7º ANO EQUAÇÕES. Noção de equação. Nuno Marreiros

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1 Nuno Marreiros EQUAÇÕES 7º ANO Noção de equação

2 Antes de começar Como o Diogo tinha 10 e já só tem 4 é porque gastou 6. Se andou três vezes no Kanguru foi porque cada bilhete custou 2. Representando por x o preço de cada bilhete, pode-se traduzir a situação por uma equação : 3 x + 4 = 10

3 Um pouco de história Tempo dos Faraós Desde o tempo dos faraós até aos nossos dias, o objetivo básico da álgebra continua o mesmo: Permitir a solução de problemas matemáticos que envolvam números desconhecidos.

4 Um pouco de história Papiro de Rhind Um papiro egípcio de anos, chamado Papiro de Rhind (em homenagem a um antiquário escocês Henry Rhind, que o adquiriu numa loja de Luxor, no Egito, em 1858) mostra, através do famoso problema Aha, seu inteiro, seu sétimo fazem 19, que o homem já se aventurava, desde aquela época, nos domínios da álgebra. Vestígios de problemas resolvidos através de uma equação.

5 Um pouco de história Evolução da simbologia Para uma mesma expressão algébrica encontramos simbologia diferentes, consoante as épocas. Assim, a expressão é escrita desta forma por: 1 + 3x + 6x 2 + x 3 1 p3 1 p6 2 p1 3 Raffael Bombelli ( ) 1 p3 p6 p1 Simon Stevin ( ) 1 + 3N + 6Q + 1C Bachet de Meziriac ( ) 1 + 3x + 6xx + x 3 René Descartes ( )

6 Um pouco de história Evolução da simbologia

7 Para as atividades que se seguem imaginem uma balança de dois braço em equilíbrio! 1) Qual é o peso do cachorro? 9 kg 2) Igualdade algébrica... x + 16 = 25

8 3) Os dois sacos têm pesos iguais. Quanto pesa cada um? 6 kg 4) Igualdade algébrica... 2x = 12

9 5) As 3 caixas possuem o mesmo peso. Qual o peso de cada caixa? 6 kg 6) Igualdade algébrica... 3x = 18

10 7) Qual o peso do coelho? 2 kg 8) Igualdade algébrica... x = x + 3 = 5

11 9) As bolsas são iguais. Qual o peso de cada uma? 5 kg 10) Igualdade algébrica... 2x = x x = x + 5

12 11) Será que a balança está em equilíbrio? Não 12) Representa matematicamente esta situação. 13 < 18

13 Recorda as funções Exemplo: f(x) = 2 x + 3 f(3) = = = 9 f(10) = = = 23 f( ) = 19 8 pois = = 19

14 Descobre a peça verde que falta na expressão =

15 Vamos substituir o valor de cada peça verde, no espaço em branco, e verificar qual das peças torna a igualdade verdadeira. - 9 = = 3, não serve! = - 5, não serve! (- 6) = = - 15, não serve! = - 3. É o número 6 pois dá uma igualdade verdadeira. RESPOSTA: A peça que falta é a número 6. 6

16 PROBLEMA: A soma do dobro de um número com 5 é igual a 21. Determina o número. 2? + 5 = 21

17 O problema pode ser traduzido, em linguagem matemática, pela seguinte expressão: 2 x + 5 = 21 2? + 5 = 21 A uma igualdade como esta chama-se EQUAÇÃO

18 EQUAÇÃO: É uma igualdade onde figura uma ou mais letras que representam valores desconhecidos. A letra que representa o valor desconhecido chama-se INCÓGNITA Na equação 2 x + 5 = 21 a incógnita é o x.

19 MATEMÁTICA, 7º Ano A linguagem das equações solução de uma equação Linguagem algébrica: tradução do enunciado do problema - do Português para a equação, dedução de fórmulas. Exemplos de equações e respetivas incógnitas 3x = 12 r² + 1 = r + 13 x y = 10 x é a incógnita da equação. É uma equação com uma incógnita: r. É uma equação com duas incógnitas: x e y. 3x 5 = 12 É uma equação de incógnita x. x + 3 = 2x - 7 É uma equação com uma incógnita: x.

20 MATEMÁTICA, 7º Ano A linguagem das equações solução de uma equação Linguagem algébrica: tradução do enunciado do problema - do Português para a equação, dedução de fórmulas. Não são equações = 10 x + y ǂ 10 Não tem a incógnita. Não expressa uma igualdade. 6 x + 4 Não expressa uma igualdade. 4x + 5 < 12 Não expressa uma igualdade.

21 Voltando ao nosso problema: Qual será a solução da equação 2x + 5 = 21, que traduz o nosso problema? = 17 6 não serve! = 19 7 não serve! = 21 é o número 8. x só pode ser 8! Isto é, 2 x + 5 = 21 é o mesmo que (é equivalente a) x = 8 Resposta: O número pedido é 8 (é a única solução da equação).

22 - Resolver uma equação é encontrar o valor (ou valores) que colocados no lugar da incógnita tornam a igualdade verdadeira. - Cada um desses valores chama-se Solução ou Raiz da equação. - Duas equações são equivalentes se tiveram as mesmas soluções. Escreve-se o símbolo entre duas equações equivalentes. - Ao conjunto das soluções de uma equação chama-se conjunto - solução. Representa-se por S ou C.S. e coloca-se sempre entre chavetas { } Exemplo: Como as equações x + 1 = 3 e 4x = 8 têm 2 como solução, as equações são equivalentes e pode-se escrever: x + 1 = 3 4x = 8 x = 2 C.S. = {2}

23 Numa equação temos: 2 x + 5 = 21 2 x + 5 = 21 1º membro 2º membro E ainda, 2 x 5 e 21 Repara que: São os termos da equação o termo 2 x tem incógnita. os termos 5 e 21 não têm incógnita, por isso chamam-se independentes.

24 Vamos praticar Agora que já sabes o que é uma equação, uma incógnita, os termos, Só tens de praticar!

25 Vamos praticar Considera a seguinte equação: Indica: 3 x - 1 = 4 x x a) a incógnita; x 3 x - 1 = 4 x x b) o 1.º membro; 3 x 1 c) o 2.º membro; 4 x x d) os termos com incógnita; 3 x, 4 x, 2 x e) os termos do 1.º membro. 3 x, 1

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