SISTEMA SENSORIAL PARA MONITORIZAÇÃO DO TEOR DE ÁGUA EM SOLOS AGRÍCOLAS UTILIZANDO TECNOLOGIA CMOS

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1 SISTEMA SENSORIAL PARA MONITORIZAÇÃO DO TEOR DE ÁGUA EM SOLOS AGRÍCOLAS UTILIZANDO TECNOLOGIA CMOS por António Luís Gomes Valente Dissertação submetida à UNIVERSIDADE DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO para obtenção do grau de DOUTOR, de acordo com o disposto no Decreto-Lei 216/92 de 13 de Outubro c António Luís Gomes Valente, 2004

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3 Só é útil o conhecimento que nos torna melhores. Sócrates À minha esposa Aos meus pais Aos meus padrinhos Aos meus sogros Maria João Ivone Luís Maria Emília Serafim Lurdes Carlos

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5 Sistema Sensorial para Monitorização do Teor de Água em Solos Agrícolas Utilizando Tecnologia CMOS António Valente Submetido na Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro para o preenchimento dos requisitos parciais para obtenção do grau de Doutor em Engenharia Electrotécnica Resumo A gestão eficiente, a curto e longo prazo, dos sistemas de irrigação requer o uso de sensores de humidade do solo fiáveis e precisos. Actualmente existe uma variada gama de sensores de humidade do solo baseados em técnicas nucleares, electromagnéticas, tensiométricas, e capacitivas, entre outras. No geral, estes métodos têm varias limitações nomeadamente, a dependência como o tipo de solo, a imprecisão, o elevado custo, entre outras, que restringem a sua aplicação a sistemas de gestão da irrigação. Neste trabalho foi desenvolvido um sistema sensorial para monitorização do teor de água em solos agrícolas utilizando tecnologia CMOS. Este sistema é baseado no método do impulso de calor com o objectivo de obter, tanto quanto possível, um sistema sensorial de baixo custo, preciso e fiável. Para o sistema sensorial foi desenvolvido um sensor de temperatura CMOS de elevada resolução, baseado na dependência da temperatura da característica I V de uma junção p n. O sensor inteligente integrado contém um sensor de temperatura de elevada resolução e um circuito de pré-amplificação. O transdutor de temperatura é totalmente diferencial, baseado num circuito PTAT que utiliza emparelhamento dinâmico de elementos para reduzir o ruído. O circuito de pré-amplificação é baseado em condensadores comutados e utiliza o conceito de amplificação dinâmica. O circuito integrado possui ainda lógica de controlo para a realização tanto do emparelhamento dinâmico de elementos como da amplificação dinâmica. Através da utilização do método de pesagem para obtenção de amostras padrão obteve-se uma resolução de 2% do teor de água para o sistema sensorial. Palavras Chave: teor de água no solo, sensores inteligentes, método do impulso de calor, sensor de temperatura de elevada resolução em tecnologia CMOS, desemparelhamento dinâmico de elementos, amplificação dinâmica. iii

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7 Sensorial System for Monitoring Soil Moisture in Agriculture Soils using CMOS Technology António Valente Submitted to the University of Trás-os-Montes and Alto Douro in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy in Electrical Engineering Abstract Efficient short and long-term management of irrigation systems requires the use of reliable and accurate soil moisture sensors. At the present, a large number of sensors, based on nuclear, electromagnetic, tensiometric, capacitance, among others, techniques are available for measuring soil moisture. Generally, these methods have several limitations that restrict their integration to the management of irrigation systems. The main disadvantages are: soil dependency, inaccuracy, high cost, etc. In this work a sensorial system for monitoring soil moisture content in agriculture soils was developed using CMOS technology. The system is based on the heat-pulse method and this makes possible to develop a low-cost, highprecision and reliable sensorial system. For this purpose it was developed and built a CMOS high-resolution temperature sensor. This temperature sensor is based on the temperature dependence of the p n junction I V characteristic. The smart sensor chip contains a high resolution temperature sensor and a pre-amplification circuitry. The temperature transducer is a fully diferencial, p n junction PTAT circuit that uses dynamic element matching to reduce noise. Low noise preamplification is accomplished using switched capacitor techniques combined with correlated double sampling and dynamic amplification. The chip also contain all the logic needed for dynamic element matching and dynamic amplification techniques. With the use of the gravimetric method a 2% resolution in soil moisture content was obtained for the sensorial system. Key Words: Soil moisture sensing, smart sensor, dual-probe heat-pulse, CMOS high-resolution temperature sensor, dynamic element matching, dynamic amplification. v

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9 Agradecimentos Gostaria de expressar os meus sinceros agradecimentos ao Professor Catedrático Carlos Alberto Caridade Monteiro e Couto e ao Professor Doutor José Higino Correia respectivamente na qualidade de orientador e co-orientador deste trabalho, pelas revisões e sugestões efectuadas e pelas ideias inovadoras que transmitiram. Aos colegas José Boaventura Cunha e Raul Morais pela sua constante disponibilidade, paciência, esclarecimentos e amizade que em muito contribuíram para este trabalho. Especialmente ao amigo Raul Morais pelo trabalho mútuo no desenho do circuito integrado, essencialmente, na descoberta das funcionalidades do software de CAD utilizado (Tanner Tools). Ao Engenheiro Carreiró pelo apoio prestado na elaboração dos circuitos impressos utilizados neste trabalho. À minha esposa, Carla Santos e Patrícia Ferreira pelos esclarecimentos gramaticais, bem como, a revisão ortográfica deste documento. UTAD, Vila Real 12 de Janeiro, 2004 António Luís Gomes Valente vii

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11 Índice Resumo Abstract Agradecimentos Índice Lista de Símbolos iii v vii ix xix 1 Introdução Teor e Potencial de Água no Solo Medição do Teor de Água no Solo Técnica de Pesagem Técnicas Nucleares Técnicas Electromagnéticas Métodos Baseados nas Propriedades Térmicas Medição do Potencial de Água no Solo Técnicas Tensiométricas Técnicas Psicrométricas Técnicas Electromagnéticas Motivação e Objectivos Organização da Tese ix

12 2 Método do Impulso de Calor Condução de Calor no Solo Capacidade Calorífica Volumétrica Fonte Pontual Instantânea Linha-Fonte Instantânea Temperatura Máxima Medição do Teor de Água Análise do Erro Linha-Fonte Infinita e Pulsada Linha-Fonte Finita e Pulsada Linha Fonte Infinita e Cilíndrica Linha Fonte Finita e Cilíndrica Modelo do Erro Requisitos para o Elemento Aquecedor Requisitos para o Sensor de Temperatura Modelação Física Equações Diferenciais Parciais Notação e Definições Método dos Elementos Finitos Discretização Elementos Finitos Formação da Malha Triangulação de Delaunay O Modelo Resultados das Simulações e Conclusões Microssensor de Temperatura em Tecnologia CMOS O Microssensor de Temperatura Princípio de Funcionamento Circuitos para o Sensor de Temperatura Diferencial Comutado Pulsado Chopped Sensor de Elevada Resolução Emparelhamento Dinâmico de Elementos Pré-amplificação Considerações Sobre o Ruído Ruído do MOSFET x

13 4.4.2 Ruído do Díodo Ruído do Pré-Amplificador Implementação Elemento Aquecedor Elemento Sensor de Temperatura em Tecnologia CMOS Sensor de Temperatura Integrado Parâmetros do Projecto Amplificador Operacional Secção Digital Desenho e Encapsulamento Resultados Experimentais e Discussão Testes ao sensor de temperatura CMOS Preparação Experimental Testes ao sensor de humidade para solos Conclusões Sugestões de Trabalho Futuro Bibliografia 143 xi

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15 Lista de Tabelas 2.1 Analogias Matemáticas à Lei de Fourier Capacidades caloríficas e densidades de alguns constituintes do solo (a 10 C) e do gelo (a 0 C) Termos num polinómio de duas variáveis de grau total, p, desde zero a quatro. Em geral dim(p 2 p) está relacionada com p como dim(p 2 p) = 1 (p + 1)(p + 2) Propriedades físicas dos materiais utilizados Valores utilizados para os coeficientes das equações diferenciais Condições fronteira utilizadas Valores de W/L atribuídos aos transístores do PTAT Valores de W/L atribuídos aos transístores do amplificador operacional Parâmetros previstos para o amplificador xiii

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17 Lista de Figuras 1.1 Curva característica solo-humidade Sensor baseado no bombardeamento de neutrões Sensor capacitivo Sensor TDR Tensiómetros Sensores resistivos envolvidos num bloco de gesso Sistema sensorial completo para monitorização do teor de água em solos agrícolas Diferença entre as temperaturas máximas obtidas, depois de aplicado um impulso, num solo seco (θ s = 5 %) e um solo saturado (θ s = 40 %) para diferentes valores de energia, q h Variação da temperatura num solo seco (θ s = 5 %) e húmido (θ s = 40 %) para diferentes valores de energia aplicada, q h, num dispositivo de Campbell Valores da sensibilidade média do sensor para diferentes valores de energia, q h xv

18 3.1 Método das diferenças finitas Método dos elementos finitos Uma triangulação de Delaunay Aresta da carcaça convexa Triangulações de um conjunto de vértices Uma tetraedralização de Delaunay Modelo utilizado Malha baseada em tetraedros produzida pelo Femlab usando o algoritmo de Delaunay Resultados das simulações: (a) eléctrica; (b) e (c) térmica Variação da temperatura ao longo do tempo na superfície do elemento aquecedor Circuito simples para a medição da temperatura usando uma junção p n Circuito diferencial Circuito comutado Circuito pulsado Espectro do sinal do PTAT cortado Esquema do sensor de temperatura integrado Esquema do emparelhamento dinâmico de elementos Metade do amplificador dinâmico usando condensadores comutados Metade simplificada do circuito para análise do ruído Secção longitudinal do elemento aquecedor Ilustração do elemento sensor de temperatura Esquema simplificado do sensor de temperatura integrado Esquema do PTAT usando emparelhamento dinâmico de elementos Layout do PTAT usando emparelhamento dinâmico xvi

19 5.6 O amplificador total Amplificador cascode dobrado Realimentação de modo-comum usando condensadores comutados Circuito de polarização e respectivo circuito de arranque Diagramas de Bode do amplificador operational. Simulações realizadas do T SPICE da Tanner Tools Layout final do amplificador de transcondutância Gerador das fases de relógio,φ 1, φ 2, φ C e φ D para os condensadores comutados Simulação usando a extracção do gerador de fases de relógio Lógica de controlo para a comutação das fontes de corrente do PTAT Sinais da lógica de controlo do PTAT Lógica de controlo para o amplificador dinâmico Sinais da lógica de controlo do amplificador dinâmico Desenho do circuito integrado do sensor de temperatura (a) O elemento aquecedor e (b) o detalhe dos fios de ligação e da cola epóxica Fotografia microscópica do microssensor em tecnologia CMOS Fotografias microscópicas de detalhes do microssensor Placa de circuito impresso usada para os testes do sensor de temperatura Pormenor dos sinais de saída do PTAT Sinais de saída do PTAT Sinais de saída do PTAT. PTAT +, PTAT e tensão diferencial Espectro do sinal do PTAT Saída do pré-amplificador Característica de saída do microssensor xvii

20 6.11 Placa para aquisição de dados do sistema sensorial Detalhes do sistema sensorial. (a) O sistema completo. (b) o detalhe da implementação Resultados obtidos para um solo seco (5 %) e húmido (40 %) Sugestão para um futuro sistema sensorial para monitorização do teor de água em solos agrícolas xviii

21 Lista de Símbolos Símbolo Descrição Unidades M s Massa das partículas de solo seco kg M w Massa de água kg V w Volume de água m 3 V s Volume das partículas de solo seco m 3 V f Volume dos poros do solo m 3 V a Volume de ar no solo m 3 w Humidade de massa kg kg 1 θ s Humidade de Volume m 3 m 3 s Grau de saturação m 3 m 3 q Fluxo térmico W m 2 κ Condutividade térmica W m 1 K 1 T Temperatura K ρ Densidade de massa kg m 3 c m Calor específico J kg 1 K 1 C Capacidade calorífica J m 3 K 1 continua na página seguinte xix

22 continuação Símbolo Descrição Unidades D T Difusidade térmica m 2 s q h Quantidade de calor libertado por unidade J m 1 de comprimento q h Quantidade de calor libertado por unidade J m 1 s 1 de comprimento por unidade de tempo Q Intensidade da fonte por unidade m 2 K de comprimento Q Intensidade da fonte por unidade m 2 K s 1 de comprimento por unidade de tempo T M Máxima sobrelevação da temperatura K r Distância radial ao elemento aquecedor m a Raio do elemento aquecedor m b Metade do comprimento do elemento aquecedor m V h Tensão aplicada ao elemento aquecedor V R h Resistência do elemento aquecedor Ω R m Resistência por unidade de comprimento Ω m 1 ρ 0 Resistividade à temperatura ambiente Ω m α Coeficiente de temperatura da resistência Ω Ω 1 K σ Condutividade eléctrica Ω 1 m 1 h Coeficiente de transferência de calor W m 2 K L u f K Ω Ω C Operador diferencial Solução Termo fonte Matriz rigidez Domínio computacional Fronteira do domínio Espaço das funções contínuas xx continua na página seguinte

23 continuação Símbolo Descrição Unidades H H h P H m p h v,w ϕ k p Espaço de funções Espaço de funções de dimensões finitas Espaço de polinómios Norma de Sobolev Exactidão Tamanho da malha Membros do espaço de funções Função base de índice k Exactidão, Produto interno V T D Conjunto de vértices Conjunto de triângulos Triangulação de Delaunay I D Corrente no díodo A I S Corrente de saturação inversa A q Carga do electrão (1, ) C V D Tensão aplicada à junção V k Constante de Boltzman (1, ) J K 1 η Factor de idealidade A Área do díodo m 2 D n e D p Coeficientes de difusão m 2 s 1 L n e L p Comprimentos de difusão m µ n e µ p Mobilidade m 2 V 1 s 1 τ n e τ p Tempo de vida s ni Densidade de portadores intrínsecos m 3 E g Diferença de potencial entre a banda de V valência e a de condução continua na página seguinte xxi

24 continuação Símbolo Descrição Unidades N c e N v Densidade efectiva de estados m 3 T Período s δ Impulso de Dirac (função delta) Q I Carga na entrada C Q F Carga na realimentação C C I Condensador da entrada F C F Condensador da realimentação F G Ganho V V 1 G Média do ganho V V 1 v out Tensão de saída V v in Tensão de entrada V V CM Tensão de modo comum V v od Tensão de saída diferencial V f Frequência Hz v 2 g Densidade espectral do ruído (MOSFET) V 2 Hz 1 v 2 d Densidade espectral do ruído (díodo) V 2 Hz 1 g m Transcondutância S K f γ Coeficiente do ruído de tremulação Coeficiente do ruído térmico C OX Capacidade por unidade de área do condensador F m 2 formado pela porta e pelo substrato ζ Expoente do ruído de tremulação V TH Equivalente Volt da temperatura V r o Resistência de saída Ω V CMFB Tensão de realimentação em modo comum V ε ox Constante dieléctrica do óxido F m 1 T ox Espessura do óxido m continua na página seguinte xxii

25 continuação Símbolo Descrição Unidades W Largura do dispositivo m L Comprimento do dispositivo m φ Fases do relógio λ Parâmetro que relaciona a variação do comprimento V 1 efectivo do canal em função da tensão no dreno xxiii

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27 1 Introdução A intensificação da produção agrícola tem conduzido a um aumento excessivo do consumo de água para as operações de rega. Por razões ambientais, de produtividade e de gestão deste recurso essencial à vida, é necessário utilizá-lo de um modo eficiente, em particular evitando regas excessivas. Urge assim a necessidade de aliar a tecnologia a uma utilização mais eficiente da água [1]. É quase instintivo para a engenharia que as tecnologias de controlo e automação industrial podem ser aplicadas à irrigação. O controlo começa com o processo de monitorização que consiste na medição automática da humidade do solo. Para a monitorização é instalado um sensor de medida deste parâmetro, directamente na zona das raízes das plantas. A variação da humidade do solo é medida e adquirida por um sistema com microcontrolador que calcula o tempo apropriado para fazer a próxima irrigação. Deste modo, a produção pode ser aumentada mediante a manutenção do conteúdo de água adequado na zona da raiz durante o ciclo de desenvolvimento da cultura e, por outro lado, o uso de água e prejuízo ambiental são minimizados. Nas aplicações agrícolas, o objectivo é produzir culturas onde as zonas

28 2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO críticas são as raízes superficiais de alimentação e não as raízes profundas de subsistência. As calendarizações de rega inadequadas conduzem a dois tipos de situação distintos, ambos limitativos para a produção. Uma prende-se com o facto de, na tentativa de encontrar água disponível, as raízes das plantas atingirem profundidades que, muitas vezes, não correspondem à óptima de produção, sendo isto particularmente verdade se a rega tiver sido insuficiente. Outra tem a ver com as operações de rega excessiva que provocam stress nas plantas, ou mesmo o seu apodrecimento. É de salientar que para cada cultura os teores óptimos de água no solo variam ao longo do ciclo produtivo. As vinhas, por exemplo, requerem um elevado conteúdo de água no solo durante a floração e formação dos bagos, mas perto do final do ciclo produtivo teores de água no solo mais baixos originam uma maior concentração de açúcares e uma melhor qualidade das uvas [2]. Assim, o agricultor precisa de saber qual o conteúdo óptimo de água no solo para uma determinada cultura e como este varia ao longo do ciclo produtivo. A medição do conteúdo de água no solo é a chave para obter uma irrigação bem sucedida. Existem inúmeras e distintas formas de a alcançar, sendo de salientar que é importante compreender o que se está a medir. As plantas estão frequentemente a receber água do solo, formando gradientes de humidade, não havendo assim um valor único de humidade do solo. Neste contexto, pode falar-se num perfil de valores de humidade do solo que se estende desde a superfície ao fundo da zona das raízes. 1.1 Teor e Potencial de Água no Solo A quantidade variável de água contida numa unidade de massa ou de volume de solo e o estado de energia da água no solo são factores importantes que afectam o crescimento das plantas. Além disto, a presença de água no solo

29 1.1. TEOR E POTENCIAL DE ÁGUA NO SOLO 3 afecta consideravelmente as propriedades mecânicas deste (consistência, plasticidade, compressibilidade e penetrabilidade). Este parâmetro regula ainda a quantidade de ar e as trocas gasosas com o solo, afectando assim a respiração das raízes, a actividade dos microrganismos e o estado químico do solo (ex. o potencial de oxidação-redução). A fracção de água, por massa ou por volume, no solo é expressa como teor de água. A condição ou estado físico-químico da água do solo, caracterizada em termos da sua energia livre por unidade de massa, é chamada de potencial (por analogia com o termo energia potencial ) de água no solo. A quantidade de água presente no solo e uma das componentes do potencial, conhecida como potencial capilar, estão relacionadas por uma função cuja representação gráfica é designada por curva característica da humidade do solo (figura 1.1). Esta relação não é única, sendo afectada pela direcção e razão da variação da quantidade de água no solo, além de que é sensível a variações do volume e textura do solo. À medida que o solo é molhado pela acção da chuva ou rega, drenado pela gravidade e seco pela evaporação e/ou extracção de água pelas raízes, o teor e o potencial de água no solo exibem variações apreciáveis, quer no espaço, quer no tempo. A condição de humidade extrema possível é chamada de saturação e é definida como a condição na qual todos os poros do solo estão cheios de água. A saturação é relativamente simples de definir no caso de solos não-transpiratórios (ex. areia) mas extremamente difícil, ou até impossível, de definir no caso de solos transpiratórios (ex. argila). De facto, este último tipo de solo pode continuar a absorver água e a transpirar mesmo depois de todos os poros estarem preenchidos com água [3]. A condição de menor humidade que se encontra na natureza é denominada de árida, variando esta com o tipo de solo. A nível laboratorial a condição de menor humidade é um estado arbitrário conhecido

30 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Teor de água no solo (%) Potencial de água no solo (kpa) Figura 1.1 Curva característica solo-humidade por seco no forno. 1.2 Medição do Teor de Água no Solo Surge, assim, a necessidade de determinar a quantidade de água contida no solo. Existem métodos directos e indirectos para medir a humidade do solo, bem como diversos modos de a expressar quantitativamente. O teor de água de um solo, ou humidade do solo, pode ser expresso relativamente à massa de sólidos, à massa total, ao volume dos sólidos, ao volume total ou ao volume dos poros. Assim, poderemos ter: Humidade de Massa, w w = M w M s (1.1) Representa a massa de água, M w, relativamente à massa das partículas do solo seco, M s. A definição padrão de solo seco refere-se à massa de

31 1.2. MEDIÇÃO DO TEOR DE ÁGUA NO SOLO 5 solo seco até ao equilíbrio (na prática, obtém-se por secagem num forno a 105 C por um período de 24 h) embora um solo argiloso possa ainda conter uma apreciável quantidade de água nesse estado. Por vezes, a humidade de massa é representada por uma fracção decimal, mas mais frequentemente é expressa como uma percentagem. Humidade de Volume, θ θ = V w V t = V w (V s + V f ) (1.2) É o volume de água, V w, em relação ao volume total do solo, V t, ou seja, volume das partículas do solo, V s, e o volume dos poros, V f. A humidade de volume (normalmente designada teor de água volumétrico) é geralmente calculada como uma percentagem do solo total. Em solos arenosos, a humidade de volume na saturação, θ s, é da ordem dos 40 %; em solos de textura média é aproximadamente 50 %; e em solos argilosos pode chegar aos 60 %. O uso de θ em detrimento de w para expressar o conteúdo de água no solo é, normalmente, mais conveniente pois este é directamente aplicável aos cálculos dos fluxos e volumes de água adicionados ao solo pela chuva ou irrigação, ou subtraídos do solo por evaporação, transpiração e/ou drenagem. Grau de Saturação, s s = V w V f = V w (V a + V w ) (1.3) Expressa o volume de água presente no solo em relação ao volume dos poros. Este último é a soma do volume de ar, V a, com o volume de

32 6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO água, pois esta só se encontra presente nos poros. O valor de s varia de zero, para um solo completamente seco, até à unidade (100 %) para um solo completamente saturado. Em condições de campo, dificilmente se atinge a saturação completa dado que existe sempre algum ar presente no solo. Num solo relativamente seco, o ar ocupa um espaço contínuo, enquanto que num solo extremamente molhado, o ar pode estar incluso ou encapsulado na forma de bolhas descontínuas Técnica de Pesagem O método tradicional (padrão - ISO [4]) de medição da humidade de massa consiste na remoção de uma amostra de solo e posterior determinação do seu peso molhado e seco. O peso molhado é determinado pela pesagem da amostra tal como foi retirada do solo, e o peso seco é obtido depois da amostra ser seca num forno. O método padrão de secagem consiste na colocação da amostra num forno a 105 C por um período de 24 h. A massa húmida é a razão entre a perda de peso durante a secagem e o peso seco da amostra (sendo a massa e o peso proporcionais): w = (peso húmido) (peso seco) peso seco = perda de peso na secagem peso da amostra seca (1.4) O método de pesagem envolve a recolha de amostras, o transporte e a realização de repetidas pesagens que têm inerentes erros inevitáveis. É também laborioso e demorado, pois as amostras têm de ser transportadas desde o campo até ao laboratório e, normalmente, é necessário um período de 24 h para uma secagem completa no forno. O próprio método de secagem é arbitrário, pois

33 1.2. MEDIÇÃO DO TEOR DE ÁGUA NO SOLO 7 algumas argilas podem ainda conter quantidades apreciáveis de água mesmo quando sujeitas à temperatura de 105 C durante este processo. Por outro lado, alguma matéria orgânica pode oxidar e decompor-se a essa temperatura. Assim, a perda de peso pode não se dever inteiramente à evaporação da água. Não obstante estas dificuldades, é considerado um método suficientemente preciso em várias aplicações de agronomia e é, inclusivamente, utilizado como método padrão (ISO 11465) para calibrar instrumentos de medida de humidade do solo Técnicas Nucleares Bombardeamento de Neutrões A técnica de bombardeamento de neutrões é baseada na medição de neutrões rápidos cuja velocidade é atenuada (acção térmica) pela colisão elástica com os átomos de hidrogénio das moléculas de água presentes no solo. Esta técnica foi inicialmente desenvolvida por Gardner e Kirkham [5] nos anos 50 do século XX. O sensor de humidade do solo baseado no bombardeamento de neutrões, ilustrado na figura 1.2, é constituído por dois componentes principais: (1) a prova, que é colocada no solo através de um tubo de acesso; e (2) um contador para monitorizar o fluxo de neutrões lentos atenuados no solo. Os electrões acelerados de elevada energia são um produto da desintegração radioactiva. Originalmente a fonte utilizada era de Rádio Berílio, contudo a mais utilizada hoje em dia é de Amerício Berílio. Os neutrões de energia elevada viajam para o interior do solo colidindo ininterruptamente com os núcleos dos elementos constituintes do solo. Neste processo, a energia dos neutrões é dissipada por acção térmica até um nível inferior a 0, 25 ev. Estes neutrões depois

34 8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO da colisão são reflectidos para um tubo detector (BF 3 ) com o núcleo de Boro originando a emissão de uma partícula alfa que cria uma carga que é posteriormente contada. Assim sendo, a variação na contagem registada é devida à variação da humidade do solo, sendo que um acréscimo desta está relacionado com um aumento do conteúdo de água no solo. O método é rápido, preciso e não destrutivo. Contudo, os neutrões podem perder-se (ser capturados) na matriz do solo quando este contiver elementos como flúor, cloro, potássio, ferro [6, 7], boro [8] e magnésio. As medidas são também afectadas por várias características do solo e, quando feitas perto da superfície, podem não detectar os neutrões rápidos que se escapem para a atmosfera [9]. Figura 1.2 Sensor de humidade do solo baseado no bombardeamento de neutrões

35 1.2. MEDIÇÃO DO TEOR DE ÁGUA NO SOLO 9 Absorção de Raios Gama A sonda de raios gama é constituída por dois elementos, emissor e detector, separados no espaço. A primeira unidade é constituída pela fonte de radiação que contém césio radioactivo; a segunda é o detector, vulgarmente um cintilador, ligado a um foto-multiplicador e pré-amplificador [10, 11]. Se a emissão da radiação é mono-energética e radial, e o espaço entre a fonte radioactiva e o detector está vazio, mantendo-se a distância entre as duas unidades constante, então a fracção da radiação recebida pelo detector depende apenas da secção angular interceptada, isto é, da distância de separação e do tamanho da unidade de cintilação. Se, por outro lado, o espaço entre as duas unidades estiver preenchido com algum material, uma fracção de radiação emitida será absorvida pelo material e não detectada. Essa fracção depende da espessura e densidade da massa interposta. Caso o corpo entre as duas unidades seja um solo de densidade aparente constante, a intensidade da radiação recebida varia apenas com o teor de água presente. Ressonância Magnética Nuclear Para estimar o teor de água no solo podem usar-se técnicas baseadas na ressonância magnética nuclear (Nuclear Magnetic Resonance NMR). Este método explora a interacção entre os momentos dipolares (magnéticos e nucleares) e o campo magnético descrita por Paetzold et al. [12]. Uma bobina de detecção de rádio frequência, um condensador de sintonização e uma bobina electromagnética são usados como sensores para medir a ressonância de rotação e a atenuação da indução livre. A NMR é uma técnica bastante poderosa para estimar a humidade do solo, uma vez que consegue distinguir entre a água retida em partículas argilosas (não disponível para as plantas) e a água que está livre (disponível para ser usada pelas plantas).

36 10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Técnicas Electromagnéticas Resistência Eléctrica Como a resistividade do solo depende do seu teor de água, a medida deste parâmetro pode ser usada para determinar a humidade do solo. É possível medir a resistividade entre eléctrodos [13, 14] ou medir a resistividade de um material em equilíbrio com o solo. Geralmente esta técnica não é muito fiável devido às influências da concentração de iões (salinidade do solo), assim como da concentração de humidade que afectam a condutividade do solo e, por conseguinte, a sua resistência eléctrica. Assim sendo, a utilização desta técnica requer calibrações cuidadas e frequentes. Capacidade O teor de água no solo pode ser determinado por meio da detecção do seu efeito na constante dieléctrica, medindo-se a capacidade entre dois eléctrodos implantados no solo [15 17]. As pontas de prova de capacidade para alta frequência são robustas, portáteis e operam a cerca de 150 MHz, como é o caso do sensor da figura 1.3. Esta frequência evita as calibrações incorrectas que resultam dos dipolos de água agarrados às partículas de barro que têm um comportamento imprevisível em diferentes solos. A ponta de prova descrita por Dean et al. [15] é baseada num oscilador Clapp modificado de alta frequência. Os elementos de monitorização formam o condensador no ciclo de realimentação e as formas de solo o filtro dieléctrico. A constante dieléctrica aumenta com a quantidade de água, deste modo a frequência de oscilação diminui com o aumento desta.

37 1.2. MEDIÇÃO DO TEOR DE ÁGUA NO SOLO 11 Figura 1.3 O sensor capacitivo, C-Probe, da ADCON. Reflectómetria no Domínio do Tempo A reflectómetria no domínio do tempo (Time-Domain Reflectometry TDR) é um método não destrutivo que tem como finalidade estimar a quantidade de água no solo. Esta técnica foi desenvolvida por Davis e Chudobiak [18], tendo por base os procedimentos de Felner Feldegg [19] que usaram, primeiramente, o TDR na determinação da constante dieléctrica mediante a medição da propagação de ondas electromagnéticas. As constantes de propagação de ondas electromagnéticas no solo, como a velocidade e atenuação, dependem das propriedades do solo, entre as quais o conteúdo de água no solo e a condutividade eléctrica são as mais preponderantes. A propagação de sinais eléctricos no solo é, então, influenciada pelo conteúdo de água no solo e pela condutividade eléctrica. A constante dieléctrica do solo pode ser determinada usando um instrumento TDR, como o mostrado na figura 1.4, ligado a uma linha de transmissão no solo constituindo um bom método para a determinação do seu conteúdo de água. Esta determinação de água no solo é praticamente

38 12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO independente da textura, temperatura e teor de sais no solo. Uma vez que as constantes dieléctricas das partículas do solo, ar e água são 10, 1 e 80 respectivamente [20], pode assumir-se que as mudanças na constante dieléctrica do solo podem ser predominantemente atribuídas à quantidade de água presente [21]. Topp et al. [22] propuseram uma relação empírica entre a constante dieléctrica do solo e a quantidade de água do solo para solos de várias texturas Métodos Baseados nas Propriedades Térmicas Um dispositivo de impulso de calor serve para medir a capacidade calorífica e, como consequência, o teor de água da média dos poros [17, 23, 24]. Este aparelho é formado por duas pontas de prova tipo agulha (0, 813 mm de diâmetro e 28 mm de comprimento) dispostas em linha. A ponta de prova geradora de calor (aquecedor) contém um elemento que aquece, enquanto que o sensor (ponta de prova colocada a 6 mm do aquecedor) contém um termopar. Após Figura 1.4 Sensor TDR CS616 da Campbell Scientific.

39 1.3. MEDIÇÃO DO POTENCIAL DE ÁGUA NO SOLO 13 ter sido feita uma medição, usando o disparo térmico, é necessário esperar pelo re-equilíbrio do sensor e da temperatura de referência antes de executar nova medição. A frequência à qual as medições devem ser feitas depende do tipo de solo e da quantidade de água presente. 1.3 Medição do Potencial de Água no Solo A água do solo possui energia em diferentes quantidades e formas, tal como acontece com outros corpos na natureza. Na física clássica, a energia cinética e potencial são reconhecidas como as duas principais formas de energia. O movimento da água no solo é bastante lento sendo, por isso, desprezada a sua energia cinética. A energia potencial, que é devida à posição e à condição interna de água no solo, é muito importante na determinação do estado e movimento da água do solo. A energia potencial da água do solo varia de uns pontos para os outros dando origem ao movimento da água em direcção aos pontos de menor potencial. O estado energético da água no solo e na planta, que nele cresce, pode ser utilizado para estimar a quantidade de trabalho que a planta deve realizar para extrair uma quantidade unitária de água. O importante não é a quantidade absoluta de energia potencial da água no solo, mas sim o nível relativo dessa energia em cada ponto do solo. O conceito de potencial da água no solo é o critério de avaliação dessa energia e é expresso em termos relativos a um estado de referência padrão Técnicas Tensiométricas O principal método usado para medir o potencial matricial (tensão capilar) no solo envolve a utilização de um tensiómetro [25, 26]. Este aparelho, figura 1.5, é constituído, essencialmente, por um bolbo de porcelana porosa, ligado por

40 14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Figura 1.5 Tensiómetros. um tubo a um manómetro de mercúrio ou de água ou a um sensor de pressão piezo-eléctrico. Colocando o bolbo cheio de água em contacto com o solo, não saturado, há passagem desta do bolbo para o solo, originando uma variação de pressão que é detectada pelo manómetro. Esta redução de pressão é proporcional à tensão de água no solo. O tensiómetro pode ser utilizado no campo ou laboratório, estando no entanto limitado, pelo seu princípio de funcionamento, a sucções inferiores a 1 atmosfera Técnicas Psicrométricas No equilíbrio, o potencial da humidade do solo é igual ao potencial do vapor de água no ar ambiente. Um psicrómetro é um instrumento destinado a indicar a humidade relativa da atmosfera em que está colocado, geralmente pela medição da diferença entre temperaturas registadas num termómetro molhado e num seco. O termómetro seco indica a temperatura de uma superfície não evaporante em equilíbrio térmico com o ar ambiente. O termómetro molhado

41 1.3. MEDIÇÃO DO POTENCIAL DE ÁGUA NO SOLO 15 indica a temperatura, geralmente mais baixa, de uma superfície evaporante, onde o calor latente é absorvido em proporção à velocidade de evaporação. A humidade relativa de uma massa de ar em equilíbrio com um corpo poroso húmido dependerá da temperatura, bem como do estado da água no sistema poroso (isto é, dos efeitos de absorção, da capilaridade e dos solutos, todos eles actuam para reduzir o efeito evaporante da água relativamente à água pura e livre, à mesma temperatura). Sendo assim, a humidade relativa de uma atmosfera de solo não saturada estará geralmente abaixo de 100 % e o défice de saturação dependerá do potencial da humidade do solo, ou sucção, devido aos efeitos combinados dos potenciais osmóticos e capilares. No entanto, ao longo da maior parte da gama de variação da humidade do solo, este défice da saturação é muito pequeno e, em geral, inferior a 2%. Para medir o potencial da humidade do solo, em termos do seu efeito sobre o equilíbrio da humidade relativa do ar ambiente, será necessário utilizar-se um psicrómetro muito preciso. Nas últimas décadas foram desenvolvidos psicrómetros miniaturizados de elevada sensibilidade com termopares que tornam, realmente, possível a medição do potencial da humidade do solo no local pretendido [27 29]. O psicrómetro do solo consiste num termopar de fio fino, do qual uma junção é equilibrada com a atmosfera do solo colocando-a dentro de um copo profundo poroso embebido no solo, enquanto a outra junção é mantida num meio isolado para conseguir um desvio de temperatura Técnicas Electromagnéticas O método mais usado foi desenvolvido por Bouyoucos [30] sendo composto por dois eléctrodos de metal envolvidos num bloco de gesso, nylon ou fibra de vidro. Esta unidade é colocada no solo à profundidade para a qual se deseja efectuar

42 16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO as leituras. As ligações dos eléctrodos são trazidas até à superfície onde são ligadas a uma ponte de Wheatstone. O bloco poroso tende a um equilíbrio com a sucção da humidade do solo adjacente (matricial), ao contrário de tender para um equilíbrio com a humidade do solo, sendo a sua resistência afectada pelo teor de água no bloco. Estas unidades, mostradas na figura 1.6, têm a desvantagem de serem influenciadas pelas concentrações de sal no solo. Por outro lado, os blocos de gesso tendem a dissolver-se na água do solo, o que limita a sua utilização normalmente a um ano. O equilíbrio dos blocos porosos com a humidade do solo pode ser afectado por histerese, isto é, pelo aumento ou diminuição da humidade do solo. Além disso, as propriedades hidráulicas dos blocos podem dificultar o equilíbrio rápido e causar discrepância temporal entre o estado da água no solo e o estado da água a ser medido no bloco. Este efeito, bem como o da sensibilidade do bloco, podem não ser constantes em toda a gama de medidas. O bloco usando Nylon é sensível desde a saturação até ao ponto de emurchecimento tal como os blocos gesso fibra-de-vidro. A unidade Monel 1 fibra-de-vidro é sensível numa gama que vai desde a saturação até tensões ligeiramente anteriores ao ponto de emurchecimento. 1.4 Motivação e Objectivos A monitorização do teor de água no solo é, com a tecnologia existente, ou dispendiosa economicamente para uma utilização com alguma densidade, ou a instrumentação é demasiado volumosa e/ou evasiva para o seu estudo in situ, 1 Monel É um nome de uma das mais conhecidas ligas de níquel. Normalmente contém 67% Ni e cerca de 30% Cu (até 2,5% Fe). É uma liga geralmente utilizada em engenharia com uma boa resistência à corrosão provocada pela água do mar, pelos minerais, ácidos orgânicos, sais inorgânicos, entre outros. Esta liga é dúctil e rija e pode ser facilmente fabricada.

43 1.4. MOTIVAÇÃO E OBJECTIVOS 17 Figura 1.6 Sensores resistivos envolvidos num bloco de gesso. ou seja, junto às raízes. A maioria dos sensores de humidade do solo apresentados são de elevado volume e estão ligados, duma maneira centralizada, a estações de recolha de dados. A procura de sistemas de baixo custo, com pequenas dimensões e com alguma independência do tipo de solo (alimentados por bateria e com transmissão e/ou recepção de dados por rádio frequência) tem vindo a aumentar, especialmente no caso do controlo de irrigação. É neste sentido que este trabalho se insere. Concretamente, pretende-se desenvolver e implementar um sistema sensorial para a monitorização do teor de água em solos, especialmente os agrícolas, utilizando tecnologia Complementary Metal-Oxide Semiconductor (CMOS) e baseado no método do impulso de calor. O sistema é composto, essencialmente, por duas agulhas separadas 6 mm formando um elemento aquecedor e um elemento sensor de temperatura, como mostra a figura 1.7. O elemento aquecedor é composto por um fio fino de NICROHM 80 2 inserido dentro de uma agulha hipodérmica N o 18. O elemento sensor de temperatura é constituído por um sensor de temperatura CMOS de elevada resolução e de reduzidas dimensões colocado no interior de uma agulha e centrado. Ambas as agulhas são preenchidas com uma cola epóxica 2 Liga metálica composta por 80% de Níquel e 20% de Crómio.

44 18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO de elevada condutividade térmica. O sensor de temperatura, realizado em CMOS, permitirá ainda a realização do condicionamento de sinal no mesmo circuito integrado. Figura 1.7 Sistema sensorial completo para monitorização do teor de água em solos agrícolas 1.5 Organização da Tese Esta tese está estruturada em seis capítulos, tendo neste capítulo introdutório evidenciado o enquadramento do trabalho e traçado os objectivos e a motivação do mesmo. No Capítulo 2 é feita uma análise detalhada dos fundamentos teóricos relativos ao método do impulso de calor, usado para o desenvolvimento do sensor. A análise térmica do sensor, do elemento aquecedor e do elemento sensor de temperatura, usando elementos finitos, é descrita no Capítulo 3. O Capítulo 4 aborda o projecto de um microssensor de temperatura usando tecnologia CMOS. Os pormenores relativos à fabricação do

45 1.5. ORGANIZAÇÃO DA TESE 19 microssensor de temperatura são detalhados no Capítulo 5, bem como a implementação de todo o sistema. Os resultados obtidos, que compõem o Capítulo 6, estão divididos em duas secções. A primeira secção é composta pelos resultados do sensor de temperatura CMOS. Na segunda secção os resultados referem-se ao sensor de humidade do solo. No último capítulo são apresentadas as conclusões deste trabalho perspectivando-se, também, as possibilidades de evolução futura. A tese termina com várias referências bibliográficas citadas ao longo do texto, bem como, algumas referências não citadas mas que correspondem a bibliografias consultadas.

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47 2 Método do Impulso de Calor Entre os vários métodos descritos no capítulo anterior para medir o conteúdo volumétrico de água no solo, especialmente num pequeno volume, o método baseado na condutividade térmica (método do impulso de calor) é o mais preciso. Adicionalmente, também se verifica que este método tem bastantes potencialidades para ser tornar num método bastante económico. Este último factor é de extrema importância na diminuição dos custos do controlo de irrigação de grandes superfícies de cultivo. Torna-se assim necessário fazer uma análise teórica do método. Nesta análise só serão estudados os fenómenos de condução térmica pois os processos de convecção e de radiação são quase inexistentes neste método. Os métodos e análises teóricas apresentados, visam estabelecer a equação que governa o comportamento da temperatura, no espaço e no tempo, para solos onde se aplica um impulso de calor. Estas equações servirão de base para implementar o princípio sensorial do conteúdo de água no solo, já que, como se demonstrará, a elevação da temperatura a uma certa distância fixa de um elemento aquecedor inserido no solo está relacionada com o conteúdo de água

48 22 CAPÍTULO 2. MÉTODO DO IMPULSO DE CALOR deste. Por último, serão feitas considerações relativas aos cuidados a ter para a implementação de um sensor baseado neste método. 2.1 Condução de Calor no Solo A condução de calor nos sólidos foi analisada em 1822 por Fourier, cujo nome está associado às equações lineares de transporte que, desde então, são usadas para descrever a condução de calor. Essas equações são matematicamente análogas às equações de difusão (leis de Fick), bem como às leis de Darcy para a condução de fluídos em meios porosos (tabela 2.1). Uma analogia pode também ser estabelecida entre essas leis e a lei de Ohm para a condução de electricidade. Tabela 2.1 Analogias Matemáticas à Lei de Fourier. Lei de Fourier Lei de Fick Lei de Darcy Movimento de calor Difusão molecular Movimento de água Gradiente Gradiente Gradiente de temperatura de concentração de potencial total q = κ T J D = D o c q f = K H A primeira lei da condução de calor, conhecida como lei de Fourier, enuncia que o fluxo de calor num corpo homogéneo tem a mesma direcção e é proporcional ao gradiente de temperatura, q = κ T (2.1)

49 2.1. CONDUÇÃO DE CALOR NO SOLO 23 onde q é o fluxo térmico (isto é, a quantidade de calor conduzida através de uma secção de área unitária por unidade de tempo), κ é a condutividade térmica e T é o gradiente espacial da temperatura T. Na sua forma unidimensional a lei pode ser escrita como, q = κ x dt dx ou q = κ z dt dz (2.2) onde dt/ dx é o gradiente de temperatura numa qualquer direcção arbitrária designada por x e dt/ dz é, especificamente, o gradiente na direcção vertical representando a profundidade do solo (z = 0 é a superfície do solo). A utilização de índices diferentes no termo da condutividade térmica deve-se à possibilidade deste parâmetro poder ter valores distintos para diferentes direcções (isto é, o material pode não ser isotrópico). O sinal negativo nas equações é devido ao facto do fluxo de calor fluir das altas para as baixas temperaturas. Se q for expresso em calorias por centímetro quadrado por segundo e o gradiente de temperatura em graus Kelvin por centímetro, κ terá a unidade de calorias por centímetro-grau Kelvin-segundo. Se, por outro lado, o fluxo térmico for dado em watts (Joules por segundo) por metro quadrado e o gradiente em graus Kelvin por metro, a condutividade térmica κ assume a unidade de watts por metro-grau Kelvin. A equação (2.1) é suficiente para descrever a condução de calor em regime permanente, isto é, onde a temperatura em cada ponto do meio condutor é invariante e o fluxo é constante no tempo e no espaço. Para regimes transitórios é necessária uma segunda lei da condução de calor tendo em conta o princípio da conservação da energia na forma da equação de continuidade, ρc m T t + q h = 0 (2.3)

50 24 CAPÍTULO 2. MÉTODO DO IMPULSO DE CALOR onde ρ (kgm 3 ) é a densidade de massa e c m (Jkg 1 K 1 ) é a capacidade calorífica específica por unidade de massa (ou simplesmente calor específico definido como, a variação da quantidade de calor de uma massa unitária de um corpo por unidade de variação da temperatura). O produto ρc m (frequentemente designado por C) é a capacidade calorífica específica por unidade de volume e T/ t é a taxa de variação da temperatura no tempo. Combinando as equações (2.1) e (2.3) obtém-se a segunda lei da condução de calor, ρc m T t = ( κ T) (2.4) que, na sua forma unidimensional é, T ρc m t = T (κ ). (2.5) x x Em alguns casos, existe a necessidade de considerar a possibilidade de ocorrência de fontes ou dissipações de calor na região onde o fluxo de calor ocorre. Como fontes de calor podemos considerar os fenómenos da decomposição orgânica da matéria, o molhar do solo inicialmente seco e a condensação do vapor de água. Os dissipadores de calor estão, geralmente, associados à evaporação. Aglomerando todas estas fontes e dissipadores num termo único, S, podemos reescrever a última equação, T ρc m t = T (κ ) ± S(x,t), (2.6) x x na qual o termo fonte-dissipador é uma função do tempo e do espaço.

51 2.1. CONDUÇÃO DE CALOR NO SOLO 25 A razão entre a condutividade térmica κ e a capacidade calorífica volumétrica C(= ρc m ) é chamada de difusividade térmica, designada por D T. Deste modo, D T = κ C. (2.7) Usando D T no lugar de κ, podemos reescrever as equações (2.2) e (2.5): q h = D T C T x (2.8) e T t = D d 2 T T (2.9) dx 2 para o caso particular onde D T é constante (isto é, não é uma função da distância x). Para resolver as equações precedentes, assim como para obter a descrição de como varia a temperatura no espaço e no tempo, é necessário conhecer, por medição ou cálculo, os valores dos três parâmetros definidos, nomeadamente, a capacidade calorífica volumétrica C, a condutividade κ e a difusividade térmica D T. Conjuntamente, estes parâmetros são denominados por propriedades térmicas do solo.

52 26 CAPÍTULO 2. MÉTODO DO IMPULSO DE CALOR 2.2 Capacidade Calorífica Volumétrica A capacidade calorífica volumétrica, C, de um solo é definida como a alteração do conteúdo calorífico de uma unidade de volume do solo por unidade de variação da temperatura. As suas unidades são calorias por centímetro cúbico por grau Kelvin ou Joules por metro cúbico por grau Kelvin. Assim sendo, C depende da composição da parte sólida (mineral e orgânica) do solo, da densidade total e da humidade do solo (ver tabela 2.2). Tabela 2.2 Capacidades caloríficas e densidades de alguns constituintes do solo (a 10 C) e do gelo (a 0 C). Densidade ρ Cap. Calorífica C Constituinte (g cm 3 ) (kg m 3 ) (cal cm 3 K 1 ) (J m 3 K 1 ) Quartz 2, 66 2, , 46 1, Minerais (média) 2, 65 2, , 46 1, Matéria orgânica 1, 3 1, , 6 2, Água (líquido) 1, 0 1, , 0 4, Gelo 0, 92 0, , 45 1, Fonte: de Vries, 1963 [31]. O valor de C pode ser estimado através da soma das capacidades caloríficas dos vários constituintes do solo, ponderados de acordo com as suas fracções de volume. Segundo de Vries [31], C = f si C si + f w C w + f a C a (2.10)

53 2.2. CAPACIDADE CALORÍFICA VOLUMÉTRICA 27 onde f denota a fracção de volume de cada fase: sólida (índice s), água (w) e ar (a). A fase sólida inclui um número de componentes com índice i, tais como, matérias orgânicas e minerais. O valor de C para a água, ar e para cada um dos componentes da fase sólida é o produto da densidade particular com o calor específico por unidade de massa (isto é, C w = ρ w c mw, C a = ρ a c ma, C si = ρ si c mi ). A maior parte dos minerais que compõem o solo têm praticamente os mesmos valores de densidade (cerca de 2, 65 g cm 3 ou 2, kg m 3 ) e a mesma capacidade calorífica (0, 46 cal cm 3 K 1 ou 1, J m 3 K 1 ). Devido à dificuldade de separar os diferentes componentes da matéria orgânica presentes no solo, é usual considerá-los como um só componente (com uma densidade média de 1, 3 g cm 3 ou 1, kg m 3 e uma capacidade calorífica média de aproximadamente 0, 6 cal cm 3 K 1 ou 2, J m 3 K 1 ). Embora a densidade da água seja menos de metade da da matéria mineral (1 g cm 3 ou 1, kg m 3 ), o seu calor específico é mais do dobro (1 cal cm 3 K 1 ou 4, J m 3 K 1 ). Uma vez que a densidade do ar é somente 1/1000 da densidade da água, a sua contribuição para o calor específico do composto de solo pode ser, na generalidade, desprezada. Assim sendo, a equação (2.10) pode ser simplificada para: C = f m C m + f o C o + f w C w (2.11) onde os índices m, o e w referem-se respectivamente à matéria mineral, à matéria orgânica e à água. A fracção de volume da água, f w, é habitualmente designada por θ s, como referido em (1.2). Sabendo os valores médios aproximados de C m, C o e C w, pode-se simplificar ainda mais a equação (2.11) para

54 28 CAPÍTULO 2. MÉTODO DO IMPULSO DE CALOR C = 0, 48f m + 0, 60f o + θ s (2.12) onde os coeficientes têm dimensões cal cm 3 K 1, ou C = 1, 92f m + 2, 50f o + 4, 18θ s (2.13) onde os coeficientes são em MJ m 3 K 1. Em solos tipicamente minerais, a fracção de volume dos sólidos está na gama de 0, 45 0, 65 e C varia de 1 MJ m 3 K 1 no estado seco a 3 MJ m 3 K 1 no estado de saturado. 2.3 Fonte Pontual Instantânea Depois de estabelecidos alguns conceitos importantes será introduzida a ideia de uma fonte pontual instantânea de calor, isto é, o de uma quantidade finita de calor instantaneamente libertada num dado ponto e instante de tempo num sólido infinito. Tomando a solução para uma fonte pontual instantânea como fundamental e integrando em relação às variáveis espaciais apropriadas obtêm- -se outras soluções importantes para a análise teórica do método. Assim, a equação diferencial da condução de calor, 2 T x + 2 T 2 y + 2 T 2 z 1 T 2 D T t = 0 (2.14) é satisfeita por [32, pág. 256]

55 2.3. FONTE PONTUAL INSTANTÂNEA 29 T(x,y,z,t) = Q 8(π D T t) 3 2 { } (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 e 4D T t (2.15) onde Q (m 2 K) é a intensidade da fonte por unidade de comprimento. Quando t 0, esta expressão tende para zero em todos os pontos excepto em (x,y,z ), onde é infinita. Também a quantidade total de calor libertado na região infinita é, ρct dxdydz = Qρc m 8(π D T t) 3 2 ) 2 e (x x 4 D T t ) 2 e (y y 4 D T t ) 2 e (z z 4 D T t = Qρc m = q h. (2.16) Logo a solução (2.15) pode ser interpretada como a temperatura num meio infinito devida a uma quantidade de calor q h = Qρc m instantaneamente gerada em t = 0 no ponto (x,y,z ). A solução (2.15) pode ser descrita como a temperatura devido a uma fonte pontual instantânea de energia Q no ponto (x,y,z ) em t = 0. Através de simples integração, nas próximas secções esta solução fundamental é utilizada para obter a temperatura num dado ponto e em determinado momento.

56 30 CAPÍTULO 2. MÉTODO DO IMPULSO DE CALOR 2.4 Linha-Fonte Instantânea Considere-se agora a distribuição das fontes pontuais instantâneas de energia Qdz em z ao longo de uma linha. A temperatura, obtida por integração da equação (2.15), é T(x,y,z,t) = Q 8(π D T t) 3 2 { dz e } (x x ) 2 +(y y ) 2 +(z z ) 2 4 D T t = { } (x x Q ) 2 +(y y ) 2 4π D T t e 4 D T t. (2.17) Neste caso, a quantidade de calor libertada por unidade de comprimento da linha é Qρc m. Se as coordenadas polares dos pontos (x,y) e (x,y ) forem respectivamente (r,φ) e (r,φ ), a distância entre esses pontos será dada por, R 2 = (x x ) 2 + (y y ) 2 = r 2 + r 2 2rr cos(φ φ ). (2.18) Nesta notação a equação (2.18) torna-se, T(r,t) = Q R 2 4π D T t e 4 D T t. (2.19)

57 2.5. TEMPERATURA MÁXIMA Temperatura Máxima Para calcular a máxima sobrelevação da temperatura tem de se diferenciar a equação (2.19) em relação ao tempo, ( d Q dt 4π D T t e ) R 2 4 D T t = Qr 2 r 2 Q r 16π 2 D T t 3 e 4 π t 2 4π D T t 2e 4 π t (2.20) que igualando a zero, fornece o instante de tempo onde essa sobrelevação se atinge Qr 2 r 2 Q r 16π 2 D T t 3 e 4 π t 2 4π D T t 2 e 4 π t = 0 Qr 2 16π 2 D T t 3 e r 2 4 π t = Q 4π D T t 2 e r 2 4 π t r 2 4D T t = 1 t = r2 4D T = t M. (2.21) Substituindo t M na equação (2.19) obtém-se a expressão T M = Q eπ r 2 = q h eπ r 2 ρc m (2.22) para a máxima sobrelevação de temperatura [23].

58 32 CAPÍTULO 2. MÉTODO DO IMPULSO DE CALOR 2.6 Medição do Teor de Água Com os conceitos e expressões que foram apresentados é possível formular um método que permita expressar o teor de água num solo baseado na medida da sobrelevação da temperatura a uma dada distância de um elemento que constitui uma fonte de calor. O fornecimento de calor, Q (m 2 K), usado por Carslaw e Jaeger [32] para obter a equação (2.19) é a medição do calor da linha-fonte, q h (J m 1 ), dividido pela capacidade calorífica específica do meio (ρc m ). Assim, q h = ρc m Q. (2.23) Substituindo este valor em (2.22) e resolvendo em ordem à capacidade calorífica específica temos, ρc m = C = q h eπ r 2 T M. (2.24) Como foi referido em (2.13), ρc m, é aproximadamente igual à soma das capacidades caloríficas da água, dos componentes minerais e dos componentes orgânicos. Combinando a equação (2.13) e a equação (2.24) obtém-se uma equação para o teor de água no solo [33], θ s = ( ) q h (2, 0f eπ r 2 m + 2, 5f o ) T M. (2.25) 4, 2

59 2.7. ANÁLISE DO ERRO Análise do Erro A medição do aquecimento da prova e da distância entre esta e o sensor de temperatura conjuntamente com a medição da temperatura máxima alcançada são usadas na equação (2.24) para calcular a capacidade calorífica e, deste modo, o teor de água no solo (2.25). Se a equação (2.19) for uma pobre representação física do método em estudo, irão ocorrer erros na determinação da capacidade calorífica [34]. Na realidade a fonte de calor não é instantaneamente libertada, mas sim pulsada e a linha fonte não é infinita nem infinitamente fina. Por isso, seguidamente apresentam-se diferentes aproximações, começando com uma linha-fonte pulsada e terminando com a aproximação linha-fonte finita e cilíndrica que é a mais adequada à aplicação real Linha-Fonte Infinita e Pulsada A solução para uma fonte infinita pulsada pode advir da adaptação da solução geral apresentada por Carslow e Jaeger [32, pág. 261] T(r,t) = 1 4π D T t 0 φ(t ) e r 2 4 D T (t t ) t t dt (2.26) para o calor libertado a uma razão ρc φ(t ) por unidade de tempo por unidade de comprimento e onde φ(t ) é uma função arbitrária do tempo. Para o caso de uma fonte de calor pulsada temos, φ(t ) = { Q : 0 < t t 0 0 : t > t 0 (2.27)

60 34 CAPÍTULO 2. MÉTODO DO IMPULSO DE CALOR onde Q (m 2 K s 1 ) é equivalente a q h /ρc m onde q h é a quantidade de calor libertada por unidade de comprimento por unidade de tempo (Jm 1 s 1 ). Logo, a solução irá ser constituída por duas partes T(r,t) = { T1 (r,t) : 0 < t t 0 T 2 (r,t) : t > t 0 (2.28) onde T 1 (r,t) = Q 4π D T t 0 φ(t ) e r 2 4 D T (t t ) t t dt (2.29) e T 2 (r,t) = Q t0 4π D T 0 φ(t ) e r 2 4 D T (t t ) t t dt + 1 4π D T t t 0 0 dt. (2.30) Usando a substituição, u = r 2 4D T (t t ) ; dt = 4D T (t t ) 2 r 2 du = 1 u (t t ) du (2.31) transformamos (2.29) e (2.30) em T 1 (r,t) = Q 4π D T r 2 4 D T t e u u ( ) Q r 2 du = Ei 4π D T 4D T t (2.32)

61 2.7. ANÁLISE DO ERRO 35 e T 2 (r,t) = = Q 4π D T Q 4π D T r 2 4 D T (t t ) r 2 4 D T t e u u du { [ ] r 2 Ei 4D T (t t 0 ) ( )} r 2 Ei 4D T t (2.33) onde Ei( x) = x e u u du (2.34) é o integral exponencial Linha-Fonte Finita e Pulsada A solução para uma libertação instantânea de calor de uma linha-fonte de comprimento 2b é encontrada começando com a solução (2.18) para uma libertação instantânea de calor num ponto (r,z ) T(r,z,t) = Q 8(π D T t) 3 2 { e } (r r ) 2 +(z z ) 2 4 D T t. (2.35) Colocando fontes pontuais de força Q dz ao longo de uma linha (r = 0,z ) entre b < z < b e integrando ao longo desse intervalo, tem-se

62 36 CAPÍTULO 2. MÉTODO DO IMPULSO DE CALOR T(r,z,t) = Q 8(π D T t) 3 2 e r 2 b 4 D T t [ e z z 4 DT t b ] 2 dz. (2.36) Fazendo a substituição ξ = z z 4DT t ; dz = 4D T t dξ (2.37) a equação (2.36) torna-se T(r,z,t) = Q 4D T t(π) 3 2 e r 2 4 D T t z+b/ 4 DT t z b/ 4 D T t e ξ2 dξ. (2.38) Esta equação é equivalente a T(r,z,t) = Q 8π D T t e r 2 4 D T t { [ ] [ ]} z + b z b erf + erf 4DT t 4DT t (2.39) onde erf(x) = 2 x π 0 e ξ2 dξ (2.40) é a função erro. Ao longo do eixo z = 0 a equação (2.39) torna-se T(r,t) = Q 4π D T t e r 2 4 D T t erf [ b 4DT t ]. (2.41)

63 2.7. ANÁLISE DO ERRO 37 Como na secção 2.7.1, esta solução pode ser estendida ao caso do fornecimento de calor pulsado, T(r,t) = 1 4π D T t 0 e φ(t ) r 2 4 D T (t t ) erf [ b 4 DT (t t ) ] t t dt (2.42) e assim, T(r,t) = { T1 (r,t) : 0 < t t 0 T 2 (r,t) : t > t 0 (2.43) onde T 1 (r,t) = Q 4π D T t 0 e r 2 4 D T (t t ) erf [ b 4 DT (t t ) ] t t dt (2.44) e T 2 (r,t) = Q 4π D T t0 0 e r 2 4 D T (t t ) erf [ b 4 DT (t t ) ] t t dt (2.45) Usando a mesma substituição de (2.31) obtêm-se as equações das temperaturas T 1 (r,t) = Q 4π DT r 2 4 D T t u 1 e u erf ( ) b u du (2.46) r

64 38 CAPÍTULO 2. MÉTODO DO IMPULSO DE CALOR e T 2 (r,t) = Q 4π D T r 2 4 D T (t t 0 ) r 2 4 D T t u 1 e u erf ( ) b u du. (2.47) r Linha Fonte Infinita e Cilíndrica A solução para uma libertação instantânea de calor de uma fonte cilíndrica de raio a (m) infinitamente longa é [32, pág. 259], T(r,t) = ( ) Q 4π D T t e (r 2 +a 2 ) 4 D T t r a I 0 2D T t (2.48) onde Q = 2π a Q (J m 3 ), ρc m Q é a quantidade de calor libertada por unidade de comprimento do cilindro e I 0 (z) = 1 π π e z cos ω dω (2.49) 0 representa a função modificada de Bessel de ordem zero. Utilizando o mesmo processo descrito em e obtêm-se as equações T(r,t) = { T1 (r,t) : 0 < t t 0 T 2 (r,t) : t > t 0 (2.50) onde

65 2.7. ANÁLISE DO ERRO 39 T 1 (r,t) = Q 4π D T r 2 4 D T t ( ) 2au u 1 e u e u(a/r)2 I 0 du (2.51) r e T 2 (r,t) = Q 4π D T r 2 4 D T (t t 0 ) r 2 4 D T t ( ) 2au u 1 e u e u(a/r)2 I 0 du. (2.52) r Linha Fonte Finita e Cilíndrica A solução para uma libertação instantânea de calor de uma fonte cilíndrica de raio a (m) e de comprimento 2b (m) é, T(r,t) = ( ) Q 4π D T t e (r 2 +a 2 ) 4 D T t r a I 0 2D T t [ b erf 4DT t ]. (2.53) Utilizando o mesmo processo descrito anteriormente obtém-se T(r,t) = { T1 (r,t) : 0 < t t 0 T 2 (r,t) : t > t 0 (2.54) onde T 1 (r,t) = Q 4π D T r 2 4 D T t ( ) 2au u 1 e u e u(a/r)2 I 0 r erf ( ) b u du (2.55) r

66 40 CAPÍTULO 2. MÉTODO DO IMPULSO DE CALOR e T 2 (r,t) = Q 4π D T r 2 4 D T (t t 0 ) r 2 4 D T t ( ) 2au u 1 e u e u(a/r)2 I 0 r erf ( ) b u du. r (2.56) Modelo do Erro Um erro em ρc m ocorre quando este é calculado pela substituição do valor da temperatura máxima T M (q,r,κ,t 0 ) na equação (2.24) em vez de no modelo mais apropriado (Eq. (2.28), (2.43) e (2.50)). Re-arranjando a equação (2.28) resulta uma expressão alternativa para o cálculo de ρc m que leva em consideração a duração finita do aquecimento ρc m = [ ] ( )} q r {E 2 r 2 i E i. (2.57) 4π D T T M 4D T (t m t 0 ) 4D T t m As equações (2.24) e (2.28) podem ser combinadas para obter o erro relativo em ρc m ǫ ρcm = q t 0 q Γ eπ r 2 T M 4π D T T M q Γ 4π D T T M (2.58) onde q t 0 foi utilizado em vez de q e Γ representa os integrais exponenciais entre parênteses curvos da equação (2.57). Simplificando obtemos,

67 2.8. REQUISITOS PARA O ELEMENTO AQUECEDOR 41 ǫ ρcm = 4D T t 0 er 2 Γ Γ. (2.59) O erro relativo em ρc m para os outros modelos pode ser calculado substituindo Γ pelos integrais da equação (2.47), ou da equação (2.52) ou da equação (2.56). 2.8 Requisitos para o Elemento Aquecedor Teoricamente, o impulso de calor deveria ser aplicado instantaneamente, ou seja, t 0 deveria ser infinitesimal. Na prática, a fonte de calor é constituída por uma resistência eléctrica que é percorrida por uma corrente durante um certo intervalo de tempo t 0. Assim, q h = ( Vh R h ) 2 R m t 0 (2.60) onde V h (V), R h (Ω) e R m (Ωm 1 ) são respectivamente a tensão aplicada, a resistência e a resistência por unidade de comprimento do elemento aquecedor. Um dispositivo deste tipo foi apresentado por Campbell [23]. Este tinha uma resistência de 38 Ω, sendo a resistência por unidade de comprimento do aquecedor de 1141 Ω m 1, à qual era aplicado um impulso de 10, 5 V durante 8 s, o que dava um valor nominal para q h de 700 J m 1. Este dispositivo tem um consumo elevado, para utilizações remotas, de cerca de 3W durante t 0 = 8 s. Um dos requisitos para o elemento aquecedor é a diminuição do consumo, tendo em vista uma utilização remota alimentada por uma pequena bateria, outro será a diminuição do tempo t 0 do impulso. Ambos os requisitos levarão à diminuição da quantidade de energia fornecida pelo impulso de calor. Como

68 42 CAPÍTULO 2. MÉTODO DO IMPULSO DE CALOR se pode observar na figura 2.1, a diminuição de q h fará com que a diferença entre a sobrelevação máxima de temperatura para um solo seco (θ s = 5 %) e a de um solo húmido (θ s = 40 %), T M5 T M40, diminua TM5 TM40 ( C) q h (J m 1 ) Figura 2.1 Diferença entre as temperaturas máximas obtidas, depois de aplicado um impulso, num solo seco (θ s = 5 %) e um solo saturado (θ s = 40 %) para diferentes valores de energia, q h. 2.9 Requisitos para o Sensor de Temperatura Do que foi dito, e como se pode também verificar na figura 2.2, à medida que o valor do impulso de energia diminui, as curvas da variação da temperatura também diminuem. Enquanto que para um dispositivo de Campbell [23] temos valores mínimos de T M (solo saturado, 40 %) de cerca de 0, 8 C, para q h = 5 J m 1 temos cerca de 0, 06 C. Considerando a equação (2.25) e resolvendo em ordem a T M temos, [ ] eπ r 2 1 T M = (1, 92f m + 2, 50f o + 4, 18θ s ). (2.61) q h

69 2.9. REQUISITOS PARA O SENSOR DE TEMPERATURA 43 (a) q h = 5Jm 1 (b) q h = 100 J m 1 Variação da Temperatura ( C) θs = 5% θs = 40 % θs = 5 % θs = 40 % (c) q h = 400 J m 1 (d) q h = 800 J m 1 Variação da Temperatura ( C) θs = 5% θs = 40 % θs = 5 % θs = 40 % Tempo (s) Tempo (s) Figura 2.2 Variação da temperatura num solo seco (θ s = 5 %) e húmido (θ s = 40 %) para diferentes valores de energia aplicada, q h, num dispositivo de Campbell. Determinando a derivada parcial de T M em função de θ s obtemos a sensibilidade da sobrelevação da temperatura com a variação do teor de água no solo T M θ s = 4, 18q h eπ r 2 (1, 92f m + 2, 50f m + 4, 18θ s ) 2. (2.62) Como se pode verificar na figura 2.3, a sensibilidade de T M aumenta à medida que mais energia é aplicada ao elemento aquecedor. Logo, para se obter uma diminuição na energia aplicada ao elemento aquecedor o sensor de temperatura tem de detectar variações muito pequenas. Por exemplo, para q h = 200 J m 1 a sensibilidade média para a gama de teor

70 44 CAPÍTULO 2. MÉTODO DO IMPULSO DE CALOR de água em solos agrícolas típicos (de 5 % a 40 %) é de 0, 5 C por unidade (m 3 m 3 ) de variação no teor de água no solo, ou seja, uma variação de 1 % em θ s causa uma variação de somente 0, 005 C em T M Sensibilidade Média ( Cm 3 m 3 ) q h (J m 1 ) Figura 2.3 Valores da sensibilidade média do sensor para diferentes valores de energia, q h

71 3 Modelação Física No Capítulo anterior verificou-se que, teoricamente, o método do impulso de calor pode ser aplicado à medição do teor de água no solo. No entanto, para a sua implementação terão de ser utilizados materiais e processos que poderão comprometer o funcionamento do sensor. Por exemplo, poderá existir um curto-circuito térmico entre o elemento sensor e o ponto da medição da temperatura, o que inviabilizaria o método. Assim sendo, será necessário fazer uma análise termo-eléctrica do sensor. Para elaborar esta análise, foi usada a modelação utilizando elementos finitos, através duma ferramenta de engenharia, o Femlab [35], que utiliza o Matlab [36] como suporte para os cálculos. 3.1 Equações Diferenciais Parciais Em muitas formulações de modelos matemáticos, as derivadas parciais são requeridas para representar quantidades físicas. Estas derivadas envolvem

72 46 CAPÍTULO 3. MODELAÇÃO FÍSICA sempre mais do que uma variável independente, geralmente as variáveis espaciais x,y,... e a variável tempo t. Estas formulações têm uma ou mais variáveis dependentes que são as funções desconhecidas das varáveis independentes. As equações resultantes são chamadas equações diferenciais parciais, que, em conjunto com as condições fronteira e/ou iniciais, representam os fenómenos físicos Notação e Definições A ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem da derivada mais elevada que aparece na equação. As derivadas parciais u x, u y, u xx, u xy e u yy vezes, referidas como, u x, u y, u xx, u xy e u yy respectivamente. são, por Os efeitos físicos são descritos por equações diferenciais parciais. Estas relacionam uma função desconhecida, u, de valores escalares, x = (x 1,,x n ) R n, com as suas derivadas u α = α u = ( 1 ) α1 ( n n )u = α α u x α 1 1 n αn (3.1) onde α = (α 1,,α n ), α = n k=1 α k e x R n, x α = x α 1 1 x αn n. As equações diferenciais podem ser, então, escritas na sua forma genérica como F(x 1,x 2,,x n,u, 1 u,, n u, 2 1u,, k nu) = 0 (3.2) sendo as suas derivadas parciais de ordem k. Referindo C(Ω) como o espaço das funções contínuas em Ω. Se Ω é um conjunto aberto e k é um número inteiro positivo, C k (Ω) denotará o espaço de funções que possuem derivadas contínuas até à ordem k em Ω e C k (Ω)

73 3.1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 47 denotará o espaço de todo o u C k (Ω) tal que α u se estende continuamente até ao fecho de Ω referido como Ω para todo o 0 α k. Definindo o operador diferencial, L, como L = a α (x) α (3.3) α k onde, a α são funções reais de variáveis reais em Ω R n, então podemos escrever qualquer equação diferencial parcial na forma Lu = f. Podemos então dizer que u é uma equação diferencial parcial linear se L for um operador linear, isto é, se L[c 1 u 1 + c 2 u 2 ] = c 1 L[u 1 ] + c 2 L[u 2 ]. Podemos também dizer que a equação é homogénea se f = 0 e não-homogénea nos outros casos. Mais genericamente, temos as equações quase-lineares que têm a forma a α (x, (α β u) β (k 1) ) α u = b(x, (α β u) β (k 1) ). (3.4) α k Os fenómenos termo-eléctricos presentes no sistema sensorial para a monitorização do teor de água no solo são todos descritos por equações diferenciais parciais de segunda ordem quasi-lineares da forma, n 2 a ij (x) u + f(x,u, u,, u ) = 0. (3.5) x i x j x 1 x n i,j=1 Como 2 u x i x j = 2 u x j x i, então no primeiro termo de (3.5) temos a ij = a ji e a matriz, n n, A = [a ij ] é simétrica tendo n auto-valores reais. Estes auto-valores são os zeros de um polinómio de grau n, det(a λi), onde I é a

74 48 CAPÍTULO 3. MODELAÇÃO FÍSICA matriz identidade n n. Se P for o número de auto-valores positivos e Z for a multiplicidade do auto-valor zero, então (3.5) é: Hiperbólica Se o valor de Z for zero e se o valor de P for um ou n 1; Parabólica Se o valor de Z for maior que zero, isto é, det(a) = 0; Elíptica Se o valor de Z for zero e se o valor de P for n ou zero; Ultra-Hiperbólica Se o valor de Z for zero e se o valor de P estiver entre um e n 1. A equação (3.5) tem soluções gerais de certas características que descrevem um número infinito de superfícies. Só através de uma especificação apropriada das condições fronteira é que uma superfície solução é definida. Em toda a fronteira Γ, que limita o domínio Ω devem ser especificadas condições fronteira. Estabelecendo o valor da função desconhecida numa parte Γ D da fronteira, esta resulta numa condição fronteira de Dirichlet u = a(x 1,,x n ) = a(x) em Γ D. (3.6) Estabelecendo a derivada parcial normal à superfície fronteira numa parte Γ N da fronteira define-se a condição fronteira de Neumann (n )u = b(x 1,,x n ) = b(x) em Γ N (3.7) onde n é o vector unitário normal à fronteira. Para uma fronteira de Neumann homogénea o valor de b é zero. Um tipo especial de fronteira Neumann é a fronteira flutuante onde o integral da derivada normal ao longo da fronteira

75 3.2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 49 é estabelecido. Simultaneamente, a sujeição a um valor de função constante necessita de ser satisfeita, Γ N (n )u dγ N = I sobre a sujeição de u = constante (3.8) onde I se refere a uma quantidade escalar. Quando a derivada normal estabelecida é uma função da própria variável estamos na presença da condição fronteira mista ou de Robin (n )u = f(x 1,,x n,u) em Γ M. (3.9) 3.2 Método dos Elementos Finitos As equações diferenciais podem ser resolvidas por métodos analíticos clássicos, na maioria dos casos complicados de resolver, ou por métodos numéricos, que utilizam o computador para executar os cálculos. O método usando elementos finitos (FEM Finite Element Method) é um método numérico para obter uma solução aproximada das equações diferenciais, que regem um determinado fenómeno físico, através da divisão da região em pequenas sub-regiões chamadas de elementos finitos. O processo de divisão é chamado de discretização Discretização Considerando um problema descrito em termos de uma equação diferencial parcial da forma,

76 50 CAPÍTULO 3. MODELAÇÃO FÍSICA Lu(x) = f(x), x Ω, (3.10) onde, L é o operador diferencial que descreve o comportamento físico do sistema, f é o termo fonte ou força e Ω é o domínio computacional no qual se procura a solução u. Além disso, um conjunto de condições fronteira é fornecido para u na fronteira Ω de modo a descrever a maneira como o sistema interage com o ambiente que o envolve. A maioria dos problemas da física e da engenharia são equações diferenciais de segunda ordem modelados pela equação de Poisson 2 u = f(x), x Ω, (3.11) que tem, como complemento, ou condições fronteira de Dirichlet onde a solução é estabelecida na fronteira u = a(x) para x Ω ou condições fronteira de Neumann onde a derivada da normal de u é especificada (n )u = b(x) para x Ω ou uma combinação das duas condições. O problema, como está colocado, envolve um número infinito de pontos x Ω que o tornam, de certa maneira, impraticável de manipular num computador. Assim, tem de ser discretizado e a forma mais óbvia de o fazer é discretizar o espaço. Isto é, pode-se, por exemplo, apresentar uma malha de pontos x i,j, como ilustra a figura 3.1, e representar a solução pelos seus valores nos pontos dessa malha u i,j. As equações diferenciais podem, também, ser discretizadas usando processos de diferenças finitas como, por exemplo, o operador de Laplace 2 numa malha quadrada,

77 3.2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 51 [ 2 u ] i,j 1 h 2 (u i+1,j + u i 1,j + u i,j+1 + u i,j 1 4u i,j ), (3.12) onde h é o espaçamento entre pontos da malha. Então, dever-se-á obter um conjunto de equações algébricas, a resolver, em ordem às incógnitas u i,j. i+1 i i-1 j-1 j j+1 j Figura 3.1 Método das diferenças Figura 3.2 Método dos elementos finitas. Uma malha mostrando um finitos. Divisão do domínio Ω numa ponto x i,j ( ) e os seu vizinhos ( ) malha de elementos finitos; mostra uma função linear por troços ϕ j (x) com suporte compacto No método de elementos finitos, a discretização toma um caminho diferente, no qual a solução é representada como uma combinação linear de funções base, ϕ l, definidas em todo o domínio Ω u(x) = l u l ϕ l (x). (3.13) A discretização é então apresentada pela escolha de somente um conjunto finito de funções base ϕ l, em vez de um conjunto completo e infinito.

78 52 CAPÍTULO 3. MODELAÇÃO FÍSICA A questão é agora saber que tipo de funções escolher para a base. Uma escolha bem conhecida é a expansão de Fourier usando ondas planas com a característica de serem infinitamente suaves e mutuamente ortogonais e que se estendem ao domínio inteiro. A figura 3.2 mostra a divisão do domínio numa malha de pequenos elementos triangulares em conjunto com uma função de aspecto piramidal com as seguintes propriedades: 1) é contínua, 2) é linear dentro de cada elemento, e 3) tem o valor de 1 em cada nó x j e é zero em todos os outros nós. Similarmente pode-se construir funções centradas em outros ponto da malha. Por construção, estas funções tipo chapéu têm um pequeno suporte, pois só são não-zero dentro dos elementos que imediatamente rodeiam o nó j. Do mesmo modo, pode-se construir funções centradas em outros elementos da malha. Soluções fracas Considerando o problema da equação (3.11), a maneira clássica de definir a solução é requerer que ela satisfaça a igualdade Lu(x) = f(x) para todo o x Ω e que cumpra as condições fronteira. Contudo, enquanto que para problemas de valor inicial, nas equações diferenciais ordinárias, a existência de uma solução clássica única é assegurada se o problema satisfizer as condições de Lipschitz, nos problemas de valor fronteira para equações diferenciais parciais não existem essas condições [37]. Mas, dependendo do operador L, é possível provar a existência de unicidade da solução fraca do problema, sendo este conceito referido seguidamente. Supondo que H é um espaço de funções de dimensões infinitas suficientemente rico para incluir no seu espaço fechado todas as funções que podem ser candidatas à solução de u. Para todo o v H define-se o resíduo, d(v) = Lv f e pode-se afirmar que w é uma solução fraca do problema (3.11), desde que o

79 3.2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 53 resíduo d(w) seja ortogonal a todo o espaço de funções, isto é, se v,d(u) = 0 para todo o v H. (3.14) Onde, representa o produto interno Euclidiano em H definido como f,g = f(x)g(x) dx para funções f,g H. O produto interno induz a Ω definição de norma f = f,f. Os elementos do espaço de funções H não são realmente funções mas sim classes de equivalência de funções. Se a norma da diferença entre duas funções, v 1 v 2 for zero, então elas dizem-se pertencer à mesma classe de equivalência e, assim, pertencer ao mesmo elemento de H. Por exemplo, as funções 1 para x = 0, v 1 (x) = 0 e v 2 (x) = 0 restantes (3.15) diferem somente num ponto singular, o que, não é suficiente para se obter uma diferença no integral na norma. O importante aqui, é não haver a preocupação de a equação não ser exactamente satisfeita, num conjunto reduzido de pontos em Ω. Necessita-se saber que funções incluir no espaço H, isto é, que tipo de funções considerar candidatas para a solução u. No caso de uma equação diferencial de segunda ordem, para que u seja uma solução clássica, deverá ser, pelo menos, uma função C 1, isto é, deverá ter pelo menos um declive contínuo pois, de outro modo, as segundas derivadas tornar-se-iam infinitas nas descontinuidades. Contudo, a definição de uma solução fraca w como, por exemplo o problema de Poisson (3.11) definido por v, 2 w f = 0, faz todo o sentido, mesmo que, v e w sejam somente funções C 0 contínuas e

80 54 CAPÍTULO 3. MODELAÇÃO FÍSICA diferenciáveis por troços, pois qualquer função delta, emergente da segunda derivada na descontinuidade da inclinação, é imediatamente absorvida pelo integral do produto interno. Formalmente pode-se expressar isto em termos de integração parcial, v 2 w dx = v(n ) ds v w dx (3.16) Ω Ω Ω Utilizando a notação f;g = f g dx pode-se escrever o último termo Ω como v; w e, de modo a que este integral de área exista, as funções v e w só necessitam de ser contínuas e diferenciáveis por troços. Então, se se expressar w como uma combinação linear de funções base tipo chapéu, como mostra a figura 3.2, a inclinação de w será mal definida em todos os lados dos triângulos da malha - mas, este facto não prejudica o integral de área, pois os lados do triângulo ofensivos não adicionam nada a uma região de área finita. Porém, afectam o integral de fronteira da equação (3.16), pois toda essa fronteira é feita de lados de triângulos, significando isso que o integrando (n )w é mal definido em Ω. A maneira de lidar com o integral de fronteira é invocando as condições fronteira. No caso de Neumman a solução deverá ter uma derivada normal específica, direccionada para fora, (n )u = b(x), atendendo a que o valor de u, na fronteira, ficou por determinar. Logo, naturalmente, substitui-se b por (n )w no integral fronteira, sobre a parte de Neumann, para impor a condição de Neumann. No caso de Dirichlet quer-se, de preferência, especificar a solução como u = a(x) na fronteira. Isto é imposto, ou por fixação de u l = u(x l ) = a(x l ) onde, x l, é um nó da malha na fronteira e, u l, é o coeficiente de expansão para as funções base, centradas em x l, assumindo a escolha de uma base como as funções chapéu, que interpolam os valores nodais.

81 3.2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 55 Ou, por outro lado, pode-se definir um sub-problema, na fronteira de Dirichlet, similar ao definido no interior de Ω v[u a(x)] ds = 0 (3.17) Ω a onde, Ω a, é a parte da fronteira com condições de Dirichlet e, v, pertence a um conjunto de funções base uni-dimensionais definidas em Ω a. Em qualquer dos casos deixa de se resolver o problema da equação (3.11) na fronteira de Dirichlet, o que é conseguido através da exclusão, no espaço H, de todas as funções v que sejam não-nulas em Ω a. No pacote de software comercial Femlab, a primeira estratégia é aplicada por defeito, embora a segunda também esteja disponível. O Método de Galerkin O método de Galerkin é um método de discretização com início na definição de soluções fracas. Começa-se pela escolha de um sub-espaço H h H acrescido de n funções linearmente independentes de H. 1 Depois, determinam-se os coeficientes de expansão, u l, da solução discreta u h = n l=1 u lϕ l onde ϕ l H h, tais que, o resíduo Lu h f seja ortogonal a H h ϕ k, Lu h f = 0, k = 1, 2,...,n. (3.18) Então, o sistema foi reduzido a um sistema de n equações, a resolver, para n incógnitas u l. Sendo o operador L linear também o será o sistema de equações 1 O índice h no espaço H h e a solução discreta u h H h refere-se ao tamanho típico dos elementos da malha usados para construir as funções base.

82 56 CAPÍTULO 3. MODELAÇÃO FÍSICA n ϕ k, Lϕ l u l = ϕ k,f, k = 1, 2,...,n, (3.19) l=1 ou em notação matricial, simplesmente, Ku = f (3.20) onde os elementos da matriz K, normalmente referida como matriz rigidez, são K kl = ϕ k, Lϕ l e os elementos da matriz f são f k = ϕ k,f. O teorema Lax-Milgram O teorema de Lax-Milgram é importante no método de elementos finitos, pois ele exprime a existência e unicidade da solução para uma grande classe de problemas de interesse. Antes de exprimir o teorema é necessário introduzir uma nova norma H m no espaço de funções H, além da já definida anteriormente em L 2. A nova norma é chamada norma de Sobolev e mede até uma certa ordem m as funções e as suas derivadas v H m = ( m k=0 ) k 2 1/2 v. (3.21) x k No caso de um operador diferencial de segunda ordem, que é do principal interesse deste trabalho, a norma de Sobolev é reduzida a v H 1 = ( v 2 + v 2) 1/2 = ( v,v + v; v ) 1/2. (3.22)

83 3.2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 57 Com esta definição pode-se ser mais explícito acerca das funções a incluir no espaço de funções H. Se se estiver a resolver um problema com um operador diferencial L que envolva a diferenciação até à ordem 2m, então para todo o v H devemos necessitar que v H m < de modo a que a definição da solução fraca em (3.14) faça sentido. O teorema de Max-Milgram requer que o operador L seja linear e também limitado Lv,w β v H w H e coercivo Lv,v κ v 2 H para quaisquer constantes β e κ. 2 É então enunciado que o problema v, Lw f = 0, para todo o v H, (3.23) terá uma solução única em H. Adicionalmente, o teorema de Céa enuncia que a solução u h que é obtida pela aplicação do método de Galerkin (3.18), com algum sub-espaço H h H, satisfaça u u h H β κ min v H h u v H, (3.24) isto é, a distância entre a verdadeira solução u e a solução discreta u h, não seja superior a um factor β/κ, da melhor aproximação a u que pode ser feita em H h. Este é um resultado importante pois ele reduz uma questão de análise do erro a uma simples questão de aproximação. Na próxima secção estende- -se a ideia de funções chapéu para construir as funções base que sirvam para aproximação. 2 Nem sempre é fácil provar se é coercivo e limitado. O operador 2 é limitado e coercivo nos principais domínios de interesse [37].

84 58 CAPÍTULO 3. MODELAÇÃO FÍSICA Elementos Finitos O dispositivo para construir o conjunto base no método de elementos finitos é a divisão do domínio Ω em domínios mais pequenos chamados elementos, como indicado na figura 3.2. Em duas dimensões a escolha mais óbvia são elementos triangulares ou quadrangulares. As funções base são escolhidas para serem polinomiais dentro de cada elemento e coincidirem nas fronteiras do elemento para assegurar continuidade e possibilitar uma suavidade de ordem mais elevada. A base é dita possuir uma exactidão p se dentro de cada elemento as funções base abrangem o espaço P p de polinómios de grau p nesse elemento. Também, a base é dita possuir suavidade q se as funções base globalmente pertencerem à classe de funções C q 1 (Ω), isto é, se forem q 1 vezes suavemente diferenciáveis em todo o domínio Ω. Então, as funções chapéu discutidas na secção 3.2.1, que se observou abrangerem o espaço das funções lineares contínuas por troços, são de exactidão p = 1 desde que dentro de cada elemento qualquer função linear possa ser interpolada enquanto as suas primeiras derivadas são descontínuas nas fronteiras do elemento. Deste modo as suas primeiras derivadas são somente funções C 0 em Ω e assim q = 1. Em duas dimensões o número máximo de termos num polinómio geral de grau p em x e y é de P 2 p = 1 (p + 1)(p + 2); este facto é mostrado na tabela 3.1 que 2 mostra os vários termos num polinómio de duas variáveis de grau crescente Formação da Malha A malha computacional representa uma abstracção da geometria de um dispositivo físico numa forma que pode ser manipulada por um programa de

85 3.2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 59 Tabela 3.1 Termos num polinómio de duas variáveis de grau total, p, desde zero a quatro. Em geral dim(p 2 p) está relacionada com p como dim(p 2 p) = 1 2 (p + 1)(p + 2) Termos num polinómio de duas varáveis dim(p 2 p) 1 1 x y 3 x 2 xy y 2 6 x 3 x 2 y xy 2 y 3 10 x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4 15 computador. O processo de formação da malha constitui uma parte significativa (e muitas vezes decisiva) do investimento de tempo para uma tarefa de simulação. Uma maneira eficiente de traduzir uma geometria numa malha computacional é, assim, obrigatória para uma simulação eficaz. O FemLab é baseado em elementos que podem ser refinados durante o processo da procura de uma solução. A malha de elementos reflecte a geometria do dispositivo, os materiais, as condições fronteira e também determina a divisão inicial dos elementos finitos. O FemLab usa um método automático baseado na triangulação de Delaunay [35]. A malha é depois manualmente refinada de modo a preservar a proporção dos elementos, mas permitindo uma boa exactidão sobretudo nas fronteiras com elementos de diferentes propriedades. Contudo, o número total de elementos deve ser minimizado de modo a atenuar o esforço computacional.

86 60 CAPÍTULO 3. MODELAÇÃO FÍSICA Triangulação de Delaunay Em duas dimensões, uma triangulação de um conjunto de vértices V é um conjunto de triângulos T se os seus vértices em conjunto sejam V, se os seus interiores não se interceptam e cuja união é uma carcaça convexa de V se todo o triângulo intercepta V somente nos vértices. A triangulação de Delaunay D de V apresentada por Delaunay [38] em 1934, é um gráfico definido como: qualquer círculo no plano é considerado vazio se não incluir nenhum vértice de V (são permitidos vértices no círculo); sejam u e v dois quaisquer vértices de V, um circum-círculo (círculo circunscrito) da aresta uv é qualquer círculo que passe por u e v; qualquer aresta tem um número infinito de circum-círculos; uma aresta uv pertence a D se, e só se, existir um circum-círculo aberto de uv; uma aresta que satisfaça esta propriedade é chamada de Delaunay. A figura 3.3 ilustra esta triangulação. Figura 3.3 Uma triangulação de Delaunay. Como definido acima, a triangulação de Delaunay de um conjunto de vértices é claramente única, porque a definição especifica um teste inequívoco para a presença ou ausência de uma aresta na triangulação. Qualquer aresta

87 3.2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 61 que se situe na fronteira da carcaça convexa de um conjunto de vértices e não tenha vértices no seu interior é Delaunay. A figura 3.4 ilustra porquê. Para qualquer aresta da carcaça convexa a é sempre possível encontrar um circum-círculo de a vazio começando com o mais pequeno circum-círculo de a e fazendo-o crescer para fora da triangulação. Figura 3.4 Cada aresta da carcaça convexa é Delaunay, porque é sempre possível encontrar um círculo vazio que passa através dos seus extremos. Um processo de implementação começa com uma triangulação arbitrária de V e procura por uma aresta que não seja localmente Delaunay. Todas as arestas na fronteira (carcaça convexa) da triangulação são consideradas localmente Delaunay. Para qualquer aresta a, não na fronteira, a condição para ser localmente Delaunay é similar à condição de ser Delaunay mas somente os dois triângulos que contêm a são considerados. Por exemplo, a figura 3.5 mostra duas maneiras diferentes de triangular um conjunto de quatro vértices. Na triangulação à esquerda, a aresta a, é localmente Delaunay, pois o circum-círculo de a apresentado não inclui nenhum dos vértices opostos a a dos triângulos que contêm a. Na triangulação à direita, a não é localmente Delaunay, porque os dois vértices opostos a a excluem a possibilidade de a ter um circum-círculo vazio. Sempre que for identificada uma aresta que não seja localmente Delaunay

88 62 CAPÍTULO 3. MODELAÇÃO FÍSICA Figura 3.5 Duas triangulações de um conjunto de vértices. À esquerda a é localmente Delaunay; à direita não. essa aresta é rodada. Rodar uma aresta é apagá-la e desse modo combinar os dois triângulos num só quadrilátero e depois inserir a outra aresta que atravessa esse quadrilátero. Assim, o rodar de uma aresta converte a triangulação da direita da figura 3.5 na triangulação da esquerda e vice-versa. A triangulação de Delaunay de um conjunto de vértices V em R n, para n 2, é um generalização directa da triangulação Delaunay para duas dimensões. A triangulação de V é um conjunto T de n símplices (por exemplo, tetraedros e três dimensões) cujos vértices são colectivamente V, cujos interiores não interceptam uns com os outros e cuja união é a carcaça convexa de V se cada n símplices intercepta V somente nos seus vértices. Seja s um k simplex (para qualquer k) cujos vértices estão em V. Seja S uma esfera (em todas as dimensões) em R n ; S é uma cricum-esfera de s se S passar por todos os vértices de s. Se k = n, então s tem uma circum- -esfera única; caso contrário, s tem infinitamente muitas esferas. O simplex s é Delaunay se existir uma circum-esfera vazia de s. O simplex s é fortemente Delaunay se existir uma circum-esfera S de s tal que nenhum vértice de V se encontre dentro ou sobre S, excepto os vértices de s. Todo o 0 simplex (vértice) de V é, trivialmente, fortemente Delaunay. A figura 3.6 ilustra uma tetraedralização Delaunay.

89 3.2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 63 Figura 3.6 Uma tetraedralização de Delaunay O Modelo O problema pode ser dividido em várias partes: as equações que governam os mecanismos físicos envolvidos; a geometria que define o domínio e/ou os sub- -domínios que representam as diversas partes/materiais que formam o sistema em estudo; as condições fronteira que definem o que se passa na fronteira do sub-domínio e/ou sistema e os valores iniciais das equações diferenciais. As Equações A transferência de calor é governada pela segunda lei da condução de calor, ρc T t (κ T) = Q (3.25) onde ρ é a densidade, C (J K 1 ) é a capacidade calorífica e κ (W m 2 K 1 ) a condutividade térmica. Q é a fonte de calor que descreve as fontes externas. As condições fronteira de Neumann são,

90 64 CAPÍTULO 3. MODELAÇÃO FÍSICA { n (κ T) = q + h(tinf T) + C const (T 4 amb T 4 ) n (κ T) = 0 (3.26) A primeira equação especifica o fluxo de calor para o exterior onde o primeiro termo representa a condução, e q (W m 2 ), é o fluxo de calor; o segundo termo é conhecido como a lei de Newton do arrefecimento ou convexão, e h (W m 2 K 1 ) é o coeficiente de transferência de calor e T inf (K) é a temperatura externa; e o último termo representa a radiação onde C const é uma constante dependente da absorção ou emissividade da superfície e T amb (K)é a temperatura ambiente. A segunda equação é equivalente a uma condição fronteira de simetria ou de isolamento. Em ambas as equações, T, representa a temperatura na fronteira, ou seja, na superfície. As outras condições são as de Dirichlet que especificam a temperatura na fronteira T = T 0 e são usadas para descrever, aproximadamente, uma fronteira com um elevado coeficiente de transferência de calor, T = 0. O outro processo físico interveniente é o da condução eléctrica que origina uma densidade de corrente e um aquecimento por efeito de Joule. Neste processo a densidade de corrente J está relacionada com o campo eléctrico, E, por J = σe, onde σ é a condutividade eléctrica. Pode também existir uma corrente externa, J 0, de modo que a densidade de corrente total, J tot, é dada por, J tot = J + J 0 = σe + J 0. (3.27) Combinado com a equação da continuidade J tot = 0 e com a definição do potencial eléctrico E = V, obtemos a equação

91 3.2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 65 (σ V ) = I ext (3.28) onde I ext (A) é a fonte de corrente externa definida por J 0. As condições fronteira são formadas pela condição de Neumann, n J = 0 que é equivalente a uma fronteira isolada ou condição de simetria, e pela condição de Dirichlet, V = V 0, que atribui um potencial eléctrico à fronteira. Em muitos casos, a condutividade eléctrica é uma função da temperatura dada por, σ = 1 ρ 0 (1 α(t T 0 )) (3.29) onde ρ 0 (Ω m) é a resistividade à temperatura ambiente (diferente de ρ-densidade), α é coeficiente de temperatura da resistência e T 0 (K) é a temperatura ambiente. A Geometria O modelo utilizado, ilustrado na figura 3.7, é composto por dois elementos, um aquecedor e outro contendo o sensor de temperatura, elaborados a partir de duas agulhas hipodérmicas de aço inoxidável (304 SS). O interface electrónico está alojado no encapsulamento de epóxi de baixa condutividade térmica e eléctrica. Os valores dessas propriedades estão listados na Tabela 3.2 e os valores utilizados para os coeficientes das equações diferenciais usadas na simulação são apresentados na tabela 3.3. Adoptou-se a malha gerada pelo Femlab, apresentada na figura 3.8 que

92 66 CAPÍTULO 3. MODELAÇÃO FÍSICA Aço Aço e NiChrome 1 Aquecedor Solo T inf=293k h=10 Wm K Figura 3.7 Modelo utilizado utiliza elementos triangulares (tetraedros em 3D), funções base lineares e baseia- -se no algoritmo de Delaunay: 1. Envolver a geometria por uma caixa delimitadora. 2. Colocar vértices de malha na fronteira. 3. Executar uma triangulação de Delaunay entre os vértices de malha da fronteira e os vértices da caixa. 4. Inserir vértices de malha nos centros de círculos circunscritos nos elementos maiores e actualizar a triangulação de Delaunay. 5. Verificar se a triangulação de Delaunay respeitou as fronteiras. Reforçar as fronteiras respeitadas. 6. Remover a caixa delimitadora. 7. Melhorar a qualidade da malha. A estrutura de dados da malha consiste numa matriz dos pontos da malha p, numa matriz de triângulos t e numa matriz de fronteiras e.

93 3.3. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES E CONCLUSÕES 67 Figura 3.8 Malha baseada em tetraedros produzida pelo Femlab usando o algoritmo de Delaunay As Condições Fronteira e Valores Iniciais As condições fronteira são apresentadas na Tabela 3.4. Os valores numéricos apresentados no item Fronteira correspondem às fronteiras enumeradas na Figura 3.7. Os valores iniciais foram de V (t 0 ) = 0 V e T(t 0 ) = T 0 = 293 K. 3.3 Resultados das Simulações e Conclusões Na figura 3.9 estão representados os resultados das simulações, eléctrica e térmica. Da figura 3.9(b) pode concluir-se que não existe curto-circuito térmico para a distância entre agulhas utilizada (6 mm). Porém, convém notar, que o circuito de interface deve ser colocado junto à agulha que contém o sensor de temperatura, pois ainda existe uma ligeira sobrelevação de temperatura junto ao elemento aquecedor.

94 68 CAPÍTULO 3. MODELAÇÃO FÍSICA Para o impulso de calor aplicado (q h = 500 J m 1 ) a sobrelevação de temperatura é de cerca de 40 C (Figura 3.10) o que não irá produzir evaporação das gotículas de água existentes nos poros do solo e, por conseguinte, não influenciará o parâmetro a medir (teor de água no solo). Pela análise teórica e através das simulações efectuadas, pode-se concluir que o método do impulso de calor é um método aplicável à medição do teor de água no solo. Tabela 3.2 Propriedades físicas dos materiais utilizados Item Valor Unidades Agulha - Aquecedor Coeficiente Térmico da Resistência Resistividade a 293 K 5, 85 Ω m Densidade 7750 kg m 3 Condutividade Térmica 45 W m 1 C 1 Calor Específico 460 J kg 1 C 1 Agulha - Sensor de Temperatura Densidade 7750 kg m 3 Condutividade Térmica 45 W m 1 C 1 Calor Específico 460 J kg 1 C 1 Bloco Epóxi Densidade 1 kg m 3 Condutividade Térmica 0, 2 W m 1 C 1 Calor Específico 1050 J kg 1 C 1

95 3.3. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES E CONCLUSÕES 69 Tabela 3.3 Valores utilizados para os coeficientes das equações diferenciais Subdomínios Agulha Aquecedor Agulha Sensor Temperatura Epóxi σ 1 ρ 0 (1+α(T T 0 )) ρ C κ 16, 3 16, 3 0, 2 Q σ(v 2 x + V 2 y + V 2 z ) 0 0 Tabela 3.4 Condições fronteira utilizadas Fronteira Todas Todas Excepto 1,2 1 2 Tipo Fluxo de Calor Isolamento Potencial Potencial Eléctrico Eléctrico Eléctrico h 10 T inf 293 V 0 5 J 0 0 5

96 70 CAPÍTULO 3. MODELAÇÃO FÍSICA (V) (a) Distribuição da tensão eléctrica (K) (b) Distribuição da temperatura (c) Fluxo de calor Figura 3.9 Resultados das simulações: (a) eléctrica; (b) e (c) térmica Temperatura (K) tempo (s) Figura 3.10 Variação da temperatura ao longo do tempo na superfície do elemento aquecedor. Entre 0 s e t 0 = 8 s foi aplicado um impulso de calor de 500 J m 1

97 4 Microssensor de Temperatura em Tecnologia CMOS Claramente, o componente mais crítico do sistema de medição do teor de água no solo é o sensor de temperatura, pois este define a máxima resolução possível de alcançar. Outro dos requisitos para o sensor de temperatura é o seu tamanho, este tem de caber dentro da cavidade de uma agulha hipodérmica n o 18 (0, 864 mm de diâmetro interior). Também, não sendo uma obrigação, a possível integração da electrónica de interface próximo do sensor de temperatura irá diminuir o ruído e, assim, melhorar a resolução do sistema. Neste contexto, o sensor pode basear-se em três tipos de princípios físicos: resistência variável com a temperatura, geração de uma força electromotriz, dependente da temperatura, quando se juntam dois metais diferentes e dependência da tensão com a temperatura em uma junção p-n.

98 72 CAPÍTULO 4. MICROSSENSOR DE TEMPERATURA EM TECNOLOGIA CMOS Termístor os termístores são sensores de temperatura, geralmente feitos de óxidos semicondutores, que exibem grandes e bem caracterizados coeficientes térmicos da resistência (usualmente negativos, daí a designação Negative Temperature Coefficient NTC). Os materiais típicos são misturas aglomeradas de óxidos de metal, entre outros. Os óxidos de metal são misturados em proporções próprias de modo a obter a desejada curva de transferência R versus T [43]. Na generalidade, os sinais obtidos dos termístores são da ordem dos a ppmk 1 o que aumenta a relação sinal ruído e minimiza o efeito da variação da resistência térmica ao longo dos fios de ligação. A resistência de um termístor pode ser aproximada usando a equação de Steinhart-Hart [44] que é representada em relação a T, T = 1 a 0 + a 1 ln(r T ) + a 2 [ln(r T )] 3 (4.1) onde T (K) é a temperatura, R T é a resistência do termístor à temperatura T e a 0, a 1 e a 2 são constantes de calibração determinadas para um dado sensor. Quando se utiliza um termístor para medir temperaturas há a necessidade de excitá-lo com uma corrente. Assim, haverá sempre a possibilidade de que a potência dissipada no sensor produza calor e afecte as medições. Este efeito conhecido como auto-aquecimento deverá ser evitado através da limitação da dissipação interna do sensor. Mas, à medida que a corrente de excitação é reduzida, o ruído térmico ou restrições de circuito, começam a limitar a relação sinal ruído. Deve também ser referenciado que o auto-aquecimento num material de

99 73 coeficiente de temperatura negativo poderá levar a uma instabilidade térmica, ou até à destruição do sensor, por excesso de dissipação de potência através de realimentação positiva. Termopar o termopar é provavelmente o sensor de temperatura mais comum porque é económico, fidedigno, substituível e cobre uma maior gama de temperaturas comparativamente aos outros tipos de sensores (excepto os métodos de medição à distância, como a pirometria óptica). O conceito baseia-se na formação de uma junção entre dois metais diferentes e na medição da tensão, dependente da temperatura, que surge entre os terminais da junção. Os termopares típicos têm sinais de saída na ordem de 50µV C 1 e alguns podem abranger gamas de temperatura de -270 a C com uma exactidão (calibrada) na ordem de 0,5 a 2 C (ex. os termopares do tipo K) [45]. Nos termopares existem junções parasitas indesejadas formadas pelo simples acto de fazer ligações eléctricas com um dispositivo (como as junções formadas por ligações solda fio e/ou fio terminais de ligação). Por exemplo, a junção solda cobre produz um termopar com um sinal de 3µV C 1 o que pode ser considerado significante comparado com o sinal de saída de 50µV C 1, da junção do termopar desejada. Estas junções parasitas estão em série com a(s) junção(ões) pretendida(s) e poderá causar problemas. Uma maneira de compensar estes efeitos indesejados consiste em colocar deliberadamente uma segunda junção (junção de referência ou fria) à mesma temperatura das junções parasitas e em série com a junção desejada de modo a que as tensões parasitas sejam subtraídas à tensão gerada na junção inicial. Junção p n a dependência da temperatura da característica I V de uma

100 74 CAPÍTULO 4. MICROSSENSOR DE TEMPERATURA EM TECNOLOGIA CMOS junção p n tem um vasto número de utilizações em medições de temperatura, não extremas, no dia a dia. Depois de calibradas as junções p n são de excelente exactidão e têm uma boa estabilidade a longo termo na gama de 10 a 40 C [46]. Resoluções na ordem dos 3 m C numa gama de temperaturas dos 30 a 50 C são referenciadas por Szajda et. al. [47]. A par com o seu reduzido tamanho, está a possibilidade de integração da electrónica de interface e de medida, bem como até o armazenamento e transmissão dos valores obtidos. Estes factores estiveram na base da escolha deste método para a realização do sensor de temperatura necessário ao sistema de medição do teor de água no solo. 4.1 O Microssensor de Temperatura O sensor de temperatura usado no sistema de medição do teor de água no solo é baseado em díodos de junção p n, pois estes são os dispositivos mais sensíveis à temperatura, que podem ser facilmente implementados no processo CMOS standard. São também de operação mais fácil e de consumo reduzido, minimizando assim o auto-aquecimento do sensor [48] Princípio de Funcionamento O comportamento da temperatura de uma junção p n polarizada directamente [49], pode ser derivado da equação da corrente no díodo para uma dada tensão aplicada (equação de Shockley), I D = I S [e ( ) qvd ηkt ] 1 (4.2)

101 4.1. O MICROSSENSOR DE TEMPERATURA 75 onde, q = 1, C, é a carga do electrão, V D (V) é a tensão aplicada à junção, η é um factor de idealidade ( 1 para díodos integrados), k = 1, J K 1 é a constante de Boltzman, T (K) é a temperatura e I S é a corrente de saturação inversa (proporcional à área do díodo e ao perfil de dopagem) e é dada por, ( Dn n 2 i I S = qa + D ) p n 2 i L n N a L p N d (4.3) onde os coeficientes de difusão (m 2 s 1 ), D n = k T q µ n e D p = k T q µ p (4.4) são proporcionais a T 1/2, os comprimentos de difusão (m), L n D n τ n e L p D p τ p são proporcionais a T 1/4 e a densidade de portadores intrínsecos, n i, é a maior fonte de dependência da temperatura de I S, n 2 i = N c N v e Eg kt (4.5) onde N c (m 3 ) é a densidade efectiva de estados na banda de condução, N v (m 3 ) é a densidade efectiva de estados na banda de valência e o produto N c N v é proporcional a T 3. Relativamente a uma temperatura T 0, a dependência com a temperatura de n i pode ser vista como n 2 i = n 2 i0 ( T T 0 ) 3 e Eg(T) kt e Eg(T 0 ) kt 0. (4.6)

102 76 CAPÍTULO 4. MICROSSENSOR DE TEMPERATURA EM TECNOLOGIA CMOS Do mesmo modo podemos escrever uma expressão de I S relativa a I S (T 0 ), ( ) 3 T I S = I S (T 0 ) e Eg(T) kt e Eg(T 0 ) kt 0 (4.7) T 0 Resolvendo em ordem a V D temos V D = kt q ln [ I D I S (T 0 ) ( T T 0 ) ] 3 e Eg(T) kt e Eg(T 0 ) kt 0 (4.8) que pode ser re-arranjado de modo a mostrar as contribuições de cada termo dependente da temperatura V D = kt ( ) q ln ID 3kT ( ) T I S (T 0 ) q ln + E g(t) T 0 kt E ( ) g(t 0 ) T. (4.9) kt 0 T 0 Diferenciando em ordem a T de modo a determinar a contribuição de cada termo vem V D T = V D0 T 0 3k q + E g(t) q T 0 E g(t 0 ) q T 0. (4.10) 4.2 Circuitos para o Sensor de Temperatura O método mais simples de obter um sensor de temperatura de uma junção p n é através da utilização de uma fonte de corrente que atravessará a junção, como ilustrado na figura 4.1. As relações entre a tensão do díodo e a temperatura, expressas anteriormente, são para este caso onde a fonte de corrente

103 4.2. CIRCUITOS PARA O SENSOR DE TEMPERATURA 77 de excitação tem uma dependência da temperatura conhecida. Do ponto de vista prático, existem dois grandes problemas na utilização desta abordagem. Primeiro, existe uma dificuldade em obter a relação inversa, nomeadamente a temperatura como uma função da medida de tensão no díodo. Este problema advém do facto de que, devido ao termo kt ln( I D q I S (T 0 ), da equação (4.9), ) a tensão de saída é bastante não-linear, o que, complica o processamento de sinal, bem como, o processo de calibração do sensor. Como segundo problema, a tensão de polarização é elevada. Variações de 2 mv C 1 são mais difíceis de detectar quando estão sobrepostas numa tensão nominal de polarização da ordem de 0, 7 V. Figura 4.1 Circuito simples para a medição da temperatura usando uma junção p n Diferencial Ambos os problemas, descritos anteriormente, podem ser evitados pela utilização de dois díodos numa configuração diferencial como mostrado, de um modo simplificado, na figura 4.2. Neste caso, a tensão de saída é dada por

104 78 CAPÍTULO 4. MICROSSENSOR DE TEMPERATURA EM TECNOLOGIA CMOS v 0 = V D1 V D2 = kt ( ) q ln ID1 kt ( ) I S1 (T 0 ) q ln ID2 I S2 (T 0 ) = kt ( ) q ln ID1 I S2 (T 0 ) I D2IS1 (T 0 ) (4.11) onde é assumido que o comportamento da temperatura das fontes de corrente é o mesmo, assim como o comportamento térmico da corrente de saturação inversa. A relação entre a tensão de saída e a temperatura é, assim, linear. Resolvendo em ordem a T, dá explicitamente T = q k v 0 ln( I D1I S2 (T 0 ) I D2IS1 (T 0 ) ) I S 1(T 0 )=I S 2(T 0 ) T = q k v 0 ln( I 1 I 2 ). (4.12) A correspondente sensibilidade à temperatura é, assim, v 0 T = k q ln ( I1 I 2 ). (4.13) É importante notar que, também, as tensões de polarização dos dois díodos se cancelam quando se toma a diferença. O resultado final é que ambos os problemas levantados anteriormente são evitados usando a diferença entre as tensões dos díodos para medição da temperatura.

105 4.2. CIRCUITOS PARA O SENSOR DE TEMPERATURA 79 Figura 4.2 Circuito diferencial. Contudo, existem agora duas novas fontes primárias de erro. A primeira é causada pelo desemparelhamento da área dos dois díodos. Apesar de minimizado por técnicas de desenho este problema é inevitável devido a variações aleatórias no processo de fabrico. Isto causa um erro de ganho e de desvio (offset), mas a natureza linear da medição é preservada. Como resultado, este erro pode ser quantificado e eliminado através da utilização de dois pontos de calibração. O segundo erro é causado pelo desemparelhamento das fontes de corrente e dos seus coeficientes de temperatura. Este problema é mais difícil de resolver pois a natureza do problema depende da implementação Comutado Um processo de evitar os erros de desemparelhamento, referenciados anteriormente, consiste em utilizar o mesmo díodo e a mesma fonte de corrente para ambas as metades do circuito diferencial. Este método, ilustrado na figura 4.3, elimina o efeito do desemparelhamento entre os díodos e também entre as fontes de corrente. A fonte de corrente é modelada por uma onda quadrada de modo a se obter duas tensões no díodo que podem ser subtraídas, uma da outra, pelo processo que a seguir se descreve. Quando a saída da fonte de corrente tem o valor I 1, a tensão no díodo, v D1, é amostrada e armazenada.

106 80 CAPÍTULO 4. MICROSSENSOR DE TEMPERATURA EM TECNOLOGIA CMOS A fonte de corrente é depois alterada para I 2 e a tensão é também amostrada e depois subtraída a v D1. Como a fonte de corrente é a mesma, logo com o mesmo coeficiente de temperatura, e existe somente um díodo, a medição é, assim, independente da fonte de corrente e do díodo. Mas o esquema para eliminar o erro de desemparelhamento é feito à custa de outros parâmetros do desempenho. Principalmente, a natureza totalmente diferencial do circuito é perdida. Como consequência, o ruído da fonte de alimentação tem uma ligação directa para o sinal medido, ao contrário do caso diferencial onde esse ruído aparece como um sinal em modo comum e é rejeitado. Este facto é verdadeiro, não somente para o sensor, mas também para o amplificador um amplificador de saída única tem um maior ruído de alimentação do que um amplificador totalmente diferencial. Consequentemente, a melhor escolha é um sensor de temperatura que combine a natureza de independência do díodo do esquema de modulação com onda quadrada com a natureza totalmente diferencial do esquema anterior. Figura 4.3 Circuito comutado Pulsado Chopped A técnica ilustrada na figura 4.4 é um circuito conversor de temperatura proporcional para temperatura absoluta (proportional to absolute temperature, ou

107 4.2. CIRCUITOS PARA O SENSOR DE TEMPERATURA 81 PTAT 1 ) que utiliza a técnica do pulsador (chopper) usada para adquirir sinais [47]. Em vez de pulsar um sinal simples, a onda pulsada é na realidade composta por dois sinais um do primeiro díodo e outro do segundo. Cada díodo configura-se como pertencendo a um esquema de independência, onde o sinal de interesse é gerado por modulação da corrente através de um só díodo. Neste caso, a onda quadrada da corrente usada para excitar os díodos é a mesma, mas desfasada 180 o. A tensão diferencial resultante é então um sinal de temperatura pulsado. Neste caso, contudo, os sinais de cada díodo são independentes um do outro não havendo assim erro devido ao desemparelhamento. Como as duas fontes de corrente são usadas para excitar os dois díodos, o erro devido ao desemparelhamento da fonte de corrente será também eliminado. Figura 4.4 Circuito pulsado. Pulsar estes sinais não só torna a medição independente dos dispositivos como também elimina os efeitos da tensão residual (offset) do amplificador de instrumentação. Esta técnica também reduz os requisitos de ruído do amplificador pois o sinal de interesse é modulado no domínio das frequências para frequências onde o ruído, 1/f é reduzido. Estes efeitos podem ser melhor observados através de um tratamento matemático do problema. 1 Utilizar-se-à a sigla inglesa pois esta é bastante referenciada na literatura.

108 82 CAPÍTULO 4. MICROSSENSOR DE TEMPERATURA EM TECNOLOGIA CMOS O sinal de tensão de onda quadrada desenvolvido nos terminais do díodo (D 1 ) é, ao longo de um período v 1 (t) = kt(t) q ln( I 1 I S1 ) T 4 t T 4 kt(t) q ln( I 2 I S1 ) t < T 4,t > T 4 (4.14) onde I 1 e I 2 são as duas correntes usadas para modular a tensão no díodo, I S1 é a corrente de saturação inversa e T é o período da onda quadrada. A tensão através de D 2 é, analogamente, v 2 (t) = kt(t) q ln( I 2 I S2 ) T 4 t T 4 kt(t) q ln( I 1 I S2 ) t < T 4,t > T 4 (4.15) A transformada de Fourier de v 1 é facilmente derivada a partir da transformada de uma onda quadrada, tendo em conta a componente DC e a escala de amplitude. Assim, V 1 (f) = kt(f) q 1 2 ln(i 1I 2 I 2 S1 ) + ln( I 1 I 2 ) n= n ímpar ( 1) n 1 2 nπ δ(f n T ) (4.16) A transformada de v 2 é, similarmente, V 2 (f) = kt(f) q 1 2 ln(i 1I 2 I 2 S2 ) + ln( I 2 I 1 ) n= n ímpar ( 1) n 1 2 nπ δ(f n T ) (4.17)

109 4.2. CIRCUITOS PARA O SENSOR DE TEMPERATURA 83 A transformada da saída diferencial é a diferença entre as transformadas V 1 (f) e V 2 (f) V 0 (f) = kt(f) q ln( I S2 I S1 ) + 2 ln( I 1 I 2 ) n= n ímpar ( 1) n 1 2 nπ δ(f n T ) (4.18) Estas funções são mostradas nas figura 4.5: a figura 4.5(a) mostra um espectro arbitrário da temperatura kt(f)/q. 2 A modulação do sinal de temperatura em cada um dos díodos resulta no espectro V 1 (f) e V 2 (f) como ilustram as figuras 4.5(b) e 4.5(c) respectivamente. Este espectro resulta da convolução da onda quadrada modulante com o espectro da temperatura. O espectro do sinal de saída é, simplesmente, a diferença entre V 1 (f) e V 2 (f) como mostra a figura 4.5(d). O sinal de interesse, o da temperatura, é deslocado pela modulação para a fundamental e para os harmónicos ímpares da onda quadrada. Existe um factor de escala associado a cada um dos harmónicos, contudo, é importante notar que as correntes de saturação dos dois díodos não influenciam os factores de escala, elas só aparecem no termo DC. É também de referir, que as correntes de saturação não se anulam uma à outra, antes, elas são anuladas nas componentes da onda quadrada. Por outras palavras, a corrente de saturação I S1 anula-se a ela própria (como se pode observar em (4.16)), e similarmente, a corrente de saturação I S2 também se cancela em (4.17). Concluindo, todas as características desejadas se mantêm: a independência da fonte, o sinal totalmente diferencial, a saída linear e a modulação pulsada. 2 Embora numa escala microscópica o espectro da temperatura é na realidade de banda larga, para esta análise o sinal de temperatura é macroscópico (média), que varia muito mais lentamente em consequência de se fazer a média espacial. Como resultado, a maior quantidade de energia no espectro estará contida nas frequências mais baixas e as componentes de banda mais larga são desprezáveis.

110 84 CAPÍTULO 4. MICROSSENSOR DE TEMPERATURA EM TECNOLOGIA CMOS kt(f) q p f (a) V 1 (f) ( ) p π ln I1 I2 ( p 2 ln I 1 I 2 I 2 S1 ) ( ) p π ln I1 I2 3/π 1/π 1/π ( ) p 3π ln I1 I2 (b) 3/π f ( ) p 3π ln I1 I2 V 2 (f) ( ) p π ln I2 I1 ( p 2 ln I 1 I 2 I 2 S2 ) ( ) p π ln I2 I1 3/π 1/π 1/π ( ) p (c) 3π ln I2 I1 3/π f ( ) p 3π ln I2 I1 V 0 (f) ( ) 2p π ln I1 I2 ( ) pln IS2 I S1 ( ) 2p π ln I1 I2 3/π 1/π 1/π ( ) 2p (d) 3π ln I1 I2 3/π f ( ) 2p 3π ln I1 I2 Figura 4.5 Espectro do sinal do PTAT cortado. 4.3 Sensor de Elevada Resolução A figura 4.6 mostra um esquema ilustrativo do sensor de temperatura de elevada resolução com pré-amplificação. Um dos requisitos de maior importância

111 4.3. SENSOR DE ELEVADA RESOLUÇÃO 85 na escolha das técnicas de circuitos usados, foi a redução do ruído (tanto térmico como 1/f) para que o sensor de temperatura tivesse uma elevada resolução. Para isso, utilizaram-se técnicas de desemparelhamento dinâmico de elementos tanto na parte do sensor como da pré-amplificação e nesta última usaram-se, também, condensadores comutados com dupla amostragem correlacionada. Figura 4.6 Esquema do sensor de temperatura integrado Emparelhamento Dinâmico de Elementos Uma vez gerados os sinais básicos (sinal de temperatura) com alguma precisão e estabilidade, dever-se-á ter em conta a manutenção do desempenho durante o posterior processamento desses sinais. Nesta secção será mostrado que a aplicação de processamento dinâmico de tensão, através do emparelhamento dinâmico de elementos e amplificação dinâmica, irá possibilitar obter um desempenho elevado. Usando estas técnicas, mesmo sem afinação ou ajustamentos e mesmo quando se usam componentes de baixo custo e imprecisos, um factor de amplificação de elevada precisão é obtido. Uma característica das técnicas de processamento dinâmicas é que a configuração do circuito varia ao longo dos estados num ciclo de medição. Para cada estado é efectuada uma

112 86 CAPÍTULO 4. MICROSSENSOR DE TEMPERATURA EM TECNOLOGIA CMOS sub-medição e os resultados são armazenados numa memória analógica ou digital. Os resultados das sub-medições são processados num microcontrolador de modo a que num ciclo completo seja efectuada uma média do sinal, ou outro tipo de filtragem. A aplicação destes técnicas serão discutidas para a geração da tensão PTAT e, na próxima secção, na amplificação do sinal. A figura 4.7 ilustra o processo do emparelhamento dinâmico de elementos [50]. Os transístores M 1 M 16 representam dezasseis espelhos de corrente da fonte I REF. Um destes transístores fornece corrente ao díodo D 1 enquanto os outros quinze fornecem corrente ao díodo D 2. Assim, a corrente através de D 2, I D2, é quinze vezes superior à corrente que atravessa D 1, I D1. A diferença de tensão entre v D1 e v D2 representa a tensão PTAT. Esta tensão é processada e convertida para um sinal digital. Depois, os interruptores S 1 S 16 são controlados por um controlador digital de modo a que as posições de M 1 M 16 sejam ciclicamente mudadas e o processo de medição é repetido. Figura 4.7 Esquema do emparelhamento dinâmico de elementos. Depois de um ciclo completo, a média do resultado das medições representa a tensão PTAT, na qual o efeito de algum desemparelhamento nas características dos transístores M 1 M 16 é fortemente reduzido. É de notar,

113 4.3. SENSOR DE ELEVADA RESOLUÇÃO 87 contudo, que as características do método anterior ( cortado ) se mantém pois as posições dos díodos D 1 e D 2 são também alteradas. Assim, um ciclo completo consiste em trinta e dois estados. Assuma-se que existe um desemparelhamento na corrente de modo a que a corrente I D1 do transístor M 1 é ligeiramente, I, maior do que a corrente dos outros transístores, isto é, I D1 = I + I. Além disso, considere-se, também, um desemparelhamento I S nas correntes de saturação inversa. Neste caso o valor médio da tensão PTAT, v 0, nos trinta e dois estados é, v 0 = 1 kt 32 q 30 ln ( ) ( 15I+ I + 2 ln 15I I ( ) ( I +16 ln S2 + I S I S2 16 ln I+ I) + ) I S2 + I S I S2 = kt q ln(15) + v 0. (4.19) Quando, por exemplo, I/I = ±0, 01 e I S /I S2 = ±0, 01 a inexactidão relativa v 0 /v 0 é, somente, ±7, enquanto que, se não for usado o emparelhamento dinâmico, o erro máximo pode ser de ± [50] Pré-amplificação De modo a reduzir a corrupção do sinal de temperatura pelo ruído, este é amplificado usando um estágio de amplificação, utilizando condensadores comutados. A figura 4.8 ilustra, por uma questão de clareza, somente metade do amplificador dinâmico. Este amplificador usa o conceito de amplificação dinâmica similar ao discutido anteriormente [51]. Como se irá demonstrar o circuito amplificará o sinal de temperatura por um factor igual à razão entre

114 88 CAPÍTULO 4. MICROSSENSOR DE TEMPERATURA EM TECNOLOGIA CMOS as capacidades. O ruído do amplificador é reduzido pela utilização de dupla amostragem correlacionada. Outra mais valia é a de que a abordagem com condensadores comutados produz um sinal de saída que interliga bem com um modulador sigma delta de modo a não ser necessário usar circuitos adicionais de interface. Figura 4.8 Metade do amplificador dinâmico usando condensadores comutados. Amplificação Dinâmica O ganho do pré-amplificador é realizado por transferência de carga entre o condensador de entrada e o condensador de realimentação. Considere-se o semi-circuito de entrada formado por v in+ e v out+ e os interruptores S 1 S 16

115 4.3. SENSOR DE ELEVADA RESOLUÇÃO 89 ligados de modo a que um dos condensadores C 1 C 16 esteja na realimentação e os outros na entrada. Quando, φ 2 está activo, o condensador de entrada, por exemplo C 1 = C I, tem de carga total o valor Q I = C I (v in+ V cm,out ), onde V cm,out é a tensão de modo comum na saída do amplificador operacional (AMPOP). A carga no condensador de realimentação, por exemplo C C 16 = C F, é Q F = C F (V CM V cm,out ). A carga total é então, Q tot,2 = C I (v in+ V cm,out ) + C F (V CM V cm,out ). (4.20) Quando φ 1 está activo, o condensador C I tem uma carga Q I = C I (V CM V cm,in ), onde V cm,in é a tensão em modo comum à entrada do amplificador. A carga em C F é Q F = C F (v out+ V cm,in ). A carga total é agora Q tot,1 = C I (V CM V cm,in ) + C F (v out+ V cm,in ). (4.21) A conservação das cargas requer que a carga total Q tot,1 armazenada durante a fase 1 seja igual a carga total Q tot,2 armazenada na fase 2, C I (V CM V cm,in ) + C F (v out+ V cm,in ) = C I (v in+ V cm,out ) + C F (V CM V cm,out ) (4.22) da qual se obtém, v out+ = C I v in+ + C F + C I (V cm,in V cm,out ) + C F C I V CM. (4.23) C F C F C F

116 90 CAPÍTULO 4. MICROSSENSOR DE TEMPERATURA EM TECNOLOGIA CMOS Claramente, esta mesma análise aplica-se à outra metade do circuito, assim v out = C I v in + C F + C I (V cm,in V cm,out ) + C F C I V CM. (4.24) C F C F C F Logo, a saída diferencial do pré-amplificador é v od = v out+ v out = C I C F v in+ C I C F v in = C I C F (v in+ v in ) (4.25) e o ganho do amplificador, para o interruptor S 1 ligado é G = v od v id = C I C F. (4.26) Este processo é repetido ciclicamente para todos os outros interruptores de modo a que cada condensador C 1 C 16 esteja na posição de realimentação enquanto os restantes estão na posição de entrada. Assim, a média do ganho num ciclo completo é G = 1 G+1 G+1 j=1 C i C j = G + G. (4.27) G + 1 C i=1 i onde G representa o erro residual de segunda ordem do desemparelhamento dos condensadores.

117 4.4. CONSIDERAÇÕES SOBRE O RUÍDO Considerações Sobre o Ruído Uma da grandes contribuições para o erro é o ruído do dispositivo. Durante todas as análises anteriores foi assumido que os MOSFET e os díodos não produzem ruído. Claramente este não é o caso, e de facto o ruído dos dispositivos podem tornar-se uma fonte de erro dominante devido aos requisitos de elevada resolução do sensor. As fontes de erro são discutidas nas próximas secções. A demonstração das equações utilizadas é dada no apêndice A Ruído do MOSFET O ruído num dispositivo MOS é devido a dois mecanismos físicos: um prende- -se com o ruído térmico associado à natureza incerta da velocidade de deriva (drift) dos electrões. Esta componente do ruído é de banda larga e é branca. O segundo é o ruído de tremulação (flicker), 1/f, causado pela prisão, no óxido de silício da porta (gate), dos portadores do canal. Devido à sua natureza, 1/f, o espectro da densidade de ruído é de elevado valor a baixas frequências e de baixo valor a frequências mais elevadas. O ruído total num MOSFET é a soma das duas componentes [52] vg 2 f = 4kTγg d0 K f + (4.28) gm 2 COX 2 WLfζ onde vg 2 (V 2 Hz 1 ) é a densidade espectral equivalente do ruído de entrada da porta, k (J K 1 ) é a constante de Boltzmann, T (K) é a temperatura absoluta, ζ é o expoente do ruído de tremulação ( 1), g m é a transcondutância do dispositivo, g d0 é a condutância do canal para V ds = 0, K f é o coeficiente do ruído de tremulação, C OX é a capacidade por unidade de área do condensador

118 92 CAPÍTULO 4. MICROSSENSOR DE TEMPERATURA EM TECNOLOGIA CMOS formado pela porta e substrato, W (m) é a largura da porta e L (m) é o comprimento da porta. O coeficiente do ruído térmico γ é dependente da polarização e varia desde γ = 1, para V ds = 0, a γ = 2/3 na saturação. O ruído total do transístor MOS ao longo de uma largura de banda de f L a f H é determinada calculando a raiz quadrada do integral da equação (4.28), ou seja fh v r,total = v r,total = { 4kTγg d0 f L + gm 2 4kTγg d0 (f gm 2 H f L ) + } K f df (4.29) COX 2 WLfζ [ K f f 1 ζ COX 2 WL(1 ζ) H ] f 1 ζ L Ruído do Díodo O ruído dos díodos é o gerador dominante de ruído de todo o sistema, pois estes estão colocados directamente no nó de saída. Nos dispositivos MOS, a fonte dominante de ruído nos díodos é o ruído de tremulação. A forma funcional e geral do ruído do díodo é v 2 d f = K fi d Af ζ (4.30) onde K f é o coeficiente, dependente do processo, do ruído de tremulação, I d (A) é a corrente no díodo, A (m 2 ) é a área do díodo e ζ é o expoente do ruído de tremulação. O ruído total ao longo da gama de frequências de f L a f H é então,

119 4.4. CONSIDERAÇÕES SOBRE O RUÍDO 93 v 2 d = f H f L K f I d Af ζ df = K fi d A(1 ζ) [ 1 f ζ 1 H ] 1 f ζ 1 L (4.31) para um díodo individual. O ruído total dos dois díodos é a soma (no conceito de média quadrática) das contribuições individuais, v díodos,tot = v 2 d1 + v2 d2. (4.32) Ruído do Pré-Amplificador O pré-amplificador usa amostragem dupla correlacionada [53, 54] para reduzir significativamente os efeitos do ruído do amplificador operacional que é a maior fonte de ruído dos circuitos que usam amplificação. O princípio básico desta técnica é que o sinal de ruído é amostrado duas vezes e subtraído durante cada ciclo de amplificação; se o sinal de ruído não variar significativamente entre os intervalos de amostragem, a diferença nas amostras é aproximadamente zero e o ruído é efectivamente cancelado. A figura 4.9 mostra um circuito equivalente simplificado de metade do pré-amplificador. Uma fonte de erro foi colocada no nó não inversor para modelar o ruído do amplificador operacional. O período do relógio é T e os interruptores marcados com φ 1 estão fechados em t = nt e os marcados com φ 2 estão fechados meio período depois, t = nt+ T 2 sendo n um número inteiro. Os interruptores são considerados ideais e, podem ser na essência, considerados amostradores. A carga total no sistema durante cada fase do relógio é dada por

120 94 CAPÍTULO 4. MICROSSENSOR DE TEMPERATURA EM TECNOLOGIA CMOS AMP Figura 4.9 Metade simplificada do circuito para análise do ruído. Q tot,1 (nt ) = C 1 [v in (nt ) v n (nt )] C 2 v n (nt ) (4.33) ( Q tot,2 nt + T ) 2 [ ( = C 2 v out nt + T ) ( v n nt + T )] 2 2 ( C 1 v n nt + T ). (4.34) 2 A conservação da carga em cada ciclo de relógio requer que Q tot,1 (nt ) = Q tot,2 (nt + T ), igualando as equações (4.33) e (4.34) e resolvendo em ordem 2 a v out obtém-se, ( v out nt + T ) = C [ ] ( 1 C1 v in (nt ) [v n nt + T ) ] v n (nt ) 2 C 2 C 2 2 (4.35) da qual fica claro que a tensão de saída é constituída pela entrada amplificada (o primeiro termo) bem como pela componente amostrada do ruído (o segundo termo). Este segundo termo também demonstra os efeitos da dupla

121 4.4. CONSIDERAÇÕES SOBRE O RUÍDO 95 amostragem correlacionada; se o sinal de ruído variar lentamente de modo a que v n (nt + T ) v 2 n(nt ) então o segundo termo é zero e o ruído é eliminado. A amostragem dupla correlacionada é então mais eficaz em sinais de baixa frequência (como o ruído 1/f) e de facto elimina completamente os efeitos de qualquer desvio DC do amplificador operacional. À medida que a frequência do sinal de ruído aumenta, o mesmo ruído é cancelado e sinais de banda larga (como o ruído térmico) são eliminados com menor eficácia.

122

123 5 Implementação 5.1 Elemento Aquecedor O elemento aquecedor, ilustrado na figura 5.1 é composto por uma agulha hipodérmica n. o 18 de aço inoxidável. Para a elaboração da resistência de aquecimento utilizou-se um fio isolado de NICHROME 80 1 (resistividade 210 Ω m 1 e 0, 079 mm de diâmetro) que foi colocado no interior da agulha de modo a obter uma resistência de 30 Ω. O interior da agulha foi posteriormente preenchido por cola epóxica de elevada condutividade térmica e muito baixa condutividade eléctrica. 1 Liga metálica composta por 80% de Níquel e 20% de Crómio. Tem um coeficiente térmico da resistência de ΩΩ 1 C

124 98 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO Figura 5.1 Secção longitudinal do elemento aquecedor (medidas em mm). 1 Cola epóxica; 2 fio isolado de NICHROME 80; 3 agulha hipodérmica 5.2 Elemento Sensor de Temperatura em Tecnologia CMOS Para a elaboração do elemento sensor de temperatura, ilustrado na figura 5.2, usaram-se agulhas idênticas às do elemento aquecedor. Nessas agulhas foi feita uma pequena cavidade de modo a ser possível introduzir o sensor de temperatura integrado em tecnologia CMOS de elevada resolução. A cavidade é depois preenchida com o mesmo tipo de cola epóxica usada para o elemento aquecedor. 5.3 Sensor de Temperatura Integrado O desempenho do circuito que mede a temperatura, que foi descrito no capítulo 4, é governado por vários parâmetros de escolha livre. Embora a arquitectura não mude, a implementação do amplificador operacional em particular é bastante dependente dessas escolhas. A geometria dos outros dispositivos do sensor também é afectada pelos objectivos do desenho. A figura 5.3 mostra um esquema simplificado do sensor de temperatura integrado usando tecnologia CMOS. O sensor é, fundamentalmente, constituído por um PTAT, um

125 5.3. SENSOR DE TEMPERATURA INTEGRADO 99 (a) (b) Figura 5.2 Ilustração do elemento sensor de temperatura. (a) 1 Agulha hipodérmica; 2 sensor de temperatura integrado; 3 encapsulamento do microssensor de temperatura com cola epóxica. (b) Aspecto final depois de colocada a cola epóxica pré-amplificador e toda a lógica de controlo necessária ao seu funcionamento. Figura 5.3 Esquema simplificado do sensor de temperatura integrado.

126 100 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO Parâmetros do Projecto Razão de Corrente e Valor Absoluto de Corrente Na secção 4.3 foi descrita a topologia utilizada para o sensor de temperatura. Nesta topologia existe uma relação de correntes de 15:1. A escolha das correntes é determinada, principalmente, por considerações de ruído. À medida que a corrente se torna mais pequena, a relação sinal ruído dos díodos decresce. Isto pode ser analisado pela equação de ruído dos díodos. i 2 n = 2qI d f + K fi d f f (5.1) O ruído total numa gama de frequências [f L,f H ] é então i 2 n = 2qI d (f H f L ) + K f I d ln ( fh f L ) (5.2) i n = I d 2q(f H f L ) + K f ln ( fh f L ). (5.3) E a relação sinal ruído (Signal to Noise Ratio SNR) é,

127 5.3. SENSOR DE TEMPERATURA INTEGRADO 101 SNR = I d i n = I d 2q(f H f L ) + K f ln ( f H f L ). (5.4) As correntes de excitação deverão ser suficientemente grandes para assegurar que a relação sinal ruído é elevada de modo a manter uma excelente resolução. Utilizando as equações anteriores chega-se a um valor mínimo crítico de aproximadamente 1µA. O compromisso é de que a potência dissipada nos díodos seja pequena para evitar erros devido a artefactos térmicos. Devido a limitações da área do díodo, se a corrente total for mantida abaixo dos 90µA, os problemas térmicos serão evitados. Assim, a gama de corrente situa-se entre 1µA e = 6µA. A escolha de 4µA (4 e 60µA) mantém a corrente bem acima do mínimo e a corrente total situa-se confortavelmente abaixo dos 90µA. A figura 5.4 mostra o PTAT usando emparelhamento dinâmico de elementos descrito em As fontes de corrente usadas são obtidas através de uma fonte de corrente cascode de grande excursão. Para uma melhor precisão e estabilidade das fontes de corrente, esta é de 30µA sendo espelhada com uma relação de 15:1 para a obtenção dos 2µA desejados. Assim, I D4 = V DD V GS = 30µA R1 bias = 5 0, Ω = 140 KΩ (5.5) R1 bias 30

128 102 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO Figura 5.4 Esquema do PTAT usando emparelhamento dinâmico de elementos. Adoptando um valor standard de 150 KΩ os valores de ( W ) são ajustados L e estão listados na tabela 5.1. Tabela 5.1 Valores de W/L atribuídos aos transístores do PTAT. Dispositivo W (µm) L (µm) M M , 7 M M , 1 M 5 3, 2 1, 1 M , 1 M I1 M I M I1a M I16a 5 0, 7 M S1 M S16 2, 2 0, 7 M S1a M S16a 2, 2 0, 7 O consumo de cada ramo é de cerca de 7, 76µW e o consumo global é de aproximadamente 0, 125 mw.

129 5.3. SENSOR DE TEMPERATURA INTEGRADO 103 O díodo pode ser implementado, em tecnologia CMOS, de vários modos: junção p n entre o poço tipo n e o implante p+, díodo MOS (curto circuito entre a porta e o dreno de um MOSFET) ou através do curto circuito entre o colector e a base de um transístor parasita p n p formado pelo implante p+ (emissor), o poço tipo n (base) e o substrato tipo p (colector) [55]. Esta última configuração foi a escolhida pois reduz a resistência efectiva em série com o díodo e também reduz o escoamento de corrente para o substrato. Com o compromisso entre a área e o ruído estabelecido, a escolha da área máxima admissível (o circuito integrado tem de caber dentro da agulha) foi de 460µm 2. A figura 5.5 mostra o desenho do PTAT usando o emparelhamento dinâmico de elementos. Na parte inferior esquerda pode observar-se os dois díodos, e na parte direita as fontes de corrente. Figura 5.5 Layout do PTAT usando emparelhamento dinâmico Amplificador Operacional O amplificador operacional é usado para implementar o pré-amplificador. A seguir é apresentado em detalhe o projecto do pré-amplificador e do amplificador operacional usado para o implementar. Pelo facto de se usar técnicas de condensadores comutados o tempo de estabilização é um factor importante de sucesso do pré-amplificador. Assim

130 104 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO sendo, a topologia de cascode dobrado 2 [57] (folded cascode) foi a adoptada. Esta topologia geralmente tem ganho moderado, largura de banda moderada e elevada margem de fase. Adicionalmente, e devido à rede de compensação estar entre a saída e a referência (GND), a taxa de rejeição da fonte de alimentação é superior. Além disso, a capacidade de compensação pode ser fornecida pela carga capacitiva, eliminando a necessidade (e o aumento da área do circuito integrado) de dois condensadores adicionais. Todas estas mais valias vêm a expensas do ganho; o cascode dobrado tipicamente tem um ganho inferior comparado com as topologias de dois estágios. Mas como somente um ganho e largura de banda moderados são requeridos, este é um compromisso aceitável. Figura 5.6 O amplificador total. O circuito está esquematizado na figura 5.6 com os valores das geometrias apresentadas na tabela 5.2. Devido ao ruído de tremulação, foi adicionado um pulsador à entrada e outro à saída. Para a polarização foi usado um circuito de polarização de transcondutância constante e para a realimentação da tensão em modo comum um circuito que usa condensadores comutados. Este circuito dinâmico é vantajoso em termos de consumo de potência relativamente às redes de realimentação estáticas. 2 Tradução feita por Medeiros Silva [56]

131 5.3. SENSOR DE TEMPERATURA INTEGRADO 105 Tabela 5.2 Valores de W/L atribuídos aos transístores do amplificador operacional. Dispositivo W (µm) L (µm) Dispositivo W (µm) L (µm) M 1 264, 8 1, 1 M b2 17, 6 1, 6 M 2 264, 8 1, 1 M b2a 17, 6 1, 6 M , 4 M b2c 17, 6 1, 6 M , 4 M b2d 4, 4 1, 6 M 5 70, 2 1, 6 M b3 8, 8 1, 6 M 6 70, 2 1, 6 M b3a 8, 8 1, 6 M 7 52, 8 1, 6 M b3c 2, 2 1, 6 M 8 52, 8 1, 6 M b3d 8, 8 1, 6 M 9 35, 2 1, 0 M b4 8, 8 1, 0 M 10 35, 2 1, 0 M b4a 8, 8 1, 0 M 11 22, 0 1, 0 M b4d 8, 8 1, 0 M b1s 2, 2 17, 6 M b1 17, 6 1, 0 M b2s 8, 8 1, 0 M b1a 17, 6 1, 0 M b3s 8, 8 1, 0 M b1c 17, 6 1, 0 M b4s 8, 8 1, 0 Especificação Eléctrica Do ponto de vista do sistema, as especificações mais críticas são o ganho em malha aberta, o tempo de estabilização, a taxa de inflexão e o ruído referente à entrada. Transístores de Entrada Existem vários aspectos a ter em conta na decisão sobre que tipo de transístores de entrada do par diferencial devem ser usados. A transcondutância, g m, e conjuntamente o ganho em frequência unitário dos transístores NMOS é superior ao dos transístores PMOS, para as mesmas dimensões. A impedância de saída dos transístores NMOS é mais baixa, logo a margem de ganho e de fase irá ser

132 106 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO menor do que se forem usados transístores PMOS à entrada. Por último, os transístores NMOS possuem um ruído térmico menor. Este aspecto foi determinante na escolha dos transístores NMOS para o par diferencial de entrada. Características do Modo Diferencial O ganho do amplificador operacional é calculado usando o circuito simplificado da figura 5.7(a) e correspondente modelo para pequenos sinais, apresentado na figura 5.7(b), de metade desse circuito. Facilmente se encontra que v out = g m1r or o(1 + g m5 r o5 ) v in r o5 + r o + r o(1 + g m5 r o5 ) (5.6) onde r o e r o está definido na figura 5.7(b). Deste resultado pode ser observado que o ganho é directamente proporcional à transcondutância do estágio de entrada. Também, a constante de proporcionalidade é, aproximadamente, a combinação em paralelo de r o com r o(1 + g m5 r o5 ). Isto representa uma importante limitação desta topologia, isto é, um ganho mais elevado não pode ser obtido através do mero aumento de r o ou r o, pois a resistência efectiva será dominada pela menor das duas. O aumento da transcondutância dos transístores aumentará o ganho, mas este aumento é limitado por r o, que diminui à medida que a transcondutância é aumentada. Por outras palavras, o ganho aumenta significativamente somente quando o ganho intrínseco de M 1 aumenta. Por conseguinte, a chave para obter um ganho o mais elevado possível é colocar os dispositivos de entrada a operar na sua região de inversão moderada, pois é nesse ponto que o ganho intrínseco (ou, equivalentemente, o ganho de tensão em circuito aberto) é maximizado. Matematicamente, o ganho de tensão em circuito aberto A oc de um MOSFET é g m r o, onde, na região de inversão forte,

133 5.3. SENSOR DE TEMPERATURA INTEGRADO 107 (a) (b) Figura 5.7 Amplificador cascode dobrado. (a) Esquemático simplificado e (b) Modelo para pequenos sinais. g m = 2µC ox ( W L ) I d (5.7) e r o = 1 λi d (5.8)

134 108 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO onde µ é a mobilidade no canal, C ox é a capacidade por unidade de área do óxido e λ é um parâmetro que relaciona a variação do comprimento efectivo do canal em função da tensão no dreno (devido à modulação do comprimento do canal). O ganho de tensão em circuito aberto é então, A oc = ( 2µC W ) ox L (5.9) λ 2 I d do que se concluí que o ganho intrínseco aumenta com a diminuição da corrente do dreno. Em algum ponto, contudo, o decréscimo da corrente do dreno coloca o dispositivo fora da região de saturação entrando na região sub-limiar. Quando isto ocorre, a transcondutância torna-se, g m = I d V TH (5.10) onde V TH é o equivalente volt da temperatura ( kt ). O ganho em tensão de q circuito aberto torna-se constante e independente da tensão de dreno, e mais aumentos da corrente de dreno não afectam o ganho intrínseco. Contudo, a largura de banda do dispositivo, diminui à medida que a corrente é reduzida, pois existe menos corrente disponível para carregar as capacidades do dispositivo. Isto implica que existe uma corrente de dreno crítica à qual o ganho intrínseco e a largura de banda são maximizadas. Este ponto é claramente na região de inversão moderada, onde a transição entre a região sub-limiar e a região de inversão forte ocorre. Assim, o ponto de funcionamento é na região de inversão moderada. A dinâmica do amplificador também pode ser analisada através do modelo para pequenos sinais. Usando o método das constantes de tempo de circuito

135 5.3. SENSOR DE TEMPERATURA INTEGRADO 109 aberto obtém-se a frequência do pólo dominante do amplificador como, f p1 = 1 2πC L {r o [r o5 + r o(1 + g m5 r o5 )]} (5.11) onde C L é a capacidade de carga. O segundo polo, que controla a margem de fase, está à frequência, f p2 = r o5 + r o(1 + g m5 r o5 ) 2πC L2 r or o5 (5.12) onde C L2 é a capacidade no dreno de M 1. Fica claro da equação (5.11) que a frequência do pólo dominante é, essencialmente, controlada pelo produto r oc L. Mais importante, é o facto de que os pólos são controlados pelos mesmos parâmetros que o ganho, o que implica que o ganho e a largura de banda não são controláveis independentemente. Este facto pode ser observado se se multiplicar a equação (5.6) pela equação (5.11) para se obter o produto ganho largura de banda, v out v in f p1 = = g m1 r or o(1 + g m5 r o5 ) r o5 + r o + r o(1 + g m5 r o5 ) 1 2πC L {r o [r o5 + r o(1 g m5 r o5 )]} g m1 r o(1 + g m5 r o5 ) 2πC L [r o5 + r o(1 g m5 r o5 )]. (5.13) Se g m5 r o 1, então o produto é aproximadamente g m1 C L, o que indica que o parâmetro dominante de controlo é a transcondutância do andar de entrada. A taxa de inflexão (slew rate) é dada por,

136 110 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO SR = I C L. (5.14) Realimentação da Tensão em Modo Comum Como o amplificador é totalmente diferencial, é necessário um circuito para estabilizar o nível de saída em modo comum. O circuito utilizado para a realimentação da tensão em modo comum (Common Mode FeedBack, CMFB) amplifica a diferença entre a média da saída, (v out v + out)/2, e a tensão em modo comum, V CM. Através de realimentação no amplificador, a média da tensão de saída e V CM são mantidos iguais. Este circuito está ilustrado na figura 5.8 e usa técnicas de condensadores comutados [57]. Os sinais de relógio φ 1 e φ 2 não se sobrepõem, isto é, nunca estão os dois no nível V DD simultaneamente. As saídas do amplificador são amostradas por C 2 e por transferência de carga forma-se um ganho na malha de realimentação. Figura 5.8 Realimentação de modo-comum usando condensadores comutados. Quando os interruptores comandados por φ 1 estão fechados, a carga armazenada nos dois condensadores C 1 é de 2C 1 (V CM V b4a ) enquanto que a carga

137 5.3. SENSOR DE TEMPERATURA INTEGRADO 111 armazenada em C 2 é, 2C 2 [ v + out v out 2 V φ 1 CMFB ] (5.15) onde V φ 1 CMFB é a saída do circuito de realimentação da tensão em modo comum quando os interruptores comandados por φ 1 estão fechados. Do mesmo modo, quando os interruptores comandados por φ 2 estão fechados temos, [ ] (C 1 + C 2 ) (v out + V φ 2 CMFB ) + (v out V φ 2 CMFB ) (5.16) Como existe conservação de cargas teremos, 2C 1 (V CM V b4a ) + 2C 2 [ v + out v out 2 ] V φ 1 CMFB = [ ] = (C 1 + C 2 ) (v out + V φ 2 CMFB ) + (v out V φ 2 CMFB ) (5.17) e ( C 1 V CM v+ out vout ) V φ 2 CMFB 2 V b4a + C 2 (V φ 2 CMFB V φ 1 CMFB ) = 0 (5.18) Quando as saídas do amplificador operacional estão balanceadas, V φ 2 CMFB = V φ 1 CMFB = V b4a então a média da saída, isto é, (v + out v out)/2 é igual à tensão V CM. Se a média da saída for maior que V CM, então V φ 2 CMFB torna-se maior do que V φ 1 CMFB, fazendo, através de V CMFB, diminuir a tensão em modo comum da saída. O contrário também é verdade no caso de V φ 2 CMFB ser menor do

138 112 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO que V φ 1 CMFB. O valor máximo de C 2 é baseado na carga máxima admissível pelo amplificador de transcondutância, enquanto que o valor C 1 é determinado pela resposta desejada do circuito de realimentação. Geralmente, C 1 é cerca de 1 10 do valor de C 2. O valor mínimo dos condensadores é determinado pela injecção de cargas e por considerações sobre o ruído térmico, kt/c. Os interruptores usados são portas de passagem CMOS de modo o circuito poder operar entre V DD e GND. O valor utilizado para os condensadores foi de 10 ff para C 1 e de 100 ff para C 2. Os condensadores, devido ao seu reduzido valor, foram elaborados utilizando a capacidade total da porta do MOSFET. Assim, C ox = ε ox T ox W L (5.19) onde ε ox (= 7, F m 1 ) é a constante dieléctrica do óxido da porta, T ox (= 1, m) é a espessura do óxido. Circuito de Polarização A corrente total para o amplificador é determinada no seu valor mínimo pela taxa de inflexão e no seu valor máximo pela potência máxima admissível. Assim, um bom compromisso é o de uma corrente total para o amplificador de 100 µa. Das análises anteriores, um parâmetro chave para o bom desempenho do amplificador é a transcondutância do andar de entrada. Por esta razão, uma grande parte (60µA) é usada no estágio de entrada. O estágio de saída é ditado pelos requisitos de corrente de saída (taxa de inflexão) e somente um pouco mais do que é, teoricamente, necessário lhe foi atribuído (20µA por ramo de saída) porque uma corrente mais elevada no estágio de saída irá baixar r o, que por sua vez baixa o ganho diferencial. É de notar que o circuito de

139 5.3. SENSOR DE TEMPERATURA INTEGRADO 113 realimentação de modo comum, para efeitos de consumo, é considerado uma carga capacitiva já levada em consideração na carga C L. Para obter os valores desejados de correntes de polarização o circuito utilizado foi o ilustrado na figura 5.9. O circuito é um circuito de polarização de transcondutância constante. O valor da corrente de polarização é definido pela resistência R b (exterior) e as restantes correntes do amplificador através de relações de tamanho entre os transístores do circuito de polarização. Figura 5.9 Circuito de polarização e respectivo circuito de arranque. Desempenho do Amplificador O tamanho dos dispositivos de entrada M 1 e M 2 é 264,8 ; deste modo a transcon- 1,1 dutância será g m = 1, 4 m. O comprimento do canal de 1, 1µm foi escolhido de modo a que a resistência de saída não sobrecarregue os nós de dreno do circuito, pois uma baixa impedância nestes nós irá limitar o ganho do amplificador, como descrito anteriormente. Pela mesma razão, dispositivos com

140 114 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO canais longos são usados para as cargas do estágio de entrada, M 3 e M 4, que são de 88 2,4 (é preciso lembrar que estes dispositivos devem fornecer corrente a ambos os ramos de entrada e de saída). Os dispositivos da dobra, M 5 e M 6, são 70,2 1,6 sendo o comprimento de 1, 6µm escolhido para manter a resistência de saída elevada. A carga do estágio de saída é formada por M 7 M 10 ; é usado o cascode de modo a aumentar a impedância de carga. Estes tamanhos dos dispositivos e correntes resultaram nos dados sumariados na tabela 5.3 e nos diagramas de Bode apresentados na figura Tabela 5.3 Parâmetros previstos para o amplificador. Parâmetro Valor Unidades Ganho DC 62, 4 db Transcondutância 1, 4 m Largura de Banda 4, 0 MHz Margem de Fase 88, 6 Potência Dissipada 1, 94 mw Corrente Máxima de Saída 30 µa Máxima Excursão Diferencial 5 V Corrente de Alimentação 389 µa Alimentação 5 V Na figura 5.11 pode oberservar-se o desenho CAD da versão final do amplificador de transcondutância com 300 µm 180 µm. Na parte esquerda da figura, estão os grandes transístores de entrada. Todo o amplificador foi desenhado usando técnicas de centro-comum para minimizar erros devidos a falhas no alinhamento das máscaras.

141 5.3. SENSOR DE TEMPERATURA INTEGRADO Fase (graus) Margem de Fase Frequência (Hz) Ganho diferencial (V/V) Margem de Ganho Frequência (Hz) Figura 5.10 Diagramas de Bode do amplificador operational. Simulações realizadas do T SPICE da Tanner Tools Secção Digital Para a realização do amplificador pulsado usado na pré-amplificação com condensadores comutados, como da fonte de corrente comutada usada no PTAT,

142 116 CAPI TULO 5. IMPLEMENTAC A O Figura 5.11 Layout final do amplificador de transconduta ncia. e necessa ria uma lo gica de controlo para os interruptores. Essa lo gica e elaborada a partir de circuitos digitais baseados em portas lo gicas CMOS e flip flop tipo JK. Gerador de Fases A figura 5.12 mostra o esquema tico do gerador de fases do relo gio principal. O primeiro ramo e dedicado a gerar duas fases que na o se sobreponham, φ1 e φ2 e as duas complementares, φ1 e φ2. O segundo ramo gera as fases necessa rias ao controlo da operac a o pulsada usada no amplificador. Este controlo consiste em duas fases na o sobrepostas, φc e φd, e duas verso es, ligeiramente atrasadas destas, φcd e φdd. Os resultados da simulac a o correspondentes a extracc a o do desenho de CAD utilizado para o fabrico sa o mostrados na figura O sinal de relo gio de 25 MHz utilizado na simulac a o, serviu somente para poderem ser observa veis os atrasos entre as diversas fases. No gra fico superior da figura esta o representados todos os sinais, excepto os complementares, φ1 e φ2, pois estes sa o o

143 5.3. SENSOR DE TEMPERATURA INTEGRADO 117 Figura 5.12 Gerador das fases de relógio,φ 1, φ 2, φ C e φ D para os condensadores comutados. inverso de φ 1 e φ 2 respectivamente. No gráfico inferior da figura mostram-se os sinais de controlo do amplificador pulsado e o seu desfasamento em relação a φ 1 e φ 2. Lógica de Controlo PTAT A lógica necessária para controlar os interruptores de modo a executar os trinta e dois ciclos descritos na secção foi implementada através de um contador em anel de 5 bit e de um descodificador. O esquema utilizado está representado na figura 5.14 de modo a obter os sinais apresentados na figura 5.15.

144 118 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO CLK φ 2 φ 1 φ C φ Cd φd φdd tempo (ns) φ 2 φ 1 φ C φ Cd φ D φ Dd tempo (ns) Figura 5.13 Simulação usando a extracção do gerador de fases de relógio. Lógica de Controlo Pré-Amplificador Para controlar os interruptores S 1 S 16 do pré-amplificador, que se traduz em dezasseis ciclos que executam a amplificação dinâmica, foi usado o circuito da figura Este circuito, idêntico ao anterior, também é constituído por um

145 5.3. SENSOR DE TEMPERATURA INTEGRADO 119 Figura 5.14 Lógica de controlo para a comutação das fontes de corrente do PTAT. CLK S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 10 S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 Figura 5.15 Sinais da lógica de controlo do PTAT. Valores obtidos através da simulação usando a extracção do desenho de CAD utilizado para o fabrico. contador em anel e um descodificador. Embora só sejam necessários 4 bit, foi utilizado um contador de 5 bit pois a saída deste contador irá ser a entrada do contador utilizado para a lógica de controlo do PTAT. Assim, para cada um dos trinta e dois ciclos do controlador do PTAT são gerados dezasseis ciclos

146 120 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO para o pré-amplificador. Os sinais desejados estão ilustrados na figura Figura 5.16 Lógica de controlo para o amplificador dinâmico. CLK S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 10 S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 Figura 5.17 Sinais da lógica de controlo do amplificador dinâmico. Valores obtidos através da simulação usando a extracção do desenho de CAD utilizado para o fabrico.

147 5.4. DESENHO E ENCAPSULAMENTO Desenho e Encapsulamento A figura 5.18 mostra o desenho CAD global do microssensor de temperatura integrado usando tecnologia CMOS. Apesar das dimensões do microssensor, 1720µm 1807µm, não serem as finais (exigências sobre a relação comprimento/lagura da fundição) os módulos que o compõem foram desenhados de modo a se adaptarem a uma versão final que caberá dentro de uma agulha com diâmetro interno de 0, 864 mm (terá cerca de 700µm por 3, 5 mm). Figura 5.18 Desenho do circuito integrado do sensor de temperatura. O desenho foi desenvolvido de acordo com as regras da fundição IMEC para a tecnologia Alcatel Mietec Semiconductor 0.7 µm CMOS n well C07M-A (2M/ 1P/ PdiffC/ HR). Para minimizar influências, a parte digital (à direita) está separada da parte analógica, tanto geometricamente como na alimentação. Toda a parte analógica do microssensor foi desenhada recorrendo a técnicas de centro-comum para minimizar erros no alinhamento das máscaras.

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