CADERNO DE ATIVIDADES

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1 APÊNDICE PRODUTO DA PESQUISA PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática CADERNO DE ATIVIDADES UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM INTRODUTÓRIA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS César de Oliveira Almeida Dimas Felipe de Miranda Belo Horizonte 2015

2 César de Oliveira Almeida CADERNO DE ATIVIDADES UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM INTRODUTÓRIA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Produto construído durante a realização de pesquisa, apresentado ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática. Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda Área de concentração: Matemática Belo Horizonte 2015

3 INTRODUÇÃO Esta obra é o produto da dissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas, cujo título é Um Ambiente de Aprendizagem para Abordagem Introdutória de Equações Diferenciais, realizada nos anos de 2014 e Este caderno surgiu da inquietação e necessidade de estimular o estudo e o interesse pela importância das Equações Diferenciais para o mundo. O objetivo principal aqui proposto é estimular os alunos e professores no aprendizado e ensino de Equações Diferenciais que fujam da memorização e convirjam para o entendimento das mesmas como necessária para a resolução de problemas físicos, químicos, biológicos e áreas afins à matemática ou que de alguma maneira façam uso dela. Assim, propõe-se através deste caderno desenvolver algumas estratégias que estimulem a resolução de Equações Diferenciais por meio da resolução de problemas, desde conceitos básicos, porém necessários, do Cálculo Diferencial e Integral como interdependência de variáveis, análises de gráficos, limite de uma expressão algébrica, transição da linguagem literal para a matemática, até conceitos e conteúdos mais elaborados como escrita e compreensão de uma Equação Diferencial Ordinária e resolução de uma Equação Diferencial Ordinária separável. A estrutura deste caderno consiste em três capítulos contendo teorias e atividades que buscam desenvolver o raciocínio e compreensão que envolvam problemas que façam uso de Equações Diferenciais. O Caderno pode ser utilizado tanto por professores que queiram fazer a introdução em uma disciplina de Equações Diferenciais ou relembrar esse assunto, como também para estudantes que almejam aprimorar seus conhecimentos nessa área. Ao final, encontram-se as resoluções de todas as atividades. Em conjunto com o Caderno também é disponibilizado o software EDOCA, que, também como produto dessa dissertação, serve de apoio às atividades aqui propostas. Bons estudos! Os autores

4 ATIVIDADE 1 Crescimento Populacional Objetivos a) Explorar a função como dependência entre variáveis; b) Explorar conceitos básicos de função assim como a sua representação gráfica; c) Resgatar conceitos e notações do Cálculo Diferencial e Integral; d) Introduzir e apresentar a resolução de uma ED de variáveis separáveis; e) Apresentar o conceito de Solução Geral de uma ED e direcionar à representação gráfica (família de curvas); f) Apresentar o conceito de Solução Particular de uma ED utilizando condições iniciais; g) Desafiar o aluno a resolver um problema populacional que obedece a Lei de Malthus, registrando todos os procedimentos e identificando os procedimentos, conforme objetivado nos itens anteriores. Uma função Introdução, segundo Stewart, é uma expressão matemática que descreve uma situação ou fenômeno natural ou não. Nessa expressão vê-se dois tipos de variáveis: } e. Cada valor de depende diretamente ou não de cada valor de. Dessa maneira, a variável é chamada de dependente, enquanto que é a independente ou livre. Porém, é importante ter em mente que em outras situações e funções as variáveis podem ser escritas com outras letras por uma questão de melhor aproximação ou adaptação. As variáveis estão presentes nos modelos equacionais em geral. Ela tem a característica de possuir vários valores numéricos, uma quantidade que pode ser alterada em cada caso ou unidade de estudo. A variável independente é definida como a que exerce influência sobre outra variável, determinando ou afetando o resultado observado na segunda, com precisão e regularidade. A variável dependente resume-se nos fenômenos ou fatores explicados ou identificados, por serem influenciados ou determinados pela variável independente.

5 1. Considere o seguinte fenômeno, em linguagem verbal. Uma população P sendo observada em função de um tempo t. a) Quais as variáveis independente e dependente no fenômeno enunciado? Dependente: Independente: b) Transcreva a linguagem verbal do fenômeno acima para a linguagem matemática: c) Considerando a forma geral (linguagem matemática) de uma função, como você a transcreveria em linguagem verbal? Linguagem verbal: 2. Frequentemente problemas que envolvem fenômenos requerem atenção especial em relação aos seus valores iniciais e pontuais para determinadas situações. Pois, é por meio deles que uma equação em geral é manipulada. Por exemplo, considerando, quando se escreve quer-se dizer que quando o resultado ou imagem encontrado será. Com esse pensamento, considerando o fenômeno apresentado no início da questão 1, explique com suas palavras o significado de, considerando t em anos. P(0) = 5600 P(4) = 8000 e 3. Considere o fenômeno do início da questão 1. A tendência é que a população varie de uma forma crescente ao longo do tempo. Por exemplo, poderíamos ter:,,,... Em uma situação real seria possível manter essa tendência por um período de tempo ilimitado? Justifique a sua resposta.

6 4. Esboce um modelo gráfico qualquer para o crescimento de uma população P qualquer ao longo do tempo t, considerando sua resposta dada na questão 3. Explique o porquê de você ter escolhido construir tal gráfico. 5. O incremento ou variação de uma variável é a diferença entre o maior e o menor valor numa determinada situação. Esse incremento é representado pela letra seguido da letra que representa a variável. Por exemplo, na Física, velocidade de um corpo. pode representar a variação de Voltando ao fenômeno inicialmente apresentado na questão 1, para uma dada população de um ambiente conhecem-se as seguintes informações: e incremento populacional. Então, diz-se que: para um incremento de tempo = tem-se um =. (complete os espaços em branco) 6. A taxa média é razão entre os incrementos de duas variáveis. Por exemplo, na Física, entende-se velocidade média (ou taxa média) como a razão entre a variação da distância percorrida e a variação do tempo passado. Considerando os elemento da questão 5, qual a taxa média da população em relação ao intervalo dado? A taxa é positiva ou negativa? Dê uma possível explicação para tal característica.

7 7. Considere como símbolo de uma taxa média. Utilizando a notação apresentada na questão 5, escreva em linguagem matemática uma expressão genérica para a taxa média populacional. 8. Compare a expressão de taxa média que você escreveu na questão anterior com As duas são equivalentes? Explique porque. 9. a) Considere a variável em um certo intervalo real e esboce um modelo gráfico genérico para representar geometricamente a expressão matemática (taxa média) da questão 8.

8 b) Observe o seu modelo gráfico (taxa média) do item a anterior e imagine diminuindo, e diminuindo cada vez mais. Esse movimento faz tender para o valor (complete), e diz-se que atingiu-se uma taxa instantânea T (chamada de velocidade ou variação instantânea ou derivada no ponto t). Então, escreva matematicamente a expressão da questão 8 incorporada com esse movimento do. c) Para uma tradicional função matemática, são símbolos da primeira derivada:, em que, nesse último símbolo, tem-se: no numerador a variável e no denominador a variável (complete). d) Escreva, para, os símbolos das derivadas segunda, terceira e quarta, utilizando as três notações do item c. e) Reescreva a resposta do item b) acima com esses símbolos de derivada.

9 10. Existem equações que envolvem uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas. Essa equações são chamadas de Equações Diferenciais. Exemplos: Um tipo dessas equações bastante simples de serem resolvidas são as EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Um exemplo seria a equação Para resolver esse tipo de equação devemos fazer como a própria classificação diz: separar as variáveis. Com os fatores de integração e separados pode-se integrar em ambos os membros da equação para obter-se a solução. a) Escreva abaixo os resultados das integrações do primeiro membro e do segundo membro. (OBS: lembre-se que são integrais não definidas, logo, há constante.) Observe que basta adicionar uma única constante C no segundo membro. A solução dependente da constante C, é chamada de SOLUÇÃO GERAL da. Toda Equação Diferencial, teoricamente, terá uma, que é o resultado da integral. A dificuldade no estudo de Equações Diferenciais reside na separação das variáveis ou na solução da integral.

10 b) Na solução geral do item a substitua C por -1, 0 e 1 para obter três curvas diferentes. Desenhe essas curvas no plano cartesiano abaixo. c) No item acima, cada curva representa uma situação diferente. Cada uma dessas curvas é uma SOLUÇÃO PARTICULAR da Equação Diferencial dada anteriormente. Acima temos apenas uma pequena parcela de uma família de curvas, as quais são soluções da equação. Vê-se que a constante C pode assumir infinitos valores e teremos os pontos do plano cartesiano pertencendo à alguma curva da família de uma dada Equação Diferencial. Em cada ponto temos um vetor tangente, devido à derivada presente na Equação Diferencial. Esse conjunto de vetores forma o chamado CAMPO DIREÇÃO, permitindo visualizar silhuetas ou formato gráfico das curvas da família, conforme o quadro gráfico a seguir.

11 d) No quadro anterior, esboce a curva para C = 0 e marque nela os pontos A (1, 1), B(2, 4), C(-1, 1) e D(-2, 4). e) Nos pontos do item d use a derivada para marcar os vetores do campo direção nesses quatro pontos dados. Quando quer-se determinar uma curva especifica, são dados valores para as variáveis, constituindo, assim, as chamadas CONDIÇÕES INICIAIS. O objetivo nesses caso é determinar um valor para a constante e escrever a solução particular substituindo o valor da constante encontrada. Para exemplificar essa ideia, determine a solução particular para as condições impostas abaixo, usando a solução geral encontrada em 10-a. i) Para x = 1 tem-se y = 2 ii). 11. Voltando ao exemplo do crescimento populacional, tem-se que o crescimento de uma população com o passar de um tempo obedece a lei de Malthus (1803). Onde P é a população, t, o tempo e K, a constante de proporcionalidade. Em linguagem verbal essa equação significa um fenômeno em que: a taxa de variação de uma população (P) com o passar de um tempo (t) é proporcional (k vezes) ao tamanho daquela população. Para resolver uma Equação Diferencial, tenta-se separar as variáveis. Há casos em que isso não será possível e recorre-se a outros processos. Mas, no caso:

12 a) Utilize o mesmo raciocínio da questão 10 para obter a solução geral dessa Equação Diferencial. b) Sabe-se que em um pote há inicialmente uma população de bactérias. Após uma hora a quantidade de bactérias dobrou. Determine a solução particular para essa situação, usando o modelo populacional encontrado na questão 11-a.

13 c) Esboce o gráfico que representa a situação acima. d) Esboce, no mesmo sistema cartesiano do item c, mais duas curvas para uma mesma população inicial, admitindo valores para a quantidade de bactérias em tempo diferentes. Utilize o quadro abaixo para eventuais cálculos, caso necessário. e) Os gráficos do item d relatam o fenômeno de populações que crescem exponencialmente e de forma ilimitada, ao longo do tempo (expressado matematicamente pela lei de Malthus). Mas, é possível manter na vida real essa tendência por um tempo ilimitado? Explique. OBS: o biólogo Verhulst (1838) modificou a lei de Malthus, adaptando-a à realidade. Isso será abordado a frente.

14 AGORA, ALGUMAS QUESTÕES PROPOSTAS (Resolva-as em folha separada) 1) Inicialmente, vá em Stewart (6ª edição), página 363, e copie o Teorema Fundamental do Cálculo. 2) Usando o conceito de antiderivada e mostre que: a) (se precisar, consulte Stewart) b) c) 3) Use o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver a integral Verifique, graficamente, se o resultado dessa integral pode ser interpretado como área. Escreva resumidamente, o que você sabe sobre o resultado numérico de uma integral e o conceito de área. (Se precisar, consulte Stewart) 4) Determine a solução geral (integral) de cada Equação Diferencial abaixo. a) (ver página 378, exemplo 4) b) (ver página 377, exemplo 1) (ver página 449, exemplo 3)

15 ATIVIDADE 2 Modelo Logístico Objetivos a) Retomar o modelo populacional apresentado na atividade 1 e introduzir um outro modelo mais realístico mas que também busca apoio nas Equações Diferenciais; b) Desafiar o estudante a resolver a Equação Diferencial logística; c) Mostrar que esse modelo exige um limite populacional e como determiná-lo; d) Representar graficamente esse modelo; e) Determinar uma solução particular que envolva esse modelo. Introdução Em torno de 1803, Malthus propôs a lei, que vimos anteriormente: uma população cresce ao longo do tempo a uma taxa proporcional à população em cada instante, que se traduz pela Equação Diferencial: Vimos que na vida real, esse modelo matemático não representa o fenômeno para um tempo muito longo. Em 1838, Verhulst propôs um modelo de crescimento populacional, que foi baseado em avaliações de estatísticas disponíveis e complementado pela teoria do crescimento exponencial, a qual considera os fatores de inibição de crescimento. A nova equação, chamada de equação logística, de acordo com o livro de Cálculo do Edward Penney, pode ter a forma:. Veja que é a equação de Malthus, ligeiramente alterada, isto é, multiplicada por um fator com função redutora: a diferença entre M (população suporte, limite ou limitante do crescimento) e P (população presente) tende a diminuir ao longo do tempo. O parâmetro M é um valor hipotético, um referencial assintótico, do qual a população tende a se aproximar, em situação normal.

16 1) A equação de Verhulst, acima, é uma Equação Diferencial. Resolva-a, encontrando a solução geral na forma.

17 2) Suponha uma população inicial P0 = 20, ou seja, quando t = 0 então P = 20. Encontre a solução particular escrevendo em função de k, M e t. 3) Considerando a questão 2, qual o resultado para? Interprete o resultado obtido.

18 4) Vamos construir o gráfico P x t referente a expressão P(t) determinada no item anterior. 5) Determine os pontos de inflexão do gráfico. Lembre-se que já é conhecida a expressão para.

19 6) Utilize o plano cartesiano abaixo para desenhar o esboço do gráfico P x t para t > 0. 7) Suponha que em 1885 a população de um certo país era de 50 milhões e estava crescendo à taxa de pessoas por ano naquela época. Suponha também que em 1940 sua população era de 100 milhões e que crescia então à taxa de 1 milhão por ano. Assuma que esta população satisfaça a equação logística. Determine tanto a população limite M quanto a população prevista para o ano 2000.

20 ATIVIDADE 3 Lei do resfriamento/aquecimento de Newton Objetivos a) Apresentar o modelo da Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton e sua relação com as Equações Diferenciais; b) Retomar conceitos e símbolos matemáticos que servem de base para as Equações Diferenciais; c) Mostrar que a temperatura de um corpo tende à temperatura de um ambiente em que aquele é inserido, considerando o corpo a uma temperatura maior do que a do ambiente; d) Representar graficamente esse modelo; e) Determinar uma solução particular que envolva esse modelo; f) Desafiar a intuir os mesmo acontecimentos com um corpo a uma temperatura menor do que a do ambiente em que aquele é inserido. Introdução A terceira atividade procura desenvolver o entendimento da Lei de Newton do resfriamento/aquecimento de um corpo. Essa lei diz que: a taxa segundo qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura ambiente. Se representa a temperatura de um corpo no instante, a temperatura do meio que o rodeia e a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia, a lei de Newton do esfriamento/aquecimento é convertida na sentença matemática 1 1 ZILL, Dennis G., 2011, p.22.

21 1. Observe o fenômeno a seguir. Uma substância a uma temperatura T variando ao passar de um tempo t. a) Quais as varáveis do fenômeno descrito acima? b) Destas duas variáveis qual é a dependente e qual é a independente? Dependente: Independente: 2. A lei de Newton diz que: a velocidade de resfriamento/aquecimento da temperatura T de um corpo em função de um tempo t, colocado em um ambiente, é proporcional à diferença entre a temperatura T do corpo e do ambiente TA. a) Circule a(s) opção(ões) abaixo uma possível representação da velocidade (variação) de uma temperatura T em um tempo t? dt - dt b) Agora, escreva a Equação Diferencial que representa esse fenômeno descrito no início da questão 2 (lei de Newton). c) Com base na equação descrita acima, responda: (i) A temperatura ambiente influencia na mudança de temperatura de um corpo? (ii) O que acontece quando um corpo é inserido em um ambiente com uma temperatura diferente da sua?

22 3. Utilize o método de separação de variáveis e resolva a Equação Diferencial encontrada na questão 2-b, substituindo a temperatura ambiente por 25 C. 4. Suponha que um corpo tenha uma temperatura inicial igual a 37 C. Se após 1 minuto a temperatura passa a ser de 31 C, determine a solução particular. OBS: procure substituir os valores citados na solução geral determinada na questão 3.

23 5. Para a solução encontrada na questão 4, qual é o melhor gráfico que a representa? Justifique. Justificativa

24 6. Na questão 3 foi apresentada a matematização do resfriamento/aquecimento de um corpo. Com o valor do parâmetro k encontrado com a situação particular (equação 4) tem-se a equação Aponte o melhor gráfico que representa essa Equação Diferencial. Justificativa 7. Utilizando o mesmo raciocínio das questões 5 e 6, explique e faça esboços sobre o comportamento de um corpo que sua temperatura inicial fosse menor do que a temperatura ambiente.

25 ATIVIDADE 4 Estudo informatizado Em consonância com as atividades apresentadas nesse bloco de atividades, há um software denominado EDOCA Equações Diferenciais Ordinárias com Cálculo. Esse software foi construído com o objetivo de informatizar as atividades do bloco, agindo como suporte para estudos mais dinâmicos e que produzam respostas instantâneas. Na tela inicial é possível inserir o do estudante e do professor para que as respostas das questões sejam enviadas para ambos. Assim como também há a possibilidade de que o estudante, ao finalizar o estudo, salve suas respostas na máquina em que estiver realizando as atividades.

26 Na guia arquivos, é possível transitar entre todas as questões de todas as atividades. Basta que uma questão de alguma atividade seja selecionada de acordo com a necessidade. A maioria das atividades concede um suporte teórico em que o estudante pode consultar sem perder a essência de uma atividade que testa os conhecimentos. O suporte teórico sempre aparece no lado direito da tela, enquanto que as questão estarão no lado esquerdo.

27 SOLUÇÕES DAS QUESTÕES DAS ATIVIDADES ATIVIDADE 1 1. a) dependente: P; independente: t. b) c) Uma variável dependente y está em função de uma variável independente x. Ou uma quantidade y varia de acordo com uma quantidade x. 2. a) No tempo t = 0 (inicial), a população é de 5600 habitantes. b) No tempo t = 4, a população é de 8000 habitantes. Ou após 4 anos, a população passou a ser de 8000 habitantes. 3. Não. Uma população não cresce ilimitadamente por vários motivos. Esses motivos podem ser desde limitações espaciais a limitadores biológicos como doenças. 4. Um possível gráfico é quando uma população por um determinado tempo cresce de maneira exponencial. Muitas populações antes de se depararem com algum limite crescem dessa maneira. Porém, isso não significa que seja o único gráfico ou um gráfico determinante para essa questão, já que uma população pode também ser representada de forma decrescente dependendo da situação. 5. e 6. Taxa média =. A taxa é negativa, logo isso significa que 7. nesse intervalo de tempo houve decrescimento do número de indivíduos dessa população. 8. Sim. Observa-se que. Logo,. Então, usando a notação descrita na questão7, tem-se, Logo, é possível verificar que as duas expressões são equivalentes se houve uma mudança de variável de para.

28 9. a) b) 0 (zero). c) Dependente. Independente. d) e) 10. a)... Equação Diferencial. Solução. b) d) e)

29 f) (i) ; (ii). 11. a), em que C e K são constantes reais. b) c) d) e) Não, pois existem fatores externos que influenciam no crescimento de uma população limitando-a de alguma maneira. Essa limitação pode ser dada pelo próprio espaço em que a população está localizada como conflitos entre outras populações (predador-presa).

30 ATIVIDADE 2 1., em que a, K e M são constantes A constante M é o limite que uma população consegue atingir de acordo com a Teoria de Vehulst. 4. Como, então. Logo, o ponto de inflexão fica em ,7 milhões de pessoas.

31 ATIVIDADE 3 1. a) Temperatura T e tempo t. b) Dependente: T e independente: t. 2. a) b), em que k é uma constante real. c) (i) sim. (ii) A temperatura do corpo tende a entrar em equilíbrio com a temperatura ambiente com o passar do tempo. 3., em que C é uma constante real O primeiro gráfico retrata melhor a situação, pois a função é do tipo exponencial descente com limite inferior em T = 25 C. 6. O segundo gráfico retrata melhor a situação, pois a equação é do tipo linear em que -0,6931 é o coeficiente angular. 7.. Como a temperatura do corpo é menor do que a temperatura ambiente, a sua tendência é aquecer até atingir o equilíbrio entre as duas.

32 Como a velocidade de aquecimento do corpo depende da temperatura de forma diretamente proporcional, o gráfico é um segmento de reta crescente com ponto inicial na temperatura inicial do corpo e ponto final na temperatura ambiente.