2) P( br / u2) + p( u3) P( br / u3) 3 = 27 59

5 5 Exercícios: 1. De um baralho de 52 cartas, escolha aleatoriamente uma carta que seja: A = {a carta é de ouros} (13/52) B = {a carta é uma figura} (3/13) 2. Lance um dado e uma moeda. a) Construa o espaço amostral b) Enumere os seguintes eventos: A = {coroa, marcado por número par} B = {cara, marcado por número ímpar} C = {múltiplos de 3} 3. Determine a probabilidade de cada evento: a) Um número par aparece no lançamento de um dado b) Um rei aparece ao extrair-se uma carta de um baralho c) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de 3 moedas d) Duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho e) Uma carta de copas e uma de ouros aparecem ao extraírem-se duas cartas de um baralho. 4. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, Qual a probabilidade de: a) Número ser divisível por 5 b) Terminar em 3 c) Ser divisível por 6 ou por 8 5. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas, quando retiramos uma carta de um baralho? 6. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade: a) A soma ser menor que 4 b) A soma ser 9 c) O primeiro resultado ser menor que o segundo 7. Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcule a probabilidade de: a) Todas pretas b) Exatamente uma branca c) Ao menos uma preta 8. Numa classe existem 5 alunos do quarto ano, 4 do segundo ano e 3 do terceiro ano. Qual a probabilidade de serem sorteados 2 alunos do segundo ano, 3 do quarto ano e dois do terceiro ano? 9. Extrai-se uma só carta de um baralho de 52. Determine a probabilidade de obter: a) Um valete b) Uma figura c) Uma carta vermelha d) Uma carta de ouros e) Um dez de paus f) Um 9 vermelho ou um 8 preto 10. Há 50 bolas numa urna, distribuídas como segue: Cor: azul vermelho laranja verde Quantidade: = 50

6 6 Misturam-se as bolas e escolhe-se uma. Determine a probabilidade de a bola escolhida ser: a) Verde b) Azul c) Azul ou verde d) Não vermelha e) Vermelha ou verde f) Amarela g) Não amarela 11. No lançamento de dois dados, determine a probabilidade de se obter: a) A soma dos pontos igual a 10 (3/36) b) O número de pontos de uma das faces igual ao dobro do número da outra face (6/36) c) A soma dos pontos igual a 13 (0) d) Obter a soma dos pontos menor ou igual a 12 (36/36=1) e) Obter pontos iguais (6/36) f) A soma ser 8 (5/36_ g) A soma ser um número primo (15/36) h) A soma das faces ser 8 ou um número primo (20/36) i) A soma ser 6 ou 8 (5/18) 12. Uma carta é retirada de um baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade de ela ser: a) Uma dama ou carta de copas (4/13) b) Ser vermelha ou ser figura (32/52) c) Sair rei ou uma carta de espadas (4/13) d) Ser figura ou carta de paus (11/26) 13. Uma caixa contém 10 bolas, das quais 3 são vermelhas, 5 são azuis e duas são pretas. Retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade de: a) Ser vermelha (3/10) b) Não ser vermelha (7/10) 14. Se a probabilidade de um atirador acertar ao alvo é 4/7, qual a probabilidade dele errar o alvo? (3/7) 15. Uma caixa contém 20 bolas, das quais 12 são brancas, 5 são pretas e 3 são amarelas. Retira-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de: a) Ser amarela (3/20) b) Ser preta (1/4) c) Não ser amarela (17/20) d) Não ser preta (3/4) e) Não ser branca (2/5) 16. Uma urna tem 15 bolas, das quais 6 são brancas e 9 são pretas. Retiradas duas bolas ao acaso sem reposição, qual a probabilidade de se obter: a) Duas bolas pretas (12/35) b) Pelo menos uma bola branca (23/35) 17. Considere um grupo de 20 estudantes, dos quais 13 são homens e 7 são mulheres. Cinco homens e 3 mulheres usam óculos. Escolhido um estudante ao acaso, calcule a probabilidade de: a) O estudante escolhido não usar óculos (12/20) b) O estudante escolhido ser mulher (7/20)

7 7 c) Do estudante não usar óculos e ser mulher (4/7) 18. Qual a probabilidade de, no lançamento de um dado branco e um dado amarelo, ocorrer 4 no dado branco e face 6 no dado amarelo. (1/36) 19. Lançam-se um dado e uma moeda. Qual a probabilidade de se obter face 3 no dado e coroa na moeda. (1/12) 20. Numa urna há 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Qual a probabilidade de retirarmos sucessivamente uma bola branca e uma preta com reposição? (24/100) 21. Num sorteio, a caixa A contém 5 bolas brancas e 5 bolas pretas; a caixa B contém 10 bolas azuis e 40 bolas verdes; na caixa C há 15 amarelas e 4 vermelhas. Se sortearmos uma bola de cada caixa, qual é a probabilidade serem: branca da caixa A, verde da caixa B e amarela da caixa C? (8/25) 22. Se retirarmos aleatoriamente uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 7 ou um ás? (8/52) 23. Em um final de torneio de tiro ao alvo a probabilidade de X acertar no alvo é 1/2 e a de Y é 3/5. Qual a probabilidade de o alvo ser atingido, se ambos atirarem no alvo. (4/5) 24. Dois amigos foram caçar. Sabe-se que um deles tem 45% de probabilidade de acertar qualquer caça, enquanto o outro tem 60%. Qual a probabilidade de em cada tiro disparado: a) Ambos acertarem na caça (27%) b) Nenhum acertar na mesma caça (22%) c) A caça ser atingida (78%) d) Apenas um acertar a caça (51%) 25. A tabela descreve os hóspedes registrados pelo período de uma semana num hotel de Curitiba. A distribuição segue de acordo com o sexo e a idade: Hóspedes hotel PP, período XX Idade Sexo Total Feminino Masculino Abaixo de 20 anos Entre 20 e 40 anos Acima de 40 anos Total Se um hóspede é aleatoriamente escolhido, qual a probabilidade de: a) Ser mulher? (0,342) b) Ser mulher e ter acima de 40 anos? (0,127) c) Ser homem e ter menos de 20 anos? (0,0038) d) Ser mulher entre 20 e 40 anos? (0,165) e) Ser homem e ter menos de 40 anos? (0,418) f) Ter entre 20 e 40 anos? (0,589)

8 8 5 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE É uma distribuição de freqüências para os resultados de um espaço amostral. (as f são relativas probabilidades) Mostra a proporção das vezes em que a v. aleatória tende a assumir cada um dos diversos valores. Variável discreta: Em Estatística aplicada à Administração, tais dados ocorrem tipicamente através de processos de contagem, por isso, tais valores são e geralmente expressos por números inteiros. Exemplos: n o de pessoas por domicílio, n o de peças defeituosas encontradas em um lote, número de acidentes. Os específicos modelos discretos de probabilidade são as distribuições de probabilidade binomial, a de Poisson. e (hipergeométrica). Variável contínua: assume qualquer valor fracionário ao longo de um intervalo específico de valores. Os dados são gerados pelo processo de medição. Exemplos: pesos de caixas de laranjas, alturas de pinheiros, duração de uma conversa telefônica, tempo decorrido antes da primeira falha de um dispositivo, número médio de pessoas por domicílio em uma grande cidade. São retratadas por uma curva de probabilidade (normal) e (exponencial). VALOR ESPERADO (E(X)) ou média: é a média ponderada de todos os possíveis valores da variável com os respectivos valores de probabilidade tomado como pesos. E(X) = XP(X ) VARIÂNCIA: quadrado do desvio padrão Var(X) =. 2 2 X P( X ) - [ X. P( X )] = E(X 2 ) [E(X)] 2 Propriedades da média (v.a.discreta) 1. A média de uma constante é a própria constante Ek ( ) = kpx ( ) = k px ( ) = k 2. Multiplicando uma variável aleatória x por uma constante, sua média fica multiplicada por essa constante: E[kx]= kxpx ( ) = k xpx ( ) = kex [ ] 3. A média da soma de duas v. a. é a soma ou diferença das médias Ex [ ± y] = ( x± y) = xpx (, y) ± ypx (, y) = i j i i j j i j i i i i i i x p( x, y ) ± y p( x, y ) = x p( x ) ± y p( y ) = E[ x] ± E[ y] i i j i i j i i i j i j j i i j 4. A média do produto de duas v. a. independentes é o produto das médias Exy [ ] xypx (, y) = i j i j i j Exy [ ] = xypx ( ) py ( ), pois x e y são independentes i j i j i j Exy [ ] = xpx ( ) ypy ( ) = ExEy [ ] [ ] i i i j j j

9 9 Propriedades da variância (v.a.discreta) 1. A variância de uma constante é zero σ ( k ) = E[( k µ ) ] = E[( k k) ] = 0 2. Multiplicando-se uma v.a. por uma constante, sua variância fica multiplicada pelo quadrado da constante σ = E[( kx µ )] = E[ k ( x µ )] = k E[( x µ )] = k σ ( kx) ( kx) ( x) ( x) ( x) 3. Somando-se uma constante à uma v.a. sua variância não se altera σ ( x± k) = σ ( x) ± σ ( k) = σ ( x) pois σ 2 ( k) = 0 4. A variância da soma de duas v.a. independentes é a soma das respectivas variâncias σ ( x± y) = E[[( x± y) ( µ ± µ )] ] = E[[( x µ ) ± ( y µ )] ] = x y x y E[( x µ ) ± 2 E[( x µ )( y µ )] + E[( y µ )] 2 2 x x y y mas, E[( x µ )( y µ )] = E[( x µ ) E( y µ )] = COV = 0, pois x e y são x y x y xy V xy independentes. Onde CO =covariância entre x e y. portanto: σ ( x± y) = σ ( x) + σ ( y) Covariância: mede o grau de dispersão conjunta entre duas variáveis aleatórias. COV = E[( x µ )( y µ )], desenvolvendo, temos: CO V = E[ xy ] µµ xy x y 1. Demanda diária de aluguel de caminhonetes durante de um período de 50 dias Demanda possível (X ) Número de dias ( f ) Determine a probabilidade de serem solicitadas exatamente: a) Sete caminhonetes em um dia aleatoriamente escolhido. b) Serem solicitadas seis ou mais c) Valor médio a longo prazo (E(X) = 5,66) d) A variância (1,74) xy x y 2. O número de caminhões que chegam por hora, a um depósito segue a tabela abaixo. Calcular o número de chegadas por hora X e a variância dessa distribuição. Chegadas de caminhões por hora a um depósito Número de caminhões X Probabilidade P(X) E(X)=3,15 var(x)= 2,13

10 10 Uma das aplicações de E(X) é na tomada de decisão no risco. A decisão em situação de risco envolve os seguintes elementos: - Um número finito de alternativas, entre os quais uma decisão deve ser tomada. - Um certo número de estados da natureza, cujas probabilidades de ocorrência podem ser previstas. - Um certo número de conseqüências, resultando da influência de cada estado da natureza sobre cada alternativa. O risco da alternativa é medido pela diferença entre os estados mais favorável e desfavorável da natureza. Exemplo: 1. Uma pessoa tem duas alternativas: aceitar um prêmio de $ 100 (A); receber um pagamento de $ 200, se uma moeda cair cara, ou não receber nada, se a moeda cair coroa (B). Determine o pagamento esperado. Estados da P(x) Alternativas natureza A - Aceitar o B correr o prêmio risco Cara 0, Coroa 0, E(A)=100 E(B)=0,5x200+0,5x0=100 Os riscos são para as alternativas: R(A)= =0 R(B)=05x200-0,5x0=100 Portanto, As expectativas de pagamentos são iguais, entretanto a alternativa A não apresenta risco, ao passo que a alternativa B apresenta um risco considerável. 2. Uma pessoa pode comprar um bilhete de loteria que custa $ 100 e lhe dá uma oportunidade em um milhão de ganhar o prêmio de 10 milhões. Quais as expectativas de pagamento e os riscos? Estados da P(x) Alternativas natureza A Recusar a B Aceitar a loteria loteria Ganha o prêmio Não ganha E(A)= E(B)= x x0 = A alternativa A é preferível à alternativa B. O risco da alternativa A é R(A)= =0; R(B)= x x0 = Uma pessoa pode escolher entre dois investimentos: A: ações de uma indústria que tem, no passado, dado 30% de lucros; B: ações de uma nova companhia petrolífera que está realizando prospecções numa região onde, em média, uma concessão em três

11 11 tem obtido quantidades comerciais de óleo; em se obtendo óleo, o retorno sobre o investimento é de 70%; senão, é de 10%. Quais as expectativas de pagamento e os riscos? Estados da P(x) Alternativas natureza A - Aceitar o B correr o prêmio risco Descobre 1/3 30% 70% petróleo Não descobre 2/3 30% 10% As expectativas de pagamento são: E(A)=30%; E(B)= 1 x70% + 2 x10% = 30% ; As expectativas são iguais. Os riscos são: 3 3 R(A)=30%-30%=0 R(B)= 1 x70% 2 x10% = 16,7%. Portanto a alternativa B é mais arriscada Sabe-se que a demanda semanal Z de certa mercadoria tem a distribuição de probabilidade: Demanda (Z) ou mais P(Z) 0,05 0,10 0,25 0,30 0,20 0,10 0 1,00 A mercadoria é comprada a $ 2.500, por unidade, e vendida a $ durante a semana em questão: na semana seguinte, a mercadoria é considerada resíduo e vendida a $ 500. A embalagem custa $ 200 por unidade vendida na semana. Qual a quantidade ideal Q a ser estocada? Solução: Se Z Q, temos: Faturamento proveniente da venda de mercadoria nova: $ Z Custo da embalagem: $ -200 Z Faturamento proveniente da venda de resíduos: $ 500(Q-Z) Custo da mercadoria comprada: $ Q Portanto, o pagamento obtido é: 3.000Z 2.000Q Se Z>Q, o pagamento obtido é: 1.000Q A matriz de pagamentos está resumido no quadro seguinte. Como exemplos de cálculo de pagamentos, façamos: Z=2, Q=3; então o pagamento é: 3.000x x3= 0 Z=3, Q=2; então o pagamento é: 1.000x2= Calculando a expectativa de pagamento, ou lucro esperado, de cada alternativa: E(Q=0)=0 E(Q=1)=-2x0,05+1x0,95=0,85 E(Q=2)=-4x0,05-1x0,10+2x085=1,40 E(Q=3)=-6x0,05-3x0,10+0x0,25+3x0,60=1,20 E(Q=4)=-8x0,05-5x0,10-2x0,25+1x0,30+4x0,30=0,10 E(Q=5)=-0,10x0,05-7x0,10-4x0,25-1x0,30+2x0,20+5x0,10=-1,60 Portanto, a alternativa preferível é a de estocar Q=2 unidades, que conduz à melhor expectativa de pagamento E(Q=2)=1,40=$1.400

12 12 Matriz de pagamentos (em milhares) Estados da natureza da A =0 Deman P (Z) 0 0,05 1 0,10 2 0,25 3 0,30 4 0,20 5 0, =1 Alternativas Estocar Q Q Q Q =2 =3 =4 =

13 13 Exercícios 1) Uma confeitaria produz 5 bolos em determinado dia. As probabilidades de vender nenhum, um dois, três, quatro ou cinco valem respectivamente 1%, 5%, 20%, 30%, 29% e 15%. O custo total de produção de cada bolo é de 10 unidades monetárias. e o preço unitário de venda é 20 u. m. Calcule o lucro médio, e o desvio padrão. (15,2; 22.91) 2) Um negociante espera vender um automóvel até sexta-feira. A expectativa de que venda na segunda-feira, é de 50%. Na terça-feira é de 30%, na quarta-feira é de 10%, na quinta-feira é de 5% e na sexta-feira é de 5%. Seu lucro é de um se vender na segunda-feira e diminui 40% cada dia. Calcule o valor esperado de lucro deste negociante nesta venda. (2 199,84) 3) Um produto deve ser lançado no mercado no próximo ano. A expectativa do departamento de marketing de que o projeto seja bem sucedido é de 80%. Neste caso, o retorno esperado em sua vida útil é de 100.u. m. Se isto não acontecer, o prejuízo deve chegar a 50. u. m. Calcule o lucro médio, a variância e o desvio padrão. (70; 3.600; 60) 4) O trem do metrô para no meio de um túnel. O defeito pode ser na antena receptora ou no painel de controle. Se o defeito for na antena, o conserto poderá ser feito em 5 minutos. Se o defeito for no painel, o conserto poderá ser feito em 15 minutos. O encarregado da manutenção acredita que a probabilidade de o defeito ser no painel é de 60%. Qual é a expectativa do tempo de conserto? (11 minutos) 5) Um vendedor prepara quatro visitas e espera vender 1000 u. m. em cada uma delas. A expectativa de vender em cada cliente é de 80%, independentemente. Qual é o valor esperado de vendas deste vendedor? (3.200) 6) Uma máquina fabrica placas de papelão que podem apresentar nenhum, um, dois, três ou quatro defeitos, com probabilidade 90%, 5%, 3%, 1% e 1%, respectivamente. O preço de venda de uma placa perfeita é 10u.m. e a medida que apresenta defeitos, o preço cai 50% para cada defeito apresentado. Qual é o preço médio de venda destas placas? 9,34 7) Um investidor julga que tem 0,40 de probabilidade de ganhar $ e 0,60 de probabilidade de perder $ num investimento. Determine o ganho esperado. ($1000) 8) Um empreiteiro faz as seguintes estimativas: prazo de execução 10, 15 e 22 dias com as respectivas probabilidades de: 0,30, 0,20 e 0,50. Determine o prazo esperado para a execução da obra, de acordo com estas estimativas.(17 dias) 9) Os registros de uma grande cidade mostram a distribuição de candidatos para trabalhos não qualificados, durante o tempo em que se encontram desempregados. Duração do desemprego (semanas) oporção de candidatos 0,25 0,20 0,15 0,10 0,10 0,05 0,04 0,03 0,02 0,06 Qual a duração esperada de desemprego de um candidato? Determine o desvio padrão. 10) Uma urna contém 400 notas de $ 5,00 e 100 notas de $ 10,00. Qual o lucro esperado? (6) 11) Uma companhia de implementos agrícolas fixou a data para sua exposição anual e precisa decidir se a exposição será feita em recinto fechado ou a céu aberto. Julga ela que, se a exposição for feita a céu aberto, e se não chover, poderá ganhar $6.000,00 líquido. Se chover, entretanto, a exposição a céu aberto renderá somente $ 1.000,00. Por outro lado, se a exposição for feita em recinto fechado, a companhia espera ganhar $2.000,00, se chover, e $3.000,00, se não chover. Se a probabilidade de chuva é de 0,50,

14 14 calcule o lucro esperado para ambos os tipos de exposição e escolha o tipo que proporcione o máximo lucro. 12) No exercício anterior, a probabilidade de chuva é de 0,90. 13) Uma seguradora paga o preço integral de um carro em caso de perda total. Para um carro no valor de $ 40.00,00 é cobrado uma taxa de $ 1500,00. A probabilidade de que um carro tenha perda total é de 3%. Quanto espera a seguradora ganhar por carro segurado? (300) 14) As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que vá ao litoral num sábado são, respectivamente: 0,05; 0,20; 0,45; 0,25 e 0,05. Qual é o número médio de pessoas por carro? Se chegam no litoral 500 carros por hora, qual é o número esperado de pessoas, em 8 horas de contagem? (3,05: ) 15) O quadro abaixo representa o registro da qualidade do produto PP da fábrica PPY. Calcule a média de defeitos esperado e o desvio padrão. (0,75; 1,2) Nº de defeitos ou mais Percentagem de produtos 0,60 0,22 0,08 0,05 0,03 0, ) Um jogo um estádio de futebol, a lanchonete pode esperar lucrar $ 600 com a venda de cachorro-quentes se o dia for ensolarado, mas só $ 300 se o dia estiver encoberto e $ 100 se chover. As probabilidades para esses eventos são 0,6; 0,3 e 0,1. Qual é o lucro esperado? (460) Se for feito um seguro de $450 e o custo do seguro for de $ 100, qual será o lucro esperado?(405) 17) Um lojista mantém extensos registros de vendas diárias de um aparelho. O quadro a seguir dá o número x de aparelhos vendidos em uma semana e a respectiva probabilidade p(x) Número x P(x) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1. Se é de R$ 20,00 o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado nas vendas de uma semana? (54) 18) Os analistas da corretora de valores definiram os possíveis cenários da rentabilidade do mercado de ações para os próximos 12 meses: ruim, regular, bom e excelente. Pelo consenso do grupo de analistas, as rentabilidades e suas probabilidades associadas para o cenário estão registradas. Rendabilidade probabilidade Ruim -10% 10% Regular 0% 20% Bom +12% 40% Excelente +25% 30% Determine o valor esperado (11,30%) 19) O seguro de vida para pessoas com menos de 40 anos pago pela Seguradora FF é $ ,00. Para comprar esse seguro, a pessoa necessita pagar $600 por ano. Se a probabilidade de morte de uma pessoa com menos de 40 anos é 0,1% pede-se determinar a expectativa de lucro anual da seguradora. (400,60) 20) Um lago de areia, numa quermesse escolar para angariar fundos, apresenta 25 pacotes com valor unitário de $ 1, 5 pacotes valendo $ 5 cada um e 1 pacote valendo $ 10. Quanto gostaria de pagar para ter uma chance nesta pescaria, se quisesse ter um prêmio Um fabricante de pneus de automóveis conservou os registros de qualidade de seu no valor daquilo que você gastou? (1,94) 21) Um produto e obteve o seguinte quadro de valores baseado nos últimos 6 meses de produção: Número de defeitos

15 15 Percentagem de pneus Calcule a média de defeitos e o desvio padrão. (0,75; 1,2) 22) Um investidor não sabe se investe $ de sua herança numa ação que lhe foi recomendada ou se aplica num título de poupança que lhe rende juros de 9%. No ano seguinte a ação pode aumentar 20% de valor, ou diminuir 10% ou permanecer alterada. Estima-se que as probabilidades destas três ocorrências possíveis são de 0,3; 0,4 e 0,3 respectivamente. Que deveria ele fazer se só deseja investir durante um ano e os custos de investimento forem os mesmos, nos dois casos? (10200; poupança)

16 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Usa - se o termo binomial para designar situações em que os resultados de uma variável aleatória podem ser agrupados em duas classes ou categorias. Os dados são nominais. A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável sempre que o processo de amostragem é do tipo do de Bernoulli; isto é: a) Em cada tentativa existem dois resultados possíveis mutuamente exclusivos. Elas são chamadas por conveniência, sucesso ou fracasso. b) As séries de tentativas, ou observações são constituídas de eventos independentes. c) As probabilidades de sucesso p, permanece constante de tentativa para tentativa (estacionário). Três valores são necessários: X número de sucessos, n número de observações p probabilidade de sucesso em cada tentativa n x n X P(X) = ( ) X. p. q = n! p X!( n X )!. X X q n Se for expressa por proporções: X X n! p = P( p = ) = X p q n n X!( n X )! n X E(X) = np Var(X) = npq Exercícios: 1) A probabilidade de que um presumível cliente aleatoriamente escolhido faça uma compra é 0,20. Se um vendedor visita seis presumíveis clientes, qual a probabilidade de que fará exatamente quatro vendas. (0,01536) 2) Idem, 4 ou mais vendas ( = ) 3) Se a probabilidade de que um presumível cliente realize uma compra é 0,20, e se visita 15 presumíveis clientes, calcule o valor esperado do número de vendas e a variância (3,0: 2,4) 4) A probabilidade de que um empregado aleatoriamente escolhido participe de um programa de investimento em ações proporcionado pela empresa é de 0,40. Se 5 empregados são escolhidos aleatoriamente, calcule a probabilidade de que a proporção de participantes seja exatamente 0,60. (0,2304) 5) A probabilidade...é de 0,40. Se 10 empregados são escolhidos aleatoriamente, calcule a probabilidade de que a proporção dos participantes seja no mínimo 0,70. ( =0.0548) 6) Devido às altas taxas de juros, uma firma informa que 30% de suas contas a receber de outras firmas comerciais se encontram vencidas. Se um contador escolhe aleatoriamente uma amostra de 5 contas, determinar a probabilidade de: a) Nenhuma conta está vencida.

17 17 b) Exatamente duas contas estão vencidas c) A maioria das contas está vencida. d) Exatamente 20% das contas estão vencidas. ( ) 7) Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas em caixas que contém 12 peças. Calcule a probabilidade de um cliente comprar um caixa contendo: a) Nenhuma peça defeituosa; b) Uma peça defeituosa. (0,2824; 0,3766) 8) Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 20% dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, determine a probabilidade que: a) No máximo dois sejam pagos com atraso, b) No mínimo três sejam pagos sem atraso, c) Mais de 70% sejam pagos sem atraso. (0,206; 1; 0,8050.) 9) Uma amostra de 15 peças é extraída, com reposição de um lote que contém 10% de peças defeituosas. Calcule a probabilidade de que: a) O lote não contenha peça defeituosa; b) O lote contenha exatamente três peças defeituosas; c) O lote contenha pelo menos uma peça defeituosa; d) O lote contenha entre três e seis peças defeituosas; e) O lote contenha de três a seis peças defeituosas. (20,59; 12,9; 79,4; 5,3; 18,4) 10) Num hospital 5 pacientes devem submeter-se a uma cirurgia, da qual 80% sobrevivem. Qual a probabilidade de que: a) Todos sobrevivam, b) Pelo menos dois sobrevivam, c) No máximo 3 não consigam sobreviver. (0,3277; 0,9933.; 0,9933) 11) Um levantamento efetuado em um pregão da bolsa de valores mostrou que naquele dia 40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ações, enquanto que as ações restantes ficaram estáveis ou perderam valor. Um fundo negocia com ações de 10 destas empresas. Calcule a probabilidade de que neste dia: a) Todas as ações do fundo tenham se valorizado; b) No máximo ações de duas empresas não tenham se valorizado; c) Todas as ações do fundo tenham se desvalorizado ou ficaram estáveis. (0,01; 1,23; 0,60) 12) Uma confecção de roupa infantil suspeita que 30% de sua produção apresenta algum defeito. Se tal suspeita é correta, determine a probabilidade de que, numa amostra de quatro peças. Sejam encontradas: a) No mínimo duas peças com defeitos; b) Menos que três peças boas. (34,83; 34,83.) 13) Uma empresa distribuidora costuma falhar em suas entregas de mercadorias 15% das vezes, por atraso na entrega, mercadoria fora de especificação, danos etc., causando reclamação por parte dos clientes. Calcule a probabilidade de: a) Não ocorrer reclamação nas 10 entregas de hoje; b) Acontecer pelo menos uma reclamação nas 10 entregas; c) Acontecer no máximo uma reclamação nas 10 entregas. (19,69; 47,8 ; 54,43.) 14) Sabe-se que 20% dos clientes vêm a agência bancária exclusivamente para fazer depósitos. A agência, automatizando seus serviços, instalou caixas automáticas de

18 18 depósitos, que deveriam ser utilizadas por estes clientes. Por falta de hábito, apenas 30% destes clientes utilizam este serviço. Qual é a probabilidade de um funcionário, consultando clientes em uma fila de nove indivíduos a espera de atendimento em caixas comuns, encontrar pelo menos um cliente que deve ser instruído a usar o caixa automático para depósito? (74,27.) 15) Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas por ela emitidas são pagas após o vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a probabilidade de: a) Nenhuma ser paga com atraso, b) No máximo dois serem pagas com atraso, c) Ao menos 3 serem pagas com atraso (0,0008, 0,0398, 0,3075?). 16) Uma firma exploradora de petróleo acha que 5% dos poços que perfura acusam depósito de gás natural. Se ela perfurar 6 poços, determine a probabilidade de ao menos um dar resultado positivo. (0,2648) 17) Pesquisa médica indica que 20% da população em geral sofrem efeitos colaterais negativos com o uso de uma nova droga. Se um médico receita o produto a 4 pacientes, qual a probabilidade de: a) Nenhum sofrer efeito colateral, b) Todos sofrerem efeitos colaterais, c) Ao menos um sofrer efeitos colaterais (0,4096, 0,0016, 0,5904) 18) Ao testar certo tipo de caminhão em um terreno acidentado, constatou-se que 20% dos caminhões não conseguem terminar o teste sem ao menos um pneu furado. Qual a probabilidade de que, dentre os próximos 10 caminhões a serem testados, de 5 a 8 tenham um pneu furando? (0,033) 19) A probabilidade de um certo tipo de lâmpada queimar no período de 24 horas é de 0,01. Qual a probabilidade de um luminoso com 10 dessas lâmpadas permanecerem totalmente aceso durante aquele período? (0,904) 20) A probabilidade de um vendedor realizar uma venda com um único cliente é de 0,20. Ele visita 30 clientes distintos. Qual a probabilidade de que: a) Realize exatamente quatro vendas (0,1325), b) Pelo menos 3 vendas. ((0,9558) 21) 41% dos estudantes praticam alguma atividade esportiva. Escolhem-se 6 ao acaso para opinarem sobre esportes. Determine a probabilidade de: a) Nenhum praticar esportes, b) De todos praticarem esportes, c) De ao menos a metade praticarem esportes. (0,042; 0,0048; 0,4766) 22) Um lote de 500 peças é aceita se uma amostra aleatória de 10 peças acusa menos de duas defeituosas. O lote tem 5% de peças com defeito. Qual a probabilidade de ser aceita? (0,9139) 23) Numa agência de viagens, de cada 100 passagens vendidas, 30 são para o Rio de Janeiro. Na venda de seis passagens: a) Qual a probabilidade de que quatro seja para o Rio de Janeiro? b) Qual a probabilidade de que quatro ou mais sejam para o Rio de Janeiro? c) Qual a probabilidade de que nenhuma seja para o Rio de Janeiro? d) Qual a probabilidade de que no máximo duas sejam para o Rio de Janeiro? R: 0,06; 0,07; 0,12 0,74 24) Supondo que uma empresa aérea ZZ detém 30% dos vôos domésticos, determine a probabilidade de que, em oito acidentes aéreos, ocorram: a) Cinco acidentes com aviões da empresa ZZ

19 19 b) Menos de 3 acidentes com aviões da empresa ZZ c) Nenhum acidente com aviões da empresa ZZ (0,047; 0,494; 0,058) 25) Após a realização de uma pesquisa, onde se obteve que 85% dos que reservam lugares comparecem para o embarque, uma empresa aérea ZY passou a adotar a política de vender 105 passagens para um avião que dispõe de 98 assentos. Determine a probabilidade de que: a) Todos os assentos sejam preenchidos b) Sobre um passageiro sem assento c) Sobrem 3 assentos vazios (0,0039; 0,0018; 0,0333). 26) Seis parafusos são escolhidos aleatoriamente da produção de uma máquina que apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos: a) Nenhum deles (0,53l4) b) 2 deles (0,0984) c) Pelo menos um parafuso (0,4686) d) Todos os parafusos 27) Uma empresa produz parafusos dos quais 10% são defeituosos. Entre 4000 parafusos qual é a média esperada de defeituosos? E o desvio padrão? (36;1,8) 28) Sabe-se que a procura semanal de certa peça sobressalente é em média de 0,15. Deseja-se saber qual é a probabilidade, em uma determinada semana, serem demandadas: a) Zero peças (0,8607) b) 1 peça (0,1291) c) 2 peças (0,0097) d) Pelo menos 1 peça (0,1393). 29) Uma amostra de 15 peças é extraída, com reposição de um lote que contém 10% de peças defeituosas. Calcule a probabilidade de que: a) O lote não contenha peça defeituosa; (20,59). b) O lote contenha exatamente três peças defeituosas; (12,9). c) O lote contenha pelo menos uma peça defeituosa; (79,4). d) O lote contenha entre três e seis peças defeituosas; (5,3). e) O lote contenha de três a seis peças defeituosas. (18,4.). 30) Uma confecção de roupa infantil suspeita que 30% de sua produção apresenta algum defeito. Se tal suspeita é correta, determine a probabilidade de que, numa amostra de quatro peças. Sejam encontradas: a) No mínimo duas peças com defeitos; (34,83). b) Menos que três peças boas; (34,83) 31) Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade se formar é 0,3; Determine a probabilidade de que dentre 6 estudantes escolhidos aleatoriamente: a) Nenhum se forme, b) Pelo menos 2 se formem. (0,1176, 0,5798) 32) Se a probabilidade de ocorrência de uma peça defeituosa é 0,2, determine a média e o desvio padrão da distribuição de peças defeituosas em um total de 600. (120, 9,8) 33) Seis parafusos são escolhidos aleatoriamente da produção de uma máquina que apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos: a) nenhum deles (0,5314); b) dois deles (0,0984) c) pelo menos um parafuso (0,4686) 34) A companhia de aviação Golan afirma que 95% dos seus vôos chegam no horário. Se os registros dos vôos dos últimos três meses forem retirados uma amostra aleatória de 10 vôos, pede-se calcular a probabilidade de que: a) pelo menos 8 vôos chegaram no horário (98,85%); b) entre 7 e 9 vôos chegaram no horário (40,02%).

20 20 35) A montadora de carros sabe que no transporte de carros entre a fábrica e a concessionária, 3% dos carros transportados sofrem alguma avaria na sua pintura. Se uma concessionária receber 50 carros, pede-se calcular a probabilidade de que: a) nenhum dos carros transportados sofra avaria na pintura (21,81%); b) dois ou mais carros sofram avaria na pintura (44,47%). 36) Uma vendedora de automóveis descobriu, pela experiência, que duas entre dez pessoas que são levadas para um test drive em um novo automóvel compra um carro. Suponha que, em uma determinada noite, ela leve cinco pessoas para um test drive. Qual a probabilidade de que ninguém, entre essas cinco pessoas, compre um carro? (0,3277).

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