Estatística e Probabilidade EST202 Prof.:Anderson Ribeiro Duarte Lista de Exercícios 1

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1 Estatística e Probabilidade EST202 Prof.:Anderson Ribeiro Duarte Lista de Exercícios 1 1. Foram registradas as seguintes medidas para o tempo de secagem, em horas, de uma certa marca de tinta látex: 3, 5 2, 6 4, 8 2, 9 3, 6 2, 8 3, 3 5, 6 3, 7 2, 8 4, 4 4, 0 5, 2 3, 0 4, 8 Suponha que os dados anteriores sejam uma amostra aleatória simples. (a) Calcule a média amostral para este conjunto de dados; (b) Calcule a mediana amostral; (c) Calcule a variância amostral e o desvio padrão amostral; (d) Calcule os quartis amostrais. 2. De acordo com o jornal Chemical Engineering, uma importante propriedade da fibra é sua absorção de água. Uma amostra aleatória de 20 pedaços de fibra de algodão foi retirada e a absorvação de cada pedaço foi medida. Temos os seguintes valores de absorção: 18, 71 21, 41 20, 72 21, 81 19, 29 22, 43 20, 17 23, 71 19, 44 20, 50 18, 92 20, 33 23, 00 22, 85 19, 25 21, 77 22, 11 19, 77 18, 04 21, 12 (a) Calcule a média e a mediana amostral para este conjunto de dados; (b) Calcule a variância amostral e o desvio padrão amostral; (c) Calcule os quartis amostrais. 3. As seguintes pontuações representam as notas no exame final de um curso de Estatística e Probabilidade:

2 2 (a) Estabeleça uma tabela de frequências com 5 classes; (b) Construa um histograma; (c) Calcule a média, a mediana, o desvio padrão, quartis amostrais utilizando sua tabela de frequências; (d) Calcule a média, a mediana, o desvio padrão, quartis amostrais utilizando os dados e compare com os resultados anteriores; (e) Construa um gráfico Box-plot para os dados e escreva um pequeno texto explicativo sobre suas conclusões com base neste gráfico. 4. O teor de nicotina, em miligramas, em 40 cigarros de certa marca foi registrado como segue: 1, 09 1, 92 2, 31 1, 79 2, 28 1, 74 1, 47 1, 97 0, 85 1, 24 1, 58 2, 03 1, 70 2, 17 2, 55 2, 11 1, 86 1, 90 1, 68 1, 51 1, 64 0, 72 1, 69 1, 85 1, 82 1, 79 2, 46 1, 88 2, 08 1, 67 1, 37 1, 93 1, 40 1, 64 2, 09 1, 75 1, 63 2, 37 1, 75 1, 69 (a) Estabeleça uma tabela de frequências com 5 classes (utilize um tamanho de classe inferior a 1); (b) Construa um histograma; (c) Calcule a média, a mediana, o desvio padrão, quartis amostrais utilizando sua tabela de frequências; (d) Construa um gráfico Box-plot (considerando os valores extremos) para os dados e escreva um pequeno texto explicativo sobre suas conclusões com base neste gráfico; (e) Retire os valores extremos da amostra e reconstrua o gráfico Box-plot (considerando somente os valores não extremos) para os dados e escreva um pequeno texto comparativo sobre suas conclusões com base neste gráfico em relação ao anterior.

3 3 5. (Exercício Computacional) Na tabela abaixo são mostrados os tempos de ocupação (em segundos) para 3 tipos de máquinas ATM (1, 2 e 3) instaladas em Bancos em 3 locais distintos na cidade (A, B e C). Máquina Local A Local B Local C Para cada combinação entre tipo de máquina e local calcule a média e o desvio-padrão e comente diferenças aparentemente significativas.

4 4 6. Uma instituição de ensino está oferecendo um curso tecnólogo, para este curso, são ofertadas 8 disciplinas básicas {B 1, B 2,..., B 8 }, e 10 disciplinas especiais {E 1, E 2,..., E 10 }. O curso necessita de 5 disciplinas básicas e 4 disciplinas especiais para ser integralizado. (a) Quantos opções de escolha de disciplinas existem para integralização do curso? (b) Se considerarmos que B 1 é pré-requisito para {E 1, E 2,..., E 5 } e que B 2 e B 3 são pré-requisitos para {E 6, E 7,..., E 10 }. Quantas opções de escolha de disciplinas existem para integralização do curso? 7. Um par de dados é lançado. Determine a probabilidade de se obter: (a) Um total de 8; (b) No máximo, um total de Quatro bits são transmitidos em um canal digital de comunicações. Cada bit é distorcido ou recebido sem distorção. Seja A i, o evento em que o i-ésimo bit é distorcido, i = 1, 2, 3, 4. (a) Descreva o espaço amostral para esse experimento; (b) Os eventos A i são disjuntos? (c) Descreva o evento (A 1 A 2 ) (A 3 A 4 ). 9. Em replicação controlada, células são replicadas em um período de dois dias. DNA recém-sintetizado não pode ser replicado novamente até que a mitose esteja completa. Dois mecanismos de controle foram identificados - um positivo e um negativo. Suponha que uma replicação seja observada em três células. Seja A o evento em que todas as células são identificadas como positivas e B o evento em que todas células são negativas. Descreva o espaço amostral e mostre os seguintes eventos: (a)a (b)b (c)a B (d)a B

5 5 10. Amostras de uma peça de alumínio fundido são classificadas com base no acabamento (em micropolegadas) da superfície e no acabamento de borda. Os reultados de 100 peças são resumidos a seguir: borda excelente bom superfície excelente 80 2 bom 10 8 (a) Seja A o evento em que um item da amostra tem excelente acabamento da superfície e seja B o evento em que um item da amostra tem excelente acabamento de borda. Determine o número de itens em Ā B; B e A B; (b) Determine os possíveis resultados para uma sequência de dois itens considerando o acabamento de superfície e de borda. 11. O tempo de enchimento de um reator é medido em minutos (e frações de minutos). Seja o espaço amostral formado por números reais e positivos.defina os eventos A e B como segue: A = {x R + x < 72, 5} B = {x R + x > 52, 5} Descreva os seguintes eventos: (a)ā (b) B (c)a B (d)a B 12. Em uma planta química, 24 tanques de retenção são usados para a armazenagem do produto final. Quatro tanques são selecionados ao acaso e sem reposição. Suponha que seis dos tanques contenham material em que a viscosidade exceda os requerimentos dos consumidores. (a) Qual a probabilidade de exatamente um tanque na amostra conter material com alta viscosidade? (b) Qual é a probabiliade de no mínimo um tanque na amostra conter material com alta viscosidade? (c) Em adição aos seis tanques com altos níveis de viscosidade, quatro tanques diferentes contêm materiais com altos níveis de impureza. Qual a probabilidade de exatamente um tanque na amostra conter material com alta viscosidade e exatamente um tanque na amostra conter materia com altos níveis de impureza?

6 6 13. O espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c, d, e} com probabilidades 0, 1; 0, 1; 0, 2; 0, 4 e 0, 2, respectivamente. Faça A denotar o evento {a, b, c} e B denotar o evento {c, d, e}. Determine: (a) P (A) (b) P (B) (c) P (Ā) (d) P (A B) (e) P (A B) 14. Pedidos de compras de um computador são sumarizados pelos itens opcionais solicitados como segue: proporção de pedidos de compras nenhum item opcional 0, 3 um item opcional 0, 5 mais de um item opcional 0, 2 (a) Qual é a probabilidade de um pedido de compras solicitar no mínimo um item opcional? (b) Qual a probabilidade de um pedido de compras não solicitar mais de um item opcional? 15. Suponha que seu veículo seja licenciado em um estado que emita placas que consistam em três dígitos (entre 0 e 9), seguidos de três letras (entre A e Z).Se um número de placa for selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de seu veículo ser selecionado? 16. Cabos de fio de cobre, provenientes de um fabricante, são analisados em relação à resistência e à condutividade. os resultados de 100 cabos são dados a seguir: resistência alta baixa alta condutividade 74 8 baixa condutividade 15 3 (a) Se um cabo for selecionado ao acaso, qual a probabilidade de seu condutividade ser alta ou sua resistência ser alta? (b) Se um cabo for selecionado ao acaso, qual a probabilidade de seu condutividade ser baixa ou sua resistência ser baixa? (c) Considere o evento em que o cabo selecionado ao acaso tem baixa condutividade e o o evento em que o cabo selecionado ao acaso tem baixa resistência. Esses eventos são disjuntos?

7 7 17. Um sistema de computadores usa senhas, que são de seis caracteres (entre 26 letras ou 10 dígitos numéricos). Letras são maiúsculas não são usadas. Seja A o evento em que uma senha comece com uma vogal e seja B em que uma senha termine com um número par. Suponha que um invasor selecione uma senha ao acaso, determine: (a) P (A) (b) P (B) (c) P (A B) (d) P (A B) 18. Discos de plástico de policarbonato, provenientes de um fornecedor, são analisados com relação à resistência a aranhões e a choques. Os resultados de 100 discos analisados são: resistência a choques alta baixa resistência alta (arranhões) 70 9 resistência baixa (arranhões) 16 5 Seja A o evento em que o disco tenha alta resistência a choque e seja B o evento em que o disco tenha alta resistência a arranhões. Determine: (a) P (A) (b) P (B) (c) P (A B) (d) P (B A) 19. A análise de resultados de um experimento de transmutação de uma folha (tornando uma folha em uma pétala) é resumido pelo tipo de transformação completada: transformação textura alta não transformação cor (sim) transformação cor (não) (a) Se a folha completar a transformação da cor, qual é a probabilidade de que ela completará a transformação textural? (b) Se a folha não completar a transformação textural, qual é a probabilidade de que ela completará a transformação da cor?

8 8 20. Um lote de 100 chips semicondutores contém 20 itens defeituosos. Dois deles são selecionados, ao acaso e sem reposição. (a) Qual a probabilidade de que o primeiro selecionado seja defeituoso? (b) Qual a probabilidade de que o segundo selecionado seja defeituoso, dado que o primeiro foi defeituoso? (c) Qual a probabilidade de que ambos sejam defeituosos? 21. Uma batelada de 350 mitocôndrias rejuvenescidas contém 8 que são mutáveis (defeituosas). Duas são selecionadas ao acaso e sem reposição da batelada. (a) Qual a probabilidade de que a segunda selecionada seja defeituosa, dado que a primeira foi defeituosa? (b) Qual a probabilidade de que ambas sejam defeituosas? (c) Qual a probabilidade de que ambos sejam aceitáveis? 22. Se P (A B) = 1, a igualdade A = B tem de ser verdadeira? 23. Suponha que P (A B) = 0, 4 e P (B) = 0, 5. Determine P (A B) e P (Ā B). 24. Uma batelada de 25 peças moldadas por injeção contém 5 delas que sofreram excessivo encolhimento. (a) Se duas peças forem selecionadas ao acaso e sem reposição, qual será a probabilidade de que a segunda peça tenha sofrido excessivo encolhimento? (b) Se três peças forem selecionadas ao acaso e sem reposição, qual será a probabilidade de que a terceira peça tenha sofrido excessivo encolhimento?

9 9 25. O circuito a segur opera se, e somente se, houver um caminho de dispositivos funcionais, da esquerda para a direita. A probabilidade de cada aparelho funcionar é mostrada. Suponha que a probabilidade de um dos dispositivos ser funcional não dependa dos demais dispositivos. Qual será a probabilidade do circuito operar? 26. Consumidores são usados para avaliar projetos iniciais de produtos. No passado 95% dos produtos altamente aprovados recebiam boas revisões, 60% dos produtos moderadamente aprovados recebiam boas revisões e 10% dos produtos ruins recebiam boas revisões. Além disso 40% dos produtos tinham sido altamente aprovados, 35% moderadamente aprovados e 25% tinham sido prosutos ruins. (a) Qual a probabilidade de um produto atingir uma boa revisão? (b) Se um novo projeto atingir uma boa revisão, qual será a probabilidade de que ele se torne um produto altamente aprovado? (c) Se um produto não atingir uma boa revisão, qual será a probabilidade de que ele se torne um produto altamente aprovado? 27. Prove que P ( Ā B ) = 1 + P (A B) P (A) P (B)

10 10 Soluções 1. (a) X = 3, 8 (b) X = 3, 6 (c) S 2 = 0, 92 e S = 0, (d)q 1 = 2, 9, Q 2 = X e Q 3 = 4, 8 2. (a) X = 20, 7675 e X = 20, 61 (b) S 2 = 2, e S = 1, (c)q 1 = 19, 365, Q 2 = X e Q 3 = 21, 96 (max min) (98 10) 3. (a) t c = = = 18 5 q c classe freq.abs. freq.rel. freq.abs.acum. freq.rel.acum. ponto médio , , , , , , , , , , (b) (c) X = 65, 5 X = 69, 76 S 2 = 453, 508 S = 21, 296 Q 1 = 49, 27 Q 2 = X Q 3 = 80, 56 (d) X = 65, 483 X = 71, 5 S 2 = 446, 627 S = 21, 134 Q 1 = 54, 5 Q 2 = X Q 3 = 80, 6

11 11 (e) O gráfico anterior confirma as medidas descritivas já obtidas (max min) (2, 55 0, 72) 4. (a) t c = = = 0, 366 = 1 q c 5 por obviedade, utilizaremos t c = 0, 4 classe freq.abs. freq.rel. freq.abs.acum. freq.rel.acum. ponto médio 0, 72 1, , , 075 0, 92 1, 12 1, , , 200 1, 32 1, 52 1, , , 675 1, 72 1, 92 2, , , 925 2, 12 2, 32 2, , , 000 2, 52 (b) (c) X = 1, 77 X = 1, 773 S 2 = 0, 157 S = 0, 397 Q 1 = 1, 562 Q 2 = X Q 3 = 2, 040 (d) Existe uma presença de valores extremos do lado esquerdo do gráfico.

12 12 (e) A retirada dos valores extremos do gráfico anterior aumenta a simetria da distribuição dos dados. 5. XA,1 = , 2 S A,1 = 94049, 565 X A,2 = , 1 S A,2 = 22972, 238 X A,3 = , 0 S A,3 = 27023, 208 X B,1 = , 3 S B,1 = 95178, 588 X B,2 = , 9 S B,2 = 57696, 450 X B,3 = , 0 S B,3 = 8914, 605 X C,1 = , 5 S C,1 = 29457, 425 X C,2 = , 8 S C,2 = 2509, 275 X C,3 = , 6 S C,3 = 4952, 797 Quando consideramos os tipos de máquinas, quanto a média temos a máquina 3 com maior tempo de ocupação no local A, as outras máquinas tem ocupação média similar no local A; a máquina 1 com maior tempo de ocupação no local B, as outras máquinas tem ocupação média similar no local A; as máquinas apresentam tempos similares no local C. Quando consideramos os locais, quanto a média temos o local B exigindo tempos maiores de ocupação e os locais A e C com ocupações médias semelhantes. Quando consideramos os tipos de máquinas, quanto ao desvio-padrão temos a máquina 1 com alta variabilidade no local A, as outras máquinas tem variabilidade similar no local A; a máquina 1 com grande variabilidade no local B, a máquina 2 tem variabilidade alta no local B porém

13 13 menor que a máquina 1, já a máquina 3 apresenta variabilidade bastante inferior; a máquina 1 com enorme variabilidade no local C, a máquina 3 tem variabilidade no superior a máquina 2 no local C. É fácil ver que os valores de variabilidade para máquina 1 independente do local são bastante elevados. Quando consideramos os locais, quanto a variabilidade, temos o local C com variabilidade bem baixa e o local A com as variabilidades mais elevadas. 6. (a) C 8,5 C 10,4 = (b) B 1, não B 2, não B 3 ; C 5,4 C 5,4 = 25 B 1, B 2, não B 3 ; C 5,3 C 5,4 = 50 B 1, B 3, não B 2 ; C 5,3 C 5,4 = 50 B 2, B 3, não B 1 ; C 5,3 C 5,4 = 50 B 1, B 2, B 3 ; C 5,2 C 10,4 = 2100 Totalizando então 2275 possibilidade de integralizar o curso. 7. (a) 5 36 (b) (a) Seja D bit distorcido e D bit não distorcido. Ω A = A 1 A 2 A 3 A 4 { D D D D} A 1 = {DDDD, DDD D, DD DD, D DDD, DD D D, D DD D, D D DD, D D D D} A 2 = {DDDD, DDD D, DD DD, DDDD, DD D D, DDD D, DD DD, DD D D} A 3 = {DDDD, DDD D, D DDD, DDDD, D DD D, DDD D, D DDD, D DD D} A 4 = {DDDD, DD DD, D DDD, DDDD, D D DD, DD DD, D DDD, D D DD} (b) Os eventos A i não são disjuntos. (c) {DDDD} 9. Ω = {+ + +, + +, + +, + +, +, +, +, } (a) A = {+ + +} (b) B = { } (c) A B = (d) A B = {+ + +, } 10. (a) 10, 10 e 92 (b) EE, EB, BE, BB 11. (a) Ā = {x R+ x 72, 5} (b) B = {x R + x 52, 5} (c) A B = {x R + 52, 5 < x < 72, 5} (d) A B = R +

14 (a) 0, 461 (b) 0, 712 (c) 0, (a) 0, 4 (b) 0, 8 (c) 0, 6(d) 1 (e) 0, (a) 0, 7 (b) 0, (a) 0, 97 (b) 0, 26 (c) não 17. (a) 5 36 (b) 5 36 (c) (a) 0, 86 (b) 0, 79 (c) (a) 0, 903 (b) 0, (a) 0, 2 (b) (c) 0, 038 (d) (d) (a) 0, 02 (b) 0, (c) 0, Não, basta que B seja um subconjunto de A 23. (a) 0, 2 (b) 0, (a) 0, 2 (b) 0, , (a) 0, 615 (b) 0, 618 (c) 0, P (Ā B) [ ] = P (A B) = 1 P (A B) = 1 P [P (A) + P (B) P (A B)] = 1 + P (A B) P (A) P (B)