Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica,

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1 ISTA 3 - rof. Jason Gallas, IF UFRGS de Dezembro de 24, às 224 p.m. Exercícios Resolvidos de Teoria Eletromagnética Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica, Doutor em Física pela Universidade udwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Física Matéria para a TERCEIRA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro Fundamentos de Física, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em http// jgallas Conteúdo 3 ei de Ampère 2 3. Questões roblemas e Exercícios Cálculo do Campo Magnético / Dois Condutores aralelos 27/ ei de Ampère 4/ Solenóides e Toróides 53/ roblemas extras Comentários/Sugestões e Erros favor enviar para if.ufrgs.br (lista3.tex) http// jgallas ágina de

2 ISTA 3 - rof. Jason Gallas, IF UFRGS de Dezembro de 24, às 224 p.m. 3 ei de Ampère 3. Questões (b) O valor acima é aproximadamente ('( da magnitude do campo terrestre. ortanto, ele irá afetar a leitura da bússola. Q 3-7. A Fig mostra uma vista de cima de quatro fios paralelos transportando correntes iguais e de mesmo sentido. Qual é a direção e o sentido da força sobre o fio da esquerda, causada pelas correntes nos outros três fios? Fios com correntes paralelas atraem-se. ortanto a força atuará na diagonal horizontal, da esquerda para a direita. As componentes verticais cancelam-se. Q 3-2. Tenderá para uma espira circular, pois fios com correntes anti-paralelas repelem-se. 3.2 roblemas e Exercícios 3.2. Cálculo do Campo Magnético /26 E 3-3. Um topógrafo está usando uma bússola a m abaixo de uma linha de transmissão na qual existe uma corrente constante de A. (a) Qual é o campo magnético no local da bússola em virtude da linha de transmissão? (b) Isso irá interferir seriamente na leitura da bússola? A componente horizontal do campo magnético da Terra no local é de T. (a) A magnitude do campo magnético devido à corrente no fio, a uma distância do fio é dada por ara m encontramos! " #! $ " & T E 3-7. Em uma localidade #) nas Filipinas, o campo magnético da Terra de T é horizontal e aponta para o norte. Exatamente a * cm acima de um fio retilíneo longo, que transporta uma corrente constante o campo resultante é zero. Quais são (a) a intensidade e (b) o sentido da corrente? (a) O campo ) devido ao fio, num ponto a * cm do fio deve valer T e deve apontar para + o sul, de modo a cancelar o campo dado. Como o,'!, encontramos #* #! #) &! " " A (b) A corrente deve fluir do oeste para o leste de modo a produzir um campo direcionado para o sul em pontos abaixo do fio. 3-. O fio mostrado na Fig. 3-3 transporta uma corrente. Que campo magnético - é produzido no centro. do semicírculo (a) por cada segmento retilíneo de comprimento /, (b) pelo segmento semicircular de raio e (c) pelo fio inteiro? (a) O campo produzido por cada segmento retilíneo é nulo pois o produto vetorial de 32 com 4 é nulo, ao longo de ambos segmentos, uma vez que os dois vetores são paralelos ao longo dos segmentos. (b) Conforme o Exemplo 3-, página 6, o campo devido ao segmento semicircular é dirigido para dentro da página e tem uma magnitude dada por (Veja a Eq. 3-5, na pag. 4) 536 sen ) 37 9 http// jgallas ágina 2 de

3 ; < B 6 k B / fff / B e fff ISTA 3 - rof. Jason Gallas, IF UFRGS onde 36 9 ;. ortanto =< <?> " 9#; 9 <?> $ #; $A@ CBD#E (c) O campo total devido ao fio inteiro é a soma dos três campos determinados nos dois itens anteriores, ou seja, coincide com o valor determinado no item (b) acima Use a lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético - em., o centro comum dos arcos semicirculares FHG e IKJ na Fig Os dois arcos de raio e M, respectivamente, formam parte do circuito FHGNJIOF transportando uma corrente. Usando o resultado obtido no roblema 3-, concluimos sem grandes problemas que o campo em. aponta para dentro da página e tem magnitude dada por 3-6. Q SR Considere o circuito da Fig Os segmentos curvos são arcos de círculos de raios T e U. Os segmentos retilíneos estão ao longo de raios. Determine o campo magnético B em V, considerando uma corrente no círculo. Conforme a ei de Biot-Savart, a contribuição para o campo magnético devido à seção #2 do fio é 3-32WC4 (X Os trechos radiais não contribuem pois nelas o produto vetorial é zero por termos sempre #2 paralelo a 4. Ao longo de qualquer trecho circular de raio a magnitude de é dada por ( sen ) 7 36 " Y ortanto, lembrando a relação entre arco e ângulo, 6 Y;, temos ( 36 Y 36 de Dezembro de 24, às 224 p.m. Considerando como positivo o campo que sai da página, segue facilmente que 9Z ]; \[ U T R direcionado verticalmente para fora do papel. NOTA para ; o resultado acima recai no do problema Um segmento retilíneo de fio, de comprimento /, transporta uma corrente. Mostre que o módulo do campo magnético - produzido por este segmento, a uma distância do segmento ao longo de sua mediatriz (veja a Fig. 3-37), é 7 $ / ` Mostre que esta expressão se reduz a um resultado esperado quando /badc. Suponha que o fio esteja sobre o eixo e, com a origem localizada no meio do fio. A lei de Biot e Savart gf ff Observando que sen ; 3hij4 (X e3 \ sen ; ( e3 \ encontramos sem muito trabalho que qsr(tvu > w ara /dp " $ 3e <blnm 3e lnm e3 \"!ox m 9 e# 9! lnm m lnm /` 9, podemos ignorar o termo obtendo, que é o campo de um fio muito comprido. ara pontos muito próximos do fio, ele comporta-se como um fio muito comprido. http// jgallas ágina 3 de

4 T T k ; a / fff ISTA 3 - rof. Jason Gallas, IF UFRGS de Dezembro de 24, às 224 p.m. 3-. Uma espira quadrada de fio de fio, de lado T, transporta uma corrente. Mostre que, no centro da espira, o módulo do campo magnético produzido pela corrente é x $T (Sugestão Veja o roblema 3-7.) O campo no centro da espira quadrada será dado pela soma das quatro contribuições individuais dos quatro segmentos que formam os lados do quadrado. A contribuição devida a um lado do quadrado pode ser obtida da expressão de do roblema 3-7, substituindo-se T' e / T. ortanto, o campo no centro da espira é dado por ( T'! x $T T k Ty S Tz'!, 3-2. O campo devido ao quadrado é a soma vetorial dos campos devidos aos quatro lados do quadrado. Considere, então, apenas um lado. O ponto em que desejamos o campo está sob a reta mediatriz perpendicular a esse lado, a uma distância que é dada por T no resultado do roblema 3-7 ob- ogo, com / temos k Ty"' T3 ($~} Ty 9z Substituindo o valor de encontrado acima, chegamos ao seguinte resultado } Ty Ty A direção deste campo é ortogonal ao plano que contém o lado considerado para o cálculo feito acima e perpendicular ao bissetor desse lado. ela simetria do problema, vemos que a componente desse campo perpendicular à normal do quadrado deve se anular. Assim, o campo resultante é dado por \ K ƒ# T' T } Ty"! T3 Como esperado, para (centro do quadrado), obtemos o resultado do roblema A solução é análoga a do roblema 3-7, porém com G e trocando-se os limites de integração <blnm lnm < Com isto obtemos facilmente que G G " $G l < l Ĝ!,X m Ĝ G l /` Ĝ Dois Condutores aralelos 27/39 E 3-2. Dois fios paralelos, retilíneos e longos, separados por cm estão perpendiculares ao plano da página, como é mostrado na Fig O fio transporta uma Š corrente de A para dentro da página. Qual deve ser a corrente (intensidade e sentido) no fio para que o campo magnético resultante no ponto V seja zero? No ponto V, o campo devido à corrente no fio aponta da direita para a esquerda. ortanto, para equilibra-lo, precisamos de um campo apontando da esquerda para a direita, ou seja, a corrente no fio deve estar saindo da página. ara determinar seu módulo usamos a condição http// jgallas ágina 4 de

5 !! Ÿ 7 ISTA 3 - rof. Jason Gallas, IF UFRGS onde Ž!, n Ž! n z Š Š T Ž! n! ortanto, de,, Š E Dois fios longos e paralelos,, obtemos sem dificuldades que Š Š # A separados por uma distância, transportam correntes e no mesmo sentido. ocalize o ponto ou os pontos em que seus campos magnéticos se cancelam. O campo magnético será nulo ao longo de uma linha contida no plano formado pelos dois fios paralelos, localizada entre os dois fios. Supondo-se que tal plano seja horizontal, que o fio á esquerda transporte a corrente, ~, que o fio á direita transporte a corrente, chamemos de a distância do fio mais á esquerda até o ponto V onde o campo magnético é nulo. Neste caso, o fio com a corrente estará a uma distância ib do ponto V. No ponto V 9, o campo devido ao fio á esquerda será proporcional a,' 9 ˆ, isto é,,' 9. O campo devido ao fio á direita será,' B!. ara que o campo se anule em V, devemos ter. Como a constante de proporcionalidade é a mesma, podemos escrever, WB Resolvendo esta equação obtemos ortanto vemos que o ponto V está a z' do fio que transporta a corrente ou, equivalentemente, a z' do fio que transporta a corrente. E 3-3. šx de Dezembro de 24, às 224 p.m. A Fig. n 3-44 mostra cinco fios longos e paralelos no plano. Cada fio transporta uma corrente A no sentido positivo do eixo. A separação entre fios adjacentes vale * cm. Determine a força magnética por metro exercida sobre cada um dos cinco fios pelos outros fios. Consideremos a força no fio bem da esquerda. ara simplificar, enumeremos os fios à direita dele, consecutivamente, da esquerda para a direita, com os números,, e. Temos então ž - ($ B Ž! - ( 3! B Ž! - $ X ( 3! B Ž! - š $ ( 3! B Ž! onde A e #* m. Note que estes campos magnéticos apontam no mesmo sentido, a saber, no sentido negativo de e. ortanto a força total no fio bem da esquerda é esq A -i - - X - š! roceda analogamente para os outros fios, prestando sempre atenção ao definir as distâncias relativas entre os fios. Note que devido a simetria do problema, a força total no fio do meio será nula, enquanto que a força total nos fios eqüidistantes do fio central será igual em módulo mas apontando em sentidos contrários Na Fig. 3-46, qual é a força por unidade de comprimento, em módulo, direção e sentido, atuando sobre o fio inferior à esquerda? As correntes idênticas têm os sentidos indicados na figura. Chamando de - o campo total resultante no fio in- Ÿ ferior à esquerda e de a força total resultante, temos Ÿ œd-. artindo do fio localizado no canto superior esquerdo e numerando-os no sentido horário com rótulos, e temos - - ` - - X As componentes horizontal (x) e vertical (y) são, respectivamente, B \ sen ƒ3 7 X œ http// jgallas ágina 5 de

6 ; X ± ; 7 R ' Á Á ; Š R ISTA 3 - rof. Jason Gallas, IF UFRGS de Dezembro de 24, às 224 p.m. Considerando a figura e a expressão do campo gerado por um fio obtemos ($T ortanto, observando que ƒ3 \ $T B $T O módulo do campo resultante é ª «R ( T #', temos MT MT " MT estando este campo localizado sobre uma reta que faz um angulo ;, contado no sentido anti-horário a partir da horizontal, onde tg ;, ou seja, arctg Š 7. " 9T perpendicular ao vetor -, apontando para a esquerda ² (a) O campo devido ao fio que está na parte superior da Fig é tangente ao círculo de raio centrado no fio e que passa pelo ponto V. evando-se em conta a regra da mão direita, ve-se que tal campo aponta para cima e para a direita, e faz um ângulo ; com a horizontal, ângulo que é idêntico ao ângulo formado pelo segmento e o raio e cujo cosseno é dado por ƒ3 y' k 9 3(' Como as correntes são iguais e a distância dos dois fios ao ponto V é a mesma, o campo u devido ao fio que está na parte ² inferior é uma simples reflexão especular do campo, apontando para baixo e para a direita, no mesmo ângulo ;. Em V, a magnitude de ambos os campos é a mesma 9²³ u Assim sendo, as componentes verticais de ² e u cancelam-se enquanto que suas componentes horizontais (ambas dirigidas da esquerda para a direita) reforçam-se. ortanto, a magnitude do campo em V é ² ƒ# ; u ƒ# ( k \ 3"' ] ( ` '! ( `! y' k 9 µ #(' ¹ ºv»Y¼ (b) Como já dissemos, o campo aponta horizontalmente, da esquerda para a direita ei de Ampère 4/52 E 3-4. Cada um dos oito condutores mostrados na Fig. 3-5 transporta uma corrente de A para dentro ou para fora da página. Dois caminhos são indicados para a integral de linha ½¾-À Y32. Qual é o valor da integral para (a) o caminho pontilhado e (b) para o caminho tracejado? (a) Duas das correntes saem da página enquanto que uma entra, de modo que a corrente líquida englobada pela trajetória pontilhada é de A. Como a trajetória é percorrida no sentido horário, as correntes que entram na página são tomadas positivas enquanto que as que saem são negativas, conforme a regra da mão direita associada com a lei de Ampère. ortanto - #2 B B! "! BH & T m (b) Como a corrente líquida é zero neste caso, o valor da integral também é zero. E 3-4. Analogamente ao caso anterior, temos œ "#2 B http// jgallas ágina 6 de

7 / ) ±! Ï Š È R ISTA 3 - rof. Jason Gallas, IF UFRGS Use a lei de Ampère ½ - Â#2, onde a integral é ao redor de um laço fechado e é a corrente líquida que flui através do laço. ara o laço tracejado mostrado na Fig temos. A integral é zero ao longo dos trechos superior, à direita e inferior do laço. Ao longo do trecho à direita o campo é zero, enquanto que nos outros dois trechos o campo é perpendicular ao elemento 32 ±. Se o comprimento do trecho à esquerda for, então ±, onde uma integração simples fornece ½¾-Ã 32 é a magnitude do campo no lado ± esquerdo do laço. Uma vez que nem nem são nulos, temos uma contradição da lei de Ampère. Concluimos portanto que a geometria das linhas de campo magnético está errada. Na realidade as linhas curvam-se para fora nas extremidades e sua densidade decresce gradualmente, não abruptamente como a figura faz crer Solenóides e Toróides 53/73 E Ä "! š Å R O campo num solenóide ± g é Æ '!, onde Æ é o número de espiras e é o comprimento do solenóide. Como cada espira tem um comprimento $, obtemos para o comprimento total / do fio ± "! X!Ç "!Ç"* " Šy Š È * È E ara um toróide temos " 7 Æ ' (!. ortanto (a) para š Å m temos z "z ; (b) para ª š Å m temos de Dezembro de 24, às 224 p.m. (a) A força magnética deve estar direcionada para o centro da órbita. ara a partícula da órbita mostrada a força É - está direcionada para fora do centro da órbita, de modo que a partícula deve ser negativa. (b) Usando a Eq. 6 do Cap. 3, obtemos onde Ë é o valor da carga. Agora, o campo margnético não realiza trabalho sobre a partícula, pelo Teorema da Conservação da Energia, a sua energia cinética deve permanecer constante; portanto, sua velocidade não deve ÍÎ Ð Ñ ÈjÊ Ë variar. Nos pontos e 2 da trajetória temos Ä 6 ÒoT Ä ÒoÓ, então 9 ara um toróide, pela Eq. 3-22, ] Æ ( Ì onde é a distância da partícula ao eixo do toróide. Assim, ortanto, E ) ( * cm. Qual é o momento de dipolo magnético do solenóide descrito no exercício 3-54? E Æ F Æ Ô #ÕÖ C F Um estudante constrói um eletroímã enrolando # voltas de fio em torno de um cilindro de madeira de diâmetro cm. A bobina é ligada a uma bateria produzindo uma corrente de A no fio. (a) Qual é o momento magnético deste dispositivo? (b) A que distância axial ẽ M Ø o campo magnético deste dipolo será de T (aproximadamente um décimo do campo magnético da Terra)? (a) Æ F Æ ]$ ¾Ö C A m #!! http// jgallas ágina 7 de

8 e R [ [ ISTA 3 - rof. Jason Gallas, IF UFRGS de Dezembro de 24, às 224 p.m. (b) Da Eq temos que ortanto, ª ( m X D"z ( cm e#x " & R m X eixo. Mostre que (a) o campo magnético no centro do disco é ª Ý Ë ($ (b) o momento de dipolo magnético do disco é Ý Ë (Sugestão O disco girando é equivalente a um conjunto de espiras de corrente.) 3-6. Um fio formando um circuito fechado, com raios T e U, como mostra a Fig. 3-63, é percorrido por uma corrente. (a) Quais são o módulo, a direção e o sentido de B no ponto V? (b) Determine o momento de dipolo magnético do circuito. (a) Os dois segmentos retilineos do fio não contribuem para o campo B no ponto V. Conforme o problema -, o semi-círculo \ÙÚ maior contribui com um campo cujo módulo é o' U!, enquanto que o semi-círculo menor contribui um campo de módulo Í,' Tz!. ortanto, o módulo do campo resultante em V é Û Í Ù T U R e o campo resultante aponta perpendicularmente para DENTRO da página do livro. (b) Também apontando para DENTRO da página, temos F laço roblemas $T ŽU E Coletamos aqui alguns problemas da3 edição do livro que não aparecem mais na 4 edição mas que podem ainda ser úteis. 3-74Ü Um disco de plástico fino de raio tem uma carga Ë uniformemente distribuida sobre sua superfície. O disco gira com uma freqüência angular Ý em torno do seu (a) Considere um pequeno anel de raio e espessura #, contendo uma carga Ë dada por Ë Ë $ ((#(! ou seja, a carga Å por unidade de área vezes a área do anel. Num tempo (5'YÝ toda a carga do anel passa por um ponto fixo perto do anel, logo a corrente equivalente é # Ë Å Ë ( ' $! (5'YÝ Ë Ý ( $\ ela Eq. 24, com e (repare na diferença de notação), esse anel gera no centro do disco um campo 3- cuja magnitude é dada por # Assim, o campo total é =< Ë Ý ($9 < w Ë Ý ( $\ R (b) O momento de dipolo será dado por ~< FÞ# # Ë Ý $ <?w! Ý Ë (# $9 Ý Ë <bw 9 X # Ý Ë http// jgallas ágina de