Boletim do LABEM, ano 5, n. 8, jan/jun de Origami: a Arte da Matemática

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1 24 Origami: a Arte da Matemática Eliane Moreira da Costa * Universidade Federal Fluminense UFF Resumo Este artigo destaca algumas contribuições da arte do Origami para as aulas de Matemática do ensino básico e apresenta sugestões de atividades que permitem melhorar a compreensão algébrica e explorar o conceito de metade, tomando por princípio a observação de estruturas geométricas e o estímulo à criatividade propiciado pelo fazer artístico. Até mesmo conceitos simples da Geometria, como o da diagonal de um quadrado ou de um retângulo, quase sempre são tratados puramente como informações, sem qualquer estímulo às aplicações práticas que sejam interessantes. Experiências pedagógicas que valorizem aplicações concretas ou que estimulem a participação ativa dos alunos não são comuns. As propostas apresentadas assinalam a criação de desafios geométricos simples, decorrentes do exercício da visualização. Estabelecer a articulação entre as representações geométricas e as representações algébricas de uma ideia matemática simples como a de metade de uma figura é um caminho revelador de um contexto de trabalho desejável para o despertar de outras ideias, igualmente repletas de explorações matemáticas. Educação Matemática e Origami A proximidade da matemática com a Arte é testemunhada há bastante tempo. Desde a Antiguidade têm-se notícias dessa relação profunda e amistosa entre ambas. As várias linguagens e expressões artísticas acompanharam os primeiros matemáticos, que também foram filósofos, músicos, pintores e artesãos. Surpreendentemente, ainda é assim nos dias de hoje. Os que se dedicam à Matemática são grandes observadores da beleza e das formas. Interessam-se pelas artes e, quase sempre, dedicam-se a uma de suas manifestações. Muitos artistas também usam fundamentos matemáticos para desenvolverem suas obras: é o caso daqueles que fazem Origami. O Origami é uma arte de extrema beleza, tão antiga quanto a invenção da primeira folha de papel. Além disso, a prática de dobrar papéis segundo os princípios do Origami é um modo peculiar de estar em contato com as leis matemáticas, seus conceitos e objetos. Mesmo que nada se diga a respeito, o trabalho com o Origami por si só faz a Matemática presente. Hoje em dia, em virtude do maior acesso à informação, muitas pessoas conhecem, praticam ou já tiveram oportunidade de fazer pelo menos um modelo tradicional. Ainda assim, engana-se quem pensa que o berço dessa arte está no Japão. Pouco se sabe sobre sua origem e essa não é a única situação em que não se conhece o inventor de um grande feito. Até hoje não sabemos quem inventou o zero, mesmo reconhecendo a sua grande contribuição para as representações e operações numéricas. Da mesma forma, não se pode dizer quem ou onde se fez o primeiro modelo em Origami. Há modelos bem antigos e muito populares dos quais nada se sabe sobre seus autores. Como o papel foi inventado na China, é aceitável que as primeiras práticas tenham acontecido entre os monges budistas nas celebrações e rituais religiosos. O fato é que se pode criar uma figura em Origami com qualquer papel e, consequentemente, entrar em contato com situações ou ideias matemáticas. Alguns desafios * elianemc@id.uff.br

2 25 podem ser sugeridos a partir de uma proposição básica, como dividir um papel em duas partes iguais com um único vinco (primeira proposição). Experiências simples assim podem gerar explorações matemáticas muito interessantes. Considerando-se o nosso costume tradicional de dobrar papéis, seria razoável encontrar de imediato pelo menos duas soluções para um papel na forma retangular (figura 1 e figura 2). Figuras 1 Figura 2 Dificilmente a divisão do papel pela linha que passa por duas pontas não consecutivas (figura 3 e figura 4) ou pela linha que liga dois pontos situados em lados opostos com igual distância das pontas (figura 5 e figura 6) será exibida como resposta. Isso porque não temos o costume de dobrar papéis dessa forma. Não ficamos sujeitos a situações que nos remetam a pensar nessas possibilidades. A diagonal do retângulo é um elemento básico no estudo da Geometria Plana mas, via de regra, o tratamento dado aos fundamentos, tais como esse, quase sempre é puramente informativo, conceitual. Práticas pedagógicas que priorizem aplicações concretas ou estimulem a criatividade não são comuns. A arte é um caminho revelador e um contexto de trabalho desejável para o despertar de ideias novas repletas de aplicações matemáticas, além de possibilitar grandes contribuições no trato com os primeiros conceitos: o Origami é um bom exemplo. Figuras 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Observe que uma simples proposição estimula soluções criativas e raciocínios mentais importantes. Essas situações inspiram outras como, por exemplo, dividir a folha de papel em

3 26 partes equivalentes com dois vincos (segunda proposição), ou seja, em regiões planas com a mesma área, mas não necessariamente com a mesma forma, como mostram as figuras do quadro a seguir. Quadro 1- Divisão do papel retangular por dois vincos Se o papel tem a forma quadrada, as mesmas proposições originam outras interpretações e novas representações podem ser encontradas. Importa salientar que o pensamento geométrico é o principal caminho para orientar essas descobertas. A seguir encontram-se algumas delas: Primeira proposição Segunda proposição Muitas curiosidades interessantes e desafios geométricos criativos podem ser gerados pelo estímulo à procura de formas geométricas equivalentes à metade do papel quadrado, independentemente do número de vincos marcados. Na figura 7, por exemplo, estão as imagens de algumas dessas possibilidades:

4 27 Figura 7 Há modelos em Origami que podem gerar excelentes quebra-cabeças cujos princípios são conceitos matemáticos básicos. Ainda tomando como referência a ideia da representação geométrica da metade, vamos apresentar um exemplo simples: pegue uma folha de papel na forma quadrada com cores distintas dos dois lados. Dobre-o de acordo com as etapas indicadas no diagrama a seguir: Observe que na figura obtida ao final do processo a razão entre a parte colorida e a parte branca do papel é 4:3. O desafio consiste em fazer uma única dobra nessa figura e obter outra em que a razão seja 3:3. Portanto, a nova figura deverá apresentar a mesma quantidade de papel colorido e de papel branco. Certamente as respostas serão semelhantes à seguinte: Para aproveitar mais a construção dessa faixa bicolor, com mais algumas dobras e juntando mais duas iguais a essa, exibidas na sequência a seguir, pode-se formar um cubo (Figura 8):

5 28 Figura 8 O Beniire (outro modelo tradicional que inicialmente era usado pelas mulheres para guardar produtos de maquiagem e hoje é utilizado como carteira ou envelope) inspira o trabalho com a observação e a representação da ideia da metade de forma peculiar, pois na beleza da sua composição final está a visualização da simetria, da rotação e da translação de uma mesma forma. Não é preciso muita destreza manual para seguir as etapas do diagrama que leva à sua construção, que por sinal é bem semelhante ao anterior. Mas é fundamental que os lados do papel tenham cores distintas para que seja possível observar a equivalência entre a parte colorida do papel e a parte branca, tanto na frente como no verso do modelo finalizado.

6 29 frente verso A beleza desse modelo está justamente no equilíbrio entre as cores distintas da mesma forma, que se repete em diferentes posições. A observação das mudanças de posição dos padrões geométricos obtidos nas imagens formadas na frente e no verso do modelo está relacionada aos movimentos gerados pela rotação, simetria ou translação de uma mesma figura em relação aos eixos centrais. Compor um quadro com repetidas imagens do Beniire (figura 9) é um convite à criatividade e uma bela forma de iniciar o estudo de figuras geométricas equivalentes. Cabe ainda destacar que também é possível construir um cubo com três deles. O processo é similar ao que foi feito anteriormente e, sem dúvida, com poucas tentativas pode ser facilmente construído. Figura 9 Um exame atento da terceira e da quinta etapa desse último diagrama (figura 10) pode sugerir mais dois desafios (1 e 2), similares aos anteriores, que trabalham com a tentativa de tornar equivalentes as regiões formadas pela parte colorida e pela parte branca com apenas um vinco, considerando-se as imagens formadas nas etapas citadas.

7 30 Etapa 3: desafio 1 Etapa 4: desafio 2 Figura 10 Como se pode ver, há várias formas de propor situações que estimulam o raciocínio geométrico através do Origami. Um desafio bem conhecido consiste em contar quantos são os quadrados em uma determinada figura. Considerando-se a malha quadriculada formada no papel pela sucessão dos vincos marcados, como a que se encontra na quarta etapa do diagrama do portaretrato (figura 11), pode-se promover um bom exercício da visualização geométrica sugerindo-se a questão: ao todo, quantos são os quadrados?. A conclusão de que são trinta não chega para todos da mesma forma, nem ao mesmo tempo. De modo geral, são poucos os que conseguem contar todos (Figura 12) Figura 11

8 31 16 pequenos Figura 12 A composição de figuras repetidas do modelo do porta-retrato (figura 13) gera belíssimas produções, através das quais outros conteúdos da matemática podem ser abordados. O fato é que desafios e criações artísticas fundamentados em formas geométricas e conceitos matemáticos aparecem quase que espontaneamente nas construções dos modelos em Origami. Proporcionar a reaproximação entre esses dois campos do conhecimento, isto é, a matemática e a arte, é uma oportunidade bastante promissora e significativa no ensino básico. Trata-se de uma parceria possível, desejável e que pode ser implementada pela mediação do Origami. Figura 13 Na recente celebração do Dia da Matemática tivemos a oportunidade de oferecer um minicurso no qual, dentre as propostas criativas destinadas ao ambiente escolar, abordamos o conceito de metade tal como apresentamos aqui. Naquela ocasião mostramos o quadro com a composição de várias imagens do Beniire e perguntamos sobre a relação entre as duas cores visíveis no quadro (que no caso eram amarelo e azul). Dentre os presentes, a maioria entendeu que a cor azul era preponderante. Outros, contudo, consideraram que era a cor amarela. No mais, houve uma única resposta atentando para o fato de que as regiões ocupadas pelas duas cores eram equivalentes. Nesse momento constatamos a importância de estimular a percepção visual explorando situações geométricas que estão articuladas à compreensão dos conceitos algébricos. Ainda nessa mesma oportunidade construímos a faixa geradora do cubo (figura 8) e propusemos os mesmos desafios sugeridos aqui. Depois de examinarmos as formas geométricas que representam a metade do papel quadrado, obtidas com um único vinco, entregamos para cada participante, em papel sulfite, tipo chamequinho, uma cópia do poema Metade de Oswaldo Montenegro. Dando sequência a leitura deste belíssimo poema, levantamos os mesmos desafios

9 32 propostos para o papel quadrado, só que para o papel na forma retangular e finalizamos, dobrando o envelope (figura 14) com o papel onde o poema estava impresso. Figura 14 Os vincos marcados nas duas primeiras etapas do diagrama desenham linhas no papel que revelam duas maneiras distintas de obter-se a sua metade (Figura 15). Essas são justamente as duas formas habituais que tradicionalmente usamos para cortar papéis retangulares, pois, comumente, ou juntamos os lados menores ou juntamos os lados maiores. A malha alcançada na segunda etapa é um desenho perfeito para explorar a equivalência entre os dois retângulos anteriores, correspondentes à metade do papel. Se for oportuno estabelecer a articulação com o cálculo de áreas, ótimo! A relação métrica entre os lados do retângulo formado pelo papel A4 usado nesse modelo foi apresentada no boletim LABEM nº 2 e, por isso, não será novamente mostrada, mas apenas citada. Então, a justaposição dos lados maiores do papel gera dois retângulos mais compridos, cujos lados estão na razão 1/2: e a justaposição dos lados menores gera dois retângulos mais largos, cujos lados estão na razão 1:. As razões entre os lados destes retângulos permitem constatar o que a percepção visual já desconfiava: trata-se de dois retângulos diferentes, mas o cálculo da área de cada um deles prova, algebricamente, que são equivalentes, porque e 1. Como os dois retângulos metade (figura 15) são preenchidos por quatro retângulos menores congruentes (figura 16), basta um simples movimento de translação de dois destes retângulos menores para que esse fato também possa ser verificado geometricamente. Figura 15 Figura 16

10 33 Neste breve espaço, tomamos uma ideia matemática simples, a metade, e apresentamos várias sugestões de atividades. Existem inúmeras aplicações artísticas desse conceito que podem ser incorporadas no ensino básico e promovem a cooperação entre as diversas áreas do conhecimento. Atividades que articulam diferentes disciplinas escolares têm maiores chances de envolver adolescentes e jovens, porque estimulam e desafiam a criatividade e trabalham suas emoções. No processo de aprendizagem é importante considerar e valorizar o nível afetivo para se alcançar o desenvolvimento cognitivo. Para que ocorra a aprendizagem é preciso considerar também o envolvimento afetivo do aluno. O ensino pela arte pode ser um meio eficaz para abrir novas perspectivas, objetivando-se romper com a apatia que tem prevalecido nas salas de aula. Poesia, música, desenho, pintura, escultura, dramatizações e composições são bem vindas nas aulas de Matemática! Oportunidades constantes de trabalhar com Origami em contextos de exploração e observação estritamente matemáticos, em atividades de cunho puramente artístico ou, melhor ainda, numa abordagem que considere a parceria entre ambas, auxiliam no desenvolvimento da articulação entre as estruturas do pensamento algébrico e as estruturas do pensamento geométrico. As propostas de ensino usando os modelos em Origami como geradores dos conteúdos de Matemática caracterizam o Projeto Educação Matemática e Origami, desenvolvido na Universidade Federal Fluminense, desde A partir deste ano de 2014, a proposta de trabalhar com Origami nas aulas de matemática foi incorporada ao Programa de Bolsas de Iniciação à Docência PIBID no subprojeto Matemática/Niterói, que está sob a coordenação da Professora Eliane Moreira da Costa. São anos de muita criatividade e certeza de que a matemática é estimulante, é agradável e tem uma profunda relação com a arte, mais particularmente, com a arte do Origami, fonte inesgotável de inspiração. Reconhecer a presença da Matemática não apenas na arte do Origami, mas nas artes em geral, é um campo promissor de pesquisas e um caminho apaixonante para aproximar e aprofundar o contato de quaisquer pessoas com a Matemática. Referências bibliográficas COSTA, E. M. da. A Arte da Matemática. Separata de: Revista Glocal: Painel de Geopolítica, Meio Ambiente,Cultura e Matemática Cotidiana, Edição 1, ano 4, p , COSTA, E. M. da. Origami e Educação Matemática.Boletim Labem Ano 1, n.1, jul /dez 2012(pp 1-2). Disponível em: Boletim_LABEM/Boletim_n.2/ boletim_labem _pp.6-7.pdf. COSTA, E. M. da. Enseñar y aprender matemáticas con origami. Separata de: Revista de Didáctica de las Matemáticas, Espanha: GRAÓ, ano XVII, n.53, p , jan./mar KASAHARA, Kunihiko. The Art anda Wonder of Origami. Japão: Gijutsu Hyoron-sha Publishing Co., Ltd., 2004.