Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores dos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico
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- Olívia Stachinski Franca
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2 Números e Operações Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores dos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico Luís Sequeira Pedro Jorge Freitas Suzana Nápoles UM POUCO DE HISTÓRIA DOS NÚMEROS Direcção-Geral de Inovação e de Desenvolvimento Curricular Lisboa/2009
3 Biblioteca Nacional de Portugal Catalogação na Publicação SEQUEIRA, Luís, , e outros Números e operações: programa de formação contínua em matemática para professores dos 1.º e 2.º ciclos do ensino básico/ /Luís Sequeira, Pedro Jorge Freitas, Suzana Nápoles ISBN l FREITAS, Pedro Jorge, ll NÁPOLES, Suzana Metelo de, CDU F icha Técnica Números e Operações Guião Didáctico no Âmbito do Programa para o Ensino da Matemática no 1.º Ciclo Editor Ministério da Educação Direcção-Geral de Inovação e de Desenvolvimento Curricular Autores Luís Sequeira Pedro Jorge Freitas Suzana Nápoles Design Manuela Lourenço Execução Gráfica Editorial do Ministério da Educação Tiragem 6000 Exemplares Depósito Legal /09 ISBN
4 I ndice Nota de apresentação... 5 Nota prévia... 7 Capítulo Um pouco de história dos números... 9 Capítulo Sistemas de numeração e bases de numeração Introdução Numeração não posicional Numeração posicional Bases de numeração Capítulo As quatro operações elementares Definição e propriedades Adição e Multiplicação Subtracção e Divisão Operações noutros conjuntos de números Operações em Escrita Posicional Adição Subtracção Multiplicação Divisão Mudança de Base Processo dos Restos Processo dos Quocientes Capítulo Operações com fracções O que é uma fracção? Operações com fracções Os números racionais na recta graduada
5 Capítulo Estratégias de cálculo mental O que é o cálculo mental? Formas básicas de cálculo mental Cálculo mental usando estratégias variadas Capítulo Desafios com números Números e regularidades Partindo da tabuada As escadas que se montam Mais regularidades em torno dos números naturais As capicuas Explorando sequências Progressões Puzzles numéricos Quebra-cabeças numéricos Charadas Capítulo Algumas notas sobre o uso de calculadoras A calculadora e a divisão inteira A calculadora e as sequências A calculadora na resolução de problemas Exemplos Calcular com a calculadora Bibliografia
6 Nota de Apresentação No âmbito do Programa de Formação Contínua em Matemática, foi identificada a importância de ter documentos científicos que incidissem sobre temáticas relevantes e que pudessem apoiar os professores na preparação da sua prática lectiva. A Direcção-Geral de Inovação e de Desenvolvimento Curricular, no seguimento da proposta da Comissão de Acompanhamento do Programa de Formação Contínua em Matemática para professores dos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico, apresenta mais um volume da colecção de materiais de apoio destinados aos professores. Da autoria de Luís Sequeira, Pedro Freitas e Suzana Nápoles, a brochura Números e Operações constitui-se como um importante recurso para apoiar o professor no desenvolvimento do seu conhecimento matemático numa temática central desde os primeiros anos de escolaridade. A Directora-Geral de Inovação e de Desenvolvimento Curricular (Joana Brocardo) 5
7
8 Nota Prévia 7
9
10 1 Um pouco de história dos números
11
12 11 UM POUCO DE HISTÓRIA DOS NÚMEROS
13 1 2 = 2 4 = =2 2, 2 6 =4 3, 21, , , 1 3, , 01 0, UM POUCO DE HISTÓRIA DOS NÚMEROS =0, =0, 1(6) 12
14 x = 1, x = 173, x x x = 172 x = UM POUCO DE HISTÓRIA DOS NÚMEROS 13
15 UM POUCO DE HISTÓRIA DOS NÚMEROS 14
16 15 UM POUCO DE HISTÓRIA DOS NÚMEROS
17 UM POUCO DE HISTÓRIA DOS NÚMEROS 16
18 17 UM POUCO DE HISTÓRIA DOS NÚMEROS
19 UM POUCO DE HISTÓRIA DOS NÚMEROS 18
20 19 UM POUCO DE HISTÓRIA DOS NÚMEROS
21
22 2 Sistemas de numeração e bases de numeração
23
24 1 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E BASES DE NUMERAÇÃO 23
25 = SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E BASES DE NUMERAÇÃO 196 = = (100 10)
26 α β γ δ ɛ στ ζ η θ τ τɛ =15 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E BASES DE NUMERAÇÃO 25
27 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E BASES DE NUMERAÇÃO
28 27 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E BASES DE NUMERAÇÃO
29 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E BASES DE NUMERAÇÃO 28
30 1= = = = = = SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E BASES DE NUMERAÇÃO 29
31 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E BASES DE NUMERAÇÃO 30
32 10 0 = = = SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E BASES DE NUMERAÇÃO 31
33
34 3As quatro operações elementares
35
36 35 AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES
37 (3+6)+13=3+(6+13) = AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES m n m + n = n + m. m n p (m + n)+p = m +(n + p). 36
38 =5+5+5= =15 A n B m A B (a, b) a A b B nm A = {x,y,z} B = {1, 2, 3, 4, 5} A B x (x,1) (x,2) (x,3) (x,4) (x,5) y (y,1) (y,2) (y,3) (y,4) (y,5) z (z,1) (z,2) (z,3) (z,4) (z,5) A B A = {1, 2, 3} A B (1, 1), (1, 2), (1, 3) = AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 37
39 (4 12) 5 4=20 12 (5 4) (5 4)=2+20=22, (2 + 5) 4=7 4=28 AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES
40 =3 (4 + 7) = m n m n = n m. m n p (m n) p = m (n p). m n p m (n + p) =m n + m p / AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 39
41 AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 40
42 41 AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES
43 a b a b b a 0 b 2b 3b 4b a 5b r 4 4 b<a 5 b>a r a 4 b AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES r =0 n : m = q 0 n m n = qm q = n/m n q n/q = m n m = d m+d = n n : m = q r n = m q+r. n m d n m q r :2=2 1, 2:5=0 2. (5 2) 1=3 1=2, 5 (2 1)=5 1=4; (12:6):2=2:2=1, 12:(6:2)=12:3=4. 42
44 43 AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES
45 c b a AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES
46 = ( ) + (50 + 5) = = 187, 132 = , 55= , AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 45
47 = ( )+( ) = ( )+( ) = (3+5) (2 + 5) 10 0 ) = = AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES
48 = = = = AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 47
49 = = = 187, AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES
50 = AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 49
51 AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES
52 (12 + 6) (7 + 6) = 12 7= AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 51
53 AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES
54 1, 4+2, = = 3 1 = 4 2, 4 + 1, , , 4 1, , 6 7 AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 53
55 = ( ) 34 = ( ) ( ) = (1 3) ( ) 10 + (2 4) 1 = = AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES
56 12 34 = (10 + 2) 34 = = (30 + 7) 165 = = = = = AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 55
57 1, 65 3, = 1, , 37=3, 7 10 AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 6105 = =1, 65 3, = (1, 65 3, 7) , 65 3, 7= , 65 3, 7=6, , , 65 3, 7 56
58 = = = = = = =15 6 3= = = = 3 (40 + 5) + 2 = AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 57
59 = a (a 10) =120< =150> AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES ? = (3 40) > =15< =18> =
60 137 = (40 3) + 17 = = < = = = = = ( ) = ( ) + 2 = , 45 2 AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 59
61 AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 4238 : =
62 = 11 = = = = = , : 56 = 75 4, 238 : 5, 6 AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 61
63 4, 238 = , 001 5, 6=56 0, 1 4, 238 = , 001 = ( ) 0, 001 = , , 001 = (56 0, 1) (75 0, 01) , 001 = 5, 6 0, 75+0, =2 AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES
64 134 = =58, 1201 = = :5= = :5= = = = (2 5+1) 5+4 = = AS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES 63
65 :5= UM POUCO DE HISTÓRIA DOS NÚMEROS
66 = = = = =25 59:25= =2 25+9= =5 9:5= = = = :1= = = = = 214. UM POUCO DE HISTÓRIA DOS NÚMEROS 65
67
68 4 Operações com fracções
69
70 OPERAÇÕES COM FRACÇÕES 69
71 OPERAÇÕES COM FRACÇÕES 70
72 , , a 0+a = a 1 a = a 0 a = , 5= 1 2 = 3 6 = =... 0, OPERAÇÕES COM FRACÇÕES 71
73 OPERAÇÕES COM FRACÇÕES 72
74 73 OPERAÇÕES COM FRACÇÕES
75 OPERAÇÕES COM FRACÇÕES 74
76 75 OPERAÇÕES COM FRACÇÕES
77 OPERAÇÕES COM FRACÇÕES 76
78 = = < =0, =0, =0, 8(3) , 8 0, , 83 0, =0, 6 1 0, 83 0, < 5 6 < 1 0, 8 < 5 6 < 0, 9 0, 83 < 5 < 0, , 833 < 5 < 0, , 8333 < 5 < 0, OPERAÇÕES COM FRACÇÕES 77
79
80 5 Estratégias de cálculo mental
81
82 = = = = = : 7 = = 420 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO MENTAL 81
83 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO MENTAL 82
84 = = = = = = ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO MENTAL 83
85 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO MENTAL ,
86 = = = = = = =30+15=40+5= = = = 207 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO MENTAL 85
87 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO MENTAL = = = =
88 = =75 3 = = = (60 20) + 3 = = = (60 10) 7 =50 7 = = = 500 ( ) = = = 500 ( ) = = ( ) + 15 = = = = (220 30) 5 =190 5 = = (220 40) + 5 = = 185 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO MENTAL 87
89 = = = = = = = = = = 228 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO MENTAL = = = = = = =
90 = :3=300:3+90:3+6:3= = = = : : : 2 321:3=300:3+21:3=100+7= = : 3 = :3=4 321 : 3 = (333 12):3=333:3 12:3=111 4 = : :96=(480:48):(96:48)=10:2= : = ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO MENTAL 89
91 : 25 = (3600 : 100) 4= = (30 + 6) 4 = = 144 UM POUCO DE HISTÓRIA DOS NÚMEROS 90
92 6 Desafios com números
93
94 93 DESAFIOS COM NÚMEROS
95 DESAFIOS COM NÚMEROS
96 =3 2 3=6 3 3=9 4 3=12 5 3=15 6 3=18 7 3=21 8 3=24 9 3= = = = =39 1 9=9 2 9=18 3 9=27 4 9=36 5 9=45 6 9=54 7 9=63 8 9=72 9 9= = = = = DESAFIOS COM NÚMEROS
97 DESAFIOS COM NÚMEROS n 3n +2 96
98 7+4= = = = 8+3= = = = 9 7= = = = 8 3= = = = 1 1= = = = = = = DESAFIOS COM NÚMEROS 97
99 DESAFIOS COM NÚMEROS 98
100 0 9+1= = = = = = = = = DESAFIOS COM NÚMEROS 99
101 DESAFIOS COM NÚMEROS =11 2+9=11 3+8= = = = = = = = = =10 2+8=10 3+7=10 4+6= = =
102 1+999 = = = = = = 102, = 102, = 102,..., = = = , 6, 11, 16, 21, 26, =6+26=11+21= , 6, 11, 16, 21, 26, = = DESAFIOS COM NÚMEROS 101
103 =2+6= =6+26= =1+1 6= =(1+1)+(7 1)=1+7, +1 1=0 3+5 = (2+1)+(6 1) = = = =(1+5)+(31 5) = = = (6+5)+(26 5) = DESAFIOS COM NÚMEROS = = = = =
104 16=1+3 5, 31= (1+6 5) 2 =1+3 5 n n a 1,a 2,a 3,...,a n n 1 2 a 1+a n 2 a 1,a 2,a 3,...,a n a 1 + a 2 + a a n n a 1 + a 2 + a a n n a 1 + a n (a 1 + a n ) n 2 n a 1 +a 2 +a 2 + +a n n a 1 + a n 1 n 1 2 a 1+a n 2 a 1 + a 2 + a a n =(a 1 + a n ) n a 1 + a n 2 =(a 1 + a n ) n 2 a 1 + a 2 + a a n =(a 1 + a n ) n 2 n 5 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5 r a 2 = a 1 + r a 3 = a 2 + r... r 1 DESAFIOS COM NÚMEROS 103
105 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 r { }} { r { }} { r { }} { r { }} { a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 a 1 + a 5 5 a 1 + a 5 5 a 1 + a a 5 = (a 1 + a 5 ) 5 2 DESAFIOS COM NÚMEROS a 1 + a a n = (a 1 + a n ) n
106 2=1+1 4=(1+2)+1 8=(1+2+4)+1 16=( )+1 32=( ) = 32 1= =256 1=255 4=2 2 8= = =2 8 1 n n =2 n+1 1 1=1 3= =(1+3) =(1+3+9) =( ) =( ) =( ) =( ) = = = = =3 4 DESAFIOS COM NÚMEROS 105
107 = r 1+r + r 2 + r r n = r n+1 1 r 1 DESAFIOS COM NÚMEROS
108 a b c d e : 3 = 15 c = c =15 a =4 a +5+6=15 d =8 2+5+d = 15 b e a + b +2=4+b +2=15 b =9 d + e +6=8+e +6=15 e = DESAFIOS COM NÚMEROS 107
109 DESAFIOS COM NÚMEROS a a! a a 4!= x x [x] C(x) x 2, 78 = 2 2, 78 = = =(4+4+4):4 4=(4: 4) (4 : 4) =5+(5:5)+(5:5) 6=5+(5:5) (5 : 5) = = = (90 + 5) 2 108
110 153, 216, 289, 343, 347, 625, 1530, 2187, 3125, 4374, 4624, 5120, 6144, 7928, 8192, 11664, = 1! + 4! + 5! 25= = = A B C D E F ABC DEF ABC DEF A =3 D =2 A =4 D = a 1 b 3 c 2 d 3 f 3 g 2 h i 2 j 5 1 k 8 m 3 0 DESAFIOS COM NÚMEROS 109
111 f =0 h =0 b b =5 c c =8 8 a 3 a =4 g =3 DESAFIOS COM NÚMEROS a a +r a +2r a +3r a +4r 100 a +(a +4r) 2 5=
112 a +2r =20 a +(a + r) = 1 [(a +2r)+(a +3r)+(a +4r)] 7 11a =2r 2r 11a a+11a =20 a = 5 11a 3 11a =2r r = 2 = =2 4 1=15 DESAFIOS COM NÚMEROS 111
113 DESAFIOS COM NÚMEROS 112
114 (3 3) (3 3) + (3 3) (3 3) + (3 3) 3+((3 3) 3) = (3 3)=4+9= (3 3) + (3 3) 3=13+27= (3 3) + (3 3) 3+((3 3) 3) 3=40+81= (3 3) 3 (3 3 3) (3 3)+(3 3 3)+...+( ) = DESAFIOS COM NÚMEROS 113
115 DESAFIOS COM NÚMEROS
116 DESAFIOS COM NÚMEROS 115
117 a b a b DESAFIOS COM NÚMEROS =
118 S E N D + M O R E MONEY M 1 S =9 O =0 N E N = E +1 M O N E Y E =2 3 Y 0 1 E =5 N =6 R =8 D =7 Y =2 E = MONEY = S A V E + M O R E M O N E Y DESAFIOS COM NÚMEROS 117
119
120 7 Algumas notas sobre o uso de calculadoras
121
122 ALGUMAS NOTAS SOBRE O USO DE CALCULADORAS 121
123 ALGUMAS NOTAS SOBRE O USO DE CALCULADORAS
124 , ALGUMAS NOTAS SOBRE O USO DE CALCULADORAS 123
125 =8 ALGUMAS NOTAS SOBRE O USO DE CALCULADORAS
126
127 ALGUMAS NOTAS SOBRE O USO DE CALCULADORAS
128 = = = = ALGUMAS NOTAS SOBRE O USO DE CALCULADORAS 127
129
130 129
131 130
132
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