MÁXIMOS E MÍNIMOS. Capítulo Introdução. Definição7.1. Sejam A R n umconjuntoaberto, f : A R n Rumafunçãoe ε > 0(pequeno).

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1 Capítulo 7 MÁXIMOS E MÍNIMOS 7. Introdução Definição7.. Sejam A R n umconjuntoaberto, f : A R n Rumafunçãoe ε > 0(pequeno)..Umponto x 0 éumpontodemínimolocalde fseexiste B(x 0,ε),talque: f(x 0 ) f(x),paratodo x B(x 0,ε).Umponto x 0 éumpontodemáximolocalde fseexiste B(x 0,ε),talque: f(x) f(x 0 ),paratodo x B(x 0,ε).Emambososcasos, x 0 éditoextremorelativooulocalde fe f(x 0 )éditovalor extremode f Figura 7.: Exemplo 7.. []Se z = f(x,y) = x + y,então, (0,0)épontodemínimolocalde f. Defato, x + y 0,paratodo (x,y) R. 0 = f(0,0) f(x,y) = x + y,paratodo(x,y) Dom(f) 59

2 60 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS eovalormínimoéz = 0,queéatingidonaorigem Figura 7.: Exemplo[]. []Se z = f(x,y) = x ;então {(0,y) R /y R}éumconjuntoinfinitode pontosdemáximolocaisde f. Defato, x 0,paratodo (x,y) R e f(0,y) = 0.Logo f(x,y) f(0,y)para todo (x,y) R. Então, fatingeseuvalormáximo 0emqualquerpontodareta {(0,y) R /y R} Figura 7.: Exemplo[]. Teorema7..Seja f : A R n Rumafunçãodeclasse C,definidanoaberto Ae x 0 Aumpontoextremolocalde f.então f(x 0 ) = 0. Paraaprova,vejaoapêndice. Definição 7...Umponto x 0 talque f(x 0 ) = 0éditopontocríticode fe f(x 0 )éditovalor críticode f.casocontrário, x 0 éditopontoregularde fe f(x 0 )valorregularde f..umpontocríticoquenãoémáximolocalnemmínimolocaléchamadodepontode sela.

3 7.. INTRODUÇÃO 6 Para n =, f(x,y,z) = 0éequivalentearesolveroseguintesistemadeequações: x (x,y,z) = 0 y (x,y,z) = 0 (x,y,z) = 0. z Analogamentepara n = : x (x,y) = 0 (x,y) = 0. y Agora, podemos enunciar o Teorema da função implícita de uma forma mais geométrica: Seja fumafunçãodeclasse C k (k > 0)definidanumabertode R n.paratodovalor regular cde f,oconjunto f (c)(senãoforvazio)éumasuperfície(curva)de classe C k. Exemplo 7.. []Seja z = f(x,y) = x + y.então f(x,y) = (x,y)e: { x = 0 y = 0; aúnicasoluçãodosistemaéx = 0ey = 0; (0,0)épontocríticode f. []Seja z = f(x,y) = 4xy x y x. () x (x,y) = 4y 4xy = 0 () o sistema é equivalente a: y (x,y) = 8xy x = 0; { () 4y 4xy = () x(4y x) = 0; de ():assoluçõessão x = 0ou 4y x = 0. Se x = 0,então,de (), 4y =, y = ± e (0, ± )sãoospontoscríticos.se 4y = x, então,de (), x = 4,quenãotemsoluçãoreal.

4 6 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS []Seja f(x,y) = xy 8 + x +, x, y 0. y () x = y 8 x = 0 () y = x 8 y = 0; como x, y 0,tirandoovalordeumadasvariáveisem ()esubtituindoem (), obtemosasolução x = y =.Logo (,)éopontocríticode f. [4]Seja f(x,y) = (x + y )e (x +y ). () x = 4xe (x +y ) ( x y ) = 0 () y = 4ye (x +y ) ( x y ) = 0, que é equivalente ao sistema: { () x( x y ) = 0 () y ( x y ) = 0; de ()e(),assoluçõesdosistemasão: x = y = 0ex + y =.Observequeesta funçãotemumacurvadepontoscríticos.ospontoscríticossão (0,0)eospontos docírculo {(x,y) R /x + y = }. [5]Seja f(x,y) = (x y )e x +y. () x Figura 7.4: Exemplo[4]. = e (x +y ) (x x(x y )) = 0 () y = e (x +y ) ( y y (x y )) = 0,

5 7.. INTRODUÇÃO 6 que é equivalente ao sistema: { () x( x + y ) = 0 () y ( x + y ) = 0; de ()e(),assoluçõesdosistemasão: (0,0), (±,0)e(0, ± ),quesãoos pontoscríticosde f. Figura 7.5: Exemplo[5]. [6]Seja f(x,y) = x y x + y +. () x = x( + y ) x + y + = 0 () y = y ( + x ) x + y + = 0, que é equivalente ao sistema: { () x = 0 () y = 0; aúnicasoluçãodosistemaé: (0,0),queéopontocríticode f.

6 64 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS [7]Seja f(x,y,z) = Figura 7.6: Exemplo[6]. 4 xy z + x + y + z.osistema f(x,y,z) = 0éequivalentea: () y z ( x + y + z) = 0 () xz ( + x y + z) = 0 () xy ( + x + y z) = 0; de (), ()e(),temosqueosistematemcomoúnicassoluções (0,0,0)e (,,), quesãoospontoscríticosde f. 7. Determinação dos Extremos Locais Seja f : A R R.Paradimensão,ofatodeque f(x 0 ) = 0implicaemque oplanotangenteaográficode fnoponto x 0 sejaparaleloaoplano xy,fatoanálogo aoqueocorreemdimensão. Teorema 7.. Seja a família de funções: f(x,y) = Ax + B xy + C y, talque A, B, C Renãosãotodassimultaneamentenulas.Denotemospor = AC B..Se > 0eA > 0,então (0,0)épontodemínimode f..se > 0eA < 0,então (0,0)épontodemáximode f..se < 0,então (0,0)épontodeselade f. Paraaprova,vejaoapêndice.Noteque A = Nocaso = 0,nãoépossíveltomarumadecisão. f x, B = f x y e C = f y.

7 7.. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS LOCAIS 65 Exemplo 7.. []Determineospontosextremosde f(x,y) = x + xy + y. Nestecaso A =, B = e C = ; < 0;então (0,0)éumpontodesela Figura 7.7: Exemplo[]. []Determineospontosextremosde f(x,y) = x xy + y. Nestecaso A =, B = e C = ; > 0;então (0,0)éumpontodemínimode f eovalormínimoéf(0,0) = Figura 7.8: Exemplo[]. Denotemos por: = det(h(x,y)) onde: H(x,y) = f x f y x f x y f y easderivadasparciaissãocalculadasnoponto (x,y).amatriz H(x,y)échamada dematrizhessianade f.

8 66 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS Teorema7..Sejam fumafunçãodeclasse C definidanumconjuntoaberto U R e (x 0,y 0 ) Uumpontocríticode fedenotemospor: A(x,y) = f x (x,y) e (x,y) = det( H(x,y) )..Se A(x 0,y 0 ) > 0e (x 0,y 0 ) > 0,então (x 0,y 0 )épontodemínimolocalde fem U..Se A(x 0,y 0 ) < 0e (x 0,y 0 ) > 0,então (x 0,y 0 )épontodemáximolocalde fem U..Se (x 0,y 0 ) < 0,então (x 0,y 0 )épontodeselade fem U. 4.Se (x 0,y 0 ) = 0,nadasepodeconcluir. Paraaprova,vejaoapêndice. Observação 7.. Se (x 0,y 0 )épontodemínimolocalde f,entãoascurvasdeníveleográficode f numavizinhançade (x 0,y 0 )e(x 0,y 0,f(x 0,y 0 )),respectivamente,sãodaforma: Figura 7.9: Se (x 0,y 0 )épontodemáximolocalde f,entãoascurvasdeníveleográficode f numavizinhançade (x 0,y 0 )e(x 0,y 0,f(x 0,y 0 )),respectivamente,sãodaforma: Figura 7.0: Se (x 0,y 0 )épontodeselade f,entãoascurvasdeníveleográficode fnuma vizinhançade (x 0,y 0 )e(x 0,y 0,f(x 0,y 0 )),respectivamente,sãodaforma:

9 7.. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS LOCAIS Figura 7.: Se féumafunçãocontínuanoponto (x 0,y 0 )eseasderivadasparciaisde fnão existemnoponto (x 0,y 0 ),mesmoassimépossívelqueestepontosejaextremoe deveserexaminadoseparadamente.porexemplo, f(x,y) = x + y écontínua em R easderivadasparciaisnaorigemnãoexistem.poroutrolado 0 x + y, paratodo (x,y) R e f(0,0) = 0 f(x,y),paratodo (x,y) R ;logo, (0,0)é pontodemínimolocalde f.vejaoexercício6). Figura 7.: NoCálculoemumavariável,seumafunçãocontínuapossuidoispontosdemáximo local, necessariamente deve existir um ponto de mínimo local. No caso de váriasvariáveis,umafunçãopodeterdoispontosdemáximoenãopossuirnenhumpontodemínimo.defato: Exemplo 7.4. Seja f(x,y) = (x ) (x y x ) ;claramente fécontínuaem R. Determinemos os pontos críticos: x = ( x(x ) + ( xy)( + x x y) ) = 0 y = x ( + x x y) = 0. Resolvendoosistemaobtemosospontoscríticos (,0)e(,). A(x,y) = + 4y + xy x (y + ) (x,y) = 8x ( + 6x + x (5 7y) 9x y + x 4 (5y ));

10 68 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS logo, A(,0) = 0e (,0) = 6; A(,) = 6e (,) = 6. Ambosos pontossãodemáximolocalde fe fnãopossuipontosdemínimo. Figura7.: Desenhosdográficode faoredordospontosdemáximolocaleo gráficode f Figura 7.4: As respectivas curvas de níveis. Podeexistirumpontodeselaquandoexistemdoispontosdemáximooudemínimo. De fato, seja: f(x,y) = x 4 + y 4 4xy + ; claramente fécontínuaem R.Ospontoscríticossão (0,0), (, )e(,)e(0,0) épontodesela, (, )e(,)sãopontosdemínimolocalde f. Seconsideramos g(x,y) = f(x,y),oponto (0,0)épontodeselae(, )e(,) sãopontosdemáximolocalde f Figura7.5:Curvasdenívelegráficode f(x,y) = x 4 + y 4 4xy +

11 7.. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS LOCAIS Exemplos []Classifiqueospontoscríticosde f(x,y) = x + y + x y + 4. Determinemos os pontos críticos: Resolvemos o sistema: = x + xy = x( + y) = 0 x y = y + x = 0, que é equivalente a: { x( + y) = 0 y + x = 0. Ospontoscríticossão (0,0), (, )e(, ). (y + ) x H(x,y) =. x A(x,y) = (y + ), (x,y) = 4( + y x ). Ptos. Críticos A T ipo V alor (0, 0) 4 mín 4 (, ) 0 8 sela (, ) 0 8 sela Figura7.6:Curvasdenívelegráficodoexamplo[]. []Classifiqueospontoscríticosde f(x,y) = x 4 + y 4 x y. Determinemosospontoscríticos: x = 4x(x )e y = 4y (y );osistema é: { () x(x ) = 0 () y (y ) = 0.

12 70 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS Logo,ospontoscríticossão: (0,0), (0,), (0, ), (,0), (,0), (,), (, ), (,)e(, ). 4(x ) 0 H(x,y) =. 0 4(y ). A(x,y) = 4(x ), (x,y) = 6(x )(y ). Ptos. Críticos A T ipo V alor (0, 0) 4 6 máx 0 (0, ) 4 sela (, 0) 8 sela (, ) 8 64 mín - (0, ) 4 sela (, 0) 8 sela (, ) 8 64 mín - (, ) 8 64 mín - (, ) 8 64 mín Figura7.7:Curvasdenívelegráficodoexamplo[]. []Classifiqueospontoscríticosde f(x,y) = (x y ) e ( x +y ). Sabemosque fpossuiosseguintespontoscríticos: (0,0), (,0), (,0), (0, ) e (0, ). ( 5x + y + x 4 x y ) (x y )xy H(x,y) = e ( x +y ). (x y )xy (5y + x y y 4 x ). A(x,y) = e ( x +y ) ( 5x + y + x 4 x y ), (x,y) = e ( x +y ) (4 8x x 4 +x 6 8y +x y x 4 y y 4 x y 4 +y 6 ).

13 7.. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS LOCAIS 7 Ptos. Críticos A T ipo V alor (0,0) > 0 < 0 sela (,0) < 0 > 0 máx e (,0) < 0 > 0 máx e (0, ) > 0 > 0 mín e (0, ) > 0 > 0 mín e Figura7.8:Curvasdenívelegráficodoexamplo[]. [4]Classifiqueospontoscríticosde f(x,y) = x 4 + y 4 (x y). Determinemos os pontos críticos: () x = 4(x x + y) = 0 () y = 4(y + x y) = 0; somandoasequações(() + ()): y = x;de ()obtemosque y = 0ou y = ± e temosasseguintessoluções: (0,0), (, )e(, ). A(x,y) = x 4, (x,y) = 48(x + y x y ). Pts. Críticos A T ipo V alor (0,0) < 0 0? (, ) > 0 > 0 mín 8 (, ) > 0 > 0 mín 8 Analisemos separadamente o ponto crítico (0, 0): A(0,0) < 0 e (0,0) = 0; logo,oteoremanãopodeseraplicado,masexaminaremososinalde fnumavizinhançade (0,0): f(0,0) = 0.

14 7 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS Aproximando-sede (0,0)pelareta y = x,temos f(x,x) = x 4 > 0. Aproximando-sepeloeixodos x, (y = 0),temos f(x,0) = x (x ) < 0se x < ; logo ftomavalorespositivosenegativosnumavizinhançade (0,0);então (0,0) nãoépontodemáximonemdemínimo. Nascurvasdenívelde f,podemserobservadosospontosdemínimoepertode (0,0)nãoaparecempontosdeselaouextremos: Figura7.9:Curvasdenívelegráficodoexamplo[4]. [5]Classifiqueospontoscríticosde f(x,y) = x + y. Determinemos os pontos críticos: () x = x (x + y ) = 0 () y y = (x + y ) = 0. Asderivadasparciaisem (0,0)nãoexistem;logo,nãotempontoscríticos.Afunção é contínua em (0, 0); logo, apresenta uma"quina"na origem. Por outro lado: = f(0,0) f(x,y) = x + y paratodo (x,y) R ;então (0,0)éumpontodemáximode f Figura7.0:Curvasdenívelegráficodoexamplo[5].

15 7.. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 7 [6]Determineospontosextremosde f(x,y) = x xy + y. Determinemos os pontos críticos: x y = (x y) = 0 = (y x) = 0. Resolvendoosistemaobtemos y = xeospontoscríticosde fsãoospontosda reta y = x. A(x,y) = e (x,y) = 0. Comoantes,notamosque: f(x,x) = 0e f(x,y) = (x y) > 0se x y;logoospontoscríticos (x,x)sãopontosdemínimos locais Figura7.:Curvasdenívelegráficodoexamplo[6]. 7. Problemas de Otimização [] De todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das arestas é constante e igualaa(a > 0),qualéoquetemvolumemáximo? Sejam x, ye zasarestasdoparalelepípedotalque x + y + z = a. z x y Figura 7.: Paralelepípedo do exemplo[]. SeuvolumeéV = xyz.como z = a x y,temosque V = xy z = xy (a x y) eafunçãoamaximizaré: f(x,y) = xy (a x y)

16 74 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS Determinemos os pontos críticos: = y ( a + x + y) = 0 x y = x(x a + y) = 0. Como xeysãoarestas x > 0, y > 0;osistemaéequivalentea: { a + x + y = 0 x a + y = 0; aúnicasoluçãopossívelé x = a e y = a. A(x,y) = y, (x,y) = 4xy (a (x + y)) A ( a, a ) (a < 0 e, a ) a = > 0; logo ( a, a ) a épontodemáximo. Asarestassão x =, y = a e z = a ;logoo volume é: V = a 7. O paralelepípedo é um cubo. []Determineadistânciamínimadaorigemaoplano x + y + z = 6. Notequeoplanonãopassapelaorigem. Figura 7.: Exemplo[]. Oquadradodadistânciadaorigemaoponto (x,y,z)édadapor d = x + y + z ; oponto (x,y,z)pertenceaoplano;logo, z = 6 x yeminimizaremosaseguinte função: f(x,y) = x + y + (6 x y). Determinemos os pontos críticos: = (x + y 6) = 0 x y = (x + 0y 8) = 0;

17 7.. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 75 osistematemumaúnicasolução: ( 6, 8 ),queéopontocríticode f. Poroutrolado, A(x,y) = 4e (x,y) = 44.Emparticular, A ( 6, 8 ) ( 6 > 0, e, 8 ) > 0; então ( 6, 8 ) 6 éumpontodemínimolocalde f; z = ;logo, d = 6. []Determineovalormáximodasomadosco-senosdosângulosdeumtriângulo. Devemos maximizar: w = cos(x) + cos(y) + cos(z), onde x, y, zsãoosângulosdotriângulodado.mas, x+y+z = π;logo z = π x y. f(x,y) = cos(x) + cos(y) + cos(π (x + y)) = cos(x) + cos(y) cos(x + y). Determinemos os pontos críticos: () x = sen(x) + sen(x + y) = 0 () y = sen(y) + sen(x + y) = 0; fazendo () (),temos sen(x) = sen(y);então, x = you x = π y. (a)se x = y,daprimeiraequaçãoobtemos: sen(x) sen(x) = 0; logo sen(x) = 0ou cos(x) =.Se sen(x) = 0, x = 0ou x = π,oqueéimpossível. Se cos(x) =, x = π ;como x = y,tem-se y = π,logoopontocríticoé( π, π ). (b)se x = π y,dasegundaequaçãoobtemos; sen(y) = 0;logo y = 0ou y = π,o que é impossível. Portanto, ( π, π ) éoúnicopontocríticode f.poroutrolado: A(x,y) = cos(x) + cos(x + y), (x,y) = cos(x)(cos(y) cos(x + y)) cos(y)cos(x + y), A ( π, π ) (π < 0 e, π ) > 0; logo, ( π, π ) π éumpontodemáximolocalpara f.como z = π x y, z = eo valormáximodasomaé: cos ( π ) + cos (π ) (π) + cos =.

18 76 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS [4] Uma caixa retangular tem três faces nos planos coordenados e um vértice P = (x,y,z)noprimeirooctantesobreasuperfície x + y + z =. Calculeo volume da maior caixa com essas características. OvolumedacaixaéV = xyzonde x, ye zsãooscomprimentosdasarestasda caixa; z = x y.seja f(x,y) = xy ( x y ).Determinemosospontos críticos: x = y ( x y ) = 0 y = x( x y ) = 0; xeysãoarestas,logo x > 0, y > 0eosistemaéequivalentea: { x y = 0 x y = 0; logo,oúnicopontocríticoadmissívelé: (, ),pois xeysãocomprimentosdas arestasdacaixa(x > 0ey > 0). A(x,y) = 6xy, (x,y) = 6x y ( x y ), A (, ) = e (, ) 5 = 4 ; então (, ) éumpontodemáximo, z = e V = 8 u.v. [5] De todos os triângulos de perímetro fixado, determine o de maior área. Sejam x, yezosladosdotriângulo.usandoafórmuladeheron,oquadradoda áreadotriânguloé: A = s (s x)(s y)(s z),onde s = x+y+z.maximizemos afunção: f(x,y) = s (s x)(s y)(x + y s). Determinemos os pontos críticos: x y = (s y)(s x y) = 0 = (s x)(s x y) = 0; como s xes y,obtemos: x = s e y = s.poroutrolado: A(x,y) = s(s y), (x,y) = s (5s 8s(x + y) + 4(x + xy + y )), A ( s, s ) (s < 0,, s ) > 0; logo, ( s, s ) s épontodemáximoez =.Otriânguloéequilátero.

19 7.. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO MínimosQuadrados Suponha que numa experiência realizada foram coletados os seguintes pares de dados (x,y ), (x,y ),..., (x n,y n ), (x n,y n ),taisqueos x i nãosãotodosiguais. Ateoriasubjacenteàexperiênciasugerequeosdadosdevemestaraolongode umareta y = ax + b.devidoaerrosexperimentais,ospontosnãosãocolineares. O método dos mínimos quadrados consiste em determinar a reta que melhor se ajustaaosdados,ouseja,consisteemdeterminar aebdemodoqueasomados desvios verticais seja mínima. (x i,y i ) x i Figura 7.4: Dadosospontos (x i,y i ),( i n)opontosobreareta y = ax + bqueestámais próximo(distânciavertical)dospontosdadostemcoordenadas (x i,ax i + b);logo o quadrado da distância vertical a estes pontos é: E i = ((ax i + b) y i ), i n. n Minimizaremosafunção: f(a,b) = E + E E n = ((ax i + b) y i ). Calculandoasderivadasparciais a, b eigualandoazero,obtemososistema: n n n a x i + b x i = x i y i i= i= i= n n a x i + n b = y i. i= Esteéumsistemalinear,quetemumaúnicasoluçãoqueminimiza f. i= i=

20 78 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS Exemplo 7.5. []Determinearetaquemelhorseajustaaospontos (0,0), (,), (, ), (,), (,)e(,). i x i y i x i x i y i n xi yi x i xi y i Logo, obtemos o sistema: { 9a + b = 4 a + 6b = 8, quetemcomosolução a = 4 7 e b = ;então,aretaéy = 4x 7 +. Figura 7.5: Exemplo[]. []Determinearetaquemelhorseajustaaospontos (, 5), (, ), (,),

21 7.. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 79 (, ), (5, ), (4,)e(,4). i x i y i x i x i y i n xi yi x i xi y i Logo; obtemos o sistema: { 65a + b = 7 a + 7b = ; quetemcomosolução a = 5 67 e b = 6 ;então,aretaé67y = 5x Figura 7.6: Exemplo[]. [] Considere a seguinte tabela sobre mortes por consumação de álcool per cápita, no ano de 00, dos seguintes países: País l/p Mortes A B 00 0 C D E F i)suponhaqueexisteumacorrelaçãolinearentreosdadosdatabelaeutilizeo método dos mínimos quadrados para determinar a reta de melhor ajuste à tabela.

22 80 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS ii)senumpaísaconsumaçãofoide550litrospercápitanoanode00,utilizando i), determine a possível mortalidade. i) Determinamos a reta que fica a menor distância vertical dos pontos (50, 95), (00,0), (50,65), (70,67), (400,70)e (470,74). n xi yi x i xi y i Logo, obtemos o sistema: { 79800a + 40b = a + 6b = 89, quetemcomosolução a = e b = ;então,aretaé: y = 846x Figura 7.7: Exemplo[] i). ii)se x = 550, y = Máximos e Mínimos Absolutos Definição7..Sejam f : A R n Rumafunçãoex 0 A..Oponto x 0 éumpontodemínimoabsolutode fem Ase f(x 0 ) f(x),paratodo x A..Oponto x 0 éumpontodemáximoabsolutode fem Ase f(x) f(x 0 ),paratodo x A.

23 7.4. MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS 8 Exemplo 7.6. []Seja f : R Rdefinidapor f(x,y) = x + y.como x + y 0paratodo (x,y) R e f(0,0) = 0,temosque f(x,y) f(0,0)paratodo (x,y) R.Logo (0,0)épontodemínimoabsolutode f. []Seja f : R Rdefinidapor f(x,y) = x + y.como x + y 0para todo (x,y) R e f(0,0) = 0,temosqueef(x,y) f(0,0)paratodo (x,y) A. Logo (0,0)épontodemáximoabsolutode f. Figura 7.8: Desenhos do exemplo[] e[], respectivamente. Nos parágrafos anteriores estabelecemos condições para que um ponto seja um pontodemáximolocal(oudemínimolocal)de f.agoranossoobjetivoéverificar aexistênciadepontosdemáximosemínimosabsolutosde fedeterminartais pontos. Do Cálculo de uma variável conhecemos o teorema de Weierstrass que nos garante a existência de pontos extremos absolutos; no teorema, é fundamental que a função contínua a estudar esteja definida em um intervalo fechado e limitado. A seguir daremos algumas definições que estendem as características dos intervalos fechadoselimitadosar n eenunciaremosoteoremaquegarantiráaexistênciade máximos e mínimos absolutos. Definição7.4.Umconjunto A R n éditolimitadoseexisteumaconstante c > 0talque x c,paratodo x A. Equivalentemente, se A está contido na bola B(0, c). Lembramos que o conjunto A R n éfechadoem R n se A A.VejaoCapítuloIII.Intuitivamente,umasuperfície é fechada e limitada se ela separa o espaço em duas regiões, uma"interior"e outra"exterior"àsupefície.éocasodeumaesferaem R. Exemplo 7.7. [] A = {(x,y,z) R /x + y + z r, r > 0}éfechado,poissuafronteiraé: A = {(x,y,z) R /x + y + z = r, r > 0}. Logo A A.Claramente Aélimitado.

24 8 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS [] A = {(x,y) R /x + y < r, r > 0}nãoéfechado,poissuafronteiraé: Logo A A. Aélimitado A = {(x,y) R /x + y = r, r > 0}. [] A = [a,b] [c,d]éumconjuntofechadoelimitado,pois Aéoretânguloformadopelasretas x = a, x = b, y = cey = d. [4]Osplanosem R sãofechadosenãolimitados. Teorema7.4.(Weierstrass)Seja f : A R n Rumafunçãocontínuanoconjunto Afechadoelimitado.Então,existempontosdemáximoemínimoabsolutode fem A,isto é,existem x 0, x Ataisque f(x 0 ) f(x) f(x )paratodo x A. Exemplo Importante []Sejam A = {(x,y) R /x +y < }ef : A R Rdefinidapor f(x,y) = y. i) fédiferenciávelem R ;logo,édiferenciávelem A;poroutrolado f(x,y) = (0,);então,afunçãonãopossuipontoscríticoseportantonãopossui pontosextremosem A(nemem R ). ii) Suponhamos que agora, f tome valores no conjunto: B = {(x,y) R /x + y }. O conjunto B é fechado e limitado; f é, claramente, contínua; o teorema de Weierstrassnosaseguraaexistênciadepontosextremosabsolutosde fem B. iii)pori)ospontosextremosde fdevemestarem B = {(x,y) R /x + y = }. Defato,afunção fassociaacadaparordenadosuaordenada;então: = f(0, ) f(x,y) f(0,) =, paratodo (x,y) B.Logo (0, )e(0,)sãopontosdemínimoemáximoabsolutosde fem B.Notequeestespontosnãosãopontoscríticosde f. A seguir faremos algumas considerações geométricas sobre o exemplo, que serão importantesnosparágrafosseguintes.consideremos g(x,y) = x + y ;então g(x,y) = (x,y);logo,nãoédifícilverqueosúnicospontosonde g(x,y)e f(x,y)sãoparalelossãoosnospontosdemínimoemáximo (0, )e(0,). g(0,) f(x,y) f=c - g(0,-) Figura7.9:Mínimoemáximode g.

25 7.4. MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS 8 Seumextremoabsolutode focorreem A A,então,tambéméumextremolocal de f; logo, um extremo absoluto que não seja um extremo local, necessariamente está na A. Portanto, para determinar um extremo absoluto, primeiramente determinamos os extremos locais e, então, comparamos o maior e o menor desses valorescomosvaloresde faolongoda A.Logopodemocorrerpontosextremos de fnafronteiraeestesextremosnãoserempontoscríticosde f. []Seja f : A R n Rumafunçãodefinidapor f(x,y) = x + xy 4(x y), onde A = [0,] [0,].Oconjunto Aéfechadoelimitadoefcontínua;logo, ftem pontosdemáximosedemínimosabsolutos.pontoscríticosde fem A A: = x + y 4 = 0 x = x + 8 = 0, y ( 4,6)éoúnicopontocríticode fe ( 4,6) / A.Portanto,ospontosdemáximoe mínimode fsãoatingidosna A. Análisedospontosda A: A = L L L L 4,onde L i ( i 4)sãoos lados do retângulo A: L L 4 A L L Figura 7.0: Afunção: g(y) = f(,y) = 0y ; 0 y, expressa frestritaal.omenorvalorde géatingidoem y = 0eomaiorvalorde gem y =.Portanto, (,0)épontodemínimode fe (,)épontodemáximode f,quandorestritaal.afunção: h(x) = f(x,) = x + 6; 0 x, representa frestritaal. (0,)épontodemínimode frestritaal. Analogamente,Afunção frestritaal e L 4 tempontosdemáximo (0,0)e (0,)respectivamenteepontosdemínimo (,0)e (0,0)respectivamente. f(0,0) = 0,f(,0) =, f(,) = 7ef(0,) = 6. P f(p) (,0) (,) 7 (0,) 6 (0,0) 0

26 84 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS Conclusão:Ovalormáximode fem Aé7eéatingidonoponto (,)eovalor mínimode fem Aé eéatingidonoponto (,0). OmétodoqueestudaremosaseguirédevidoaLagrangeeproporcionaumacondição necessária para a existência de pontos extremos sujeitos a uma restrição. Tais pontos extremos são ditos condicionados. 7.5 Método dos Multiplicadores de Lagrange Antes de apresentar o método, examinemos o seguinte exemplo: Exemplo 7.8. Determineospontosextremosde f(x,y) = x + y taisque y = x +. Considereafunção g(x,y) = y x eoconjuntodenívelzerode g: S = {(x,y) R /y x = 0}. Oconjuntodenível Séumaretapassandopor (,0)e(0,).Ascurvasdenível cde fsão x + y = c. Para c > 0 são círculos concêntricos. Quanto menor a distância entre as circunferênciaseaorigem,menorseráovalorde f.desejamosencontrarospontosextremos de f(x,y)quando (x,y) S,ouseja,devemosdeterminarqualacircunferência que intersectando S está a menor distância da origem. Figura 7.: Observandoodesenhovemosqueacircunferênciaquetangenciaareta Séaque estámaispróximadaorigem.nopontodetangência,ovetornormalàcircunferênciaétambémnormalàreta S,logo, f(x,y) = (x,y)devesemúltiplode g(x,y) = (,),ouseja, (x,y) = = λ(,), λ R.Equivalentemente: { x = λ y = λ;

27 7.6. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS CONDICIONADOS 85 resolvendoosistemaecomo y = x +,obtemosassoluções: x = e y =. Logo, f(, ) = g(x,y).afunção f(x,y) = x + y atingeseumenorvalor sobreareta Snoponto (, ).Defato: f(x,y) f(, ) = x + y = x + (x + ) = (x + ) 0. Figura 7.: 7.6 Determinação dos Extremos Condicionados Sejam f, g : A R n RfunçõesdiferenciáveiseA R n umaberto. Para determinar os pontos extremos de f restrito à condição g(x) = 0, formamos a combinação linear: Φ(x) = f(x) + λg(x) onde λ R.Consideremososistemade n + equações: Φ (x) = 0 r =,,...,n x r g(x) = 0. Noteque Φ (x) = g(x). Lagrangeprovouqueasoluçãodoproblemaéobtida λ resolvendo o sistema. Teorema7.5.Sejam f, g : A R n Rfunçõesdeclasse C.Denotemospor Sum conjuntodenívelde g.se ftemumpontodemáximooudemínimo x 0 Se g(x 0 ) 0, entãoexiste λ Rtalque: f(x 0 ) = λ g(x 0 )

28 86 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS Paraaprova,vejaoapêndice. Interpretemosoteoremaem R.Suponhaquedesejamosdeterminarovalormáximode frestritoàscurvasdenível g(x,y) = 0.Façamos f(x,y) = c i,querepresentaparacada c i umacurvadenívelde f.seporexemplo f(x,y) = c 0 intersecta acurva g(x,y) = 0transversalmente,istoé,demodoque,umanãosejatangenteà outra ou, f e g sejam linarmente independentes no ponto de interseção, é possívelverificarqueparavalorespróximosde c 0 ascurvasdenívelde fcontinuam intersectando g(x, y) = 0. g(p) f(p) g(x,y)<0 p f=c g(x,y)=0 f=c f=c Figura 7.: Então,procuramosomaior c i talque f(x,y) = c i sejatangenteag(x,y) = 0num ponto (x 0,y 0 ).Emtalpontoascurvasdenívelde fe gtemamesmaretatangente e,portanto,amesmaretanormal,istoé,osvetores fe gdevemserparalelos noponto (x 0,y 0 ).Analogamentepara n =.Doteoremaanterior,seguequese f possuiumpontodemáximooumínimoem x 0 S c então f(x 0 )éortogonalas c noponto x 0.Oteoremanosdizqueparadeterminarospontosextremoscondicionadosdevemosresolveroseguintesistemade n + equaçõesen+incognitas: { f(x) = λ g(x) g(x) = c. Se n =,temos 4equações: g (x,y,z) = λ x x (x,y,z) y (x,y,z) = λ g y (x,y,z) g (x,y,z) = λ z z (x,y,z) g(x,y,z) = c.

29 7.6. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS CONDICIONADOS 87 Analogamentepara n = : x (x,y) = λ g x (x,y) g (x,y) = λ y y (x,y) g(x,y) = c. A diferença entre os problemas de máximos e mínimos não condicionados e os condicionados é que nos últimos não temos critérios simples para distinguir os pontos demínimodosdemáximo.cadapontoobtidopelometódodelagrangedeveser examinado separadamente, utilizando os dados do problema e/ou, argumentos geométricos. Exemplo 7.9. []Determineospontosextremosde f(x,y) = xytaisque x + y =. Utilizando o método de Lagrange, devemos resolver o sistema: { f(x,y) = λ g(x,y) x + y =. { (y,x) = λ(x,y) Logo, x + y,queéequivalentea: = () y = λx () x = λy () x + y =. De ()e()obtemos y ( 4λ ) = 0.Se y = 0,utilizando (),temos, x = ±;se λ =,temos, y = x;de (),temos x = ± e y = ±.Poroutrolado: (x,y) f(x,y) (±, 0) 0 (±/, / ) / (±/, ±/ ) / Logo ( ±,, ) ( sãopontosdemínimoe ±, ±, sãopontosde ) máximo.

30 88 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS Figura 7.4: Exemplo[]. []Determineospontosextremosde f(x,y) = x + y taisque x + y. Determinemos os pontos extremos da função f no conjunto fechado e limitado: D = {(x,y) R /g(x,y) 0}, onde g(x,y) = x + y. Se x + y <, f(x,y) = (x,4y);logo, (0,0)éoúnicopontocríticode f. Se x + y =,porlagrange,devemosresolverosistema: { (x,4y) x + y =, = λ(x,y) que é equivalente a: x = λx y = λy,ou: x + y = () x( λ) = 0 () y ( λ) = 0 () x + y =, de (), x = 0ou λ = ede () y = 0ou λ = ;de (), xey,nãopodemserambos zero;logo,de ()e()ede ()e()obtemosospontos (0, ±), (±,0). Em x + y <,temos: f(0,0) = 0 x + y = f(x,y). Em x + y =,temos: f(±,0) =, f(0, ±) = ; então (0,0)épontodemínimoe(0, ±)sãopontosdemáximo.

31 7.6. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS CONDICIONADOS 89 Figura 7.5: Exemplo[]. []Determineospontosextremosde f(x,y,z) = x +y +z taisque x y+z 4 = 0. Sejam: g(x,y,z) = x y+z 4, f(x,y,z) = (x,y,z) e g(x,y,z) = (,,). Devemos resolver o sistema: { f(x,y,z) = λ g(x,y,z) x y + z 4 = 0, ou, equivalentemente, () x = λ () y = λ () z = λ (4) x y + z 4 = 0. Fazendo () () + ()eutilizando (4),obtemos e ( 6 7, 4 7, ) éopontoextremo. 7 λ = 4 7, x = 6 7, y = 4 7, z = 7 [4]Determineospontosextremosde f(x,y,z) = xy ztaisque x + y + z =. Sejam: g(x,y,z) = x + y + z, f(x,y,z) = (y z,xz,xy) e g(x,y,z) = ( x, y 6, z ).

32 90 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS Devemos resolver o sistema: f(x,y,z) = ou, equivalentemente, x + y + z λ g(x,y,z) = () y z = xλ () xz = y 6 λ () xy = zλ (4) x + y + z = ; multiplicando ()por x, ()por ye ()por zobtemos: ( ) xy z = x λ ( ) xy z = y 6 λ ( ) xy z = z λ (4) x + y + z = somando ( )+( )+( )etendoemvista (4),temos xy z = λ(x + y +z ) = λ; substituindo xy zpor λ aem ( ), ( )e( ): λ(x ) = 0 λ(y 4) = 0 λ(z ) = 0 Se λ 0, x = ±, y = ±ez = ±.Se λ = 0, x, ye zpodemsernulosaospares: x = y = 0ez = ±, x = z = 0ey = ±, y = z = 0ex = ±. Ospontos extremosde fsão: (±, ±, ±), (0,0, ± ), (0, ±,0) e (±,0,0). (x,y,z) f(x,y,z) Ponto ( /,,) / máximo ( /,, ) / mínimo 7.7 Problemas de Otimização [] De todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das arestas é constante e iguala4a(a > 0),qualéoquetemvolumemáximo?

33 7.7. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 9 Sejam x, ye zasarestasdoparalelepípedo;seuvolumeév (x,y,z) = xy ztalque x + y + z = a.seja g(x,y,z) = x + y + z. { V (x,y,z) = λ g(x,y,z) g(x,y,z) = a, ou, equivalentemente: () y z = λ () xz = λ () xy = λ (4) x + y + z = a. Fazendo () = ()obtemos x = yefazendo () = ()obtemos y = z;logo, x = y = z;de (4),temos x = y = z = a e: éovolumemáximo. V ( a, a, a ) a = 7 [] Determine as dimensões do paralelepípedo retangular de volume máximo sabendo que as faces do paralelepípedo estão nos planos coordenados e um vértice pertenceaoplano x a + y b + z c = (a, b, c > 0).Calculeovolume. OvolumeéV(x,y,z) = xy z.seja g(x,y,z) = x a + y b + z c ;então, { V (x,y,z) = λ g(x,y,z) x a + y b + z c =, ou, equivalentemente, () ay z = λ () bxz = λ () cxy = λ x (4) a + y b + z c = ; fazendo () = (),como x, y, z 0,temos y = bx a ;analogamente,fazendo () = (),temos z = cx a,de (4)obtemosque x = a, y = b e z = c.opontodemáximo é (a,b,c)e: ( a V = V, b, c ) = abc 7. []Determineadistânciamínimaentreasuperfície 4x + y z = 0eoponto (0,0,8).

34 9 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS Comoantesutilizamosoquadradodadistância: f(x,y,z) = x + y + (z 8). Consideramos g(x,y,z) = 4x + y z;então, () x = 8λx () y = λy () (z 8) = λ (4) 4x + y = z, ou, equivalentemente, () x( 4λ) = 0 () y ( λ) = 0 () (z 8) = λ (4) 4x + y = z; temos: x = 0eλ = ; y = 0eλ = ; x = 0ey = 0.Se x = 0eλ =,de ()temos 4 z = 5 5 ;de (4)temos y = ± ;logo,obtemosospontos ( 5 0, ±, 5 ).Se y = 0 e λ = 4,de ()temos z = 6 8 ;de (4)temos x = ± 4 ; logo, obtemos os pontos 8 ( 4 ±,0, 6 ).Se x = 0ey = 0de (4),obtemos z = 0eλ = 6;logo,obtemoso 8 8 ponto (0,0,0). (x,y,z) f(x,y,z) Ponto (0,0,0) 64 (0, ± 5/,5/) /4 (± 4/8,0,6/8) 7/64 mínimo A distância mínima é.4 u.m.(u.m.=unidades de medida); os pontos: são de mínimo. ( 4 ±,0, 6 ) 8 8 [4]Seatemperaturasobreumaesferaderaio édadapor T(x,y,z) = xz + yz, determineospontosemqueatemperaturaémaisbaixaeospontosemquea temperatura é mais alta. Seja g(x,y,z) = x + y + z ;então, () z = λx () z = λy () (x + y) = λz (4) x + y + z =,

35 7.7. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 9 Fazendo () + ()esubstituindoem (),obtemos z (λ ) = 0ez = 0ou λ = ±.Se z = 0,de ()e()temos x = y = 0,oqueéimpossível,ou λ = 0;de (),obtemos x = yede (4), y = ;logo, (,,0) e (,,0) são pontosextremos.se λ = ±,de ()e()temos x = yede (), z = ± x;de (4), obtemos x = y = ± e z = ± ;logo ( ±, ±, ± ) sãopontosextremos. (x, y, z) T(x, y, z) Temperatura (±/, ±,, ± /) / máxima (± /, /,0) 0 mínima [5]Seadensidadenaplaca xy + xz + y z = a,(x, y, z 0)édadapor D(x,y,z) = xy z,determineospontosdaplacaondeadensidadeémáximaeondeémínima. Seja g(x,y,z) = xy + xz + y z a: () y z = λ(y + z) () xz = λ(x + z) () xy = λ(x + y) (4) xy + xz + y z = a; multiplicando ()por x, ()por y, ()por zesomando,temos: xy z = λ(xy + xz + y z) = aλ, onde,naúltimaigualdadeutilizamos (4);substituindo λpor xy z no sistema, a obtemos: () x(y + z) = a () y (x + z) = a () z (x + y) = a. Igualando ()a()obtemos x = yeigualando ()a()obtemos z = y;logo a x = y = z;de (4)temos x = ± eospontosextremossão: ( a a a ±, ±, ± ). (x, y, z) D(x, y, z) Densidade ( a/, a/, a/) a a/9 máxima ( a/, a/, a/) a a/9 mínima [6]Determineaequaçãodoelipsóide x a + y b + z c (,,)etemmenorvolume. = quepassapeloponto

36 94 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS Notequeasincógnitassão a, bec. Seja V = f(a,b,c) = 4 a b c π ovolumedo elipsóide. Como o ponto (,, ) pertence à superfície: a + 4 b + 9 c = ; logo,consideramos g(a,b,c) = a + 4 b + 9 c ;então, 4π () abc = a λ () () 4π abc = 8 b λ 4π abc = 8 c λ (4) a + 4 b + 9 c =, fazendo () = ()ecomo λ 0,obtemosque b = 4a ;fazendo () = (),obtemos 4c = 9b ;logo, c = 9a ede (4): a =, b = ec = 7;aequaçãodoelipsóide é: x + y + z 7 =. [7]Umdepósitocilíndricodeaçofechadodeveconterlitrosdeumfluido.Determineasdimensõesdodepósitodemodoqueaquantidadedematerialusadaem sua construção seja mínima. Sejam xeyoraioeaalturadocilindro,respectivamente. Devemosminimizara área total do cilindro, incluindo as tampas: f(x,y) = π x + π xy, sendo π x y =. Denotepor g(x,y) = πx y, f(x,y) = (4πx+πy,πx)e g(x,y) = (πxy,πx ). Osistemaé: () x + y = λxy () x = λx () π x y =. De (), x( λx) = 0eλx = ;logo,de (), y = x;ouseja,aalturaéigualao diâmetrodabase;de ()obtemos: x = π e y = π,quesãoascoordenadasdo pontodemínimo(porque?). f(π,π ) = 6 π. [8]Umfiodecobredecomprimento a,deveserdivididoempartestaisqueo produto dos comprimentos das partes seja máximo. Determine o produto. Se x, ye zsãooscomprimentosdaspartes,entãodevemosmaximizar f(x,y,z) = xy ztalque x + y + z = a.osistemaé: () y z = λ () xz = λ () xy = λ (4) x + y + z = a.

37 7.7. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 95 Fazendo () = ()e() = (),obtemos x = y = z;de(4) x = a = y = z; (a, a, a )é opontodemáximoef( a, a, a ) = a 7. [9]Determineospontosdacurva x 6 + y 6 = maisafastadoseosmaispróximos da origem. Novamente utilizamos o quadrado da distância da origem ao ponto (x, y); isto é, f(x,y) = x + y,sendo x 6 + y 6 =.Seja g(x,y) = x 6 + y 6.Osistemaé: () x = λx 5 () y = λy 5 () x 6 + y 6 =, ou, equivalentemente, () x( λx 4 ) = 0 () y ( λy 4 ) = 0 () x 6 + y 6 =. Se x = 0,de ()obtemos y = ±eem (), λ = ;se y = 0,de ()obtemos x = ±e em (), λ = ;ospontossão (±,0)e(0, ±).Se x, y 0,osistemafica: () ( λx 4 ) = 0 () ( λy 4 ) = 0 () x 6 + y 6 =. Fazendo()-(), λ(x 4 y 4 ) = 0, λ 0ey = ±x;de ()obtemos: ( /6, /6), ( /6, /6), ( /6, /6) e ( /6, /6), onde λ =. (x, y) f(x, y) Ponto (±, 0) mínimo (0, ±) mínimo ( /6, /6) / máximo ( /6, /6) / máximo ( /6, /6) / máximo ( /6, /6) / máximo

38 96 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS Figura 7.6: OmétododeLagrangenãoérestritoaduasoutrêsvariáveis.Ométodosódepende deumafunçãoeumarestrição.éoquemostraráoexemploaseguir. [0]Determineovalormáximodaraizn-ésimadeumprodutodennúmerospositivostalqueasomadosnúmerossejaconstante.Concluaque n x x...x n n n x i. Sejam x = (x,x,x,...,x n ),onde, x i > 0paratodo i =,...n,e: i= f(x) = n x x...x n, talque: x +x +x +...+x n = a.denotandopor g(x) = x +x +x +...+x n a, então, g(x) = (,,,...,). Cálculodogradientede f:sedenotamos f(x) = n u(x)onde u(x) = x x...x n, então: u x = i = x x...x i x i+...x n ; x i n(u(x)) n n n(u(x)) n n paranãoescreverdemais,denotepor K(x) = n(u(x)) n n ;osistemaé: x x...x n = λk(x) () x x...x n = λk(x) () x x x 4...x n = λk(x) () x x...x n x n = λk(x) (n ) x x...x n x n = λk(x) (n) x + x + x x n = a (n + ). Fazendo () = (),temos x = x ;de () = (), x = x ;assim,emgeral,igualando asequações (j) = (j + )com j =,...,n,obtemos x j = x j+ e

39 7.7. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 97 x = x = x =... = x n ;usandoaequação (n + )temos: x = x = x =... = x n = a n, e f( a n, a n,..., a n ) = a n queéovalormáximo.emparticular, f(x) f( a n, a n,..., a n ) = a n ; n poroutrolado, a = x i ;portanto: i= n x x...x n n n x i. i= 7.7. Generalização do Método Seja Sumconjuntodeníveldefinidopor: g (x 0 ) = c g (x 0 ) = c g (x 0 ) = c g k (x 0 ) = c k. S é, em geral, interseção de superfícies. O teorema pode ser generalizado da seguinteforma:se ftemumpontodemáximooumínimoem x 0 S i,paratodo i, então,devemexistirconstantes λ, λ... λ k taisque: f(x 0 ) = λ g (x 0 ) + λ g (x 0 ) λ k g k (x 0 ). Devemos resolver o sistema: f(x 0 ) = λ g (x 0 ) + λ g (x 0 ) λ k g k (x 0 ) g (x 0 ) = c g (x 0 ) = c g (x 0 ) = c g k (x 0 ) = c k.

40 98 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS Exemplo 7.0. []Determineopontodainterseçãodosplanos x+y +z = ex+y +z = 6mais próximo da origem. Sejam f(x,y,z) = x +y +z, g (x,y,z) = x+y+z e g (x,y,z) = x+y+z 6; temos: x = λ + λ () y = λ + λ () z = λ + λ () x + y = z (4) x + y = 6 z, (5) fazendo () + () + ()obtemos,usando (4)e(5),oseguintesistema: { λ + 6λ = λ + 8λ = 0; logo λ = 4eλ = e x = 7, y = e z = 5.Adistânciaé: Exercícios. Determine os pontos críticos de: (a) z = e +x +y (b) z = x + xy + x + y + y + 4 (c) z = (x )(y 4) (d) z = x y 8x 4y (e) z = x 64 y + xy (f) z = x + y + x + y + (g) z = x + y + (h) z = x 5 + y 5 5x 5y (i) z = x 4xy + y + (j) z = x 4 + xy + y 6x 5y (k) z = x + xy y + (l) w = log 4 (x + y + z + ) (m) w = x + y + z 4 (n) w = x + y + z.determineseaorigemépontodemínimo,demáximoouselade: (a) z = x. (b) z = x 4y (c) z = x + xy y (d) z = x 4 + y 4 (e) z = x + y (f) z = 4xy x + 4y (g) z = x + y xy (h) z = 5x + y 4xy (i) z = x y + 6xy (j) z = x + y xy (k) z = xy 4 x y (l) z = 7y xy

41 7.8. EXERCÍCIOS 99. Classifique os pontos críticos de: (a) z = e +x +y (b) z = x + xy + x + y + y (c) z = (x )(y 4) (d) z = x y 8x 4y (e) z = x 64 y + xy (f) z = x + y + x + y + (g) z = x + y + (h) z = x 5 + y 5 5x 5y (i) z = x 4xy + 4y x + y + (j) z = x 4 + xy + y 6x 5y (k) z = (x ) + (y ) (l) z = x y x (m) z = x + y (n) z = x 4 4x y + y (o) z = x + y + xy + x (p) z = + x + y (q) z = + x y (r) z = x + x + 4xy + y (s) z = x y ( x y) (t) z = xy ln(x + y ) (u) z = (x + ) + (y + ) (v) z = (x ) + (y + ) + (w) z = e y + e x e x+y (x) z = xsen(y), 0 x, y π. 4. Determine a reta que melhor se ajusta aos seguintes pontos: (a) (0,0), (,)e(,). (b) (0,0), (, 4 ), (,), (, 9 )e(,4). (c) (, 4), (, ), (,), (,), (4,)e(,5). (d) ( 5, 4), (, ), (, ), (0,0), (,), (,), (4,)e(,5). 5.Calculeospontosde z xy = maispróximosdaorigem. 6.Determineamenordistânciade x 4y = 0aoponto (0,b). 7. Determine o valor máximo do produto de três numeros positivos tais que xy + xz + y z = 7. 8.Determineadistânciamínimaentre 4x + 4y z = 0eoponto (0,0,8). 9.Seosvérticesdeumtriângulosão (0,0), (,)e(,),determineoponto P do triângulo tal que a soma dos quadrados das distâncias aos vértices seja mínima. 0. Determine as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, com lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito no elipsóide: x a + y b + z c =.

42 00 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS. Acheaequaçãodoplanoquepassapor (,,)eformacomosplanoscoordenados o tetraedro de volume mínimo.. Umacalhadeveserconstruídacomumafolhadeaço,delargura aecomprimento b.seaseçãodacalhaéumtrapézioisósceles,qualdeveseralargura dabaseeainclinaçãodasfacesparaquesuacapacidadesejamáxima?. Umaaplicaçãonumdoentede xmiligramasdeumremédio Aeymiligramas deummedicamento Bocasionaumaresposta R = R(x,y) = x y (c x y), (c > 0).Quequantidadedecadaremédiodaráamelhorresposta? Multiplicadores de Lagrange. Determine os pontos extremos de: (a) z = 5 x y taisque x + y 4y = 0. (b) z = x + xy + y taisque x y =. (c) z = 4x + y + 5taisque x + y y = 0. (d) w = x + y + z taisque x y + z 4 = 0. (e) w = x + y + ztaisque x y + z = 4. (f) w = (x + y + z) taisque x + y + z =..Determineospontosextremosde: w = x + y + z taisque x + y + z..determineamenordistânciade y = x aoponto (0,b), b > 0. 4.Determineomaioreomenorvalorde xytalque x + y =, xeypositivos. 5.Determineomaioreomenorvalorde x + y talque x 4 + y 4 =. 6.Determineomaiorvalorde y xtalque y = sen(x), 0 x π. 7.Determineosvaloresmáximosemínimosde f(x,y,z) = x + y + zse x + y = ey+ z =. 8.Seja 0 < p < q. Determineomáximoemínimode x p + y p + z p talque x q + y q + z q =, x, ye znãonegativos. 9.Determineosvaloresextremosde z = cos (x) + cos (y)se 4x + 4y = π. 0. Determineasdimensõesdoretângulodemenorperímetroedeárea 6cm.. Detodosostriângulosdeperímetrofixo,determineodemaiorárea.. Determine o valor máximo de: (a) f(x,y,z) = x + y + ztalque x + y + z = a econcluaque: (x + y + z) (x + y + z ).

43 7.8. EXERCÍCIOS 0 (b) f(x,y,z) = xy ztalque x+y + x = seconcluaque: xyz x+y + z. (c) f(x,y,z) = xy ztalque x + y + z = s, x, ye zpositivos;concluaque: x + y + z xy z.. Seatemperaturaemqualquerponto (x,y,z)doespaçoédadapor: T(x,y,z) = 00x y z, determineatemperaturamáximaeatemperaturamínimasobre x +y +z Determineoponto Pnaelipse x + y = 6eoponto Qnareta x + y = 4tal queadistânciade Pa Qsejaamenorpossível. 5. Determineospontosmaisafastadosdaorigemtaisque x + 4y + z = 4e x + y + z =. 6. Determineasdimensõesdoparalelepípedoretangulardeáreatotal a cuja diagonal seja mínima. 7. Dentretodosostriângulosdeárea Sdetermineoquetemoperímetromenor. 8. Determine as dimensões do cilindro de maior volume inscrito numa esfera deraio R. 9. Dentre todos os triângulos retângulos de área S determine o que tem hipotenusa mínima. 0. Determineomaiorprodutoquepodemter0númerospositivosseasomaé 0k, k N.

44 0 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS