Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Segunda Prova (Diurno) Disciplina: Física III-A /2 Data: 08/11/2017

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1 Universidade Federal do io de Janeiro Instituto de Física Segunda Prova (Diurno) Disciplina: Física III-A /2 Data: 08/11/2017 Seção 1: Múltipla Escolha (7 0,8 = 5,6 pontos) 1. Um fio condutor é atravessado por uma corrente cuja intensidade decresce exponencialmente com o tempo de acordo com i(t) = I 0 e t/τ, onde I 0 é a intensidade da corrente no instante t = 0 e τ é uma constante positiva com dimensão de tempo. Nessa situação, a quantidade de carga que atravessa uma seção transversal desse fio entre os instantes t = 0 e t = + é: (a) I 0 τ (b) I 0 τ/2 (c) I 0 τ/e (d) I 0 /τ (e) 2I 0 /τ (f) I 0 e/τ 2. Em um espectrômetro de massa, um feixe de íons emitido por uma fonte atravessa uma região de campo magnético uniforme e estacionário, como mostrado na figura abaixo. Esse sistema é utilizado para determinar a quantidade de água pesada (D 2 O, onde D representa um átomo de deutério) que há na água do mar. Como resultado da ionização, separa-se apenas os íons H +, D + e O 2, que são então acelerados de forma a entrar na região de campo magnético com a mesma velocidade inicial. Sabendo que as massas dos átomos de H, D e O valem 1, 2 e 16 u.m.a, respectivamente, e que a massa do elétron pode ser desprezada em confronto com as massas do próton e do nêutron, podemos afirmar que os íons coletados nos detectores 1 e 2, são, respectivamente: (a) D + e H + (b) H + e D + (c) D + e O 2 (d) H + e O 2 (e) O 2 e D + (f) O 2 e H + 3. Uma espira condutora quadrada de lado a é posicionada sobre o plano XY de um sistema de coordenadas, como mostrado na figura abaixo. Uma corrente estacionária de intensidade I circula a espira no sentido indicado. Ela está imersa em uma região de campo magnético estacionário e uniforme dado por B = B 0 ŷ, onde B 0 é uma constante positiva. Nessa situação, o momento de dipolo magnético da espira e o torque magnético sobre ela valem, respectivamente: (a) Ia 2 ẑ e B 0 Ia 2ˆx (b) Ia 2 ẑ e B 0 Ia 2ˆx (c) Ia2 2 ẑ e B 0Ia 2 ˆx 2 (d) Ia 2 ŷ e B 0 Ia 2 ẑ (e) Ia 2 ŷ e B 0 Ia 2 ẑ (f) Ia2 2 ŷ e B 0Ia 2 ẑ 2 4. Em um modelo clássico para o átomo de hidrogênio, um elétron se desloca em movimento circular uniforme com velocidade escalar v e raio em torno de um próton fixado na origem. Supondo que a corrente associada ao movimento do elétron pode ser tratada como uma corrente estacionária, qual é a intensidade do campo magnético produzido por ela na posição do próton? (a) µ 0ev 4π 2 µ 0 ev (b) 4π 2 2 (c) µ 0ev 2π 2 µ 0 ev (d) 2π 2 2 (e) µ 0ev 4 2 (f) µ 0ev 2 2 Nome: Teste 1, pág. 1

2 5. Três cilindros condutores, circulares, retos, infinitos e idênticos são posicionados de forma que seus eixos são paralelos e cada um toca os outros dois. Suas seções transversais são mostradas na figura abaixo. Cada um dos cilindros é atravessado por uma corrente estacionária de mesma intensidade I, uniformemente distribuída sobre suas seções transversais, fluindo para fora do plano do papel. Considere a curva fechada e orientada C mostrada na figura, formada por um triângulo cujos vértices coincidem com os eixos dos cilindros nesta seção. A circulação do campo magnético B através de C, definida por Γ C B = C B.d l, é dada por: 7. Um solenóide real, de comprimento l e seção transversal circular de raioa, é colocado próximo a uma espira condutora de raio 2a e espessura d muito menor que a. O plano da espira é posicionado paralelamente ao plano de uma seção transversal do solenóide, e ambos possuem o mesmo eixo de simetria Z, conforme mostrado na figura abaixo. (a) µ 0 I/2 (b) µ 0 I/2 (c) µ 0 I (d) µ 0 I (e) µ 0 I/3 (f) µ 0 I/3 (g) 0 6. Considere as afirmativas abaixo: (I) A lei de Ampère-Maxwell, que inclui a corrente de deslocamento, é válida apenas para distribuições de corrente estacionárias. (II) Correntes não circundadas por uma curva fechada e orientada C não contribuem para a circulação de campo magnético ao longo de C, mas contribuem para o campo magnético em pontos sobre C. (III) Devido à não-observação de monopolos magnéticos, o fluxo de campo magnético através de uma superfície fechada deve ser sempre nulo. Considere as seguintes situações: (I) Uma corrente quase-estacionária, que aumenta proporcionalmente com o tempo, circula no solenóide de A para B. (II) Uma corrente quase-estacionária, que aumenta proporcionalmente com o tempo, circula no solenóide de B para A. O que acontecerá com a espira condutora nas duas situações descritas acima? (a) Em ambas as situações, será repelida pelo solenóide. (b) Em I será atraída e em II será repelida pelo solenóide. (c) Em ambas as situações, será atraída pelo solenóide. (d) Em I será repelida e em II será atraída pelo solenóide. (e) Não será atraída nem repelida em nenhuma das situações. São VEDADEIAS as afirmativas (a) II e III (b) I (c) II (d) III (e) I e II (f) I e III (g) I, II e III (h) Nenhuma delas. Nome: Teste 1, pág. 2

3 Universidade Federal do io de Janeiro Instituto de Física Física III-A 2017/2 Segunda Prova: 08/11/2017 (Diurno) F m = q v B, d F m = I d l B, J = nq v, J = σ E, C Formulário B.d A = 0, d B = µ 0 I d l ˆr, I = 4π r 2 S B.d l = µ 0 I S enc +µ 0 ǫ 0 dφ S E dt, Φ 1 B = L 1 I 1 +M 12 I 2, τ = µ B, P = VI EC ind = dφs B dt, S J.d A, Seção 2. Questões discursivas (1,4 + 3,0 = 4,4 pontos) 1. (1,4 ponto) Um fio condutor fino, retilíneo e infinito carrega uma corrente estacionária de intensidade I, como mostrado na figura abaixo. Considere uma curva imaginária fechada e orientada C na forma de um círculo de raio, desenhada de forma que seu plano seja perpendicular ao eixo do fio, mas seu centro não coincida com ele, como indicado. (a) O campo magnético produzido pelo fio tem a mesma intensidade em todos os pontos de C? Justifique. (0,4 ponto) (b) O campo magnético produzido pelo fio é tangente à curva C em todos os pontos sobre ela? Justifique. (0,5 ponto) (c) Podemos utilizar a lei de Ampère com a curva C para obter explicitamente uma expressão para o campo magnético produzido pelo fio em todo o espaço? Justifique. (0,5 ponto) 2. (3,0 pontos) Uma espira condutora quadrada de lado a e resistência elétrica desloca-se em movimento retilíneouniformecomvelocidade v = vˆx(v > 0), deformaquedoisdeseusladospermanecemparalelos ao eixo X, como mostrado na figura abaixo. Ela atravessa uma região de campo magnético uniforme e estacionário B = Bẑ (B > 0), que se estende ao longo de uma região de comprimento l (l > a) ao longo do eixo X e por todo o eixo Y. Para os cálculos abaixo, escolha o vetor unitário (ou versor) normal à área definida pela espira como ˆn = ẑ, ou seja, entrando no plano da folha. (a) Determine a intensidade e o sentido da corrente induzida na espira em três situações: (i) quando ela está entrando na região do campo, (ii) quando está totalmente imersa nessa região e (iii) quando está saindo dessa região. (1,2 ponto) (b) Determine a força magnética sobre a espira (módulo, direção e sentido) nas mesmas três situações do item anterior. (1,0 ponto) (c) Faça gráficos separados da intensidade do fluxo de campo magnético sobre a espira e da corrente induzida na espira como função do tempo t. Considere t = 0 o instante em que a espira começa a entrar na região do campo e destaque os intervalos de tempo correspondentes às três situações acima. Atribua sinais positivo e negativo para o sentido da corrente de acordo com a orientação do vetor normal mencionada acima. (0,8 ponto) 1

4 Gabarito Seção 2. Questões discursivas (1,4 + 3,0 = 4,4 pontos) 1. esolução: (a) Pela simetria do problema, a intensidade do campo magnético produzido pelo fio deve depender apenas da distância s ao seu eixo, de forma que, em módulo, B = B(s). Assim, o campo magnético em pontos a distâncias diferentes do eixo do fio terá intensidades diferentes. Como o centro da curva C não coincide com o eixo do fio, seus pontos não são todos equidistantes do eixo do fio, como exemplificado pelos dois pontos mostrados abaixo, onde s 2 > s 1 e B 2 < B 1. Portanto, o campo magnético não terá a mesma intensidade em todos os pontos de C. (b) Sabemos que o vetor campo magnético produzido pelo fio não pode ter uma componente radial, pois isso implicaria em uma distribuição de monopolos magnéticos ao longo do eixo do fio, violando a lei de Gauss para o magnetismo. Pela lei de Biot-Savart, sabemos ainda que o campo não pode ter uma componente ao longo do eixo do fio, pois todos os elementos de comprimento estão orientados nessa direção, de forma que os elementos de campo associados devem ser perpendiculares a ela. Portanto, pela mesma lei, concluímos que o sentido do campo magnético produzido pelo fio é tal que ele circula o fio em sentido anti-horário, como visto por um observador que vê a corrente fluindo em sua direção, de forma que B = B(s)ˆφ. Em outras palavras, as linhas de campo magnético são círculos com centro no eixo do fio e a orientação mencionada. Considere agora os mesmos dois pontos discutidos na figura acima. Note que B 1 e B 2 devem ser perpendiculares aos raios definidos por s 1 e s 2, de forma que B 2 não pode ser tangente á curva C neste ponto, uma vez que a direção tangencial é definida pelo vetor deslocamento infinitesimal d l, que é perpendicular à direção definida pelo raio a partir do centro de C. Dessa forma, vemos que o campo magnético não pode ser tangente a essa curva em todos os seus pontos. OBS: O aluno também pode utilizar apenas a lei de Biot-Savart e/ou argumentos de simetria para justificar o sentido do campo, sem mencionar a lei de Gauss para o magnetismo. (c) Como vimos acima, o campo magnético não tem intensidade constante sobre C e não é tangente a esta curva em todos os seus pontos. Assim, o cálculo da circulação do campo magnético ao longo de C, definida por Γ C = C B d l, será complicado, não permitindo que a intensidade do campo magnético B(s) seja retirada da integral. Dessa forma, não é possível utilizar a lei de Ampére, que relaciona esta circulação com a corrente total enclausurada por C, para obter uma expressão analítica para B(s) nesta situação. Evidentemente, a escolha adequada de ampriana para esta tarefa seria um círculo com plano perpendicular ao eixo do fio e com centro coincidente com este eixo. 2. esolução: (a) As três situações de interesse são mostradas na figura abaixo, onde definimos a posição x(t) de um dos lados da espira a partir da primeira fronteira da região de campo (esta região foi ampliada para facilitar a visualização). Como o campo magnético aponta no sentido ẑ, é conveniente escolhermos o mesmo sentido para o vetor normal ao plano da espira: ˆn = ẑ, como pedido no enunciado. Dessa forma, o sentido positivo para a f.e.m. e a corrente induzida será o sentido horário, como visto a partir do eixo Z positivo. 1

5 Na situação (i), a espira está parcialmente imersa na região de campo magnético. O fluxo deste campo através de sua área S é: Φ (i) B = B d A = B (A ˆn) = Bax, S onde usamos o fato de que o campo é uniforme, simplificando a integral, que os vetores área e campo possuem o mesmo sentido e que o campo é não-nulo apenas na porção imersa da espira, definida pela coordenada x. A f.e.m. induzida nesta situação será dada pela lei de Faraday: dφ(i) E (i) ind = B dt = Ba dx dt = Bav. O sinal negativo da f.e.m nos diz que ela e a corrente induzida tem sentido contrário ao que definimos como positivo. Portanto, vemos que a corrente induzida terá sentido anti-horário nesta situação. Este resultado também pode ser verificado a partir da lei de Lenz. A intensidade da corrente induzida será dada pela lei de Ohm: I (i) ind = E(i) ind I(i) ind = Bav Na situação (ii), a espira está totalmente imersa na região de campo. O fluxo deste campo através de sua área será dado por Φ (ii) B = Ba2, que será constante enquanto a espira permanecer totalmente imersa no campo. Dessa forma, vemos que a f.e.m. induzida e a corrente induzida são nulas nesta situação, de forma que I (ii) ind = 0. Na situação (iii), a espira volta a ficar parcialmente imersa na região de campo magnético. Em termos da coordenada x na figura, a porção imersa tem comprimento a (x l), de forma que o fluxo de campo magnético através de sua área é dado por: Φ (iii) B = Ba[a (x l)] = Ba(a+l) Bax. A f.e.m. induzida será: dφ(iii) E (iii) ind = B dt = Ba dx dt = Bav. Note que a f.e.m. tem sinal positivo nesta situação, indicando que ela e a corrente induzida terão sentido igual ao que definimos como positivo. Portanto, vemos que a corrente induzida terá sentido horário nesta situação, em acordo com a lei de Lenz. A intensidade da da corrente induzida será dada por: I (iii) ind = E(iii) ind I(iii) ind = Bav (b) Para o cálculo da força magnética resultante em cada situação, é conveniente calcularmos a força sobre cada lado da espira. Como o campo é uniforme, cada força será dada por F = I ind L B, onde L é o vetor comprimento associado à porção de comprimento imersa no campo, orientado no sentido da corrente induzida. Estas forças são representadas na figura abaixo para as situações (i) e (iii). Note que, em ambas as situações, as forças sobre os lados horizontais da espira tem mesmo módulo e sentidos opostos, de forma que suas contribuições se cancelam. Assim, vamos discutir apenas as forças sobre os lados verticais da espira. 2

6 Na situação (i), apenas o lado vertical direito da espira encontra-se imerso no campo. A força magnética que atua sobre este lado é a própria força resultante sobre a espira: F (i) = F 2 = I (i) ind L 2 B = = I (i) ind (aŷ) ( Bẑ) = = Bav (Ba) ŷ ẑ = F (i) = a 2 v B2 ˆx. Note que a força resultante tem sentido ˆx e atua no sentido de afastar a espira da região de campo, impedindo a variação de fluxo de campo magnético através da espira, o que está de acordo com a lei de Lenz. Na situação (ii), vimos que não há corrente induzida sobre a espira, de forma que não há força magnética atuando sobre nenhum de seus lados. Portanto, temos que a força resultante sobre ela é nula nesta situação: F (ii) = 0, o que também está em acordo com a lei de Lenz. Na situação (iii), apenas o lado vertical esquerdo da espira encontra-se imerso no campo. Além disso, a corrente tem sentido inverso ao da primeira situação. Pela figura, vemos que o vetor comprimento associado é idêntico ao da primeira situação, de forma que a força sobre este lado e, consequentemente, a força resultante sobre a espira, também é idêntica à da primeira situação: F (iii) = F (i) = B2 a 2 v ˆx. Note que este resultado também é consistente com a lei de Lenz. A força tende a atrair a espira de volta para a região de campo, impedindo a variação de fluxo de campo magnético através de sua área. (c) Os gráficos são mostrados abaixo, com as três situações destacadas. As informações relevantes são: (A) Como o movimento da espira é uniforme, sua posição x(t) medida a partir da fronteira será dada por x(t) = vt. Note que x = 0 em t = 0, correspondendo ao instante em que a espira começa a penetrar na região de campo. (B) Como o fluxo nas situações (i) e (iii) é proporcional a x(t), vemos que ele cresce ou decresce linearmente com o tempo nessas situações. (C) A espira leva um tempo t p = a/v para penetrar (ou sair) completamente na região de campo. (D) Um dos lados verticais da espira leva um tempo t l = l/v para atravessar a região de campo. 3

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