1º SIMULADO maio 2011

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1 1º SIMULADO maio 011 PROVA DE MATEMÁTICA NOME DO ALUNO: CAMPUS: LEIA COM ATENÇÃO AS INSTRUÇÕES ABAIXO. 1 Você deve marcar apenas uma resposta por questão. - Use caneta esferográfica de tinta azul ou preta tanto para marcar as respostas das questões objetivas quanto para escrever as respostas das questões discursivas no próprio Caderno de Prova. - Esta prova é individual. Por favor, não use calculadora e qualquer comunicação e não troque material entre os presentes. Não consulte material bibliográfico, cadernos ou anotações de qualquer espécie. 4 - Você terá, no máximo, quatro horas para responder às questões de múltipla escolha e discursivas. 5 - Quando terminar, entregue o seu Caderno de Prova ao Aplicador. 6 Para permitir a tolerância para os alunos que por algum motivo se atrasaram, a saída da sala será permitida a partir de 0 minutos após o início. 7 Como se trata de simulado as questões não aparecem sequencialmente. Responda todas, independente da numeração. Caros Alunos Nossa Instituição está dando importantes passos para a transformação da Educação Superior em nosso País e agora teremos mais uma oportunidade de destacar a qualidade dos nossos cursos. Neste ano será realizado o próximo ENADE Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes, das áreas de Engenharia, Licenciatura e Tecnologia da Informação que participarão da Prova ENADE no dia 06 de novembro de 011. Um resultado positivo no ENADE confere mais prestígio ao nosso diploma. Bem como, amplia as possibilidades de inserção no mercado de trabalho o que resulta na melhoria da condição de vida. Somos capazes de dimensionar o tamanho de nossa co-responsabilidade com a vida acadêmica e profissional dos nossos alunos quando analisamos os impactos dos indicadores de qualidade provenientes deste Exame. Tais indicadores buscam referenciar a qualidade média dos cursos, auxiliando empregadores em suas escolhas. Pensando nisso, preparamos provas simuladas. Essa prova mostrará como estamos nos temas e nas habilidades que o meio acadêmico e profissional contemporâneo está valorizando. Por esses motivos pedimos para responder as questões com o máximo de atenção e zelo. Obrigado e Boa Prova! Estácio

2 FORMAÇÃO GERAL QUESTÃO 1 Segundo publicação na revista científica Physical Review Letters, quase cem anos depois, uma sonda espacial da Nasa confirmou previsões cruciais feitas pelo físico alemão Albert Einstein em As observações da sonda de gravidade B (GP-B) comprovaram que a massa da Terra está muito sutilmente causando uma curvatura no tempo e no espaço ao seu redor, e até arrastando-os consigo. Os cientistas conseguiram observar esses efeitos através do estudo do comportamento de quatro esferas super-precisas levadas dentro do satélite. e uma população de 1,6 milhão. Se a divisão for aprovada, o estado de origem ficaria com 4,6 milhões de habitantes e 86 municípios. O estado brasileiro alvo da divisão territorial a ser decidida no plebiscito aprovado é: (A) Mato Grosso (B) Amazonas (C) Tocantins (D) Amapá (E) Pará QUESTÃO Desde a década de 60, o(a) artista das três obras abaixo tem marcado presença nos principais espaços da arte nacionais e internacionais. Sonda da Nasa orbita a Terra Título: Composição Ano: 1968 Título: Obra C Ano: 1979 Prêmio Museu de Arte Moderna de São Paulo - Panorama 1979 Título: Sem título Ano: 1989 O objetivo da sonda de gravidade B era confirmar duas importantes consequências da Teoria da Relatividade Geral, publicada por Einstein em As previsões descrevem a forma como o tempo e o espaço são distorcidos pela presença de enormes objetos como planetas e estrelas. Uma delas é o efeito - que trata da forma como a Terra curva o espaço-tempo - e a outra, o efeito - sobre como a rotação da Terra distorce o espaço-tempo ao seu redor ao girar. Complete os espaços com as duas palavras que nomeiam os efeitos (A) geológico / de arrasto (B) geodético / de lastro (C) geodético / de arrasto (D) estufa / planetário (E) hibrido / borboleta QUESTÃO Com o argumento de que a divisão territorial permite um melhor gerenciamento da área, o plenário da Câmara aprovou em 05/05/011 a realização de plebiscito sobre a criação dos estados de Carajás e de Tapajós, a partir de segmentação de um dos estados brasileiros. De acordo com o projeto, o novo estado de Tapajós teria 7 municípios, ocupando 58% da área atual do estado de origem, e uma população de 1, milhão de habitantes. Já o estado de Carajás teria 9 municípios, com área equivalente a 5% do território atual do estado de origem Esteve presente em cinco edições da Bienal Internacional de São Paulo, conquistou 8 prêmios, realizou cerca de 50 individuais e 85 coletivas, no Brasil e no exterior. No País, tornou-se um fenômeno raro, alcançando uma popularidade incomum para um artista plástico cuja obra ao mesmo tempo é respaldada pelos principais críticos de arte. Sua característica originária é a abstração informal. O domínio da esfera técnica de seu trabalho e o controle do processo coincidiu com uma nova orientação dada progressivamente ao trabalho, segundo o qual a imaterialidade aparente de suas telas foi substituída pelo estudo da relação forma-cor. Entre formas ovais, retangulares, cruciformes, quadradas colocadas isoladamente, justapostas ou em série, fica preservada a ambigüidade perturbadora entre elas e o espaço da tela. Estamos nos referindo a: (A) Flávio Shiró (B) Tomie Ohtake (C) Hisao Ohara (D) Lydia Okumura (E) Emiliano Di Cavalcanti QUESTÃO 4 O Programa Nacional de Habitação Urbana (PNHU) e Programa Nacional de Habitação Rural (PNHR) inclui o programa habitacional Minha Casa, Minha Vida. Transformada em projeto de lei de conversão, a MP medida provisória (MP 514/10) prevê a construção e a

3 FORMAÇÃO GERAL reforma de dois milhões de moradias para o período de 011 a 014. Para isso, o governo elevou de R$ 14 bilhões para R$ 16,5 bilhões as transferências da União para o Fundo de Arrendamento Residencial (FAR), que financia o programa. As mudanças pretendem tornar as regras do programa mais claras, facilitando seu entendimento pela população, e também os procedimentos para a regularização fundiária de assentamentos localizados em áreas urbanas, de acordo com o Executivo. Com o objetivo de beneficiar as famílias de baixa renda, estão enquadradas nos critérios do programa Minha Casa, Minha Vida, famílias: I - com renda fixada em valor nominal de R$ II - chefiadas por mulheres, com renda mensal da família menor do que R$ III - residentes em áreas de risco, insalubres ou que estejam desabrigadas. IV - que tenham pessoas com deficiência. (A) Somente as afirmações I e III estão corretas (B) Somente as afirmações II e III estão corretas (C) Somente as afirmações I, II, e III estão corretas (D) Somente as afirmações I, III, e IV estão corretas (E) As afirmações I, II, III e IV estão corretas QUESTÃO 5 Depois do desastre que danificou em março os reatores nucleares de Fukushima, no nordeste do Japão, a planta nuclear de Hamaoka, na região central do Japão foi fechada por decisão da junta diretiva da Chubu Electric Power Co, a pedido do governo japonês. A instalação da planta, de cerca de 00 km a oeste de Tóquio, é considerada a maior do Japão e está numa área de grande risco de terremotos. O governo chegou à conclusão depois de avaliar a vulnerabilidade dos 54 reatores em operação no país em caso de terremoto ou tsunami. Alemão juntas). O desastre ocorreu em conseqüência de um teste de rotina em que o sistema de segurança da planta foi desligado para evitar cortes de energia no reator. Por erro humano, em vez de apagar o reator número 4, técnicos provocaram o reaquecimento do núcleo ativo do sistema, a transformação da água de resfriamento em vapor e a consequente explosão. À hora do acidente, apenas duas pessoas morreram, mas, nos dias seguintes, outras 1 que trabalharam no resgate das vítimas perderam a vida. Hoje, números oficiais da Organização Mundial de Saúde falam em 9 mil mortos em consequência do vazamento da radioatividade. Até hoje, os níveis de radiação impedem que os habitantes da região voltem para casa, porque cientistas estimam que a limpeza da área levará, pelo menos, um século. Estamos nos referindo ao desastre ocorrido em: (A) São Francisco, nos Estados Unidos (B) Sarov, na Rússia (C) Goiânia, no Brasil (D) Chernobyl, na Ucrânia (E) Cochabamba, na Bolívia QUESTÃO 6 Valsa Fez tanto luar que eu pensei nos teus olhos antigos e nas tuas antigas palavras O vento trouxe de longe tantos lugares em que estivemos que tornei a viver contigo enquanto o vento passava. Houve uma noite que cintilou sobre o teu rosto e modelou tua voz entre as algas Eu moro, desde então, nas pedras frias que o céu protege e estudo apenas o ar e as águas Coitado de quem pôs sua esperança nas praias fora do mundo... Os ares fogem, viram-se as águas, mesmo as pedras, com o tempo, mudam. Cecilia Meireles Se entrarmos no sentido e na emoção da poetiza, podese interpretar que na poesia Valsa, Cecília Meireles nos mostra que: Fotos do pior acidente nuclear da história Assim como a tragédia do Japão em 1986 ocorreu um outro acidente nuclear, considerado o pior da história, que contaminou, pela radiação, 60 mil km² de área e 40 mil pessoas sem um lugar para morar (mais do que o equivalente às populações da Rocinha e Complexo do (A) os ares sempre são fluidos e efêmeros (B) o tempo faz com que todas as coisas mudem (C) tal como a valsa, água mole em pedra dura tanto bate até que fura (D) pedras inanimadas tornam-se vivificadas no luar cintilante (E) a esperança deve estar dentro de cada ser

4 FORMAÇÃO GERAL QUESTÃO 7 A Justiça do Trabalho tem sido cada vez mais chamada a decidir se as companhias podem interferir na aparência de seus empregados. O Judiciário entende que elas podem ter manuais de conduta e que o descumprimento dessas orientações pode justificar demissões. No entanto, empresas que impõem exigências consideradas descabidas têm sido condenadas a pagar indenizações. Veja o caso a seguir: O Banco Bradesco S/A foi condenado por proibir o uso de barba pelos empregados. A decisão do juiz Guilherme Ludwig, da 7ª Vara do Trabalho de Salvador, tomou por base a ação civil pública ajuizada em fevereiro de 008, pelo MPT, de autoria do procurador Manoel Jorge e Silva Neto. A sentença foi favorável ao pedido do MPT e condenou o Bradesco ao pagamento de indenização de R$ 100 mil, por dano moral à coletividade dos trabalhadores. O banco também será obrigado a publicar uma mensagem de esclarecimento no primeiro caderno dos jornais de maior circulação na Bahia e em todas as redes de televisão aberta, em âmbito nacional, em horário anterior ao principal jornal de informações de cada rede. Analise as afirmações sobre a situação em questão: I - A proibição patronal ao uso de barba toma por base o puro e simples preconceito, na medida em que usar ou não barba, cavanhaque, bigode ou costeleta não mostra nenhuma relação com maior ou menor eficiência no tocante à prestação de trabalho. II - As medidas pretendidas pelo Ministério Público do Trabalho mostram-se inúteis e desnecessárias, pois não contribuem para cessar a discriminação estética em benefício dos seus empregados do sexo masculino que desejam utilizar barba e, em última análise, nem inibem a conduta patronal transgressora para o futuro. III - A Constituição Federal (art. º, IV) proíbe preconceitos de origem, raça, sexo, cor, idade e quaisquer outras formas de discriminação. IV - O trabalho em banco é correlato ao exercido em empresas com níveis de segurança em plantas industriais, quando a vedação ao uso de barba está vinculada à proteção da saúde e segurança dos trabalhadores. Com a barba, a colocação de máscaras contra o vazamento de gases tóxicos impede total aderência ao rosto. Por esse motivo, a matéria condenatória deveria ser menos rigorosa. (A) Somente as afirmações I e III estão corretas (B) Somente as afirmações II e III estão corretas (C) Somente as afirmações I, II, e III estão corretas (D) Somente as afirmações I, III, e IV estão corretas (E) As afirmações I, II, III e IV estão corretas QUESTÃO 8 Apesar da obrigação de garantir segurança universal, os índices de violência urbana são cada vez mais altos. De acordo com a Secretaria de Segurança Pública do Paraná (Sesp), por exemplo, no primeiro trimestre de 010, o número de homicídios em Curitiba aumentou 5,8% em comparação com o mesmo período do ano passado. É um direito fundamental e humano que está longe de ser cumprido. A estrutura do estado e da União para garantir a segurança é falha. Há uma defasagem de 50% no número de policiais militares e civis, afirma o advogado criminalista Dálio Zippin Filho, membro da Comissão de Direitos Humanos do Conselho Federal. Além do investimento em efetivo policial, outras ações são fundamentais para prevenir o aumento da criminalidade. Precisamos de políticas públicas voltadas para a segurança em vários aspectos, desde a iluminação das praças e ruas, até medidas de educação para jovens que estão à margem da sociedade. Não adianta só combater a violência, tem de tratá la, acrescenta Zippin Filho ( João Cidadão: Controle da violência depende de investimento do Estado) Esse acontecimento não é realidade apenas no Paraná. Outros estados brasileiros são acometidos por índices alarmantes no que se refere à violência. Com base no tema em questão, analise as duas afirmações a seguir. I - Encaminhando a um Fórum Criminal, na Justiça Comum, sob condução de um advogado, é possível entrar com ação indenizatória contra o Estado no caso de violação do direito à segurança. PORQUE II - O artigo 144º da Constituição diz que a segurança pública é dever do Estado, direito e responsabilidade de todos. Além disso, previsto no artigo 5º, da Constituição, o direito à segurança é tão fundamental quanto o direito à saúde, à educação e à vida. (A) A afirmação I e II estão corretas e a afirmação II é uma justificativa correta da primeira (B) A afirmação I e II estão corretas e a afirmação II NÃO é uma justificativa correta da primeira (C) Somente a afirmação I está correta (D) Somente a afirmação II está correta (E) As afirmações I e III NÃO estão corretas

5 FORMAÇÃO GERAL QUESTÃO 1 DISCURSIVA Médicos da Uerj põem à prova sistema de cotas Formandos da turma de Medicina de 010 da UERJ, a primeira com alunos cotista Já se passaram seis anos e a frase ainda martela a cabeça dos alunos: "A Medicina da Uerj não é mais a mesma. Não respeito aluno que tira menos que 7. Não respeito cotista." A bronca do professor, um catedrático da Uerj, logo no primeiro ano da faculdade, foi o exemplo mais explícito da animosidade contra a presença dos cotistas no curso. A prova que provocou a ira do professor tinha apenas quatro questões discursivas. "Todas dificílimas e sobre uma matéria que a gente não tinha estudado", lembra Flávia Nobre, 4 anos, cotista, que agora faz residência de cirurgia geral na Uerj. Apenas uma aluna, não cotista, foi bem. Tirou dez. Os outros 9 alunos, cotistas e não cotistas, não passaram dos,5. Na hora, não houve reação. Pesou a favor do silêncio o poder do professor de dificultar a vida de quem contraria sua opinião. "Eu sei que é uma posição submissa, mas a gente precisa se formar. É uma reação de sobrevivência", diz Euclides Colaço, cotista. A melhor resposta foi o desempenho da turma ao longo do curso. "Se a turma é boa, ela conquista o respeito do professor. A nossa turma sempre se dedicou e provou quando necessário que era muito boa", avalia Felipe Bessa, não cotista. Como a decisão de aceitar cotistas não foi discutida pelo Conselho Universitário da Uerj e sim imposta por uma lei estadual, os professores contrários ao sistema não gostam de falar abertamente sobre o assunto. "A entrada tem de ser por mérito. Cotista é uma farsa", diz um professor com mais de 0 anos de Uerj, que não quis se identificar. O diretor da faculdade, Plínio José da Rocha, não discute se o sistema é bom. "Lei se cumpre e se tenta que as coisas andem o melhor possível." Mas afirma que o curso não piorou. "A Uerj não precisou mudar para receber os cotistas. Também não houve um aumento de reprovação." A essência do curso pode não ter mudado, mas a universidade ficou diferente. "Primeiro porque a turma ficou mais colorida com a presença de mais negros", diz Renata Aranha, ginecologista e diretora de extensão da Uerj. Renata percebeu também que os alunos passaram a perguntar mais nas aulas. "Não me importo em explicar a mesma coisa três vezes. Não sei se os que perguntavam eram cotistas ou não. Mas a minha sensação é de que antes os alunos tinham vergonha de perguntar." Renata é a favor das cotas. "Acredito nas políticas afirmativas, mas elas precisam ser temporárias e utilizadas sem distorções." Para ela, o maior mérito das cotas na Medicina é mudar a imagem do negro na sociedade. "Quando você chega com dor num hospital e quem te salva é um negro, isso ajuda a transformar a imagem da população em relação à raça." O vice diretor André Melgaço ressalta o empenho dos cotistas e espera com ansiedade o resultado do Exame Nacional de Desempenho de Estudantes (Enade), para avaliar se a Uerj mudou. "Um grande número de cotistas demonstra um esforço compensatório que os fazem atingir conceitos suficientes para colarem grau. Muitos alunos não cotistas, de colégios considerados de bom padrão, não mostram essa dedicação e acabam com notas inferiores às de cotistas." (Márcia Vieira - O Estado de S.Paulo 10/05/11) Analise o fato relatado pela jornalista Márcia Vieira e apresente um posicionamento sobre o sistema de cotas com base na defesa de um argumento

6 FORMAÇÃO GERAL QUESTÃO DISCURSIVA Osama Bin Laden, o homem mais procurado da América, não será julgado, já que forças especiais dos Estados Unidos o mataram com um tiro na cabeça. Osama Bin Laden deveria ter sido morto ou não? Por quê? Analise o acontecimento conforme seu acompanhamento pela mídia Responda a questão abaixo com cinco parágrafos: No primeiro introduza sua idéia sobre o tema citando três argumentos para descrevê-la. Nos três parágrafos seguintes desenvolva cada um dos três argumentos. No último parágrafo, apresente sua conclusão sobre o tema

7 COMPONENTE ESPECÍFICO MATEMÁTICA QUESTÃO 11 QUESTÃO 1 Um restaurante do tipo self-service oferece opções de entrada, 5 de prato principal e 4 de sobremesa. Um cliente desse restaurante deseja compor sua refeição com exatamente 1 entrada, pratos principais e sobremesas. De quantas maneiras diferentes esse cliente poderá compor a sua refeição? A 4. B 5. C 1. D 60. E 180. QUESTÃO 1 Considere a progressão geométrica 1,,,...,,..., e denote por S n a soma de seus n primeiros termos. Ao se levar em conta A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de m /s. Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional. Considere que o projeto prevê a retirada de x m /s de água. Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que, e. que, para x 1, número inteiro positivo n para o qual S n > A. B 4. C 5. D 6. E 7. QUESTÃO 14, conclui-se que o maior é igual a 5 Considere P(x) = (m 4)(m + 4)x + x + kx + 1 um polinômio na variável x, em que m e k são constantes reais. Assinale a opção que apresenta condições a serem satisfeitas pelas constantes m e k para que P(x) não admita raiz real. A m = 4 e < k < B m = 4 e k > C m = e < k < D m = 4 e k < E m = e k > RASCUNHO Com base nessas informações, assinale a opção correta. A O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(a) = 0. B A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes. C Mais de % da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais. D O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais. E A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula. ENADE 005 Área: MATEMÁTICA 7

8 QUESTÃO 15 Um professor propôs a seguinte situação-problema em sala de aula: Considere que a figura acima represente um terreno retangular MOVT e que R e Q sejam, respectivamente, os pontos médios dos lados MT e OV. Estabeleça as condições necessárias e suficientes para que o terreno esteja dividido em quatro áreas iguais. Qual das opções abaixo responde corretamente à indagação do professor? A Os segmentos NP e SU são paralelos. B MN = UV. C MN = RS = PQ e NP e SU são paralelos. D NPUS é um paralelogramo e RS = PQ. E M = N; P = Q; U = V e R = S. QUESTÃO 16 Considere o retângulo Q 0, ilustrado acima e a partir dele, construa a seqüência de quadriláteros Q 1, Q, Q,..., de tal modo que, para i 1, os vértices de Q são os pontos médios dos lados de Q. i i 1 Representando por a(q ) a área do quadrilátero Q, julgue os itens que se seguem. i i QUESTÃO 17 Considere a pirâmide OABCD de altura OA e cuja base é o paralelogramo ABCD. Considere também o prisma apoiado sobre a base da pirâmide e cujos vértices superiores são os pontos médios das arestas concorrentes no vértice O. Represente por V 1 o volume da pirâmide OABCD e por V o volume do prisma. A respeito dessa situação, um estudante do ensino médio escreveu o seguinte: A razão independe de a base da pirâmide OABCD ser um retângulo ou um paralelogramo qualquer porque OAB é um triângulo retângulo. Com relação ao que foi escrito pelo estudante, é correto afirmar que A as duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira. B as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira. C a primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. D a primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. E ambas as asserções são proposições falsas. RASCUNHO I A subseqüência de quadriláteros Q 1, Q, Q 5,..., correspondente aos índices ímpares, é formada somente por II paralelogramos. O quadrilátero Q é um retângulo. III Para i 1, 6 Assinale a opção correta. A Apenas um item está certo. B Apenas os itens I e II estão certos. C Apenas os itens I e III estão certos. D Apenas os itens II e III estão certos. E Todos os itens estão certos. ENADE 005 Área: MATEMÁTICA 8

9 QUESTÃO 18 As equações x + y + 4x 4y + 4 = 0 e x + y x + y + 1 = 0 representam, no plano cartesiano xoy, as circunferências C 1e C, respectivamente. Nesse caso, A B C D as duas circunferências têm exatamente pontos em comum. a equação da reta que passa pelos centros de C 1 e C é expressa por y = x + 1. os eixos coordenados são tangentes comuns às duas circunferências. o raio da circunferência C é o triplo do raio da circunferência 1 C. E as duas circunferências estão contidas no primeiro quadrante do plano cartesiano xoy. QUESTÃO 19 O mandato do reitor de uma universidade começará no dia 15 de novembro de 005 e terá duração de exatamente quatro anos, sendo um deles bissexto. Nessa situação, conclui-se que o último dia do mandato desse reitor será no(a) A sexta-feira. B sábado. C domingo. D segunda-feira. E terça-feira. QUESTÃO No espaço R, considere os planos Π 1 e Π de equações Π 1: 5x + y + 4z = e Π : 15x + y + 1z = 7. Um estudante de cálculo, ao deparar-se com essa situação, escreveu o seguinte: Os planos 1 e são paralelos porque o vetor de coordenadas (10,, 8) é um vetor não-nulo e normal a ambos os planos. Com relação ao que foi escrito pelo estudante, é correto afirmar que A as duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa da primeira. B as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira. C a primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. D a primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. E ambas as asserções são proposições falsas. RASCUNHO Leia o texto a seguir para responder às questões 0 e 1. Desenha-se no plano complexo o triângulo T com vértices nos pontos correspondentes aos números complexos z 1, z e z, que são raízes cúbicas da unidade. Desenha-se também o triângulo S, com vértices nos pontos correspondentes aos números complexos w 1, w e w, que são raízes cúbicas complexas de 8. QUESTÃO 0 Com base no texto acima, assinale a opção correta. A é um dos vértices do triângulo T. B é um dos vértices do triângulo S. 6 C wz 1 1é raiz da equação x 1 = 0. D Se w 1 =, então. E Se z 1 = 1, então z é o conjugado complexo de z. QUESTÃO 1 Na situação descrita no texto, se a é a área de T e se a é a área de S, então A a = 8a. B a = 6a. C a = 4a. D a =. E a = a. ENADE 005 Área: MATEMÁTICA 9

10 QUESTÃO A respeito da solução de equações em estruturas algébricas, assinale a opção incorreta. A Em um grupo (G, ), a equação a X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a G. B Em um anel (A, +, ), a equação a + X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a A. C Em um anel (A, +, ), a equação a X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a A. D Em um corpo (K, +, ), a equação a X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a K, a 0. E Em um corpo (K, +, ), a equação a X + b = c tem solução para quaisquer a, b e c pertencentes a K, a 0. QUESTÃO 4 Observe as figuras abaixo. QUESTÃO 6 Considere f : [0, ) R uma função cujo gráfico está representado na figura a seguir. Assinale a opção que melhor representa o gráfico da função. A B C Podem ser imagem da figura A por alguma transformação linear T : R R apenas as figuras A I, III e IV. B III, IV e VI. C I, II, IV e V. D I, II, V e VI. E II, III, V e VI. D QUESTÃO 5 A respeito da função f(x) = x x + 5x + 16, é correto afirmar que A existe um número real M tal que f(x) M para todo número real x. B existe um número real N tal que f(x) N para todo número real x. C existe um número real x 0 < 0 tal que f(x 0) = 0. D existe um número real y tal que f(x) y para todo número real x. E existem números reais x para os quais f( x) = f(x). E ENADE 005 Área: MATEMÁTICA 10

11 QUESTÃO 7 RASCUNHO Considere em R uma bola de centro na origem e raio 4. Em cada ponto (x, y, z) dessa bola, a temperatura T é uma função do ponto, expressa por Nessa situação, partindo-se de um ponto (x 0, y 0, z 0) da fronteira da bola e caminhando-se em linha reta na direção do ponto ( x 0, y 0, z 0), observa-se que a temperatura A será máxima nos pontos da fronteira da bola. B estará sempre aumentando durante todo o percurso. C estará sempre diminuindo durante todo o percurso. D atingirá o seu maior valor no centro da bola. E assumirá o seu maior valor em 4 pontos distintos. QUESTÃO 8. A figura acima ilustra parte do gráfico da função, definida para (x, y) R. Sabendo que se a > 0, então, julgue os itens a seguir. I II Os conjuntos C k = {(x, y) R : f(x, y) = k, 0 < k < 1}, que representam curvas de nível da função f, são circunferências de centro na origem. III A função f é limitada superiormente, mas não é limitada inferiormente. IV. Estão certos apenas os itens A I e III. B II e IV. C III e IV. D I, II e III. E I, II e IV. ENADE 005 Área: MATEMÁTICA 11

12 QUESTÃO 9 DISCURSIVA Em um paralelogramo ABCD, considere M o ponto da base AB tal que e E o ponto de interseção do segmento CM com a diagonal BD, conforme figura a seguir. Prove, detalhadamente e de forma organizada, que a área do triângulo BME é igual a da área do paralelogramo ABCD. No desenvolvimento de sua demonstração, utilize os seguintes fatos, justificando-os: os triângulos BME e DCE são semelhantes; a altura do triângulo BME, relativa à base BM, é igual a da altura do triângulo DCE relativa à base DC. (valor: 10,0 pontos) 1 RASCUNHO ENADE 005 Área: MATEMÁTICA 1

13 QUESTÃO 0 DISCURSIVA Considere f : R R uma função derivável até a ordem, pelo menos, tal que f( ) = 0, f( 1) = 1, f(0) =, f(1) = 1 e f() =. O gráfico da derivada de primeira ordem, f, tem o aspecto apresentado abaixo. Com base nos valores dados para a função f e no gráfico de sua derivada f, faça o que se pede nos itens a seguir. a) Na reta abaixo, represente com setas ou os intervalos em que a função f é crescente ou descrescente, respectivamente. (valor:,0 pontos) b) Calcule: = = (valor: 1,0 ponto) c) Quais são os pontos de máximo e de mínimo relativos (locais) de f? (valor:,0 pontos) d) Quais são os pontos de inflexão de f? (valor: 1,0 ponto) e) No sistema de eixos coordenados abaixo, faça um esboço do gráfico da função f. (valor: 4,0 pontos) ENADE 005 Área: MATEMÁTICA 1

14 1. A seguir são apresentadas questões objetivas e discursivas distribuídas do seguinte modo: NÚMERO DAS QUESTÕES CURSO OBJETIVAS DISCURSIVAS LICENCIATURA 1 a 9 40 BACHARELADO 41 a Você deve responder apenas às 10 questões 9 objetivas e 1 discursiva referentes ao curso para o qual você está inscrito (licenciatura ou bacharelado).

15 As questões de 1 a 40, a seguir, são específicas para os estudantes de LICENCIATURA MATEMÁTICA QUESTÃO 1 Uma das fontes da história da matemática egípcia é o papiro Rhind, ou papiro Ahmes (1650 a.c.). Constam desse documento os problemas a seguir. Problema 1: Comparar a área de um círculo com a área de um quadrado a ele circunscrito. A seguinte figura faz parte da resolução desse problema. QUESTÃO Na aprendizagem da equação quadrática, a escola básica tende a trabalhar exclusivamente com a fórmula conhecida no Brasil como fórmula de Bhaskara. Entretanto, existem outras formulações desde a antiguidade, quando já se podiam identificar problemas e propostas de soluções para tais tipos de equação. Há mais de anos, na Babilônia, adotavam-se procedimentos que hoje equivalem a expressar uma solução de x bx = c como. Euclides (séc. I a.c.), no livro X de sua obra Os Elementos, já propunha uma resolução geométrica que Problema : Exemplo de um corpo redondo de diâmetro 9. Qual é a área? A solução apresentada pelo escriba pode ser descrita como: remover do diâmetro; o restante é 8; permite resolver uma equação quadrática do tipo ax x = b, utilizando exclusivamente compasso e régua não-graduada. A respeito de uma proposta de ensino de resolução de equação quadrática com o enfoque em procedimentos historicamente construídos, assinale a opção correta. multiplicar 8 por 8; perfaz 64. Portanto, a área é 64; O procedimento do escriba permite calcular a área A de um círculo de diâmetro d aplicando a fórmula. A Tal proposta desvia a atenção da aprendizagem do foco central do conteúdo, fazendo que o aluno confunda as formulações, e, por conseqüência, não desenvolva competências na resolução de equações quadráticas. B É adequada a inserção dessa perspectiva, associada à Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. I II A figura do problema 1 sugere aproximar a área de um círculo à área de um octógono. O procedimento, no problema, fornece uma aproximação a para, por excesso, correta até a. casa decimal. III De acordo com o procedimento, no problema, a área do círculo de diâmetro d é igual à de um quadrado de lado. Assinale a opção correta. A Apenas um item está certo. B Apenas os itens I e II estão certos. C Apenas os itens I e III estão certos. D Apenas os itens II e III estão certos. E Todos os itens estão certos. manipulação de recorte e colagem pela complementação de quadrados, buscando sempre alternativas para as situações que esse procedimento não consegue resolver. C É mais adequado trabalhar o desenvolvimento da resolução de equações incompletas e, posteriormente, por meio da formulação de Bhaskara, manipular as equações completas, para somente no ensino médio ampliar tal conhecimento com o enfoque histórico. D É adequado utilizar tal proposta no ensino, uma vez que ela permite explicar a resolução de qualquer tipo de equação quadrática. E Tal proposta é inexeqüível pelo tempo excessivo que exige do professor e por retardar a aprendizagem de alunos com dificuldades tanto em álgebra quanto em geometria. ENADE 005 Área: MATEMÁTICA 15

16 QUESTÃO Não se pode negar que, embora bastante presentes em problemas envolvendo valores monetários e medidas, os números decimais constituem uma dificuldade no processo da aprendizagem matemática nas escolas. Uma das causas desse problema está na estrutura do currículo da matemática na escola básica. Julgue os itens a seguir, acerca do ensino dos números decimais no currículo da educação básica. QUESTÃO 4 Com o objetivo de chamar a atenção para o desperdício de água, um professor propôs a seguinte tarefa para seus alunos da 6.ª série do ensino fundamental: Sabe-se que, em média, um banho de 15 minutos consome 16 L de água, o consumo de água de uma máquina de lavar roupas é de 75 L em uma lavagem completa e uma torneira pingando consome 46 L de água por dia. Considerando o número de banhos e o uso da máquina de lavar, compare a quantidade de água consumida por sua família durante uma semana com a quantidade de água que é desperdiçada por torneiras pingando nesse período. Analise e comente os resultados. I II Os números decimais representam uma expansão do sistema de numeração decimal enquanto base decimal e, por isso, seu conceito e representação no currículo precisam vir articulados à expansão da estrutura do sistema decimal. O ensino dos números decimais deve preceder o ensino do sistema monetário, uma vez que o conhecimento dos decimais no currículo da educação básica é um prérequisito para a aprendizagem desse conteúdo. No que se refere ao trabalho do aluno na resolução do problema proposto, assinale a opção incorreta. A Elabora modelos matemáticos para resolver problemas. B Analisa criticamente a situação-problema levando em conta questões sociais. C Pode representar os resultados graficamente. D Aciona estratégias de resolução de problemas. E Examina conseqüências do uso de diferentes definições. QUESTÃO 5 III O currículo de matemática da escola básica deve propor, inicialmente, o ensino das frações com qualquer denominador, para então tratar das frações decimais como um caso específico, introduzindo, então, os números decimais. Em uma classe da 6.ª série do ensino fundamental, o professor de matemática propôs aos alunos a descoberta de planificações para o cubo, que fossem diferentes daquelas trazidas tradicionalmente nos livros didáticos. Um grupo de alunos produziu a seguinte proposta de planificação. IV A ação do aluno em contextos de significado envolvendo valores monetários e medidas é fonte geradora de aprendizagem dos números decimais e, portanto, de ensino na escola, em um processo de resgate dos conhecimentos prévios dos alunos. São reflexões apropriadas para a superação da problemática da baixa aprendizagem dos números decimais na escola apenas as contidas nos itens A I e II. B I e III. C I e IV. D II e III. E II, III e IV. Ao tentar montar o cubo, o grupo descobriu que isso não era possível. Muitas justificativas foram dadas pelos participantes e estão listadas nas opções abaixo. Assinale aquela que tem fundamento matemático. A Não se podem alinhar três quadrados. B Tem de haver quatro quadrados alinhados, devendo estar os dois quadrados restantes um de cada lado oposto dos quadrados alinhados. C Quando três quadrados estão alinhados, não se pode mais ter os outros três também alinhados. D Cada ponto que corresponderá a um vértice deverá ser o encontro de, no máximo, três segmentos, que serão as arestas do cubo. E Tem de haver quatro quadrados alinhados, e não importa a posição de justaposição dos outros dois quadrados. ENADE 005 Área: MATEMÁTICA 16

17 QUESTÃO 6 Julgue os itens a seguir, relativos ao ensino e à aprendizagem de porcentagens. I II O ensino de porcentagem deve ter o contexto sociocultural como motivação de aprendizagem. O primeiro contato dos estudantes com o cálculo percentual deve ocorrer quando se estudam juros compostos. III O ensino de frações centesimais e o de frações de quantidade devem ser articulados com o ensino de porcentagens. IV O conteúdo de porcentagens favorece um trabalho integrado entre diferentes blocos de conteúdos, tais como números, medidas, geometria e tratamento da informação. Estão certos apenas os itens A I e II. B II e III. C III e IV. D I, II e III. E I, III e IV. QUESTÃO 7 É comum alunos do ensino médio conhecerem a demonstração do teorema de Pitágoras feita no livro I de Os Elementos de Euclides. Nela, usa-se o fato de que todo triângulo retângulo ABC, de catetos a e b e hipotenusa c, está inscrito em um semicírculo. Demonstra-se que as projeções m e n de AB e AC sobre a hipotenusa satisfazem à relação mn = h, em que h é a altura do triângulo. Por meio das relações de proporcionalidade entre os lados dos triângulos ABD, CAD e CBA, prova-se que a + b = c. QUESTÃO 8 Um grupo de alunos de 7.ª série resolveu brincar de fazer cálculos utilizando uma calculadora não-científica. Em determinado momento, eles realizaram a seguinte seqüência de procedimentos: 1.º tecla.º tecla.º tecla 4.º tecla = Os alunos ficaram surpresos com o número que apareceu no visor: e resolveram questionar o professor sobre o acontecido. Afinal, a resposta não deveria ser? Assinale a opção que mais adequadamente descreve um procedimento a ser adotado pelo professor. A Confrontar a resposta obtida com a de uma calculadora científica, discutindo a diferença entre os conceitos de números racionais, aproximações e números irracionais. B Dizer que a calculadora não-científica comete erros, por isso, não deve ser utilizada na escola, mas apenas no comércio, para se fazer conta simples, que não envolva cálculos aproximados. C Montar a expressão numérica que representa a situação, mostrando que, na verdade, há erros procedimentais por parte dos alunos ao operarem com a calculadora. D Provar que, se a calculadora não-científica tivesse o dobro de casas decimais, ao final, ela arredondaria para, dando a resposta esperada. E Dizer que a calculadora científica faz os devidos arredondamentos para que a resposta seja algebricamente correta; por isso, é considerada científica. QUESTÃO 9 Um aluno de 5.ª série, ao fazer a operação 6787 na resolução de um problema, foi considerado em situação de dificuldade, ao apresentar o seguinte registro: Além de demonstrar o teorema de Pitágoras, o professor pode, ainda, com essa estratégia, demonstrar que I II é possível construir, com régua e compasso, a média geométrica entre dois números reais m e n. é possível construir, com régua e compasso, um quadrado de mesma área que a de um retângulo de lados m e n. III todos os triângulos retângulos que aparecem na figura são semelhantes. Assinale a opção correta. A Apenas um item está certo. B Apenas os itens I e II estão certos. C Apenas os itens I e III estão certos. D Apenas os itens II e III estão certos. E Todos os itens estão certos. A análise do procedimento desse aluno revela que A ele não sabe o algoritmo da divisão, o que indica problemas de aprendizagem oriundos das séries iniciais. B o procedimento aplicado não traz contribuições para o desenvolvimento matemático do aluno, uma vez que ele não poderá realizá-lo em outras situações matemáticas. C o aluno terá dificuldade de compreender os processos operatórios dos colegas e os feitos pelo professor ou apresentados no livro didático. D o aluno compreendeu tanto a estrutura do número quanto o conceito da operação de divisão. E deverá ser incentivada a utilização de tal procedimento somente em produções individualizadas, como em atividades para casa. ENADE 005 Área: MATEMÁTICA 17

18 QUESTÃO 40 DISCURSIVA Em uma avaliação de matemática de 5.ª série, a situação proposta exigia que fosse calculado o quociente entre 8 e 7. O professor observou que uma aluna registrou o seguinte. A partir da análise dessa situação, responda às seguintes questões. a) Qual o erro da aluna na sua produção matemática? (valor:,0 pontos) b) Que fatores pedagógicos fazem com que tal erro seja gerado? (valor: 4,0 pontos) c) Que tipo de intervenção pode realizar o professor para que essa aluna reflita sobre o erro cometido e supere tal dificuldade? (valor: 4,0 pontos) item a) 1 RASCUNHO 4 5 item b) RASCUNHO item c) 1 RASCUNHO 4 5 ENADE 005 Área: MATEMÁTICA 18

19 As questões de 41 a 50, a seguir, são específicas para os estudantes do BACHARELADO MATEMÁTICA QUESTÃO Considerando p(x) = x + x + x +, q(x) = x 16 e definindo os anéis quocientes A 1 = Q[x] / <p(x)> e A = Q[x] / <q(x)>, em que Q[x] denota o anel de polinômios sobre Q na variável x e <f(x)> representa o ideal de Q[x] gerado pelo polinômio f(x), assinale a opção correta. A De acordo com o critério de Eisenstein, os polinômios p(x) e q(x) são irredutíveis. B O ideal <q(x)>, gerado pelo polinômio q(x), é maximal. C Os anéis quocientes A 1 e A são corpos. D Somente o anel quociente A 1 é corpo. E O anel quociente A 1 admite divisores de zero. QUESTÃO 4 QUESTÃO 44 O que é correto afirmar a respeito de um operador linear T : R R que possua os números e como únicos autovalores? A Pode existir uma base de R na qual a matriz desse operador é da forma. B Existe base de R na qual a matriz desse operador tem uma linha nula. C Existe uma base de R na qual a matriz desse operador é da forma. D É possível que o auto-espaço associado a algum dos autovalores de T tenha dimensão. E O polinômio característico de T é igual a ( ) ( ). RASCUNHO Considere a e b dois números inteiros positivos primos entre si e f : Z Z/aZ Z/bZ x (x 1, x ), em que x 1 x (mod a) e x x (mod b). Com relação a essa função, assinale a opção incorreta. A f é um homomorfismo de anéis. B f é uma função sobrejetora. C O núcleo de f é o ideal de Z gerado por ab. D f é um isomorfismo de anéis. E f induz um isomorfismo entre Z/abZ e Z/aZ Z/bZ. QUESTÃO 4 Se G é um grupo multiplicativo de ordem n e H é um subgrupo de G, de ordem m, então A mdc(m, n) = 1. B H tem um gerador de ordem m. C o índice de H em G é igual a mn. D m é divisor de n. E o grupo quociente G/H é abeliano. ENADE 005 Área: MATEMÁTICA 19

20 QUESTÃO 45 RASCUNHO n Uma função f : R R é chamada homogênea de grau k se k n f (tx) = t f (x), para todo número real t e para todo vetor x de R. Se uma função diferenciável f é homogênea de grau k, então é possível mostrar que n kf (x) = f (x) x, x R. Essa igualdade é chamada identidade de Euler. Sabendo que, em cada ponto da superfície da esfera unitária, o vetor normal unitário exterior é o próprio vetor posição, analise os seguintes passos utilizados na obtenção da integral de superfície. passo I: A integral de superfície pode ser reescrita como. passo II: A integral obtida no passo I é igual a. passo III: Calculando-se essa última integral, obtém-se 4 como resultado. Assinale a opção correta acerca desses procedimentos. A No passo I, utilizou-se a identidade de Euler indevidamente, já que a função que se quer integrar não é homogênea. B No passo II, o integrando é o produto interno do gradiente da função f(x, y, z) = x + y + z + xy com um vetor unitário pertencente ao plano tangente à superfície da esfera unitária. C Na passagem de I para II, utilizou-se o teorema de Stokes, e, para isso, n = (x, y, z) foi tomado como vetor normal à superfície da esfera unitária. D Para se obter a expressão do passo II, utilizou-se a relação f = f, isto é, o divergente do gradiente de uma função é o laplaciano dessa função. E No passo III, considerou-se que a integral tripla do passo II é igual à área da superfície da esfera unitária. QUESTÃO 46 Analise as proposições abaixo a respeito de duas funções analíticas f e g : C C. I Se, para todo número natural n, então f (z) = 0, para todo II número complexo z. Se g(z) = 0 para todo número complexo z em algum subconjunto de C que possui ponto de acumulação, então g(z) = 0, para todo número complexo z. Nesse caso, A as proposições I e II são verdadeiras, sendo que a segunda pode ser usada para justificar a primeira. B as proposições I e II são verdadeiras, mas a segunda não pode ser usada para justificar a primeira. C a proposição I é verdadeira, e a proposição II é falsa. D a proposição I é falsa, e a proposição II é verdadeira. E as proposições I e II são falsas. ENADE 005 Área: MATEMÁTICA 0

21 QUESTÃO 47 QUESTÃO 48 Considere um circuito elétrico composto por uma fonte com tensão constante de E volts em série com um resistor de resistência igual a R ohms e uma bobina de indutância de valor L henrys. O comportamento do sistema pode ser descrito pela seguinte equação diferencial: em que i(t) é a corrente do circuito em função do tempo t. Nessas condições, sabendo que i(0) = 0, assinale a opção que melhor esboça o comportamento da corrente i(t)., Figura I A B Figura II C Figura III D As figuras I, II e III ilustram, respectivamente, os gráficos das funções f (x, y) = x y, g(x, y) = x + y e h(x, y) = (com (x, y) (0, 0)). Para as superfícies regulares S 1, S e S determinadas pelos gráficos de f, g e h, respectivamente, é correto afirmar que E A S 1 tem curvatura gaussiana nula em p = (0, 0, 0). B S tem um ponto em que a curvatura gaussiana é negativa. C S tem curvatura gaussiana nula em todos os pontos. D S 1 tem curvatura gaussiana constante negativa. E S tem curvatura gaussiana constante positiva. ENADE 005 Área: MATEMÁTICA 1

22 QUESTÃO 49 MATEMÁTICA A figura ao lado representa, no plano cartesiano xoy, uma conjunto fechado R, limitado por uma curva fechada. A figura é simétrica em relação aos eixos Ox e Oy. Acerca desse conjunto, assinale a opção incorreta. A O conjunto R é conexo por caminhos. B R está contido no conjunto M 1 = {(x, y) R ; max [ x, y ] }. C O conjunto dos pontos de acumulação de R é um subconjunto de R. D R é simplesmente conexo. E O conjunto M = {(x, y) R ; x + y } é um subconjunto de R. QUESTÃO 50 DISCURSIVA A respeito de funções de variável complexa, resolva os itens que se seguem. a) Escreva a função complexa f(z) = f(x + iy) = z z + 5 na forma f(z) = u(x, y) + iv(x, y) e verifique as equações de Cauchy- Riemann para essa função. (valor: 4,0 pontos) b) Sabendo que, calcule a integral complexa:. (valor: 6,0 pontos) item a RASCUNHO item b ENADE 005 Área: MATEMÁTICA

23 QUESTIONÁRIO DE PERCEPÇÃO SOBRE A PROVA As questões a seguir visam obter a sua opinião a respeito da qualidade e da adequação da prova que você acabou de realizar. Escolha, em cada uma delas, a opção que melhor reflete a sua opinião. Use os espaços reservados na folha de respostas para as suas marcações. Agradecemos a sua colaboração. 1 Qual o grau de dificuldade da prova na parte de formação geral? A Muito fácil. B Fácil. C Médio. D Difícil. E Muito difícil. Qual o grau de dificuldade da prova na parte de formação específica? A Muito fácil. B Fácil. C Médio. D Difícil. E Muito difícil. Quanto à extensão, em relação ao tempo destinado à resolução, como você considera a prova? A Muito longa. B Longa. C Adequada. D Curta. E Muito curta. 4 Os enunciados das questões da prova na parte de formação geral estavam claros e objetivos? A Sim, todos. B Sim, a maioria. C Apenas cerca da metade. D Poucos. E Não, nenhum. 6 As informações/instruções fornecidas nos enunciados das questões foram suficientes para resolvê-las? A Sim, até excessivamente. B Sim, em todas elas. C Sim, na maioria delas. D Sim, somente em algumas. E Não, em nenhuma delas. 7 Qual a maior dificuldade com que você se deparou ao responder a prova? A Desconhecimento do conteúdo. B Forma diferente de abordagem do conteúdo. C Espaço insuficiente para responder às questões. D Falta de motivação para fazer a prova. E Não tive dificuldade para responder à prova. 8 Considerando apenas as questões objetivas da prova, você percebeu que A não estudou ainda a maioria dos conteúdos avaliados. B estudou apenas alguns dos conteúdos avaliados, mas não os aprendeu. C estudou a maioria dos conteúdos avaliados, mas não os aprendeu. D estudou e aprendeu muitos dos conteúdos avaliados. E estudou e aprendeu todos os conteúdos avaliados. 5 Os enunciados das questões da prova na parte de formação específica estavam claros e objetivos? A Sim, todos. B Sim, a maioria. C Apenas cerca da metade. D Poucos. E Não, nenhum. 9 Em quanto tempo você concluiu a prova? A Menos de uma hora. B Entre uma e duas horas. C Entre duas e três horas. D Entre três e quatro horas. E Usei as quatro horas e não consegui terminar.