Se as partículas A e B são os átomos que formam uma molécula diatômica, a energia potencial do sistema pode ser expressa pela seguinte função:

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1 Curvas de Energia Potencial Consideremos o sistema formado por duas partículas, A e B, cujos movimentos estão limitados à mesma linha reta, o eixo x do referencial. Além disso, vamos considerar que o referencial foi escolhido de modo que a origem está fixa na partícula A. Então, apenas a partícula B pode estar em movimento. A energia potencial desse sistema é uma função da coordenada x, que representa a posição da partícula B no referencial considerado ou, também, a distância relativa entre as partículas. Se as partículas A e B são os átomos que formam uma molécula diatômica, a energia potencial do sistema pode ser expressa pela seguinte função: U(x) = x a 12 b 6 x em que a e b são constantes positivas (Fig.11). Pela terceira lei de Newton, a partícula B faz uma força F na partícula A e a partícula A faz uma força F na partícula B. As forças atuam ao longo da linha que passa pelas partículas, ou seja, ao longo do eixo x, e têm o mesmo módulo F, mas sentidos contrários. Por definição, a variação da energia potencial é dada por: U= W = F x de modo que podemos escrever: U F= x Esta expressão mostra que o módulo e o sentido da força que atua sobre a partícula B são dados, para cada valor de x, pela declividade da reta tangente à curva no ponto correspondente, com o sinal negativo. Assim, analisando a curva de energia potencial, isto é, o gráfico da energia potencial do sistema em função da coordenada de posição da partícula B, podemos determinar as distâncias relativas para as quais as partículas se atraem ou se repelem, se crescem ou decrescem os módulos das forças que uma exerce sobre a outra quando elas se afastam ou se aproximam, e assim por diante.

2 Vamos voltar ao exemplo da molécula diatômica. Se o átomo B está na posição x 1, temos F 1 < 0, uma vez que U e x são, ambos, positivos. Desta forma, a força que atua sobre ele tem sentido oposto ao do eixo x, indicando que a interação entre os átomos é atrativa. Na verdade, qualquer que seja a posição x ocupada pelo átomo B, com x > x 0, a força que atua sobre ele tem sentido oposto ao do eixo x, indicando que a interação entre os átomos é atrativa. Se o átomo B está numa posição qualquer x, com x < x 0, temos F > 0, uma vez que U é positivo e x é negativo. Assim, a força exercida sobre ele tem sentido igual ao do eixo x, indicando que a interação entre os átomos é de repulsão. Por outro lado, se o átomo B está numa posição x, com x >> x 0, a força que atua sobre ele tem sentido contrário ao do eixo x (caráter atrativo) e módulo muito pequeno. Se o átomo B se aproxima do átomo A, isto é, se x diminui, o módulo da força que atua sobre ele aumenta até um valor máximo e depois diminui, alcançando o valor zero quando x = x 0. Se x continua diminuindo, a força que atua sobre o átomo B fica com sentido igual ao do eixo x (caráter de repulsão) e seu módulo cresce muito rapidamente, de modo que, a partir de uma distância não muito grande de x 0, fica praticamente impossível aproximar ainda mais o átomo B do átomo A. Estados Ligados Vamos supor que a energia total da molécula em questão é E 1, com E 1 < 0 (Fig.12). Pelo principio de conservação da energia: E 1 = K+ U= constante em que U representa a energia potencial da molécula e K, a energia cinética do átomo B no referencial adotado. Como a energia cinética não pode ser negativa, o átomo B só pode ocupar posições para as quais a correspondente energia potencial da molécula não seja maior do que sua energia total. Por isso, x 1, a posição em que o átomo B está mais próximo do átomo A, e x 2, a posição em que o átomo B está mais afastado do átomo A, devem ser soluções da equação: E 1 = U(x) Assim, para encontrar graficamente as posições x 1 e x 2 em função da energia total da molécula, traçamos, paralelamente ao eixo x, uma reta que passa por E 1. Essa

3 reta corta a curva da energia potencial nos pontos correspondentes às posições procuradas. Do que foi discutido acima, concluímos que o átomo B pode estar em qualquer posição x, desde que x 1 < x < x 2. Além disso, quando o átomo B está em x 1 ou em x 2, ele está em repouso porque sua energia cinética é zero, uma vez que a energia potencial e a energia total da molécula são iguais. Se o átomo B está em uma posição qualquer entre x 1 e x 0, atua, sobre ele, uma força de mesmo sentido que o do eixo x, indicando que a interação entre os átomos é de repulsão. Se o átomo B está em uma posição qualquer entre x 0 e x 2, atua, sobre ele, uma força de sentido contrário ao do eixo x, indicando que a interação entre os átomos é de atração. Se o átomo B está na posição x 0, não há qualquer força atuando sobre ele, sua energia cinética é máxima e a energia potencial da molécula é mínima. Quando o átomo B está na posição x 0, a molécula está em equilíbrio. Como aparece, sobre o átomo B, uma força com sentido contrário ao do eixo x se ele se move para uma posição entre x 0 e x 2 e uma força com o mesmo sentido que o do eixo x se ele se move para uma posição entre x 0 e x 1, quando ele se encontra exatamente na posição x 0, a molécula está num estado de equilíbrio estável. Além disso, o átomo B oscila periodicamente ao redor da posição x 0, indo e voltando entre as posições x 1 e x 2. Se x 0 é o ponto médio entre x 1 e x 2, então x 0 representa a distância de separação média entre os átomos da molécula. Se a molécula absorve energia do meio externo, de modo que sua energia total aumenta de E 1 para E 2, o átomo B passa a oscilar periodicamente entre as posições x 1 e x 2. Como x 1 está um pouco à esquerda de x 1 e x 2 está um pouco à direita de x 2, a amplitude das oscilações, agora, é maior. Por outro lado, devido à forma assimétrica da curva da energia potencial, o ponto médio entre x 1 e x 2 está um pouco à direita de x 0. Isto significa que a distância de separação média entre os átomos da molécula ficou um pouco maior. É importante observar que os dois fenômenos, o aumento da amplitude das oscilações e o aumento da distância de separação média entre os átomos, são independentes. Se a curva da energia potencial fosse uma parábola, o primeiro fenômeno ocorreria, mas não o segundo. O segundo fenômeno está ligado à dilatação térmica. Se a energia total da molécula é E 2, os átomos estão menos ligados um ao outro em comparação com o caso em que a energia total da molécula é E 1. Dizemos, então, que a molécula está num estado de excitação mais alto. Se a energia total da molécula é E = U min, os átomos estão em repouso, o átomo A na origem do referencial e o átomo B, em x 0. Nesse caso, o átomo B não oscila. De qualquer modo, se esta é a situação, conhecemos exata e simultaneamente a posição e a velocidade de cada átomo que forma a molécula. Na Física Clássica, esse é o estado de menor energia para a molécula. Na Física Quântica, o princípio de incerteza de Heisenberg estabelece a impossibilidade de determinar, simultaneamente e com precisão arbitrária, a posição e a velocidade de qualquer partícula. Assim, a condição E = U min não pode ser alcançada e, no estado de menor energia, o átomo B deve oscilar com uma amplitude pequena, mas não nula. Em outras palavras, no estado de menor energia, a molécula tem uma energia total não nula. Essa energia é chamada de energia de ponto zero. Por isso, nem quando a temperatura de um corpo qualquer atinge o zero absoluto, seus átomos deixam de oscilar. A energia requerida para fazer com que os átomos da molécula, estando separados de uma distância x 0, passem a ter uma separação infinita, é:

4 E= U( ) U(x ) = 0 U min Esta energia é chamada de energia de dissociação da molécula. Espalhamento Vamos considerar, agora, a situação em que o sistema constituído pelos dois átomos tem uma energia E 3 > 0 (Fig.13). Se o átomo B está a uma distância infinita do átomo A, a energia total do sistema é apenas a energia cinética do átomo B: E 3 = K Se o átomo B se move em direção ao átomo A, com o passar do tempo diminui a distância relativa entre eles, a energia potencial do sistema deixa de ser zero, tornando-se cada vez mais negativa. Como E 3, a energia total do sistema, é constante, a energia cinética do átomo B cresce e cresce o módulo da sua velocidade. A energia cinética e o módulo da velocidade do átomo B continuam crescendo enquanto perdurar a diminuição da energia potencial do sistema, isto é, até que o átomo B alcance a posição x 0. O átomo B passa pela posição x 0 com máxima energia cinética e, portanto, com velocidade de módulo máximo. Dali por diante, isto é, com a posterior diminuição da distância relativa entre os átomos, a energia potencial do sistema começa a crescer e a energia cinética e o módulo da velocidade do átomo B começam a diminuir. Essa tendência perdura até que o átomo B alcance a posição x 3, quando, então: e E3 = U(x 3 ) K = 0 O átomo B atinge o repouso na posição x 3, mas permanece nesta posição apenas um instante. A partir desse instante, ele passa a se movimentar no mesmo sentido que o do eixo x e o processo se repete de modo inverso: ele se afasta do átomo A com energia cinética crescente e, portanto, com velocidade de módulo crescente, passa pela posição x 0 com máxima energia cinética e com velocidade de módulo máximo e, a partir dessa posição, continua com energia cinética decrescente e velocidade de módulo também decrescente. De qualquer modo, o átomo B se afasta do átomo A para sempre. Como a energia total do sistema formado pelos dois átomos é positiva e se conserva, o processo como um todo não passou de uma colisão. Contudo, se o sistema emite radiação eletromagnética durante a aproximação dos átomos, perdendo

5 tanta energia que sua energia total fica menor do que zero, os átomos podem formar uma molécula. Tunelamento Quântico Consideremos novamente um sistema formado por dois átomos, A e B, cujos movimentos estão limitados à mesma linha reta, o eixo x do referencial. Além disso, vamos considerar que o referencial foi escolhido de modo que a origem está fixa no átomo A. Então, apenas o átomo B pode estar em movimento. Agora, a energia potencial do sistema tem mínimo e máximo (Fig.14). Como já discutimos, se o átomo B ocupa a posição correspondente ao mínimo da curva de energia potencial, o sistema está num estado de equilíbrio estável. Contudo, se o átomo B ocupa a posição correspondente ao máximo da curva de energia potencial, o sistema está num estado de equilíbrio instável. Se a energia total do sistema é E, o átomo B pode estar entre x 1 e x 2 ou entre x 3 e. Como já discutimos acima, no primeiro caso, os átomos formam um sistema ligado (uma molécula) e o átomo B oscila entre x 1 e x 2. No segundo caso, ou o átomo B se afasta do átomo A, movendo-se para longe da posição x 3, ou ele primeiro se aproxima de x 3 com velocidade de módulo decrescente, pára nessa posição por um instante apenas e depois se afasta, em direção ao infinito, com velocidade de módulo crescente. O átomo B não pode estar em qualquer uma das posições entre 0 e x 1 ou entre x 2 e x 3 porque, nestas posições, a energia potencial do sistema seria maior do que a sua energia total, ou seja, a energia cinética do átomo B seria negativa, o que é uma impossibilidade física. Dizemos que estas posições são proibidas. Assim, para a Física Clássica, se o sistema tem energia total E e os átomos estão num estado ligado, eles permanecerão assim para sempre, desde que a energia total não mude. Para a Física Quântica, mesmo que a energia total não mude, existe uma certa probabilidade de que o átomo B passe a existir na região x > x 3. O estado do sistema passa, então, do estado em que os átomos estão ligados um ao outro a um estado em que eles se afastam para sempre. Esse fenômeno é conhecido como tunelamento quântico e explica a emissão de partículas alfa por núcleos atômicos de grande massa.