Exercícios de Programação linear

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1 Capítulo 1 Exercícios de Programação linear 1.1 Resolução geométrica de problemas lineares Exercício Para cada um dos casos a seguir indicados represente a região admissível e determine os valores máximo e mínimo da função z: a) b) z = 2x 1 + 3x x 1 + x 2 1 x 1 2 2x 1 x 2 5 x 1 + x 2 2 x 2 4 z = 2x 1 x x 1 0 x 2 0 x 1 x 2 1 x 1 + 2x 2 4 x 1 + 2x 2 5 1

2 Exercícios de Programação Matemática 2 c) z = x 1 + x 2 2x 1 x 2 0 x 1 + x x 1 + x x 1 0 x 2 0 Exercício Resolva gra camente os seguintes problemas de programação linear a) Min z = 9x 1 + 6x 2 x 1 + x 2 3 x 1 + x 2 7 3x 1 2x 2 15 x 1 0 x 2 0 b) Max z = 2x 1 + x 2 10x x x 1 + 5x 2 1 x 1 0 x 2 0 x 1 e x 2 inteiros

3 Exercícios de Programação Matemática 3 c) d) e) Max z = 2x 1 3x 2 x 1 + x 2 4 6x 1 + 2x 2 8 x 1 + 5x 2 4 x 1 3 x 2 3 x 1 0 x 2 0 Max z = x 1 x 1 + 4x x x 2 = 1 x 1 + x 2 2 x 1 0 x 2 0 Max z = 4x 1 + 5x 2 x 1 + x 2 0 x 1 0 x 1 0 x 2 0

4 Exercícios de Programação Matemática 4 f) Min z = x 1 + x 2 2x 1 + 3x 2 7 4x 1 6x 2 14 x x 1 + x 2 2 x 1 0 x 2 0 Exercício Para a região admissível de nida por obtenha a solução óptima para cada um dos seguintes objectivos: 8 >< >: x 1 + x 2 1 6x 1 + 4x 2 24 x 2 2 x 1 0 x 2 0 a) Max z = x 1 b) Min z = x 1 + x 2 c) Min z = x 2 d) Max z = x 2 e) Min z = x 1 x 2 f) Min z = x 1 g) Min z = x 1 + x 2 h) Min z = 3x 1 + 2x 2 Exercício Uma empresa produz dois tipos de cintos, A e B. Os lucros unitários respectivos são de 80 cêntimos e 35 cêntimos. Cada cinto do tipo A exige o dobro

5 Exercícios de Programação Matemática 5 do tempo necessário à fabricação de um cinto do tipo B. A empresa pode fabricar diariamente 1000 cintos tipo B. A quantidade de cabedal fornecido à empresa é apenas su ciente para fabricar diariamente 800 cintos. O cinto de tipo A necessita de uma vela de luxo e só se dispõe diariamente de 400 dessas velas. Para o cinto de tipo B pode-se dispor diariamente de 700 velas. a) Formalize e resolva gra camente o problema. b) Haverá alteração da solução óptima no caso do lucro unitário para os cintos de tipo A ser de um euro? c) Suponha que era imposta uma produção de pelo menos 300 cintos de tipo B. Obtenha a nova solução óptima. 1.2 Problemas sobre convexidade Exercício Mostre que os seguintes conjuntos são convexos a) S = f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) 2 R 3 : x 1 + 2x 2 x 3 = 4g b) S = f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) 2 R 3 : x 1 + 2x 2 x 3 4g c) S = f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) 2 R 3 : x 1 + 2x 2 x 3 4 ^ 2x 1 x 2 + x 3 6g d) S = f(x 1 ; x 2 ) 2 R 2 : x 2 jx 1 jg e) S = f(x 1 ; x 2 ) 2 R 2 : x x 2 2 4g Exercício Mostre que se S 1 e S 2 são conjuntos convexos então: a) S 1 \ S 2 é convexo b) S 1 S 2 = fx + y : x 2 S 1 ^ y 2 S 2 g é convexo c) S 1 S 2 = fx y : x 2 S 1 ^ y 2 S 2 g é convexo Exercício Determine gra camente os pontos extremos e as direcções (se as houver) e direcções extremas dos seguintes conjuntos: a) S = f(x 1 ; x 2 ) 2 R 2 : x x 2 2 1g

6 Exercícios de Programação Matemática 6 b) S = f(x 1 ; x 2 ) 2 R 2 : x 1 + x 2 2 ^ x 1 + 2x 2 2 ^ x 1 0 ^ x 2 0g c) S = f(x 1 ; x 2 ) 2 R 2 : x 2 jx 1 jg Exercício Seja S um convexo em E n, A uma matriz m n e 2 R. Mostre que os seguintes conjuntos são convexos a) AS = fy 2 E m : y = Ax; x 2 Sg b) S = fy 2 E n : y = x; x 2 Sg Exercício Determine os pontos extremos de S = (x 1 ; x 2 ) 2 R 2 : x 1 + 2x 2 6 ^ x 1 + x 2 5 ^ x 1 0 ^ x 2 0 inspeccionando todas as soluções básicas admissíveis 1.3 Formalização de problemas Exercício Uma gelataria confecciona e vende três tipos de gelados (1, 2 e 3) à base de ananás (A), morango (M) e chocolate (C). Cada gelado requer uma determinada quantidade dos sabores disponíveis, de acordo com a tabela: A M C As quantidades de ananás, morango e chocolate estão limitadas a 120, 60 e 30 bolas de cada, respectivamente. A procura é tal que todos os gelados são vendidos. Sabendo que o preço de venda é de 50, 40 e 20 u.m., respectivamente para os gelados tipo 1, 2 e 3, formule o problema de modo a determinar o programa de produção que maximize a facturação Exercício Dispondo apenas de fígado e salsichas e sabendo que 1 kg de fígado custa 1 euro, fornece 300 calorias e 28 unidades de gordura; e que 1 kg de salsichas custa 1,5 euros, fornece 400 calorias e 8 unidades de gordura; pretende-se determinar a dieta mais económica para um animal, sabendo que as suas necessidades diárias são de pelo menos 400 calorias e não mais de 28 unidades de gordura. Formalize o problema.

7 Exercícios de Programação Matemática 7 Exercício Uma empresa de refrigerantes tem que planear a sua produção para o próximo mês. Na composição do refrigerante a fabricar a empresa utiliza três variedades diferentes de fruta - Tipo I, II e III - com custos por kg de 12, 20 e 30 cêntimos, respectivamente. Da fruta Tipo I extrai-se 0.35 litros de sumo por kg, enquanto que das frutas Tipo II e III se extraem, respectivamente, 0.4 e 0.6 litros por kg. Cada litro de refrigerante tem que apresentar pelo menos 90% de sumo de fruta e 1 mg de vitamina C. A fruta do Tipo I contém 0.5 mg dessa vitamina por kg, enquanto que a Tipo II contém 0.75 mg, e a Tipo III 1 mg também por Kg. Para manter o sabor agradável, em cada 10 litros de sumo não pode haver mais de 8 Kg de fruta de Tipos I e II. Formalize um problema que permita à empresa determinar a quantidade de fruta de cada tipo a utilizar para cada 10 litros de sumo fabricado, de modo a minimizar os custos. Exercício Uma moeda deve ser cunhada numa liga contendo pelo menos 40% de prata e pelo menos 50% de cobre. Para o fabrico dessa liga estão disponíveis quatro tipos diferentes de outras ligas com as seguintes composições e custos (em euros por kg): A B C D %prata %cobre custo Construa um modelo que permita obter a mistura das ligas A, B, C e D que corresponda ao custo mínimo. Exercício Uma fábrica de tintas fabrica tintas para interior e para exterior usando dois tipos diferentes de matéria prima A e B. toneladas de matéria prima por tonelada de tinta exterior interior máximo disponível Matéria prima A Matéria Prima B Além disso, uma pesquisa de mercado estabeleceu que por dia a procura de tinta interior não excede em mais do que 1 unidade a procura de tinta exterior e que não

8 Exercícios de Programação Matemática 8 são gastas mais do que 2 toneladas de tinta interior. A tonelada de tinta interior custa 2000 euros e a tonelada de tinta exterior custa 3000 euros. Sendo o objectivo maximizar o volume de vendas, qual deverá ser a produção diária de cada tipo de tinta? Exercício Uma empresa produz dois produtos: comida para pássaros e comida para cães. A empresa tem dois departamentos: mistura e empacotamento. Os requisitos em cada departamento para produzir uma tonelada de qualquer dos produtos são os seguintes: Tempo por tonelada em horas Mistura Empacotamento Comida de pássaro Comida de cão Cada departamento dispõe de 8 horas por dia de trabalho. A comida de cão é feita de três ingredientes: carne, pasta de peixe e cereais. A comida de pássaro é feita de três ingredientes: sementes, pequenos seixos e cereais. A composição destes 5 materiais é a seguinte: Descrição dos materiais em percentagens Proteínas Carbohidratos Minerais Abrasivos Custo por ton. Carne Pasta de peixe Cereais Sementes Pedras Os requisitos mínimos da composição dos dois produtos são os seguintes (em percentagem do peso total): Proteínas Carbohidratos Minerais Abrasivos Sementes C. de pássaro C. de cão

9 Exercícios de Programação Matemática 9 A comida de pássaro vende-se a 750 u.m. por tonelada, enquanto que a comida de cão se vende a 980 u.m. por tonelada. Admitindo que não há problemas de escoamento da produção, formalize um problema que permita determinar a composição de cada tipo de comida e a quantidade de cada uma a produzir, de modo a maximizar o lucro. Exercício Uma empresa de construção civil foi encarregada da realização de uma importante obra de remoção de terras e pretende renovar o seu parque de camiões. Existem no mercado dois tipos de veículos, A e B, cujos preços e características técnicas se indicam no quadro abaixo. A empresa possui actualmente 20 camiões de tipo C (cujas características se indicam também no quadro) que pode vender (no todo ou em parte) por euros cada. A empresa dispõe de euros para a aquisição de veículos, não contando com as receitas de eventuais vendas dos camiões que possui. Os camiões trabalharão num sistema de dois turnos diários, perfazendo um total de 340 horas de operação por mês em média. Cada camião é operado por um condutor por turno, mas não se considera possível contratar mais de 100 condutores. Todos os veículos necessitam de manutenções periódicas de que - carão encarregados dois mecânicos, cada um dos quais com um horário de 170 horas por mês. Preço Velocidade média, incluindo Tempos médios de Veículos (euros) tempos de carga e descarga manutenção por cada km (km/hora) (horas) A B C Formule um modelo de programação linear que permita determinar o número de camiões a comprar e vender e que maximize a capacidade de transporte em toneladas km. Exercício O dono de um grande restaurante tem o problema de plani car a existência de toalhas lavadas disponíveis para os sete dias da semana. Podem comprar-se toalhas novas no início da semana ao preço de 5 euros cada. Depois de usadas podem ser lavadas numa lavandaria com dois tipos de serviço: um serviço

10 Exercícios de Programação Matemática 10 rápido, em que uma toalha é lavada em 1 dia (o que quer dizer que uma toalha usada na segunda se encontra disponível novamente para uso na quarta) e um serviço lento, em que uma toalha é lavada em 2 dias. Cada toalha lavada no serviço rápido tem um custo de 1,5 euros, enquanto que no serviço lento tem um custo de 0,5 euros. De segunda a domingo são necessárias, respectivamente, 110, 100, 160, 120, 180, 200 e 120 toalhas. No m de cada semana todas as toalhas são vendidas por 1 euro cada. Formule o problema de determinar a forma de se satisfazer as necessidades em toalhas, com um custo mínimo. Exercício Um armazenista, que comercializa um determinado produto alimentar, deseja programar as suas compras para os primeiros 4 meses do ano: Janeiro, Fevereiro, Março e Abril. O preço praticado pelo seu fornecedor habitual é de 100 u.m. por cada unidade de produto comprada nos 3 primeiros meses e de 150 u.m. por cada unidade comprada em Abril. O fornecedor habitual pode fornecer no máximo 3500 unidades de produto por mês. Caso o armazenista deseje comprar mais do que esta quantidade, num determinado mês, poderá adquirir até ao máximo de 1000 unidades a um outro fornecedor cujos preços são 25% mais elevados do que os praticados pelo fornecedor habitual. O armazenista pode criar stock do produto, sendo o custo de armazenagem por unidade e por mês de 40 u.m.. A procura a satisfazer pelo armazenista nos 4 meses é a seguinte: 1500, 3500, 4500, O stock em armazém no início de Janeiro é de 100 unidades. Sabendo que no nal de Abril não deve existir qualquer stock de produto, construa um modelo de programação linear que permita de nir o plano de compras óptimo. 1.4 Resolução algorítmica de Problemas Exercício Considere as seguintes restrições de um problema de programação linear: x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 x 2 + x 4 = 0 x i 0; i = 1; ; 4 Determine todas as soluções básicas do problema, indicando se são ou não admissíveis e, em caso a rmativo, se são ou não degeneradas.

11 Exercícios de Programação Matemática 11 Exercício Considere o seguinte problema de programação linear: Escreva o problema na forma standard. Max z = 5x 1 3x 2 x 1 x 2 2 2x 1 + 3x 2 4 x 1 + 6x 2 = 10 x 1 0 Exercício Resolva os seguintes problemas de programação linear através do algoritmo simplex: a) Max z = 4x 1 + 3x 2 x 1 + x 2 3 4x 1 + x 2 8 b) Min z = 6x 1 3x 2 2x 1 + 4x x 1 + 4x x c) Max z = 2x 1 + 3x 2 4x 1 + 2x 2 1 x 1 + 2x 2 6

12 Exercícios de Programação Matemática 12 d) Min z = 4x 1 + x x 3 11x 4 2x 5 + 3x 6 2x 1 + 6x 3 + 2x 4 3x 6 + x 7 = 20 4x 1 + x 2 + 7x 3 + x 4 x 6 = 10 5x 3 + 3x 4 + x 5 x 6 = 60 x i 0; i = 1; ; 7 e) Max z = 5x 1 + x 2 + 3x 3 + 4x 4 x 1 2x 2 + 4x 3 + 3x x 1 + 6x 2 + 5x 3 4x x 1 3x 2 + 3x 3 + 8x 4 50 x i 0; i = 1; ; 4 Exercício Na resolução, pelo método simplex, de um problema de programação linear de maximização, obteve-se o seguinte quadro: x 1 x 2 x 3 x 4 x Indique, justi cando, a que condições devem obedecer ; ; e, para serem verdadeiras as seguintes a rmações: a) Encontrou-se uma solução óptima não degenerada b) Existem soluções óptimas alternativas c) A solução é não limitada d) A solução é degenerada

13 Exercícios de Programação Matemática 13 e) Ainda não foi encontrada solução óptima Exercício Aplicando o método das duas fases, resolva os seguintes problemas: a) Max z = 8x x 2 x 1 + 2x x 1 3 4x 1 + 5x 2 20 b) Min z = x 1 + x 2 x 4 4x 1 + x 2 + x 3 + 4x 4 = 8 x 1 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 16 x i 0; i = 1; ; 4 c) Max z = 3x 1 2x 2 2x 3 + 2x 4 x 1 + 3x 2 x 3 + 2x 4 = 1 2x 1 + 4x 3 x 4 = 8 2x 1 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 2 x i 0; i = 1; ; 4 d) Min z = x 1 + 2x 2 4x 4 x 1 x 2 + 3x 3 = 1 x 2 2x 3 + x 4 = 1 3x 1 + x 2 + x 3 + 4x 4 = 7 x i 0; i = 1; ; 4

14 Exercícios de Programação Matemática 14 e) Min z = x 1 + x 2 3x 1 + 2x 2 4 x 1 + 2x 2 6 x 1 2x 2 4 x 1 0 Exercício Suponha que tem dois pontos extremos soluções óptimas de um programa linear: X e Y. Demonstre que qualquer ponto da aresta que une X e Y também é solução óptima. Exercício Considere o seguinte quadro do simplex, correspondente a uma solução intermédia na resolução de um problema de maximização: v. básicas x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x = =3 0 x = =3 0 x = =3 1 z 8 0 8= =3 0 Sabendo que a inversa da matriz 2 dos coe cientes das 3 variáveis básicas a que esta 1=3 1=3 1=3 h i solução corresponde é B 1 = 6 1=3 2=3 2= e que ct B = 1 3 1, 1=3 2=3 1=3 formule o problema original. 1.5 Dualidade Exercício Considere o problema Min z = 3x 1 + 2x 2 x 1 x 2 1 x 1 + x 2 3

15 Exercícios de Programação Matemática 15 a) Escreva o seu dual b) Resolva o dual gra camente c) Resolva o primal pelo método simplex d) Veri que as relações de complementaridade ente o primal e o dual. Exercício Resolva os seguintes problemas através da solução óptima do respectivo dual: a) b) c) d) Min z = 2x 1 + x 2 3x 1 + x 2 3 4x 1 + 3x 2 6 x 1 + 2x 2 2 Max z = 8x 1 + 8x 2 2x 1 + 2x x 1 + x 2 9 x 1 + 3x 2 16 Max z = 2x 1 + 7x 2 + 4x 3 x 1 + 2x 2 + x x 1 + 3x 2 + 2x 3 10 ; x 3 0 Min z = 6x 1 + x 2 + 2x 3 3x 1 + x 2 + 2x 3 2 2x 1 x 2 + 2x 3 3 x 1 0 x 2 e x 3 livres

16 Exercícios de Programação Matemática 16 Exercício Resolva os seguintes problemas através do algoritmo simplex-dual a) Min z = x 1 + 3x 2 x 2 1 x 1 + 2x 2 8 x 1 + x 2 5 b) Min z = x 1 + x 2 2x 1 2x 2 x 3 = 2 x 1 + x 2 x 4 = 1 x 1 + x 2 5 x i 0; i = 1; ; 4 c) Min z = 2x x 2 x 1 + 4x x x d) Max z = x 1 x 2 x 1 + x 2 8 x 2 3 x 1 + x 2 2

17 Exercícios de Programação Matemática 17 e) Min z = 7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 4x 4 2x 1 + 4x 2 + 7x 3 + x 4 5 8x 1 + 4x 2 + 6x 3 + 4x 4 8 3x 1 + 8x 2 + x 3 + 4x 4 4 x 1 0; i = 1; ; 4 Exercício Considere um problema de 2programação 3 linear em que o objectivo é: Min z = 16x x 2 + 4x 3 : Seja A = a matriz dos coe cientes das suas restrições. Quanto ao respectivo problema h dualisabe-se que o vector dos coe cientes das variáveis na função objectivo é 4 2 2, que a primeira variável de decisão não tem restrição de sinal e que a segunda variável de decisão é positiva ou quando muito nula. Além disso, sabe-se que na solução óptima a terceira restrição do primal é veri cada 8 unidades acima do limite mínimo, a terceira restrição do dual é veri cada 9 unidades acima do limite mínimo, e as restantes restrições do primal e do dual são veri cadas em igualdade. Deve determinar os valores de todas as variáveis do primal e do dual (decisão e afastamento), sem utilizar o algoritmo simplex para a resolução do problema. Justi que teoricamente as suas conclusões. Exercício Ao resolver o problema de programação linear Min z = 6x 1 5x 2 0:2x 1 + 0:1x 2 9 0:3x 1 + 0:1x 2 6 0:3x 1 + 0:6x :2x 1 + 0:2x 2 14

18 Exercícios de Programação Matemática 18 obteve-se o quadro x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x =2 x x x =2 z Determine a solução óptima do problema dual Exercício Considere o seguinte quadro nal do simplex aplicado a um problema de programação linear em que x 3 e x 4 são variáveis de afastamento das suas duas restrições. Sabe-se que a primeira restrição é do tipo e que a segunda é do tipo : x 1 x 2 x 3 x z =2 0 1 a) Indique as soluções óptimas deste problema e do seu dual. b) Escreva ambos os problemas. Exercício O quadro seguinte foi o terceiro e último a ser obtido na resolução de um problema de programação linear em que as restrições são todas do tipo x 1 x 2 x 3 x 4 x

19 Exercícios de Programação Matemática 19 a) Estabeleça o problema linear original. b) Escreva o problema dual. c) Escreva as soluções óptimas do primal e do dual. Exercício Considere o seguinte programa linear: Min z = 3x 1 + 4x 2 x 1 + 2x x 1 + x 2 9 7x 1 + 6x x 1 6; 0 x 2 6 a) Resolva-o gra camente, indicando com clareza quais os limites da região admissível. b) Escreva o problema dual e, a partir do resultado da alínea anterior, diga quais as variáveis que serão nulas na solução óptima do problema dual. c) Resolva o problema inicial usando a versão do método simplex que achar mais conveniente e indique no grá co que desenhou em a) o percurso efectuado pelo método. 1.6 Análise de sensibilidade e pós-optimização Exercício Resolveu-se o problema de programação linear Maximizar z = x 1 + x 2 sujeito a 2x 1 x 2 0 x 1 + x x 1 + x 2 300

20 Exercícios de Programação Matemática 20 e obteve-se a solução óptima x 1 = 60; x 2 = 120 e z = 180. Entretanto 2pretende-se 3 t fazer as seguintes alterações: alterar o termo independente para b(t) = t t e o custo de x 1 para c 1 (t) = 1 4t. Para que valores de t a presente solução continua a ser óptima? Exercício Ao resolver o problema de programação linear Maximizar z = 2x 1 + x 2 x 3 sujeito a x 1 + 2x 2 + x 3 8 x 1 + x 2 2x 3 4 ; x 3 0 h i T a) Se for proposta uma nova actividade associada à coluna a 6 = 1 2 e com lucro c 6 = 4, será essa actividade atractiva? Em caso a rmativo determine a nova solução óptima. b) Determine a nova solução óptima no caso do coe ciente de x 3 na segunda restrição mudar de 2 para 1. c) Determine a nova solução óptima no caso do coe ciente de ser acrescentada a restrição x 2 + x 3 2: Exercício Para o seguinte problema Maximizar z = x 1 + 3x x 3 sujeito a x 1 + x 2 + x 3 20 x 1 + 1x x ; x 3 0

21 Exercícios de Programação Matemática 21 sabe-se que o quadro óptimo é o seguinte: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 15 x 3 5 z a) Faça uma análise de sensibilidade ao coe ciente de x 3 na função objectivo. b) Determine a nova solução óptima no caso do termo independente da segunda restrição passar a ser 8. c) Determine a nova solução óptima no caso de ser acrescentada a restrição x 1 + x 3 10: d) Determine a nova solução óptima no caso de ser 2 acrescentada 3 uma variável com coe ciente na função objectivo 5 4 e coluna : Exercício Considere o problema de programação linear Maximizar sujeito a z = c T x Ax = b x 0 a) Se x for uma solução óptima deste problema será também uma solução óptima para o problema em que os custos são c, com > 0? h i T b) E para o problema em que esse vector é c + e, com e = e 6= 0? Em que condições continua a ser óptima?

22 Exercícios de Programação Matemática Problemas de transportes Exercício Uma empresa responsável pelo abastecimento semanal de certo bem às cidades de Lisboa e Porto pretende estabelecer um plano de distribuição desse bem a partir dos centros produtores situados em Peniche, Viseu e Évora. As quantidades semanalmente disponíveis em Peniche, Viseu e Évora são 70, 130 e 120 toneladas, respectivamente. O consumo semanal previsto desse bem é de 180 toneladas em Lisboa e de 140 no Porto. Os custos unitários de transporte (u.m./ton.) de cada centro produtor para cada centro consumidor são os seguintes: Lisboa Porto Peniche Viseu Évora Formule um problema de programação linear que lhe permita encontrar o plano de distribuição que minimize os custos de transporte. Exercício Uma cooperativa de lavradores tem dois armazéns centrais que fornecem sementes de cereal a três armazéns regionais que as distribuem aos lavradores. Mensalmente cada armazem central dispõe de 1000 a 2000 toneladas de sementes. A procura nos armazéns regionais é de 1500, 750 e 750 toneladas. O custo de transportar cada tonelada é dado por: Armazéns locais Armazéns centrais Sendo o objectivo satisfazer a procura ao menor custo, estudar qual a política de transportes a adoptar. Exercício Três re narias com capacidades máximas diárias de 6 milhões, 5 milhões e 8 milhões de galões de gasolina abastecem três áreas de distribuição com necessidades diárias de 4 milhões, 8 milhões e 7 milhões de galões. A gasolina é

23 Exercícios de Programação Matemática 23 transportada através de uma rede de pipelines. O custo de transportar é directamente proporcional à distância percorrida pela gasolina. A re naria 1 não está ligada com a área de distribuição 3. O quadro seguinte dá as distâncias, em milhas, entre cada re naria e cada área de distribuição: Áreas de distribuição Re narias Pretendendo-se minimizar os custos de transporte, formule o problema seguindo o modelo de transportes e resolva-o. Exercício Resolva o seguinte problema de transportes: Minimizar z = 5x x x x x 22 + x 23 sujeito a x 11 + x 12 + x 13 = 100 x 21 + x 22 + x 23 = 50 x 11 + x 21 = 80 x 12 + x 22 = 30 x 13 + x 23 = 40 x 11 0; x 12 0; x 13 0; x 21 0; x 22 0; x 23 0 Exercício Resolva os seguintes problemas de transportes: a) Oferta Procura

24 Exercícios de Programação Matemática 24 b) Disponível Necessário c) Oferta * Procura Percurso impossível d) Disponível Necessário Exercício Uma companhia fabrica e transporta cimento para os seus armazéns. As fábricas são F 1, F 2 e F 3 e os armazéns são A 1, A 2, A 3 e A 4. Os custos unitários de transporte bem como as disponibilidades nas fábricas e as necessidades

25 Exercícios de Programação Matemática 25 nos armazéns são dadas na seguinte tabela: A 1 A 2 A 3 A 4 Produção F F F Necessidades a) Qual a solução óptima deste problema? b) Suponha que a produção nas fábricas que não possa ir para os armazéns da companhia, tenha que ir para armazéns alugados de forma que cada unidade não enviada para os armazéns da companhia custe 8, 4 e 3 respectivamente para F 1, F 2 e F 3. Determine a nova solução óptima. Exercício Suponha que num problema de transportes se adiciona uma constante k a cada um dos custos da matriz c ij. Qual a alteração na solução óptima e no respectivo valor da função objectivo? Exercício A companhia japonesa Kayoto tem 3 fábricas em países do 3 o Mundo que produzem um determinado componente electrónico que vai ser usado em 4 unidades de montagem no Japão. As fábricas têm capacidade semanal de produzir , e componentes respectivamente, enquanto que as unidades de montagem usam componentes por semana cada uma. O custo de transportar cada mil componentes de cada fábrica para cada unidade de montagem é dado, em dólares, no seguinte quadro: Unidades de montagem Fábricas Se uma unidade de montagem não receber todas as componentes de que necessita, a Kayoto tem que lhe pagar uma multa. Essa multa é de 5 dólares por cada 500

26 Exercícios de Programação Matemática 26 componentes para a unidade 1, 8 dólares por cada 1000 componentes para a unidade 2 e de 4 dólares por cada 1000 componentes para a unidade de montagem 3, enquanto que a unidade de montagem 4 não estabelece multas. Pretende-se determinar qual a política de transportes a adoptar de modo a minimizar o custo total da operação.

27 Capítulo 2 Programação inteira 2.1 Branch-and-bound Exercício Resolva os seguintes problemas através do algoritmo branch-andbound: a) b) Maximizar z = 2x 1 + x 2 sujeito a 4x 1 + 5x 2 20 x 1 x 2 1 x 1 e x 2 inteiros Maximizar z = x 1 + x 2 sujeito a 2x 1 + 5x x 1 + 5x 2 30 x 1 e x 2 inteiros 27

28 Exercícios de Programação Matemática 28 c) d) Maximizar z = x 1 + 3x 2 sujeito a 3x 1 + 5x x 1 + 7x 2 14 x 1 e x 2 inteiros Minimizar z = 2x 1 + 3x 2 sujeito a x 1 + x 2 3 x 1 + 3x 2 6 x 1 e x 2 inteiros Exercício Ao resolver-se um problema linear inteiro, cujo objectivo era a minimização de uma função de 4 variáveis inteiras pelo método de branch-andbound, obteve-se no nó inicial a seguinte solução: x 1 = 0; x 2 = 0:75; x 3 = 10:25; x 4 = 3, ao que corresponde para a função objectivo o valor 17. Diga, justi cando, se as seguintes situações são ou não possíveis: a) Obter solução ilimitada num dos subproblemas. b) Obter z = 16:5 num dos subproblemas. c) Obter solução impossível num dos subproblemas. d) Obter a solução x 1 = 10:5; x 2 = 0; x 3 = 0; x 4 = 5:5 num dos subproblemas. Exercício Na resolução de um problema de programação inteira, em que o objectivo é minimizar uma função z de nida em R 25, obteve-se no nó inicial uma solução não inteira com z = 100. Escolheu-se a variável x 10 para começar a construir a árvore do algoritmo de branch-and-bound. No lado esquerdo obteve-se uma solução inteira com z = 120. No lado direito obteve-se uma solução em que todas as variáveis são inteiras excepto x 9 que tem o valor 4:7 e a que corresponde z = 130. O que se deve fazer a seguir? Porquê?

29 Exercícios de Programação Matemática 29 Exercício Considere o seguinte problema de programação linear inteira Maximizar z = 5x 1 + x 2 sujeito a x 1 + 2x 2 4 x 1 x 2 1 4x 1 + x 2 12 x 1 e x 2 inteiros a) Resolva o problema linear associado gra camente b) Arredonde a solução obtida para a solução inteira mais próxima e veri que se é admissível c) Enumere todas as soluções inteiras que podem ser obtidas por arredondamento (por excesso e por defeito) e veri que quais as admissíveis. d) Resolva o problema gra camente por recurso ao branch-and-bound. e) Pode concluir alguma coisa? 2.2 Inteiros Mistos Exercício Considere o seguinte modelo matemático: Minimizar Z = f 1 (x 1 ) + f 2 (x 2 ) com as restrições: Ou x 1 3 ou x 2 3; Pelo menos uma das seguintes desigualdades deve ser verdadeira: 2x 1 + x 2 7; x 1 + x 2 5; x 1 + 2x 2 7 jx 1 x 2 j = 0 ou 3 ou 6; x 1 0 e x 2 0; 8 8 < 7 + 5x 1 se x 1 > 0 < 5 + 6x 2 se x 2 > 0 Sendo f 1 (x 1 ) = e f : 2 (x 2 ) = 0 se x 1 = 0 : 0 se x 1 = 0 Formule o problema como um problema de programação linear inteira misto.

30 Capítulo 3 Programação não linear 3.1 Condições de Karush-Kuhn-Tucker Exercício Escreva as condições KKT para o seguinte problema não linear: Maximizar f(x 1 ; x 2 ) = 15x x 2 + 4x 1 x 2 2x 2 1 4x 2 2 sujeito a x 1 + 2x 2 30 Exercício Escreva as condições KKT para o seguinte problema não linear: Maximizar f(x 1 ; x 2 ) = 3x 1 + 5x 2 sujeito a 9x x x 1 4 Resolva o problema gra camente e veri que que o ponto encontrado obedece às condições escritas. 30