Prova 2 - FEELT Valor: 25 pontos 14/11/2018. Data limite para entregar a prova: 22/11/2018 (quinta-feira).

Transcrição

1 Instrucões Utilize um método randômico 1 para selecionar 5 das 20 questões que irão compor sua prova. Por exemplo, simule o lançamento de um dado de 20 faces ( para obter 5 números distintos entre 1 e 20. No Excel, use "=ALEATÓRIOENTRE(1;20)" 2. No R, use a sequência de comandos "n<-1:20; sample(n,5,true)" 3. Data limite para entregar a prova: 22/11/2018 (quinta-feira). A prova pode ser enviada para o anapaula@ana.mat.br em PDF. Questões 1. Um sistema de computadores usa senhas que são exatamente sete caracteres, e cada caractere é uma das 26 letras (a-z) ou 10 inteiros (0-9). Você mantém uma senha para esse sistema de computadores. Seja A o subconjunto de senhas que começam com uma vogal (a, e, i, o ou u) e seja B o subconjunto de senhas que terminam com um número par (0, 2, 4, 6 ou 8). (a) 1 ponto Suponha que um invasor selecione uma senha ao acaso. Qual a probabilidade de sua senha ser selecionada? (b) 2 pontos Suponha que um invasor saiba que sua senha esteja no evento A e selecione uma senha ao acaso a partir desse subconjunto. Qual é a probabilidade de sua senha ser selecionada? (c) 2 pontos Suponha que um invasor saiba que sua senha esteja em A e em B, e selecione uma senha ao acaso a partir desse subconjunto. Qual é a probabilidade de sua senha ser selecionada? 2. 5 pontos A probabilidade é 1% de que um conector elétrico, que seja mantido seco, falhe durante o período de garantia de um computador portátil. Se o conector for molhado, a probabilidade de falha durante o período de garantia será de 5%. Se 90% dos conectores forem mantidos secos e 10% forem mantidos molhados, qual será a proporção de conectores que falhará durante o período de garantia? 3. 5 pontos A Indústria Zeppelin, fabricante de eletrodomésticos, tem um processo de inspeção para controle de qualidade com três etapas. A probabilidade de um produto passar em qualquer uma dessas etapas de inspeção sem ser detectado é de aproximadamente 80 %. Com base nesse valor, determine a probabilidade de um produto passar pelas três etapas de inspeção sem ser detectado. 1 Na verdade, pseudo-randômico! Pesquise. 2 Essa função não exclui a repetição. 3 O parâmetro TRUE garante que os números serão distintos. Probabilidade / Distribuição de Probabilidade Página 1 de 6

2 4. 5 pontos A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado a seguir é dada por 30%. Se todos os relés funcionarem independentemente, determinar a probabilidade de que haja corrente entre os terminais L e M. L R 1 R 2 M R 3 R pontos Uma urna contém α 1 bolas brancas e β 1 bolas vermelhas. Outra urna contém α 2 bolas brancas e β 2 vermelhas. Passa-se uma bola, escolhida ao acaso, da primeira para a segunda urna, e, em seguida, extrai-se uma bola desta última, também ao acaso. Pergunta-se: qual a probabilidade de que a bola escolhida seja branca? 6. Suponha que um pequeno armário contenha três gavetas. A primeira gaveta contém duas cédulas de US$1, a segunda contém duas cédulas de US$100 e a terceira contém uma cédula de US$1 e uma cédula de US$100. Suponha que, inicialmente, uma gaveta seja selecionada ao acaso e, em seguida, uma das duas cédulas contidas nessa gaveta seja selecionada ao acaso. Podemos definir esses eventos: A = a primeira gaveta é selecionada B = a segunda gaveta é selecionada C = a terceira gaveta é selecionada D = uma cédula de US$1 é selecionada (a) 1 ponto Suponha que quando você selecionou aleatoriamente uma gaveta e, em seguida, uma cédula de dentro daquela gaveta, a cédula que você obteve foi a cédula de US$1. Qual é a probabilidade de que a segunda cédula dessa gaveta seja de US$100? Em outras palavras, encontre a probabilidade de P (C D), uma vez que, para que a segunda cédula seja a de US$100, ela tem que ser a terceira gaveta. Responda essa questão intuitivamente, sem fazer cálculos. (b) 2 pontos Utilize o conceito de frequência relativa da probabilidade, para estimar P (C D), da maneira a seguir apresentada. Inicialmente, selecione uma gaveta jogando um dado uma única vez. Caso o resultado seja 1 ou 2, a primeira gaveta é selecionada; se o resultado for 3 ou 4, é selecionada a segunda gaveta; e se o resultado for 5 ou 6, a terceira gaveta é selecionada. Sempre que ocorrer C, selecione, então uma cédula jogando uma moeda uma única vez. (Observe que, se ocorrerem os resultados A ou B, você não precisa lançar a moeda, uma vez que cada uma dessas gavetas contém ambas as cédulas de igual valor.) Caso você obtenha cara, suponha que você selecionou uma cédula de US$1; caso obtenha uma coroa, suponha que você selecionou uma cédula de US$100. Repita esse processo 100 Probabilidade / Distribuição de Probabilidade Página 2 de 6

3 vezes. Em quantas vezes, dessas 100 repetições o evento D ocorre? Em que proporção do tempo C ocorre quando D ocorreu? Utilize essa proporção para estimar P (C D). Essa estimativa apoia a sua suposição de P (C D) no item (a)? Observação: Você pode usar qualquer simulador de lançamento dados 4 e de moedas 5. Ou usar o R ou Excel para simular os lançamentos. (c) 2 pontos Calcule P (C D), utilizando os procedimentos visto em sala de aula (um diagrama de árvore pode ser útil). Sua estimativa no item (b) estava próxima desse valor? Explique pontos Um fabricante de discos rígidos vende dispositivos de armazenagem de dados com capacidades de 1 terabyte, de 500 gigabytes e de 100 gigabytes com probabilidades de 0,5; 0,3 e 0,2, respectivamente. A receita associada às vendas naquele ano é estimada em US$ 50 milhões, US$ 25 milhões e US$ 10 milhões, respectivamente. Seja X a venda dos dispositivos de armazenagem durante aquele ano. Determine a função de probabilidade de X pontos Redes bayesianas são usadas nos sites da internet de fabricantes de alta tecnologia para permitir aos consumidores diagnosticar rapidamente problemas nos produtos. Um exemplo bem simplificado é apresentado aqui. Um fabricante de impressoras obteve as seguintes probabilidades provenientes de um banco de dados de resultados de testes. Falhas nas impressoras estão associadas a três tipos de problemas: máquina (hardware), programa (software) e outros (tais como conectores), com probabilidades de 0,1; 0,6 e 0,3, respectivamente. A probabilidade de uma falha na impressora por causa de um problema de máquina é 0,9, de um problema de programa é 0,2 e de qualquer outro tipo de problema é 0,5. Se um consumidor entrar no site do fabricante para o diagnóstico da falha da impressora, qual será a causa mais provável do problema? 9. 5 pontos Um programa computacional para detectar fraudes em cartões telefônicos dos consumidores rastreia, todo dia, o número de áreas metropolitanas onde as chamadas se originam. Sabe-se que 1% dos usuários legítimos faz suas chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um único dia. Entretanto, 30% dos usuários fraudulentos fazem suas chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um único dia. A proporção de usuários fraudulentos é 0,01%. Se o mesmo usuário fizer suas chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um único dia, qual será a probabilidade de o usuário ser fraudulento? pontos Duas cores são usadas em um anúncio na internet. Se um visitante do site for de uma afiliada, as probabilidades das cores azul ou verde são 0,8 e 0,2, respectivamente. Se um visitante do site for de um site de busca, as cores azul e verde são 0,4 e 0,6, respectivamente. As proporções de visitantes a partir das afiliadas e de sites de busca são 0,3 e 0,7, respectivamente. Qual é a probabilidade de que um visitante seja proveniente do site de busca, dado que o anúncio azul foi visto? Probabilidade / Distribuição de Probabilidade Página 3 de 6

4 11. Um filtro de é planejado para separar s válidos de spam. A palavra livre ocorre em 60% das mensagens em spam e em somente 4% das mensagens válidas. Além disso, 20% das mensagens são spam. Determine as seguintes probabilidades: (a) 1 ponto A mensagem contém a palavra livre. (b) 2 pontos A mensagem é spam, dado que ela contém a palavra livre. (c) 2 pontos A mensagem é válida, dado que ela não contém a palavra livre. 12. Erros em um canal experimental de transmissão são encontrados quando a transmissão é verificada por um certificador que detecta pulsos que faltam. O número encontrado de erros em um byte de 8 bits é uma variável aleatória com a seguinte distribuição: 0 x < 1 0, 7 1 x < 4 f(x) = 0, 9 4 x < x Determine cada uma das seguintes probabilidades: (a) 1 ponto P (X 4) (b) 1 ponto P (X > 7) (c) 1 ponto P (X 5) (d) 1 ponto P (X > 4) (e) 1 ponto P (X 2) pontos Medidas de espessura em um processo de recobrimento são feitas com a precisão de centésimo de milímetro. As medidas de espessura estão uniformemente distribuídas, com valores 0,15; 0,16; 0,17; 0,18 e 0,19. Determine a média e a variância da espessura de recobrimento para esse processo pontos Um sistema de computadores usa senhas, que são exatamente seis caracteres, sendo cada caractere uma das 26 letras (a-z) ou 10 inteiros (0-9). Suponha que haja usuários do sistema com senhas únicas. Um invasor seleciona aleatoriamente (com reposição) um bilhão de senhas do potencial conjunto, e a coincidência com a senha do usuário é chamada de êxito. (a) Qual é a distribuição do número de êxitos? (b) Qual é a probabilidade de nenhum êxito? (c) Quais são a média e o desvio-padrão do número de êxitos? pontos A probabilidade de que um visitante de um site na internet forneça dados de contato para informações adicionais é de 0,01. Considere que visitantes da página se comportem independentemente. Determine as seguintes probabilidades: Probabilidade / Distribuição de Probabilidade Página 4 de 6

5 (a) Nenhum visitante fornece dados de contato. (b) Exatamente 10 visitantes fornecem dados de contato. (c) Mais de três visitantes fornecem dados de contato pontos O número de chamadas telefônicas que chegam a uma central é frequentemente modelado como uma variável aleatória de Poisson. Considere que, em média, há 10 chamadas por hora. (a) Qual é a probabilidade de que haja exatamente cinco chamadas em uma hora? (b) Qual é a probabilidade de que haja três ou menos chamadas em uma hora? (c) Qual é a probabilidade de que haja exatamente 15 chamadas em duas horas? (d) Qual é a probabilidade de que haja exatamente cinco chamadas em 30 minutos? pontos A função densidade de probabilidade do tempo (em minutos depois das 8h) em que clientes chegam a um terminal é f(x) = e x/10 /10 para 0 < x. Determine a probabilidade de (a) 1 ponto O primeiro cliente chegar até às 9h. (b) 1 ponto O primeiro cliente chegar entre 8h15min e 8h30min. (c) 1 ponto Dois ou mais clientes chegarem antes das 8h40min, entre os cinco que chegam ao terminal. Considere que as chegadas dos clientes sejam independentes. (d) 2 pontos Determine a função de distribuição cumulativa e use-a para determinar a probabilidade de o primeiro cliente chegar entre 8h15min e 8h30min pontos A largura do espaçamento é uma propriedade importante em um cabeçote magnético de gravação. Em unidades codificadas, se a largura for uma variável aleatória contínua ao longo da faixa de 0 < x < 2, com f(x) = 0, 5x, determine a função densidade de probabilidade da largura do espaçamento. 19. Uma mensagem de chegará em um tempo uniformemente distribuído entre 9h e 11h. Você verifica seu às 9h15min e a cada meia hora depois desse tempo. (a) 1 ponto Qual é o desvio-padrão do tempo de chegada (em minutos)? (b) 2 pontos Qual é a probabilidade de que a mensagem chegue menos de 10 minutos antes de você vê-la? (c) 2 pontos Qual é a probabilidade de que a mensagem chegue mais de 15 minutos antes de você vê-la? 20. A velocidade de transferência de um arquivo de um servidor da universidade para um computador pessoal na casa de um estudante, em uma noite de dia de semana, é distribuída normalmente, com média de 60 kbits por segundo e um desvio-padrão de 4 kbits por segundo. Probabilidade / Distribuição de Probabilidade Página 5 de 6

6 (a) 1 ponto Qual é a probabilidade de o arquivo se transferir a uma velocidade de 70 kbits por segundo ou mais? (b) 2 pontos Qual é a probabilidade de o arquivo se transferir a uma velocidade menor que 58 kbits por segundo? (c) 2 pontos Se o arquivo tiver 1 MB, qual será o tempo médio que o arquivo levará para se transferir? (Considere oito bits por byte.) Probabilidade / Distribuição de Probabilidade Página 6 de 6