PAINÉIS DECORATIVOS COM AZULEJOS EM CONSTRUÇÃO CIVIL: POSSIBILIDADES DIDÁTICAS PARA APROPRIAÇÕES MATEMÁTICAS

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1 PAINÉIS DECORATIVOS COM AZULEJOS EM CONSTRUÇÃO CIVIL: POSSIBILIDADES DIDÁTICAS PARA APROPRIAÇÕES MATEMÁTICAS 1 Ledina Lentz Pereira 2 Eloir Fátima Mondardo 3 Tatiana Dagostin 4 Ademir Damazio Resumo Os azulejos predominam na estética das construções de alvenaria, sugerindo que na sua disposição há uma lógica interna de pensamento humano elaborado. Entram em cena as funções psicológicas superiores, que segundo a concepção teórica histórico-cultural, são historicamente desenvolvidas e emergem da atividade prática. No presente estudo analisamos os painéis em azulejos das construções com um olhar matemático. Isso significa dizer que nesse ato criativo há função de pensamento/abstrações com uma especificidade que a humanidade denomina de matemática. O pressuposto é de que, por se tratar de objetivações do trabalho humano, a leitura dos painéis pode se tornar elemento didático mediador das atividades de ensino-aprendizagem, para o processo de apropriação de significações de conceitos científicos matemáticos, por parte dos alunos do ensino fundamental. Com referência teórica na abordagem histórico cultural, o problema de pesquisa foi definido e traduzido no seguinte questionamento: Quais os princípios conceituais que caracterizam a lógica de planejamento e disposição de azulejos nas paredes externas das construções e suas possibilidades didáticas para o processo de ensino aprendizagem da matemática em situação escolar? A questão didática decorre de alguns 1 Doutora em Engenharia e Mestre em Matemática Aplicada pela UFRGS, especialista em Ensino de Matemática e graduada em Ciências - Habilitação Matemática pela UNESC/SC. 2 Mestrado em Educação; Especialização em Matemática e Graduação em Ciência/Habilitação Matemática pela Universidade do Extremo Sul Catarinense, UNESC. 3 Graduação em Matemática-Licenciatura plena (em andamento, 7ª fase) pela UNESC. 4 Doutorado em Educação e Mestrado em Educação pela UFSC; Especialização em ciências Matemática, FURB; Graduação em Matemática pela Universidade do Planalto Catarinense. 290

2 estudos que apontam lacunas no processo de elaboração de conceitos científicos matemáticos no contexto escolar, como conseqüência das atividades de ensinoaprendizagem apresentadas aos alunos. Uma dessas lacunas é a dificuldade deles fazerem leitura matemática das ações humanas que se objetivam cotidianamente. Assim, o estudo indica que a atividade de produzir painéis decorativos dá subsídios pedagógicos para o desencadeamento de um processo de análise e síntese, em situação escolar de aula de Matemática, para o processo de formação do pensamento dos estudantes de um sistema conceitual constituído de vários conceitos. Nesse sentido, vale destacar uma característica fundamental: a leitura conceitual em que se manifestam três princípios teóricos do desenvolvimento do pensamento matemático: o visual-imaginativo, o lógico-verbal e a inseparabilidade geometria/aritmética/álgebra. Palavras-chave: Conceitos Matemáticos; Painéis decorativos, possibilidades didáticas. 1. Introdução: o contexto do estudo e questões teóricas A região sul do Estado de Santa Catarina é uma das maiores produtoras de todo tipo de cerâmica para a construção civil. Os azulejos predominam na estética das construções de alvenaria, cuja disposição há uma lógica interna de pensamento humano elaborado. Entram em cena funções psicológicas superiores, que segundo a concepção teórica histórico-cultural, são historicamente desenvolvidas na atividade prática. Desta forma, a disposição dos azulejos constitui-se, por parte daquele que planeja e o constrói, um modo de pensar e transformar uma realidade a ser exposta a múltiplos olhares que a observam, analisam, admiram e criticam. Há, pois, nessa atividade uma preocupação de aprazer do planejador (arquiteto, pedreiro, proprietário do imóvel, entre outros) com a intenção de se tornar admirável pelos observadores. Por se tratar de construção de figuras decorativas, exige reflexão, análise e síntese, que requer um elemento de pensamento: a criatividade. Como tal, possui um tônus revolucionário especial: não pode mudar a sociedade, mas é capaz de transformar a consciência daqueles que modificam o mundo. Isso porque indica um princípio de realidade incompatível com a coerção política e psíquica. (MATOS, 1993, p.110). A atividade criativa, segundo a teoria histórico-cultural, tem relação com a variedade de conhecimentos e experiências previamente adquiridos no ambiente social pelos indivíduos. De acordo com Medeiros (s.d., p.26-27): O desejo de criatividade pode ter fins bem diversos. Pode ser buscada, por exemplo, porque as ideias novas são sempre bem-vindas à corrida desenvolvimentista e à ideologia do consumo, ou porque à 291

3 criatividade é associada à própria ideia de liberdade. É neste segundo sentido que entendemos o criador de painéis, isto é, um ser que pela sua criatividade se torna livre. Sendo criativo, emerge sua autonomia, não o sendo, ele é apenas um ser-para-os-outros. O seu eu não é respeitado, a sua existência profissional não tem sentido para a sua vida vivida na heteronomia (MEDEIROS, sd, p.27). Partindo do princípio que a criatividade é geradora de liberdade do ponto de vista da produção do conhecimento, conforme (Moisés, 2001), então ela é fruto da atividade do sujeito e se manifesta no contexto em que a imaginação humana combine, mude e crie algo novo. No presente estudo analisamos os painéis em azulejos das construções com um olhar matemático. Isso significa dizer que nesse ato criativo há função de pensamento/abstrações com uma especificidade que a humanidade denomina de matemática. Essas criações estão expostas à admiração ou à refutação das pessoas que as percebem ou analisam, mas dificilmente pensadas matematicamente, o que acontece com os próprios autores das obras. Nesse sentido, a exceção fica para a evidência da forma ou figura geométrica. Tendo como referência teórica a abordagem histórico cultural, o problema de pesquisa foi definido e traduzido no seguinte questionamento: Quais os princípios conceituais que caracterizam a lógica de planejamento e disposição de azulejos nas paredes externas das construções e suas possibilidades didáticas para o processo de ensino aprendizagem da matemática em situação escolar? A questão didática decorre de alguns estudos que apontam lacunas no processo de elaboração de conceitos científicos matemáticos no contexto escolar, como conseqüência das atividades de ensino-aprendizagem apresentadas aos alunos. Uma dessas lacunas é a dificuldade deles fazerem leitura matemática das ações humanas que se objetivam cotidianamente. Como manifestações e objetivações do trabalho humano, a leitura dos painéis pode se tornar elemento didático mediador das atividades de ensino-aprendizagem, para o processo de apropriação de significações de conceitos científicos matemáticos. Na atividade de produzir painéis decorativos com azulejos entram em cena dois aspectos do pensamento matemático: o visual imaginativo e o lógico verbal. O componente visual imaginativo, de acordo com Lúria (1978), se manifesta nas ações empíricas da atividade humana. Entretanto, a referida produção traz implicitamente um modo de pensar indicativo dos procedimentos que leva àquela criação que tem uma logicidade a mercê de verbalização. Lúria (1978) traz contribuições ao dizer que o ensino contribui em grande 292

4 medida para que ocorra substituição das formas ativo-visuais, próprias do pensamento prático, pelas formas abstratas, ou seja, lógico-verbais. Ao buscar na atividade de colocação de painéis com azulejos as formas de pensamento matemático e sua contribuição para o processo de ensino-aprendizagem na escola, importa considerar que pode manifestar dois tipos de conceitos, denominados por Vigotski (2001) de científicos e cotidianos. O autor define os conceitos cotidianos como sendo elaborados na experiência pessoal, cotidiana, a partir da observação e manipulações que ocorrem na vivência extra-escolar. Os conceitos científicos são significações que se traduzem em produções teóricas da humanidade. Sua aprendizagem e elaboração se efetivam no ensino formal como mediações das interações sociais entre alunos e professores. Davýdov (1982, p ) estabelece como critério de distinção entre esse dois tipos de conceitos, não a fonte em que eles são adquiridos, mas o seu conteúdo: o conceito científico é teórico, por sua vez, o conceito cotidiano é empírico. A formação dos conceitos cotidianos e científicos segue caminhos opostos: os primeiros imprimem um caminho ascendente e os segundos, descendente. Eles se diferenciam no seu desenvolvimento, mas encontram-se inter-relacionados. O conceito científico só descende se o sujeito que o apropria, recorre a ele para explicar de forma consciente o real da vida cotidiana. Para Vygotski (1993), o conceito cotidiano, ao situar-se entre o conceito cientifico e seu objeto, adquire toda uma série de relações novas com outros conceitos e se modifica ele mesmo em sua relação com o objeto. Um conceito está inserido num sistema conceitual que se constitui no desenvolvimento do conceito científico, que exerce uma ação transformadora nos cotidianos. A matemática, conhecimento sistematizado ao longo dos anos pelos homens, se constitui num sistema de conceitos científicos que, na atualidade, confundem os seus campos da matemática, aritmética, geometria e álgebra. Para Lorenzato (2006, p. 69) Os conceitos não são construídos em sequência linear nem de forma isolada, não é recomendável que sejam apresentadas separadamente ao aluno as noções de aritmética, geometria e álgebra. Aqueles que estudaram de modo isolado os conceitos ficaram com a impressão de que estes não se inter-relacionam e que aprenderam assuntos distintos. Essas formulações teóricas foram subsidiadoras para admitir o pressuposto de que a atividade de colocação dos azulejos para a produção de painéis se traduz em elemento mediador, em situação escolar, para a apropriação de significações de conceitos científicos matemáticos e, desta forma, ressignificar os conceitos cotidianos. 2. Os painéis com azulejos: interpretações matemáticas e possibilidades didáticas 293

5 Nessa seção, faremos uma análise de alguns painéis selecionados entre os trinta que catalogamos e fotografamos de prédios residenciais e comerciais da cidade de Criciúma. Para tanto, o procedimento de análise teve como fundamento três princípios norteares das investigações sobre a formação de conceitos, propostos por Vygotski (1993): análise do processo, não do objeto; ênfase na explicação em vez da descrição tanto das manifestações externas como do processo em estudo; o problema da conduta fossilizada, ou seja, processos com longo estágio de desenvolvimento histórico tendem a fossilizar-se, e dificultam interpretações e inferências para elaborações teóricas. Como são construídos com azulejos de superfície quadrada (10cm x 10cm), os painéis apresentam a primeira vista um visual geométrico, constituindo-se em conceito cotidiano para aqueles que assim os percebem. As formas retangulares, quadradas, triangulares e composições dessas predominam na estética dos painéis catalogados. Apresentamos o estudo de alguns deles, com evidência para a leitura matemática que se traduz em possibilidades didáticas em situação de ensino-aprendizagem em sala de aula. As interpretações com teor conceitual da matemática são múltiplas. É possível proceder a análise à luz de conceitos de simetria, proporcionalidade, curvas cônicas, superfícies, série numérica, número de Fibonacci, geometria projetiva, retângulo de ouro, infinito, limite, derivada, integral, entre tantos. Entretanto, para efeito do presente texto, estabelecemos vínculos com um sistema conceitual constituído pelos conceitos de contagem decimal, operações aritméticas em formas de expressões, área, seqüência, números figurados e equação do segundo grau. As formas mais encontradas nesses painéis foram retangulares, quadradas e triangulares, o que contribui para as generalizações algébricas de números figurados. Estes são produções gregas da Antiguidade, que atende necessidades externas e internas da matemática, como podemos observar em algumas produções trazidas pela história da Matemática. Eves (2004) diz que nos últimos séculos a.c, ocorreram muitas mudanças econômicas e políticas, que concorreram para o desaparecimento de alguns povos e outros tomassem o poder, impondo ou se apoderando da forma de pensar, agir e conhecer. A humanidade se apóia na filosofia, em vez de explicar sua existência mitologicamente e se apoiar na filosofia. O homem passa a questionar como e porque as coisas do mundo acontecem, que impulsionou o racionalismo. As demonstrações para provar certos raciocínios se tornaram exigências e o método dedutivo é a referência de verdade. Os elementos de Euclides, escritos por volta de 300 a.c, são a manifestação do de um método de produção de conhecimento: axiomático. 294

6 O desenvolvimento da matemática grega, por exemplo, teve contribuição significativa da escola pitagórica, cuja filosofia supunha que a causa das várias características do homem e da matéria são os números inteiros. Ou seja: tudo no mundo é número. Daí a existência de números figurados (quadrados, retangulares, triangulares, pentagonais, hexagonais), que expressam a quantidade de pontos em configurações geométricas e, desta forma, a aritmética e a geometria ficam interligadas. As formas retangulares são evidentes em painéis como na figura 1, a seguir: Figura 1: Painel de retângulos sobrepostos Visualmente, destaca-se três retângulos sobrepostos que estão em uma seqüência crescente: vermelho, amarelo e azul. A unidade de área da superfície é um azulejo. Se desconsiderarmos as intersecções entre si e procedermos a contagem, a figura vermelha possui 10 x 13 azulejos, a amarela 16 x 13 azulejos e a azul 22 x 15 azulejos. Com essas medidas calcula-se a área de cada uma que seria, respectivamente, 130, 208 e 330 azulejos. Nessa contagem e na forma de expressá-la se configura um sistema conceitual constituído por multiplicação, a área, medida de linear (altura x comprimento). No desenvolvimento de uma atividade de ensino para o cálculo da quantidade de azulejos há que se considerar a relação de conteúdos ou de conceitos a serem ensinados/elaborados. De acordo com Vigotsky (1995 e 1996) um conceito está sempre vinculado a outro, ou seja, faz parte de um sistema conceitual. Desse modo, não há um conceito que seja essencial e outro secundário. Porém, no momento escolar de ensino/aprendizagem, um deles é a referência para ser o foco da aula de matemática. Assim, na análise da Figura 1, é possível estabelecer um diálogo entre professor e alunos mediado por significações de um sistema conceitual que, para efeito do presente estudo, constitui-se de contagem decimal, operações aritméticas em formas de expressões, área, seqüência, números figurados e equação do segundo grau. 295

7 1 -- Contagem simples por cor, com a representando a altura e c o comprimento: a) Área da superfície retangular vermelha: 10a 13c. b) Área da superfície retangular amarela: Superfície 1, 10a 6c; Superfície 2, 6a 13c. Área total: 10a 6c + 6a 13c c) Área da superfície retangular azul: área 1, 6a 9c; área 2, 6a 15c. Área total: 16a 9c + a 15c Por questão de praticidade, adotar-se-á a expressão vermelho, amarelo e azul para designar a área de cada superfície. d) Área Total da Figura 1: vermelho + amarelo + azul: (10a 13c) + (10a 6c + 6a 13c) + (16a 9c + 6a 15c)= 130u.a + (60u.a + 78u.a) + (144u.a + 90u.a ) = 130u.a + 138u.a + 234u.a = 502u.a Considerando que a unidade de área = 10cm 10cm = 100cm 2, então, em centímetros quadrados a área total da figura 1 é cm² = cm² Contagem complexa referente às superfícies retangulares completas de cada cor: a)vermelho: 10a 13c b)amarelo:10a (13 7)c + 6a 13c = 16a 13c - 10a 7c c)azul: 22a 15c - 16a 6c ou 22a (15 6)c + (22 16)a 6c d)quantidade Total: Vermelho + amarelo + azul: 10a 13c + 16a 13c - 10a 7c + 22a 15c - 16a 6c 130u.a + 208u.a - 70 u.a u.a - 96 u.a = 502 u.a 3 Contagem complexa - Considerando a maior superfície quadrada em cada figura de cor diferente acrescida de superfícies retangulares que completam cada figura: a)vermelho: x 3 b)amarelo: c)azul: d)quantidade de área total: Vermelho + amarelo + azul: ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = 130u.a + 138u.a + 234u.a = 502u.a Observa-se uma possibilidade de construir as expressões aritméticas com várias operações relacionadas a um contexto, com ascendência de uma percepção cotidiana aparente para uma leitura matemática num sistema conceitual operativo. 296

8 4 Salto para a álgebra - Equação do segundo grau: Uma das possibilidades da passagem da aritmética para a álgebra por exemplo, para uma equação do segundo grau é, nas expressões numéricas, proceder a substituição da base do termo com expoente dois por n. No entanto, a título de ilustração, estabelecemos n = 10 na expressão da superfície retangular vermelha que passa ser referência para as correspondentes das de mais superfícies: a) A expressão numérica da área da superfície retangular vermelha se transforma em igualdade algébrica: x 3 = 130 u.a n 2 + 3n = 130 n 2 + 3n = 0 A determinação das raízes da equação segundo grau, numa situação de ensino/aprendizagem escolar, pode ser seguida as seguintes etapas que atendem princípios lógico-históricos: 1) por tentativas, isto é, por substituições aleatórias de valores numéricos (procedimento adotado na China por Tsu Chung Chin ); 2) formação algébrica/geométrica de trinômio quadrado perfeito (formulações similares aos estudos dos hindus, babilônios, egípcios e árabes); 3) dedução e uso de fórmula resolutiva como atual fórmula de Baskara,como também o método de Viéte. Esses procedimentos serão tratados em um próximo estudo. Seguiremos, então, com o raciocínio apontado no parágrafo anterior. b) A expressão algébrica da área da superfície amarela: x 6 + 6= 138u.a 3 (n-4) (n-4) + (n-4) = 138 c) Expressão algébrica da área da superfície azul: = 234u.a 2.(n-1) (n-1) + (n-4) 2 = 234 d) Expressão algébrica da área total: ( x 3) + (3 x x 6 + 6) + (2 x x ) = 502 (n n) + [3. (n-4) (n-4) + (n-4)] + [2.(n-1) (n-1) + (n-4) 2 ]= 502 n 2 +3.n +[3 (n² -8n +16) + 4n 16 + n 4]+[2.(n² -2n +1) + 4n n² - 8n +16] = 502 n n + [3n² -24n n 16 + n 4] + [2 n² -4n n n² - 8n +16] = 502 n n + [3n² -19n + 28] + [3n² - 8n + 14]=502 7n² - 24n + 42 =

9 7n² - 24n = 0 Procedimentos similares podem ser adotados ao ser considerado parte do painel da Figura 1 e determinando a área azul na Figura 2, com a obtenção de uma equação do 2º grau. Figura 2: Recorte do painel da Figura 1 Área azul 1 = 6 (15 6 ) = 54 u.a; Área azul 2 = 6 2 = 36 u.a; Área azul 3 = 1 9= 9 u.a Área total azul = 54 u.a + 36 u.a + 9 u.a = 99 u.a Algebricamente, a área azul = [6 (15 6 ) ]+ 9 = 99 u.a {(n-4) [(n+n/2) (n-4)]+(n-4) 2 }+9 = 99; {(n-4) [3n/2 n + 4] + n 2 8n + 16 }+9 = 99; {(n- 4) [ n/2 + 4]+n 2 8n + 16}+9 = 99; {n 2 /2 + 4n 2n 16 + n 2 8n + 16}+9 = 99; 3 n 2 /2 6n + 9 = 99; 3 n 2 12n = 0; 3 n 2 12n = 0; n 2 4n - 60 = 0 Adotaremos outro painel (figura 3), como forma de não cair na rotina de uma mesma situação didática e, ao mesmo tempo sugerir o estabelecimento de alguns números figurados. A Figura 3, em que sua aparência visual dá destaque para a forma triangular amarela que está contida em um fundo preto. Parte-se da contagem para identificar os 25 quadrados de sua superfície. Observa-se, pois que aparência visual triangular é desfeita teoricamente, pois 25 é um número quadrado. A contagem por linhas das unidades quadradas estabelece a soma de números ímpares = 25. Em termos sequenciais, os números determinam uma progressão aritmética (1, 3, 5, 7, 9) de razão dois. Figura 3: Painel na forma triangular amarela e fundo preto Segundo FUCHS (1970), na Grécia clássica, os matemáticos gregos jogavam com pedrinhas para construir figuras quadradas, triangulares, pentagonais, (...) que se 298

10 transformaram em um jogo com sinais chamado aritmética figurativa ou de aritmética das pedrinhas de jogo. Esse jogo conduz à adição de números inteiros, da mesma forma que os números pares podem se tornar figuras retangulares. Os números ímpares, como sendo aqueles que não podem ser divididos em duas partes iguais, ou então, que não podem ser divididos por dois. Os números ímpares colocados segundo um determinado modelo, com figuras que aparecem uma após as outras em séries paralelas, formam a série dos números quadrados. Caraça (2002, p. 68) diz que pela adjunção sucessiva de pontos num determinado arranjo geométrico, vão se formando quadrados perfeitos a partir um dos outros. Ou seja o fato geométrico, geração de quadrados a partir uns dos outros, segundo Caraça (2002, p. 68), é regido pela lei matemática = 4 = 2², = 9 = 3²,..., em geral: (2n 1) = n², com n Ν = {1, 2, 3, 4,...}. O recorte do painel da Figura 3 (anterior), Figura 4 (a seguir), traduz a ideia de duas sequências de números triangulares: a primeira constituída pelos azulejos pretos e a segunda pelos azulejos amarelos. Figura 4: Recorte do painel da Figura 3 Os números figurados, nesse caso específico dos números triangulares, podem ser generalizados algebricamente, obtendo uma representação genérica destes números. Assim, a análise dos dois triângulos da Figura 4 dá elementos para a observação de que cada número triangular se constitui com a inclusão do anterior. Para tal basta adotar a contagem dos azulejos, por exemplo, os amarelos da esquerda, isto é, tendo como referência a unidade: O primeiro número triangular é 1 O segundo número triangular é 3 = O terceiro número triangular é 6 = O quarto número triangular é 10 =

11 O quinto número triangular é 15 = O enésimo número triangular (T n ) é dado pela soma da progressão aritmética: n (n + 1) T n = n = 2. Muitas possibilidades interpretativas podem ser adotadas para atingir a referida generalização, em nível de compreensão aritmética, geométrica e algébrica. Porém, focaremos geometricamente, a partir da análise da figura 4. Observa-se que ela é uma superfície retangular da base n = 5 e altura n + 1 = 6, cuja área é 30 = 5 x ( 5 x 1) = n x (n + 1). Como nela se incluem dois números triangulares, necessário se faz a divisão por dois para determinar cada um deles, ou seja: 15 = Considerações 5 2 x (5+ 1),genericamente:n = n (n + 1) 2. A análise enfocou aspectos conceituais cotidianos e sua extrapolação para os conceitos científicos. Evidenciaram-se dois tipos de leitura matemática e pedagógica desses painéis: 1) aparente, em que as ideias geométricas se sobressaem pelo seu visual em que se evidenciam figuras planas. 2) essência, na qual são feitas as inter-relações com as noções aritméticas e algébricas, que só é possível à luz do conhecimento científico, o que pode ser traduzido nas situações didáticas da educação formal. É nesse momento que: os conceitos matemáticos de seqüência de números figurados vão se transformando em conceitos algébricos de relações; o pensamento intuitivo dá lugar ao pensamento dedutivo; as particularidades passam a ser generalizações. Assim, a atividade de produzir painéis decorativos dá subsídios pedagógicos para o desencadeamento de um processo de análise e síntese, em situação escolar de aula de Matemática, para o processo de formação do pensamento dos estudantes de um sistema conceitual constituído de vários conceitos. Nesse sentido, vale destacar uma característica fundamental: a leitura conceitual em que se manifestam três princípios teóricos do desenvolvimento do pensamento matemático: o visual-imaginativo, o lógico-verbal e a inseparabilidade geometria/aritmética/álgebra. Um ponto central a mencionar diz respeito às relações que se produzem em dois níveis: no processo dos sujeitos criarem e construírem os painéis decorativos das paredes e no processo 300

12 de apropriação do conhecimento matemático. No primeiro nível a preocupação está no âmbito da construção estética visual. No segundo, traz o foco anterior para a elaboração de uma estética não mais contemplativa pela observação empírica, mas com teor lógico histórico matemático. Há, pois, influências mútuas entre ambos que não se apresentam espontaneamente aos olhos e pensamentos de que cria e faz os painéis e daqueles que estão em faze de estudar a Matemática. Portanto, concordamos com Lúria (1978) ao afirmar que as circunstâncias nas quais as pessoas crescem, deixam suas marcas nos mecanismos subjacentes aos processos psicológicos complexos, e não somente nos seus conteúdos. Entretanto, as aproximações das particularidades dos dois níveis só ocorrem pelas características sociais de mútuas mediações do processo de apropriação das significações de ambos os níveis. Esse cenário formativo ocorre, segundo Vygotski (1995), pela influência de um homem sobre outro que se dá pelo papel mediador que a linguagem cumpre nas relações sociais e interpessoais. REFERÊNCIAS BOYER, Carl. História da Matemática. Edgard Blucher: São Paulo, CARAÇA, Bento de J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Gradiva, CYRINO, Hélio Fernando F. Matemática & Gregos. Campinas, SP: Átomo, EVES, Howard. Introdução a História da Matemática. UNICAMP: São Paulo, FUCHS, Walter R. Matemática Moderna. Polígono: São Paulo, LORENZATO, Sérgio. Para aprender matemática. Campinas, SP: Autores Associados, (Coleção Formação de professores) LÚRIA, Alexander. Speech and intellect of rural, urban and homeless children. Selected Writings. Nova York:Sharpe, 1978.b 301